6.1 ਚਿੱਤਰ: ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਲਾਟਰੀ ਜਿੱਤਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇੱਕਮੁਸ਼ਤ ਭੁਗਤਾਨ ਲੈ ਕੇ ਜਾਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਭੁਗਤਾਨ ਸਵੀਕਾਰ ਕਰਕੇ ਵਧੇਰੇ ਪੈਸਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ? (ਸਿਹਰਾ: ਰਾਬਰਟ ਹਫਸਟਟਰ, ਫਲਿੱਕਰ ਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ)
ਅਧਿਆਇ ਰੂਪਰੇਖਾ
6.1 ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਅਤੇ ਫਲਨ
6.2 ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦੇ ਗੁਣ
6.3 ਟੇਲਰ ਅਤੇ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ
6.4 ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਲਾਟਰੀ ਜਿੱਤਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਈ ਵਾਰ ਵਿਅਕਤੀ ਕੋਲ ਇੱਕਮੁਸ਼ਤ ਭੁਗਤਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਜਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਛੋਟੇ ਭੁਗਤਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦਾ ਵਿਕਲਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਅੱਜ 20 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਜਾਂ ਅਗਲੇ 20 ਸਾਲਾਂ ਲਈ ਹਰ ਸਾਲ 1.5 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦਾ ਵਿਕਲਪ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਹੜਾ ਬਿਹਤਰ ਸੌਦਾ ਹੈ? ਬੇਸ਼ੱਕ 20 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ 1.5 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ 30 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅੱਜ 20 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਨਾਲ ਤੁਸੀਂ ਪੈਸੇ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਵਿਕਲਪਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਹਰ ਸਾਲ ਅਨੰਤ ਕਾਲ (ਤੁਹਾਡੇ ਵਾਰਸਾਂ ਤੱਕ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ) ਲਈ 1 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਗਰੰਟੀ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਅੱਜ 20 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਕਿਹੜਾ ਬਿਹਤਰ ਸੌਦਾ ਹੋਵੇਗਾ? ਇਹਨਾਂ ਸਵਾਲਾਂ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਅੱਜ ਦੇ ਡਾਲਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਨਿਯਮਤ ਭੁਗਤਾਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ (ਉਦਾਹਰਨ 6.7 ਦੇਖੋ)।
∑n=0∞cnxn∑n=0∞cnxn ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਨੂੰ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ x ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਉਹ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਵੀ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਸਾਨੂੰ ਅਜਿਹੇ ਫਲਨ ਲਿਖਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ "ਅਨੰਤ ਬਹੁਪਦ" ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਵਿਭੇਦਿਤ ਅਤੇ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਭੇਦਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਅਤੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਨੂੰ ਵੀ ਛੋਟਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਬਹੁਪਦ ਬਣਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸੀਂ ਫਲਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਨ, ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਅਰਥ ਸ਼ਾਸਤਰ ਸਮੇਤ ਕਈ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਦੇਖਾਂਗੇ, ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ ਸਾਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਤਕਨੀਕਾਂ ਨਾਲ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।