ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2.1.1 ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ, ਸਹੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ।
2.1.2 ਬੁਨਿਆਦੀ ਵੈਕਟਰ ਕਾਰਜ (ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ, ਜੋੜ, ਘਟਾਓ) ਕਰੋ।
2.1.3 ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
2.1.4 ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
2.1.5 ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
2.1.6 ਵੈਕਟਰ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੇ ਦੋ ਉਦਾਹਰਣ ਦਿਓ।
ਉਡਾਣ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਗਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਦੋ ਜਾਣਕਾਰੀਆਂ ਨੂੰ ਸੰਚਾਰਿਤ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ: ਜਿਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਜਹਾਜ਼ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਗਤੀ। ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਬਲ ਨੂੰ ਮਾਪਦੇ ਹੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜਹਾਜ਼ ਦੇ ਇੰਜਣਾਂ ਦਾ ਧੱਕਾ, ਨਾ ਸਿਰਫ਼ ਉਸ ਬਲ ਦੀ ਤਾਕਤ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਉਸ ਦਿਸ਼ਾ ਦਾ ਵੀ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਸਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੁਝ ਮਾਤਰਾਵਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵੇਗ ਜਾਂ ਬਲ, ਦੋਵਾਂ ਆਕਾਰ (ਜਿਸਨੂੰ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦੋਵੇਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਸਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਪਾਠ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਬੋਲਡਫੇਸ ਅੱਖਰਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ v, ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦੋਵੇਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ
ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ (ਇੱਕ ਤੀਰ) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਖੰਡ ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦਾ ਤੀਰ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਇਸਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ v ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ‖v‖ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕੋ ਹਨ, ਉਸਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਵੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ 0 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਿਫ਼ਰ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਕੋਈ ਦਿਸ਼ਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਅਤੇ ਪਰੰਪਰਾ ਅਨੁਸਾਰ ਇਸਨੂੰ ਹੱਥ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਕੋਈ ਵੀ ਦਿਸ਼ਾ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਮਾਨ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸਮਾਨ ਵੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ, ਭਾਵੇਂ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਵੱਖਰੇ ਹੋਣ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ v ਅਤੇ w ਸਮਾਨ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸਮਾਨ ਵੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਸਮਾਨ ਹੋਵੇ।
ਚਿੱਤਰ 2.2(b) ਵਿੱਚ ਤੀਰ ਸਮਾਨ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਤੀਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਇੱਕ ਨੇੜੇ-ਤੇੜੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸੰਕਲਪ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਹੈ। ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਸਮਾਨ ਜਾਂ ਵਿਰੋਧੀ ਹੋਵੇ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਖੋਜਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 2.2: (a) ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। (b) ਵੈਕਟਰ v1 ਤੋਂ v5 ਸਮਾਨ ਹਨ।
ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਨਾਮਕਰਨ ਲਈ ਬੋਲਡਫੇਸ, ਛੋਟੇ ਅੱਖਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪ੍ਰਿੰਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਮ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਹੈ, ਪਰ ਵਿਕਲਪਿਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵੀ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਹੱਥ ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਨਾਮ ਲਿਖਦੇ ਸਮੇਂ, ਬੋਲਡਫੇਸ ਟਾਈਪ ਦੀ ਨਕਲ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ ਵੇਰੀਏਬਲ ਉੱਤੇ ਤੀਰ ਖਿੱਚਣਾ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: v→। ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ P ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ Q ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ PQ→ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਉਪਯੋਗੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਸਥਾਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.1
ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨਾ
ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ P(1,1) ਤੋਂ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ Q(8,5) ਤੱਕ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਚਿੱਤਰ 2.3 ਦੇਖੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਵੈਕਟਰ ਬਿੰਦੂ P ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ Q ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ PQ→ ਨਾਮ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 2.3: ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (1,1) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (8,5) ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ PQ→ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
2.1 ਪੜਾਅ
2. ਵੈਕਟਰ ST→ST→ ਦਾ ਖਾਕਾ ਬਣਾਓ, ਜਿੱਥੇ SS ਬਿੰਦੂ (3,−1)(3,−1) ਹੈ ਅਤੇ TT ਬਿੰਦੂ (−2,3).(−2,3) ਹੈ।
3. ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ
4. ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ-ਜੀਵਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਲ ਜਾਂ ਵੇਗ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਥਿਤੀਆਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਨਦੀ ਪਾਰ ਕਰ ਰਹੀ ਕਿਸ਼ਤੀ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਬਲਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਕਿਸ਼ਤੀ ਦਾ ਇੰਜਣ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਬਲ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਦੀ ਦਾ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੂਜੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਬਲ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਦੋਵੇਂ ਬਲ ਵੈਕਟਰ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸ਼ਤੀ ਕਿੱਥੇ ਜਾਵੇਗੀ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਹਰੇਕ ਬਲ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
5. ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਇੱਕ ਦੂਜੀ ਉਦਾਹਰਨ ਫੁੱਟਬਾਲ ਸੁੱਟਣ ਵਾਲਾ ਕੁਆਰਟਰਬੈਕ ਹੈ। ਕੁਆਰਟਰਬੈਕ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਨਹੀਂ ਸੁੱਟਦਾ; ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਉਹ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਨਿਸ਼ਾਨਾ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਸੁੱਟਣ ਦੇ ਵੇਗ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਜ਼ੋਰ ਨਾਲ ਸੁੱਟਦਾ ਹੈ (ਪਰਿਮਾਣ—ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਰਫ਼ਤਾਰ), ਅਤੇ ਕੋਣ (ਦਿਸ਼ਾ), ਅਸੀਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗੇਂਦ ਮੈਦਾਨ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਜਾਵੇਗੀ।
6. ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਸਕੇਲਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਉਲਟ, ਸਕੇਲਰਾਂ ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਿਰਫ ਪਰਿਮਾਣ ਵਾਲਾ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਕੋਈ ਦਿਸ਼ਾ ਨਹੀਂ। ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਦੁਆਰਾ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਇਸਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਤਬਦੀਲੀ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਉੱਤਰ ਤੋਂ ਦੱਖਣ ਵੱਲ ਵਗਣ ਵਾਲੀ ਹਵਾ ਆਪਣੀ ਉੱਤਰ ਤੋਂ ਦੱਖਣ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਬਰਕਰਾਰ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਰਫ਼ਤਾਰ ਵਿੱਚ ਵਧ ਜਾਂ ਘਟ ਸਕਦੀ ਹੈ।
7. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
8. ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ v ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ k ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ kvkv ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪਰਿਮਾਣ v,v ਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਦਾ |k||k| ਗੁਣਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਿਸਦੀ ਦਿਸ਼ਾ k>0,k>0 ਹੋਣ 'ਤੇ vv ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਅਤੇ k<0.k<0 ਹੋਣ 'ਤੇ vv ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਉਲਟ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ k=0k=0 ਜਾਂ v=0,v=0, ਤਾਂ kv=0.kv=0।
9. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਜੇਕਰ k=−1,k=−1, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲ kvkv ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ
10. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ −v−v ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ v,v ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਪਰ ਇਸਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਉਲਟ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.4)।
11. ਚਿੱਤਰ 2.4: (a) ਮੂਲ ਵੈਕਟਰ v ਦੀ ਲੰਬਾਈ n ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ। (b) 2v2v ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2n2n ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ। (c) v/2v/2 ਦੀ ਲੰਬਾਈ n/2n/2 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ। (d) ਵੈਕਟਰ vv ਅਤੇ −v−v ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਸਮਾਨ ਹੈ ਪਰ ਦਿਸ਼ਾ ਉਲਟ ਹੈ।
12. ਵੈਕਟਰਾਂ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕਾਰਵਾਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਹੈ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਵਿੱਚ ਜੋੜਨਾ, ਪਰ ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਆਪਣੀ ਦਿਸ਼ਾ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਨਾਲੋਂ ਵੱਖਰੀ ਹੈ। ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਤਰੀਕਾ ਦੂਜੇ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਰੱਖਣਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2.5(a) ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਇਹ ਕਿਉਂ ਅਰਥ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਮੰਨ ਲਓ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਵੈਕਟਰ ਵਿਸਥਾਪਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵਸਤੂ ਪਹਿਲਾਂ ਵੈਕਟਰ v,v ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ, ਫਿਰ ਵੈਕਟਰ w,w ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੁੱਚਾ ਵਿਸਥਾਪਨ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵਸਤੂ ਨੇ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਗਤੀ ਕੀਤੀ ਹੋਵੇ ਜੋ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਵੈਕਟਰ v+w.v+w ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਹੋਵੇ। ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਾਰਨਾਂ ਕਰਕੇ, ਇਸ ਪਹੁੰਚ ਨੂੰ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਵਿਧੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮ ਬਦਲ ਦਿੰਦੇ, ਤਾਂ ਕਿ ww ਸਾਡਾ ਪਹਿਲਾ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਅਤੇ v ਸਾਡਾ ਦੂਜਾ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ, ਅਸੀਂ ਇੱਕੋ ਜਗ੍ਹਾ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ। (ਦੁਬਾਰਾ, ਚਿੱਤਰ 2.5(a) ਦੇਖੋ।) ਇਸ ਲਈ, v+w=w+v.v+w=w+v।
13. ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦਾ ਦੂਜਾ ਤਰੀਕਾ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿਧੀ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਿਧੀ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਸਮਾਨ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਦੋ ਲਾਗਵੇਂ ਪਾਸੇ ਬਣਾ ਕੇ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2.5(b) ਵਿੱਚ ਹੈ। ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਵਿਕਰਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਜੋੜ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2.5(b) ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 2.5(a) ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਜਵਾਬ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ v+wv+w ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
14. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
15. ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ vv ਅਤੇ ww ਦਾ ਜੋੜ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲੀ vv ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ww ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਰੱਖ ਕੇ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।v.v. ਫਿਰ, ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ, v+w,v+w, ਉਹ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ vv ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ w.w ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕਾਰਵਾਈ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
16. ਚਿੱਤਰ 2.5: (a) ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਸਮੇਂ, ww ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ vv ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।v.v. (b) ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਸਮੇਂ, ਵੈਕਟਰ vv ਅਤੇ ww ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
17. ਵੈਕਟਰ ਘਟਾਓ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਨਾ ਵੀ ਇੱਥੇ ਉਚਿਤ ਹੈ। ਅਸੀਂ v−wv−w ਨੂੰ v+(−w)=v+(−1)w.v+(−w)=v+(−1)w ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਵੈਕਟਰ v−wv−w ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਅੰਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫੀਕਲੀ, ਵੈਕਟਰ v−wv−w ਨੂੰ ww ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ vv ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਬਣਾ ਕੇ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.6)।
18. ਚਿੱਤਰ 2.6: (a) ਵੈਕਟਰ ਅੰਤਰ v−wv−w ਨੂੰ ww ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ vv ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਬਣਾ ਕੇ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।v.v. (b) ਵੈਕਟਰ v−wv−w ਵੈਕਟਰ v+(−w).v+(−w) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
19. ਚਿੱਤਰ 2.5(a) ਵਿੱਚ, v+wv+w ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ v.v ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। v+wv+w ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ w.w ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਇਹ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਪਾਸੇ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਸਿੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਬਾਕੀ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਜੋੜ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਹ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਅਸਮਾਨਤਾ ਵਜੋਂ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਮਾਮਲਾ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਦੋਂ ਨਤੀਜੇ ਵੈਕਟਰ u+vu+v ਦੀਆਂ u u ਅਤੇ v.v ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਸਿਰਫ਼ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ uu ਅਤੇ vv ਦੀ ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.2
ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਸੰਯੋਜਨ
ਚਿੱਤਰ 2.7 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਵੈਕਟਰਾਂ vv ਅਤੇ ww ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ
3w3w
v+wv+w
2v−w2v−w ਚਿੱਤਰ 2.7 ਵੈਕਟਰ vv ਅਤੇ ww ਇੱਕੋ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਹਨ।
ਹੱਲ
ਵੈਕਟਰ 3w3w ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ w;w; ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ; ਇਹ w.w ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਲੰਬਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ 3w3w ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ww ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਲੰਬਾ ਹੈ।
v+w.v+w ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਜੋੜ ਵਿਧੀ ਵਰਤੋ। ਚਿੱਤਰ 2.8 v+w,v+w ਲੱਭਣ ਲਈ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਇਕਸਾਰ ਕਰੋ ਜਾਂ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਰੱਖੋ। (a) ਵੈਕਟਰ v+wv+w ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਵਿਕਰਨ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਪਾਸੇ vv ਅਤੇ ww ਹਨ (b) ਵੈਕਟਰ v+wv+w ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਤੀਜਾ ਪਾਸਾ ਹੈ ਜੋ v.v ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਰੱਖੇ ww ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਹੈ।
2v−w,2v−w ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ 2v+(−w).2v+(−w) ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ −w,−w ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਵੈਕਟਰ 2v.2v ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 2.9 2v−w,2v−w ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਿਰਫ਼ 2v+(−w).2v+(−w) ਜੋੜੋ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.2
ਉਦਾਹਰਨ 2.2 ਤੋਂ ਵੈਕਟਰਾਂ vv ਅਤੇ ww ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਵੈਕਟਰ 2w−v.2w−v ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
ਵੈਕਟਰ ਕੰਪੋਨੈਂਟਸ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਕਾਰਟੇਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਸਿੱਧੀਆਂ ਹੋ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.3
ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ
ਕੀ vv ਅਤੇ ww ਬਰਾਬਰ ਵੈਕਟਰ ਹਨ?
