ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
6.2.1 ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਰਾਹੀਂ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ।
6.2.2 ਚਰ ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਜਾਂ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ, ਜਾਂ ਸਥਾਪਨਾ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਬਣਾਉਣਾ।
6.2.3 ਦੋ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ।
6.2.4 ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਪਦ-ਦਰ-ਪਦ ਵਿਭਿੰਨ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨਾ।
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਬਾਰੇ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਨਵੀਆਂ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਜੋੜਿਆ, ਵਿਭਿੰਨ ਕੀਤਾ ਜਾਂ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਮਰੱਥਾ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੁਝ ਕਾਰਨਾਂ ਕਰਕੇ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਕੁਝ ਪ੍ਰਾਇਮਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਕੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)=11−x,f(x)=11−x ਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ f′(x)=1(1−x)2.f′(x)=1(1−x)2 ਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜਾ, ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਸਾਨੂੰ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਇਮਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਇਹ ਸਮਰੱਥਾ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਪ੍ਰਾਇਮਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ
ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਕਨਵਰਜੈਂਸ ਵਾਲੀਆਂ ਦੋ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਨਵੀਂ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਦੋ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਵੀ ਉਹੀ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਨੂੰ x ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ m ਲਈ xmxm 'ਤੇ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਾ ਕੇ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਸਾਨੂੰ ਦੂਜੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ f(x)=11−x,f(x)=11−x ਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ
ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ, ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦੀ ਰਚਨਾ, ਅਤੇ ਚਰ ਦੇ ਘਾਤ ਨਾਲ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦੇ ਗੁਣਾ ਸੰਬੰਧੀ ਨਤੀਜੇ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ। ਸਰਲਤਾ ਲਈ, ਅਸੀਂ x=0.x=0 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ x=a.x=a 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਥਿਊਰਮ 6.2
ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਦੋ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ∑n=0∞cnxn∑n=0∞cnxn ਅਤੇ ∑n=0∞dnxn, ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਇੱਕ ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰਾਲ I 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਅਤੇ g ਨੂੰ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ∑n=0∞(cnxn±dnxn)∑n=0∞(cnxn±dnxn) I 'ਤੇ f±gf±g ਨੂੰ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ m≥0m≥0 ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ b ਲਈ, ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ∑n=0∞bxmcnxn∑n=0∞bxmcnxn I 'ਤੇ bxmf(x)bxmf(x) ਨੂੰ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ m≥0m≥0 ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ b ਲਈ, ਲੜੀ ∑n=0∞cn(bxm)n∑n=0∞cn(bxm)n ਸਾਰੇ x ਲਈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ bxmbxm, I ਵਿੱਚ ਹੈ, f(bxm)f(bxm) ਨੂੰ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਸਬੂਤ
ਅਸੀਂ ਲੜੀ ∑n=0∞(cnxn+dnxn).∑n=0∞(cnxn+dnxn) ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ i. ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ∑n=0∞cnxn∑n=0∞cnxn ਅਤੇ ∑n=0∞dnxn∑n=0∞dnxn, ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਅੰਤਰਾਲ I 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਅਤੇ g ਨੂੰ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ x, I ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ SN(x)SN(x) ਅਤੇ TN(x)TN(x) ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ∑n=0∞cnxn∑n=0∞cnxn ਅਤੇ ∑n=0∞dnxn,∑n=0∞dnxn ਲੜੀਆਂ ਦੇ Nਵੇਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਫਿਰ ਕ੍ਰਮ {SN(x)}{SN(x)} f(x)f(x) ਨੂੰ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕ੍ਰਮ {TN(x)}{TN(x)} g(x).g(x) ਨੂੰ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ∑n=0∞(cnxn+dnxn)∑n=0∞(cnxn+dnxn) ਦਾ Nਵਾਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਹੈ
ਕਿਉਂਕਿ
ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲੜੀ ∑n=0∞(cnxn+dnxn)∑n=0∞(cnxn+dnxn) I 'ਤੇ f(x)+g(x)f(x)+g(x) ਨੂੰ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ।
□
ਅਸੀਂ ਬਾਅਦ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਕਈ ਉਪਯੋਗ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਕਨਵਰਜੈਂਸ, ਇੱਕ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਕਨਵਰਜੈਂਸ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.4
ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ∑n=0∞anxn∑n=0∞anxn ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਕਨਵਰਜੈਂਸ (−1,1),(−1,1) ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ∑n=0∞bnxn∑n=0∞bnxn ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਕਨਵਰਜੈਂਸ (−2,2).(−2,2) ਹੈ।
