ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
6.4.1 ਦੋਪਦੀ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖੋ।
6.4.2 ਆਮ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਵਿਸਥਾਰ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ।
6.4.3 ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਲੱਭਣ ਦੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ ਅਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
6.4.4 ਅੰਤਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
6.4.5 ਗੈਰ-ਮੁੱਢਲੇ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਕਈ ਆਮ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਟੇਲਰ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭੀ ਜਾਵੇ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੂਜੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਉਨ੍ਹਾਂ ਟੇਲਰ ਲੜੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੀਆਂ ਦੋ ਆਮ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅੰਤਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਦੂਜਾ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਇੰਟੀਗਰੈਂਡ ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਮੁੱਢਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਤਾਂ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ∫e−x2dx,∫e−x2dx, ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਜੋ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਉਭਰਦਾ ਹੈ, 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋਪਦੀ ਲੜੀ
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਸਾਡਾ ਪਹਿਲਾ ਟੀਚਾ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=(1+x)rf(x)=(1+x)r ਲਈ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ r ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਲੜੀ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਕੇਸ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: rr ਇੱਕ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਯਾਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ, r=0,1,2,3,4,f(x)=(1+x)rr=0,1,2,3,4,f(x)=(1+x)r ਲਈ, ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਥਾਰ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ r,r ਲਈ, (1+x)r(1+x)r ਦੇ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ xnxn ਦਾ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅਤੇ
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, r=5,r=5 ਲਈ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਉਸ ਕੇਸ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਘਾਤ rr ਕੋਈ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕਿ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ rr ਇੱਕ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ f(x)=(1+x)rf(x)=(1+x)r ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਵਜੋਂ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ f.f ਲਈ ਇੱਕ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ f.f ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ff ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ x=0.x=0 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋਪਦੀ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾਂਕ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ
ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ rr ਇੱਕ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਤਾਂ (r+1)st(r+1)st ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f(r+1)f(r+1) ਸ਼ੁੱਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਲੜੀ ਸਮਾਪਤ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਜੇਕਰ rr ਇੱਕ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 6.8 ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 6.6 ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੋਪਦੀ ਲੜੀ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸੀਮਤ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਥਾਰ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 6.7 ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ r,r ਲਈ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ (1+x)r(1+x)r ਲਈ ਦੋਪਦੀ ਲੜੀ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਹੁਣ ਸਾਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਲੜੀ ਸਮੀਕਰਨ 6.9 ਦੇ convergence ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅਨੁਪਾਤ ਟੈਸਟ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਿੱਟੇ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਕਿਉਂਕਿ
ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੇਕਰ |x|<1,|x|<1, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋਪਦੀ ਲੜੀ ਲਈ convergence ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ (−1,1).(−1,1) ਹੈ। ਸਿਰਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਵਹਾਰ r.r 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ r≥0r≥0 ਲਈ ਲੜੀ ਦੋਵੇਂ ਸਿਰਿਆਂ 'ਤੇ converge ਕਰਦੀ ਹੈ; −1<r<0,−1<r<0 ਲਈ, ਲੜੀ x=1x=1 'ਤੇ converge ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ x=−1;x=−1 'ਤੇ diverge ਕਰਦੀ ਹੈ; ਅਤੇ r<−1,r<−1 ਲਈ, ਲੜੀ ਦੋਵੇਂ ਸਿਰਿਆਂ 'ਤੇ diverge ਕਰਦੀ ਹੈ। ਦੋਪਦੀ ਲੜੀ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ r,r ਲਈ (−1,1)(−1,1) ਵਿੱਚ (1+x)r(1+x)r ਤੱਕ converge ਕਰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਇਸ ਤੱਥ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ ਕਿ ਬਾਕੀ Rn(x)→0Rn(x)→0 ਹੈ, ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ r,r ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=(1+x)rf(x)=(1+x)r ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਦੋਪਦੀ ਲੜੀ ਹੈ। ਇਹ ff ਲਈ |x|<1,|x|<1 ਤੱਕ converge ਕਰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
|x|<1.|x|<1 ਲਈ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ f(x)=1+xf(x)=1+x ਲਈ ਦੋਪਦੀ ਲੜੀ ਲੱਭਣ ਅਤੇ 1.5.1.5 ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.17
Finding Binomial Series
Find the binomial series for f(x)=1+x.f(x)=1+x.
Use the third-order Maclaurin polynomial p3(x)p3(x) to estimate 1.5.1.5. Use Taylor’s theorem to bound the error. Use a graphing utility to compare the graphs of ff and p3.p3.
Solution
Here r=12.r=12. Using the definition for the binomial series, we obtain 1+x=1+12x+(1/2)(−1/2)2!x2+(1/2)(−1/2)(−3/2)3!x3+⋯=1+12x−12!122x2+13!1·323x3−⋯+(−1)n+1n!1·3·5⋯(2n−3)2nxn+⋯=1+∑n=1∞(−1)n+1n!1·3·5⋯(2n−3)2nxn.1+x=1+12x+(1/2)(−1/2)2!x2+(1/2)(−1/2)(−3/2)3!x3+⋯=1+12x−12!122x2+13!1·323x3−⋯+(−1)n+1n!1·3·5⋯(2n−3)2nxn+⋯=1+∑n=1∞(−1)n+1n!1·3·5⋯(2n−3)2nxn.
From the result in part a. the third-order Maclaurin polynomial is p3(x)=1+12x−18x2+116x3.p3(x)=1+12x−18x2+116x3. Therefore, 1.5=1+0.5≈1+12(0.5)−18(0.5)2+116(0.5)3≈1.2266.1.5=1+0.5≈1+12(0.5)−18(0.5)2+116(0.5)3≈1.2266. From Taylor’s theorem, the error satisfies R3(0.5)=f(4)(c)4!(0.5)4R3(0.5)=f(4)(c)4!(0.5)4 for some cc between 00 and 0.5.0.5. Since f(4)(x)=−1524(1+x)7/2,f(4)(x)=−1524(1+x)7/2, and the maximum value of |f(4)(x)||f(4)(x)| on the interval (0,0.5)(0,0.5) occurs at x=0,x=0, we have |R3(0.5)|≤154!24(0.5)4≈0.00244.|R3(0.5)|≤154!24(0.5)4≈0.00244. The function and the Maclaurin polynomial p3p3 are graphed in Figure 6.10. Figure 6.10 The third-order Maclaurin polynomial p3(x)p3(x) provides a good approximation for f(x)=1+xf(x)=1+x for xx near zero.
Checkpoint 6.16
Find the binomial series for f(x)=1(1+x)2.f(x)=1(1+x)2.
Common Functions Expressed as Taylor Series
At this point, we have derived Maclaurin series for exponential, trigonometric, and logarithmic functions, as well as functions of the form f(x)=(1+x)r.f(x)=(1+x)r. In Table 6.1, we summarize the results of these series. We remark that the convergence of the Maclaurin series for f(x)=ln(1+x)f(x)=ln(1+x) at the endpoint x=1x=1 and the Maclaurin series for f(x)=tan−1xf(x)=tan−1x at the endpoints x=1x=1 and x=−1x=−1 relies on a more advanced theorem than we present here. (Refer to Abel’s theorem for a discussion of this more technical point.)
row: Function | Maclaurin Series | Interval of Convergence
row: f(x)=11−xf(x)=11−x | ∑n=0∞xn∑n=0∞xn | −1<x<1−1<x<1
row: f(x)=exf(x)=ex | ∑n=0∞xnn!∑n=0∞xnn! | −∞<x<∞−∞<x<∞
row: f(x)=sinxf(x)=sinx | ∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)! | −∞<x<∞−∞<x<∞
row: f(x)=cosxf(x)=cosx | ∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!∑n=0∞(−1)nx2n(2n)! | −∞<x<∞−∞<x<∞
row: f(x)=ln(1+x)f(x)=ln(1+x) | ∑n=1∞(−1)n+1xnn∑n=1∞(−1)n+1xnn | −1<x≤1−1<x≤1
row: f(x)=tan−1xf(x)=tan−1x | ∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1 | −1≤x≤1−1≤x≤1
row: f(x)=(1+x)rf(x)=(1+x)r | ∑n=0∞(rn)xn∑n=0∞(rn)xn | −1<x<1−1<x<1
Earlier in the chapter, we showed how you could combine power series to create new power series. Here we use these properties, combined with the Maclaurin series in Table 6.1, to create Maclaurin series for other functions.
Example 6.18
Deriving Maclaurin Series from Known Series
Find the Maclaurin series of each of the following functions by using one of the series listed in Table 6.1.
f(x)=cosxf(x)=cosx
f(x)=sinhxf(x)=sinhx
ਹੱਲ
cos x cos x ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ cos x cos x ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ∑n=0∞(−1)n(x)2n(2n)!=∑n=0∞(−1)nxn(2n)!=1−x2!+x24!−x36!+x48!−⋯.∑n=0∞(−1)n(x)2n(2n)!=∑n=0∞(−1)nxn(2n)!=1−x2!+x24!−x36!+x48!−⋯. ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਇਹ ਲੜੀ cos x cos x ਲਈ convergence ਕਰਦੀ ਹੈ, cos x ਦੇ domain ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ; ਭਾਵ, ਸਾਰੇ x≥0.x≥0 ਲਈ।
sinh x ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ sinh x = ex − e−x2। ex ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ sinh x ਲਈ nਵੇਂ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਵਿੱਚ nਵਾਂ ਪਦ xn/n! − (−x)n/n! ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। n ਸਮ ਲਈ, ਇਹ ਪਦ ਸਿਫਰ ਹੈ। n ਵਿਸ਼ਮ ਲਈ, ਇਹ ਪਦ 2xn/n! ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, sinh x ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਕੇਵਲ ਵਿਸ਼ਮ-ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇਹ ∑n=0∞x2n+1/(2n+1)! = x + x3/3! + x5/5! + ⋯ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.17
sin(x2) ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਲੱਭੋ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਵੀ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਨਵੀਂ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਟਰਮ-ਬਾਏ-ਟਰਮ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6.19 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ 1/(1+x) ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸੀਰੀਜ਼ ਲੱਭਣ ਲਈ 1+x ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸੀਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਟਰਮ-ਬਾਏ-ਟਰਮ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ 1/(1+x) ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸੀਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਸਿੱਧੇ ਨਿਰਮਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ 1+x ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸੀਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਆਸਾਨ ਗਣਨਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.19
ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਸੀਰੀਜ਼ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸੀਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰਨਾ
1/(1+x) ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸੀਰੀਜ਼ ਲੱਭਣ ਲਈ 1+x ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਤ ਹਨ
ਇਸ ਲਈ 1/(1+x) ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸੀਰੀਜ਼ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.18
f(x)=1/(1+x)3/2 ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸੀਰੀਜ਼ ਲੱਭੋ
ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕੀਤਾ। ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਟਰਮ-ਬਾਏ-ਟਰਮ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਾਧਨ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਨਾਲ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਪਹਿਲੇ-ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਵੱਖ ਕਰਨ ਯੋਗ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਹੱਲ y=Cex ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪਾਠ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਸਾਧਨ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਉਪਯੋਗੀ ਸਾਧਨ ਹਨ। ਇਸ ਤਕਨੀਕ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ y=∑n=0∞cnxn ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੱਲ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਕੀ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ। ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤਕਨੀਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ y′=y ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.20
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੱਲ
ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੱਲ ਮੌਜੂਦ ਹੈ
ਇਸ ਸੀਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਟਰਮ-ਬਾਏ-ਟਰਮ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਜੇ y ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ
ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਲੜੀਆਂ ਕੇਵਲ ਤਾਂ ਹੀ ਬਰਾਬਰ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ। ਇਸ ਲਈ,
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤ y(0)=3 ਨੂੰ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਨਾਲ ਜੋੜ ਕੇ
ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ c0=3। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਬਾਕੀ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ। ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ c0=3, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ,
ਤੁਸੀਂ ਪਛਾਣ ਸਕਦੇ ਹੋ
e^x ਲਈ ਟੇਲਰ ਲੜੀ। ਇਸ ਲਈ, ਹੱਲ y=3e^x ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.19
y′=2y,y(0)=5 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀਆਂ ਵਿਧੀਆਂ ਨਾਲ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਇਹ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ
ਏਰੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਗਣਿਤ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਉਪਯੋਗ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੇ ਵਿਵਰਤਨ ਦਾ ਮਾਡਲਿੰਗ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸਨੂੰ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.21
ਏਰੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਹੱਲ
ਹੱਲ ਕਰੋ
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤਾਂ y(0)=a ਅਤੇ y′(0)=b ਨਾਲ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਇਸ ਰੂਪ ਦੇ ਹੱਲ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਦ-ਦਰ-ਪਦ ਵਿਭਿੰਨ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਜੇ y ਸਮੀਕਰਨ y″=xy ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ
ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕੋ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ,
ਹੋਰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, n≥3 ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ n·(n−1)cn=cn−3 ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਸਾਰੇ ਗੁਣਾਂਕ c0 ਅਤੇ c1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸਨੂੰ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ c2=0। ਫਿਰ
c5, c6, c7 ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਸ ਲਈ, ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਲੜੀ ਹੱਲ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤ y(0)=a ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ c0=a। ਇਸ ਲੜੀ ਨੂੰ ਪਦ-ਦਰ-ਪਦ ਵਿਭਿੰਨ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਿ y′(0)=b, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ c1=b। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ
Checkpoint 6.20
Use power series to solve y″+x2y=0y″+x2y=0 with the initial condition y(0)=ay(0)=a and y′(0)=b.y′(0)=b.
Evaluating Nonelementary Integrals
Solving differential equations is one common application of power series. We now turn to a second application. We show how power series can be used to evaluate integrals involving functions whose antiderivatives cannot be expressed using elementary functions.
One integral that arises often in applications in probability theory is ∫e−x2dx.∫e−x2dx. Unfortunately, the antiderivative of the integrand e−x2e−x2 is not an elementary function. By elementary function, we mean a function that can be written using a finite number of algebraic combinations or compositions of exponential, logarithmic, trigonometric, or power functions. We remark that the term “elementary function” is not synonymous with noncomplicated function. For example, the function f(x)=x2−3x+ex3−sin(5x+4)f(x)=x2−3x+ex3−sin(5x+4) is an elementary function, although not a particularly simple-looking function. Any integral of the form ∫f(x)dx∫f(x)dx where the antiderivative of ff cannot be written as an elementary function is considered a nonelementary integral.
Nonelementary integrals cannot be evaluated using the basic integration techniques discussed earlier. One way to evaluate such integrals is by expressing the integrand as a power series and integrating term by term. We demonstrate this technique by considering ∫e−x2dx.∫e−x2dx.
Example 6.22
Using Taylor Series to Evaluate a Definite Integral
Express ∫e−x2dx∫e−x2dx as an infinite series.
Evaluate ∫01e−x2dx∫01e−x2dx to within an error of 0.01.0.01.
Solution
The Maclaurin series for e−x2e−x2 is given by e−x2=∑n=0∞(−x2)nn!=1−x2+x42!−x63!+⋯+(−1)nx2nn!+⋯=∑n=0∞(−1)nx2nn!.e−x2=∑n=0∞(−x2)nn!=1−x2+x42!−x63!+⋯+(−1)nx2nn!+⋯=∑n=0∞(−1)nx2nn!. Therefore, ∫e−x2dx=∫(1−x2+x42!−x63!+⋯+(−1)nx2nn!+⋯)dx=C+x−x33+x55·2!−x77·3!+⋯+(−1)nx2n+1(2n+1)n!+⋯.∫e−x2dx=∫(1−x2+x42!−x63!+⋯+(−1)nx2nn!+⋯)dx=C+x−x33+x55·2!−x77·3!+⋯+(−1)nx2n+1(2n+1)n!+⋯.
Using the result from part a. we have ∫01e−x2dx=1−13+110−142+1216−⋯.∫01e−x2dx=1−13+110−142+1216−⋯. The sum of the first four terms is approximately 0.74.0.74. By the alternating series test, this estimate is accurate to within an error of less than 1216≈0.0046296<0.01.1216≈0.0046296<0.01.
Checkpoint 6.21
Express ∫cosxdx∫cosxdx as an infinite series. Evaluate ∫01cosxdx∫01cosxdx to within an error of 0.01.0.01.
As mentioned above, the integral ∫e−x2dx∫e−x2dx arises often in probability theory. Specifically, it is used when studying data sets that are normally distributed, meaning the data values lie under a bell-shaped curve. For example, if a set of data values is normally distributed with mean μμ and standard deviation σ,σ, then the probability that a randomly chosen value lies between x=ax=a and x=bx=b is given by
(See Figure 6.11.)
Figure 6.11: If data values are normally distributed with mean μμ and standard deviation σ,σ, the probability that a randomly selected data value is between aa and bb is the area under the curve y=1σ2πe−(x−μ)2/(2σ2)y=1σ2πe−(x−μ)2/(2σ2) between x=ax=a and x=b.x=b.
To simplify this integral, we typically let z=x−μσ.z=x−μσ. This quantity zz is known as the zz score of a data value. With this simplification, integral Equation 6.10 becomes
In Example 6.23, we show how we can use this integral in calculating probabilities.
Example 6.23
Using Maclaurin Series to Approximate a Probability
Suppose a set of standardized test scores are normally distributed with mean μ=100μ=100 and standard deviation σ=50.σ=50. Use Equation 6.11 and the first six terms in the Maclaurin series for e−x2/2e−x2/2 to approximate the probability that a randomly selected test score is between x=100x=100 and x=200.x=200. Use the alternating series test to determine how accurate your approximation is.
Solution
ਜਦੋਂ ਕਿ μ=100, σ=50, μ=100, σ=50 ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ a=100 ਤੋਂ b=200 ਤੱਕ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ 6.11 ਦਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
e−x2/2e−x2 ਦੇ ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ,
ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲਗਭਗ 0.4922 ਹੈ। 0.4922। ਬਦਲਵੀਂ ਲੜੀ ਟੈਸਟ ਦੁਆਰਾ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਇਸ ਤੱਕ ਸਹੀ ਹੈ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋਵੋਗੇ ਕਿ ਮੀਨ ਤੋਂ ਦੋ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਡਾਟਾ ਮੁੱਲ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲਗਭਗ 95% ਹੈ। 95%। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਮੀਨ ਅਤੇ ਮੀਨ ਤੋਂ ਦੋ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਡਾਟਾ ਮੁੱਲ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਭਗ 47.5% ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। 47.5%। ਅੰਦਾਜ਼ਾ, ਸ਼ੁੱਧਤਾ 'ਤੇ ਬੰਧਨ ਦੇ ਨਾਲ, ਇਸ ਸੀਮਾ ਦੇ ਅੰਦਰ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.22
e−x2/2e−x2 ਦੇ ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣੇ ਗਏ ਟੈਸਟ ਸਕੋਰ ਦੇ 100 ਅਤੇ 150 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ। ਇਸ ਅੰਦਾਜ਼ੇ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਬਦਲਵੀਂ ਲੜੀ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਹੋਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਐਲੀਮੈਂਟਰੀ ਇੰਟੀਗਰਲ ਉਭਰਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਪੈਂਡੂਲਮ ਦੇ ਸਮੇਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। ਇੰਟੀਗਰਲ ਹੈ
ਇਸ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਪਹਿਲੀ ਕਿਸਮ ਦਾ ਇਲਿਪਟਿਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਲਿਪਟਿਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਵਿੱਚ ਉਭਰੇ ਸਨ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.24
ਪੈਂਡੂਲਮ ਦਾ ਸਮਾਂ
ਪੈਂਡੂਲਮ ਦਾ ਸਮਾਂ ਉਹ ਸਮਾਂ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਪੈਂਡੂਲਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪੂਰੀ ਅੱਗੇ-ਪਿੱਛੇ ਸਵਿੰਗ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਲੰਬਾਈ LL ਵਾਲੇ ਪੈਂਡੂਲਮ ਲਈ ਜੋ ਲੰਬਵਤ ਨਾਲ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕੋਣ θmaxθmax ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਸਮਾਂ TT ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ gg ਗੁਰੂਤਾ ਕਾਰਨ ਪ੍ਰਵੇਗ ਹੈ ਅਤੇ k=sin(θmax2)k=sin(θmax2) ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.12 ਦੇਖੋ)। (ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪੈਂਡੂਲਮ ਦੇ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਰੇਖੀ ਮਾਡਲ ਤੋਂ ਪੈਂਡੂਲਮ ਦੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਉਭਰਦਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲੀਕਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ sinθsinθ ਨੂੰ θ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।) θ.) ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਇਸ ਪੈਂਡੂਲਮ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਪੈਂਡੂਲਮ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ ਜੇਕਰ
ਤੁਸੀਂ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸੀਰੀਜ਼ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਅਤੇ
ਤੁਸੀਂ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸੀਰੀਜ਼ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਚਿੱਤਰ 6.12 ਇਹ ਪੈਂਡੂਲਮ ਲੰਬਾਈ LL ਵਾਲਾ ਹੈ ਅਤੇ ਲੰਬਵਤ ਨਾਲ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕੋਣ θmaxθmax ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, xx ਨੂੰ −k2sin2θ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। −k2sin2θ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਇੰਟੀਗਰੈਂਡ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਪਹਿਲੇ-ਆਰਡਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ T≈4Lg∫0π/2dθ=2πLg ਹੈ। T≈4Lg∫0π/2dθ=2πLg। ਜੇਕਰ θmaxθmax ਛੋਟਾ ਹੈ, ਤਾਂ k=sin(θmax2)k=sin(θmax2) ਛੋਟਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦਾਅਵਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ kk ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦਾਅਵੇ ਨੂੰ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾਉਣ ਲਈ, ∫0π/2(1+12k2sin2θ+1·32!22k4sin4θ+⋯)dθ.∫0π/2(1+12k2sin2θ+1·32!22k4sin4θ+⋯)dθ. 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ |sinx|≤1,|sinx|≤1, ਇਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫0π/2(12k2+1.32!22k4+⋯)dθ<π2(12k2+1·32!22k4+⋯) ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ। ∫0π/2(12k2+1.32!22k4+⋯)dθ<π2(12k2+1·32!22k4+⋯)। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਾਂਕ 11 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ ਅਤੇ, ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ πk22(1+k2+k4+⋯)=πk22·11−k2,πk22(1+k2+k4+⋯)=πk22·11−k2 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ kk ਛੋਟੇ ਲਈ ਛੋਟਾ ਹੈ।
θmaxθmax ਦੇ ਵੱਡੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੰਟੀਗਰੈਂਡ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਪਦਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ TT ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਅੰਦਾਜ਼ੇ T≈4Lg∫0π/2(1+12k2sin2θ)dθ=2πLg(1+k24) 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ। T≈4Lg∫0π/2(1+12k2sin2θ)dθ=2πLg(1+k24)।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਮਹੱਤਵ ਨੂੰ ਉਜਾਗਰ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਉਪਯੋਗੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਸਾਨੂੰ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਾਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਅਤੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸਾਧਨ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਉਹ ਸਾਨੂੰ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਾਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਾਧਨ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਸੀਰੀਜ਼ ਲਿਖਣ ਲਈ ਉਚਿਤ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
( 1 − x ) 1 / 3 ( 1 − x ) 1 / 3
( 1 + x 2 ) −1 / 3
( 1 − x ) 1.01
( 1 − 2 x ) 2 / 3
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੇਂਦਰ ਨਾਲ ਹਰੇਕ ਫਲਨ (function) ਦੀ ਟੇਲਰ ਲੜੀ (Taylor series) ਲੱਭਣ ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵਿਸਥਾਰ (binomial expansion) ਵਿੱਚ (b+x)r=(b+a)r(1+x−ab+a)r ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ (substitution) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
x+2x+2, a=0 ਤੇ
x2+2x2+2, a=0 ਤੇ
x+2x+2, a=1 ਤੇ
2x−x2, a=1 ਤੇ (ਸੰਕੇਤ: 2x−x2=1−(x−1)2)
(x−8)1/3, a=9 ਤੇ
xx, a=4 ਤੇ
x1/3, a=27 ਤੇ
xx, α=9 ਤੇ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ (binomial theorem) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 1/1000 ਦੀ ਗਲਤੀ ਤੱਕ ਸਹੀ ਅਨੁਮਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
[T] (15)1/4, (16−x)1/4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
[T] (1001)1/3, (1000+x)1/3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, |x|<1 ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਅਨੁਮਾਨ 1−x≈1−x2−x28−x316−5x4128−7x5256 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। ਇਸ ਮੁੱਲ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਵਿਗਿਆਨਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਕਰੋ।
[T] 12, (1−x)1/2 ਵਿੱਚ x=12 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
[T] 5=5×15, (1−x)1/2 ਵਿੱਚ x=45 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
[T] 3=33, (1−x)1/2 ਵਿੱਚ x=23 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
[T] 66, (1−x)1/2 ਵਿੱਚ x=56 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
1−t ਦਾ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ∫0x1−tdt ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਮਾਕਲਨ (integrate) ਕਰੋ।
[T] ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ 1−x2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ 1 ਅਰਧ-ਵਿਆਸ (radius) ਦਾ ਉੱਪਰਲਾ ਅਰਧ-ਚੱਕਰ (semicircle) ਹੈ। π2 ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ x=−1 ਤੋਂ x=1 ਤੱਕ 8ਵੇਂ ਆਰਡਰ (order) ਤੱਕ 1−x2 ਦੇ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰੋ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ (expression) ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ (ਪੰਜਵੇਂ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਹੁਪਦ (polynomial) ਹੋਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ) ਲਿਖਣ ਲਈ (1+x)1/3=1+13x−19x2+581x3−10243x4+⋯ ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
( 1 + 4 x ) 1 / 3 ; a = 0
( 1 + 4 x ) 4 / 3 ; a = 0 ( 1 + 4 x ) 4 / 3 ; a = 0
( 3 + 2 x ) 1 / 3 ; a = −1 ( 3 + 2 x ) 1 / 3 ; a = −1
( x 2 + 6 x + 10 ) 1 / 3 ; a = −3 ( x 2 + 6 x + 10 ) 1 / 3 ; a = −3
Use (1+x)1/3=1+13x−19x2+581x3−10243x4+⋯(1+x)1/3=1+13x−19x2+581x3−10243x4+⋯ with x=1x=1 to approximate 21/3.21/3.
Use the approximation (1−x)2/3=1−2x3−x29−4x381−7x4243−14x5729+⋯(1−x)2/3=1−2x3−x29−4x381−7x4243−14x5729+⋯ for |x|<1|x|<1 to approximate 21/3=2.2−2/3.21/3=2.2−2/3.
Find the 25th25th derivative of f(x)=(1+x2)13f(x)=(1+x2)13 at x=0.x=0.
Find the 9999 th derivative at x=0x=0 of f(x)=(1+x4)25.f(x)=(1+x4)25.
In the following exercises, find the Maclaurin series of each function.
f ( x ) = x e 2 x f ( x ) = x e 2 x
f ( x ) = 2 x f ( x ) = 2 x
f ( x ) = sin x x f ( x ) = sin x x
f ( x ) = sin ( x ) x , ( x > 0 ) , f ( x ) = sin ( x ) x , ( x > 0 ) ,
f ( x ) = sin ( x 2 ) f ( x ) = sin ( x 2 )
f ( x ) = e x 3 f ( x ) = e x 3
f(x)=cos2xf(x)=cos2x using the identity cos2x=12+12cos(2x)cos2x=12+12cos(2x)
f(x)=sin2xf(x)=sin2x using the identity sin2x=12−12cos(2x)sin2x=12−12cos(2x)
In the following exercises, find the Maclaurin series of F(x)=∫0xf(t)dtF(x)=∫0xf(t)dt by integrating the Maclaurin series of ff term by term. If ff is not strictly defined at zero, you may substitute the value of the Maclaurin series at zero.
F ( x ) = ∫ 0 x e − t 2 d t ; f ( t ) = e − t 2 = ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n t 2 n n ! F ( x ) = ∫ 0 x e − t 2 d t ; f ( t ) = e − t 2 = ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n t 2 n n !
F ( x ) = tan −1 x ; f ( t ) = 1 1 + t 2 = ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n t 2 n F ( x ) = tan −1 x ; f ( t ) = 1 1 + t 2 = ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n t 2 n
F ( x ) = tanh −1 x ; f ( t ) = 1 1 − t 2 = ∑ n = 0 ∞ t 2 n F ( x ) = tanh −1 x ; f ( t ) = 1 1 − t 2 = ∑ n = 0 ∞ t 2 n
F ( x ) = sin −1 x ; f ( t ) = 1 1 − t 2 = ∑ k = 0 ∞ ( 1 2 k ) t 2 k k ! F ( x ) = sin −1 x ; f ( t ) = 1 1 − t 2 = ∑ k = 0 ∞ ( 1 2 k ) t 2 k k !
F ( x ) = ∫ 0 x sin t t d t ; f ( t ) = sin t t = ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n t 2 n ( 2 n + 1 ) ! F ( x ) = ∫ 0 x sin t t d t ; f ( t ) = sin t t = ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n t 2 n ( 2 n + 1 ) !
F ( x ) = ∫ 0 x cos ( t ) d t ; f ( t ) = ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n x n ( 2 n ) ! F ( x ) = ∫ 0 x cos ( t ) d t ; f ( t ) = ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n x n ( 2 n ) !
F ( x ) = ∫ 0 x 1 − cos t t 2 d t ; f ( t ) = 1 − cos t t 2 = ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n t 2 n ( 2 n + 2 ) ! F ( x ) = ∫ 0 x 1 − cos t t 2 d t ; f ( t ) = 1 − cos t t 2 = ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n t 2 n ( 2 n + 2 ) !
