ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2.7.1 ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਤੋਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
2.7.2 ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਤੋਂ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
2.7.3 ਸਫੈਰਿਕਲ ਤੋਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
2.7.4 ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਤੋਂ ਸਫੈਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿੱਧਾ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕੁਝ ਸਤਹਾਂ ਨੂੰ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਮਾਡਲ ਕਰਨਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ; ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਅਕਸਰ ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੁਆਇੰਟ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਉਪਯੋਗੀ ਵਿਕਲਪਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਚੱਕਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਦੇ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ 'ਤੇ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰਦੇ ਹਾਂ, ਦੋਵੇਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨਾਮ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ, ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਸਿਲੰਡਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਗੋਲ ਪਾਣੀ ਦੀ ਟੈਂਕੀ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਜਾਂ ਪਾਈਪ ਰਾਹੀਂ ਵਗ ਰਹੇ ਤੇਲ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਫੈਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਗੋਲਿਆਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਗੁੰਬਦਦਾਰ ਢਾਂਚਿਆਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਲੱਭਣਾ।
ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਰਵਾਇਤੀ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ, ਅਸੀਂ ਤੀਜੇ ਅਯਾਮ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਧੁਰਾ ਜੋੜਿਆ। ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇਸੇ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦਾ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਵਿਸਥਾਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ਪੁਆਇੰਟ (ਚਿੱਤਰ 2.89) ਨੂੰ ਆਰਡਰਡ ਟ੍ਰਿਪਲ (r,θ,z) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ
(r,θ) xy-ਤਲ ਵਿੱਚ ਪੁਆਇੰਟ ਦੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਹਨ
z ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਆਮ z-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 2.89: ਸੱਜਾ ਤਿਕੋਣ xy-ਤਲ ਵਿੱਚ ਪਿਆ ਹੈ। ਹਾਈਪੋਟੇਨਿਊਜ਼ ਦੀ ਲੰਬਾਈ r ਹੈ ਅਤੇ θ ਧਨਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਹਾਈਪੋਟੇਨਿਊਜ਼ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ। z-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ xy-ਤਲ ਦੇ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਪੁਆਇੰਟ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
xy-ਤਲ ਵਿੱਚ, ਚਿੱਤਰ 2.89 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਸੱਜਾ ਤਿਕੋਣ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਅਤੇ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ, ਜਾਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ, ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿਚਕਾਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਕੁੰਜੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 2.15
ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਅਤੇ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿਚਕਾਰ ਪਰਿਵਰਤਨ
ਇੱਕ ਪੁਆਇੰਟ ਦੇ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (x,y,z) ਅਤੇ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (r,θ,z) ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਸਬੰਧਤ ਹਨ:
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸੀ, ਇਹ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ tanθ=y/x ਦਾ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ θ ਨੂੰ 0 ਅਤੇ 2π ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ xy-ਤਲ ਦੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਸਲ ਪੁਆਇੰਟ (x,y,z) ਸਥਿਤ ਹੈ, ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਹੱਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇ x=0 ਹੈ, ਤਾਂ θ ਦਾ ਮੁੱਲ y ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ π/2, 3π/2, ਜਾਂ 0 ਹੈ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਇਸਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਦੇਖਣ ਲਈ, xy-ਤਲ ਵਿੱਚ ਪੁਆਇੰਟ P 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (x,y,0) ਅਤੇ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (r,θ,0) ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.90: ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਸਮੀਕਰਨ r²=x²+y² ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸੱਜੇ-ਤਿਕੋਣ ਸਬੰਧ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੇ ਹਨ ਕਿ x=rcosθ, y=rsinθ, ਅਤੇ tanθ=y/x।
ਆਓ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਅਤੇ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ ਜਦੋਂ ਹਰੇਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ c ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ, x=c, y=c, ਜਾਂ z=c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸਤਹਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮਤਲ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਰੂਪਾਂ ਦੇ ਸਮਤਲ ਕ੍ਰਮਵਾਰ yz-ਤਲ, xz-ਤਲ, ਅਤੇ xy-ਤਲ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ z-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ। ਇਸ ਲਈ, ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ, z=c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸਤਹਾਂ xy-ਤਲ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਸਮਤਲ ਹਨ। ਹੁਣ, ਆਓ r=c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸਤਹਾਂ ਬਾਰੇ ਸੋਚੀਏ। ਇਹਨਾਂ ਸਤਹਾਂ 'ਤੇ ਪੁਆਇੰਟ z-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸਤਹਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਚੱਕਰੀ ਸਿਲੰਡਰ ਹਨ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, θ=c ਬਾਰੇ ਕੀ? θ=c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀ ਸਤਹ 'ਤੇ ਪੁਆਇੰਟ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕੋਣ 'ਤੇ ਹਨ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ z-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਅੱਧਾ-ਤਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.91 ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 2.92)।
ਚਿੱਤਰ 2.91: ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ, (a) x=c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸਤਹਾਂ yz-ਤਲ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਸਮਤਲ ਹਨ, (b) y=c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸਤਹਾਂ xz-ਤਲ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਸਮਤਲ ਹਨ, ਅਤੇ (c) z=c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸਤਹਾਂ xy-ਤਲ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਸਮਤਲ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2.92: ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ, (a) r=c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸਤਹਾਂ c ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸਿਲੰਡਰ ਹਨ, (b) θ=c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸਤਹਾਂ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ c ਕੋਣ 'ਤੇ ਅੱਧੇ-ਤਲ ਹਨ, ਅਤੇ (c) z=c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸਤਹਾਂ xy-ਤਲ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਸਮਤਲ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.60
ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਤੋਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ
ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (4,2π3,−2)(4,2π3,−2) ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਥਾਨ ਨੂੰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਤੋਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਲਈ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਅਤੇ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿਚਕਾਰ ਤਬਦੀਲੀ: ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਵਰਤੋਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (4,2π3,−2)(4,2π3,−2) ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (−2,23,−2)(−2,23,−2) ਹਨ (ਅਗਲੀ ਤਸਵੀਰ ਵੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 2.93: xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਮੂਲ ਤੋਂ 4 ਯੂਨਿਟ ਦੂਰ ਹੈ। ਮੂਲ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਤੱਕ ਦੀ ਰੇਖਾ ਧਨਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਨਾਲ 2π32π3 ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ xy-ਪਲੇਨ ਤੋਂ 22 ਯੂਨਿਟ ਹੇਠਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.55
ਬਿੰਦੂ RR ਕੋਲ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (5,π6,4)(5,π6,4) ਹਨ। RR ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਥਾਨ ਨੂੰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ, ਜਾਂ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ, ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਜੇ ਇਹ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਲੱਗਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਚੰਗੇ ਕਾਰਨ ਕਰਕੇ ਹੈ। ਇਹ ਬਿਲਕੁਲ ਉਹੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲ ਕਰਨ ਲਈ ਅਪਣਾਈ ਸੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.61
ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਤੋਂ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ
ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (1,−3,5)(1,−3,5) ਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਤੋਂ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਅਤੇ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿਚਕਾਰ ਤਬਦੀਲੀ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਦੂਜੇ ਸਮੂਹ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਅਸੀਂ ਧਨਾਤਮਕ ਵਰਗ ਮੂਲ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ r=10.r=10. ਹੁਣ, ਅਸੀਂ θ.θ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, y ਧਨਾਤਮਕ ਅਤੇ x ਧਨਾਤਮਕ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ 3π23π2 ਅਤੇ 2π:2π: ਵਿਚਕਾਰ θθ ਦਾ ਮੁੱਲ ਚੁਣਨਾ ਪਵੇਗਾ:
ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, z-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਅਤੇ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨ ਹਨ:
ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (1,−3,5)(1,−3,5) ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਲਗਭਗ (10,5.03,5).(10,5.03,5) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.56
ਬਿੰਦੂ (−8,8,−7)(−8,8,−7) ਨੂੰ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲ ਕਰੋ।
ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਰਗੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਆਮ ਹੈ। ਬਿਜਲਈ ਚਾਰਜਾਂ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਚਾਰਜਾਂ ਨੂੰ ਸਟੋਰ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਕੈਪੀਸੀਟਰਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਨੇ ਖੋਜਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਵਿੱਚ ਕਈ ਵਾਰ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਵਿੱਚ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਮਾਡਲਿੰਗ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਧੇਰੇ ਸਰਲ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ x2+y2=25x2+y2=25 ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਸਿਲੰਡਰ ਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਸਮੀਕਰਨ r=5.r=5 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.62
ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਸਤਹਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਸਤਹਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
θ=π4θ=π4
r2+z2=9r2+z2=9
z=rz=r
ਹੱਲ
ਜਦੋਂ ਕੋਣ θθ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ rr ਅਤੇ zz ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਅੱਧਾ-ਤਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਅਗਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)। ਤਸਵੀਰ 2.94 ਧਰੁਵੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ θ=π/4θ=π/4 ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚੋਂ ਤਿਰਛੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਕਿਰਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹੋ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਅੱਧੇ-ਤਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ r2+z2=9r2+z2=9 ਵਿੱਚ r2=x2+y2r2=x2+y2 ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ: x2+y2+z2=9.x2+y2+z2=9. ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 33 ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਅਗਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)। ਤਸਵੀਰ 2.95 ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 33 ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਗੋਲਾ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨ r2+z2=9.r2+z2=9 ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਤਹ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ z=r,z=r ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, xy-ਤਲ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਟ੍ਰੇਸਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਤਲ z=1z=1 ਵਿੱਚ ਟ੍ਰੇਸ ਚੱਕਰ r=1,r=1 ਹੈ, ਤਲ z=3z=3 ਵਿੱਚ ਟ੍ਰੇਸ ਚੱਕਰ r=3,r=3 ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ। ਹਰ ਟ੍ਰੇਸ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ zz ਦਾ ਮੁੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵੀ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਸਤਹ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਹੈ (ਅਗਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)। ਤਸਵੀਰ 2.96 xy-ਤਲ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਤਲਾਂ ਵਿੱਚ ਟ੍ਰੇਸ ਚੱਕਰ ਹਨ। ਚੱਕਰਾਂ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ zz ਵਧਣ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.57
ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨ r=6.r=6 ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਤਹ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ
ਕਾਰਟੇਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ, ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਸਥਾਨ ਇੱਕ ਆਰਡਰਡ ਟ੍ਰਿਪਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਇੱਕ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ, ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਸਥਾਨ ਦੋ ਦੂਰੀਆਂ (randz)(randz) ਅਤੇ ਇੱਕ ਕੋਣ ਮਾਪ (θ).(θ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਸਥਾਨ ਵਰਣਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਦੁਬਾਰਾ ਇੱਕ ਆਰਡਰਡ ਟ੍ਰਿਪਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਟ੍ਰਿਪਲ ਇੱਕ ਦੂਰੀ ਅਤੇ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਲਈ ਗਰਿੱਡ ਲਾਈਨਾਂ ਕੋਣ ਮਾਪਾਂ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਧਰੁਵੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਲਈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ, ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ PP (ਤਸਵੀਰ 2.97) ਨੂੰ ਆਰਡਰਡ ਟ੍ਰਿਪਲ (ρ,θ,φ)(ρ,θ,φ) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ
ρρ (ਗ੍ਰੀਕ ਅੱਖਰ rho) PP ਅਤੇ ਮੂਲ (ρ≠0);(ρ≠0) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ;
θθ ਉਹੀ ਕੋਣ ਹੈ ਜੋ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਸਥਾਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;
φφ (ਗ੍ਰੀਕ ਅੱਖਰ phi) ਸਕਾਰਾਤਮਕ z-ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ OP—,OP—, ਜਿੱਥੇ OO ਮੂਲ ਹੈ ਅਤੇ 0≤φ≤π.0≤φ≤π ਹੈ, ਦੁਆਰਾ ਬਣਿਆ ਕੋਣ ਹੈ।
ਤਸਵੀਰ 2.97: ਗੋਲਾਕਾਰ, ਆਇਤਾਕਾਰ, ਅਤੇ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ।
ਸੰਮਤੀ ਅਨੁਸਾਰ, ਮੂਲ ਨੂੰ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ (0,0,0)(0,0,0) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 2.16
ਗੋਲਾਕਾਰ, ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ, ਅਤੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਣਾ
ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (x,y,z)(x,y,z) ਅਤੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (ρ,θ,φ)(ρ,θ,φ) ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਅਨੁਸਾਰ ਸਬੰਧਤ ਹਨ:
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (r,θ,z),(r,θ,z) ਹਨ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਅਤੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਲੱਗ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਉਹ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੇ ਸਿੱਧੇ ਉਪਯੋਗ ਹਨ। ਤਸਵੀਰ 2.98 ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਦੇਖਣਾ ਆਸਾਨ ਹੈ ਕਿ r=ρsinφ.r=ρsinφ. ਫਿਰ, xy-ਤਲ ਵਿੱਚ rr ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਹਾਈਪੋਟੇਨਿਊਜ਼ ਵਜੋਂ ਲੈ ਕੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ x=rcosθ=ρsinφcosθ.x=rcosθ=ρsinφcosθ ਹੈ। yy ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਤਸਵੀਰ 2.96 ਇਹ ਵੀ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ρ2=r2+z2=x2+y2+z2ρ2=r2+z2=x2+y2+z2 ਅਤੇ z=ρcosφ.z=ρcosφ. ਆਖਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ φφ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਫਿਰ ρ=r2+z2ρ=r2+z2 (ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ) ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਨਾ φ=arccos(zr2+z2).φ=arccos(zr2+z2) ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ, ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਸਾਨੂੰ tanθ=yxtanθ=yx ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ θ.θ ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਚੁਣਨ ਲਈ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਤਸਵੀਰ 2.98: ਇੱਕ ਸਿਸਟਮ ਤੋਂ ਦੂਜੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਸੱਜੇ-ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਸਬੰਧਾਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਆਓ ਉਨ੍ਹਾਂ ਸਤਹਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ ਜੋ ਹਰੇਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖਣ 'ਤੇ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ cc ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਅਤੇ ρ=c.ρ=c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸਤਹਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਹਨਾਂ ਸਤਹਾਂ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਮੂਲ ਤੋਂ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗੋਲਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ θθ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਾਂਗ ਹੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ θ=cθ=c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸਤਹਾਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ ਅੱਧੇ-ਤਲ ਹਨ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, φ=c.φ=c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸਤਹਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਹਨਾਂ ਸਤਹਾਂ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ z-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕੋਣ 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅੱਧਾ-ਸ਼ੰਕੂ (ਤਸਵੀਰ 2.99) ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।
2.99: ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ρ=c ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੀਆਂ ਸਤਹਾਂ ρ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ (a), θ=c ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੀਆਂ ਸਤਹਾਂ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ θ ਕੋਣ ਵਾਲੇ ਅੱਧੇ-ਤਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (b), ਅਤੇ ϕ=c ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੀਆਂ ਸਤਹਾਂ z-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ϕ ਕੋਣ ਵਾਲੇ ਅੱਧੇ-ਸ਼ੰਕੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (c)।
2.63 ਉਦਾਹਰਨ
ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਤੋਂ ਬਦਲਣਾ
ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (8,π3,π6) ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਥਾਨ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਅਤੇ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਦੋਵਾਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਗੋਲਾਕਾਰ, ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਅਤੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਣ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਗੋਲਾਕਾਰ ਅਤੇ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅਨੁਵਾਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ (ਚਿੱਤਰ 2.100):
2.100: xy-ਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਮੂਲ ਤੋਂ 44 ਇਕਾਈ ਦੂਰ ਹੈ। ਮੂਲ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਤੱਕ ਦੀ ਰੇਖਾ ਧਨਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਨਾਲ π/3 ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ xy-ਤਲ ਤੋਂ 4343 ਇਕਾਈ ਉੱਪਰ ਸਥਿਤ ਹੈ।
ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (8,π3,π6) ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (2,23,43) ਹਨ।
ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਵੀ ਓਨਾ ਹੀ ਸਿੱਧਾ ਹੈ:
ਇਸ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (4,π3,43) ਹਨ।
2.58 ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ
ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (2,−5π6,π6) ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਥਾਨ ਦਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਅਤੇ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਦੋਵਾਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
2.64 ਉਦਾਹਰਨ
ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਤੋਂ ਬਦਲਣਾ
ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (−1,1,6) ਨੂੰ ਗੋਲਾਕਾਰ ਅਤੇ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਦੋਵਾਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਹੱਲ
ਆਇਤਾਕਾਰ ਤੋਂ ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ:
ਕਿਉਂਕਿ (x,y)=(−1,1), ਇਸ ਲਈ θ ਲਈ ਸਹੀ ਚੋਣ 3π4 ਹੈ।
φ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਦੇ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਦੋ ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ φ=arccos(zx2+y2+z2) ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਵਧੇਰੇ ਸਰਲ ਪਹੁੰਚ, ਸਮੀਕਰਨ z=ρcosφ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ z=6 ਅਤੇ ρ=22, ਇਸ ਲਈ
ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ φ=π6। ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (22,3π4,π6) ਹਨ।
ਬਿੰਦੂ ਲਈ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ r ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
ਬਿੰਦੂ ਲਈ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (2,3π4,6) ਹਨ।
2.65 ਉਦਾਹਰਨ
ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਸਤਹਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਸਤਹਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
θ=π3
φ=5π6
ρ=6
ρ=sinθsinφ
ਹੱਲ
ਚੱਲ θ, ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਅਤੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ (ρ,π3,φ) ਹਨ, ਉਸ ਤਲ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ ਜੋ ਧਨਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਨਾਲ θ=π3 ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ρ>0, ਸਤਹ ਜਿਸ ਦਾ ਵਰਣਨ ਸਮੀਕਰਨ θ=π3 ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅੱਧਾ-ਤਲ ਹੈ ਜੋ ਚਿੱਤਰ 2.101 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2.101 ਸਤਹ ਜਿਸ ਦਾ ਵਰਣਨ ਸਮੀਕਰਨ θ=π3 ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਅੱਧਾ-ਤਲ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ φ=5π6, ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਮੂਲ ਤੋਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ ਜੋ ਧਨਾਤਮਕ z-ਧੁਰੇ ਨਾਲ 5π6 ਰੇਡੀਅਨ ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਅੱਧਾ-ਸ਼ੰਕੂ (ਚਿੱਤਰ 2.102) ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਧਨਾਤਮਕ z-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ φ ਦਾ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਪੂਰਾ ਸ਼ੰਕੂ (ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਾਲਾ) ਨਹੀਂ ਮਿਲਦਾ। ਚਿੱਤਰ 2.102 ਸਮੀਕਰਨ φ=5π6 ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ φ=arccos(zx2+y2+z2) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। 5π6=arccos(zx2+y2+z2) cos5π6=zx2+y2+z2 −32=zx2+y2+z2 34=z2x2+y2+z2 3x24+3y24+3z24=z2 3x24+3y24−z24=0। ਇਹ z-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ ρ=6, ਮੂਲ ਤੋਂ 6 ਇਕਾਈਆਂ ਦੂਰ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ—6 ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਗੋਲਾ (ਚਿੱਤਰ 2.103)। ਚਿੱਤਰ 2.103 ਸਮੀਕਰਨ ρ=6, 6.6 ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਸਤਹ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੋਲਾਕਾਰ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ, ਸਮੀਕਰਨ y=ρsinφsinθ ਅਤੇ ρ2=x2+y2+z2: ρ=sinθsinφ ρ2=ρsinθsinφ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ρ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। x2+y2+z2=y ਆਇਤਾਕਾਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਉਪਰੋਕਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਦਲੋ। x2+y2−y+z2=0 ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ y ਘਟਾਓ। x2+y2−y+14+z2=14 ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰੋ। x2+(y−12)2+z2=14। ਮੱਧਮ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। ρ=sinθsinφ ρ2=ρsinθsinφ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ρ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। x2+y2+z2=y ਆਇਤਾਕਾਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਉਪਰੋਕਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਦਲੋ। x2+y2−y+z2=0 ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ y ਘਟਾਓ। x2+y2−y+14+z2=14 ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰੋ। x2+(y−12)2+z2=14। ਮੱਧਮ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। ਸਮੀਕਰਨ ਬਿੰਦੂ (0,12,0) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 12.12 ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.59
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਤਹਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
ρ=13
θ=2π3
φ=π4
ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਕੁਝ ਹੱਦ ਤੱਕ ਸਮਰੂਪਤਾ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਉਪਯੋਗੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਗੁੰਬਦ ਵਾਲੇ ਸਟੇਡੀਅਮ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਆਇਤਨ ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਗ੍ਰਹਿ ਦੇ ਵਾਯੂਮੰਡਲ ਵਿੱਚ ਹਵਾ ਦੀਆਂ ਗਤੀਆਂ। ਕਾਰਟੇਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ x2+y2+z2=c2 ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਗੋਲਾ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਸਧਾਰਨ ਸਮੀਕਰਨ ρ=c ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਭੂਗੋਲ ਵਿੱਚ, ਅਕਸ਼ਾਂਸ਼ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਧਰਤੀ ਦੀ ਸਤਹ 'ਤੇ ਸਥਾਨਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2.104 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਧਰਤੀ ਦਾ ਆਕਾਰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਗੋਲਾ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਧਰਤੀ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਥਾਨਾਂ ਨੂੰ ਸੰਚਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਧਰਤੀ 40004000 ਮੀਲ ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਕੋਣ ਮਾਪਾਂ ਨੂੰ ਰੇਡੀਅਨ ਦੀ ਬਜਾਏ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਅਕਸ਼ਾਂਸ਼ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2.104: ਅਕਸ਼ਾਂਸ਼-ਲੰਬਕਾਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ਕੋਣ ਵਿਸ਼ਵ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਪ੍ਰਧਾਨ ਰੇਖਾਂਤਰ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਧਰਤੀ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਧਰਤੀ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਗੋਲੇ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਉੱਤਰੀ ਧਰੁਵ ਤੱਕ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਕਿਰਨ ਧਨਾਤਮਕ z-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਪ੍ਰਧਾਨ ਰੇਖਾਂਤਰ ਉਸ ਸਤਹ ਦਾ ਟਰੇਸ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਹ xz-ਤਲ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਵਿਸ਼ਵ ਰੇਖਾ xy-ਤਲ ਨੂੰ ਕੱਟਣ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਟਰੇਸ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.66
ਅਕਸ਼ਾਂਸ਼ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰ ਨੂੰ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ
ਕੋਲੰਬਸ, ਓਹੀਓ ਦਾ ਅਕਸ਼ਾਂਸ਼ 40°40° N ਹੈ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰ 83°83° W ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਕੋਲੰਬਸ ਵਿਸ਼ਵ ਰੇਖਾ ਤੋਂ 40°40° ਉੱਤਰ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਧਰਤੀ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਕੋਲੰਬਸ ਤੱਕ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਕਿਰਨ ਅਤੇ ਧਰਤੀ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਕੋਲੰਬਸ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਦੱਖਣ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ਵ ਰੇਖਾ ਤੱਕ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਕਿਰਨ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ। ਕਿਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ 40°40° ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਪ੍ਰਧਾਨ ਰੇਖਾਂਤਰ ਤੋਂ ਮਾਪਦੇ ਹੋਏ, ਕੋਲੰਬਸ ਪੱਛਮ ਵੱਲ 83°83° ਸਥਿਤ ਹੈ। ਕੋਲੰਬਸ ਦੇ ਸਥਾਨ ਨੂੰ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਓ।
ਹੱਲ
ਧਰਤੀ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ 40004000 ਮੀਲ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ρ=4000। ਪ੍ਰਧਾਨ ਰੇਖਾਂਤਰ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਵ ਰੇਖਾ ਦਾ ਚੌਰਾਹਾ ਧਨਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਪੱਛਮ ਵੱਲ ਗਤੀ ਫਿਰ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਕੋਣ ਮਾਪਾਂ ਨਾਲ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ θ=−83°, ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਲੰਬਸ ਵਿਸ਼ਵ ਰੇਖਾ ਤੋਂ 40°40° ਉੱਤਰ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਇਹ ਉੱਤਰੀ ਧਰੁਵ ਤੋਂ 50°50° ਦੱਖਣ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ φ=50°। ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ, ਕੋਲੰਬਸ ਬਿੰਦੂ (4000,−83°,50°) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।
2.60 ਪੜਤਾਲ
ਸਿਡਨੀ, ਆਸਟ੍ਰੇਲੀਆ 34°S ਅਤੇ 151°E 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਸਿਡਨੀ ਦੇ ਸਥਾਨ ਨੂੰ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਸਿਲੰਡਰਕਲ ਅਤੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਸਾਨੂੰ ਮੌਜੂਦਾ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਚੁਣਨ ਦੀ ਲਚਕਤਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਸੋਚ-ਸਮਝ ਕੇ ਚੋਣ ਕਿਸੇ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਬਹੁਤ ਆਸਾਨ ਬਣਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਮਾੜੀ ਚੋਣ ਬੇਲੋੜੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਗਣਨਾਵਾਂ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਲਈ ਸਰਬੋਤਮ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਚੋਣ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.67
ਸਰਬੋਤਮ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਚੋਣ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਸਭ ਤੋਂ ਢੁਕਵਾਂ ਹੈ ਅਤੇ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰਿਆਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਧੁਰਿਆਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਹੀ ਜਵਾਬ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸਥਾਪਨਾ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਅਰਥ ਰੱਖਦੀ ਹੈ। ਨੋਟ: ਇਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਜਾਂ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 2.105)।
ਇੱਕ ਗੇਂਦਬਾਜ਼ੀ ਗੇਂਦ ਦੇ ਗੁਰੂਤਾ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਸਮੁੰਦਰੀ ਧਾਰਾ ਦੇ ਅਧੀਨ ਇੱਕ ਪਣਡੁੱਬੀ ਦੇ ਵੇਗ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਪਾਣੀ ਦੇ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਦਬਾਅ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਪਾਈਪਲਾਈਨ ਵਿੱਚੋਂ ਵਗ ਰਹੇ ਤੇਲ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਇੱਕ ਫੁੱਟਬਾਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਚਮੜੇ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਚਿੱਤਰ 2.105 (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: (a) scl hua, Wikimedia ਦੁਆਰਾ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ, (b) DVIDSHUB, Flickr ਦੁਆਰਾ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ, (c) Michael Malak, Wikimedia ਦੁਆਰਾ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ, (d) Sean Mack, Wikimedia ਦੁਆਰਾ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ, (e) Elvert Barnes, Flickr ਦੁਆਰਾ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ)
ਹੱਲ
ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਗੇਂਦਬਾਜ਼ੀ ਗੇਂਦ ਇੱਕ ਗੋਲਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਸ਼ਾਇਦ ਇੱਥੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਕੰਮ ਕਰਨਗੇ। ਮੂਲ ਨੂੰ ਗੇਂਦ ਦੇ ਭੌਤਿਕ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। x-, y- ਅਤੇ z-ਧੁਰਿਆਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਕੋਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਚੋਣ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਗੇਂਦਬਾਜ਼ੀ ਗੇਂਦਾਂ ਵਿੱਚ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਭਾਰ ਬਲਾਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸੰਭਵ ਚੋਣ z-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਭਾਰ ਬਲਾਕ ਦੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਇਕਸਾਰ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਪਣਡੁੱਬੀ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ ਚਲਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਕੋਈ ਘੁੰਮਣ ਜਾਂ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਚੋਣ ਹਨ। z-ਧੁਰਾ ਸ਼ਾਇਦ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਪੂਰਬ ਅਤੇ ਉੱਤਰ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਕਸਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਮੂਲ ਇੱਕ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਭੌਤਿਕ ਸਥਾਨ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਣਡੁੱਬੀ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ ਜਾਂ ਇੱਕ ਖਾਸ ਬੰਦਰਗਾਹ ਦਾ ਸਥਾਨ।
ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਵਿੱਚ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਿਲੰਡਰਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ z=kr ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ φ=c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸਤਹਾਂ ਅੱਧੇ-ਸ਼ੰਕੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ, ਅੰਡਾਕਾਰ ਸ਼ੰਕੂ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤਹਾਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ z2=x2a2+y2b2 ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤਿੰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਤਹ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੂਜੇ ਦੋ ਸਿਸਟਮਾਂ ਨਾਲੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਉਸ ਚੋਣ ਤੋਂ ਬਚਣਾ ਚਾਹ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪਾਣੀ ਦੇ ਟੈਂਕ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਸਾਡੀਆਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਸਮੇਂ ਖੇਡ ਵਿੱਚ ਆ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਹਿੱਸਾ ਹੋਣਾ ਚੰਗਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉਚਾਈ ਅਤੇ ਡੂੰਘਾਈ ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰਕ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਸਿਲੰਡਰਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਚੋਣ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। z-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਇਕਸਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਚੁਣੋ। ਹੋਰ ਦੋ ਧੁਰਿਆਂ ਦੀ ਸਥਾਪਨਾ ਮਨਮਾਨੀ ਹੈ। ਮੂਲ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਪਾਈਪਲਾਈਨ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਿਲੰਡਰਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਚੋਣ ਹੋਣਗੇ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਸੰਭਾਵਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਆਪਣੇ z-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਈਪਲਾਈਨ ਦੇ ਕੇਂਦਰੀ ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਇਕਸਾਰ ਕਰਨਾ ਚੁਣਾਂਗੇ। x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਸਿੱਧਾ ਹੇਠਾਂ ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਤਰਕਪੂਰਨ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਨ ਲਈ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਮੱਸਿਆ ਕਥਨ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਚੁਣਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ z-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸਥਾਪਨਾ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੋ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਉਸ ਤੋਂ ਥੋੜਾ ਵੱਖਰਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ ਅਰਥ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਧੁਰਿਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਅਸਾਧਾਰਨ ਸਥਾਪਨਾ ਚੁਣਨਾ ਸਮਝਦਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਫੁੱਟਬਾਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੇਂਦਰੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਿਲੰਡਰਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਕੰਮ ਕਰਨਗੇ। z-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਗੇਂਦ ਦੇ ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਇਕਸਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਮੂਲ ਗੇਂਦ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਜਾਂ ਸ਼ਾਇਦ ਇੱਕ ਸਿਰਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। x-ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਮਨਮਾਨੀ ਹੈ।
2.61 ਪੜਤਾਲ
ਧਰਤੀ ਤੋਂ ਦੇਖੇ ਗਏ ਤਾਰਿਆਂ ਦੇ ਨਕਸ਼ੇ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿਹੜਾ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਸਭ ਤੋਂ ਢੁਕਵਾਂ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)?
ਅਸੀਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰਿਆਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਆਇਤਾਕਾਰ, ਸਿਲੰਡਰਕਲ ਅਤੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਸਿਲੰਡਰਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (r,θ,z) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (x,y,z) ਲੱਭੋ।
( 4 , π 6 , 3 )
( 3 , π 3 , 5 )
( 4 , 7 π 6 , 3 ) ( 4 , 7 π 6 , 3 )
( 2 , π , −4 ) ( 2 , π , −4 )
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (x,y,z) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਸਿਲੰਡਰਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (r,θ,z) ਲੱਭੋ।
( 1 , 3 , 2 ) ( 1 , 3 , 2 )
( 1 , 1 , 5 ) ( 1 , 1 , 5 )
( 3 , −3 , 7 ) ( 3 , −3 , 7 )
( −2 2 , 2 2 , 4 ) ( −2 2 , 2 2 , 4 )
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਿਲੰਡਰਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਤਹ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਸਤਹ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। ਸਤਹ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
r=4
z=r2cos2θ
r2cos(2θ)+z2+1=0
r=3sinθ
r=2cosθ
r2+z2=5
r=2secθ
r=3cscθ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਤਹ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਸਿਲੰਡਰਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਸਤਹ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
z = 3
x = 6
x 2 + y 2 + z 2 = 9
y = 2 x 2
x 2 + y 2 − 16 x = 0
x 2 + y 2 − 3 x 2 + y 2 + 2 = 0
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (ρ,θ,φ) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (x,y,z) ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ( 3 , 0 , π )
3. ( 1 , π 6 , π 6 )
4. ( 12 , − π 4 , π 4 )
5. ( 3 , π 4 , π 6 )
6. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (x,y,z) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (ρ,θ,φ) ਪਤਾ ਕਰੋ। ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਮਾਪ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
7. ( 4 , 0 , 0 )
8. ( −1 , 2 , 1 )
9. ( 0 , 3 , 0 )
10. ( −2 , 2 3 , 4 )
11. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਤਹ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਸਤਹ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸਤਹ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
12. [T] ρ=3
13. [T] φ=π3
14. [T] ρ=2cosφ
15. [T] ρ=4cscφ
16. [T] φ=π2
17. [T] ρ=6cscφsecθ
18. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਤਹ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਸਤਹ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸਤਹ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
19. x2+y2−3z2=0, z≠0
20. x 2 + y 2 + z 2 − 4 z = 0
21. z = 6
22. x 2 + y 2 = 9
23. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਇਸਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੋਣ φ ਦਾ ਮਾਪ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
24. [T] (1,π4,3)
( 5 , π , 12 ) ( 5 , π , 12 )
( 3 , π 2 , 3 ) ( 3 , π 2 , 3 )
( 3 , − π 6 , 3 ) ( 3 , − π 6 , 3 )
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਇਸਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਲੱਭੋ।
( 2 , − π 4 , π 2 ) ( 2 , − π 4 , π 2 )
( 4 , π 4 , π 6 ) ( 4 , π 4 , π 6 )
( 8 , π 3 , π 2 ) ( 8 , π 3 , π 2 )
( 9 , − π 6 , π 3 ) ( 9 , − π 6 , π 3 )
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਠੋਸ ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਢੁਕਵੀਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲੱਭੋ।
ਪਹਿਲੇ ਅਸ਼ਟਕ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਠੋਸ ਵਸਤੂ ਜਿਸਦਾ ਇੱਕ ਸਿਖਰ ਮੂਲ 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਨੂੰ a,a ਕਿਨਾਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੇ ਘਣ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a>0a>0
ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਦੋ ਸੰਕੇਂਦਰੀ ਗੋਲਿਆਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਕ੍ਰਮਵਾਰ aa ਅਤੇ b,b ਹਨ, ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸ਼ੈੱਲ, ਜਿੱਥੇ b>a>0b>a>0
ਗੋਲਾ x2+y2+z2=9x2+y2+z2=9 ਦੇ ਅੰਦਰ ਅਤੇ ਸਿਲੰਡਰ (x−32)2+y2=94(x−32)2+y2=94 ਦੇ ਬਾਹਰ ਇੱਕ ਠੋਸ ਵਸਤੂ
ਉਚਾਈ 1010 ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਸ਼ੈੱਲ ਜੋ ਕਿ ਇੱਕੋ ਕੇਂਦਰ, ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ, ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ 22 ਅਤੇ 5,5 ਵਾਲੇ ਦੋ ਸਿਲੰਡਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਹੈ
[T] ਇੱਕ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਲਿਪਟਿਕ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ z=x2+y2z=x2+y2 ਅਤੇ ਕੋਨ x2+y2−z2=0.x2+y2−z2=0 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
[T] ਇੱਕ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ xy-ਪਲੇਨ ਦੇ ਉੱਪਰ, ਗੋਲਾ x2+y2+z2=4x2+y2+z2=4 ਅਤੇ ਇਲਿਪਟੀਕਲ ਕੋਨ x2+y2−z2=0.x2+y2−z2=0 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਥਿਤ "ਆਈਸ ਕ੍ਰੀਮ-ਕੋਨ ਖੇਤਰ" ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਵਾਸ਼ਿੰਗਟਨ, ਡੀ.ਸੀ., 39°39° N ਅਤੇ 77°77° W (ਅਗਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਧਰਤੀ ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਨੂੰ 40004000 ਮੀਲ ਮੰਨੋ। ਵਾਸ਼ਿੰਗਟਨ, ਡੀ.ਸੀ., ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਸੈਨ ਫਰਾਂਸਿਸਕੋ 37.78°N37.78°N ਅਤੇ 122.42°W.122.42°W 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਧਰਤੀ ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਨੂੰ 40004000 ਮੀਲ ਮੰਨੋ। ਸੈਨ ਫਰਾਂਸਿਸਕੋ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਰੀਓ ਡੀ ਜਨੇਰੀਓ ਦੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ (4000,−43.17°,102.91°).(4000,−43.17°,102.91°) ਹਨ, ਤਾਂ ਇਸਦੇ ਅਕਸ਼ਾਂਸ਼ ਅਤੇ ਦੇਸ਼ਾਂਤਰ ਲੱਭੋ।
ਜੇਕਰ ਬਰਲਿਨ ਦੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ (4000,13.38°,37.48°).(4000,13.38°,37.48°) ਹਨ, ਤਾਂ ਇਸਦੇ ਅਕਸ਼ਾਂਸ਼ ਅਤੇ ਦੇਸ਼ਾਂਤਰ ਲੱਭੋ।
[T] ਟੋਰਸ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ (x2+y2+z2+R2−r2)2=4R2(x2+y2),(x2+y2+z2+R2−r2)2=4R2(x2+y2) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ R≥r>0.R≥r>0.
ਟੋਰਸ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਜੇਕਰ R=r,R=r, ਤਾਂ ਸਤਹ ਨੂੰ ਹਾਰਨ ਟੋਰਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਹਾਰਨ ਟੋਰਸ ਦਾ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ρ=2Rsinφ.ρ=2Rsinφ ਹੈ।
[T] ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ "ਬੰਪੀ ਸਫੇਅਰ" ਜਿਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ρ=a+bcos(mθ)sin(nφ),ρ=a+bcos(mθ)sin(nφ) ਹੈ, ਜਿੱਥੇ θ∈[0,2π]θ∈[0,2π] ਅਤੇ φ∈[0,π],φ∈[0,π], ਅਤੇ ਜਿੱਥੇ aa ਅਤੇ bb ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ mm ਅਤੇ nn ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ, ਨੂੰ ਟਿਊਮਰ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਗੂ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
NONE
ਦਿਖਾਓ ਕਿ "ਖੁਰਦਰੀ ਗੋਲਾ" ρ=a+b ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ। ਉਹਨਾਂ θ ਅਤੇ φ ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ 'ਤੇ ਦੋ ਸਤਹਾਂ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ।
a=14, b=2, m=4, ਅਤੇ n=6 ਲਈ ਸਤਹ ਨੂੰ ρ=a+b ਗੋਲੇ ਦੇ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
b. 'ਤੇ ਸਤਹ ਅਤੇ φ=π/12 ਕੋਨ ਦੇ ਚੌਰਾਹੇ ਦੇ ਵਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। ਚੌਰਾਹੇ ਦੇ ਤਲ ਵਿੱਚ ਚੌਰਾਹੇ ਦੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।