ਸੰਮੇਸ਼ਨ ∑n=0∞(anxn+bnxn) ਦੇ ਸੰਮੇਸ਼ਨ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸੰਮੇਸ਼ਨ ∑n=0∞an3nxn ਦੇ ਸੰਮੇਸ਼ਨ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਅੰਤਰਾਲ (−1,1) ਸੰਮੇਸ਼ਨ ∑n=0∞anxn ਅਤੇ ∑n=0∞bnxn ਦਾ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਸੰਮੇਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੰਮੇਸ਼ਨ ∑n=0∞(anxn+bnxn) ਦਾ ਸੰਮੇਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ (−1,1) ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ∑n=0∞anxn ਸਿਫ਼ਰ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਘਾਤ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸੰਮੇਸ਼ਨ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ 1 ਹੈ, ਇਹ ਅੰਤਰਾਲ (−1,1) ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ ਸੰਮੇਲਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਘਾਤ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਲੜੀ ∑n=0∞an3nxn=∑n=0∞an(3x)n ਉਦੋਂ ਸੰਮੇਲਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ 3x ਅੰਤਰਾਲ (−1,1) ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਲੜੀ ਅੰਤਰਾਲ (−1/3,1/3) ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ ਸੰਮੇਲਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.4
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ∑n=0∞anxn ਦਾ ਸੰਮੇਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ (−1,1) ਹੈ। ∑n=0∞an(x2)n ਦੇ ਸੰਮੇਸ਼ਨ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘਾਤ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ ਘਾਤ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਘਾਤ ਲੜੀਆਂ ਕਿਵੇਂ ਬਣਾਈਆਂ ਜਾਣ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=1/(1−x) ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
|x|<1 ਲਈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.5
ਜਾਣੀਆਂ-ਪਛਾਣੀਆਂ ਘਾਤ ਲੜੀਆਂ ਤੋਂ ਘਾਤ ਲੜੀਆਂ ਬਣਾਉਣਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਘਾਤ ਲੜੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ f(x)=1/(1−x) ਲਈ ਘਾਤ ਲੜੀ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਨੂੰ ਘਾਤ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਵਰਤੋਂ। ਘਾਤ ਲੜੀ ਦੇ ਸੰਮੇਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
f(x)=3x/(1+x2)
f(x)=1/((x−1)(x−3))
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ f(x) ਨੂੰ f(x)=3x(1/(1−(−x2))) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। f(x)=1/(1−x) ਲਈ ਘਾਤ ਲੜੀ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਅਤੇ ਘਾਤ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਭਾਗ ii. ਅਤੇ iii. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f ਲਈ ਇੱਕ ਘਾਤ ਲੜੀ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ∑n=0∞3x(−x2)n=∑n=0∞3(−1)nx2n+1 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ 1/(1−x) ਲਈ ਲੜੀ ਦਾ ਸੰਮੇਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ (−1,1) ਹੈ, ਇਸ ਨਵੀਂ ਲੜੀ ਦਾ ਸੰਮੇਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ x ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ |x2|<1। ਇਸ ਲਈ, ਸੰਮੇਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ (−1,1) ਹੈ।
ਘਾਤ ਲੜੀ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਲੱਭਣ ਲਈ, f(x)=1/((x−1)(x−3)) ਨੂੰ ਦੋ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣ ਲਈ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ 1/((x−1)(x−3))=−1/(2(x−1))+1/(2(x−3))=1/(2(1−x))−1/(2(3−x))=1/(2(1−x))−1/(6(1−x/3)) ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਘਾਤ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਭਾਗ ii. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ 1/(2(1−x))=∑n=0∞(1/2)xn ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ |x|<1। ਫਿਰ, ਘਾਤ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਭਾਗ ii. ਅਤੇ iii. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ 1/(6(1−x/3))=∑n=0∞(1/6)(x/3)n ਹੈ ਜਦੋਂ |x|<3। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਘਾਤ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅੰਤਰ ਦਾ ਸੰਮੇਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਛੋਟਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੱਥ ਅਤੇ ਘਾਤ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਭਾਗ i. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ 1/((x−1)(x−3))=∑n=0∞(1/2−1/(6·3n))xn ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸੰਮੇਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ (−1,1) ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.5
|x|<1 'ਤੇ f(x)=1/(1−x) ਲਈ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ 1/((1−x)(x−2)) ਲਈ ਇੱਕ ਲੜੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਰੋ। ਸੰਮੇਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.5 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਘਾਤ ਲੜੀਆਂ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 6.6 ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਉਲਟਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਇੱਕ ਘਾਤ ਲੜੀ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਕਿਹੜਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.6
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਘਾਤ ਲੜੀ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
ਘਾਤ ਲੜੀ ∑n=0∞2nxn 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਸ ਲੜੀ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਲੜੀ ਦੇ ਸੰਮੇਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
1. ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਲੜੀ ਨੂੰ ਲਿਖਣਾ
ਅਸੀਂ ਇਸ ਲੜੀ ਨੂੰ ਇਸ ਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਹੈ, ਲੜੀ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਜੇਕਰ |2x|<1 ਹੋਵੇ। ਇਸ ਲਈ, ਕਨਵਰਜੈਂਸ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ (−1/2, 1/2) ਹੈ।
ਚੌਕੀ 6.6
1. ∑n=0∞13nxn. ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਲੱਭੋ। ਇਸਦੇ ਕਨਵਰਜੈਂਸ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
1. ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਲਾਟਰੀ ਜਿੱਤਣ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਰਕਮਾਂ ਬਾਰੇ ਪੁੱਛੇ ਗਏ ਸਵਾਲਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਹਨਾਂ ਸਵਾਲਾਂ 'ਤੇ ਮੁੜ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅੱਜ ਇੱਕਮੁਸ਼ਤ ਭੁਗਤਾਨ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਵਿੱਚ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਭੁਗਤਾਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲੜੀ (series) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਗਣਨਾ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਭਵਿੱਖੀ ਭੁਗਤਾਨ ਅੱਜ ਦੇ ਡਾਲਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਮੁੱਲਵਾਨ ਹਨ, ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਜਿੱਤੀ ਹੋਈ ਰਕਮ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਅਤੇ ਵਿਆਜ ਕਮਾਉਣ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਹੈ। ਅੱਜ ਦੇ ਡਾਲਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਭਵਿੱਖੀ ਭੁਗਤਾਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਭੁਗਤਾਨਾਂ ਦਾ ਮੌਜੂਦਾ ਮੁੱਲ (present value) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
1. ਉਦਾਹਰਨ 6.7
1. ਭਵਿੱਖੀ ਜਿੱਤਾਂ ਦਾ ਵਰਤਮਾਨ ਮੁੱਲ
6.4 ਚਿੱਤਰ: (ਸਿਹਰਾ: ਰਾਬਰਟ ਹਫਸਟਟਰ, ਫਲਿੱਕਰ ਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ)
1. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਲਾਟਰੀ ਜਿੱਤਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਤਿੰਨ ਵਿਕਲਪ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ: (1) ਅੱਜ 20 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ; (2) ਅਗਲੇ 20 ਸਾਲਾਂ ਦੌਰਾਨ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 1.5 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ; ਜਾਂ (3) ਅਨੰਤ ਕਾਲ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 1 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ (ਜੋ ਤੁਹਾਡੇ ਵਾਰਸਾਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇਗਾ)। ਜੇਕਰ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ 5% ਮੰਨੀ ਜਾਵੇ ਤਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਸੌਦਾ ਕਿਹੜਾ ਹੈ? ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਰਾਹੀਂ ਇਸ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
20 ਸਾਲਾਂ ਦੌਰਾਨ ਸਲਾਨਾ 5% ਵਿਆਜ ਦਰ ਮੰਨ ਕੇ, ਅੱਜ ਦੇ ਡਾਲਰਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਅਨੁਸਾਰ, ਸਾਲਾਨਾ ਪ੍ਰਾਪਤ 1.5 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿੰਨਾ ਹੈ?
1. ਅਗਲੇ n ਸਾਲਾਂ ਦੌਰਾਨ ਹਰ ਸਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ C ਡਾਲਰ ਦੀਆਂ ਅਦਾਇਗੀਆਂ ਦੇ ਮੌਜੂਦਾ ਮੁੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਸੂਤਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਭਾਗ (a) ਦੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਔਸਤ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ r ਮੰਨ ਕੇ।
1. ਸਾਲਾਨਾ C ਡਾਲਰ ਦੀਆਂ ਅਦਾਇਗੀਆਂ ਅਨੰਤ ਕਾਲ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰਹਿਣ, ਔਸਤ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ r ਮੰਨ ਕੇ, ਵਰਤਮਾਨ ਮੁੱਲ ਦਾ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਲੱਭੋ।
1. ਇੱਕ ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਜੋ ਕਿ ਅਨੰਤ ਕਾਲ ਤੱਕ ਸਾਲਾਨਾ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣਗੇ, ਉਸਦਾ ਵਰਤਮਾਨ ਮੁੱਲ, ਭਾਗ (c) ਦੇ ਉੱਤਰ ਅਨੁਸਾਰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
1. ਮਨੁੱਖੀ ਮਨ ਦੀਆਂ ਗਹਿਰਾਈਆਂ ਵਿੱਚ, ਜਿੱਥੇ ਸੱਚਾਈ ਅਤੇ ਭਰਮ ਇਕੱਠੇ ਵਸਦੇ ਹਨ, ਉੱਥੇ ਹੀ ਸੱਚਾਈ ਦਾ ਅਸਲੀ ਰੂਪ ਲੁਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮਝ ਲੈਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਆਪਣੇ ਅੰਦਰਲੇ ਸੱਚ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਲੈਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਉਹ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਸਾਰੀਆਂ ਬੰਦਸ਼ਾਂ ਤੋਂ ਮੁਕਤ ਕਰ ਲੈਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਗਿਆਨ, ਜੋ ਕਿ ਆਤਮ-ਸਾਖਿਆਤਕਾਰ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਪਵਿੱਤਰ ਹੈ।
1. ਨਿਬੇੜਾ
ਪਹਿਲੇ ਸਾਲ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ 1.5 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਦੇ ਭੁਗਤਾਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਅੱਜ, ਇੱਕ ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਉਹ ਭੁਗਤਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਉਸ ਪੈਸੇ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਅਤੇ 5% ਵਿਆਜ ਕਮਾ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਇਸ ਲਈ, ਉਸ ਪੈਸੇ ਦਾ ਮੌਜੂਦਾ ਮੁੱਲ P1, P1(1+0.05)=1.5 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ P1 = 1.5 / 1.05 = $1.429 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਦੂਜੇ ਸਾਲ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ 1.5 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਦੇ ਭੁਗਤਾਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਅੱਜ ਉਹ ਭੁਗਤਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਉਸ ਪੈਸੇ ਦਾ ਦੋ ਸਾਲਾਂ ਲਈ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, 5% ਵਿਆਜ ਕਮਾ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਜੋ ਸਾਲਾਨਾ ਜਮ੍ਹਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਉਸ ਪੈਸੇ ਦਾ ਮੌਜੂਦਾ ਮੁੱਲ P2, P2(1+0.05)2 = 1.5 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ P2 = 1.5 / (1.05)2 = $1.361 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ। ਭਵਿੱਖ ਦੇ ਭੁਗਤਾਨਾਂ ਦਾ ਅੱਜ ਦਾ ਮੁੱਲ ਹਰੇਕ ਸਾਲਾਨਾ ਭੁਗਤਾਨ ਦੇ ਮੌਜੂਦਾ ਮੁੱਲਾਂ P1, P2, ..., P20 ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ। ਮੌਜੂਦਾ ਮੁੱਲ Pk, Pk = 1.5 / (1.05)k ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, P = 1.5/1.05 + 1.5/(1.05)2 + ... + 1.5/(1.05)20 = $18.693 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ।
