ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
6.1.1 ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰੋ।
6.1.2 ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦੇ ਅਭਿਸਰਨ ਦੇ ਘੇਰੇ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
6.1.3 ਇੱਕ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੀ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵਧੇਰੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ x ਹੈ, ਤਾਂ ਲੜੀ ਦੇ ਸਾਰੇ ਪਦ x ਦੀਆਂ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਬਹੁਪਦੀ ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਆਮ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਅਤੇ ਨਵੇਂ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਦੋਂ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਕਦੋਂ ਇਹ ਅਪਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੁਝ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦਾ ਰੂਪ
ਇੱਕ ਲੜੀ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ
ਜਿੱਥੇ x ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹੈ ਅਤੇ ਗੁਣਾਂਕ cn ਸਥਿਰ ਹਨ, ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਵਜੋਂ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਲੜੀ
ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਲੜੀ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਅਨੁਪਾਤ r=x ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ |x|<1 ਜੇ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ |x|≥1 ਜੇ ਅਪਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਲੜੀ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ
x=0 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਲੜੀ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ
x=a 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਹੈ।
ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਸਟੀਕ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x0=1 ਅਤੇ (x−a)0=1 ਭਾਵੇਂ x=0 ਅਤੇ x=a ਹੋਵੇ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ।
ਲੜੀ
ਅਤੇ
ਦੋਵੇਂ x=0 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਹਨ। ਲੜੀ
x=2 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਹੈ।
ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦਾ ਅਭਿਸਰਨ
ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਦ x ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਲੜੀ x ਦੇ ਕੁਝ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਹੋਰ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਅਪਸਰਿਤ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। x=a 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਲਈ, x=a 'ਤੇ ਲੜੀ ਦਾ ਮੁੱਲ c0 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਹਮੇਸ਼ਾ ਆਪਣੇ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕੁਝ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਸਿਰਫ x ਦੇ ਉਸ ਮੁੱਲ ਲਈ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਲਈ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਜਾਂ ਤਾਂ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ x ਲਈ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ∑n=0∞xn ਅੰਤਰਾਲ (−1,1) ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਉਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਬਾਹਰ ਸਾਰੇ x ਲਈ ਅਪਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਆਮ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਤਿੰਨ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 6.1
ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦਾ ਅਭਿਸਰਨ
ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ∑n=0∞cn(x−a)n 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਲੜੀ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਗੁਣ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੀ ਹੈ:
ਲੜੀ x=a 'ਤੇ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਰੇ x≠a ਲਈ ਅਪਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
The series converges for all real numbers x.
There exists a real number R>0R>0 such that the series converges if |x−a|<R|x−a|<R and diverges if |x−a|>R.|x−a|>R. At the values x where |x−a|=R,|x−a|=R, the series may converge or diverge.
Proof
Suppose that the power series is centered at a=0.a=0. (For a series centered at a value of a other than zero, the result follows by letting y=x−ay=x−a and considering the series ∑n=1∞cnyn.)∑n=1∞cnyn.) We must first prove the following fact:
If there exists a real number d≠0d≠0 such that ∑n=0∞cndn∑n=0∞cndn converges, then the series ∑n=0∞cnxn∑n=0∞cnxn converges absolutely for all x such that |x|<|d|.|x|<|d|.
Since ∑n=0∞cndn∑n=0∞cndn converges, the nth term cndn→0cndn→0 as n→∞.n→∞. Therefore, there exists an integer N such that |cndn|≤1|cndn|≤1 for all n≥N.n≥N. Writing
we conclude that, for all n≥N,n≥N,
The series
is a geometric series that converges if |xd|<1.|xd|<1. Therefore, by the comparison test, we conclude that ∑n=N∞cnxn∑n=N∞cnxn also converges for |x|<|d|.|x|<|d|. Since we can add a finite number of terms to a convergent series, we conclude that ∑n=0∞cnxn∑n=0∞cnxn converges for |x|<|d|.|x|<|d|.
