ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
1.5.1 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਰਬਲੈ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
1.5.2 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੋਕਸ ਨਾਲ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
1.5.3 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੋਕਸ ਨਾਲ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
1.5.4 ਇਸਦੀ ਉਤਸਰਜਨਤਾ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਇੱਕ ਪਰਬਲੈ, ਅੰਡਾਕਾਰ, ਜਾਂ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ।
1.5.5 ਉਤਸਰਜਨਤਾ e e ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੀ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
1.5.6 ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਕਦੋਂ ਦੂਜੀ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਪਰਬਲੈ, ਅੰਡਾਕਾਰ, ਜਾਂ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ।
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਯੂਨਾਨੀਆਂ ਦੇ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਗਣਿਤਿਕ ਸੰਕਲਪ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਸੀ। 320 ਈਸਾ ਪੂਰਵ ਜਿੰਨੀ ਜਲਦੀ, ਮੇਨਾਚਮਸ, ਅਪੋਲੋਨੀਅਸ, ਅਤੇ ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਵਰਗੇ ਯੂਨਾਨੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਇਹਨਾਂ ਵਕਰਾਂ ਤੋਂ ਹੈਰਾਨ ਸਨ। ਅਪੋਲੋਨੀਅਸ ਨੇ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਅੱਠ-ਖੰਡਾਂ ਵਾਲਾ ਗ੍ਰੰਥ ਲਿਖਿਆ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉਹ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਵਿਧੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਸੀ। ਉਦੋਂ ਤੋਂ, ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਦੀਆਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਉਭਰੀਆਂ ਹਨ (ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਖਗੋਲ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ), ਅਤੇ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਗੁਣ ਰੇਡੀਓ ਟੈਲੀਸਕੋਪਾਂ, ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਡਿਸ਼ ਰਿਸੀਵਰਾਂ, ਅਤੇ ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਆਰਕੀਟੈਕਚਰ ਵਿੱਚ ਵੀ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਗੁਣਾਂ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਨਾਮ ਇਸ ਲਈ ਮਿਲਿਆ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨਾਲ ਕੱਟ ਕੇ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਆਕਾਰ ਦੇ ਭਾਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਨੈਪਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਨੈਪ ਉਹ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਲੋਕ "ਸ਼ੰਕੂ" ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਆਕਾਰ ਇੱਕ ਪਾਰਟੀ ਹੈਟ ਵਰਗਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਚੱਕਰੀ ਸ਼ੰਕੂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.43: ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਜੋ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ y=3xy=3x ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਕੱਟਣ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 1.44)। ਜੇਕਰ ਸਮਤਲ ਦੋਵੇਂ ਨੈਪਸ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮਤਲ ਉਤਪਾਦਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਇੱਕ ਪਰਬਲੈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮਤਲ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮਤਲ ਇੱਕ ਨੈਪ ਨੂੰ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਕੋਣ 'ਤੇ (90° ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ) ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.44: ਚਾਰ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ। ਹਰ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਸਮਤਲ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਏ ਗਏ ਕੋਣ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪਰਬਲੈ
ਇੱਕ ਪਰਬਲੈ ਉਦੋਂ ਤਿਆਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਉਤਪਾਦਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਸਮਤਲ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਨੈਪ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਪਰਬਲੈ ਨੂੰ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਪਰਬਲੈ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਦੂਰੀ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ, ਜਿਸਨੂੰ ਫੋਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤੋਂ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ, ਜਿਸਨੂੰ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਬਿੰਦੂ ਪਰਬਲੈ ਦਾ ਸਿਖਰ ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਆਮ ਪਰਬਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 1.45 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਚਿੱਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪਰਬਲੈ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਯਾਦ ਕਰੋ: ਬਿੰਦੂ P ਜਿਸਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (x1,y1)(x1,y1) ਹਨ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ Q ਜਿਸਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (x2,y2),(x2,y2) ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਫਿਰ ਪਰਬਲੈ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 1.45 ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰਨ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.45: ਇੱਕ ਆਮ ਪਰਬਲੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਫੋਕਸ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਵੇਰੀਏਬਲ p.p ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਿਖਰ ਨੂੰ ਮੁੜ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਸਿਖਰ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵੇਰੀਏਬਲ (h,k)(h,k) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਜੇਕਰ ਫੋਕਸ ਸਿੱਧਾ ਸਿਖਰ ਦੇ ਉੱਪਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (h,k+p)(h,k+p) ਹੋਣਗੇ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ y=k−p.y=k−p ਹੋਵੇਗਾ। ਉਸੇ ਉਤਪਾਦਨ ਤੋਂ ਗੁਜ਼ਰਨ ਨਾਲ ਸੂਤਰ (x−h)2=4p(y−k).(x−h)2=4p(y−k) ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਨਾਲ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 1.8
ਪਰਬਲੈ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ
ਇੱਕ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਵਾਲੀ ਪਰਬਲੈ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਿਖਰ (h,k)(h,k) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਫੋਕਸ (h,k+p),(h,k+p) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ p ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ, ਪਰਬਲੈ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।
ਇਹ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਦਾ ਵੀ ਅਧਿਐਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਪਰਵਲੈ ਹੇਠਾਂ ਜਾਂ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਹਰੇਕ ਮਾਮਲੇ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਵੀ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.46: ਚਾਰ ਪਰਵਲੈ, ਵੱਖ-ਵੱਖ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਖੁੱਲ੍ਹਦੇ ਹੋਏ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਨਾਲ।
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ h, k, ਅਤੇ p ਦੇ ਮੁੱਲ ਤੁਰੰਤ ਪਛਾਣਨਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਪਹਿਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਾਉਣ ਲਈ, ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.19
ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਮ ਤੋਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ
ਸਮੀਕਰਨ x2−4x−8y+12=0x2−4x−8y+12=0 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਾਓ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ y ਵਰਗ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਰਵਲੈ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਾ ਦੇਵੇਗਾ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 8y8y ਜੋੜੋ:
ਅਗਲਾ ਕਦਮ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੂਹਿਕ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ:
ਅੱਗੇ ਉਹ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜੋ, ਜਦੋਂ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, x ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦਾ ਅੱਧਾ ਲਓ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਵਰਗ ਕਰੋ। ਇਹ (−42)2=4.(−42)2=4 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ 4 ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਬਾਹਰ 4 ਘਟਾਓ, ਤਾਂ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਾ ਬਦਲੇ:
ਹੁਣ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ:
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, 8 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ:
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁਣ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਸਮੀਕਰਨ 1.11 ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ 'ਤੇ h=2,h=2, k=1,k=1, ਅਤੇ p=2.p=2 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਪਰਵਲੈ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਸਿਖਰ (2,1),(2,1), ਨਾਭੀ (2,3),(2,3), ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ y=−1.y=−1 'ਤੇ ਹੈ। ਇਸ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.47: ਉਦਾਹਰਨ 1.19 ਵਿੱਚ ਪਰਵਲੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.18
ਸਮੀਕਰਨ 2y2−x+12y+16=02y2−x+12y+16=0 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਾਓ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ (ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਵਾਲੇ) ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਸਿਖਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਇੱਕ ਦਿਲਚਸਪ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਗੁਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈਕ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਵਾਲਾ ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਡਿਸ਼ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਤਰੰਗਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕਿਰਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਰੋਸ਼ਨੀ ਜਾਂ ਰੇਡੀਓ ਤਰੰਗਾਂ, ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਤੋਂ ਡਿਸ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੀ ਹੈ (ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ), ਤਾਂ ਤਰੰਗਾਂ ਡਿਸ਼ ਤੋਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਪਰਵਲੈ ਦੀ ਨਾਭੀ 'ਤੇ ਇਕੱਠੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਪੁਲਾੜੀ ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਤੋਂ ਸੰਕੇਤ ਇਕੱਠੇ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈਕ ਡਿਸ਼ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਡਿਸ਼ ਸਿੱਧੇ ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਵੱਲ ਨਿਸ਼ਾਨਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਰਿਸੀਵਰ ਪਰਵਲੈ ਦੀ ਨਾਭੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਤੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਰੇਡੀਓ ਤਰੰਗਾਂ ਪਰਵਲੈ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਤੋਂ ਰਿਸੀਵਰ ਵੱਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਡਿਜੀਟਲ ਸੰਕੇਤਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਡੀਕੋਡ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਰਿਸੀਵਰ ਨੂੰ ਅਸਮਾਨ ਦੇ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਾਲ ਕੋਣ ਤੋਂ ਸੰਕੇਤ ਇਕੱਠੇ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਕਾਰ ਵਿੱਚ ਫਲੈਸ਼ਲਾਈਟਾਂ ਅਤੇ ਹੈੱਡਲਾਈਟਾਂ ਇੱਕੋ ਸਿਧਾਂਤ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਪਰ ਉਲਟਾ: ਰੋਸ਼ਨੀ ਦਾ ਸਰੋਤ (ਯਾਨੀ, ਬਲਬ) ਨਾਭੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਵਲੈਕ ਸ਼ੀਸ਼ੇ 'ਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਸਤ੍ਹਾ ਬੀਮ ਨੂੰ ਸਿੱਧਾ ਅੱਗੇ ਫੋਕਸ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਬਲਬ ਨੂੰ ਫਲੈਸ਼ਲਾਈਟ ਜਾਂ ਕਾਰ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਥਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਾਲ ਕੋਣ ਨੂੰ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਮਾਨ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਅੰਡਾਕਾਰ
ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਨਾਭੀਆਂ (ਫੋਕਸ ਦਾ ਬਹੁਵਚਨ) ਅਤੇ ਦੋ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾਂ (ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਬਹੁਵਚਨ) ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾਂ 'ਤੇ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਦੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ (ਨਾਭੀਆਂ) ਤੋਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
1. ਚਿੱਤਰ 1.48: ਇੱਕ ਆਮ ਅੰਡਾਕਾਰ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅੰਡਾਕਾਰ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਨਾਭੀਆਂ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
2. ਇੱਕ ਆਮ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 1.48 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ FF ਅਤੇ F′.F′ ਵਜੋਂ ਲੇਬਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਦੋਵੇਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ ਦੂਰੀ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ c ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ FF ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (c,0)(c,0) ਹਨ ਅਤੇ F′F′ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (−c,0).(−c,0) ਹਨ। ਬਿੰਦੂ PP ਅਤੇ P′P′ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ (a,0)(a,0) ਅਤੇ (−a,0),(−a,0) ਹਨ। ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਹਮੇਸ਼ਾ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਪਾਰ ਸਭ ਤੋਂ ਲੰਬੀ ਦੂਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਅੰਡਾਕਾਰ ਵਿੱਚ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, PP ਅਤੇ P′P′ ਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਿਖਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ QQ ਅਤੇ Q′Q′ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਗੌਣ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ (0,b)(0,b) ਅਤੇ (0,−b),(0,−b) ਹਨ। ਗੌਣ ਧੁਰਾ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਪਾਰ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਦੂਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਗੌਣ ਧੁਰਾ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
3. ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਅਸੀਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਉੱਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਦੋ ਨਾਭੀਆਂ ਤੋਂ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ P ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਬਿੰਦੂ P ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (a,0),(a,0) ਹਨ, ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ
4. ਇਸ ਲਈ, ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (x,y)(x,y) ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੇ ਬਿੰਦੂ A ਤੋਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਵੀ 2a ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
5. ਦੂਜੇ ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ:
6. ਹੁਣ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦੁਬਾਰਾ ਵਰਗ ਕਰੋ:
7. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸਥਿਰਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ:
8. ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ a2−c2.a2−c2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
9. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 1.48 ਵੱਲ ਮੁੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਦੋ ਹਰੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ a ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਹ ਸੱਚ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਬਿੰਦੂ Q ਤੋਂ ਨਾਭੀਆਂ F ਅਤੇ F′F ਅਤੇ F′ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ 2a ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਹ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਕਰਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ a ਅਤੇ ਲੱਤਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ b ਅਤੇ c ਹੈ। ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ, c2=b2=a2c2=b2=a2 ਅਤੇ b2+a2=c2.b2+a2=c2। ਇਸ ਲਈ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
10. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ (h,k),(h,k) ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਚਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ।
11. ਪ੍ਰਮੇਯ 1.9
12. ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ
13. ਕੇਂਦਰ (h,k),(h,k), ਲੰਬਾਈ 2a ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ, ਅਤੇ ਲੰਬਾਈ 2b ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਗੌਣ ਧੁਰਾ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਇਸ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
14. ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (h±c,k),(h±c,k) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c2=a2−b2.c2=a2−b2। ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ x=h±a2c.x=h±a2c ਹਨ।
15. ਜੇਕਰ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
16. ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (h,k±c),(h,k±c) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c2=a2−b2.c2=a2−b2। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=k±a2c.y=k±a2c ਹਨ।
17. ਜੇਕਰ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ Ax2+By2+Cx+Dy+E=0,Ax2+By2+Cx+Dy+E=0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ, ਜਿੱਥੇ A ਅਤੇ B ਜਾਂ ਤਾਂ ਦੋਵੇਂ ਧਨ ਹਨ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਣ ਹਨ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਮ ਰੂਪ ਤੋਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
18. ਉਦਾਹਰਨ 1.20
19. ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲੱਭਣਾ
20. ਸਮੀਕਰਨ 9x2+4y2−36x+24y+36=09x2+4y2−36x+24y+36=0 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਾਓ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
21. ਹੱਲ
22. ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ 36 ਘਟਾਓ:
23. ਅੱਗੇ x ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਅਤੇ y ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਸਮੂਹਿਕ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ:
24. ਸਾਨੂੰ ਉਹ ਸਥਿਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਹਰੇਕ ਬਰੈਕਟ ਦੇ ਅੰਦਰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲੀ ਬਰੈਕਟ ਵਿੱਚ, x ਦੇ ਗੁਣਕ ਦਾ ਅੱਧਾ ਲਓ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ। ਇਹ (−42)2=4.(−42)2=4 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੀ ਬਰੈਕਟ ਵਿੱਚ, y ਦੇ ਗੁਣਕ ਦਾ ਅੱਧਾ ਲਓ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ। ਇਹ (62)2=9.(62)2=9 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਬਰੈਕਟ ਜੋੜੀ ਦੇ ਅੰਦਰ ਜੋੜੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਪਹਿਲੀ ਬਰੈਕਟ ਦੇ ਅੱਗੇ 9 ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ 36 ਜੋੜ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੂਜੀ ਬਰੈਕਟ ਵਿੱਚ ਵੀ 36 ਜੋੜ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਹੁਣ ਦੋਵਾਂ ਬਰੈਕਟਾਂ ਨੂੰ ਵਿਚਾਰੋ ਅਤੇ 36 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ:
ਸਮੀਕਰਨ ਹੁਣ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਤੁਲਨਾ ਸਮੀਕਰਨ 1.14 ਨਾਲ ਕਰਨ 'ਤੇ h=2, k=−3, a=3, ਅਤੇ b=2 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਹ (2,−3) ਕੇਂਦਰ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਲੰਬਾ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ 6 ਅਤੇ ਗੌਣ ਧੁਰਾ 4 ਹੈ। ਇਸ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.49: ਉਦਾਹਰਨ 1.20 ਵਿੱਚ ਅੰਡਾਕਾਰ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.19
ਸਮੀਕਰਨ 9x^2+16y^2+18x−64y−71=0 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਾਓ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਕੇਪਲਰ ਦੇ ਗ੍ਰਹਿ ਗਤੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਨਿਯਮ ਅਨੁਸਾਰ, ਸੂਰਜ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਹਿ ਦੀ ਕਲਾ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸੂਰਜ ਇੱਕ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1.50(a) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਧਰਤੀ ਦੀ ਕਲਾ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ, ਸਾਲ ਭਰ ਸੂਰਜ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਬਦਲਦੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਆਮ ਗਲਤ ਧਾਰਨਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਧਰਤੀ ਗਰਮੀਆਂ ਵਿੱਚ ਸੂਰਜ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਉੱਤਰੀ ਗੋਲਾਰਧ ਲਈ ਗਰਮੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਧਰਤੀ ਸਰਦੀਆਂ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਸੂਰਜ ਤੋਂ ਦੂਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਮੌਸਮ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਧਰਤੀ ਦੇ ਧੁਰੇ ਦੇ ਕਲਾ ਤਲ ਵਿੱਚ ਝੁਕਾਅ ਕਾਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸੂਰਜ ਦੀ ਕਲਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਧੂਮਕੇਤੂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੈਲੀ ਦਾ ਧੂਮਕੇਤੂ, ਵੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਕਲਾਵਾਂ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਗ੍ਰਹਿਆਂ ਦੀ ਕਲਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਚੰਦਰਮਾ ਅਤੇ ਧਰਤੀ ਦੀ ਕਲਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਉਪਗ੍ਰਹਿ।
ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਗੁਣ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਤੋਂ ਨਿਕਲਣ ਵਾਲੀ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਕਿਰਨ ਅੰਡਾਕਾਰ ਵਿੱਚ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੂਜੇ ਫੋਕਸ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ। ਧੁਨੀ ਤਰੰਗ ਨਾਲ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਯੂ.ਐਸ. ਕੈਪੀਟੋਲ, ਵਾਸ਼ਿੰਗਟਨ, ਡੀ.ਸੀ. ਵਿੱਚ ਨੈਸ਼ਨਲ ਸਟੈਚੂਰੀ ਹਾਲ, ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਆਕਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਮਸ਼ਹੂਰ ਕਮਰਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1.50(b) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਹਾਲ ਨੇ ਲਗਭਗ ਪੰਜਾਹ ਸਾਲਾਂ ਤੱਕ ਯੂ.ਐਸ. ਹਾਊਸ ਆਫ ਰਿਪ੍ਰੈਜ਼ੈਂਟੇਟਿਵਜ਼ ਲਈ ਮੀਟਿੰਗ ਸਥਾਨ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕੀਤਾ। ਇਸ ਅਰਧ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਕਮਰੇ ਦੇ ਦੋ ਫੋਕਸਾਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਫਰਸ਼ 'ਤੇ ਨਿਸ਼ਾਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਛਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਭਾਵੇਂ ਕਮਰਾ ਸੈਲਾਨੀਆਂ ਨਾਲ ਭਰਿਆ ਹੋਵੇ, ਜਦੋਂ ਦੋ ਲੋਕ ਇਨ੍ਹਾਂ ਥਾਵਾਂ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋ ਕੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਗੱਲ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਨੇੜੇ ਖੜ੍ਹੇ ਕਿਸੇ ਵਿਅਕਤੀ ਨਾਲੋਂ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੁਣ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਕਥਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਜੌਨ ਕੁਇੰਸੀ ਐਡਮਜ਼ ਦੀ ਡੈਸਕ ਇੱਕ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਸੀ ਅਤੇ ਉਹ ਹਾਊਸ ਦੇ ਬਾਕੀ ਸਾਰਿਆਂ ਦੀ ਗੱਲਬਾਤ ਸੁਣ ਸਕਦਾ ਸੀ ਬਿਨਾਂ ਕਦੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋਏ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਕਹਾਣੀ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਸੱਚ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸਲ ਛੱਤ ਨੇ ਇੰਨੇ ਜ਼ਿਆਦਾ ਗੂੰਜ ਪੈਦਾ ਕੀਤੇ ਕਿ ਸਾਰੇ ਕਮਰੇ ਨੂੰ ਸ਼ੋਰ ਨੂੰ ਘੱਟ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਰਪੇਟਾਂ ਨਾਲ ਲਟਕਾਉਣਾ ਪਿਆ। ਛੱਤ ਨੂੰ 1902 ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਉਦੋਂ ਹੀ ਹੁਣ-ਮਸ਼ਹੂਰ ਗੁਪਤ ਪ੍ਰਭਾਵ ਉਭਰਿਆ। ਇੱਕ ਹੋਰ ਮਸ਼ਹੂਰ ਗੁਪਤ ਗੈਲਰੀ—ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਵਿਆਹ ਦੇ ਪ੍ਰਸਤਾਵਾਂ ਦਾ ਸਥਾਨ—ਨਿਊਯਾਰਕ ਸਿਟੀ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰੈਂਡ ਸੈਂਟਰਲ ਸਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.50: (a) ਸੂਰਜ ਦੁਆਲੇ ਧਰਤੀ ਦੀ ਕਲਾ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸੂਰਜ ਇੱਕ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਹੈ। (b) ਯੂ.ਐਸ. ਕੈਪੀਟੋਲ ਵਿੱਚ ਸਟੈਚੂਰੀ ਹਾਲ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਗੁਪਤ ਗੈਲਰੀ ਹੈ।
ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ
ਇੱਕ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਦੋ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਸ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਦੋ ਅਸੀਮਟੋਟ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਦੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ (ਫੋਕਸ) ਤੋਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਆਮ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.51: ਇੱਕ ਆਮ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਫੋਕਸ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੰਯੁਕਤ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਗੌਣ ਧੁਰਾ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਉਤਪਤੀ ਲਗਭਗ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਜਿਹੀ ਮੁਸ਼ਕਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੈ: ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ P ਇੱਕ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (x,y) ਹਨ। ਫਿਰ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ |d(P,F1)−d(P,F2)|=constant ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਉਤਪਤੀ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ P ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਸੱਜੀ ਸ਼ਾਖਾ 'ਤੇ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਬਾਰ ਡਿੱਗ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਖੱਬੀ ਸ਼ਾਖਾ 'ਤੇ ਹੈ, ਤਾਂ ਘਟਾਓ ਉਲਟਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੱਜੀ ਸ਼ਾਖਾ ਦਾ ਸਿਖਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (a,0) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਲਈ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਲਈ ਸੱਚ ਹੈ। P ਲਈ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (x,y) 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਣਾ:
ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ ਦੂਜਾ ਰੈਡੀਕਲ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ:
ਹੁਣ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦੁਬਾਰਾ ਵਰਗ ਕਰੋ:
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸਥਿਰਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ:
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ a^2−c^2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ b ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ b^2=c^2−a^2। ਇਹ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ c>a। ਇਸ ਲਈ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਤੋਂ (h,k) ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਲਿਜਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 1.10
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ
ਕੇਂਦਰ (h,k),(h,k) ਵਾਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ (hyperbola) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿਸਦਾ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਖਿਤਵੀਂ (horizontal) ਹੈ ਅਤੇ ਗੌਣ ਧੁਰਾ (minor axis) ਲੰਬਾਤਮਕ (vertical) ਹੈ। ਤਦ ਇਸ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (foci) (h±c,k),(h±c,k) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c2=a2+b2.c2=a2+b2. ਅਨੁਪਾਤੀ ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=k±ba(x−h).y=k±ba(x−h) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾਵਾਂ (directrices) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ
ਜੇਕਰ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਲੰਬਾਤਮਕ ਹੋਵੇ, ਤਦ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (foci) (h,k±c),(h,k±c) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c2=a2+b2.c2=a2+b2. ਅਨੁਪਾਤੀ ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=k±ab(x−h).y=k±ab(x−h) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾਵਾਂ (directrices) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ
ਜੇਕਰ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ (transverse axis) ਖਿਤਵੀਂ ਹੋਵੇ, ਤਦ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਨੂੰ ਖਿਤਵੀਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਲੰਬਾਤਮਕ ਹੋਵੇ ਤਦ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਨੂੰ ਲੰਬਾਤਮਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਆਮ ਰੂਪ (general form) ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ Ax2+By2+Cx+Dy+E=0,Ax2+By2+Cx+Dy+E=0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ, ਜਿੱਥੇ A ਅਤੇ B ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਉਲਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਆਮ ਰੂਪ ਤੋਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ (standard form) ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਨ (completing the square) ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.21
ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲੱਭਣਾ
ਸਮੀਕਰਨ 9x2−16y2+36x+32y−124=09x2−16y2+36x+32y−124=0 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਅਨੁਪਾਤੀ ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹਨ?
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 124 ਜੋੜੋ:
ਅੱਗੇ x ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਅਤੇ y ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਸਮੂਹਬੱਧ ਕਰੋ, ਫਿਰ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ (common factors) ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ:
ਸਾਨੂੰ ਉਹ ਸਥਿਰ ਅੰਕ (constant) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਹਰੇਕ ਕੋਠੇ (parentheses) ਦੇ ਅੰਦਰ ਜੋੜਨ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ (perfect square) ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ। ਪਹਿਲੇ ਕੋਠੇ ਵਿੱਚ, x ਦੇ ਗੁਣਕ (coefficient) ਦਾ ਅੱਧਾ ਲਓ ਅਤੇ ਉਸਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ। ਇਹ (42)2=4.(42)2=4 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਕੋਠੇ ਵਿੱਚ, y ਦੇ ਗੁਣਕ ਦਾ ਅੱਧਾ ਲਓ ਅਤੇ ਉਸਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ। ਇਹ (−22)2=1.(−22)2=1 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਜੋੜੀ ਕੋਠੇ ਦੇ ਅੰਦਰ ਜੋੜੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਪਹਿਲੇ ਕੋਠੇ ਦੇ ਅੱਗੇ 9 ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ 36 ਜੋੜ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਕੋਠੇ ਵਿੱਚੋਂ 16 ਘਟਾ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅੱਗੇ ਦੋਵੇਂ ਕੋਠਿਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ (factor) ਕਰੋ ਅਤੇ 144 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ:
ਸਮੀਕਰਨ ਹੁਣ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਸਮੀਕਰਨ 1.15 ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ 'ਤੇ h=−2,h=−2, k=1,k=1, a=4,a=4, ਅਤੇ b=3.b=3 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ (−2,1)(−2,1) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਖਿਤਵੀਂ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀਆਂ ਅਨੁਪਾਤੀ ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes) y=1±34(x+2).y=1±34(x+2) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.52: ਉਦਾਹਰਨ 1.21 ਵਿੱਚ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.20
ਸਮੀਕਰਨ 4y2−9x2+16y+18x−29=04y2−9x2+16y+18x−29=0 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਅਨੁਪਾਤੀ ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹਨ?
ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਵੀ ਦਿਲਚਸਪ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਗੁਣ (reflective properties) ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੀ ਇੱਕ ਨਾਭੀ ਵੱਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਕਿਰਨ (ray) ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅਕ ਦਰਪਣ (hyperbolic mirror) ਦੁਆਰਾ ਦੂਜੀ ਨਾਭੀ ਵੱਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ (reflected) ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਕਲਪ ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.53: ਦੂਰ ਦੇ ਤਾਰਿਆਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਇਕੱਠਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅਕ ਦਰਪਣ।
ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਇਸ ਗੁਣ ਦੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਉਪਯੋਗ ਹਨ। ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਰੇਡੀਓ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ਨ (radio direction finding) ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ (ਕਿਉਂਕਿ ਦੋ ਟਾਵਰਾਂ ਤੋਂ ਸੰਕੇਤਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਨਾਲ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ), ਅਤੇ ਦੂਰਬੀਨਾਂ (telescopes) ਦੇ ਅੰਦਰ ਦਰਪਣਾਂ ਦੇ ਨਿਰਮਾਣ ਵਿੱਚ (ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਦਰਪਣ ਤੋਂ ਅੱਖ ਤੱਕ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਨ ਲਈ)। ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਦਿਲਚਸਪ ਤੱਥ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਸੂਰਜੀ ਮੰਡਲ (solar system) ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਧੂਮਕੇਤੂ (comet) ਲਈ, ਜੇਕਰ ਸੂਰਜ ਦੇ ਗੁਰੂਤਾ ਖਿੱਚ ਤੋਂ ਬਚਣ ਲਈ ਗਤੀ ਕਾਫ਼ੀ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੋਵੇ, ਤਦ ਧੂਮਕੇਤੂ ਦੁਆਰਾ ਸੂਰਜੀ ਮੰਡਲ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਦਾ ਮਾਰਗ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕੇਂਦਰੀਅਤਾ (Eccentricity) ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ (Directrix)
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ (conic section) ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਕਲਪਿਕ ਤਰੀਕਾ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾਵਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀਅਤਾ (eccentricity) ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਗੁਣ ਦੁਆਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੀ ਕੇਂਦਰੀਅਤਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਉਸ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਨੂੰ ਵਿਲੱਖਣ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਕਿਸੇ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੀ ਕੇਂਦਰੀਅਤਾ e ਨੂੰ, ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਉਸਦੀ ਨਾਭੀ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ, ਨੂੰ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ ਤੱਕ ਦੀ ਲੰਬਾਤਮਕ ਦੂਰੀ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਮੁੱਲ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਲਈ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਜੇਕਰ e=1, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ ਹੈ।
ਜੇਕਰ e<1, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ।
ਜੇਕਰ e>1, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਹੈ।
ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੀ ਕੇਂਦਰਤਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦਾ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਉਹ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ, ਫੋਕਸ ਨਾਮਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਾਲ, ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਚੱਕਰੀ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਦੋ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਦੋ ਸੰਬੰਧਿਤ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਆਪਣੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾਂ ਨਾਲ ਤਿੰਨ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 1.54: ਆਪਣੇ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾਂ ਨਾਲ ਤਿੰਨ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ।
ਪਰਵਲੈ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਪਰਵਲੈ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਫੋਕਸ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਉਸੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ ਦੀ ਕੇਂਦਰਤਾ 1 ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ x=±a²/c ਹਨ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸੱਜਾ ਸਿਖਰ (a,0) ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਸੱਜਾ ਫੋਕਸ (c,0) ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਫੋਕਸ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ a−c ਹੈ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ a²/c−a ਹੈ। ਇਹ ਕੇਂਦਰਤਾ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਕਿਉਂਕਿ c<a, ਇਹ ਕਦਮ ਸਾਬਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਕੇਂਦਰਤਾ 1 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ। ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਵੀ x=±a²/c ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਗਣਨਾ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੀ ਕੇਂਦਰਤਾ ਵੀ e=c/a ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਾਡੇ ਕੋਲ c>a ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੀ ਕੇਂਦਰਤਾ 1 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.22
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੀ ਕੇਂਦਰਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਉਸ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਕੇਂਦਰਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜਿਸ ਦਾ ਵਰਣਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ a=5 ਅਤੇ b=4 ਹੈ। c ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ a²=b²+c² ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। a ਅਤੇ b ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਅਤੇ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਨਾਲ c=3 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਕੇਂਦਰਤਾ e=c/a=3/5=0.6 ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.21
ਉਸ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੀ ਕੇਂਦਰਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜਿਸ ਦਾ ਵਰਣਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ
ਕਈ ਵਾਰ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ ਜਾਂ ਪਛਾਣਨਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਫੋਕਲ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ p ਦਾ ਫੋਕਲ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਲਈ ਫੋਕਲ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a ਅਰਧ-ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ (ਭਾਵ, ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਅੱਧਾ), c ਮੂਲ ਤੋਂ ਫੋਕਸ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ, ਅਤੇ e ਕੇਂਦਰਤਾ ਹੈ। ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, a ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਫੋਕਸ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: ਸ਼ੰਕੂ | e | p
ਸਾਰਣੀ: ਅੰਡਾਕਾਰ | 0<e<1 | a²/c = a(1−e²)
ਸਾਰਣੀ: ਪਰਵਲੈ | e=1 | 2a
ਸਾਰਣੀ: ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ | e>1 | c²/a = a(e²−1)
ਫੋਕਲ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਅਤੇ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੀ ਕੇਂਦਰਤਾ ਦੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਲਈ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੇ ਫੋਕਸਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਪੋਲ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਫਿਰ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 1.11
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਦਾ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ
ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਜਿਸਦਾ ਫੋਕਲ ਪੈਰਾਮੀਟਰ p ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹੈ। ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਪਦ ਨੂੰ 1 ਬਣਾਓ। ਇਹ ਭਿੰਨ ਦੇ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਉਸ ਸਥਿਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਪਲੱਸ ਜਾਂ ਮਾਈਨਸ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਵਿਕੇਂਦਰਤਾ ਹੈ। ਇਹ ਮੁੱਲ ਕੋਨਿਕ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਕੋਸਾਈਨ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੋਨਿਕ ਖਿਤਿਜੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਈਨ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੋਨਿਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਦੋਵੇਂ ਆਉਂਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਧੁਰੇ ਘੁੰਮਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਕੋਨਿਕ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕਿ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੋਵੇ। ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਤਾਂ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਕੋਨਿਕ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੋਵੇ (ਭਾਵ, e=0)।
ਉਦਾਹਰਨ 1.23
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
ਹੱਲ
ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਪਦ 1 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕੋਨਿਕ ਦੀ ਵਿਕੇਂਦਰਤਾ 2 ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਹੈ। ਫੋਕਲ ਪੈਰਾਮੀਟਰ p ਦੀ ਗਣਨਾ ep=3 ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ e=2, ਇਹ p=3/2 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਖਿਤਿਜੀ ਹੈ। θ ਦੇ ਕੁਝ ਮੁੱਲ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ (ਚਿੱਤਰ 1.55) ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਤਰ: θ | r | θ | r
ਸਤਰ: 0 | 1 | π | −3
ਸਤਰ: π/4 | 3/(1+2)≈1.2426 | 5π/4 | 3/(1−2)≈−7.2426
ਸਤਰ: π/2 | 3 | 3π/2 | 3
ਸਤਰ: 3π/4 | 3/(1−2)≈−7.2426 | 7π/4 | 3/(1+2)≈1.2426
ਚਿੱਤਰ 1.55: ਉਦਾਹਰਨ 1.23 ਵਿੱਚ ਵਰਣਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.22
ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
ਦੋ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ
ਦੋ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਇੱਕ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਰੂਪ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ B≠0 ਹੈ ਤਾਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰੇ ਘੁੰਮਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ 4AC−B² ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਕੇਸਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਜ਼ਰੂਰ ਸੱਚ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ:
4AC−B²>0। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ।
4AC−B²=0। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਪਰਬਲ ਹੈ।
4AC−B²<0। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਹੈ।
ਕਰਾਸ ਟਰਮ ਵਾਲੇ ਦੂਜੀ-ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਉਦਾਹਰਨ xy=1 ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ y=1/x ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.56: ਸਮੀਕਰਨ xy=1 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ; ਲਾਲ ਲਾਈਨਾਂ ਘੁੰਮਾਏ ਗਏ ਧੁਰਿਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਇਸ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਅਸੀਮਟੋਟ x ਅਤੇ y ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰੇ ਹਨ। ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਦੇ ਘੁੰਮਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਕੋਣ θ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲਾ cot²θ=A−C/B ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ A=C=0 ਅਤੇ B=1 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ cot²θ=(0−0)/1=0 ਅਤੇ θ=45°। ਘੁੰਮਾਏ ਗਏ ਧੁਰਿਆਂ ਵਾਲੇ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਘੁੰਮਾਏ ਗਏ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਕੋਨਿਕ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਨਵੇਂ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ A′, B′, C′, D′, E′, ਅਤੇ F′ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
The procedure for graphing a rotated conic is the following:
Identify the conic section using the discriminant 4AC−B2.4AC−B2.
Determine θθ using the formula cot2θ=A−CB.cot2θ=A−CB.
Calculate A′,B′,C′,D′,E′,andF′.A′,B′,C′,D′,E′,andF′.
Rewrite the original equation using A′,B′,C′,D′,E′,andF′.A′,B′,C′,D′,E′,andF′.
Draw a graph using the rotated equation.
Example 1.24
Identifying a Rotated Conic
Identify the conic and calculate the angle of rotation of axes for the curve described by the equation
Solution
In this equation, A=13,B=−63,C=7,D=0,E=0,A=13,B=−63,C=7,D=0,E=0, and F=−256.F=−256. The discriminant of this equation is 4AC−B2=4(13)(7)−(−63)2=364−108=256.4AC−B2=4(13)(7)−(−63)2=364−108=256. Therefore this conic is an ellipse. To calculate the angle of rotation of the axes, use cot2θ=A−CB.cot2θ=A−CB. This gives
Therefore 2θ=120o2θ=120o and θ=60o,θ=60o, which is the angle of the rotation of the axes.
To determine the rotated coefficients, use the formulas given above:
The equation of the conic in the rotated coordinate system becomes
A graph of this conic section appears as follows.
Figure 1.57: Graph of the ellipse described by the equation 13x2−63xy+7y2−256=0.13x2−63xy+7y2−256=0. The axes are rotated 60°.60°. The red dashed lines indicate the rotated axes.
Checkpoint 1.23
Identify the conic and calculate the angle of rotation of axes for the curve described by the equation
For the following exercises, determine the equation of the parabola using the information given.