1. ਭਾਗ (a) ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਿਆਂ, ਅਸੀਂ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ n ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦੌਰਾਨ ਸਾਲਾਨਾ C ਡਾਲਰਾਂ ਦਾ ਭੁਗਤਾਨ ਕੀਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਵਰਤਮਾਨ ਮੁੱਲ P, ਜੇਕਰ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ r ਮੰਨੀ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ P=C1+r+C(1+r)2+⋯+C(1+r)n ਡਾਲਰ ਹੈ।
b. ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਿਆਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਕਾਲ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰਹਿਣ ਵਾਲੀ ਐਨੂਇਟੀ ਦਾ ਮੌਜੂਦਾ ਮੁੱਲ ਅਨੰਤ ਲੜੀ P=∑n=0∞C(1+r)n+1 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਮੌਜੂਦਾ ਮੁੱਲ ਨੂੰ r ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤ ਲੜੀ ਵਜੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ |11+r|<1 ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਹੈ, ਉਸ ਸਮੇਂ ਤੱਕ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ r>0, ਇਹ ਲੜੀ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਲੜੀ ਨੂੰ P=C(1+r)∑n=0∞(11+r)n ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖਦਿਆਂ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਲੜੀ ਨੂੰ f(r)=11−(11+r)=1(r1+r)=1+rr ਦੇ ਘਾਤ ਲੜੀ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਐਨੂਇਟੀ ਦਾ ਮੌਜੂਦਾ ਮੁੱਲ P=C1+r·1+rr=Cr ਹੈ।
c. ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ C=1 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਦੀ ਮੌਜੂਦਾ ਕੀਮਤ P, ਜੋ ਕਿ ਹਰ ਸਾਲ ਅਨੰਤ ਕਾਲ ਤੱਕ ਦਿੱਤੀ ਜਾਣੀ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ r=0.05 ਮੰਨੀ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ P=1/0.05=20 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਹੈ।
ਭਾਗ (a) ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 20 ਸਾਲਾਂ ਦੌਰਾਨ 1.5 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਅੱਜ ਦੇ ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ 18.693 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਭਾਗ (d) ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਨੰਤ ਕਾਲ ਤੱਕ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 1 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਅੱਜ ਦੇ ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ 20 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅੱਜ 20 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਦੀ ਇੱਕਮੁਸ਼ਤ ਅਦਾਇਗੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਜਾਂ ਅਨੰਤ ਕਾਲ ਤੱਕ 1 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ, ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਮੌਜੂਦਾ ਮੁੱਲ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
1. ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ
ਅਸੀਂ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਨਵੀਆਂ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਵੀ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦੋ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਪ੍ਰਤੀਰੂਪ ਲੱਭਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ।
1. ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮਿਸਾਲ ਵਜੋਂ, ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ
ਅਤੇ
ਇਹ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਤਪਾਦ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ
ਗੁਣਾ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੁੱਖ ਨਤੀਜਾ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ, ਇਹ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਜੇ ∑n=0∞cnxn∑n=0∞cnxn ਅਤੇ ∑n=0∞dnxn∑n=0∞dnxn ਇੱਕ ਆਮ ਅੰਤਰਾਲ I 'ਤੇ ਇਕੱਠੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੀ ਲੜੀ ਵੀ ਅੰਤਰਾਲ I 'ਤੇ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 6.3
ਗੁਣਾ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ∑n=0∞cnxn∑n=0∞cnxn ਅਤੇ ∑n=0∞dnxn∑n=0∞dnxn ਇੱਕ ਆਮ ਅੰਤਰਾਲ I 'ਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ f ਅਤੇ g ਤੱਕ ਇਕੱਠੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ
ਫਿਰ
ਅਤੇ
ਲੜੀ ∑n=0∞enxn∑n=0∞enxn ਨੂੰ ਲੜੀ ∑n=0∞cnxn∑n=0∞cnxn ਅਤੇ ∑n=0∞dnxn.∑n=0∞dnxn ਦੇ ਕੌਸ਼ੀ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਸਬੂਤ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇਸ ਪਾਠ ਦੇ ਪੱਧਰ ਤੋਂ ਪਰੇ ਹੈ ਅਤੇ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਧੇਰੇ ਉੱਨਤ ਕੋਰਸ ਵਿੱਚ ਕਵਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਦੁਆਰਾ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ
ਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
ਉਦਾਹਰਨ 6.8
ਗੁਣਾ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ
ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
|x|<1|x|<1 ਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਨਾਲ
|x|<1|x|<1 ਲਈ f(x)=1(1−x)(1−x2)f(x)=1(1−x)(1−x2) ਲਈ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਅੰਤਰਾਲ (−1,1).(−1,1) 'ਤੇ।
ਹੱਲ
ਸਾਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ
ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗੁਣਨਫਲ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਕਿਉਂਕਿ y=11−xy=11−x ਅਤੇ y=11−x2y=11−x2 ਦੋਵਾਂ ਲਈ ਲੜੀ ਅੰਤਰਾਲ (−1,1),(−1,1) 'ਤੇ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਗੁਣਨਫਲ ਲਈ ਲੜੀ ਵੀ ਅੰਤਰਾਲ (−1,1).(−1,1) 'ਤੇ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.7
ਲੜੀ 11−x=∑n=0∞xn11−x=∑n=0∞xn ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ 1(1−x)(1−x).1(1−x)(1−x) ਲਈ ਇੱਕ ਲੜੀ ਬਣਾਓ।
ਗੁਣਾ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਅਤੇ ਏਕੀਕਰਨ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ
ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ∑n=0∞cnxn=c0+c1x+c2x2+⋯∑n=0∞cnxn=c0+c1x+c2x2+⋯ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਕੁਝ ਅੰਤਰਾਲ I 'ਤੇ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f ਇਸ ਲੜੀ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ f ਬਾਰੇ ਦੋ ਸਵਾਲਾਂ ਨੂੰ ਸੰਬੋਧਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।f.