With this result, we can now prove the theorem. Consider the series
and let S be the set of real numbers for which the series converges. Suppose that the set S={0}.S={0}. Then the series falls under case i. Suppose that the set S is the set of all real numbers. Then the series falls under case ii. Suppose that S≠{0}S≠{0} and S is not the set of real numbers. Then there exists a real number x*≠0x*≠0 such that the series does not converge. Thus, the series cannot converge for any x such that |x|>|x*|.|x|>|x*|. Therefore, the set S must be a bounded set, which means that it must have a smallest upper bound. (This fact follows from the Least Upper Bound Property for the real numbers, which is beyond the scope of this text and is covered in real analysis courses.) Call that smallest upper bound R. Since S≠{0},S≠{0}, the number R>0.R>0. Therefore, the series converges for all x such that |x|<R,|x|<R, and the series falls into case iii.
□
If a series ∑n=0∞cn(x−a)n∑n=0∞cn(x−a)n falls into case iii. of Convergence of a Power Series, then the series converges for all x such that |x−a|<R|x−a|<R for some R>0,R>0, and diverges for all x such that |x−a|>R.|x−a|>R. The series may converge or diverge at the values x where |x−a|=R.|x−a|=R. The set of values x for which the series ∑n=0∞cn(x−a)n∑n=0∞cn(x−a)n converges is known as the interval of convergence. Since the series diverges for all values x where |x−a|>R,|x−a|>R, the length of the interval is 2R, and therefore, the radius of the interval is R. The value R is called the radius of convergence. For example, since the series ∑n=0∞xn∑n=0∞xn converges for all values x in the interval (−1,1)(−1,1) and diverges for all values x such that |x|≥1,|x|≥1, the interval of convergence of this series is (−1,1).(−1,1). Since the length of the interval is 2, the radius of convergence is 1.
Definition
Consider the power series ∑n=0∞cn(x−a)n.∑n=0∞cn(x−a)n. The set of real numbers x where the series converges is the interval of convergence. If there exists a real number R>0R>0 such that the series converges for |x−a|<R|x−a|<R and diverges for |x−a|>R,|x−a|>R, then R is the radius of convergence. If the series converges only at x=a,x=a, we say the radius of convergence is R=0.R=0. If the series converges for all real numbers x, we say the radius of convergence is R=∞R=∞ (Figure 6.2).
Figure 6.2: For a series ∑n=0∞cn(x−a)n∑n=0∞cn(x−a)n graph (a) shows a radius of convergence at R=0,R=0, graph (b) shows a radius of convergence at R=∞,R=∞, and graph (c) shows a radius of convergence at R. For graph (c) we note that the series may or may not converge at the endpoints x=a+Rx=a+R and x=a−R.x=a−R.
To determine the interval of convergence for a power series, we typically apply the ratio test. In Example 6.1, we show the three different possibilities illustrated in Figure 6.2.
Example 6.1
Finding the Interval and Radius of Convergence
For each of the following series, find the interval and radius of convergence.
∑n=0∞xnn!∑n=0∞xnn!
