Key Terms
component: a scalar that describes either the vertical or horizontal direction of a vector
coordinate plane: a plane containing two of the three coordinate axes in the three-dimensional coordinate system, named by the axes it contains: the xy-plane, xz-plane, or the yz-plane
cross product: u×v=(u2v3−u3v2)i−(u1v3−u3v1)j+(u1v2−u2v1)k,u×v=(u2v3−u3v2)i−(u1v3−u3v1)j+(u1v2−u2v1)k, where u=〈u1,u2,u3〉u=〈u1,u2,u3〉 and v=〈v1,v2,v3〉v=〈v1,v2,v3〉
cylinder: a set of lines parallel to a given line passing through a given curve
cylindrical coordinate system: a way to describe a location in space with an ordered triple (r,θ,z),(r,θ,z), where (r,θ)(r,θ) represents the polar coordinates of the point’s projection in the xy-plane, and zz represents the point’s projection onto the z-axis
determinant: a real number associated with a square matrix
direction angles: the angles formed by a nonzero vector and the coordinate axes
direction cosines: the cosines of the angles formed by a nonzero vector and the coordinate axes
direction vector: a vector parallel to a line that is used to describe the direction, or orientation, of the line in space
dot product or scalar product: u·v=u1v1+u2v2+u3v3u·v=u1v1+u2v2+u3v3 where u=〈u1,u2,u3〉u=〈u1,u2,u3〉 and v=〈v1,v2,v3〉v=〈v1,v2,v3〉
ellipsoid: a three-dimensional surface described by an equation of the form x2a2+y2b2+z2c2=1;x2a2+y2b2+z2c2=1; all traces of this surface are ellipses
elliptic cone: a three-dimensional surface described by an equation of the form x2a2+y2b2−z2c2=0;x2a2+y2b2−z2c2=0; traces of this surface include ellipses and intersecting lines
elliptic paraboloid: a three-dimensional surface described by an equation of the form z=x2a2+y2b2;z=x2a2+y2b2; traces of this surface include ellipses and parabolas
equivalent vectors: vectors that have the same magnitude and the same direction
general form of the equation of a plane: an equation in the form ax+by+cz+d=0,ax+by+cz+d=0, where n=〈a,b,c〉n=〈a,b,c〉 is a normal vector of the plane, P=(x0,y0,z0)P=(x0,y0,z0) is a point on the plane, and d=−ax0−by0−cz0d=−ax0−by0−cz0
hyperboloid of one sheet: a three-dimensional surface described by an equation of the form x2a2+y2b2−z2c2=1;x2a2+y2b2−z2c2=1; traces of this surface include ellipses and hyperbolas
hyperboloid of two sheets: a three-dimensional surface described by an equation of the form z2c2−x2a2−y2b2=1;z2c2−x2a2−y2b2=1; traces of this surface include ellipses and hyperbolas
initial point: the starting point of a vector
magnitude: the length of a vector
normal vector: a vector perpendicular to a plane
normalization: using scalar multiplication to find a unit vector with a given direction
octants: the eight regions of space created by the coordinate planes
orthogonal vectors: vectors that form a right angle when placed in standard position
ਪੈਰਲਲੋਗ੍ਰਾਮ-ਆਕਾਰ ਦਾ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਪ੍ਰਿਜ਼ਮ ਜਿਸਦੇ ਛੇ ਫਲਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੁੰਦੇ ਹਨ
ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਧੀ; ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖੋ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕੋ ਹੋਵੇ; ਫਿਰ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀਆਂ ਦੋ ਲਾਗਲੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ; ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਉਸ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਵਿਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਬਿੰਦੂ (x0,y0,z0) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵੈਕਟਰ v=〈a,b,c〉 ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ: x=x0+ta, y=y0+tb, ਅਤੇ z=z0+tc
ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਤਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਸਤਹ ਦੇ ਟ੍ਰੇਸ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ (ਅੰਡਾਕਾਰ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਅਤੇ ਪਰਵਲੈਅ) ਹੁੰਦੇ ਹਨ
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਆਮ ਤਰੀਕਾ; ਜਦੋਂ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਨੂੰ z-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਂਗਲਾਂ ਧਨ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਧਨ y-ਧੁਰੇ ਵੱਲ ਮੁੜਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਅੰਗੂਠਾ ਧਨ z-ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ
ਸਿਲੰਡਰ ਸਤਹ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ
ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ
ਬਿੰਦੂ P=(x0,y0,z0) ਅਤੇ ਨਾਰਮਲ ਵੈਕਟਰ n=〈a,b,c〉 ਵਾਲੇ ਸਮਤਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0 ਜਾਂ ਇਸਦਾ ਬਦਲਵਾਂ ਰੂਪ ax+by+cz+d=0, ਜਿੱਥੇ d=−ax0−by0−cz0
ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਜੋ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਗੁਣ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ
ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮਾਪ
ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਜੋ ਸਮਾਂਤਰ ਨਹੀਂ ਹਨ ਪਰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦੀਆਂ
ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਬਿੰਦੂ ਜਿਸਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ
ਸਥਾਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰਿਪੁਟੀ (ρ,θ,φ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ρ, P ਅਤੇ ਮੂਲ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ (ρ≠0), θ, ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਸਥਾਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਉਹੀ ਕੋਣ ਹੈ, ਅਤੇ φ, ਧਨ z-ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ OP— ਵਿਚਕਾਰ ਬਣਿਆ ਕੋਣ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ O ਮੂਲ ਹੈ ਅਤੇ 0≤φ≤π
ਕੇਂਦਰ (a,b,c) ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ r ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ: (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2
ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਨਾਲ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ: i=〈1,0〉, j=〈0,1〉
ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਹੈ
ਬਿੰਦੂ (x0,y0,z0) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵੈਕਟਰ v=〈a,b,c〉 ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ: x−x0a=y−y0b=z−z0c
ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ
ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਜੋ ਤਿੰਨ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ ਜੋ ਸੱਜੇ ਕੋਣਾਂ 'ਤੇ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ; ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰਿਪੁਟੀ (x,y,z) ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇਸਦੇ ਸਥਾਨ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦਾ ਹੈ
ਬਲ ਦਾ ਪ੍ਰਭਾਵ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣਦਾ ਹੈ
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਤਹ ਦਾ ਕਿਸੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਤਲ ਨਾਲ ਅੰਤਰ-ਛੇਦ
ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਕੋਈ ਵੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੂਜੀ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਜੋੜ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ
ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਧੀ; ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦੂਜੇ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਹੋਵੇ; ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਫਿਰ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ; ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਉਹ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਤੀਜੀ ਭੁਜਾ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ; ਜੋੜ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਪਹਿਲੇ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਜੋੜ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦੂਜੇ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਦੋ ਹੋਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ: u·(v×w)
1. ਇਕਾਈ ਸਦਿਸ਼: ਇੱਕ ਸਦਿਸ਼ ਜਿਸਦਾ ਮਾਪ 1 ਹੈ।
2. ਸਦਿਸ਼: ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਵਸਤੂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਮਾਪ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦੋਵੇਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
3. ਸਦਿਸ਼ ਜੋੜ: ਇੱਕ ਸਦਿਸ਼ ਕਿਰਿਆ ਜੋ ਦੋ ਸਦਿਸ਼ਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ।
4. ਸਦਿਸ਼ ਘਟਾਓ: ਸਦਿਸ਼ ਘਟਾਓ v−wv−w ਨੂੰ v+(−w)=v+(−1)wv+(−w)=v+(−1)w ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
5. ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਦਿਸ਼ ਸਮੀਕਰਨ: ਸਮੀਕਰਨ r=r0+tvr=r0+tv, ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਿੰਦੂ P=(x0,y0,z0)P=(x0,y0,z0) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਸਦਿਸ਼ v=〈a,b,c〉v=〈a,b,c〉 ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ r0=〈x0,y0,z0〉,r0=〈x0,y0,z0〉, ਬਿੰਦੂ PP ਦਾ ਸਥਿਤੀ ਸਦਿਸ਼ ਹੈ।
6. ਤਲ ਦਾ ਸਦਿਸ਼ ਸਮੀਕਰਨ: ਸਮੀਕਰਨ n·PQ→=0,n·PQ→=0, ਜਿੱਥੇ PP ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, QQ ਤਲ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਅਤੇ nn ਤਲ ਦਾ ਇੱਕ ਲੰਬ ਸਦਿਸ਼ ਹੈ।
7. ਸਦਿਸ਼ ਗੁਣਨਫਲ: ਦੋ ਸਦਿਸ਼ਾਂ ਦਾ ਕਰਾਸ ਗੁਣਨਫਲ।
8. ਸਦਿਸ਼ ਪ੍ਰਛਾਂਵਾਂ: ਇੱਕ ਸਦਿਸ਼ ਦਾ ਉਹ ਹਿੱਸਾ ਜੋ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦਿਸ਼ਾ ਦਾ ਅਨੁਸਰਣ ਕਰਦਾ ਹੈ।
9. ਸਦਿਸ਼ ਜੋੜ: ਦੋ ਸਦਿਸ਼ਾਂ, vv ਅਤੇ w,w, ਦਾ ਜੋੜ ਗ੍ਰਾਫਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ww ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ v ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਰੱਖ ਕੇ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ; ਫਿਰ ਸਦਿਸ਼ ਜੋੜ v+wv+w ਉਹ ਸਦਿਸ਼ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ v ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ww ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
10. ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ: ਕੰਮ ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਹਿਲਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਊਰਜਾ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਬਲ ਨੂੰ ਸਦਿਸ਼ F ਅਤੇ ਵਸਤੂ ਦੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਨੂੰ ਸਦਿਸ਼ s ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ F ਅਤੇ s ਦਾ ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
11. ਸਿਫ਼ਰ ਸਦਿਸ਼: ਉਹ ਸਦਿਸ਼ ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦੋਵੇਂ (0,0)(0,0) ਹਨ।