Is ff differentiable, and if so, how do we determine the derivative f′?f′?
How do we evaluate the indefinite integral ∫f(x)dx?∫f(x)dx?
We know that, for a polynomial with a finite number of terms, we can evaluate the derivative by differentiating each term separately. Similarly, we can evaluate the indefinite integral by integrating each term separately. Here we show that we can do the same thing for convergent power series. That is, if
converges on some interval I, then
and
converges on I. As noted below, behavior at the endpoints of the interval must be investigated individually.
Evaluating the derivative and indefinite integral in this way is called term-by-term differentiation of a power series and term-by-term integration of a power series, respectively. The ability to differentiate and integrate power series term-by-term also allows us to use known power series representations to find power series representations for other functions. For example, given the power series for f(x)=11−x,f(x)=11−x, we can differentiate term-by-term to find the power series for f′(x)=1(1−x)2.f′(x)=1(1−x)2. Similarly, using the power series for g(x)=11+x,g(x)=11+x, we can integrate term-by-term to find the power series for G(x)=ln(1+x),G(x)=ln(1+x), an antiderivative of g. We show how to do this in Example 6.9 and Example 6.10. First, we state Term-by-Term Differentiation and Integration for Power Series, which provides the main result regarding differentiation and integration of power series.
Theorem 6.4
Term-by-Term Differentiation and Integration for Power Series
Suppose that the power series ∑n=0∞cn(x−a)n∑n=0∞cn(x−a)n converges on the interval (a−R,a+R)(a−R,a+R) for some R>0.R>0. Let f be the function defined by the series
for |x−a|<R.|x−a|<R. Then f is differentiable on the interval (a−R,a+R)(a−R,a+R) and we can find f′f′ by differentiating the series term-by-term:
for |x−a|<R.|x−a|<R. Also, to find ∫f(x)dx,∫f(x)dx, we can integrate the series term-by-term. The resulting series converges on (a−R,a+R),(a−R,a+R), and we have
for |x−a|<R.|x−a|<R.
The proof of this result is beyond the scope of the text and is omitted. Note that although Term-by-Term Differentiation and Integration for Power Series guarantees the same radius of convergence when a power series is differentiated or integrated term-by-term, it says nothing about what happens at the endpoints. It is possible that the differentiated and integrated power series have different behavior at the endpoints than does the original series. We see this behavior in the next examples.
Example 6.9
Differentiating Power Series
Use the power series representation f(x)=11−x=∑n=0∞xn=1+x+x2+x3+⋯f(x)=11−x=∑n=0∞xn=1+x+x2+x3+⋯ for |x|<1|x|<1 to find a power series representation for g(x)=1(1−x)2g(x)=1(1−x)2 on the interval (−1,1).(−1,1). Determine whether the resulting series converges at the endpoints.
Use the result of part a. to evaluate the sum of the series ∑n=0∞n+14n.∑n=0∞n+14n.
Solution
Since g(x)=1(1−x)2g(x)=1(1−x)2 is the derivative of f(x)=11−x,f(x)=11−x, we can find a power series representation for g by differentiating the power series for f term-by-term. The result is g(x)=1(1−x)2=ddx(11−x)=∑n=0∞ddx(xn)=ddx(1+x+x2+x3+⋯)=0+1+2x+3x2+4x3+⋯=∑n=0∞(n+1)xng(x)=1(1−x)2=ddx(11−x)=∑n=0∞ddx(xn)=ddx(1+x+x2+x3+⋯)=0+1+2x+3x2+4x3+⋯=∑n=0∞(n+1)xn for |x|<1.|x|<1. Term-by-Term Differentiation and Integration for Power Series does not guarantee anything about the behavior of this series at the endpoints. Testing the endpoints by using the divergence test, we find that the series diverges at both endpoints x=±1.x=±1. Note that this is the same result found in Example 6.8.
From part a. we know that ∑n=0∞(n+1)xn=1(1−x)2.∑n=0∞(n+1)xn=1(1−x)2. Therefore, ∑n=0∞n+14n=∑n=0∞(n+1)(14)n=1(1−14)2=1(34)2=169.∑n=0∞n+14n=∑n=0∞(n+1)(14)n=1(1−14)2=1(34)2=169.
Checkpoint 6.8
Differentiate the series 1(1−x)2=∑n=0∞(n+1)xn1(1−x)2=∑n=0∞(n+1)xn term-by-term to find a power series representation for 2(1−x)32(1−x)3 on the interval (−1,1).(−1,1).