∑n=0∞n!xn∑n=0∞n!xn
∑n=0∞(x−2)n(n+1)3n∑n=0∞(x−2)n(n+1)3n
Solution
ਸੰਮਿਲਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਨੁਪਾਤ ਪਰਖ (ratio test) ਲਾਗੂ ਕਰੋ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ρ=limn→∞|xn+1(n+1)!xnn!|=limn→∞|xn+1(n+1)!·n!xn|=limn→∞|xn+1(n+1)·n!·n!xn|=limn→∞|xn+1|=|x|limn→∞1n+1=0<1 ਹੈ। ρ=limn→∞|xn+1(n+1)!xnn!|=limn→∞|xn+1(n+1)!·n!xn|=limn→∞|xn+1(n+1)·n!·n!xn|=limn→∞|xn+1|=|x|limn→∞1n+1=0<1 ਸਾਰੇ x ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ। ਇਸ ਲਈ, ਲੜੀ ਸਾਰੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ x ਲਈ ਸੰਮਿਲਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸੰਮਿਲਨ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ (−∞,∞) ਹੈ ਅਤੇ ਸੰਮਿਲਨ ਦਾ ਘੇਰਾ R=∞ ਹੈ।
ਅਨੁਪਾਤ ਪਰਖ ਲਾਗੂ ਕਰੋ। x≠0 ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ρ=limn→∞|(n+1)!xn+1n!xn|=limn→∞|(n+1)x|=|x|limn→∞(n+1)=∞। ρ=limn→∞|(n+1)!xn+1n!xn|=limn→∞|(n+1)x|=|x|limn→∞(n+1)=∞। ਇਸ ਲਈ, ਲੜੀ ਸਾਰੇ x≠0 ਲਈ ਅਪਸਾਰੀ (divergent) ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਲੜੀ x=0 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਉੱਥੇ ਸੰਮਿਲਤ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਲੜੀ ਸਿਰਫ਼ x=0 ਲਈ ਸੰਮਿਲਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸੰਮਿਲਨ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਇਕੱਲਾ ਮੁੱਲ x=0 ਹੈ ਅਤੇ ਸੰਮਿਲਨ ਦਾ ਘੇਰਾ R=0 ਹੈ।
ਅਨੁਪਾਤ ਪਰਖ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ, ρ=limn→∞|(x−2)n+1(n+2)3n+1(x−2)n(n+1)3n|=limn→∞|(x−2)n+1(n+2)3n+1·(n+1)3n(x−2)n|=limn→∞|(x−2)(n+1)3(n+2)|=|x−2|3 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ρ<1 ਜੇ |x−2|<3 ਹੋਵੇ। ਕਿਉਂਕਿ |x−2|<3 ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ −3<x−2<3, ਇਸ ਲਈ ਲੜੀ −1<x<5 ਲਈ ਸੰਪੂਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਮਿਲਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ρ>1 ਜੇ |x−2|>3 ਹੋਵੇ। ਇਸ ਲਈ, ਲੜੀ x<−1 ਜਾਂ x>5 ਲਈ ਅਪਸਾਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਨੁਪਾਤ ਪਰਖ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ ਜੇ ρ=1 ਹੋਵੇ। ਅਨੁਪਾਤ ρ=1 ਜੇ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੇ x=−1 ਜਾਂ x=5 ਹੋਵੇ। ਸਾਨੂੰ ਇਨ੍ਹਾਂ x ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਖ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। x=−1 ਲਈ, ਲੜੀ ∑n=0∞(−1)nn+1=1−12+13−14+⋯ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਬਦਲਵੀਂ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ ਹੈ, ਇਹ ਸੰਮਿਲਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਲੜੀ x=−1 'ਤੇ ਸੰਮਿਲਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। x=5 ਲਈ, ਲੜੀ ∑n=0∞1n+1=1+12+13+14+⋯ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਇਹ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ ਹੈ, ਜੋ ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਪਾਵਰ ਲੜੀ x=5 'ਤੇ ਅਪਸਾਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੰਮਿਲਨ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ [−1,5) ਹੈ ਅਤੇ ਸੰਮਿਲਨ ਦਾ ਘੇਰਾ R=3 ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.1
ਲੜੀ ∑n=1∞xnn ਲਈ ਸੰਮਿਲਨ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਅਤੇ ਘੇਰਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਾਵਰ ਲੜੀਆਂ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ "ਅਨੰਤ ਬਹੁਪਦ" ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਾਧਨ ਹੈ। ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਦੀਆਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਅੰਕਗਣਿਤ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਬਹੁਪਦ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਵਿਭਿੰਨਤਾ (differentiate) ਜਾਂ ਸਮਾਕਲਨ (integrate) ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਪਦ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਇੱਕ ਛਾਂਟੇ ਹੋਏ ਸੰਸਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਸਵਾਲ ਇਹ ਹੈ ਕਿ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਾਵਰ ਲੜੀ ਦੁਆਰਾ ਕਦੋਂ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਭੂਮਿਕਾ ਲੜੀ (geometric series) 'ਤੇ ਦੁਬਾਰਾ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਭੂਮਿਕਾ ਲੜੀ
