ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2.3.1 ਦੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2.3.2 ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਦੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੈਕਟਰ ਲੰਬਵਤ ਹਨ।
2.3.3 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2.3.4 ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਦੂਜੇ ਵੈਕਟਰ ਉੱਤੇ ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਕੀ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਸਮਝਾਓ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਗਿਣਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਦੱਸੋ।
2.3.5 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਉੱਤੇ ਬਲ ਲਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਵਸਤੂ ਗਤੀ ਕਰੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰੀਚੈਪਟਰ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਬਲ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਸੀ ਅਤੇ ਇਹ ਮੰਨਿਆ ਸੀ ਕਿ ਬਲ ਵਸਤੂ ਦੀ ਗਤੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਲਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਹਾਲਾਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਕੰਮ ਨੂੰ ਵਸਤੂ ਉੱਤੇ ਲੱਗ ਰਹੇ ਬਲ ਅਤੇ ਵਸਤੂ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਬਲ ਅਤੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਗਤੀ ਦੋਵੇਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕਾਰਵਾਈ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਬਲ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਗਤੀ ਵੈਕਟਰ ਦੀਆਂ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਬਲ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਕਿੰਨਾ ਹਿੱਸਾ ਗਤੀ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਸਾਨੂੰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਜੋੜੀ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਕੋਣ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਅਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਵਿੱਚ ਵੀ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਹ ਵੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਸੱਜੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਪਰਖ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗੁਣ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ ਸਿੱਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ ਗੁਣਨ ਦੇ ਦੋ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਵੈਕਟਰ ਗੁਣਨ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇਸਦੇ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਨੋਟੇਸ਼ਨ 'ਤੇ ਆਧਾਰਿਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਵੈਕਟਰ u=〈u1,u2,u3〉 ਅਤੇ v=〈v1,v2,v3〉 ਦਾ ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ, ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ u ਅਤੇ v ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗਿਣਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ u=〈u1,u2〉 ਅਤੇ v=〈v1,v2〉, ਤਾਂ
ਜਦੋਂ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਦੇ ਅਧੀਨ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕਾਰਨ ਕਰਕੇ, ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.21
ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ
u=〈3,5,2〉 ਅਤੇ v=〈−1,3,0〉 ਦਾ ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
p=10i−4j+7k ਅਤੇ q=−2i+j+6k ਦਾ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ: u·v=u1v1+u2v2+u3v3=3(−1)+5(3)+2(0)=−3+15+0=12।
ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਗਣਨਾ ਉਹੀ ਹੈ। ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਅਜੇ ਵੀ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਲਈ ਤਿੰਨ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਹਨ: p·q=u1v1+u2v2+u3v3=10(−2)+(−4)(1)+(7)(6)=−20−4+42=18।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.21
u·v ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ u=〈2,9,−1〉 ਅਤੇ v=〈−3,1,−4〉।
ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਵਾਂਗ, ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਕਈ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਗੁਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਨੂੰ ਅਭਿਆਸ ਵਜੋਂ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 2.3
ਡੌਟ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਗੁਣ
ਮੰਨ ਲਓ u, u, v, v, ਅਤੇ w, w ਵੈਕਟਰ ਹਨ, ਅਤੇ c ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਹੈ।
ਸਿੱਧ
ਮੰਨ ਲਓ u=〈u1,u2,u3〉 ਅਤੇ v=〈v1,v2,v3〉। ਫਿਰ
ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ ਅਸਲ-ਅੰਕ ਗੁਣਨਫਲ ਲਈ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ ਵਰਗਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਸਕੇਲਰ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਵਸਤੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ:
ਇਹ ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਕਿ c(u·v)=u·(cv) ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਚੌਥਾ ਗੁਣ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਉਸਦੇ ਡੌਟ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ:
□
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਡੌਟ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 0·v=0 ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਗੁਣ iv. ਅਨੁਸਾਰ, ਜੇ v·v=0, ਤਾਂ v=0।
ਉਦਾਹਰਨ 2.22
ਡੌਟ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਮੰਨ ਲਓ a=〈1,2,−3〉, b=〈0,2,4〉, ਅਤੇ c=〈5,−1,3〉। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
(a·b)c
a·(2c)
‖b‖2
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ a·b ਦੁਆਰਾ c ਦੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਲਈ ਪੁੱਛਦਾ ਹੈ: (a·b)c=(〈1,2,−3〉·〈0,2,4〉)〈5,−1,3〉=(1(0)+2(2)+(−3)(4))〈5,−1,3〉=−8〈5,−1,3〉=〈−40,8,−24〉।
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਵੈਕਟਰ a ਅਤੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ 2c ਦਾ ਡੌਟ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ: a·(2c)=2(a·c)=2(〈1,2,−3〉·〈5,−1,3〉)=2(1(5)+2(−1)+(−3)(3))=2(−6)=−12।
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ ਡੌਟ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿੱਧਾ ਉਪਯੋਗ ਹੈ: ‖b‖2=b·b=〈0,2,4〉·〈0,2,4〉=02+22+42=0+4+16=20।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.22
p=〈7,0,2〉, q=〈−2,2,−2〉, ਅਤੇ r=〈0,2,−3〉 ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
(r·p)q
‖p‖2
Using the Dot Product to Find the Angle between Two Vectors
When two nonzero vectors are placed in standard position, whether in two dimensions or three dimensions, they form an angle between them (Figure 2.44). The dot product provides a way to find the measure of this angle. This property is a result of the fact that we can express the dot product in terms of the cosine of the angle formed by two vectors.
