ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
1.4.1 ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
1.4.2 ਪੋਲਰ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ, ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ x=a ਤੋਂ x=b ਤੱਕ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x) ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇਸ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ f(x)>0 ਹੈ, ਤਾਂ ਵਕਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ A=∫abf(x)dx ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਤੱਥ, ਇਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੇ ਨਾਲ, ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵਿੱਚ ਸਾਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇਸ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ L=∫ab1+(f′(x))2dx ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲਈ ਸਮਾਨ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪੋਲਰ ਵਕਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬੱਝੇ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰ
ਅਸੀਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਅਤੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਵਕਰ ਦੁਆਰਾ ਬੱਝੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਵੱਲ ਆਪਣਾ ਧਿਆਨ ਮੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਸਬੂਤ ਨੇ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੀਮੈਨ ਸਮ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਪੋਲਰ ਵਕਰਾਂ ਲਈ ਅਸੀਂ ਦੁਬਾਰਾ ਰੀਮੈਨ ਸਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਵਕਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ r=f(θ) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ α≤θ≤β। ਸਾਡਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਅੰਤਰਾਲ [α,β] ਨੂੰ n ਬਰਾਬਰ-ਚੌੜਾਈ ਦੇ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਚੌੜਾਈ Δθ=(β−α)/n ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ i-ਵੇਂ ਭਾਗ ਬਿੰਦੂ θi θi=α+iΔθ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਭਾਗ ਬਿੰਦੂ θ=θi ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ tanθi ਢਲਾਨ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਪੋਲ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.39: ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਮ ਵਕਰ ਦਾ ਭਾਗ।
ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੇਡੀਅਸ ਦੇ ਚਾਪਾਂ ਦੁਆਰਾ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਸੈਕਟਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਫਿਰ ਲਗਾਤਾਰ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਸੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਪਹੁੰਚ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰ ਲਈ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਸਮ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸੈਕਟਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.40: ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸੈਕਟਰ ਦਾ ਖੇਤਰ A=12θr2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰ A=πr2 ਹੈ। ਜਦੋਂ ਰੇਡੀਅਨਜ਼ ਵਿੱਚ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, 360 ਡਿਗਰੀ 2π ਰੇਡੀਅਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ θ ਦੁਆਰਾ ਮਾਪਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਚੱਕਰ ਦਾ ਹਿੱਸਾ θ2π ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੈਕਟਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਇਹ ਹਿੱਸਾ ਹੈ:
ਕਿਉਂਕਿ ਚਿੱਤਰ 1.39 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਮ ਸੈਕਟਰ ਦਾ ਰੇਡੀਅਸ ri=f(θi) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, i-ਵੇਂ ਸੈਕਟਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਸਮ ਜੋ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਅਸੀਂ ਸਹੀ ਖੇਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ n→∞ ਤੱਕ ਸੀਮਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ:
ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 1.6
ਪੋਲਰ ਵਕਰ ਦੁਆਰਾ ਬੱਝੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f ਅੰਤਰਾਲ α≤θ≤β 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਜਿੱਥੇ 0<β−α≤2π। r=f(θ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਬੱਝੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰ, ਰੇਡੀਅਲ ਰੇਖਾਵਾਂ θ=α ਅਤੇ θ=β ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ:
ਉਦਾਹਰਨ 1.16
ਪੋਲਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਲੱਭਣਾ
ਗੁਲਾਬ ਦੇ ਇੱਕ ਪੱਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰ ਲੱਭੋ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ r=3sin(2θ) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ।
ਹੱਲ
r=3sin(2θ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.41: r=3sin(2θ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ।
ਜਦੋਂ θ=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ r=3sin(2(0))=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਗਲਾ ਮੁੱਲ ਜਿਸ ਲਈ r=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਹ θ=π/2 ਹੈ। ਇਹ 3sin(2θ)=0 ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, θ=0 ਤੋਂ θ=π/2 ਤੱਕ ਦੇ ਮੁੱਲ ਗੁਲਾਬ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਪੱਤੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਪੱਤੀ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ 1.9 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ f(θ)=3sin(2θ), α=0, ਅਤੇ β=π/2 ਹੈ:
ਇਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, sin2α=(1−cos(2α))/2 ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ α=2θ ਹੈ:
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.15
ਕਾਰਡੀਓਇਡ r=1−cosθ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.16 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਸੀ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਪੋਲਰ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪੋਲਰ ਵਕਰ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਾਨੂੰ ਅਕਸਰ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਅਤੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਾਹਰੀ ਵਕਰ ਜਾਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.17
ਦੋ ਪੋਲਰ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣਾ
ਕਾਰਡੀਓਇਡ r=2+2sinθ ਦੇ ਬਾਹਰ ਅਤੇ ਚੱਕਰ r=6sinθ ਦੇ ਅੰਦਰ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋਵੇਂ ਵਕਰਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣ ਜਿਵੇਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.42: ਵਕਰਾਂ r=2+2sinθ ਅਤੇ r=6sinθ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ।
ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ ਅਤੇ θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਲੱਭੋ:
ਇਹ θ=π/6 ਅਤੇ θ=5π/6 ਦੇ ਹੱਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਹਨ। ਚੱਕਰ r=3sinθ ਲਾਲ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ, ਜੋ ਬਾਹਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਾਰਡੀਓਇਡ r=2+2sinθ ਨੀਲਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ, ਜੋ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, θ=π/6 ਅਤੇ θ=5π/6 ਵਿਚਕਾਰ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ, ਫਿਰ θ=π/6 ਅਤੇ θ=5π/6 ਵਿਚਕਾਰ ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਘਟਾਓ:
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.16
ਚੱਕਰ r=4cosθ ਦੇ ਅੰਦਰ ਅਤੇ ਚੱਕਰ r=2 ਦੇ ਬਾਹਰ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.17 ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਅਤੇ ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਦੇ ਬਾਹਰ ਖੇਤਰਫਲ ਪਾਇਆ ਸੀ, ਪਹਿਲਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭ ਕੇ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ ਦੋ ਹੱਲ ਮਿਲੇ: θ=π/6 ਅਤੇ θ=5π/6। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂ ਹਨ। ਤੀਜਾ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂ ਮੂਲ ਹੈ। ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਹੱਲ ਵਜੋਂ ਨਾ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਦਾ ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਮੂਲ ਦੋਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫਾਂ 'ਤੇ ਹੈ ਪਰ θ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ θ ਦੇ ਮੁੱਲ ਜੋ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਉਹ θ=3π/2+2nπ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ n ਕੋਈ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ। ਚੱਕਰ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ θ=nπ ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਹਨ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n ਲਈ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਹੱਲ ਸੈੱਟਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਬਿੰਦੂ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਤੱਥ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਵਕਰਾਂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਇੰਟਰਸੈਕਟ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਕੇਸ ਨੂੰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਲਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਪੋਲਰ ਵਕਰਾਂ ਵਿੱਚ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ, a≤t≤b ਲਈ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ਡ ਵਕਰ (x(t),y(t)) ਦੀ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ:
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਨੂੰ r=f(θ) ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ α≤θ≤β। ਪੋਲਰ ਵਕਰ ਲਈ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਅਨੁਕੂਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ t ਨੂੰ θ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ
ਅਸੀਂ dtdt ਨੂੰ dθ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਹੇਠਲੀਆਂ ਅਤੇ ਉੱਪਰਲੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ α ਅਤੇ β ਹਨ। ਫਿਰ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਾਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆ ਪ੍ਰਮੇਯ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 1.7
ਧਰੁਵੀ ਫਲਨ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ
ਮੰਨ ਲਓ ff ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫਲਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਅਵਕਲਜ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ α≤θ≤β.α≤θ≤β. ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ r=f(θ)r=f(θ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ, θ=αθ=α ਤੋਂ θ=βθ=β ਤੱਕ, ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 1.18
