ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
6.3.1 ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਆਰਡਰ ਦੇ ਟੇਲਰ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
6.3.2 ਰਿਮਾਇੰਡਰ ਨਾਲ ਟੇਲਰ ਦੇ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਅਰਥ ਅਤੇ ਮਹੱਤਤਾ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
6.3.3 ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਅਪ੍ਰੋਕਸੀਮੇਸ਼ਨ ਲਈ ਰਿਮਾਇੰਡਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਪਿਛਲੇ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ––ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸੀਰੀਜ਼ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਫੰਕਸ਼ਨ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਹੋਰ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਵਾਲਾਂ ਨੂੰ ਸੰਬੋਧਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਕਿਹੜੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅਜਿਹੀਆਂ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ? ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਲਈ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸੀਰੀਜ਼ ਕਿਸੇ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਸਾਬਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੀਰੀਜ਼ ਅਸਲ ਵਿੱਚ $f$ ਵੱਲ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ?
ਟੇਲਰ/ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਸੀਰੀਜ਼ ਦਾ ਸੰਖੇਪ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਸਦੀ $x=a$ 'ਤੇ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ
ਗੁਣਾਂਕ ਕੀ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ? ਫਿਲਹਾਲ, ਅਸੀਂ ਕਨਵਰਜੈਂਸ ਦੇ ਮੁੱਦਿਆਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੀਰੀਜ਼ ਕੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਮੌਜੂਦ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਕਨਵਰਜੈਂਸ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਾਪਸ ਆਵਾਂਗੇ। ਜੇਕਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਸਮੀਕਰਨ 6.4 $x=a$ 'ਤੇ $f$ ਲਈ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਯਕੀਨੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੀਰੀਜ਼ $x=a$ 'ਤੇ $f(a)$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ। $x=a$ 'ਤੇ ਸੀਰੀਜ਼ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਸ ਲਈ, ਸੀਰੀਜ਼ $f(a)$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਜੇਕਰ ਗੁਣਾਂਕ $c_0=f(a)$ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ $x=a$ 'ਤੇ $f'(a)$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ। ਸਮੀਕਰਨ 6.4 ਨੂੰ ਟਰਮ-ਬਾਏ-ਟਰਮ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਸ ਲਈ, $x=a$ 'ਤੇ, ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ਸੀਰੀਜ਼ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ $f'(a)$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਜੇਕਰ ਗੁਣਾਂਕ $c_1=f'(a)$ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਗੁਣਾਂਕ $c_n$ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਸਮੀਕਰਨ 6.4 ਦੇ ਸਾਰੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ $x=a$ 'ਤੇ $f$ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਾਂ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹੋਣ। ਸਮੀਕਰਨ 6.4 ਦੇ ਦੂਜੇ ਅਤੇ ਤੀਜੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ
ਅਤੇ
ਇਸ ਲਈ, $x=a$ 'ਤੇ, ਦੂਜਾ ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ
ਅਤੇ
ਕ੍ਰਮਵਾਰ $f''(a)$ ਅਤੇ $f'''(a)$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਜੇਕਰ $c_2 = \frac{f''(a)}{2!}$ ਅਤੇ $c_3 = \frac{f'''(a)}{3!}$। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ $f$ ਦੀ $x=a$ 'ਤੇ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਣਾਂਕ $c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਭਾਵ, ਸੀਰੀਜ਼ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ
$f$ ਲਈ ਇਹ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ $f$ ਲਈ $a$ 'ਤੇ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਵਜੋਂ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ $a=0$, ਤਾਂ ਇਹ ਸੀਰੀਜ਼ $f$ ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਸੀਰੀਜ਼ ਵਜੋਂ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਜੇਕਰ $f$ ਦੀ $x=a$ 'ਤੇ ਸਾਰੇ ਆਰਡਰਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹਨ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਲਈ $a$ 'ਤੇ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੈ
$f$ ਲਈ $0$ 'ਤੇ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ $f$ ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਸੀਰੀਜ਼ ਵਜੋਂ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਲੱਭਣ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਸ਼ਰਤਾਂ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਅਧੀਨ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਉਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੱਲ ਕਨਵਰਜ ਕਰੇਗੀ। ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਤੀਜਾ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ। ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣਤਾ ਤੋਂ ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਵਿਲੱਖਣ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਦੀ $a$ 'ਤੇ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ $f$ ਲਈ $a$ 'ਤੇ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 6.6
ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣਤਾ
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਦੀ $a$ 'ਤੇ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੈ ਜੋ $a$ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ $f$ ਵੱਲ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ $f$ ਲਈ $a$ 'ਤੇ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੈ।
ਪ੍ਰਮਾਣ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣਤਾ ਤੋਂ ਸਿੱਧਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ।
ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਦੇ ਇਕਾਗਰਤਾ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਸਦੇ ਆਂਸ਼ਿਕ ਜੋੜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਵੇਖਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਇਹ ਆਂਸ਼ਿਕ ਜੋੜ ਸੀਮਤ ਬਹੁਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਮੈਕਟਿਊਟਰ ਹਿਸਟਰੀ ਆਫ ਮੈਥੇਮੈਟਿਕਸ ਆਰਕਾਈਵ 'ਤੇ ਜਾ ਕੇ ਬਰੂਕ ਟੇਲਰ ਅਤੇ ਕੌਲਿਨ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਦੀਆਂ ਸੰਖੇਪ ਜੀਵਨੀਆਂ ਪੜ੍ਹੋ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਆਪਣੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਰੱਖੇ ਗਏ ਸੰਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤਾ।
ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦ
ਇੱਕ ਫਲਨ f(x) 'ਤੇ a 'ਤੇ ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਦਾ n-ਵਾਂ ਆਂਸ਼ਿਕ ਜੋੜ, n-ਵੇਂ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਦੇ 0-ਵੇਂ, 1-ਵੇਂ, 2-ਵੇਂ, ਅਤੇ 3-ਵੇਂ ਆਂਸ਼ਿਕ ਜੋੜ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ:
ਕ੍ਰਮਵਾਰ। ਇਹ ਆਂਸ਼ਿਕ ਜੋੜ f(x) 'ਤੇ a, a ਦੇ 0-ਵੇਂ, 1-ਵੇਂ, 2-ਵੇਂ, ਅਤੇ 3-ਵੇਂ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦ ਵਜੋਂ ਜਾਣੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ a=0, ਤਾਂ ਇਹ ਬਹੁਪਦ f(x) ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਬਹੁਪਦ ਵਜੋਂ ਜਾਣੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਫਲਨ f(x) ਲਈ ਟੇਲਰ ਅਤੇ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਰਸਮੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਜੇਕਰ f(x) ਕੋਲ x=a 'ਤੇ n ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹਨ, ਤਾਂ a 'ਤੇ f(x) ਦਾ n-ਵਾਂ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦ ਹੈ:
0 'ਤੇ f(x) ਦਾ n-ਵਾਂ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦ, f(x) ਲਈ n-ਵੇਂ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਬਹੁਪਦ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x=1 'ਤੇ f(x)=lnx ਲਈ ਕਈ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭੇ ਜਾਣ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.11
ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦ ਲੱਭਣਾ
x=1 'ਤੇ f(x)=lnx ਲਈ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦ p0,p1,p2 ਅਤੇ p3 ਲੱਭੋ। f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਤੁਲਨਾ p0,p1,p2 ਅਤੇ p3 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨਾਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਹਨਾਂ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ x=1 'ਤੇ f(x) ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ,
y=f(x) ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 6.5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 6.5: ਫਲਨ y=lnx ਅਤੇ x=1 'ਤੇ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦ p0,p1,p2 ਅਤੇ p3 ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਪਲੋਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.10
x=1 'ਤੇ f(x)=1/x^2 ਲਈ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦ p0,p1,p2 ਅਤੇ p3 ਲੱਭੋ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ e^x, sinx, ਅਤੇ cosx ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਬਹੁਪਦ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭੇ ਜਾਣ, ਇਹ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਉੱਪਰ ਦੱਸੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਬਹੁਪਦ ਜ਼ੀਰੋ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.12
ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਬਹੁਪਦ ਲੱਭਣਾ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਫਲਨ ਲਈ, ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਬਹੁਪਦ p0,p1,p2 ਅਤੇ p3 ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲੱਭੋ। n-ਵੇਂ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਬਹੁਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਿਖੋ। p0,p1,p2 ਅਤੇ p3 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ f(x) ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
f(x)=exf(x)=ex
f(x)=sinxf(x)=sinx
f(x)=cosxf(x)=cosx
Solution
Since f(x)=ex,f(x)=ex, we know that f(x)=f′(x)=f″(x)=⋯=f(n)(x)=exf(x)=f′(x)=f″(x)=⋯=f(n)(x)=ex for all positive integers n. Therefore, f(0)=f′(0)=f″(0)=⋯=f(n)(0)=1f(0)=f′(0)=f″(0)=⋯=f(n)(0)=1 for all positive integers n. Therefore, we have p0(x)=f(0)=1,p1(x)=f(0)+f′(0)x=1+x,p2(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2=1+x+12x2,p3(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2x2+f‴(0)3!x3=1+x+12x2+13!x3,pn(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2x2+f‴(0)3!x3+⋯+f(n)(0)n!xn=1+x+x22!+x33!+⋯+xnn!=∑k=0nxkk!.p0(x)=f(0)=1,p1(x)=f(0)+f′(0)x=1+x,p2(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2=1+x+12x2,p3(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2x2+f‴(0)3!x3=1+x+12x2+13!x3,pn(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2x2+f‴(0)3!x3+⋯+f(n)(0)n!xn=1+x+x22!+x33!+⋯+xnn!=∑k=0nxkk!. The function and the first three Maclaurin polynomials are shown in Figure 6.6. Figure 6.6 The graph shows the function y=exy=ex and the Maclaurin polynomials p0,p1,p2p0,p1,p2 and p3.p3.