Figure 2.44: Let θ be the angle between two nonzero vectors uu and vv such that 0≤θ≤π.0≤θ≤π.
Theorem 2.4
Evaluating a Dot Product
The dot product of two vectors is the product of the magnitude of each vector and the cosine of the angle between them:
Proof
Place vectors uu and vv in standard position and consider the vector v−uv−u (Figure 2.45). These three vectors form a triangle with side lengths ‖u‖,‖v‖,and‖v−u‖.‖u‖,‖v‖,and‖v−u‖.
Figure 2.45: The lengths of the sides of the triangle are given by the magnitudes of the vectors that form the triangle.
Recall from trigonometry that the law of cosines describes the relationship among the side lengths of the triangle and the angle θ. Applying the law of cosines here gives
The dot product provides a way to rewrite the left side of this equation:
Substituting into the law of cosines yields
□
We can use this form of the dot product to find the measure of the angle between two nonzero vectors. The following equation rearranges Equation 2.3 to solve for the cosine of the angle:
Using this equation, we can find the cosine of the angle between two nonzero vectors. Since we are considering the smallest angle between the vectors, we assume 0°≤θ≤180°0°≤θ≤180° (or 0≤θ≤π0≤θ≤π if we are working in radians). The inverse cosine is unique over this range, so we are then able to determine the measure of the angle θ.θ.
Example 2.23
Finding the Angle between Two Vectors
Find the measure of the angle between each pair of vectors.
i + j + k and 2i – j – 3k
〈2,5,6〉〈2,5,6〉 and 〈−2,−4,4〉〈−2,−4,4〉
Solution
To find the cosine of the angle formed by the two vectors, substitute the components of the vectors into Equation 2.5: cosθ=(i+j+k)·(2i−j−3k)‖i+j+k‖·‖2i−j−3k‖=1(2)+(1)(−1)+(1)(−3)12+12+1222+(−1)2+(−3)2=−2314=−242.cosθ=(i+j+k)·(2i−j−3k)‖i+j+k‖·‖2i−j−3k‖=1(2)+(1)(−1)+(1)(−3)12+12+1222+(−1)2+(−3)2=−2314=−242. Therefore, θ=arccos−242θ=arccos−242.
Start by finding the value of the cosine of the angle between the vectors: cosθ=〈2,5,6〉·〈−2,−4,4〉‖〈2,5,6〉‖·‖〈−2,−4,4〉‖=2(−2)+(5)(−4)+(6)(4)22+52+62(−2)2+(−4)2+42=06536=0.cosθ=〈2,5,6〉·〈−2,−4,4〉‖〈2,5,6〉‖·‖〈−2,−4,4〉‖=2(−2)+(5)(−4)+(6)(4)22+52+62(−2)2+(−4)2+42=06536=0. Now, cosθ=0cosθ=0 and 0≤θ≤π,0≤θ≤π, so θ=π/2.θ=π/2.
Checkpoint 2.23
1. ਵੈਕਟਰ a=〈1,2,0〉 ਅਤੇ b=〈2,4,1〉 ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸੌਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
2. ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਤੀਖਣ (0<cosθ<1), ਬੁੱਢਾ (−1<cosθ<0), ਜਾਂ ਸਿੱਧਾ (cosθ=−1) ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ cosθ=1, ਤਾਂ ਦੋਵੇਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਹੈ। ਜੇਕਰ cosθ=0, ਤਾਂ ਵੈਕਟਰ, ਜਦੋਂ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਰੱਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 2.46)। ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ (ਪਰਸਪਰ) ਵੈਕਟਰਾਂ ਸੰਬੰਧੀ ਇੱਕ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਰਸਮੀ ਰੂਪ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
3. ਚਿੱਤਰ 2.46: (a) ਇੱਕ ਤੀਖਣ ਕੋਣ ਦਾ 0<cosθ<1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (b) ਇੱਕ ਬੁੱਢੇ ਕੋਣ ਦਾ −1<cosθ<0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (c) ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਦਾ cosθ=−1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (d) ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਹੈ, ਤਾਂ cosθ=1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (e) ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰ ਲੰਬਵਤ (ਪਰਸਪਰ) ਹਨ, ਤਾਂ cosθ=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
4. ਥਿਊਰਮ 2.5
5. ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ
6. ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ uu ਅਤੇ vv ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਜੇਕਰ u·v=0 ਹੋਵੇ।
7. ਸਿੱਧ
8. ਮੰਨ ਲਓ uu ਅਤੇ vv ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ ਹਨ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ θ ਉਹਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਮੰਨ ਲਓ u·v=0। ਫਿਰ
9. ਹਾਲਾਂਕਿ, ‖u‖≠0 ਅਤੇ ‖v‖≠0, ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ cosθ=0 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, θ=90°, ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਲੰਬਵਤ ਹਨ।
10. ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ uu ਅਤੇ vv ਲੰਬਵਤ ਹਨ। ਫਿਰ θ=90° ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
11. □
12. ਲੰਬਵਤ, ਪਰਸਪਰ, ਅਤੇ ਆਮ ਸ਼ਬਦ ਹਰ ਇੱਕ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗਣਿਤਿਕ ਵਸਤੂਆਂ ਸੱਜੇ ਕੋਣਾਂ 'ਤੇ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ। ਹਰ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਮੁੱਖ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਸੰਗ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵੈਕਟਰ ਲੰਬਵਤ ਹਨ ਅਤੇ ਰੇਖਾਵਾਂ ਪਰਸਪਰ ਹਨ। ਆਮ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਜਾਂ ਹੋਰ ਸਤਹ ਨਾਲ ਬਣੇ ਕੋਣ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਵੇਲੇ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 2.24
14. ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
15. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ p=〈1,0,5〉 ਅਤੇ q=〈10,3,−2〉 ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ ਹਨ।
16. ਹੱਲ
17. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਡਾਟ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
18. ਕਿਉਂਕਿ p·q=0, ਵੈਕਟਰ ਲੰਬਵਤ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 2.47)।
19. ਚਿੱਤਰ 2.47: ਵੈਕਟਰ p ਅਤੇ q ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਇਕਸਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
20. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.24
21. x ਦੇ ਕਿਸ ਮੁੱਲ ਲਈ p=〈2,8,−1〉 q=〈x,−1,2〉 ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ?
22. ਉਦਾਹਰਨ 2.25
23. ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਕੋਣ ਨੂੰ ਮਾਪਣਾ
24. ਮੰਨ ਲਓ v=〈2,3,3〉। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ।
vv ਅਤੇ i
vv ਅਤੇ j
vv ਅਤੇ k
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ α ਉਹ ਕੋਣ ਹੈ ਜੋ vv ਅਤੇ i ਦੁਆਰਾ ਬਣਦਾ ਹੈ: cosα=v·i‖v‖·‖i‖=〈2,3,3〉·〈1,0,0〉22+32+321=222. α=arccos222≈1.130ਰੇਡ।
ਮੰਨ ਲਓ β ਉਹ ਕੋਣ ਹੈ ਜੋ vv ਅਤੇ j ਦੁਆਰਾ ਬਣਦਾ ਹੈ: cosβ=v·j‖v‖·‖j‖=〈2,3,3〉·〈0,1,0〉22+32+321=322. β=arccos322≈0.877ਰੇਡ।
ਮੰਨ ਲਓ γ ਉਹ ਕੋਣ ਹੈ ਜੋ vv ਅਤੇ k ਦੁਆਰਾ ਬਣਦਾ ਹੈ: cosγ=v·k‖v‖·‖k‖=〈2,3,3〉·〈0,0,1〉22+32+321=322. γ=arccos322≈0.877ਰੇਡ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.25
ਮੰਨ ਲਓ v=〈3,−5,1〉। ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਜੋੜੇ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ।
vv ਅਤੇ i
vv ਅਤੇ j
vv ਅਤੇ k
ਉਹ ਕੋਣ ਜੋ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰਿਆਂ ਨਾਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਵਿਹਾਰਕ ਗਣਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ, ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਵਰਗੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਐਸਟ੍ਰੋਨੌਟੀਕਲ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਰਾਕੇਟ ਲਾਂਚ ਕਰਨ ਦਾ ਕੋਣ ਬਹੁਤ ਸਟੀਕਤਾ ਨਾਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਕੋਣ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਛੋਟੀ ਜਿਹੀ ਗਲਤੀ ਰਾਕੇਟ ਨੂੰ ਸੈਂਕੜੇ ਮੀਲ ਗਲਤ ਕੋਰਸ 'ਤੇ ਲੈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਣਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਅਕਸਰ ਡਾਟ ਉਤਪਾਦ ਅਤੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ, ਜਿਸਨੂੰ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਕੋਣਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.48)। ਇਹਨਾਂ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਨੂੰ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.48: ਕੋਣ α ਵੈਕਟਰ vv ਅਤੇ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ i ਦੁਆਰਾ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਕੋਣ β ਵੈਕਟਰ vv ਅਤੇ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ j ਦੁਆਰਾ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਕੋਣ γ ਵੈਕਟਰ vv ਅਤੇ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ k ਦੁਆਰਾ ਬਣਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.25 ਵਿੱਚ, v=〈2,3,3〉 ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨ cosα=222, cosβ=322, ਅਤੇ cosγ=322 ਹਨ। vv ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਣ α=1.130ਰੇਡ, β=0.877ਰੇਡ, ਅਤੇ γ=0.877ਰੇਡ ਹਨ।
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਮੁੱਖ ਤੌਰ 'ਤੇ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਭੌਤਿਕ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਬਲ, ਗਤੀ ਅਤੇ ਸਥਿਤੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਵੈਕਟਰਾਂ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਕਸਰ ਵਧੇਰੇ ਅਮੂਰਤ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਫਲ ਵਿਕਰੇਤਾ ਸੇਬ, ਕੇਲੇ ਅਤੇ ਸੰਤਰੇ ਵੇਚਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਦਿਨ, ਉਹ 30 ਸੇਬ, 12 ਕੇਲੇ ਅਤੇ 18 ਸੰਤਰੇ ਵੇਚਦਾ ਹੈ। ਉਹ ਉਸ ਦਿਨ ਵੇਚੇ ਗਏ ਫਲਾਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਵੈਕਟਰ, q=〈30,12,18〉, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਉਹ ਇੱਕ ਕੀਮਤ ਵੈਕਟਰ, p=〈0.50,0.25,1〉, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਚਾਹ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਉਹ ਆਪਣੇ ਸੇਬ 50¢ ਪ੍ਰਤੀ, ਕੇਲੇ 25¢ ਪ੍ਰਤੀ, ਅਤੇ ਸੰਤਰੇ $1 ਪ੍ਰਤੀ ਵੇਚਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ ਇਹਨਾਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਭੌਤਿਕ ਸੰਸਾਰ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤੀ ਦੇ ਅਸਲ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਾਂ ਵਜੋਂ ਨਹੀਂ ਸਮਝਦੇ। ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਸੇਬਾਂ, ਕੇਲਿਆਂ ਅਤੇ ਸੰਤਰਿਆਂ ਬਾਰੇ ਖਾਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਟਰੈਕ ਕਰਨ ਲਈ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਥੋੜਾ ਅਜੀਬ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਜੇ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਕਰਨ ਅਤੇ ਸਟੋਰ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਵਜੋਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹ ਕਾਫ਼ੀ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਾਧਨ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਫਲ ਵਿਕਰੇਤਾ ਕੋਲ ਵਾਪਸ ਜਾ ਕੇ, ਆਓ ਡਾਟ ਉਤਪਾਦ, q·p, ਬਾਰੇ ਸੋਚੀਏ। ਅਸੀਂ ਸੇਬਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ (30) ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਸੇਬ ਕੀਮਤ (50¢) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ, ਪ੍ਰਤੀ ਕੇਲਾ ਕੀਮਤ ਨਾਲ ਕੇਲਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਸੰਤਰਾ ਕੀਮਤ ਨਾਲ ਸੰਤਰਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਇਸਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਕੀਮਤਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਡਾਟ ਉਤਪਾਦ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਸ ਖਾਸ ਦਿਨ ਫਲ ਵਿਕਰੇਤਾ ਦੀ ਵਿਕਰੀ ਕਿੰਨੀ ਹੋਈ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਸ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਕਾਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕੀ ਹੋਵੇ ਜੇ ਫਲ ਵਿਕਰੇਤਾ ਗ੍ਰੇਪਫਰੂਟ ਵੇਚਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਦੇਵੇ? ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਉਹ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਮਾਤਰਾ ਅਤੇ ਕੀਮਤ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੇਗਾ ਤਾਂ ਜੋ ਵੇਚੇ ਗਏ ਸੇਬਾਂ, ਕੇਲਿਆਂ, ਸੰਤਰਿਆਂ ਅਤੇ ਗ੍ਰੇਪਫਰੂਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਤੀ ਯੂਨਿਟ ਕੀਮਤਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਡਾਟ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਜੋੜ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ ਚਾਰ ਸ਼ਬਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.26
ਆਰਥਿਕ ਪ੍ਰਸੰਗ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
AAA ਪਾਰਟੀ ਸਪਲਾਈ ਸਟੋਰ ਸੱਦੇ, ਪਾਰਟੀ ਫੇਵਰ, ਸਜਾਵਟ, ਅਤੇ ਭੋਜਨ ਸੇਵਾ ਵਸਤੂਆਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕਾਗਜ਼ ਦੀਆਂ ਪਲੇਟਾਂ ਅਤੇ ਨੈਪਕਿਨ ਵੇਚਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ AAA ਆਪਣੀ ਇਨਵੈਂਟਰੀ ਖਰੀਦਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਸੱਦੇ ਅਤੇ ਪਾਰਟੀ ਫੇਵਰ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀ ਪੈਕੇਜ 25¢ ਦਾ ਭੁਗਤਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਜਾਵਟ AAA ਨੂੰ 50¢ ਪ੍ਰਤੀ, ਅਤੇ ਭੋਜਨ ਸੇਵਾ ਵਸਤੂਆਂ ਪ੍ਰਤੀ ਪੈਕੇਜ 20¢ ਪੈਂਦੀਆਂ ਹਨ। AAA ਸੱਦੇ ਪ੍ਰਤੀ ਪੈਕੇਜ $2.50 ਅਤੇ ਪਾਰਟੀ ਫੇਵਰ ਪ੍ਰਤੀ ਪੈਕੇਜ $1.50 ਵੇਚਦਾ ਹੈ। ਸਜਾਵਟ $4.50 ਪ੍ਰਤੀ ਅਤੇ ਭੋਜਨ ਸੇਵਾ ਵਸਤੂਆਂ ਪ੍ਰਤੀ ਪੈਕੇਜ $1.25 ਵਿੱਚ ਵਿਕਦੀਆਂ ਹਨ।
ਮਈ ਦੇ ਮਹੀਨੇ ਦੌਰਾਨ, AAA ਪਾਰਟੀ ਸਪਲਾਈ ਸਟੋਰ 1258 ਸੱਦੇ, 342 ਪਾਰਟੀ ਫੇਵਰ, 2426 ਸਜਾਵਟ, ਅਤੇ 1354 ਭੋਜਨ ਸੇਵਾ ਵਸਤੂਆਂ ਵੇਚਦਾ ਹੈ। ਮਈ ਦੇ ਮਹੀਨੇ ਦੌਰਾਨ AAA ਨੇ ਕਿੰਨੀ ਵਿਕਰੀ ਕੀਤੀ, ਇਸਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਡਾਟ ਉਤਪਾਦਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਸਟੋਰ ਨੇ ਕਿੰਨਾ ਮੁਨਾਫਾ ਕਮਾਇਆ?
Solution
The cost, price, and quantity vectors are
AAA sales for the month of May can be calculated using the dot product p·q.p·q. We have
So, AAA took in $16,267.50 during the month of May.