ਸਿਰਫ਼ ਤਾਂ ਹੀ ਸੰਮਿਲਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇ |r|<1 ਹੋਵੇ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਇਹ a1−r ਤੱਕ ਸੰਮਿਲਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇ |x|<1 ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 6.3 ਵਿੱਚ ਲੜੀ 11−x ਤੱਕ ਸੰਮਿਲਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=11−x ਨੂੰ ਪਾਵਰ ਲੜੀ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹਾਂ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਲੜੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=11−x ਲਈ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ, f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਇਸ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦੇ ਕਈ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ (partial sums) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.2
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਪਾਵਰ ਲੜੀ ਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
f(x)=11−x ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ SN(x)=∑n=0Nxn ਲਈ N=2,4,6, ਅੰਤਰਾਲ (−1,1) 'ਤੇ, ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। N ਵਧਣ ਦੇ ਨਾਲ SN ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ 'ਤੇ ਟਿੱਪਣੀ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਚਿੱਤਰ 6.3 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋ ਕਿ ਜਿਵੇਂ N ਵਧਦਾ ਹੈ, SN, ਅੰਤਰਾਲ (−1,1) ਵਿੱਚ x ਲਈ f(x)=11−x ਦਾ ਇੱਕ ਬਿਹਤਰ ਅਨੁਮਾਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.3: ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਪਾਵਰ ਲੜੀ ਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦੁਆਰਾ ਇਸਦੇ ਤਿੰਨ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.2
f(x)=11−x2 ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ SN(x)=∑n=0Nx2n ਲਈ N=2,4,6, ਅੰਤਰਾਲ (−1,1) 'ਤੇ, ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਭੂਮਿਕਾ ਲੜੀ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਾਵਰ ਲੜੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਕਰਨੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.3
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਾਵਰ ਲੜੀ ਨਾਲ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਕਰਨਾ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ ਇੱਕ ਪਾਵਰ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਸੰਮਿਲਨ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
f(x)=11+x3
f(x)=x24−x2
ਹੱਲ
ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ 11+x3=11−(−x3)। ਇਹ ਤੱਥ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਕਿ, |r|<1 ਲਈ, a1−r ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ∑n=0∞arn=a+ar+ar2+⋯ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ, |−x3|<1 ਲਈ, 11+x3=11−(−x3)=∑n=0∞(−x3)n=1−x3+x6−x9+⋯। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਲੜੀ ਸਿਰਫ਼ ਉਦੋਂ ਹੀ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ |−x3|<1, ਇਕੱਠੇ ਹੋਣ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ (−1,1) ਹੈ, ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ |x|<1 ਲਈ 11+x3=1−x3+x6−x9+⋯ ਹੈ।
ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਥੋੜੀ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਹੇਰਾਫੇਰੀ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ f ਨੂੰ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਨਾਲ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਰ ਵਿੱਚ ਦੋ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 4 ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਕੇ, ਅਸੀਂ x24−x2=x24(1−x24)=x24(1−(x2)2) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ x24−x2=x24(1−(x2)2)=x241−(x2)2=∑n=0∞x24(x2)2n ਹੈ। ਲੜੀ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ |(x2)2|<1 (ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਦੋਂ |(x2)2|=1 ਲੜੀ ਇਕੱਠੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ)। ਇਸ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਕੱਠੇ ਹੋਣ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ (−2,2) ਹੈ ਅਤੇ |x|<2 ਲਈ x24−x2=∑n=0∞x2n+24n+1=x24+x442+x643+⋯ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.3
