ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਥਾਨ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
ਸਥਾਨ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਥਿਤ ਕਰੋ।
ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਦੂਰੀ ਦੇ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਲਿਖੋ।
ਸਾਧਾਰਨ ਸਮਤਲਾਂ ਅਤੇ ਗੋਲਿਆਂ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ℝ³ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਕਾਰਜ ਕਰੋ। ℝ³।
ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵੈਕਟਰ ਉਪਯੋਗੀ ਸਾਧਨ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੀਵਨ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਯਥਾਰਥਵਾਦੀ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ ਲਈ, ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਥਾਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਢਾਂਚਾ ਬਣਾਉਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਇੱਕ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਨਕਸ਼ਾ ਇੱਕ ਜਗ੍ਹਾ ਤੋਂ ਦੂਜੀ ਜਗ੍ਹਾ ਤੱਕ ਨੈਵੀਗੇਟ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਉਪਯੋਗੀ ਸਾਧਨ ਹੈ, ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਜ਼ਮੀਨ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਹਾਡਾ ਯੋਜਨਾਬੱਧ ਰੂਟ ਪਹਾੜਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ? ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇੱਕ ਨਦੀ ਪਾਰ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ? ਇਹਨਾਂ ਭੂਗੋਲਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ। ਇਹ ਭਾਗ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਕਾਰਟੇਸੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਮਤਲ ਦਾ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਵਿਸਥਾਰ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ, ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਦੋ ਲੰਬਾਤਮਕ ਧੁਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਖਿਤਿਜੀ x-ਧੁਰਾ ਅਤੇ ਲੰਬਾ y-ਧੁਰਾ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤੀਜਾ ਅਯਾਮ, z-ਧੁਰਾ, ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ x-ਧੁਰਾ ਅਤੇ y-ਧੁਰਾ ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਲੰਬਾਤਮਕ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਜੀਵਨ ਵਿੱਚ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਲੰਬਾਤਮਕ ਧੁਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: x-ਧੁਰਾ, y-ਧੁਰਾ, z-ਧੁਰਾ, ਅਤੇ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਮਿਲਨ ਬਿੰਦੂ (0) 'ਤੇ ਇੱਕ ਮੂਲ। ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਧੁਰਾ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ ℝ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ℝ³ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ℝ³।
ਚਿੱਤਰ 2.23(a) ਵਿੱਚ, ਸਕਾਰਾਤਮਕ z-ਧੁਰਾ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਵਾਲੇ ਸਮਤਲ ਦੇ ਉੱਪਰ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ y-ਧੁਰਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਇਹ ਪੁੱਛਣਾ ਹੈ: ਇਹ ਵਿਵਸਥਾ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ? ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਆਪਣਾ ਸੱਜਾ ਹੱਥ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਂਗਲਾਂ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਇਕਸਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਉਂਗਲਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੋੜਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹ ਸਕਾਰਾਤਮਕ y-ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਨ, ਸਾਡਾ ਅੰਗੂਠਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ z-ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਪਾਠ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਸਥਾਪਿਤ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕੁਝ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਪਰ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦਾ ਨਿਯਮ ਮਿਆਰੀ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.23: (a) ਅਸੀਂ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤੀਜੇ ਧੁਰੇ, z-ਧੁਰੇ, ਜੋੜ ਕੇ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ x-ਧੁਰਾ ਅਤੇ y-ਧੁਰਾ ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਲੰਬਾਤਮਕ ਹੈ। (b) ਸਟੈਂਡਰਡ ਕਾਰਟੇਸੀਅਨ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਧੁਰਿਆਂ ਦੀ ਪਲੇਸਮੈਂਟ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ (x,y) ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। (x,y)। ਹਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਬਿੰਦੂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਇਕਸਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, z-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਇਕਸਾਰਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ, z, ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: (x,y,z)। (x,y,z)। ਸਥਾਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਤਿੰਨਾਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਚਿੱਤਰ 2.24) ਦੁਆਰਾ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। (x,y,z) ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਲਈ, (x,y,z), x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ x ਇਕਾਈਆਂ, ਫਿਰ y-ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ y ਇਕਾਈਆਂ, ਫਿਰ z-ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ z ਇਕਾਈਆਂ ਜਾਓ।
ਚਿੱਤਰ 2.24: (x,y,z) ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਲਈ, (x,y,z), x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ x ਇਕਾਈਆਂ, ਫਿਰ y-ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ y ਇਕਾਈਆਂ, ਫਿਰ z-ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ z ਇਕਾਈਆਂ ਜਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.11
ਸਥਾਨ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਸਥਿਤ ਕਰਨਾ
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਥਾਨ ਵਿੱਚ (1,−2,3) ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ। (1,−2,3)
ਹੱਲ
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪ੍ਰਿਜ਼ਮ ਦੇ ਤਿੰਨ ਪਾਸੇ ਸਕੈਚ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ: ਸਕਾਰਾਤਮਕ x ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇਕਾਈ, ਨਕਾਰਾਤਮਕ y ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ 2 ਇਕਾਈਆਂ, ਅਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ z ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ 3 ਇਕਾਈਆਂ। (1,−2,3) ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਲਈ ਪ੍ਰਿਜ਼ਮ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰੋ (ਚਿੱਤਰ 2.25)।
ਚਿੱਤਰ 2.25: (1,−2,3) ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨਾ। (1,−2,3)
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.11
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਥਾਨ ਵਿੱਚ (−2,3,−1) ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ। (−2,3,−1)
ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਸਥਾਨ ਵਿੱਚ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਮਤਲ ਦੋ ਲੰਬਾਤਮਕ ਧੁਰਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਧੁਰੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮਤਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਾਨ ਦਾ ਨਾਮ ਦੇਣ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਧੁਰਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਮਤਲਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹੁਣ ਤਿੰਨ ਧੁਰੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਤਿੰਨ ਮਿਲਦੇ ਜੋੜੇ ਹਨ। ਧੁਰਿਆਂ ਦਾ ਹਰ ਜੋੜਾ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਮਤਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ: xy-ਸਮਤਲ, xz-ਸਮਤਲ, ਅਤੇ yz-ਸਮਤਲ (ਚਿੱਤਰ 2.26)। ਅਸੀਂ xy-ਸਮਤਲ ਨੂੰ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਮੂਹ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: {(x,y,0):x,y∈ℝ}। {(x,y,0):x,y∈ℝ}। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, xz-ਸਮਤਲ ਅਤੇ yz-ਸਮਤਲ ਨੂੰ {(x,0,z):x,z∈ℝ} {(x,0,z):x,z∈ℝ} ਅਤੇ {(0,y,z):y,z∈ℝ} {(0,y,z):y,z∈ℝ} ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ।
ਇਸ ਨੂੰ ਵੇਖਣ ਲਈ, ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਘਰ ਬਣਾ ਰਹੇ ਹੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਕਮਰੇ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਦੋ ਕੰਧਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਹਨ। (ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਦੋ ਪੂਰੀਆਂ ਕੰਧਾਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਲੱਗੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਹਨ।) ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਦੋ ਪੂਰੀਆਂ ਕੰਧਾਂ ਦੇ ਮਿਲਣ ਵਾਲੇ ਕੋਨੇ ਵੱਲ ਪਿੱਠ ਕਰਕੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋ, ਕਮਰੇ ਵਿੱਚ ਸਾਹਮਣੇ ਦੇਖ ਰਹੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਫਰਸ਼ xy-ਪਲੇਨ ਹੈ, ਤੁਹਾਡੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਕੰਧ xz-ਪਲੇਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਤੁਹਾਡੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਕੰਧ yz-ਪਲੇਨ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.26: x ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਵਾਲੇ ਪਲੇਨ ਨੂੰ xy-ਪਲੇਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। x ਅਤੇ z-ਧੁਰੇ ਵਾਲੇ ਪਲੇਨ ਨੂੰ xz-ਪਲੇਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ y ਅਤੇ z-ਧੁਰੇ yz-ਪਲੇਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰੇ ਪਲੇਨ ਨੂੰ ਚਾਰ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਅੱਠ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਵੰਡਦੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸ਼ਟਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸ਼ਟਕ ℝ3 ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਭਰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ℝ2 ਨੂੰ ਭਰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2.27 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.27: ਅਸ਼ਟਕਾਂ ਵਿੱਚ ਪਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਤਿੰਨ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਕੰਮ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਸੰਕਲਪਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਵਿਸਥਾਰ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਗੋਲਿਆਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਆਪਣੇ ਗਿਆਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ, ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਆਪਣੀ ਸਮਝ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਹਨਾਂ ਟੀਚਿਆਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਦੂਰੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਅਨੁਕੂਲ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇਕਰ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕੋ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਪਏ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਉਹਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਸਿੱਧਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ xy-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (x1,y1) ਅਤੇ (x2,y2) ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ dd ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਵਿਸਥਾਰ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 2.2
ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ
ਬਿੰਦੂਆਂ (x1,y1,z1) ਅਤੇ (x2,y2,z2) ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ dd ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਸਬੂਤ ਇੱਕ ਅਭਿਆਸ ਵਜੋਂ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। (ਸੰਕੇਤ: ਪਹਿਲਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ (x1,y1,z1) ਅਤੇ (x2,y2,z1) ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ d1 ਲੱਭੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2.28 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।)
ਚਿੱਤਰ 2.28: P1 ਅਤੇ P2 ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਉਸ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪ੍ਰਿਜ਼ਮ ਦੇ ਵਿਕਰਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਉਲਟ ਕੋਨੇ P1 ਅਤੇ P2 ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.12
ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਦੂਰੀ
ਬਿੰਦੂਆਂ P1=(3,−1,5) ਅਤੇ P2=(2,1,−1) ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਲੱਭੋ।
ਚਿੱਤਰ 2.29: ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਦੂਰੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਬਦਲੋ:
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.12
ਬਿੰਦੂਆਂ P1=(1,−5,4) ਅਤੇ P2=(4,−1,−1) ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਲੱਭੋ।
ਅਗਲੇ ਭਾਗ 'ਤੇ ਜਾਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਇਹ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰੀਏ ਕਿ ℝ3 ℝ2 ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ℝ2 ਵਿੱਚ, ਸਮਾਂਤਰ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ। ℝ3 ਵਿੱਚ ਇਹ ਸੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 2.30 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਹ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਉਹ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2.30: ਇਹ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਪਰ ਫਿਰ ਵੀ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦੀਆਂ।
ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਅਜਿਹੇ ਚੱਕਰ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜੋ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਹਨ ਪਰ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਬਿੰਦੂ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2.31 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.31: ਇਹ ਚੱਕਰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਹਨ, ਪਰ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਬਿੰਦੂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਤਿੰਨ ਪਹਿਲੂਆਂ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰਦਿਆਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਪਹਿਲੂਆਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਰਹਿਣ ਨਾਲੋਂ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਲਚਕਤਾ ਹੈ।
ℝ3 ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ℝ3 ਵਿੱਚ ਰੇਖਾਵਾਂ, ਤਲ ਅਤੇ ਵਕਰ ਸਤਹਾਂ ਵਰਗੀਆਂ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ ਸਿੱਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ℝ, ℝ2, ਅਤੇ ℝ3 ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ x=0 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ (ਚਿੱਤਰ 2.32)। ਇਹਨਾਂ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕੋ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ, ਇੱਕ ਰੇਖਾ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਤਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.32: (a) ℝ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ x=0 ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। (b) ℝ2 ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ x=0 ਇੱਕ ਰੇਖਾ, y-ਧੁਰੇ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। (c) ℝ3 ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ x=0 ਇੱਕ ਤਲ, yz-ਤਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ x=0 ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (0,y,z) ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ yz-ਤਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, xy-ਤਲ ਵਿੱਚ (x,y,0) ਰੂਪ ਦੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸਮੀਕਰਨ z=0 xy-ਤਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ y=0 xz-ਤਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.33)।
ਚਿੱਤਰ 2.33: (a) ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ z=0 xy-ਤਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। (b) xz-ਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ ਸਮੀਕਰਨ y=0 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤਲਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਲ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਤਲ xy-ਤਲ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਤਲ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ z-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਇੱਕੋ ਸਥਿਰ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਸ ਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਿਰਫ਼ x- ਅਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਨਿਯਮ: ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤਲਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਤਲਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ
xy-ਤਲ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (a,b,c) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲਾ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਤਲ ਸਮੀਕਰਨ z=c ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
xz-ਤਲ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (a,b,c) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲਾ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਤਲ ਸਮੀਕਰਨ y=b ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
yz-ਤਲ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (a,b,c) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲਾ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਤਲ ਸਮੀਕਰਨ x=a ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.13
ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤਲਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਤਲਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
ਬਿੰਦੂ (3,11,7) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਅਤੇ yz-ਤਲ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਬਿੰਦੂਆਂ (6,−2,9), (0,−2,4), ਅਤੇ (1,−2,−3) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਤਲ yz-ਤਲ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਿਰਫ਼ y- ਅਤੇ z-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੀ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਨ। x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਇਸ ਤਲ ਦੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਲਈ ਇੱਕੋ ਸਥਿਰ ਮੁੱਲ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਤਲ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ x=3 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਬਿੰਦੂਆਂ (6,−2,9), (0,−2,4), ਅਤੇ (1,−2,−3) ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦਾ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਲ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ y=−2 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.13
ਬਿੰਦੂ (1,−6,−4) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਅਤੇ xy-ਤਲ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ℝ2 ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ x=5 ਬਿੰਦੂ (5,0) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਲੰਬਤ ਰੇਖਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਰੇਖਾ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ, ℝ3 ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ x=5 ਬਿੰਦੂ (5,0,0) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਤਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ yz-ਤਲ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਇੱਕ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕੁਦਰਤੀ ਵਿਸਥਾਰ ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਗੋਲਾ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ, ਗੋਲੇ ਦੇ ਕੇਂਦਰ (ਚਿੱਤਰ 2.34) ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਜੋ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹਨ, ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਵਿੱਚ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ, ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਗੋਲੇ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.34: ਗੋਲੇ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ 'ਤੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ (x,y,z) ਕੇਂਦਰ (a,b,c) ਤੋਂ r ਇਕਾਈ ਦੂਰ ਹੈ।
ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਸੂਤਰ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹੈ।
ਨਿਯਮ: ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ
ਕੇਂਦਰ (a,b,c) ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ r ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੋਲੇ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.14
ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ
ਕੇਂਦਰ (10,7,4) ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (−1,3,−2) ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2.35 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.35: ਗੋਲਾ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (10,7,4) ਹੈ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (−1,3,−2) ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ r ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਗੋਲੇ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.14
ਕੇਂਦਰ (−2,4,−5) ਵਾਲੇ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (4,4,−1) ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.15
ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ P=(−5,2,3) ਅਤੇ Q=(3,4,−1), ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਰੇਖਾ ਖੰਡ PQ ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਿਆਸ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.36)। ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਚਿੱਤਰ 2.36: ਰੇਖਾ ਖੰਡ PQ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ PQ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਿਆਸ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗੋਲੇ ਦਾ ਕੇਂਦਰ PQ ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਫਿਰ,
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਿਆਸ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹੈ। ਇਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਫਿਰ, ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ (x+1)2+(y−3)2+(z−1)2=21 ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.15
ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦਾ ਵਿਆਸ PQ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ P=(2,−1,−3) ਅਤੇ Q=(−2,5,−1)।
ਉਦਾਹਰਨ 2.16
ਤਿੰਨ ਮਾਪਾਂ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਜੋ (x−4)(z−2)=0, ਅਤੇ ਸਮੂਹ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਜਾਂ ਤਾਂ x−4=0 ਜਾਂ z−2=0 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਦੋ ਤਲ x=4 ਅਤੇ z=2 ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.37)।
ਚਿੱਤਰ 2.37: ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਜੋ (x−4)(z−2)=0 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਦੋ ਤਲ x=4 ਅਤੇ z=2 ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.16
ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਜੋ (y+2)(z−3)=0 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਮੂਹ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.17
ਤਿੰਨ ਮਾਪਾਂ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਤਿੰਨ-ਮਾਪੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਜੋ (x−2)2+(y−1)2=4 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਮੂਹ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
x- ਅਤੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ xy-ਤਲ ਵਿੱਚ 2 ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (2,1) ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ z-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ 'ਤੇ ਕੋਈ ਪਾਬੰਦੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਿੰਨ-ਮਾਪੀ ਨਤੀਜਾ 2 ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਸਿਲੰਡਰ ਹੈ ਜੋ x=2 ਅਤੇ y=1 ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੈ। ਸਿਲੰਡਰ z-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.38)।
ਚਿੱਤਰ 2.38: ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਜੋ (x−2)2+(y−1)2=4 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ 2 ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਹੈ ਜੋ x=2 ਅਤੇ y=1 ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.17
ਤਿੰਨ-ਮਾਪੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਜੋ x2+(z−2)2=16 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਤਹ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ℝ3 ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ
ਦੋ-ਮਾਪੀ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਾਂਗ, ਤਿੰਨ-ਮਾਪੀ ਵੈਕਟਰ ਵੀ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦੋਵੇਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ (ਤੀਰਾਂ) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤਿੰਨ-ਮਾਪੀ ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਮਾਪੀ ਤੀਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਤਿੰਨ-ਮਾਪੀ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਨੋਟੇਸ਼ਨ v=〈x,y,z〉 ਦੋ-ਮਾਪੀ ਕੇਸ ਦਾ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਵਿਸਥਾਰ ਹੈ, ਜੋ ਮੂਲ (0,0,0) 'ਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ, ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (x,y,z) ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ 0=〈0,0,0〉 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਤਿੰਨ-ਮਾਪੀ ਵੈਕਟਰ v=〈2,4,1〉 ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0,0,0) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (2,4,1) ਤੱਕ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.39)।
ਚਿੱਤਰ 2.39: ਵੈਕਟਰ v=〈2,4,1〉 ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0,0,0) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (2,4,1) ਤੱਕ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਅਤੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਦੋ-ਮਾਪੀ ਕੇਸ ਦੇ ਸਮਾਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ v=〈x1,y1,z1〉 ਅਤੇ w=〈x2,y2,z2〉 ਵੈਕਟਰ ਹਨ, ਅਤੇ k ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਹੈ, ਤਾਂ
ਜੇਕਰ k=−1, ਤਾਂ kv=(−1)v ਨੂੰ −v ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਘਟਾਓ ਨੂੰ v−w=v+(−w)=v+(−1)w ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਟੈਂਡਰਡ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਵੀ ਤਿੰਨ ਮਾਪਾਂ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਫੈਲਦੇ ਹਨ—i=〈1,0,0〉, j=〈0,1,0〉, ਅਤੇ k=〈0,0,1〉—ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਮਾਪਾਂ ਵਿੱਚ ਸਟੈਂਡਰਡ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ℝ3 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਉਦਾਹਰਨ 2.18
ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ
Let PQ→PQ→ be the vector with initial point P=(3,12,6)P=(3,12,6) and terminal point Q=(−4,−3,2)Q=(−4,−3,2) as shown in Figure 2.40. Express PQ→PQ→ in both component form and using standard unit vectors.
Figure 2.40: The vector with initial point P=(3,12,6)P=(3,12,6) and terminal point Q=(−4,−3,2).Q=(−4,−3,2).
Solution
In component form,
In standard unit form,
Checkpoint 2.18
Let S=(3,8,2)S=(3,8,2) and T=(2,−1,3).T=(2,−1,3). Express ST→ST→ in component form and in standard unit form.
As described earlier, vectors in three dimensions behave in the same way as vectors in a plane. The geometric interpretation of vector addition, for example, is the same in both two- and three-dimensional space (Figure 2.41).
Figure 2.41: To add vectors in three dimensions, we follow the same procedures we learned for two dimensions.
We have already seen how some of the algebraic properties of vectors, such as vector addition and scalar multiplication, can be extended to three dimensions. Other properties can be extended in similar fashion. They are summarized here for our reference.
Rule: Properties of Vectors in Space
Let v=〈x1,y1,z1〉v=〈x1,y1,z1〉 and w=〈x2,y2,z2〉w=〈x2,y2,z2〉 be vectors, and let kk be a scalar.
Scalar multiplication: kv=〈kx1,ky1,kz1〉kv=〈kx1,ky1,kz1〉
Vector addition: v+w=〈x1,y1,z1〉+〈x2,y2,z2〉=〈x1+x2,y1+y2,z1+z2〉v+w=〈x1,y1,z1〉+〈x2,y2,z2〉=〈x1+x2,y1+y2,z1+z2〉
Vector subtraction: v−w=〈x1,y1,z1〉−〈x2,y2,z2〉=〈x1−x2,y1−y2,z1−z2〉v−w=〈x1,y1,z1〉−〈x2,y2,z2〉=〈x1−x2,y1−y2,z1−z2〉
Vector magnitude: ‖v‖=x12+y12+z12‖v‖=x12+y12+z12
Unit vector in the direction of v: 1‖v‖v=1‖v‖〈x1,y1,z1〉=〈x1‖v‖,y1‖v‖,z1‖v‖〉,1‖v‖v=1‖v‖〈x1,y1,z1〉=〈x1‖v‖,y1‖v‖,z1‖v‖〉, if v≠0v≠0
We have seen that vector addition in two dimensions satisfies the commutative, associative, and additive inverse properties. These properties of vector operations are valid for three-dimensional vectors as well. Scalar multiplication of vectors satisfies the distributive property, and the zero vector acts as an additive identity. The proofs to verify these properties in three dimensions are straightforward extensions of the proofs in two dimensions.
Example 2.19
Vector Operations in Three Dimensions
Let v=〈−2,9,5〉v=〈−2,9,5〉 and w=〈1,−1,0〉w=〈1,−1,0〉 (Figure 2.42). Find the following vectors.
3v−2w3v−2w
5‖w‖5‖w‖
‖5w‖‖5w‖
v ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ। ਚਿੱਤਰ 2.42 ਵੈਕਟਰ v=〈−2,9,5〉 ਅਤੇ w=〈1,−1,0〉।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਫਿਰ ਘਟਾਓ: 3v−2w=3〈−2,9,5〉−2〈1,−1,0〉=〈−6,27,15〉−〈2,−2,0〉=〈−6−2,27−(−2),15−0〉=〈−8,29,15〉।
ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਮਾਪ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ, ਫਿਰ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: 5‖w‖=512+(−1)2+02=52।
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਫਿਰ ਨਵੇਂ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਨਤੀਜਾ ਭਾਗ b. ਲਈ ਸਮਾਨ ਹੈ: ‖5w‖=‖〈5,−5,0〉‖=52+(−5)2+02=50=52।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਮਾਪ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਸਮਾਨ ਹੈ: v‖v‖=1‖v‖〈−2,9,5〉=1(−2)2+92+52〈−2,9,5〉=1110〈−2,9,5〉=〈−2110,9110,5110〉।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.19
ਮੰਨ ਲਓ v=〈−1,−1,1〉 ਅਤੇ w=〈2,0,1〉। 5v+3w ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.20
ਅੱਗੇ ਪਾਸ ਸੁੱਟਣਾ
ਇੱਕ ਕੁਆਰਟਰਬੈਕ ਫੁੱਟਬਾਲ ਦੇ ਮੈਦਾਨ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਪਾਸ ਸੁੱਟਣ ਦੀ ਤਿਆਰੀ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਸਦਾ ਰਿਸੀਵਰ ਮੈਦਾਨ ਵਿੱਚ 20 ਗਜ਼ ਅਤੇ ਕੁਆਰਟਰਬੈਕ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ 15 ਗਜ਼ ਦੂਰ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ। ਕੁਆਰਟਰਬੈਕ ਗੇਂਦ ਨੂੰ 60 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਰਿਸੀਵਰ ਵੱਲ 30° ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਸੁੱਟਦਾ ਹੈ (ਅਗਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)। ਗੇਂਦ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੈਲੋਸਿਟੀ ਵੈਕਟਰ, v, ਨੂੰ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲੀ ਚੀਜ਼ ਜੋ ਅਸੀਂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਹੈ ਗੇਂਦ ਦੇ ਵੈਲੋਸਿਟੀ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਸਮਾਨ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭਣਾ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਉਚਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਕੇਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਇਸਦਾ ਸਹੀ ਮਾਪ ਹੋਵੇ। ਕੁਆਰਟਰਬੈਕ ਦੇ ਹੱਥ ਤੋਂ ਰਿਸੀਵਰ ਦੇ ਸਿਰ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ 30° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਫੈਲਣ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ w 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ (ਅਗਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)। ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ v ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੋਵੇਗੀ, ਪਰ ਇਸਦਾ ਮਾਪ ਸਹੀ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ।
ਰਿਸੀਵਰ ਮੈਦਾਨ ਵਿੱਚ 20 ਗਜ਼ ਅਤੇ ਕੁਆਰਟਰਬੈਕ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ 15 ਗਜ਼ ਦੂਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕੁਆਰਟਰਬੈਕ ਤੋਂ ਰਿਸੀਵਰ ਤੱਕ ਸਿੱਧੀ-ਰੇਖਾ ਦੂਰੀ ਹੈ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ 25‖w‖=cos30° ਹੈ। ਫਿਰ w ਦਾ ਮਾਪ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਅਤੇ ਰਿਸੀਵਰ ਤੋਂ w ਦੇ ਟਰਮੀਨਲ ਪੁਆਇੰਟ ਤੱਕ ਦੀ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦੂਰੀ ਹੈ
ਫਿਰ w=〈20,15,253〉, ਅਤੇ v ਦੇ ਸਮਾਨ ਦਿਸ਼ਾ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿ ਅਸੀਂ w ਦੇ ਮਾਪ ਦੀ ਗਣਨਾ ‖w‖=503 ਕੀਤੀ ਹੈ, ਅਤੇ v ਦਾ ਮਾਪ 60 mph ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਵੈਕਟਰ w ਨੂੰ ਇੱਕ ਉਚਿਤ ਸਥਿਰ, k, ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ k ਦਾ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ‖kw‖=60 mph ਹੋਵੇ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ
ਫਿਰ
ਆਓ ‖v‖=60 ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ v ਲਈ ਸਹੀ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਲੱਭ ਲਏ ਹਨ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.20
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੁਆਰਟਰਬੈਕ ਅਤੇ ਰਿਸੀਵਰ ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਾਂਗ ਹੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਹਨ। ਇਸ ਵਾਰ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕੁਆਰਟਰਬੈਕ 40 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਅਤੇ 45° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਗੇਂਦ ਸੁੱਟਦਾ ਹੈ। ਗੇਂਦ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੈਲੋਸਿਟੀ ਵੈਕਟਰ, v, ਨੂੰ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਕਸੇ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਇੱਕ ਸਿਖਰ ਮੂਲ 'ਤੇ ਹੋਵੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਬਿੰਦੂ A(2,3,5) ਮੂਲ ਦੇ ਉਲਟ ਸਿਖਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਲੱਭੋ
ਬਾਕੀ ਛੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਅਤੇ
ਸਿਖਰਾਂ OO ਅਤੇ A ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਬਕਸੇ ਦੇ ਵਿਕਰਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ।
ਬਿੰਦੂ P ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਮੂਲ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਦੂਰੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ।
(y − 5)(z − 6) = 0
(z − 2)(z − 5) = 0
(y − 1)² + (z − 1)² = 1
(x − 2)² + (z − 5)² = 4
ਬਿੰਦੂ (1,1,1) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਅਤੇ xy-ਪਲੇਨ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਬਿੰਦੂ (1,−3,2) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਅਤੇ xz-ਪਲੇਨ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਬਿੰਦੂਆਂ (1,−3,−2), (0,3,−2), ਅਤੇ (1,0,−2) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਬਿੰਦੂਆਂ (1,9,2), (1,3,6), ਅਤੇ (1,−7,8) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਕੇਂਦਰ C(−1,7,4) ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ 4
ਕੇਂਦਰ C(−4,7,2) ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ 6
Diameter PQ,PQ, where P(−1,5,7)P(−1,5,7) and Q(−5,2,9)Q(−5,2,9)
Diameter PQ,PQ, where P(−16,−3,9)P(−16,−3,9) and Q(−2,3,5)Q(−2,3,5)
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਗੋਲੇ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
x² + y² + z² − 4z + 3 = 0
x² + y² + z² − 6x + 8y − 10z + 25 = 0
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਬਿੰਦੂ P ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ Q ਦੇ ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ PQ→ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ
ਘਟਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਤੇ
ਮਿਆਰੀ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ।
P(3,0,2)P(3,0,2) and Q(−1,−1,4)Q(−1,−1,4)
P(0,10,5)P(0,10,5) and Q(1,1,−3)Q(1,1,−3)
P(−2,5,−8)P(−2,5,−8) and M(1,−7,4),M(1,−7,4), where MM is the midpoint of the line segment PQPQ
Q(0,7,−6)Q(0,7,−6) and M(−1,3,2),M(−1,3,2), where MM is the midpoint of the line segment PQPQ
ਬਿੰਦੂ P(−2,3,5) ਦੇ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ PQ→=〈7,−1,3〉 ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ Q ਲੱਭੋ।
ਬਿੰਦੂ Q(10,0,−1) ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ PQ→=〈−9,1,2〉 ਦਾ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਬਿੰਦੂ P ਲੱਭੋ।
For the following exercises, use the given vectors aa and bb to find and express the vectors a+b,a+b, 4a,4a, and −5a+3b−5a+3b in component form.
a=〈−1,−2,4〉,a=〈−1,−2,4〉, b=〈−5,6,−7〉b=〈−5,6,−7〉
a=〈3,−2,4〉,a=〈3,−2,4〉, b=〈−5,6,−9〉b=〈−5,6,−9〉
a=−k,a=−k, b=−ib=−i
a=i+j+k,a=i+j+k, b=2i−3j+2kb=2i−3j+2k
For the following exercises, vectors u and v are given. Find the magnitudes of vectors u−vu−v and −2u.−2u.
u=2i+3j+4k,u=2i+3j+4k, v=−i+5j−kv=−i+5j−k
u=i+j,u=i+j, v=j−kv=j−k
u=〈2cost,−2sint,3〉,u=〈2cost,−2sint,3〉, v=〈0,0,3〉,v=〈0,0,3〉, where tt is a real number.
u=〈0,1,sinht〉,u=〈0,1,sinht〉, v=〈1,1,0〉,v=〈1,1,0〉, where tt is a real number.
For the following exercises, find the unit vector in the direction of the given vector aa and express it using standard unit vectors.
a = 3 i − 4 j a = 3 i − 4 j
a = 〈 4 , −3 , 6 〉 a = 〈 4 , −3 , 6 〉
a=PQ→,a=PQ→, where P(−2,3,1)P(−2,3,1) and Q(0,−4,4)Q(0,−4,4)
a=OP→,a=OP→, where P(−1,−1,1)P(−1,−1,1)
a=u−v+w,a=u−v+w, where u=i−j−k,u=i−j−k, v=2i−j+k,v=2i−j+k, and w=−i+j+3kw=−i+j+3k
a=2u+v−w,a=2u+v−w, where u=i−k,u=i−k, v=2j,v=2j, and w=i−jw=i−j
Determine whether AB→AB→ and PQ→PQ→ are equivalent vectors, where A(1,1,1),B(3,3,3),P(1,4,5),A(1,1,1),B(3,3,3),P(1,4,5), and Q(3,6,7).Q(3,6,7).
Determine whether the vectors AB→AB→ and PQ→PQ→ are equivalent, where A(1,4,1),A(1,4,1), B(−2,2,0),B(−2,2,0), P(2,5,7),P(2,5,7), and Q(−3,2,1).Q(−3,2,1).
For the following exercises, find vector uu with a magnitude that is given and satisfies the given conditions.
v=〈7,−1,3〉,v=〈7,−1,3〉, ‖u‖=10,‖u‖=10, uu and vv have the same direction
v=〈2,4,1〉,v=〈2,4,1〉, ‖u‖=15,‖u‖=15, uu and vv have the same direction
v=〈2sint,2cost,1〉,v=〈2sint,2cost,1〉, ‖u‖=2,‖u‖=2, uu and vv have opposite directions for any t,t, where tt is a real number
v=〈3sinht,0,3〉,v=〈3sinht,0,3〉, ‖u‖=5,‖u‖=5, uu and vv have opposite directions for any t,t, where tt is a real number
Determine a vector of magnitude 55 in the direction of vector AB→,AB→, where A(2,1,5)A(2,1,5) and B(3,4,−7).B(3,4,−7).
Find a vector of magnitude 22 that points in the opposite direction than vector AB→,AB→, where A(−1,−1,1)A(−1,−1,1) and B(0,1,1).B(0,1,1). Express the answer in component form.
Consider the points A(2,α,0),B(0,1,β),A(2,α,0),B(0,1,β), and C(1,1,β),C(1,1,β), where αα and ββ are negative real numbers. Find αα and ββ such that ‖OA→−OB→+OC→‖=‖OB→‖=4.‖OA→−OB→+OC→‖=‖OB→‖=4.
Consider points A(α,0,0),B(0,β,0),A(α,0,0),B(0,β,0), and C(α,β,β),C(α,β,β), where αα and ββ are positive real numbers. Find αα and ββ such that ‖OA—+OB—‖=2and‖OC—‖=3.‖OA—+OB—‖=2and‖OC—‖=3.
1. ਮੰਨ ਲਓ P(x,y,z) ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ A(1,−1,0) ਅਤੇ B(−1,2,1) ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਬਿੰਦੂ P ਸਮੀਕਰਨ −2x+3y+z=2 ਵਾਲੇ ਤਲ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।
2. ਮੰਨ ਲਓ P(x,y,z) ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜੋ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ A(4,1,2) ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਬਿੰਦੂ P ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ 8x+2y+4z=21 ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ।
3. ਬਿੰਦੂ A, B, ਅਤੇ C ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਹਨ (ਇਸ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ) ਜੇਕਰ ਸਬੰਧ ‖AB→‖+‖BC→‖=‖AC→‖ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦਰਸਾਓ ਕਿ A(5,3,−1), B(−5,−3,1), ਅਤੇ C(−15,−9,3) ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।
4. ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਬਿੰਦੂ A(1,0,1), B(0,1,1), ਅਤੇ C(1,1,1) ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਨਹੀਂ ਹਨ।
5. [T] 50N ਦਾ ਇੱਕ ਬਲ F, ਬਿੰਦੂ P(3,4,0) ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ OP→ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਣ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
6. ਬਲ ਨੂੰ ਘਟਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
7. ਬਲ F ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੀ ਧਨ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
8. [T] 40N ਦਾ ਇੱਕ ਬਲ F, ਬਿੰਦੂ P(1,0,2) ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ OP→ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਕਸੇ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
9. ਸਟੈਂਡਰਡ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
10. ਬਲ F ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੀ ਧਨ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।
11. ਜੇਕਰ F ਇੱਕ ਬਲ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ P1(x1,y1,z1) ਤੋਂ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ P2(x2,y2,z2) ਤੱਕ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਿਸਥਾਪਨ ਵੈਕਟਰ D=(x2−x1)i+(y2−y1)j+(z2−z1)k ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਧਾਤੂ ਕੰਟੇਨਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਬਲ F ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਵਤ 10 ਮੀਟਰ ਉੱਪਰ ਚੁੱਕਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਵੈਕਟਰ D ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
12. ਇੱਕ ਬਕਸੇ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਬਲ F ਦੁਆਰਾ x-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ 4 ਗਜ਼ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਘਟਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਿਸਥਾਪਨ ਵੈਕਟਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
13. ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਬਲਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਨਤੀਜਾ ਜਾਂ ਸ਼ੁੱਧ ਬਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਸੰਤੁਲਨ ਵਿੱਚ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਸ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਬਲਾਂ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਬਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਵੇ। ਮੰਨ ਲਓ F1=〈10,6,3〉, F2=〈0,4,9〉, ਅਤੇ F3=〈10,−3,−9〉 ਇੱਕ ਬਕਸੇ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਤਿੰਨ ਬਲ ਹਨ। ਬਕਸੇ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਬਲ F4 ਪਤਾ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਬਕਸਾ ਸਥਿਰ ਸੰਤੁਲਨ ਵਿੱਚ ਰਹੇ। ਘਟਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਵਾਬ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
14. [T] ਮੰਨ ਲਓ Fk=〈1,k,k2〉, k=1,...,n, ਇੱਕ ਕਣ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋਣ ਵਾਲੇ n ਬਲ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ n≥2।
15. ਸ਼ੁੱਧ ਬਲ F=∑k=1nFk ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਸਟੈਂਡਰਡ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
16. n ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਲਜਬਰਾ ਸਿਸਟਮ (CAS) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜਿਸ ਲਈ ‖F‖<100।
17. ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਗੁਰੂਤਾ ਬਲ F, F=mg ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ m ਵਸਤੂ ਦਾ ਪੁੰਜ (ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ) ਹੈ ਅਤੇ g ਗੁਰੂਤਾ ਕਾਰਨ ਪ੍ਰਵੇਗ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ‖g‖=9.8 N/kg ਹੈ। ਇੱਕ 2-kg ਡਿਸਕੋ ਬਾਲ ਇੱਕ ਕਮਰੇ ਦੀ ਛੱਤ ਤੋਂ ਇੱਕ ਚੇਨ ਦੁਆਰਾ ਲਟਕਾਈ ਗਈ ਹੈ।
18. ਡਿਸਕੋ ਬਾਲ 'ਤੇ ਗੁਰੂਤਾ ਬਲ F ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
19. ਚੇਨ ਵਿੱਚ ਤਣਾਅ ਬਲ T ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਸਟੈਂਡਰਡ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
20. ਚਿੱਤਰ 2.43: (ਸਿਹਰਾ: ਕੈਨੇਥ ਲੂ, ਫਲਿੱਕਰ ਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ)
21. ਇੱਕ 5-kg ਪੈਂਡੈਂਟ ਝਾਂਜਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਐਲਬਾਸਟਰ ਬਾਊਲ ਨੂੰ ਚਾਰ ਬਰਾਬਰ ਲੰਬਾਈ ਦੀਆਂ ਚੇਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੜਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
22. ਝਾਂਜਰ 'ਤੇ ਗੁਰੂਤਾ ਬਲ ਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
23. ਚਾਰਾਂ ਚੇਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਈ ਤਣਾਅ ਬਲਾਂ ਦੇ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ (ਚੇਨਾਂ ਨੂੰ ਲਗਭਗ ਲੰਬਵਤ ਮੰਨੋ)।
24. [T] ਸੀਮਿੰਟ ਦਾ ਇੱਕ 30-kg ਬਲਾਕ ਤਿੰਨ ਬਰਾਬਰ ਲੰਬਾਈ ਦੀਆਂ ਕੇਬਲਾਂ ਦੁਆਰਾ ਮੁਅੱਤਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ P(−2,0,0), Q(1,3,0), ਅਤੇ R(1,−3,0) 'ਤੇ ਲੰਗਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਲੋਡ S(0,0,−23) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ F1, F2, ਅਤੇ F3 ਕ੍ਰਮਵਾਰ RS, QS, ਅਤੇ PS ਕੇਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਲੋਡ ਕਾਰਨ ਤਣਾਅ ਬਲ ਹਨ।
1. ਕੇਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਣਾਅ ਦੇ ਬਲਾਂ F1+F2+F3F1+F2+F3 ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਸੰਤੁਲਨ ਵਿੱਚ, ਸੀਮਿੰਟ ਦੇ ਬਲਾਕ ਉੱਤੇ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਗੁਰੂਤਾ ਬਲ FF ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
2. ਬਲ F1,F1, F2,F2, ਅਤੇ F3.F3. ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
3. ਦੋ ਫੁੱਟਬਾਲ ਖਿਡਾਰੀ ਆਗਾਮੀ ਖੇਡ ਲਈ ਅਭਿਆਸ ਕਰ ਰਹੇ ਹਨ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ A ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ B ਤੱਕ 10 ਮੀਟਰ ਦੌੜਦੀ ਹੈ। ਫਿਰ ਉਹ 90°90° 'ਤੇ ਖੱਬੇ ਮੁੜਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ C ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਤੱਕ 10 ਮੀਟਰ ਦੌੜਦੀ ਹੈ। ਫਿਰ ਉਹ ਆਪਣੇ ਸਾਥੀ ਵੱਲ, ਜੋ ਬਿੰਦੂ A 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ, 10 ਮੀ/ਸੈ ਦੀ ਗਤੀ ਨਾਲ 45°45° ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਕਿੱਕ ਮਾਰਦੀ ਹੈ। ਗੇਂਦ ਦੇ ਵੇਗ ਨੂੰ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
4. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ r(t)=〈x(t),y(t),z(t)〉r(t)=〈x(t),y(t),z(t)〉 ਸਮਾਂ t∈[0,T],t∈[0,T] 'ਤੇ ਇੱਕ ਕਣ ਦਾ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x,y,x,y, ਅਤੇ zz, [0,T] [0,T] 'ਤੇ ਸਮੂਥ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਸਮਾਂ tt 'ਤੇ ਕਣ ਦਾ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ v(t)=〈x′(t),y′(t),z′(t)〉,v(t)=〈x′(t),y′(t),z′(t)〉 ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਕ੍ਰਮਵਾਰ x, y, ਅਤੇ z ਦੇ t,t ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹਨ। ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ‖v(t)‖‖v(t)‖ ਨੂੰ ਸਮਾਂ t 'ਤੇ ਕਣ ਦੀ ਸਪੀਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ a(t)=〈x″(t),y″(t),z″(t)〉,a(t)=〈x″(t),y″(t),z″(t)〉, ਜਿਸਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਕ੍ਰਮਵਾਰ x,y,x,y, ਅਤੇ z,z ਦੇ t,t ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਦੂਜੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹਨ, ਸਮਾਂ t 'ਤੇ ਕਣ ਦਾ ਪ੍ਰਵੇਗ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। t∈[0,30] t∈[0,30] ਸਮੇਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਕਣ ਦੇ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ r(t)=〈cost,sint,2t〉r(t)=〈cost,sint,2t〉 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ rr ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਸਮਾਂ ਸੈਕਿੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
5. ਪਹਿਲੇ ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ ਕਣ ਦਾ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ, ਸਪੀਡ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਵੇਗ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
6. ਕਣ ਦੇ ਮਾਰਗ ਨੂੰ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ CAS (Computer Algebra System) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ—ਯਾਨੀ, ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਜਿਸਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ (cost,sint,2t),(cost,sint,2t) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ t∈[0,30].t∈[0,30].
7. [T] ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ r(t)=〈t,2t2,4t2〉r(t)=〈t,2t2,4t2〉 ਸਮਾਂ tt (ਸੈਕਿੰਡਾਂ ਵਿੱਚ) 'ਤੇ ਇੱਕ ਕਣ ਦਾ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t∈[0,10]t∈[0,10] (ਇੱਥੇ rr ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ)।
8. ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ ਕਣ ਦਾ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ, ਸਪੀਡ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਵੇਗ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
9. ਬਿੰਦੂਆਂ (t,2t2,4t2),(t,2t2,4t2) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਣ ਦੇ ਮਾਰਗ ਨੂੰ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ CAS (Computer Algebra System) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ t∈[0,60].t∈[0,60].