F ( x ) = ∫ 0 x ln ( 1 + t ) t d t ; f ( t ) = ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n t n n + 1 F ( x ) = ∫ 0 x ln ( 1 + t ) t d t ; f ( t ) = ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n t n n + 1
In the following exercises, compute at least the first three nonzero terms (not necessarily a quadratic polynomial) of the Maclaurin series of f.f.
f ( x ) = sin ( x + π 4 ) = sin x cos ( π 4 ) + cos x sin ( π 4 ) f ( x ) = sin ( x + π 4 ) = sin x cos ( π 4 ) + cos x sin ( π 4 )
f ( x ) = tan x f ( x ) = tan x
f ( x ) = ln ( cos x ) f ( x ) = ln ( cos x )
f ( x ) = e x cos x f ( x ) = e x cos x
f ( x ) = e sin x f ( x ) = e sin x
f ( x ) = sec 2 x f ( x ) = sec 2 x
f ( x ) = tanh x f ( x ) = tanh x
f(x)=tanxxf(x)=tanxx (see expansion for tanx)tanx)
In the following exercises, find the radius of convergence of the Maclaurin series of each function.
ln ( 1 + x ) ln ( 1 + x )
1 1 + x 2 1 1 + x 2
tan −1 x tan −1 x
ln ( 1 + x 2 ) ln ( 1 + x 2 )
Find the Maclaurin series of sinhx=ex−e−x2.sinhx=ex−e−x2.
Find the Maclaurin series of coshx=ex+e−x2.coshx=ex+e−x2.
Differentiate term by term the Maclaurin series of sinhxsinhx and compare the result with the Maclaurin series of coshx.coshx.
[T] Let Sn(x)=∑k=0n(−1)kx2k+1(2k+1)!Sn(x)=∑k=0n(−1)kx2k+1(2k+1)! and Cn(x)=∑n=0n(−1)kx2k(2k)!Cn(x)=∑n=0n(−1)kx2k(2k)! denote the respective Maclaurin polynomials of degree 2n+12n+1 of sinxsinx and degree 2n2n of cosx.cosx. Plot the errors Sn(x)Cn(x)−tanxSn(x)Cn(x)−tanx for n=1,..,5n=1,..,5 and compare them to x+x33+2x515+17x7315−tanxx+x33+2x515+17x7315−tanx on (−π4,π4).(−π4,π4).
Use the identity 2sinxcosx=sin(2x)2sinxcosx=sin(2x) to find the power series expansion of sin2xsin2x at x=0.x=0. (Hint: Integrate the Maclaurin series of sin(2x)sin(2x) term by term.)
If y=∑n=0∞anxn,y=∑n=0∞anxn, find the power series expansions of xy′xy′ and x2y″.x2y″.
[T] Suppose that y=∑k=0∞akxky=∑k=0∞akxk satisfies y′=−2xyy′=−2xy and y(0)=0.y(0)=0. Show that a2k+1=0a2k+1=0 for all kk and that a2k+2=−a2kk+1.a2k+2=−a2kk+1. Plot the partial sum S20S20 of yy on the interval [−4,4].[−4,4].
[T] Suppose that a set of standardized test scores is normally distributed with mean μ=100μ=100 and standard deviation σ=10.σ=10. Set up an integral that represents the probability that a test score will be between 9090 and 110110 and use the integral of the degree 1010 Maclaurin polynomial of 12πe−x2/212πe−x2/2 to estimate this probability.
[T] Suppose that a set of standardized test scores is normally distributed with mean μ=100μ=100 and standard deviation σ=10.σ=10. Set up an integral that represents the probability that a test score will be between 7070 and 130130 and use the integral of the degree 5050 Maclaurin polynomial of 12πe−x2/212πe−x2/2 to estimate this probability.
1. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ∑n=0∞anxn, f(x) ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੱਲ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(0)=1, f′(0)=0, ਅਤੇ f″(x)=−f(x) ਹੈ। an ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ ਅਤੇ N=20 ਲਈ ਪਾਰਸ਼ਲ ਸਮ SN ਨੂੰ [−5,5] ਤੇ ਪਲੌਟ ਕਰੋ।
2. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ∑n=0∞anxn, f(x) ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੱਲ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(0)=0, f′(0)=1, ਅਤੇ f″(x)=−f(x) ਹੈ। an ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ ਅਤੇ N=10 ਲਈ ਪਾਰਸ਼ਲ ਸਮ SN ਨੂੰ [−5,5] ਤੇ ਪਲੌਟ ਕਰੋ।
3. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ∑n=0∞anxn, y ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੱਲ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ y″−y′+y=0, y(0)=1, ਅਤੇ y′(0)=0 ਹੈ। an+2, an+1, ਅਤੇ an ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ ਅਤੇ a0,...,a5 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
4. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ∑n=0∞anxn, y ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੱਲ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ y″−y′+y=0, y(0)=0, ਅਤੇ y′(0)=1 ਹੈ। an+2, an+1, ਅਤੇ an ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ ਅਤੇ a1,...,a5 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
5. ∫abf(t)dt ਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਵਿੱਚ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਗਲਤੀ ∫abPn(t)dt ਦੇ ਟੇਲਰ ਅੰਦਾਜ਼ੇ ਦੁਆਰਾ ∫abRn(t)dt ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਟੇਲਰ ਰਿਮਾਇੰਡਰ ਅੰਦਾਜ਼ਾ Rn≤M(n+1)!|x−a|n+1 ਇਹ ਗਾਰੰਟੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਆਰਡਰ ਦੇ ਟੇਲਰ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ, ff ਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ 1/10 ਤੋਂ ਘੱਟ ਗਲਤੀ ਨਾਲ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ।
6. ਉਚਿਤ ਟੇਲਰ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ CAS ਮੁੱਲ ਨੂੰ 1/100 ਤੋਂ ਘੱਟ ਗਲਤੀ ਨਾਲ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ।
7. ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਅੰਦਾਜ਼ੇ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਦੀ ਰਿਮਾਇੰਡਰ ਅੰਦਾਜ਼ੇ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
8. ∫0πsinttdt;Ps=1−x23!+x45!−x67!+x89! (ਤੁਸੀਂ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ sintt ਦੇ ਨੌਵੇਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ 0.1 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ।)
9. ∫02e−x2dx;p11=1−x2+x42−x63!+⋯−x2211! (ਤੁਸੀਂ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ e−x2 ਦੇ 23ਵੇਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ 2×1014 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ।)
10. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸ ਫਰੈਸਨਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ।
11. ਫਰੈਸਨਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ C(x)=∫0xcos(t2)dt ਅਤੇ S(x)=∫0xsin(t2)dt ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। C(x) ਅਤੇ S(x) ਦੀ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ N=50 ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ CN(x) ਅਤੇ SN(x) ਨੂੰ [0,2π] ਤੇ ਪਲੌਟ ਕਰੋ।
12. ਫਰੈਸਨਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਸੜਕਾਂ ਅਤੇ ਰੇਲਵੇ ਦੇ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ (C(t),S(t)) ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਾਲੇ ਵਕਰ ਦੇ ਵਕਰਤਾ ਗੁਣਾਂ ਕਾਰਨ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਗਣਨਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (C50,S50) ਦੇ ਵਕਰ ਨੂੰ 0≤t≤2π ਲਈ ਪਲੌਟ ਕਰੋ।
13. ∫01/4x−x2dx ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ 1−x ਨੂੰ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਅੰਦਾਜ਼ੇ 1−x2−x28−x316−5x42128−7x5256 ਦੁਆਰਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾ ਕੇ ਲਗਾਓ।
14. ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ 1−x2 ਦੇ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਅੰਦਾਜ਼ੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ π ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਗਾਓ। (1/2,0) ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤੇ 1/2 ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਉੱਪਰੀ ਅਰਧ-ਚੱਕਰ y=x1−x ਹੈ। x-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰ x=0 ਅਤੇ x=1/2 ਅਤੇ (1/4,3/4) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਇਸ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸੈਕਟਰ ਚੱਕਰ ਦਾ 1/16 ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ π/24 ਹੈ। ਇਸ ਸੈਕਟਰ ਵਿੱਚ 3/4 ਉਚਾਈ ਅਤੇ 1/4 ਅਧਾਰ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਅਤੇ x=0 ਅਤੇ x=1/4 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਇਸ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ y=x1−x=x×(1−x ਦਾ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵਿਸਥਾਰ) ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਪਦ ਦੁਆਰਾ ਪਦ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। π ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਤੋਂ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਅੰਦਾਜ਼ੇ ਨਾਲ ਇਸ ਪਹੁੰਚ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
15. ਇੱਕ 10 ਮੀਟਰ ਲੰਬੇ ਪੈਂਡੂਲਮ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕੋਣ θmax=π/6 ਵਾਲੇ ਪੈਂਡੂਲਮ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ T≈2πLg(1+k2/4) ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ k=sin(θmax/2) ਹੈ। ਇਸਦੀ ਤੁਲਨਾ ਛੋਟੇ ਕੋਣ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ T≈2πLg ਨਾਲ ਕਰੋ।
16. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਪੈਂਡੂਲਮ ਦਾ ਸਮਾਂ 2 ਸਕਿੰਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕੋਣ θmax=π/6 ਹੋਣਾ ਹੈ। ਲੋੜੀਂਦੇ ਪੈਂਡੂਲਮ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ T≈2πLg(1+k2/4) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਛੋਟੇ ਕੋਣ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ T≈2πLg ਦੁਆਰਾ ਕਿਹੜੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ?
17. ∫0π/2sin4θdθ ਦਾ ਮੁੱਲ T=4Lg∫0π/2(1+12k2sin2θ+38k4sin4θ+⋯)dθ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿੱਚ ਪਤਾ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ T ਦਾ ਇੱਕ ਸੁਧਾਰਿਆ ਹੋਇਆ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋ ਸਕੇ।
18. ਇੱਕ ਪੈਂਡੂਲਮ ਦੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਜਿਸਦੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ θmax ਹੈ, T(θmax)=22Lg∫0θmaxdθcosθ−cos(θmax) ਹੈ, ਜਿੱਥੇ L ਪੈਂਡੂਲਮ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ ਅਤੇ g ਗੁਰੂਤਾ ਪ੍ਰਵੇਗ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਜਦੋਂ θmax=π/3, 1cost−1/2≈2(1+t2/2+t4/3+181t6/720) ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। L ਅਤੇ g ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ T(π3) ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇਸ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ g=9.806 ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਵਰਗ, ਇੱਕ ਲਗਭਗ ਲੰਬਾਈ L ਪਤਾ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ T(π3)=2 ਸਕਿੰਟ ਹੋਵੇ।