Example 6.10
Integrating Power Series
For each of the following functions f, find a power series representation for f by integrating the power series for f′f′ and find its interval of convergence.
f(x)=ln(1+x)f(x)=ln(1+x)
f(x)=tan−1xf(x)=tan−1x
Solution
For f(x)=ln(1+x),f(x)=ln(1+x), the derivative is f′(x)=11+x.f′(x)=11+x. We know that 11+x=11−(−x)=∑n=0∞(−x)n=1−x+x2−x3+⋯11+x=11−(−x)=∑n=0∞(−x)n=1−x+x2−x3+⋯ for |x|<1.|x|<1. To find a power series for f(x)=ln(1+x),f(x)=ln(1+x), we integrate the series term-by-term. ∫f′(x)dx=∫(1−x+x2−x3+⋯)dx=C+x−x22+x33−x44+⋯∫f′(x)dx=∫(1−x+x2−x3+⋯)dx=C+x−x22+x33−x44+⋯ Since f(x)=ln(1+x)f(x)=ln(1+x) is an antiderivative of 11+x,11+x, it remains to solve for the constant C. Since ln(1+0)=0,ln(1+0)=0, we have C=0.C=0. Therefore, a power series representation for f(x)=ln(1+x)f(x)=ln(1+x) is ln(1+x)=x−x22+x33−x44+⋯=∑n=1∞(−1)n+1xnnln(1+x)=x−x22+x33−x44+⋯=∑n=1∞(−1)n+1xnn for |x|<1.|x|<1. Term-by-Term Differentiation and Integration for Power Series does not guarantee anything about the behavior of this power series at the endpoints. However, checking the endpoints, we find that at x=1x=1 the series is the alternating harmonic series, which converges. Also, at x=−1,x=−1, the series is the harmonic series, which diverges. It is important to note that, even though this series converges at x=1,x=1, Term-by-Term Differentiation and Integration for Power Series does not guarantee that the series actually converges to ln(2).ln(2). In fact, the series does converge to ln(2),ln(2), but showing this fact requires more advanced techniques. (Abel’s theorem, covered in more advanced texts, deals with this more technical point.) The interval of convergence is (−1,1].(−1,1].
The derivative of f(x)=tan−1xf(x)=tan−1x is f′(x)=11+x2.f′(x)=11+x2. We know that 11+x2=11−(−x2)=∑n=0∞(−x2)n=1−x2+x4−x6+⋯11+x2=11−(−x2)=∑n=0∞(−x2)n=1−x2+x4−x6+⋯ for |x|<1.|x|<1. To find a power series for f(x)=tan−1x,f(x)=tan−1x, we integrate this series term-by-term. ∫f′(x)dx=∫(1−x2+x4−x6+⋯)dx=C+x−x33+x55−x77+⋯∫f′(x)dx=∫(1−x2+x4−x6+⋯)dx=C+x−x33+x55−x77+⋯ Since tan−1(0)=0,tan−1(0)=0, we have C=0.C=0. Therefore, a power series representation for f(x)=tan−1xf(x)=tan−1x is tan−1x=x−x33+x55−x77+⋯=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1tan−1x=x−x33+x55−x77+⋯=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1 for |x|<1.|x|<1. Again, Term-by-Term Differentiation and Integration for Power Series does not guarantee anything about the convergence of this series at the endpoints. However, checking the endpoints and using the alternating series test, we find that the series converges at x=1x=1 and x=−1.x=−1. As discussed in part a., using Abel’s theorem, it can be shown that the series actually converges to tan−1(1)tan−1(1) and tan−1(−1)tan−1(−1) at x=1x=1 and x=−1,x=−1, respectively. Thus, the interval of convergence is [−1,1].[−1,1].
Checkpoint 6.9
Integrate the power series ln(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1xnnln(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1xnn term-by-term to evaluate ∫ln(1+x)dx.∫ln(1+x)dx.
Up to this point, we have shown several techniques for finding power series representations for functions. However, how do we know that these power series are unique? That is, given a function f and a power series for f at a, is it possible that there is a different power series for f at a that we could have found if we had used a different technique? The answer to this question is no. This fact should not seem surprising if we think of power series as polynomials with an infinite number of terms. Intuitively, if
for all values x in some open interval I about zero, then the coefficients cn should equal dn for n≥0.n≥0. We now state this result formally in Uniqueness of Power Series.
Theorem 6.5
Uniqueness of Power Series
Let ∑n=0∞cn(x−a)n∑n=0∞cn(x−a)n and ∑n=0∞dn(x−a)n∑n=0∞dn(x−a)n be two convergent power series such that
for all x in an open interval containing a. Then cn=dncn=dn for all n≥0.n≥0.
Proof
Let
Then f(a)=c0=d0.f(a)=c0=d0. By Term-by-Term Differentiation and Integration for Power Series, we can differentiate both series term-by-term. Therefore,
and thus, f′(a)=c1=d1.f′(a)=c1=d1. Similarly,
implies that f″(a)=2c2=2d2,f″(a)=2c2=2d2, and therefore, c2=d2.c2=d2. More generally, for any integer n≥0,f(n)(a)=n!cn=n!dn,n≥0,f(n)(a)=n!cn=n!dn, and consequently, cn=dncn=dn for all n≥0.n≥0.
□
In this section we have shown how to find power series representations for certain functions using various algebraic operations, differentiation, or integration. At this point, however, we are still limited as to the functions for which we can find power series representations. Next, we show how to find power series representations for many more functions by introducing Taylor series.
If f(x)=∑n=0∞xnn!f(x)=∑n=0∞xnn! and g(x)=∑n=0∞(−1)nxnn!,g(x)=∑n=0∞(−1)nxnn!, find the power series of 12(f(x)+g(x))12(f(x)+g(x)) and of 12(f(x)−g(x)).12(f(x)−g(x)).