vv ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (3,2)(3,2) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (7,2)(7,2) ਹੈ ww ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (1,−4)(1,−4) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (1,0)(1,0) ਹੈ
vv ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (0,0)(0,0) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (1,1)(1,1) ਹੈ ww ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (−2,2)(−2,2) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (−1,3)(−1,3) ਹੈ
ਹੱਲ
ਵੈਕਟਰ ਹਰੇਕ 44 ਇਕਾਈ ਲੰਬੇ ਹਨ, ਪਰ ਉਹ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ vv ਅਤੇ ww ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 2.10)। ਚਿੱਤਰ 2.10 ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2.11 ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਅਤੇ ਥੋੜ੍ਹੀ ਜਿਹੀ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ vv ਅਤੇ ww ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 2.11 ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.3
1. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੇ ਸਮਾਨ ਹਨ?
2. ਅਸੀਂ ਵੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਕਿਤੇ ਵੀ ਰੱਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਮੂਲ (origin) ਨਾਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ-ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ (standard-position vector) ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (coordinates) ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇ ਵੈਕਟਰ v ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (x,y) 'ਤੇ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ:
3. ਜਦੋਂ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਘਟਕ ਰੂਪ (component form) ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਕੇਲਰ x ਅਤੇ y ਨੂੰ v ਦੇ ਘਟਕ (components) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
4. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
5. ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਘਟਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
6. ਸਕੇਲਰ x ਅਤੇ y ਨੂੰ v ਦੇ ਘਟਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
7. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਬੋਲਡ ਟਾਈਪ ਵਿੱਚ ਛੋਟੇ ਅੱਖਰਾਂ ਨਾਲ ਜਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਾਮ ਉੱਤੇ ਤੀਰ ਖਿੱਚ ਕੇ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਘਟਕ ਰੂਪ ਨਾਲ, ਕੋਣੀ ਬਰੈਕਟਾਂ (angle brackets) ਵਿੱਚ ਉਸਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਨਾਲ ਨਾਮ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਘਟਕ ਰੂਪ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਵੇਲੇ, 〈x,y〉 ਅਤੇ (x,y) ਵਿੱਚ ਫਰਕ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਆਰਡਰਡ ਪੇਅਰ (ordered pair) ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਣੀ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਦੂਜਾ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ। 〈x,y〉 ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਹੈ; 〈x,y〉 ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਹੈ।
8. ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਪਹਿਲਾਂ ਤੋਂ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਘਟਕ ਰੂਪ ਨੂੰ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪਹੁੰਚ (geometric approach) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ (coordinate plane) ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਮਿਆਰੀ-ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਬਦਲਵੇਂ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਤੌਰ 'ਤੇ (algebraically), ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਨੂੰ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ x-ਘਟਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਦੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ y-ਘਟਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
9. ਨਿਯਮ: ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਘਟਕ ਰੂਪ
10. ਮੰਨ ਲਓ v ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (xi,yi) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (xt,yt) ਹੈ। ਤਾਂ ਅਸੀਂ v ਨੂੰ ਘਟਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ v=〈xt−xi,yt−yi〉 ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 2.4
12. ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਘਟਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ
13. ਵੈਕਟਰ v ਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (−3,4) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (1,2) ਨਾਲ ਘਟਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
14. ਹੱਲ
15. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ: ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਸਕੈਚ ਕਰੋ (ਚਿੱਤਰ 2.12)। ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ 4 ਯੂਨਿਟ ਸੱਜੇ ਅਤੇ 2 ਯੂਨਿਟ ਹੇਠਾਂ ਹੈ। ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਲੱਭੋ ਜੋ ਮੂਲ ਤੋਂ 4 ਯੂਨਿਟ ਸੱਜੇ ਅਤੇ 2 ਯੂਨਿਟ ਹੇਠਾਂ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (4,−2) ਹੈ: v=〈4,−2〉। ਚਿੱਤਰ 2.12 ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਸਮਾਨ ਹਨ।
16. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ: ਪਹਿਲੇ ਹੱਲ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਸਕੈਚ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਕਿ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ 4 ਯੂਨਿਟ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਲੱਭ ਕੇ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: xt−xi=1−(−3)=4। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਲੰਬਕਾਰੀ ਲੰਬਾਈ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। yt−yi=2−4=−2। ਇਸ ਲਈ, ਘਟਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, v=〈xt−xi,yt−yi〉=〈1−(−3),2−4〉=〈4,−2〉।
17. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.4
18. ਵੈਕਟਰ w ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (−4,−5) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (−1,2) ਹੈ। w ਨੂੰ ਘਟਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
19. ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ (magnitude) ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਵੈਕਟਰ v=〈x,y〉 ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਨੂੰ ‖v‖, ਜਾਂ |v|, ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਗਣਨਾ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ:
20. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਘਟਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਹ ਮੂਲ 'ਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ (x,y) 'ਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਵਾਲੇ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਕਾਫ਼ੀ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੂਰੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
21. ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੇ ਅਧਾਰ 'ਤੇ, ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ v ਲਈ, ‖v‖≥0, ਅਤੇ ‖v‖=0 ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਜੇ v=0।
22. ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਨੂੰ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ (Pythagorean theorem) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਹੈ।
23. ਚਿੱਤਰ 2.13: ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਘਟਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਕਾਰਨ (hypotenuse) ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
24. ਅਸੀਂ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ (scalar multiplication) ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ (vector addition) ਨੂੰ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਘਟਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ ਸਾਨੂੰ ਇਹਨਾਂ ਸਮਾਨ ਕਾਰਜਾਂ ਨੂੰ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
Definition
Let v=〈x1,y1〉v=〈x1,y1〉 and w=〈x2,y2〉w=〈x2,y2〉 be vectors, and let kk be a scalar.
Scalar multiplication:kv=〈kx1,ky1〉kv=〈kx1,ky1〉
Vector addition:v+w=〈x1,y1〉+〈x2,y2〉=〈x1+x2,y1+y2〉v+w=〈x1,y1〉+〈x2,y2〉=〈x1+x2,y1+y2〉
Example 2.5
Performing Operations in Component Form
Let vv be the vector with initial point (2,5)(2,5) and terminal point (8,13),(8,13), and let w=〈−2,4〉.w=〈−2,4〉.
Express vv in component form and find ‖v‖.‖v‖. Then, using algebra, find
v+w,v+w,
3v,3v, and
v−2w.v−2w.
Solution
To place the initial point of vv at the origin, we must translate the vector 22 units to the left and 55 units down (Figure 2.15). Using the algebraic method, we can express vv as v=〈8−2,13−5〉=〈6,8〉:v=〈8−2,13−5〉=〈6,8〉: ‖v‖=62+82=36+64=100=10.‖v‖=62+82=36+64=100=10. Figure 2.14 In component form, v=〈6,8〉.v=〈6,8〉.
To find v+w,v+w, add the x-components and the y-components separately: v+w=〈6,8〉+〈−2,4〉=〈4,12〉.v+w=〈6,8〉+〈−2,4〉=〈4,12〉.
To find 3v,3v, multiply vv by the scalar k=3:k=3: 3v=3·〈6,8〉=〈3·6,3·8〉=〈18,24〉.3v=3·〈6,8〉=〈3·6,3·8〉=〈18,24〉.
To find v−2w,v−2w, find −2w−2w and add it to v:v: v−2w=〈6,8〉−2·〈−2,4〉=〈6,8〉+〈4,−8〉=〈10,0〉.v−2w=〈6,8〉−2·〈−2,4〉=〈6,8〉+〈4,−8〉=〈10,0〉.
Checkpoint 2.5
Let a=〈7,1〉a=〈7,1〉 and let bb be the vector with initial point (3,2)(3,2) and terminal point (−1,−1).(−1,−1).
Find ‖a‖.‖a‖.
Express bb in component form.
Find 3a−4b.3a−4b.
Now that we have established the basic rules of vector arithmetic, we can state the properties of vector operations. We will prove two of these properties. The others can be proved in a similar manner.
Theorem 2.1
Properties of Vector Operations
ਆਓ, u, v ਅਤੇ w ਤਲ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਹੋਣ। ਆਓ, r ਅਤੇ s ਸਕੇਲਰ ਹੋਣ।
ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਗੁਣ ਦਾ ਸਬੂਤ
ਆਓ u=〈x1,y1〉 ਅਤੇ v=〈x2,y2〉। ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਕਰੋ:
□
ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਗੁਣ ਦਾ ਸਬੂਤ
ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਕਰੋ:
□
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.6
ਐਡੀਟਿਵ ਇਨਵਰਸ ਗੁਣ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਭਾਗ ਲੱਭੇ ਹਨ ਜਿਸਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਬਿੰਦੂ ਨਹੀਂ। ਇਹਨਾਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ (ਚਿੱਤਰ 2.15) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਕੰਪੋਨੈਂਟਸ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 2.15: ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਭਾਗ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਲੱਤਾਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਹਾਈਪੋਟੇਨਿਊਜ਼ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਵੈਕਟਰ v ਅਤੇ ਪਾਜ਼ੀਟਿਵ x-ਐਕਸਿਸ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਕੋਣ θ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਤਿਕੋਣ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵੈਕਟਰ v ਦੇ ਭਾਗ 〈‖v‖cosθ,‖v‖sinθ〉 ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਕੋਣ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਭਾਗ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੋਣ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.6
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਫਾਰਮ ਲੱਭਣਾ
4 ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਫਾਰਮ ਲੱਭੋ ਜੋ x-ਐਕਸਿਸ ਨਾਲ −45° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਆਓ x ਅਤੇ y ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 2.16)। ਫਿਰ x=4cos(−45°)=2√2 ਅਤੇ y=4sin(−45°)=−2√2। ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਫਾਰਮ 〈2√2,−2√2〉 ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.16: ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਅਨੁਪਾਤ, x=‖v‖cosθ ਅਤੇ y=‖v‖sinθ, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.7
10 ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ v ਦਾ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਫਾਰਮ ਲੱਭੋ ਜੋ ਪਾਜ਼ੀਟਿਵ x-ਐਕਸਿਸ ਨਾਲ 120° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ
ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ 1 ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਵਾਲਾ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ v ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ u ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦੀ v ਵਰਗੀ ਦਿਸ਼ਾ ਹੋਵੇ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਦੇ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਸੀ ਕਿ ‖kv‖=|k|·‖v‖। u=1‖v‖v ਲਈ, ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ‖u‖=1‖v‖(‖v‖)=1। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ u v ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.17)। ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲਾ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਨਾਰਮਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.17: ਵੈਕਟਰ v ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ u=1‖v‖v। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ‖v‖>1।
2.7 ਦਾ ਉਦਾਹਰਨ
2. ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ (unit vector) ਲੱਭਣਾ
3. ਮੰਨ ਲਓ v=〈1,2〉।
4. v ਦੇ ਸਮਾਨ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭੋ।
5. vv ਦੇ ਸਮਾਨ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ww ਲੱਭੋ ਜਿਸਦਾ ‖w‖=7 ਹੋਵੇ।
6. ਹੱਲ
7. ਪਹਿਲਾਂ, v ਦਾ ਮਾਪ (magnitude) ਲੱਭੋ, ਫਿਰ v ਦੇ ਭਾਗਾਂ (components) ਨੂੰ ਮਾਪ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ: ‖v‖=1²+2²=1+4=5। u=1‖v‖v=1/5〈1,2〉=〈1/5,2/5〉।
8. ਵੈਕਟਰ uu, vv ਦੇ ਸਮਾਨ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੈ ਅਤੇ ‖u‖=1। uu ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਵਧਾਉਣ ਲਈ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ (scalar multiplication) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਬਦਲੇ ਬਿਨਾਂ: w=7u=7〈1/5,2/5〉=〈7/5,14/5〉।
9. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.8
10. ਮੰਨ ਲਓ v=〈9,2〉। v ਦੇ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ 55 ਮਾਪ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭੋ।
11. ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਭਾਗ ਰੂਪ (component form) ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ ਕਿੰਨਾ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਖੜ੍ਹਵੇਂ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ ਵਧੇਰੇ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਆਓ ਅਸੀਂ ਮਿਆਰੀ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰਾਂ (standard unit vectors) ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਮਿਆਰੀ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਵੈਕਟਰ i=〈1,0〉 ਅਤੇ j=〈0,1〉 (ਚਿੱਤਰ 2.18) ਹਨ।
12. ਚਿੱਤਰ 2.18: ਮਿਆਰੀ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ii ਅਤੇ j।
13. ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ (properties) ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ii ਅਤੇ jj ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸੰਯੋਜਨ (linear combination) ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ:
14. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, vv x ਮਾਪ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ y ਮਾਪ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਖੜ੍ਹਵੇਂ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਹੈ।
15. ਚਿੱਤਰ 2.19: ਵੈਕਟਰ vv, xixi ਅਤੇ yj.yj ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ।
16. 2.8 ਦਾ ਉਦਾਹਰਨ
17. ਮਿਆਰੀ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
18. ਵੈਕਟਰ w=〈3,−4〉 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
19. ਵੈਕਟਰ uu ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਜੋ ਧਨਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ (positive x-axis) ਨਾਲ 60° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। uu ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
20. ਹੱਲ
21. ਵੈਕਟਰ ww ਨੂੰ ਇੱਕ ਜ਼ੀਰੋ y-ਭਾਗ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਜ਼ੀਰੋ x-ਭਾਗ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ: w=〈3,−4〉=3i−4j।
22. ਕਿਉਂਕਿ uu ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ (standard position) ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (terminal point) ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ (unit circle) 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.20)। u=〈cos60°,sin60°〉=〈1/2,√3/2〉=1/2i+√3/2j। ਚਿੱਤਰ 2.20 uu ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ (cosθ,sinθ) 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
23. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.9
24. ਮੰਨ ਲਓ a=〈16,−11〉 ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ bb ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਜੋ ਧਨਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਨਾਲ 225° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। aa ਅਤੇ bb ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਵਰਤੋਂਆਂ
ਕਿਉਂਕਿ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਮਾਤਰਾ ਦੋਵੇਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਉਹ ਗਤੀ ਅਤੇ ਬਲ ਵਰਗੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਮਤੀ ਸਾਧਨ ਹਨ। ਸਾਡੀ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸੀ ਗਈ ਕਿਸ਼ਤੀ ਅਤੇ ਕੁਆਰਟਰਬੈਕ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਯਾਦ ਕਰੋ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਦੋ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.9
ਨਤੀਜਾ ਬਲ ਲੱਭਣਾ
ਜੇਨ ਦੀ ਕਾਰ ਚਿੱਕੜ ਵਿੱਚ ਫਸੀ ਹੋਈ ਹੈ। ਲੀਜ਼ਾ ਅਤੇ ਜੇਡ ਉਸਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਟਰੱਕ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਉਹ ਇੱਕ ਟੋਅ ਪੱਟੀ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਰਾ ਕਾਰ ਦੇ ਅਗਲੇ ਹਿੱਸੇ ਨਾਲ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਸਿਰਾ ਟਰੱਕ ਦੇ ਟ੍ਰੇਲਰ ਹਿੱਚ ਨਾਲ ਜੋੜਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਟਰੱਕ ਖਿੱਚਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦੌਰਾਨ, ਜੇਨ ਅਤੇ ਜੇਡ ਕਾਰ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਧੱਕਾ ਮਾਰਦੇ ਹਨ। ਟਰੱਕ ਕਾਰ 'ਤੇ 300300 ਪੌਂਡ ਦਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਬਲ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਨ ਅਤੇ ਜੇਡ ਇੱਕ ਮਾਮੂਲੀ ਉੱਪਰਲੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਧੱਕਾ ਮਾਰ ਰਹੇ ਹਨ ਅਤੇ ਕਾਰ 'ਤੇ 150150 ਪੌਂਡ ਦਾ ਬਲ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਬਲ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2.21 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ 15°15° ਹੈ। ਨਤੀਜਾ ਬਲ (ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਨੇੜੇ ਦੇ ਦਸਵੇਂ ਪੌਂਡ ਤੱਕ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਣ ਨੂੰ ਧਨਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਦਿਓ।
ਚਿੱਤਰ 2.21: ਵੱਖ-ਵੱਖ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕਾਰ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਦੋ ਬਲ।
ਹੱਲ
ਦੋ ਬਲਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। ਪਹਿਲਾਂ, ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਾਂ ਸਟੈਂਡਰਡ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। ਇਸ ਉਦੇਸ਼ ਲਈ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਧਨਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਇਕਸਾਰ ਕਰਨਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਹੈ। ਖਿਤਿਜੀ ਵੈਕਟਰ, ਫਿਰ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (0,0)(0,0) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (300,0).(300,0) ਹੈ। ਇਸਨੂੰ 〈300,0〉〈300,0〉 ਜਾਂ 300i.300i ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਦੂਜਾ ਵੈਕਟਰ 150150 ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਨਾਲ 15°15° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ 〈150cos(15°),150sin(15°)〉,〈150cos(15°),150sin(15°)〉, ਜਾਂ 150cos(15°)i+150sin(15°)j.150cos(15°)i+150sin(15°)j ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ, ਜਾਂ ਨਤੀਜਾ ਵੈਕਟਰ, r=〈300,0〉+〈150cos(15°),150sin(15°)〉,r=〈300,0〉+〈150cos(15°),150sin(15°)〉 ਹੈ, ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
r ਅਤੇ ਧਨਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਕੋਣ θθ, tanθ=150sin15°(300+150cos15°)≈0.09,tanθ=150sin15°(300+150cos15°)≈0.09 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ θ≈tan−1(0.09)≈5°,θ≈tan−1(0.09)≈5° ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਨਤੀਜਾ ਬਲ r ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ 5°5° ਦਾ ਕੋਣ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.10
ਨਤੀਜਾ ਵੇਗ ਲੱਭਣਾ
ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ 425425 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਹਵਾ ਦੀ ਗਤੀ ਨਾਲ ਪੱਛਮ ਵੱਲ ਉੱਡ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਹਵਾ ਉੱਤਰ-ਪੂਰਬ ਤੋਂ 4040 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫਤਾਰ ਨਾਲ ਚੱਲ ਰਹੀ ਹੈ। ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਜ਼ਮੀਨੀ ਗਤੀ ਕੀ ਹੈ? ਜਹਾਜ਼ ਦਾ ਬੇਅਰਿੰਗ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਆਓ ਵਰਣਿਤ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ (ਚਿੱਤਰ 2.22)।
ਚਿੱਤਰ 2.22: ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ, ਜਹਾਜ਼ ਪੱਛਮ ਵੱਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਹਵਾ ਉੱਤਰ-ਪੂਰਬ ਤੋਂ ਚੱਲ ਰਹੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਦੱਖਣ-ਪੱਛਮ ਵੱਲ ਚੱਲ ਰਹੀ ਹੈ। ਜਹਾਜ਼ ਦੇ ਕੋਰਸ ਅਤੇ ਹਵਾ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ 45°45° ਹੈ। (ਚਿੱਤਰ ਪੈਮਾਨੇ ਅਨੁਸਾਰ ਨਹੀਂ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ।)