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x32−x ਨੂੰ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਨਾਲ ਦਰਸਾਓ ਅਤੇ ਇਕੱਠੇ ਹੋਣ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭੋ।
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਬਾਕੀ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਈ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ, ਵਿਭਿੰਨ ਕਰਨ ਅਤੇ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੱਸੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਕਥਨ ਸੱਚ ਹੈ, ਜਾਂ ਇਸਨੂੰ ਗਲਤ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ।
ਜੇ ∑n=1∞anxn ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ n→∞ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ anxn→0।
∑n=1∞anxn ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ an ਲਈ x=0 'ਤੇ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਕ੍ਰਮ an ਲਈ, ਹਮੇਸ਼ਾ ਕੁਝ R>0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸੰਭਵ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ, ਜਿਸ ਲਈ ∑n=1∞anxn (−R,R) 'ਤੇ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਜੇ ∑n=1∞anxn ਦੀ ਇਕੱਠੇ ਹੋਣ ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ R>0 ਹੈ ਅਤੇ ਜੇ ਸਾਰੇ n ਲਈ |bn|≤|an| ਹੈ, ਤਾਂ ∑n=1∞bnxn ਦੇ ਇਕੱਠੇ ਹੋਣ ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ R ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ∑n=0∞an(x−3)n x=6 'ਤੇ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਕਿਹੜੇ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਲੜੀ ਵਿਭਿੰਨ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ? ਇਹ ਤੱਥ ਵਰਤੋ ਕਿ ਜੇ ∑an(x−c)n x 'ਤੇ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ c ਤੋਂ x ਤੱਕ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
x=1
x=2
x=3
x=0
x=5.99
x=0.000001
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ∑n=0∞an(x+1)n x=−2 'ਤੇ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਕਿਹੜੇ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਲੜੀ ਜ਼ਰੂਰ ਇਕੱਠੀ ਹੋਵੇਗੀ? ਇਹ ਤੱਥ ਵਰਤੋ ਕਿ ਜੇ ∑an(x−c)n x 'ਤੇ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ c ਤੋਂ x ਤੱਕ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
x=2
x=−1
x=−3
x=0x=0
x=0.99x=0.99
x=0.000001x=0.000001
In the following exercises, suppose that |an+1an|→1|an+1an|→1 as n→∞.n→∞. Find the radius of convergence for each series.
∑ n = 0 ∞ a n 2 n x n ∑ n = 0 ∞ a n 2 n x n
∑ n = 0 ∞ a n x n 2 n ∑ n = 0 ∞ a n x n 2 n
∑ n = 0 ∞ a n π n x n e n ∑ n = 0 ∞ a n π n x n e n
∑ n = 0 ∞ a n ( −1 ) n x n 10 n ∑ n = 0 ∞ a n ( −1 ) n x n 10 n
∑ n = 0 ∞ a n ( −1 ) n x 2 n ∑ n = 0 ∞ a n ( −1 ) n x 2 n
∑ n = 0 ∞ a n ( −4 ) n x 2 n ∑ n = 0 ∞ a n ( −4 ) n x 2 n
In the following exercises, find the radius of convergence R and interval of convergence for ∑anxn∑anxn with the given coefficients an.an.
∑ n = 1 ∞ ( 2 x ) n n ∑ n = 1 ∞ ( 2 x ) n n
∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n x n n ∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n x n n
∑ n = 1 ∞ n x n 2 n ∑ n = 1 ∞ n x n 2 n
∑ n = 1 ∞ n x n e n ∑ n = 1 ∞ n x n e n
∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 n ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 n
∑ k = 1 ∞ k e x k e k ∑ k = 1 ∞ k e x k e k
∑ k = 1 ∞ π k x k k π ∑ k = 1 ∞ π k x k k π
∑ n = 1 ∞ x n n ! ∑ n = 1 ∞ x n n !
∑ n = 1 ∞ 10 n x n n ! ∑ n = 1 ∞ 10 n x n n !
∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n x n ln ( 2 n ) ∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n x n ln ( 2 n )
In the following exercises, find the radius of convergence of each series.
∑ k = 1 ∞ ( k ! ) 2 x k ( 2 k ) ! ∑ k = 1 ∞ ( k ! ) 2 x k ( 2 k ) !
∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! x n n 2 n ∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! x n n 2 n
∑ k = 1 ∞ k ! 1 · 3 · 5 ⋯ ( 2 k − 1 ) x k ∑ k = 1 ∞ k ! 1 · 3 · 5 ⋯ ( 2 k − 1 ) x k
∑ k = 1 ∞ 2 · 4 · 6 ⋯ 2 k ( 2 k ) ! x k ∑ k = 1 ∞ 2 · 4 · 6 ⋯ 2 k ( 2 k ) ! x k
∑n=1∞xn(2nn)∑n=1∞xn(2nn) where (nk)=n!k!(n−k)!(nk)=n!k!(n−k)!
∑ n = 1 ∞ sin 2 n x n ∑ n = 1 ∞ sin 2 n x n
In the following exercises, use the ratio test to determine the radius of convergence of each series.
∑ n = 1 ∞ ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! x n ∑ n = 1 ∞ ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! x n
∑ n = 1 ∞ 2 3 n ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! x n ∑ n = 1 ∞ 2 3 n ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! x n
∑ n = 1 ∞ n ! n n x n ∑ n = 1 ∞ n ! n n x n
∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! n 2 n x n ∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! n 2 n x n
In the following exercises, given that 11−x=∑n=0∞xn11−x=∑n=0∞xn with convergence in (−1,1),(−1,1), find the power series for each function with the given center a, and identify its interval of convergence.
f(x)=1x;a=1f(x)=1x;a=1 (Hint: 1x=11−(1−x))1x=11−(1−x))
f ( x ) = 1 1 − x 2 ; a = 0 f ( x ) = 1 1 − x 2 ; a = 0
f ( x ) = x 1 − x 2 ; a = 0 f ( x ) = x 1 − x 2 ; a = 0
f ( x ) = 1 1 + x 2 ; a = 0 f ( x ) = 1 1 + x 2 ; a = 0
f ( x ) = x 2 1 + x 2 ; a = 0 f ( x ) = x 2 1 + x 2 ; a = 0
f ( x ) = 1 2 − x ; a = 1 f ( x ) = 1 2 − x ; a = 1
f ( x ) = 1 1 − 2 x ; a = 0 . f ( x ) = 1 1 − 2 x ; a = 0 .
f ( x ) = 1 1 − 4 x 2 ; a = 0 f ( x ) = 1 1 − 4 x 2 ; a = 0
f ( x ) = x 2 1 − 4 x 2 ; a = 0 f ( x ) = x 2 1 − 4 x 2 ; a = 0
f ( x ) = x 2 5 − 4 x + x 2 ; a = 2 f ( x ) = x 2 5 − 4 x + x 2 ; a = 2
Use the next exercise to find the radius of convergence of the given series in the subsequent exercises.
Explain why, if |an|1/n→r>0,|an|1/n→r>0, then |anxn|1/n→|x|r<1|anxn|1/n→|x|r<1 whenever |x|<1r|x|<1r and, therefore, the radius of convergence of ∑n=1∞anxn∑n=1∞anxn is R=1r.R=1r.
∑ n = 1 ∞ x n n n ∑ n = 1 ∞ x n n n
∑ k = 1 ∞ ( k − 1 2 k + 3 ) k x k ∑ k = 1 ∞ ( k − 1 2 k + 3 ) k x k
∑ k = 1 ∞ ( 2 k 2 − 1 k 2 + 3 ) k x k ∑ k = 1 ∞ ( 2 k 2 − 1 k 2 + 3 ) k x k
∑ n = 1 ∞ a n = ( n 1 / n − 1 ) n x n ∑ n = 1 ∞ a n = ( n 1 / n − 1 ) n x n
Suppose that p(x)=∑n=0∞anxnp(x)=∑n=0∞anxn such that an=0an=0 if n is even. Explain why p(x)=−p(−x).p(x)=−p(−x).