For f(x)=sinx,f(x)=sinx, the values of the function and its first four derivatives at x=0x=0 are given as follows: f(x)=sinxf(0)=0f′(x)=cosxf′(0)=1f″(x)=−sinxf″(0)=0f‴(x)=−cosxf‴(0)=−1f(4)(x)=sinxf(4)(0)=0.f(x)=sinxf(0)=0f′(x)=cosxf′(0)=1f″(x)=−sinxf″(0)=0f‴(x)=−cosxf‴(0)=−1f(4)(x)=sinxf(4)(0)=0. Since the fourth derivative is sinx,sinx, the pattern repeats. That is, f(2m)(0)=0f(2m)(0)=0 and f(2m+1)(0)=(−1)mf(2m+1)(0)=(−1)m for m≥0.m≥0. Thus, we have p0(x)=0,p1(x)=0+x=x,p2(x)=0+x+0=x,p3(x)=0+x+0−13!x3=x−x33!,p4(x)=0+x+0−13!x3+0=x−x33!,p5(x)=0+x+0−13!x3+0+15!x5=x−x33!+x55!,p0(x)=0,p1(x)=0+x=x,p2(x)=0+x+0=x,p3(x)=0+x+0−13!x3=x−x33!,p4(x)=0+x+0−13!x3+0=x−x33!,p5(x)=0+x+0−13!x3+0+15!x5=x−x33!+x55!, and for m≥0,m≥0, p2m+1(x)=p2m+2(x)=x−x33!+x55!−⋯+(−1)mx2m+1(2m+1)!=∑k=0m(−1)kx2k+1(2k+1)!.p2m+1(x)=p2m+2(x)=x−x33!+x55!−⋯+(−1)mx2m+1(2m+1)!=∑k=0m(−1)kx2k+1(2k+1)!. Graphs of the function and its Maclaurin polynomials are shown in Figure 6.7. Figure 6.7 The graph shows the function y=sinxy=sinx and the Maclaurin polynomials p1,p3p1,p3 and p5.p5.
For f(x)=cosx,f(x)=cosx, the values of the function and its first four derivatives at x=0x=0 are given as follows: f(x)=cosxf(0)=1f′(x)=−sinxf′(0)=0f″(x)=−cosxf″(0)=−1f‴(x)=sinxf‴(0)=0f(4)(x)=cosxf(4)(0)=1.f(x)=cosxf(0)=1f′(x)=−sinxf′(0)=0f″(x)=−cosxf″(0)=−1f‴(x)=sinxf‴(0)=0f(4)(x)=cosxf(4)(0)=1. Since the fourth derivative is cosx,cosx, the pattern repeats. In other words, f(2m)(0)=(−1)mf(2m)(0)=(−1)m and f(2m+1)=0f(2m+1)=0 for m≥0.m≥0. Therefore, p0(x)=1,p1(x)=1+0=1,p2(x)=1+0−12!x2=1−x22!,p3(x)=1+0−12!x2+0=1−x22!,p4(x)=1+0−12!x2+0+14!x4=1−x22!+x44!,p5(x)=1+0−12!x2+0+14!x4+0=1−x22!+x44!,p0(x)=1,p1(x)=1+0=1,p2(x)=1+0−12!x2=1−x22!,p3(x)=1+0−12!x2+0=1−x22!,p4(x)=1+0−12!x2+0+14!x4=1−x22!+x44!,p5(x)=1+0−12!x2+0+14!x4+0=1−x22!+x44!, and for n≥0,n≥0, p2m(x)=p2m+1(x)=1−x22!+x44!−⋯+(−1)mx2m(2m)!=∑k=0m(−1)kx2k(2k)!.p2m(x)=p2m+1(x)=1−x22!+x44!−⋯+(−1)mx2m(2m)!=∑k=0m(−1)kx2k(2k)!. Graphs of the function and the Maclaurin polynomials appear in Figure 6.8. Figure 6.8 The function y=cosxy=cosx and the Maclaurin polynomials p0,p2p0,p2 and p4p4 are plotted on this graph.
Checkpoint 6.11
Find formulas for the Maclaurin polynomials p0,p1,p2p0,p1,p2 and p3p3 for f(x)=11+x.f(x)=11+x. Find a formula for the nth Maclaurin polynomial. Write your answer using sigma notation.
Taylor’s Theorem with Remainder
Recall that the nth Taylor polynomial for a function ff at a is the nth partial sum of the Taylor series for ff at a. Therefore, to determine if the Taylor series converges, we need to determine whether the sequence of Taylor polynomials {pn}{pn} converges. However, not only do we want to know if the sequence of Taylor polynomials converges, we want to know if it converges to f.f. To answer this question, we define the remainder Rn(x)Rn(x) as
For the sequence of Taylor polynomials to converge to f,f, we need the remainder Rn to converge to zero. To determine if Rn converges to zero, we introduce Taylor’s theorem with remainder. Not only is this theorem useful in proving that a Taylor series converges to its related function, but it will also allow us to quantify how well the nth Taylor polynomial approximates the function.
Here we look for a bound on |Rn|.|Rn|. Consider the simplest case: n=0.n=0. Let p0 be the 0th Taylor polynomial at a for a function f.f. The remainder R0 satisfies
If ff is differentiable on an interval I containing a and x, then by the Mean Value Theorem there exists a real number c between a and x such that f(x)−f(a)=f′(c)(x−a).f(x)−f(a)=f′(c)(x−a). Therefore,
Using the Mean Value Theorem in a similar argument, we can show that if ff is n times differentiable on an interval I containing a and x, then the nth remainder Rn satisfies
for some real number c between a and x. It is important to note that the value c in the numerator above is not the center a, but rather an unknown value c between a and x. This formula allows us to get a bound on the remainder Rn. If we happen to know that |f(n+1)(x)||f(n+1)(x)| is bounded by some real number M on this interval I, then
for all x in the interval I.
We now state Taylor’s theorem, which provides the formal relationship between a function ff and its nth degree Taylor polynomial pn(x).pn(x). This theorem allows us to bound the error when using a Taylor polynomial to approximate a function value, and will be important in proving that a Taylor series for ff converges to f.f.
Theorem 6.7
Taylor’s Theorem with Remainder
Let ff be a function that can be differentiated n+1n+1 times on an interval I containing the real number a. Let pn be the nth Taylor polynomial of ff at a and let
be the nth remainder. Then for each x in the interval I, there exists a real number c between a and x such that
If there exists a real number M such that |f(n+1)(x)|≤M|f(n+1)(x)|≤M for all x∈I,x∈I, then
for all x in I.
ਸਬੂਤ
x∈I ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ x ਨੂੰ ਠੀਕ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ g ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪੇਸ਼ ਕਰੋ
ਅਸੀਂ ਦਾਅਵਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ g ਰੋਲ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ g ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ (t ਵਿੱਚ) ਹੈ, ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਭਿੰਨਤਾ ਯੋਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, g t=a ਅਤੇ t=x 'ਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ
ਇਸ ਲਈ, g ਰੋਲ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, a ਅਤੇ x ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ c ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ g′(c)=0। ਅਸੀਂ ਹੁਣ g′ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ,
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਟੈਲੀਸਕੋਪਿੰਗ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਰੋਲ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੁਆਰਾ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ a ਅਤੇ x ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ c ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ g′(c)=0। ਕਿਉਂਕਿ
ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ (n+1)(x-c)n (x-a)n+1 , (n+1)(x-c)n (x-a)n+1 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੱਥ ਤੋਂ, ਇਹ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕੋਈ M ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ I ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ |f(n+1)(x)|≤M|f(n+1)(x)|≤M ਹੈ, ਤਾਂ
□
ਟੇਲਰ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨਾ ਸਿਰਫ਼ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਬਲਕਿ ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਵੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ x=8 'ਤੇ f(x)=x3 ਦੇ ਰੇਖੀ ਅਤੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਅਨੁਮਾਨ 113.113 ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਸਟੀਕ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.13
ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਰੇਖੀ ਅਤੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x3 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
x=8 'ਤੇ f ਲਈ ਪਹਿਲੀ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਲੱਭੋ। x=8 ਦੇ ਨੇੜੇ f ਨਾਲ ਇਹਨਾਂ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
113.113 ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਗਲਤੀ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਨ ਲਈ ਟੇਲਰ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
f(x)=x3 ਲਈ, x=8 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੇ ਮੁੱਲ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹਨ: f(x)=x3f(8)=2f′(x)=13x2/3f′(8)=112f″(x)=−29x5/3f″(8)=−1144। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, x=8 'ਤੇ ਪਹਿਲੀ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦੀਆਂ p1(x)=f(8)+f′(8)(x−8)=2+112(x−8)p2(x)=f(8)+f′(8)(x−8)+f″(8)2!(x−8)2=2+112(x−8)−1288(x−8)2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਚਿੱਤਰ 6.9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 6.9 f(x)=x3 ਅਤੇ ਰੇਖੀ ਅਤੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਅਨੁਮਾਨਾਂ p1(x) ਅਤੇ p2(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ।
x=8 'ਤੇ ਪਹਿਲੀ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ 113≈p1(11)=2+112(11−8)=2.25 ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। x=8 'ਤੇ ਦੂਜੀ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ 113≈p2(11)=2+112(11−8)−1288(11−8)2=2.21875 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਬਾਕੀ ਦੇ ਨਾਲ ਟੇਲਰ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੁਆਰਾ, ਇੱਕ c ਅੰਤਰਾਲ (8,11) ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਪਹਿਲੀ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦੀ ਦੁਆਰਾ 113 ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵੇਲੇ ਬਾਕੀ R1(11)=f″(c)2!(11−8)2 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ c ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ (8,11) 'ਤੇ f″ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ R1(11) 'ਤੇ ਇੱਕ ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ f″(x)=−29x5/3, ਉਸ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ |f″(x)| ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਮੁੱਲ x=8 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ f″(8)=−1144, ਅਸੀਂ |R1(11)|≤1144·2!(11−8)2=0.03125 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, R2(11) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ R2(11)=f‴(c)3!(11−8)3। ਕਿਉਂਕਿ f‴(x)=1027x8/3, ਅੰਤਰਾਲ (8,11) 'ਤੇ f‴ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ f‴(8)≈0.0014468 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ |R2(11)|≤0.00114683!(11−8)3≈0.0065104 ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.12