To calculate the profit, we must first calculate how much AAA paid for the items sold. We use the dot product c·qc·q to get
So, AAA paid $1,883.80 for the items they sold. Their profit, then, is given by
Therefore, AAA Party Supply Store made $14,383.70 in May.
Checkpoint 2.26
On June 1, AAA Party Supply Store decided to increase the price they charge for party favors to $2 per package. They also changed suppliers for their invitations, and are now able to purchase invitations for only 10¢ per package. All their other costs and prices remain the same. If AAA sells 1408 invitations, 147 party favors, 2112 decorations, and 1894 food service items in the month of June, use vectors and dot products to calculate their total sales and profit for June.
Projections
As we have seen, addition combines two vectors to create a resultant vector. But what if we are given a vector and we need to find its component parts? We use vector projections to perform the opposite process; they can break down a vector into its components. The magnitude of a vector projection is a scalar projection. For example, if a child is pulling the handle of a wagon at a 55° angle, we can use projections to determine how much of the force on the handle is actually moving the wagon forward (Figure 2.49). We return to this example and learn how to solve it after we see how to calculate projections.
Figure 2.49: When a child pulls a wagon, only the horizontal component of the force propels the wagon forward.
Definition
The vector projection of vv onto uu is the vector labeled projuv in Figure 2.50. It has the same initial point as uu and vv and the same direction as uu, and represents the component of vv that acts in the direction of uu. If θθ represents the angle between uu and vv, then, by properties of triangles, we know the length of projuvprojuv is ‖projuv‖=‖v‖·cosθ.‖projuv‖=‖v‖·cosθ. Note that when the angle θθ between uu and vv is an obtuse angle, the projection will be in the opposite direction of uu. When expressing cosθcosθ in terms of the dot product, this becomes
We now multiply by a unit vector in the direction of uu to get projuv:projuv:
The length of this vector is also known as the scalar projection of vv onto uu and is denoted by
Figure 2.50: The projection of vv onto uu shows the component of vector vv in the direction of uu.
Example 2.27
Finding Projections
Find the projection of vv onto u.
v=〈3,5,1〉v=〈3,5,1〉 and u=〈−1,4,3〉u=〈−1,4,3〉
v=3i−2jv=3i−2j and u=i+6ju=i+6j
Solution
Substitute the components of vv and uu into the formula for the projection: projuv=u·v‖u‖2u=〈−1,4,3〉·〈3,5,1〉‖〈−1,4,3〉‖2〈−1,4,3〉=−3+20+3(−1)2+42+32〈−1,4,3〉=2026〈−1,4,3〉=〈−1013,4013,3013〉.projuv=u·v‖u‖2u=〈−1,4,3〉·〈3,5,1〉‖〈−1,4,3〉‖2〈−1,4,3〉=−3+20+3(−1)2+42+32〈−1,4,3〉=2026〈−1,4,3〉=〈−1013,4013,3013〉.
ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਮਾਮਲੇ ਲਈ ਅਨੁਕੂਲ ਬਣਾਓ: projuv=u·v‖u‖2u=(i+6j)·(3i−2j)‖i+6j‖2(i+6j)=1(3)+6(−2)12+62(i+6j)=−937(i+6j)=−937i−5437j.projuv=u·v‖u‖2u=(i+6j)·(3i−2j)‖i+6j‖2(i+6j)=1(3)+6(−2)12+62(i+6j)=−937(i+6j)=−937i−5437j.