Suppose that p(x)=∑n=0∞anxnp(x)=∑n=0∞anxn such that an=0an=0 if n is odd. Explain why p(x)=p(−x).p(x)=p(−x).
Suppose that p(x)=∑n=0∞anxnp(x)=∑n=0∞anxn converges on (−1,1].(−1,1]. Find the interval of convergence of p(Ax).p(Ax).
Suppose that p(x)=∑n=0∞anxnp(x)=∑n=0∞anxn converges on (−1,1].(−1,1]. Find the interval of convergence of p(2x−1).p(2x−1).
In the following exercises, suppose that p(x)=∑n=0∞anxnp(x)=∑n=0∞anxn satisfies limn→∞an+1an=1limn→∞an+1an=1 where an≥0an≥0 for each n. State whether each series converges on the full interval (−1,1),(−1,1), or if there is not enough information to draw a conclusion. Use the comparison test when appropriate.
∑ n = 0 ∞ a n x 2 n ∑ n = 0 ∞ a n x 2 n
∑ n = 0 ∞ a 2 n x 2 n ∑ n = 0 ∞ a 2 n x 2 n
∑ n = 0 ∞ a 2 n x n ( H i n t : x = ± x 2 ) ∑ n = 0 ∞ a 2 n x n ( H i n t : x = ± x 2 )
∑n=0∞an2xn2∑n=0∞an2xn2 (Hint: Let bk=akbk=ak if k=n2k=n2 for some n, otherwise bk=0.)bk=0.)
Suppose that p(x)p(x) is a polynomial of degree N. Find the radius and interval of convergence of ∑n=1∞p(n)xn.∑n=1∞p(n)xn.
[T] Plot the graphs of 11−x11−x and of the partial sums SN=∑n=0NxnSN=∑n=0Nxn for n=10,20,30n=10,20,30 on the interval [−0.99,0.99].[−0.99,0.99]. Comment on the approximation of 11−x11−x by SNSN near x=−1x=−1 and near x=1x=1 as N increases.
[T] Plot the graphs of −ln(1−x)−ln(1−x) and of the partial sums SN=∑n=1NxnnSN=∑n=1Nxnn for n=10,50,100n=10,50,100 on the interval [−0.99,0.99].[−0.99,0.99]. Comment on the behavior of the sums near x=−1x=−1 and near x=1x=1 as N increases.
[T] Plot the graphs of the partial sums Sn=∑n=1Nxnn2Sn=∑n=1Nxnn2 for n=10,50,100n=10,50,100 on the interval [−0.99,0.99].[−0.99,0.99]. Comment on the behavior of the sums near x=−1x=−1 and near x=1x=1 as N increases.
[T] Plot the graphs of the partial sums SN=∑n=1NsinnxnSN=∑n=1Nsinnxn for n=10,50,100n=10,50,100 on the interval [−0.99,0.99].[−0.99,0.99]. Comment on the behavior of the sums near x=−1x=−1 and near x=1x=1 as N increases.
[T] Plot the graphs of the partial sums SN=∑n=0N(−1)nx2n+1(2n+1)!SN=∑n=0N(−1)nx2n+1(2n+1)! for n=3,5,10n=3,5,10 on the interval [−2π,2π].[−2π,2π]. Comment on how these plots approximate sinxsinx as N increases.
[T] Plot the graphs of the partial sums SN=∑n=0N(−1)nx2n(2n)!SN=∑n=0N(−1)nx2n(2n)! for n=3,5,10n=3,5,10 on the interval [−2π,2π].[−2π,2π]. Comment on how these plots approximate cosxcosx as N increases.