x=4 'ਤੇ f(x)=x ਲਈ ਪਹਿਲੀ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਲੱਭੋ। 6.6 ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਗਲਤੀ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਨ ਲਈ ਟੇਲਰ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
6.14 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਸਾਈਨ x ਦਾ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਅਨੁਮਾਨ
ਮਿਸਾਲ 6.12b. ਤੋਂ, ਸਾਈਨ x ਸਾਈਨ x ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ
m=0,1,2,... ਲਈ
ਸਾਈਨ x ਸਾਈਨ x ਦੇ ਪੰਜਵੇਂ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਾਈਨ(π/18) ਸਾਈਨ(π/18) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ ਅਤੇ ਗਲਤੀ ਦੀ ਸੀਮਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
x ਦੇ ਕਿਹੜੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਪੰਜਵਾਂ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਸਾਈਨ x ਸਾਈਨ x ਦਾ 0.0001 ਤੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਪੰਜਵਾਂ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ p5(x)=x−x33!+x55! ਹੈ। ਇਸ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: sin(π/18)≈p5(π/18)=π/18−13!(π/18)3+15!(π/18)5≈0.173648। ਗਲਤੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਛੇਵਾਂ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ p6(x)=p5(x) ਹੈ ਅਤੇ R6(π/18) ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣਤਾ ਦੁਆਰਾ, ਬਾਕੀ R6(π/18)=f(7)(c)7!(π/18)7 ਹੈ, ਜਿੱਥੇ c 0 ਅਤੇ π/18 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ। ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ |f(7)(x)|≤1 ਸਾਰੇ x ਲਈ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗਲਤੀ ਦਾ ਮਾਪ 1/7!·(π/18)7≤9.8×10−10 ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਸਾਨੂੰ x ਦੇ ਉਹ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ 1/7!|x|7≤0.0001। ਇਸ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪੰਜਵਾਂ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ 0.0001 ਤੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ |x|<0.907।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.13
ਕੋਸ x ਕੋਸ x ਦੇ ਚੌਥੇ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੋਸ(π/12) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ Rn(x) ਦੀ ਸੀਮਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੀਮਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ a 'ਤੇ f ਦਾ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ f ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
ਟੇਲਰ ਅਤੇ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਸੀਰੀਜ਼ ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਲਈ ਕਨਵਰਜੈਂਸ ਦੇ ਮੁੱਦਿਆਂ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਕਨਵਰਜੈਂਸ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣਾ ਹੈ, ਇਹ ਦਿਖਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਮਿਸਾਲ 6.15
ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਲੱਭਣਾ
f(x)=1/x ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ x=1 'ਤੇ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਲੱਭੋ। ਕਨਵਰਜੈਂਸ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
f(x)=1/x ਲਈ, x=1 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੇ ਮੁੱਲ ਹਨ
ਭਾਵ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(n)(1)=(−1)nn! ਸਾਰੇ n≥0 ਲਈ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, x=1 'ਤੇ f ਲਈ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ
ਕਨਵਰਜੈਂਸ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਰੇਸ਼ੋ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਸ ਲਈ, ਸੀਰੀਜ਼ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜੇ |x−1|<1। ਭਾਵ, ਸੀਰੀਜ਼ 0<x<2 ਲਈ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਅੱਗੇ, ਸਾਨੂੰ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। x=2 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਡਾਈਵਰਜੈਂਸ ਟੈਸਟ ਦੁਆਰਾ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, x=0 'ਤੇ,
ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕਨਵਰਜੈਂਸ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ (0,2) ਹੈ।
6.14 ਪੜਾਅ
f(x)=12x ਲਈ x=2 'ਤੇ ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅਭਿਸਰਨ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਲੱਭੀ ਗਈ ਟੇਲਰ ਲੜੀ (0,2) ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਸਾਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਲੱਗੇਗਾ ਕਿ ਇਹ ਅਸਲ ਵਿੱਚ f ਤੱਕ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ? ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਸ਼ਨ 'ਤੇ ਥੋੜੀ ਹੋਰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦਾ ਉੱਤਰ ਲਿਖ ਕੇ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਭਾਵ, f ਨੂੰ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ∑n=0∞(1−x)n ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਹੈ, ਇਹ 1x ਤੱਕ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ |1−x|<1। ਇਸ ਲਈ, ਉਦਾਹਰਨ 6.15 ਵਿੱਚ ਲੱਭੀ ਗਈ ਟੇਲਰ ਲੜੀ f(x)=1x 'ਤੇ (0,2) 'ਤੇ f ਤੱਕ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਪ੍ਰਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਕਿਸੇ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਅਸਲ ਵਿੱਚ f ਤੱਕ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ? ਇਸ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦਾ ਉੱਤਰ ਦੇਣ ਲਈ, ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਕੋਈ ਲੜੀ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਜੇਕਰ ਇਸਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਉਸ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। a 'ਤੇ f ਲਈ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਟੇਲਰ ਲੜੀ, nth ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ nth ਟੇਲਰ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ pn ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਟੇਲਰ ਲੜੀ f ਤੱਕ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਕੀ
ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਕੀ Rn(x)=f(x)−pn(x), ਟੇਲਰ ਲੜੀ f ਤੱਕ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਜੇਕਰ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 6.8
ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਦਾ ਅਭਿਸਰਨ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f ਕੋਲ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ I 'ਤੇ ਸਾਰੇ ਆਰਡਰਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਫਿਰ ਟੇਲਰ ਲੜੀ
I ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ f(x) ਤੱਕ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਜੇਕਰ
I ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ।
ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਸਾਬਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ a 'ਤੇ f ਲਈ ਟੇਲਰ ਲੜੀ f ਤੱਕ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਾਬਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਾਕੀ Rn(x)→0। Rn(x)→0 ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੀਮਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਬਾਕੀ ਨਾਲ ਟੇਲਰ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਤੋਂ।
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ex ਅਤੇ sinx ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਲੜੀਆਂ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ ਲਈ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਤੱਕ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਕੇ ਕਿ ਬਾਕੀ Rn(x)→0 ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ x ਲਈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.16
ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਲੱਭਣਾ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅਭਿਸਰਨ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭੋ। ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ f ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਉਸ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ f ਤੱਕ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਬਾਕੀ ਨਾਲ ਟੇਲਰ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ex
sinx
ਹੱਲ
ਉਦਾਹਰਨ 6.12a. ਵਿੱਚ ਲੱਭੀ ਗਈ ex ਲਈ nth ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ex ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ∑n=0∞xnn! ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਅਭਿਸਰਨ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅਨੁਪਾਤ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ |an+1||an|=|x|n+1(n+1)!·n!|x|n=|x|n+1, ਸਾਡੇ ਕੋਲ limn→∞|an+1||an|=limn→∞|x|n+1=0 ਸਾਰੇ x ਲਈ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਲੜੀ ਸਾਰੇ x ਲਈ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਭਿਸਰਨ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ (−∞,∞) ਹੈ। ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਲੜੀ ਸਾਰੇ x ਲਈ ex ਤੱਕ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(n)(x)=ex ਸਾਰੇ n≥0 ਲਈ ਅਤੇ ex (−∞,∞) 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਧ ਰਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਨੰਬਰ b ਲਈ, ਸਾਰੇ |x|≤b ਲਈ ex ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ eb ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, |Rn(x)|≤eb(n+1)!|x|n+1। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਹੀ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ ਕਿ ∑n=0∞|x|nn! ਸਾਰੇ x ਲਈ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਭਿਸਰਨ ਟੈਸਟ ਦੁਆਰਾ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ limn→∞|x|n+1(n+1)!=0 ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਨੰਬਰ x ਲਈ। ਇਸ ਤੱਥ ਨੂੰ ਸਕਵੀਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਨਾਲ ਜੋੜ ਕੇ, ਨਤੀਜਾ limn→∞Rn(x)=0 ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.12b. ਵਿੱਚ ਲੱਭੀ ਗਈ sinx ਲਈ nth ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ sinx ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)! ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਅਨੁਪਾਤ ਟੈਸਟ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ, |an+1||an|=|x|2n+3(2n+3)!·(2n+1)!|x|2n+1=|x|2(2n+3)(2n+2) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ limn→∞|x|2(2n+3)(2n+2)=0 ਸਾਰੇ x ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅਭਿਸਰਨ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ (−∞,∞) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ sinx ਤੱਕ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, Rn(x) ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਹਰੇਕ x ਲਈ ਇੱਕ ਅਸਲ ਨੰਬਰ c ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ 0 ਅਤੇ x ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ Rn(x)=f(n+1)(c)(n+1)!xn+1। ਕਿਉਂਕਿ |f(n+1)(c)|≤1 ਸਾਰੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰ c ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ |Rn(x)|≤|x|n+1(n+1)! ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰ x ਲਈ ਹੈ। ਭਾਗ a. ਵਿੱਚ ਉਹੀ ਵਿਚਾਰ ਵਰਤ ਕੇ, ਨਤੀਜਾ limn→∞Rn(x)=0 ਸਾਰੇ x ਲਈ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ, sinx ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਸਾਰੇ ਅਸਲ x ਲਈ sinx ਤੱਕ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
6.15 ਪੜਾਅ
Find the Maclaurin series for f(x)=cosx.f(x)=cosx. Use the ratio test to show that the interval of convergence is (−∞,∞).(−∞,∞). Show that the Maclaurin series converges to cosxcosx for all real numbers x.
Student Project
Proving that e is Irrational
In this project, we use the Maclaurin polynomials for ex to prove that e is irrational. The proof relies on supposing that e is rational and arriving at a contradiction. Therefore, in the following steps, we suppose e=r/se=r/s for some integers r and s where s≠0.s≠0.
Write the Maclaurin polynomials p0(x),p1(x),p2(x),p3(x),p4(x)p0(x),p1(x),p2(x),p3(x),p4(x) for ex. Evaluate p0(1),p1(1),p2(1),p3(1),p4(1)p0(1),p1(1),p2(1),p3(1),p4(1) to estimate e.
Let Rn(x)Rn(x) denote the remainder when using pn(x)pn(x) to estimate ex. Therefore, Rn(x)=ex−pn(x),Rn(x)=ex−pn(x), and Rn(1)=e−pn(1).Rn(1)=e−pn(1). Assuming that e=rse=rs for integers r and s, evaluate R0(1),R1(1),R2(1),R3(1),R4(1).R0(1),R1(1),R2(1),R3(1),R4(1).
Using the results from part 2, show that for each remainder R0(1),R1(1),R2(1),R3(1),R4(1),R0(1),R1(1),R2(1),R3(1),R4(1), we can find an integer k such that kRn(1)kRn(1) is an integer for n=0,1,2,3,4.n=0,1,2,3,4.
Write down the formula for the nth Maclaurin polynomial pn(x)pn(x) for ex and the corresponding remainder Rn(x).Rn(x). Show that sn!Rn(1)sn!Rn(1) is an integer.
Use Taylor’s theorem to write down an explicit formula for Rn(1).Rn(1). Conclude that Rn(1)≠0,Rn(1)≠0, and therefore, sn!Rn(1)≠0.sn!Rn(1)≠0.
Use Taylor’s theorem to find an estimate on Rn(1).Rn(1). Use this estimate combined with the result from part 5 to show that |sn!Rn(1)|<sen+1.|sn!Rn(1)|<sen+1. Conclude that if n is large enough, then |sn!Rn(1)|<1.|sn!Rn(1)|<1. Therefore, sn!Rn(1)sn!Rn(1) is an integer with magnitude less than 1. Thus, sn!Rn(1)=0.sn!Rn(1)=0. But from part 5, we know that sn!Rn(1)≠0.sn!Rn(1)≠0. We have arrived at a contradiction, and consequently, the original supposition that e is rational must be false.
In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.
f(x)=1+x+x2f(x)=1+x+x2 at a=1a=1
f(x)=1+x+x2f(x)=1+x+x2 at a=−1a=−1
f(x)=cos(2x)f(x)=cos(2x) at a=πa=π
f(x)=sin(2x)f(x)=sin(2x) at a=π2a=π2
f(x)=xf(x)=x at a=4a=4
f(x)=lnxf(x)=lnx at a=1a=1
f(x)=1xf(x)=1x at a=1a=1
f(x)=exf(x)=ex at a=1a=1
In the following exercises, verify that the given choice of n in the remainder estimate |Rn|≤M(n+1)!(x−a)n+1,|Rn|≤M(n+1)!(x−a)n+1, where M is the maximum value of |f(n+1)(z)||f(n+1)(z)| on the interval between a and the indicated point, yields |Rn|≤11000.|Rn|≤11000. Find the value of the Taylor polynomial pn of ff at the indicated point. If RnRn is not less than 1/10001/1000, determine what it is.
[T] 10;a=9,n=310;a=9,n=3
[T] (28)1/3;a=27,n=1(28)1/3;a=27,n=1
[T] sin(6);a=2π,n=5sin(6);a=2π,n=5
[T] e2; a=0,n=9a=0,n=9
[T] cos(π5);a=0,n=4cos(π5);a=0,n=4
[T] ln(2);a=1,n=1000ln(2);a=1,n=1000
Integrate the approximation sint≈t−t36+t5120−t75040sint≈t−t36+t5120−t75040 evaluated at πt to approximate ∫01sinπtπtdt.∫01sinπtπtdt.
Integrate the approximation ex≈1+x+x22+⋯+x6720ex≈1+x+x22+⋯+x6720 evaluated at −x2 to approximate ∫01e−x2dx.∫01e−x2dx.
In the following exercises, find the smallest value of n such that the remainder estimate |Rn|≤M(n+1)!(x−a)n+1,|Rn|≤M(n+1)!(x−a)n+1, where M is the maximum value of |f(n+1)(z)||f(n+1)(z)| on the interval between a and the indicated point, yields |Rn|≤11000|Rn|≤11000 on the indicated interval.
f(x)=sinxf(x)=sinx on [−π,π],a=0[−π,π],a=0
f(x)=cosxf(x)=cosx on [−π2,π2],a=0[−π2,π2],a=0
f(x)=e−2xf(x)=e−2x on [−1,1],a=0[−1,1],a=0
f(x)=e−xf(x)=e−x on [−3,3],a=0[−3,3],a=0
In the following exercises, the maximum of the right-hand side of the remainder estimate |R1|≤max|f″(z)|2R2|R1|≤max|f″(z)|2R2 on [a−R,a+R][a−R,a+R] occurs at a or a±R.a±R. Estimate the maximum value of R such that max|f″(z)|2R2≤0.1max|f″(z)|2R2≤0.1 on [a−R,a+R][a−R,a+R] by plotting this maximum as a function of R.