If C(x)=∑n=0∞x2n(2n)!C(x)=∑n=0∞x2n(2n)! and S(x)=∑n=0∞x2n+1(2n+1)!,S(x)=∑n=0∞x2n+1(2n+1)!, find the power series of C(x)+S(x)C(x)+S(x) and of C(x)−S(x).C(x)−S(x).
In the following exercises, use partial fractions to find the power series of each function.
4 ( x − 3 ) ( x + 1 ) 4 ( x − 3 ) ( x + 1 )
3 ( x + 2 ) ( x − 1 ) 3 ( x + 2 ) ( x − 1 )
5 ( x 2 + 4 ) ( x 2 − 1 ) 5 ( x 2 + 4 ) ( x 2 − 1 )
30 ( x 2 + 1 ) ( x 2 − 9 ) 30 ( x 2 + 1 ) ( x 2 − 9 )
In the following exercises, express each series as a rational function.
∑ n = 1 ∞ 1 x n ∑ n = 1 ∞ 1 x n
∑ n = 1 ∞ 1 x 2 n ∑ n = 1 ∞ 1 x 2 n
∑ n = 1 ∞ 1 ( x − 3 ) 2 n − 1 ∑ n = 1 ∞ 1 ( x − 3 ) 2 n − 1
∑ n = 1 ∞ ( 1 ( x − 3 ) 2 n − 1 − 1 ( x − 2 ) 2 n − 1 ) ∑ n = 1 ∞ ( 1 ( x − 3 ) 2 n − 1 − 1 ( x − 2 ) 2 n − 1 )
The following exercises explore applications of annuities.
Calculate the present values P of an annuity in which $10,000 is to be paid out annually for a period of 20 years, assuming interest rates of r=0.03,r=0.05,r=0.03,r=0.05, and r=0.07.r=0.07.
Calculate the present values P of annuities in which $9,000 is to be paid out annually perpetually, assuming interest rates of r=0.03,r=0.05r=0.03,r=0.05 and r=0.07.r=0.07.
Calculate the annual payouts C to be given for 20 years on annuities having present value $100,000 assuming respective interest rates of r=0.03,r=0.05,r=0.03,r=0.05, and r=0.07.r=0.07.
Calculate the annual payouts C to be given perpetually on annuities having present value $100,000 assuming respective interest rates of r=0.03,r=0.05,r=0.03,r=0.05, and r=0.07.r=0.07.
Suppose that an annuity has a present value P=1million dollars.P=1million dollars. What interest rate r would allow for perpetual annual payouts of $50,000?
Suppose that an annuity has a present value P=10million dollars.P=10million dollars. What interest rate r would allow for perpetual annual payouts of $100,000?
In the following exercises, express the sum of each power series in terms of geometric series, and then express the sum as a rational function.
x+x2−x3+x4+x5−x6+⋯x+x2−x3+x4+x5−x6+⋯ (Hint: Group powers x3k, x3k−1,x3k−1, and x3k−2.)x3k−2.)
x+x2−x3−x4+x5+x6−x7−x8+⋯x+x2−x3−x4+x5+x6−x7−x8+⋯ (Hint: Group powers x4k, x4k−1,x4k−1, etc.)
x−x2−x3+x4−x5−x6+x7−⋯x−x2−x3+x4−x5−x6+x7−⋯ (Hint: Group powers x3k, x3k−1,x3k−1, and x3k−2.)x3k−2.)
x2+x24−x38+x416+x532−x664+⋯x2+x24−x38+x416+x532−x664+⋯ (Hint: Group powers (x2)3k,(x2)3k−1,(x2)3k,(x2)3k−1, and (x2)3k−2.)(x2)3k−2.)
In the following exercises, find the power series of f(x)g(x)f(x)g(x) given f and g as defined.
f ( x ) = 2 ∑ n = 0 ∞ x n , g ( x ) = ∑ n = 0 ∞ n x n f ( x ) = 2 ∑ n = 0 ∞ x n , g ( x ) = ∑ n = 0 ∞ n x n
f(x)=∑n=1∞xn,g(x)=∑n=1∞1nxn.f(x)=∑n=1∞xn,g(x)=∑n=1∞1nxn. Express the coefficients of f(x)g(x)f(x)g(x) in terms of Hn=∑k=1n1k.Hn=∑k=1n1k.
f ( x ) = g ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( x 2 ) n f ( x ) = g ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( x 2 ) n
f ( x ) = g ( x ) = ∑ n = 1 ∞ n x n f ( x ) = g ( x ) = ∑ n = 1 ∞ n x n
In the following exercises, differentiate the given series expansion of f term-by-term to obtain the corresponding series expansion for the derivative of f.
f ( x ) = 1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n x n f ( x ) = 1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n x n
f ( x ) = 1 1 − x 2 = ∑ n = 0 ∞ x 2 n f ( x ) = 1 1 − x 2 = ∑ n = 0 ∞ x 2 n
In the following exercises, integrate the given series expansion of ff term-by-term from zero to x to obtain the corresponding series expansion for the indefinite integral of f.f.
f ( x ) = 2 x ( 1 + x 2 ) 2 = ∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n ( 2 n ) x 2 n − 1 f ( x ) = 2 x ( 1 + x 2 ) 2 = ∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n ( 2 n ) x 2 n − 1
f ( x ) = 2 x 1 + x 2 = 2 ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n x 2 n + 1 f ( x ) = 2 x 1 + x 2 = 2 ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n x 2 n + 1
In the following exercises, evaluate each infinite series by identifying it as the value of a derivative or integral of geometric series.
Evaluate ∑n=1∞n2n∑n=1∞n2n as f′(12)f′(12) where f(x)=∑n=0∞xn.f(x)=∑n=0∞xn.