ਧਰੁਵੀ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭਣਾ
ਕਾਰਡੀਓਇਡ r=2+2cosθ.r=2+2cosθ. ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਜਦੋਂ θ=0,r=2+2cos0=4.θ=0,r=2+2cos0=4. ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਜਿਵੇਂ θθ 00 ਤੋਂ 2π,2π ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਵਾਰ ਟਰੇਸ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਹਨ। f(θ)=2+2cosθ,f(θ)=2+2cosθ, α=0,α=0, ਅਤੇ β=2π,β=2π, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਮੀਕਰਨ 1.10 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅੱਗੇ, cos(2α)=2cos2α−1,cos(2α)=2cos2α−1, ਸਰਬਸਮਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 1 ਜੋੜੋ ਅਤੇ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਇਸ ਨਾਲ 2+2cos(2α)=4cos2α.2+2cos(2α)=4cos2α. ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। α=θ/2α=θ/2 ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਨਾਲ 2+2cosθ=4cos2(θ/2),2+2cosθ=4cos2(θ/2), ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਮਾਕਲਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਆਪਣੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਮੁੱਦੇ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ 00 ਤੋਂ ππ ਤੱਕ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਰਣਨੀਤੀ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਸਾਈਨ 00 ਅਤੇ π2.π2. ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਧਨਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.17
r=3sinθ.r=3sinθ. ਦੀ ਕੁੱਲ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭੋ।
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
r=4r=4 ਦੁਆਰਾ ਘੇਰਿਆ ਖੇਤਰ
r=3sinθr=3sinθ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰਿਆ ਖੇਤਰ
ਕਾਰਡੀਓਇਡ r=1+sinθr=1+sinθ ਦੇ ਅੰਦਰ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ
r=8sin(2θ)r=8sin(2θ) ਦੇ ਇੱਕ ਪੱਤੇ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰਿਆ ਖੇਤਰ
r=cos(3θ)r=cos(3θ) ਦੇ ਇੱਕ ਪੱਤੇ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰਿਆ ਖੇਤਰ
ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ r=1−sinθr=1−sinθ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰਿਆ ਖੇਤਰ
r=2−cosθr=2−cosθ ਦੁਆਰਾ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਘੇਰਿਆ ਖੇਤਰ
r=2−3sinθr=2−3sinθ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਲੂਪ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰਿਆ ਖੇਤਰ
r=3−4cosθr=3−4cosθ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਲੂਪ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰਿਆ ਖੇਤਰ
r=1−2cosθr=1−2cosθ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰਿਆ ਅਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਲੂਪ ਦੇ ਬਾਹਰ ਖੇਤਰ
r=3sinθ ਅਤੇ r=2−sinθ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਖੇਤਰ
r=2 ਅਤੇ r=4cosθ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਖੇਤਰ
r=3cosθ ਅਤੇ r=3sinθ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਖੇਤਰ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਰਣਿਤ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
r=6sinθ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ
ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ r=2+sinθ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ
ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ r=2−cosθ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ
r=4cos(3θ) ਦੇ ਇੱਕ ਪੱਤੇ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ
r=3cos(2θ) ਦੇ ਇੱਕ ਪੱਤੇ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ
r=1+sinθ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ
r=3+6cosθ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਲੂਪ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ
r=2+4cosθ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ ਅਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਲੂਪ ਦੇ ਬਾਹਰ
r=4sin(2θ) ਅਤੇ r=2 ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਹਿੱਸਾ
r=3−2sinθ ਅਤੇ r=−3+2sinθ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਹਿੱਸਾ
r=6sinθ ਅਤੇ r=3 ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਹਿੱਸਾ
r=1+cosθ ਦੇ ਅੰਦਰ ਅਤੇ r=cosθ ਦੇ ਬਾਹਰ
r=2+2cosθ ਅਤੇ r=2sinθ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਹਿੱਸਾ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
r = 4 cos θ, ਅੰਤਰਾਲ 0 ≤ θ ≤ π 2 ਤੇ
r=1+sinθ, ਅੰਤਰਾਲ 0≤θ≤2π ਤੇ
r = 2 sec θ, ਅੰਤਰਾਲ 0 ≤ θ ≤ π 3 ਤੇ
r = e θ, ਅੰਤਰਾਲ 0 ≤ θ ≤ 1 ਤੇ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਵਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
r = 6, ਅੰਤਰਾਲ 0 ≤ θ ≤ π 2 ਤੇ
r = e 3 θ on the interval 0 ≤ θ ≤ 2 r = e 3 θ on the interval 0 ≤ θ ≤ 2
r = 6 cos θ on the interval 0 ≤ θ ≤ π 2 r = 6 cos θ on the interval 0 ≤ θ ≤ π 2
r = 8 + 8 cos θ on the interval 0 ≤ θ ≤ π r = 8 + 8 cos θ on the interval 0 ≤ θ ≤ π
r = 1 − sin θ on the interval 0 ≤ θ ≤ 2 π r = 1 − sin θ on the interval 0 ≤ θ ≤ 2 π
For the following exercises, use the integration capabilities of a calculator to approximate the length of the curve.