ਇੱਕ ਸਕੈਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਹੋਣ। ਫਿਰ, ਜਹਾਜ਼ ਦਾ ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ p=−425i.p=−425i ਹੈ। ਹਵਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਵੈਕਟਰ ਧਨਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਨਾਲ 225°225° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ:
ਜਦੋਂ ਹਵਾ ਦੀ ਗਤੀ ਅਤੇ ਹਵਾ ਜਹਾਜ਼ 'ਤੇ ਇਕੱਠੇ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਨਤੀਜਾ ਬਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਨਤੀਜਾ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਜ਼ਮੀਨੀ ਗਤੀ 'ਤੇ ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ:
ਹਵਾ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਜਹਾਜ਼ ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਲਗਭਗ 454454 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫਤਾਰ ਨਾਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਜਹਾਜ਼ ਦਾ ਬੇਅਰਿੰਗ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ p+w:p+w: ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ
ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਸਮੁੱਚੀ ਦਿਸ਼ਾ ਪੱਛਮ ਤੋਂ 3.57°3.57° ਦੱਖਣ ਵੱਲ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.10
ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ 550550 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਹਵਾ ਦੀ ਗਤੀ ਨਾਲ ਉੱਤਰ ਵੱਲ ਉੱਡ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਹਵਾ ਉੱਤਰ-ਪੱਛਮ ਤੋਂ 5050 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫਤਾਰ ਨਾਲ ਚੱਲ ਰਹੀ ਹੈ। ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਜ਼ਮੀਨੀ ਗਤੀ ਕੀ ਹੈ?
1. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ P(−1,3), Q(1,5), ਅਤੇ R(−3,7) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਬੇਨਤੀ ਕੀਤੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ: a. ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਤੇ b. ਮਿਆਰੀ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ।
2. a. <2,2> b. 2i+2j
3. a. <-2,4> b. -2i+4j
4. a. <-2,-2> b. -2i-2j
5. a. <2,-4> b. 2i-4j
6. a. <0,6> b. 6j
7. a. <4,-2> b. 4i-2j
8. a. <8,-4> b. 8i-4j
9. a. <3,5> b. 3i+5j
10. a. <1/√2, 1/√2> b. (1/√2)i + (1/√2)j
11. a. <-1/√5, 2/√5> b. (-1/√5)i + (2/√5)j
12. <-3/5, 4/5>
13. <3/5, -2/5>
14. Q(1,5)
15. Q(-9,1)
16. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੈਕਟਰਾਂ a ਅਤੇ b ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
17. a+b ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੂਪ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
18. a-b ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੂਪ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
19. ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿ ਵੈਕਟਰ a, b, ਅਤੇ a+b, ਅਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ, a, b, ਅਤੇ a-b ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ।
20. 2a, -b, ਅਤੇ 2a-b ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੂਪ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
21. a=2i+j, b=i+3j
22. a=2i, b=-2i+2j
23. ਮੰਨ ਲਓ a ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ-ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਟਰਮੀਨਲ ਬਿੰਦੂ (−2,−4) ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ b ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (1,2) ਅਤੇ ਟਰਮੀਨਲ ਬਿੰਦੂ (−1,4) ਹੈ। ਵੈਕਟਰ −3a+b−4i+j ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਪਤਾ ਕਰੋ।
24. ਮੰਨ ਲਓ a ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ-ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਟਰਮੀਨਲ ਬਿੰਦੂ (2,5) ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ b ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (−1,3) ਅਤੇ ਟਰਮੀਨਲ ਬਿੰਦੂ (1,0) ਹੈ। ਵੈਕਟਰ a−3b+14i−14j ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ uu ਅਤੇ vv ਦੋ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਵੈਕਟਰ ਹਨ ਜੋ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਵੈਕਟਰ a=4u+5v ਅਤੇ b=u+2v ਨੂੰ uu ਅਤੇ v ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ λ ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ a+λb ਅਤੇ u−v ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ।
2. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ uu ਅਤੇ vv ਦੋ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਵੈਕਟਰ ਹਨ ਜੋ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਵੈਕਟਰ a=2u−4v ਅਤੇ b=3u−7v ਨੂੰ uu ਅਤੇ v ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਸਕੇਲਰ α ਅਤੇ β ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ αa+βb ਅਤੇ u−v ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ।
3. ਵੈਕਟਰ a(t)=〈cost,sint〉 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਸ ਦੇ ਭਾਗ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ t 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਸੰਖਿਆ t ਬਦਲਦੀ ਹੈ, a(t) ਦੇ ਭਾਗ ਵੀ ਬਦਲਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ।
4. ਵੈਕਟਰ a(0) ਅਤੇ a(π) ਨੂੰ ਭਾਗ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
5. ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਵੈਕਟਰ a(t) ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ‖a(t)‖ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ t ਲਈ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
6. ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ t ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਵੈਕਟਰ a(t) ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਮੂਲ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ 1 ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
7. ਵੈਕਟਰ a(x)=〈x,1−x^2〉 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਸ ਦੇ ਭਾਗ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x∈[−1,1] 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਸੰਖਿਆ x ਬਦਲਦੀ ਹੈ, a(x) ਦੇ ਭਾਗ ਵੀ ਬਦਲਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ।
8. ਵੈਕਟਰ a(0) ਅਤੇ a(1) ਨੂੰ ਭਾਗ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
9. ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਵੈਕਟਰ a(x) ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ‖a(x)‖ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x ਲਈ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
10. ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ x ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਜੇਕਰ a(x) ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਅਰਧ-ਚੱਕਰ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕੇਵਲ ਅਰਧ-ਚੱਕਰ ਕਿਉਂ ਹੈ?
11. ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਵੈਕਟਰ a(t)=〈cost,sint〉 ਅਤੇ a(x)=〈x,1−x^2〉 x=1 ਅਤੇ t=2kπ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਲਈ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।
12. ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਵੈਕਟਰ a(t)=〈cost,sint〉 ਅਤੇ a(x)=〈x,1−x^2〉 x=1 ਅਤੇ t=π+2kπ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਲਈ ਵਿਰੋਧੀ ਹਨ।
13. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵੈਕਟਰ v ਲੱਭੋ ਜਿਸਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਜੋ ਵੈਕਟਰ u ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੈ।
14. ‖ v ‖ = 7 , u = 〈 3 , 4 〉
15. ‖ v ‖ = 3 , u = 〈 −2 , 5 〉
16. ‖ v ‖ = 7 , u = 〈 3 , −5 〉
17. ‖ v ‖ = 10 , u = 〈 2 , −1 〉
18. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵੈਕਟਰ u ਦਾ ਭਾਗ ਰੂਪ ਲੱਭੋ, ਜਿਸਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਧਨਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਕੋਣ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸਹੀ ਜਵਾਬ ਦਿਓ।
19. ‖u‖=2, θ=30°
20. ‖u‖=6, θ=60°
21. ‖u‖=5, θ=π/2
22. ‖u‖=8, θ=π
23. ‖u‖=10, θ=5π/6
24. ‖u‖=50, θ=3π/4
1. ਇਹਨਾਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵੈਕਟਰ uu ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੋਣ θ∈[0,2π)θ∈[0,2π) ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਵੈਕਟਰ uu x-ਧੁਰੇ ਦੀ ਧਨ ਦਿਸ਼ਾ ਨਾਲ, ਘੜੀ ਦੀ ਸੂਈ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
2. u = 5√2 i − 5√2 j
3. u = −3i − j
4. ਮੰਨ ਲਓ a=〈a1,a2〉, b=〈b1,b2〉, ਅਤੇ c=〈c1,c2〉 ਤਿੰਨ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਵੈਕਟਰ ਹਨ। ਜੇਕਰ a1b2−a2b1≠0, ਤਾਂ ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਦੋ ਸਕੇਲਰ, αα ਅਤੇ β,β, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹਨ ਕਿ c=αa+βb।
5. ਵੈਕਟਰ a=〈2,−4〉, b=〈−1,2〉, ਅਤੇ c = 0 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਸਕੇਲਰ αα ਅਤੇ ββ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ c=αa+βb।
6. ਮੰਨ ਲਓ P(x0,f(x0)) ਅਵਕਲਨੀਯ ਫਲਨ ff ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ।
7. ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ z0z0 ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਬਿੰਦੂ Q(x0+1,z0) ਬਿੰਦੂ P 'ਤੇ ff ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹੋਵੇ।
8. ਵੈਕਟਰ PQ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਬਿੰਦੂ PP ਵਾਲਾ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ uu ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
9. ਫਲਨ f(x)=x4, ਜਿੱਥੇ x∈ℝ, 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
10. ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ z0z0 ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਬਿੰਦੂ Q(2,z0) ਬਿੰਦੂ P(1,1) 'ਤੇ ff ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹੋਵੇ।
11. ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਬਿੰਦੂ PP ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ Q ਵਾਲਾ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ uu ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
12. ਮੰਨ ਲਓ ff ਅਤੇ gg ਦੋ ਫਲਨ ਹਨ ਜੋ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਇੱਕੋ ਸਮੂਹ D 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ a=〈x,f(x)〉 ਅਤੇ b=〈x,g(x)〉 ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਹਨ ਜੋ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ x∈D। ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਜੇਕਰ ਫਲਨਾਂ ff ਅਤੇ gg ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦੇ, ਤਾਂ ਵੈਕਟਰ aa ਅਤੇ bb ਸਮਾਨ ਨਹੀਂ ਹਨ।
13. ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x∈ℝ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ ਲਈ ਵੈਕਟਰ a=〈x,sinx〉 ਅਤੇ b=〈x,cosx〉 ਸਮਾਨ ਹਨ।
14. ਬਿੰਦੂ DD ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪਤਾ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ABCD ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੋਵੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ A(1,1), B(2,4), ਅਤੇ C(7,4) ਹਨ।
Consider the points A(2,1),A(2,1), B(10,6),B(10,6), C(13,4),C(13,4), and D(16,−2).D(16,−2). Determine the component form of vector AD→.AD→.
15. ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਗਤੀ ਉਸਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਮਾਪ ਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਫੁੱਟਬਾਲ ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਕ ਕੁਆਰਟਰਬੈਕ ਦੁਆਰਾ ਸੁੱਟਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਸਦੀ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਗਤੀ 70 mph ਹੈ ਅਤੇ ਉੱਚਾਣ ਦਾ ਕੋਣ 30° ਹੈ। ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ mph ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਘਟਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। (ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
16. ਇੱਕ ਬੇਸਬਾਲ ਖਿਡਾਰੀ ਇੱਕ ਬੇਸਬਾਲ ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਨਾਲ 30° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਸੁੱਟਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਗੇਂਦ ਦੀ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਗਤੀ 100 mph ਹੈ, ਤਾਂ ਬੇਸਬਾਲ ਦੇ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਘਟਕ ਪਤਾ ਕਰੋ। (ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
17. ਇੱਕ ਗੋਲੀ 1500 ft/sec ਦੇ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਵੇਗ ਨਾਲ ਖਿਤਿਜੀ ਨਾਲ 60° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਦਾਗੀ ਗਈ ਹੈ। ਗੋਲੀ ਦੇ ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਘਟਕ ਪਤਾ ਕਰੋ। (ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
18. [T] ਇੱਕ 65-kg ਸਪ੍ਰਿੰਟਰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਲਾਕ 'ਤੇ 798 N ਦਾ ਬਲ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ 19° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਹੈ, ਜਿਸ ਪਲ ਦੌੜ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਬਲ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਘਟਕ ਪਤਾ ਕਰੋ। (ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
19. [T] ਦੋ ਬਲ, ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਬਲ 45 lb ਅਤੇ ਦੂਜਾ 52 lb, ਇੱਕੋ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਬਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਕੋਣ 25° ਹੈ। ਨਤੀਜਾ ਬਲ ਦੇ ਮਾਪ ਅਤੇ ਧਨ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। (ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
20. [T] ਦੋ ਬਲ, ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਬਲ 26 lb ਅਤੇ ਦੂਜਾ 45 lb, ਇੱਕੋ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਬਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਕੋਣ 55° ਹੈ। ਨਤੀਜਾ ਬਲ ਦੇ ਮਾਪ ਅਤੇ ਧਨ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। (ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
21. [T] ਇੱਕ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਤਿੰਨ ਬਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਦੋ ਬਲਾਂ ਦੇ ਮਾਪ 58 N ਅਤੇ 27 N ਹਨ, ਅਤੇ ਧਨ x-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 53° ਅਤੇ 152° ਦੇ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਤੀਜੇ ਬਲ ਦੇ ਮਾਪ ਅਤੇ ਧਨ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਨਤੀਜਾ ਬਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਵੇ। (ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
22. ਤਿੰਨ ਬਲ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਮਾਪ 80 lb, 120 lb, ਅਤੇ 60 lb ਹਨ, ਇੱਕ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 45°, 60° ਅਤੇ 30° ਦੇ ਕੋਣਾਂ 'ਤੇ ਧਨ x-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਨਤੀਜਾ ਬਲ ਦੇ ਮਾਪ ਅਤੇ ਧਨ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੋ। (ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
23. [T] ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ ਉੱਤਰ-ਪੂਰਬ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ 43° (N43E) 'ਤੇ 550 mph ਦੀ ਗਤੀ ਨਾਲ ਉੱਡ ਰਿਹਾ ਹੈ। 25 mph ਦੀ ਗਤੀ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਹਵਾ ਦੱਖਣ-ਪੱਛਮ ਤੋਂ N15E ਬੇਅਰਿੰਗ ਨਾਲ ਆਉਂਦੀ ਹੈ। ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਜ਼ਮੀਨੀ ਗਤੀ ਅਤੇ ਨਵੀਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੀ ਹੈ?
24. [T] ਇੱਕ ਕਿਸ਼ਤੀ ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ 30 mph ਦੀ ਗਤੀ ਨਾਲ N20E ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ (ਭਾਵ, ਉੱਤਰ ਤੋਂ 20° ਪੂਰਬ) ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਤੇਜ਼ ਧਾਰਾ 15 mph ਦੀ ਗਤੀ ਨਾਲ N45E ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਗ ਰਹੀ ਹੈ। ਕਿਸ਼ਤੀ ਦੀ ਨਵੀਂ ਗਤੀ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਕੀ ਹੈ?
1. [T] ਇੱਕ ਕੇਬਲ ਦੁਆਰਾ 50-lb ਭਾਰ ਲਟਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਕੇਬਲ ਦੇ ਦੋ ਭਾਗ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਖਿਤਿਜੀ ਨਾਲ 40°40° ਅਤੇ 53°,53° ਦੇ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਕੇਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਣਾਅ T1T1 ਅਤੇ T2T2 ਬਲਾਂ ਦੇ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇਕਰ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਕਾਰਜਸ਼ੀਲ ਨਤੀਜਾ ਬਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। (ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
2. [T] ਇੱਕ ਰੱਸੀ ਤੋਂ 62-lb ਭਾਰ ਲਟਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ ਖਿਤਿਜੀ ਨਾਲ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 29°29° ਅਤੇ 61°,61° ਦੇ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਕੇਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਣਾਅ T1T1 ਅਤੇ T2T2 ਬਲਾਂ ਦੇ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇਕਰ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਕਾਰਜਸ਼ੀਲ ਨਤੀਜਾ ਬਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। (ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
3. [T] ਇੱਕ 1500-lb ਕਿਸ਼ਤੀ ਇੱਕ ਰੈਂਪ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੀ ਹੈ ਜੋ ਖਿਤਿਜੀ ਨਾਲ 30°30° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸ਼ਤੀ ਦਾ ਭਾਰ ਵੈਕਟਰ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ: ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਵੈਕਟਰ v1v1 ਜੋ ਰੈਂਪ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਵੈਕਟਰ v2v2 ਜੋ ਝੁਕੀ ਹੋਈ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ v1v1 ਅਤੇ v2v2 ਦੇ ਮਾਪ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਕਿਸ਼ਤੀ ਦੇ ਭਾਰ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਭਾਗ ਹਨ। v1v1 ਅਤੇ v2.v2 ਦੇ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ। (ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
4. [T] ਇੱਕ 85-lb ਡੱਬਾ 26°26° ਦੇ ਢਲਾਨ 'ਤੇ ਬਿਨਾਂ ਹਿੱਲੋ-ਜੁੱਲੋ ਦੇ ਹੈ। ਡੱਬੇ ਨੂੰ ਖਿਸਕਣ ਤੋਂ ਰੋਕਣ ਲਈ ਢਲਾਨ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਬਲ ਦਾ ਮਾਪ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। (ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
5. ਇੱਕ ਗਾਈ-ਵਾਇਰ ਇੱਕ 7575 ਫੁੱਟ ਉੱਚੇ ਖੰਭੇ ਨੂੰ ਸਹਾਰਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਤਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਰਾ ਖੰਭੇ ਦੇ ਸਿਖਰ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਸਿਰਾ ਖੰਭੇ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੋਂ 5050 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਲਗਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਤਾਰ ਵਿੱਚ ਤਣਾਅ ਬਲ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜੇਕਰ ਇਸਦਾ ਮਾਪ 5050 lb ਹੈ। (ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
6. ਇੱਕ ਟੈਲੀਫੋਨ ਖੰਭੇ ਦੀ ਗਾਈ-ਵਾਇਰ ਦਾ ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ 35°35° ਦਾ ਉਚਾਈ ਕੋਣ ਹੈ। ਗਾਈ-ਵਾਇਰ ਵਿੱਚ ਤਣਾਅ ਬਲ 120120 lb ਹੈ। ਤਣਾਅ ਬਲ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰੋ। (ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)