Evaluate ∑n=1∞n3n∑n=1∞n3n as f′(13)f′(13) where f(x)=∑n=0∞xn.f(x)=∑n=0∞xn.
Evaluate ∑n=2∞n(n−1)2n∑n=2∞n(n−1)2n as f″(12)f″(12) where f(x)=∑n=0∞xn.f(x)=∑n=0∞xn.
Evaluate ∑n=0∞(−1)n2n+1∑n=0∞(−1)n2n+1 as ∫01f(t)dt∫01f(t)dt where f(x)=∑n=0∞(−1)nx2n=11+x2.f(x)=∑n=0∞(−1)nx2n=11+x2.
In the following exercises, given that 11−x=∑n=0∞xn,11−x=∑n=0∞xn, use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.
f(x)=lnxf(x)=lnx centered at x=1x=1 (Hint: x=1−(1−x))x=1−(1−x))
ln(1−x)ln(1−x) at x=0x=0
ln(1−x2)ln(1−x2) at x=0x=0
f(x)=2x(1−x2)2f(x)=2x(1−x2)2 at x=0x=0
f(x)=tan−1(x2)f(x)=tan−1(x2) at x=0x=0
f(x)=ln(1+x2)f(x)=ln(1+x2) at x=0x=0
f(x)=∫0xlntdtf(x)=∫0xlntdt where ln(x)=∑n=1∞(−1)n−1(x−1)nnln(x)=∑n=1∞(−1)n−1(x−1)nn
[T] Evaluate the power series expansion ln(1+x)=∑n=1∞(−1)n−1xnnln(1+x)=∑n=1∞(−1)n−1xnn at x=1x=1 to show that ln(2)ln(2) is the sum of the alternating harmonic series. Use the alternating series test to determine how many terms of the sum are needed to estimate ln(2)ln(2) accurate to within 0.001, and find such an approximation.
[T] Subtract the infinite series of ln(1−x)ln(1−x) from ln(1+x)ln(1+x) to get a power series for ln(1+x1−x).ln(1+x1−x). Evaluate at x=13.x=13. What is the smallest N such that the Nth partial sum of this series approximates ln(2)ln(2) with an error less than 0.001?
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਦਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਮੁੱਢਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਜੋੜ ਦੇ ਅਭਿਸਰਨ ਦੇ ਘੇਰੇ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
2. ∑ k = 0 ∞ ( x k − x 2 k + 1 )
3. ∑ k = 1 ∞ x 3 k 6 k
4. ∑k=1∞(1+x2)−k y=11+x2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
5. ∑k=1∞2−kx y=2−x ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
6. ਦਰਸਾਓ ਕਿ, x3 ਅਤੇ y3 ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ, E(x)=∑n=0∞xnn! E(x+y)=E(x)E(y) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
7. E(x)=∑n=0∞xnn! ਲੜੀ ਨੂੰ ਪਦ-ਦਰ-ਪਦ ਅਵਕਲਿਤ ਕਰਕੇ ਦਰਸਾਓ ਕਿ E(x) ਇਸਦੇ ਅਵਕਲਜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
8. ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਜੇਕਰ f(x)=∑n=0∞anxn, ਸਮ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ, ਭਾਵ, ਜੇਕਰ n ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਹੈ ਤਾਂ an=0, ਤਾਂ F=∫0xf(t)dt ਟਾਂਕ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਜੇਕਰ f ਟਾਂਕ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ, ਤਾਂ F ਸਮ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ।
9. [T] ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਲੜੀ ∑n=0∞anxn ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ an, ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਸੰਬੰਧ an=an−1n+an−2n(n−1) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। a0=0 ਅਤੇ a1=1 ਲਈ, N=2,3,4,5 ਲਈ SN=∑n=0Nanxn ਦੇ ਜੋੜਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ [-1,1] ਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
10. [T] ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਲੜੀ ∑n=0∞anxn ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ an, ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਸੰਬੰਧ an=an−1n−an−2n(n−1) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। a0=1 ਅਤੇ a1=0 ਲਈ, N=2,3,4,5 ਲਈ SN=∑n=0Nanxn ਦੇ ਜੋੜਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ [-1,1] ਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
11. [T] ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਘਾਤ ਲੜੀ ਵਿਸਤਾਰ ln(1+x)=∑n=1∞(−1)n−1xnn, x=−1/2 ਤੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਕੇ ln(2) ਨੂੰ 1/1000 ਦੇ ਅੰਦਰ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਜੋੜ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਪਦ N ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ। ਸੰਗਤ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ∑n=1N(−1)n−1xnn ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
12. [T] ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਘਾਤ ਲੜੀ ਵਿਸਤਾਰ tan−1(x)=∑k=0∞(−1)kx2k+12k+1, x=1 ਤੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਕੇ tan−1(1)=π4 ਨੂੰ 1/1000 ਦੇ ਅੰਦਰ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਿਕਲਪਿਕ ਲੜੀ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਿੰਨੇ ਪਦ N ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ। ਸੰਗਤ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ∑k=0N(−1)kx2k+12k+1 ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
13. [T] ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ tan−1(13)=π6। (13) ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਮੰਨ ਕੇ, x=13 ਤੇ ਘਾਤ ਲੜੀ ਵਿਸਤਾਰ tan−1(x)=∑k=0∞(−1)kx2k+12k+1 ਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ SN(13) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਕੇ π6 ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। N ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਮੁੱਲ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ 6SN(13) π ਦਾ 0.001 ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਹੀ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ? 0.00001 ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਹੀ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਪਦਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ?