Review Exercises
True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.
The rectangular coordinates of the point (4,5π6)(4,5π6) are (23,−2).(23,−2).
The equations x=cosh(3t),x=cosh(3t), y=2sinh(3t)y=2sinh(3t) represent a hyperbola.
The arc length of the spiral given by r=θ2r=θ2 for 0≤θ≤3π0≤θ≤3π is 94π3.94π3.
Given x=f(t)x=f(t) and y=g(t),y=g(t), if dxdy=dydx,dxdy=dydx, then f(t)=g(t)+C,f(t)=g(t)+C, where C is a constant.
For the following exercises, sketch the parametric curve and eliminate the parameter to find the Cartesian equation of the curve.
x=1+t,x=1+t, y=t2−1,y=t2−1, −1≤t≤1−1≤t≤1
x=et,x=et, y=1−e3t,y=1−e3t, 0≤t≤10≤t≤1
x=sinθ,x=sinθ, y=1−cscθ,y=1−cscθ, 0≤θ≤2π0≤θ≤2π
x=4cosϕ,x=4cosϕ, y=1−sinϕ,y=1−sinϕ, 0≤ϕ≤2π0≤ϕ≤2π
For the following exercises, sketch the polar curve and determine what type of symmetry exists, if any.
r = 4 sin ( θ 3 ) r = 4 sin ( θ 3 )
r = 5 cos ( 5 θ ) r = 5 cos ( 5 θ )
For the following exercises, find the polar equation for the curve given as a Cartesian equation.
x + y = 5 x + y = 5
y 2 = 4 + x 2 y 2 = 4 + x 2
For the following exercises, find an equation of the tangent line to the given curve. Graph both the function and its tangent line.
x=ln(t),x=ln(t), y=t2−1,y=t2−1, t=1t=1
r=3+cos(2θ),r=3+cos(2θ), θ=3π4θ=3π4
Find dydx,dydx, dxdy,dxdy, and d2xdy2d2xdy2 of y=(2+e−t),y=(2+e−t), x=1−sin(t)x=1−sin(t)
For the following exercises, find the area of the region.
x=t2,x=t2, y=ln(t),y=ln(t), 0≤t≤e0≤t≤e
r=1−sinθr=1−sinθ in the first quadrant
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. x=3t+4, y=9t−2, 0≤t≤3
3. r=6cosθ, 0≤θ≤2π. ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੁਆਰਾ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
4. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਆਕਾਰਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5. ਫੋਕਸ (2,−5) ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x=6 ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ।
6. 10 ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ (−7,2) ਅਤੇ (1,2) ਉੱਤੇ ਫੋਕਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ।
7. ਸਿਖਰ (–2,3) ਅਤੇ (−2,−5) ਅਤੇ ਫੋਕਸ (−2,−6) ਅਤੇ (−2,4) ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ।
8. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਅਤੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
9. r = 6 / (1 + 3 cos θ)
10. r = 4 / (3 − 2 cos θ)
11. r = 7 / (5 − 5 cos θ)
12. ਪਲੂਟੋ ਦੀ ਕక్ష ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ ਸੂਰਜ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਸ਼ ਹੈ। ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 39.26 AU ਅਤੇ ਛੋਟੀ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 38.07 AU ਹੈ। ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਕੀ ਹੈ?
13. C/1980 E1 ਧੂਮਕੇਤੂ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ 1980 ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। 1.057 ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਅਤੇ 3.364 AU ਦੇ ਪੈਰੀਹੇਲੀਅਨ (ਸੂਰਜ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਣ ਦਾ ਬਿੰਦੂ) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਧੂਮਕੇਤੂ ਦੇ ਪਥ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਕੀ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਧੂਮਕੇਤੂ ਦੁਬਾਰਾ ਦੇਖਣ ਦੀ ਗਾਰੰਟੀ ਹੈ? (ਸੰਕੇਤ: ਸੂਰਜ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0,0) 'ਤੇ ਮੰਨੋ।)