Focus (4,0)(4,0) and directrix x=−4x=−4
Focus (0,−3)(0,−3) and directrix y=3y=3
Focus (0,0.5)(0,0.5) and directrix y=−0.5y=−0.5
Focus (2,3)(2,3) and directrix x=−2x=−2
Focus (0,2)(0,2) and directrix y=4y=4
ਨਾਭੀ (−1,4) ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ x=5
ਨਾਭੀ (−3,5) ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ y=1
ਨਾਭੀ (52,−4) ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ x=72
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ (4,0),(−4,0) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (2,0),(−2,0) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ (0,5),(0,−5) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (0,3),(0,−3) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਲਘੂ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ (0,2),(0,−2) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (3,0),(−3,0) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ (−3,3),(7,3) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (−2,3),(6,3) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ (−3,5),(−3,−3) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (−3,3),(−3,−1) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਲਘੂ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ (0,0),(0,4) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (5,2),(−5,2) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਨਾਭੀਆਂ (2,0),(−2,0) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ ਅਤੇ ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ (eccentricity) 12 ਹੈ।
ਨਾਭੀਆਂ (0,−3),(0,3) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ ਅਤੇ ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ 34 ਹੈ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ (hyperbola) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਸਿਰੇ (5,0),(−5,0) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (6,0),(−6,0) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਸਿਰੇ (0,2),(0,−2) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (0,3),(0,−3) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ (0,3),(0,−3) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (4,0),(−4,0) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਸਿਰੇ (0,1),(6,1) ਅਤੇ ਨਾਭੀ (8,1) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਸਿਰੇ (−2,0),(−2,−4) ਅਤੇ ਨਾਭੀ (−2,−8) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ (3,2),(3,4) ਅਤੇ ਨਾਭੀ (3,7) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਨਾਭੀਆਂ (-6,0),(6,0) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ ਅਤੇ ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ 3 ਹੈ।
(0,10),(0,−10) ਅਤੇ ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ 2.5 ਹੈ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਸੰਗ (conics) ਦੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸੰਗ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
r = −1 1 + cos θ
r = 8 2 − sin θ
r = 5 2 + sin θ
r = 5 −1 + 2 sin θ
r = 3 2 − 6 sin θ
r = 3 −4 + 3 sin θ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਵਿਸੇਸ਼ਤਾ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ: x = 4 ; e = 1 5
ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ: x = −4 ; e = 5
ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ: y = 2 ; e = 2
ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ: y = −2 ; e = 1 2
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚੋ।
r = 1 1 + sin θ
r = 1 1 − cos θ
r = 4 1 + cos θ
r = 10 5 + 4 sin θ
r = 15 3 − 2 cos θ
r = 32 3 + 5 sin θ
r ( 2 + sin θ ) = 4
r = 3 2 + 6 sin θ
r = 3 −4 + 2 sin θ
x 2 9 + y 2 4 = 1
x 2 4 + y 2 16 = 1
4 x 2 + 9 y 2 = 36
25 x 2 − 4 y 2 = 100
x 2 16 − y 2 9 = 1
x 2 = 12 y x 2 = 12 y
y 2 = 20 x y 2 = 20 x
12 x = 5 y 2 12 x = 5 y 2
For the following equations, determine which of the conic sections is described.
x y = 4 x y = 4
x 2 + 4 x y − 2 y 2 − 6 = 0 x 2 + 4 x y − 2 y 2 − 6 = 0
x 2 + 2 3 x y + 3 y 2 − 6 = 0 x 2 + 2 3 x y + 3 y 2 − 6 = 0
x 2 − x y + y 2 − 2 = 0 x 2 − x y + y 2 − 2 = 0
34 x 2 − 24 x y + 41 y 2 − 25 = 0 34 x 2 − 24 x y + 41 y 2 − 25 = 0
52 x 2 − 72 x y + 73 y 2 + 40 x + 30 y − 75 = 0 52 x 2 − 72 x y + 73 y 2 + 40 x + 30 y − 75 = 0
The mirror in an automobile headlight has a parabolic cross section, with the lightbulb at the focus. On a schematic, the equation of the parabola is given as x2=4y.x2=4y. At what coordinates should you place the lightbulb?
A satellite dish is shaped like a paraboloid of revolution. The receiver is to be located at the focus. If the dish is 12 feet across at its opening and 4 feet deep at its center, where should the receiver be placed?
Consider the satellite dish of the preceding problem. If the dish is 8 feet across at the opening and 2 feet deep, where should we place the receiver?
A searchlight is shaped like a paraboloid of revolution. A light source is located 1 foot from the base along the axis of symmetry. If the opening of the searchlight is 3 feet across, find the depth.
Whispering galleries are rooms designed with elliptical ceilings. A person standing at one focus can whisper and be heard by a person standing at the other focus because all the sound waves that reach the ceiling are reflected to the other person. If a whispering gallery has a length of 120 feet and the foci are located 30 feet from the center, find the height of the ceiling at the center.
A person is standing 8 feet from the nearest wall in a whispering gallery. If that person is at one focus and the other focus is 80 feet away, what is the length and the height at the center of the gallery?
For the following exercises, determine the polar equation form of the orbit given the length of the major axis and eccentricity for the orbits of the comets or planets. Distance is given in astronomical units (AU).
Halley’s Comet: length of major axis = 35.88, eccentricity = 0.967
Hale-Bopp Comet: length of major axis = 525.91, eccentricity = 0.995
Mars: length of major axis = 3.049, eccentricity = 0.0934
Jupiter: length of major axis = 10.408, eccentricity = 0.0484