[T] r=3θon the interval0≤θ≤π2r=3θon the interval0≤θ≤π2
[T] r=2θon the intervalπ≤θ≤2πr=2θon the intervalπ≤θ≤2π
[T] r=sin2(θ2)on the interval0≤θ≤πr=sin2(θ2)on the interval0≤θ≤π
[T] r=2θ2on the interval0≤θ≤πr=2θ2on the interval0≤θ≤π
[T] r=sin(3cosθ)on the interval0≤θ≤πr=sin(3cosθ)on the interval0≤θ≤π
For the following exercises, use the familiar formula from geometry to find the area of the region described and then confirm by using the definite integral.
r = 3 sin θ on the interval 0 ≤ θ ≤ π r = 3 sin θ on the interval 0 ≤ θ ≤ π
r = sin θ + cos θ on the interval 0 ≤ θ ≤ π r = sin θ + cos θ on the interval 0 ≤ θ ≤ π
r = 6 sin θ + 8 cos θ on the interval 0 ≤ θ ≤ π r = 6 sin θ + 8 cos θ on the interval 0 ≤ θ ≤ π
For the following exercises, use the familiar formula from geometry to find the length of the curve and then confirm using the definite integral.
r = 3 sin θ on the interval 0 ≤ θ ≤ π r = 3 sin θ on the interval 0 ≤ θ ≤ π
r = sin θ + cos θ on the interval 0 ≤ θ ≤ π r = sin θ + cos θ on the interval 0 ≤ θ ≤ π
r = 6 sin θ + 8 cos θ on the interval 0 ≤ θ ≤ π r = 6 sin θ + 8 cos θ on the interval 0 ≤ θ ≤ π
Verify that if y=rsinθ=f(θ)sinθy=rsinθ=f(θ)sinθ then dydθ=f′(θ)sinθ+f(θ)cosθ.dydθ=f′(θ)sinθ+f(θ)cosθ.
For the following exercises, find the slope of a tangent line to a polar curve r=f(θ).r=f(θ). Let x=rcosθ=f(θ)cosθx=rcosθ=f(θ)cosθ and y=rsinθ=f(θ)sinθ,y=rsinθ=f(θ)sinθ, so the polar equation r=f(θ)r=f(θ) is now written in parametric form.
Use the definition of the derivative dydx=dy/dθdx/dθdydx=dy/dθdx/dθ and the product rule to derive the derivative of a polar equation.
r=1−sinθ;r=1−sinθ; (12,π6)(12,π6)
r=4cosθ;r=4cosθ; (2,π3)(2,π3)
r=8sinθ;r=8sinθ; (4,5π6)(4,5π6)
r=4+sinθ;r=4+sinθ; (3,3π2)(3,3π2)
r=6+3cosθ;r=6+3cosθ; (3,π)(3,π)
r=4cos(2θ);r=4cos(2θ); tips of the leaves
r=2sin(3θ);r=2sin(3θ); tips of the leaves
r=2θ;r=2θ; (π2,π4)(π2,π4)
Find the points on the interval −π≤θ≤π−π≤θ≤π at which the cardioid r=1−cosθr=1−cosθ has a vertical or horizontal tangent line.
For the cardioid r=1+sinθ,r=1+sinθ, find the slope of the tangent line when θ=π3.θ=π3.
For the following exercises, find the slope of the tangent line to the given polar curve at the point given by the value of θ.θ.
r = 3 cos θ , θ = π 3 r = 3 cos θ , θ = π 3
r=θ,r=θ, θ=π2θ=π2
r=lnθ,r=lnθ, θ=eθ=e
[T] Use technology: r=2+4cosθr=2+4cosθ at θ=π6θ=π6
For the following exercises, find the points at which the following polar curves have a horizontal or vertical tangent line.
r = 4 cos θ r = 4 cos θ
r 2 = 4 cos ( 2 θ ) r 2 = 4 cos ( 2 θ )
r = 2 sin ( 2 θ ) r = 2 sin ( 2 θ )
The cardioid r=1+sinθr=1+sinθ
Show that the curve r=sinθtanθr=sinθtanθ (called a cissoid of Diocles) has the line x=1x=1 as a vertical asymptote.