[T] ex approximated by 1+x,a=01+x,a=0
[T] sinxsinx approximated by x, a=0a=0
[T] lnxlnx approximated by x−1,a=1x−1,a=1
[T] cosxcosx approximated by 1,a=01,a=0
In the following exercises, find the Taylor series of the given function centered at the indicated point.
x4x4 at a=−1a=−1
1+x+x2+x31+x+x2+x3 at a=−1a=−1
sinxsinx at a=πa=π
cosxcosx at a=2πa=2π
sinxsinx at x=π2x=π2
cosxcosx at x=π2x=π2
exex at a=−1a=−1
exex at a=1a=1
1(x−1)21(x−1)2 at a=0a=0 (Hint: Differentiate 11−x.)11−x.)
1(x−1)31(x−1)3 at a=0a=0
F(x)=∫0xcos(t)dt;f(t)=∑n=0∞(−1)ntn(2n)!F(x)=∫0xcos(t)dt;f(t)=∑n=0∞(−1)ntn(2n)! at a=0a=0 (Note: ff is the Taylor series of cos(t).)cos(t).)
In the following exercises, compute the Taylor series of each function around x=1.x=1.
f ( x ) = 2 − x f ( x ) = 2 − x
f ( x ) = x 3 f ( x ) = x 3
f ( x ) = ( x − 2 ) 2 f ( x ) = ( x − 2 ) 2
f ( x ) = ln x f ( x ) = ln x
f ( x ) = 1 x f ( x ) = 1 x
f ( x ) = 1 2 x − x 2 f ( x ) = 1 2 x − x 2
f ( x ) = x 4 x − 2 x 2 − 1 f ( x ) = x 4 x − 2 x 2 − 1
f ( x ) = e − x f ( x ) = e − x
f ( x ) = e 2 x f ( x ) = e 2 x
[T] In the following exercises, identify the value of x such that the given series ∑n=0∞an∑n=0∞an is the value of the Maclaurin series of f(x)f(x) at x.x. Approximate the value of f(x)f(x) using S10=∑n=010an.S10=∑n=010an.
∑ n = 0 ∞ 1 n ! ∑ n = 0 ∞ 1 n !
∑ n = 0 ∞ 2 n n ! ∑ n = 0 ∞ 2 n n !
∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n ( 2 π ) 2 n ( 2 n ) ! ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n ( 2 π ) 2 n ( 2 n ) !
∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n ( 2 π ) 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n ( 2 π ) 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !
The following exercises make use of the functions S5(x)=x−x36+x5120S5(x)=x−x36+x5120 and C4(x)=1−x22+x424C4(x)=1−x22+x424 on [−π,π].[−π,π].
[T] Plot sin2x−(S5(x))2sin2x−(S5(x))2 on [−π,π].[−π,π]. Compare the maximum difference with the square of the Taylor remainder estimate for sinx.sinx.
[T] Plot cos2x−(C4(x))2cos2x−(C4(x))2 on [−π,π].[−π,π]. Compare the maximum difference with the square of the Taylor remainder estimate for cosx.cosx.
[T] Plot |2S5(x)C4(x)−sin(2x)||2S5(x)C4(x)−sin(2x)| on [−π,π].[−π,π].
[T] Compare S5(x)C4(x)S5(x)C4(x) on [−1,1][−1,1] to tanx.tanx. Compare this with the Taylor remainder estimate for the approximation of tanxtanx by x+x33+2x515.x+x33+2x515.
[T] Plot ex−e4(x)ex−e4(x) where e4(x)=1+x+x22+x36+x424e4(x)=1+x+x22+x36+x424 on [0,2].[0,2]. Compare the maximum error with the Taylor remainder estimate.
(Taylor approximations and root finding.) Recall that Newton’s method xn+1=xn−f(xn)f′(xn)xn+1=xn−f(xn)f′(xn) approximates solutions of f(x)=0f(x)=0 near the input x0.x0.
If ff and gg are inverse functions, explain why a solution of g(x)=ag(x)=a is the value f(a)off.f(a)off.
Let pN(x)pN(x) be the NthNth degree Maclaurin polynomial of ex.ex. Use Newton’s method to approximate solutions of pN(x)−2=0pN(x)−2=0 for N=4,5,6.N=4,5,6.
Explain why the approximate roots of pN(x)−2=0pN(x)−2=0 are approximate values of ln(2).ln(2).
In the following exercises, use the fact that if q(x)=∑n=1∞an(x−c)nq(x)=∑n=1∞an(x−c)n converges in an interval containing c,c, then limx→cq(x)=a0limx→cq(x)=a0 to evaluate each limit using Taylor series.
lim x → 0 cos x − 1 x 2 lim x → 0 cos x − 1 x 2
lim x → 0 ln ( 1 − x 2 ) x 2 lim x → 0 ln ( 1 − x 2 ) x 2
lim x → 0 e x 2 − x 2 − 1 x 4 lim x → 0 e x 2 − x 2 − 1 x 4
lim x → 0 + cos ( x ) − 1 2 x lim x → 0 + cos ( x ) − 1 2 x