ਕਈ ਵਾਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨਾ—ਯਾਨੀ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਜੋੜ ਵਿੱਚ ਤੋੜਨਾ—ਉਪਯੋਗੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਕੰਪੋਨੈਂਟਸ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਰੈਜ਼ੋਲਿਊਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਮਨਚਾਹੀ ਰਕਮ ਵਾਲੇ ਦੋ ਆਰਥੋਗੋਨਲ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ v=〈6,−4〉v=〈6,−4〉 ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ u=〈3,1〉.u=〈3,1〉। ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ vv ਨੂੰ ਆਰਥੋਗੋਨਲ ਕੰਪੋਨੈਂਟਸ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤੋੜਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦਾ uu ਦੇ ਸਮਾਨ ਦਿਸ਼ਾ ਹੋਵੇ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਉਹ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦੀ uu ਦੇ ਸਮਾਨ ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ, vv ਨੂੰ uu ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਕਰਕੇ। ਮੰਨ ਲਓ p=projuv.p=projuv। ਫਿਰ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਹੁਣ ਵੈਕਟਰ q=v−p.q=v−p. ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜਿਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਅਸੀਂ qq ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ v=q+p,v=q+p, ਅਤੇ
ਇਸ ਲਈ, qq ਅਤੇ p ਆਰਥੋਗੋਨਲ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.28
ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਕੰਪੋਨੈਂਟਸ ਵਿੱਚ ਰੈਜ਼ੋਲਵ ਕਰਨਾ
v=〈8,−3,−3〉v=〈8,−3,−3〉 ਨੂੰ ਆਰਥੋਗੋਨਲ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦਾ u=〈2,3,2〉.u=〈2,3,2〉 ਦੇ ਸਮਾਨ ਦਿਸ਼ਾ ਹੋਵੇ।
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ p uu ਉੱਤੇ vv ਦਾ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ:
ਫਿਰ,
ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ p ਅਤੇ qq ਦੇ ਆਰਥੋਗੋਨਲ ਵੈਕਟਰ ਹੋਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਫਿਰ,
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.27
v=5i−jv=5i−j ਨੂੰ ਆਰਥੋਗੋਨਲ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦਾ u=4i+2j.u=4i+2j ਦੇ ਸਮਾਨ ਦਿਸ਼ਾ ਹੋਵੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.29
ਵੇਗ ਦਾ ਸਕੇਲਰ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ
ਇੱਕ ਕੰਟੇਨਰ ਜਹਾਜ਼ ਪੂਰਬ ਤੋਂ 15°15° ਉੱਤਰ ਵੱਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦਾ ਹੋਇਆ ਬੰਦਰਗਾਹ ਛੱਡਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਇੰਜਣ ਉਸ ਮਾਰਗ 'ਤੇ 20 ਨੌਟਸ ਦੀ ਗਤੀ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਸਮੁੰਦਰੀ ਧਾਰਾ ਜਹਾਜ਼ ਨੂੰ 2 ਨੌਟਸ ਦੀ ਗਤੀ ਨਾਲ ਉੱਤਰ-ਪੂਰਬ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇੰਜਣ ਅਤੇ ਧਾਰਾ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਜਹਾਜ਼ ਪੂਰਬ ਤੋਂ 15°15° ਉੱਤਰ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਚੱਲ ਰਿਹਾ ਹੈ? ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ vv ਇੰਜਣ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ww ਧਾਰਾ ਦਾ ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ‖v‖=20‖v‖=20 ਮਨਚਾਹੀ ਰੂਟ 'ਤੇ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ww ਦੇ vv ਉੱਤੇ ਸਕੇਲਰ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਜਹਾਜ਼ ਪੂਰਬ ਤੋਂ 15°15° ਉੱਤਰ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ 21.73 ਨੌਟਸ ਦੀ ਗਤੀ ਨਾਲ ਚੱਲ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.28
ਪਿਛਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਓ, ਪਰ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਮੁੰਦਰੀ ਧਾਰਾ ਉੱਤਰ-ਪੂਰਬ ਦੀ ਬਜਾਏ ਦੱਖਣ-ਪੂਰਬ ਵੱਲ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕੰਮ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਸਮਝ ਲਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸਨੂੰ ਅਸਲ-ਜੀਵਨ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਵਰਤੋਂ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੰਮ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਹਿਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਬਲ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂ ਚਲਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਨੂੰ ਬਲ ਅਤੇ ਵਸਤੂ ਦੁਆਰਾ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: W=Fd। ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਕਈ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੇਖੀਆਂ। ਹੁਣ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਕਿ ਬਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਗਤੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਤੋਂ ਵੱਖਰੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਬੱਚੇ ਦੁਆਰਾ ਗੱਡੀ ਖਿੱਚਣ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਨਾਲ। ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਗਤੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਬਲ ਦੇ ਘਟਕ ਨੂੰ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦੇ ਮਾਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਕਰਨ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਬਲ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ F ਦੁਆਰਾ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ s ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ F ਅਤੇ s ਦਾ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਬਲ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਵਸਤੂ ਬਿੰਦੂ P ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ Q ਤੱਕ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ ਚਲਦੀ ਹੈ, ਬਲ F ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ W, ਜੋ ਕਿ ਗਤੀ ਦੀ ਲਾਈਨ ਤੋਂ θ ਕੋਣ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਬੱਚੇ ਦੀ ਗੱਡੀ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਮੁੜ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਬੱਚਾ 55° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਹੈਂਡਲ 'ਤੇ 8 lb ਦੇ ਮਾਪ ਵਾਲੇ ਬਲ ਨਾਲ ਇੱਕ ਗੱਡੀ ਖਿੱਚ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਬੱਚਾ ਗੱਡੀ ਨੂੰ 50 ਫੁੱਟ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ਲੱਭੋ (ਚਿੱਤਰ 2.51)।
ਚਿੱਤਰ 2.51: ਬਲ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਘਟਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ F ਦਾ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਯੂ.ਐਸ. ਸਟੈਂਡਰਡ ਯੂਨਿਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਬਲ ‖F‖‖F‖ ਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਪੌਂਡਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਦੇ ਹਾਂ। ਵਿਸਥਾਪਨ ਵੈਕਟਰ ‖PQ→‖‖PQ→‖ ਦਾ ਮਾਪ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵਸਤੂ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਚਲੀ ਗਈ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੰਮ ਦੀ ਰਵਾਇਤੀ ਇਕਾਈ, ਫਿਰ, ਫੁੱਟ-ਪੌਂਡ ਹੈ। ਇੱਕ ਫੁੱਟ-ਪੌਂਡ ਉਹ ਕੰਮ ਹੈ ਜੋ 1 ਪੌਂਡ ਭਾਰੀ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਉੱਪਰ 1 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੱਕ ਲਿਜਾਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ਬਲ ਲਈ ਮਾਪ ਦੀ ਇਕਾਈ ਨਿਊਟਨ (N) ਹੈ, ਅਤੇ ਕੰਮ ਦੇ ਮਾਪ ਲਈ ਇਕਾਈ ਨਿਊਟਨ-ਮੀਟਰ (N·m), ਜਾਂ ਜੂਲ (J) ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.30
ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਇੱਕ ਕਨਵੇਅਰ ਬੈਲਟ ਇੱਕ ਬਲ F=5i−3j+kF=5i−3j+k ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸੂਟਕੇਸ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (1,1,1)(1,1,1) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (9,4,7)(9,4,7) ਤੱਕ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਲਾਈਨ ਦੇ ਨਾਲ ਹਿਲਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਨਵੇਅਰ ਬੈਲਟ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਨੂੰ ਲੱਭੋ। ਦੂਰੀ ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਬਲ ਨਿਊਟਨਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਵਿਸਥਾਪਨ ਵੈਕਟਰ PQ→PQ→ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (1,1,1)(1,1,1) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (9,4,7):(9,4,7) ਹੈ:
ਕੰਮ ਬਲ ਅਤੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦਾ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਹੈ:
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.29
ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ 10 ਫੁੱਟ ਹੱਥ-ਗੱਡੀ ਖਿੱਚਣ ਲਈ 60° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ 30 ਪੌਂਡ ਦਾ ਸਥਿਰ ਬਲ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.52)। ਇਸ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਵੈਕਟਰ uu ਅਤੇ vv ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ u·v.u·v ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
u=〈3,0〉,u=〈3,0〉, v=〈2,2〉v=〈2,2〉
u=〈3,−4〉,u=〈3,−4〉, v=〈4,3〉v=〈4,3〉
u=〈2,2,−1〉,u=〈2,2,−1〉, v=〈−1,2,2〉v=〈−1,2,2〉
u=〈4,5,−6〉,u=〈4,5,−6〉, v=〈0,−2,−3〉v=〈0,−2,−3〉
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਵੈਕਟਰ a, b, ਅਤੇ c ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਵੈਕਟਰ (a·b)c(a·b)c ਅਤੇ (a·c)b.(a·c)b ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
a=〈2,0,−3〉,a=〈2,0,−3〉, b=〈−4,−7,1〉,b=〈−4,−7,1〉, c=〈1,1,−1〉c=〈1,1,−1〉
a=〈0,1,2〉,a=〈0,1,2〉, b=〈−1,0,1〉,b=〈−1,0,1〉, c=〈1,0,−1〉c=〈1,0,−1〉
a=i+j,a=i+j, b=i−k,b=i−k, c=i−2kc=i−2k
a=i−j+k,a=i−j+k, b=j+3k,b=j+3k, c=−i+2j−4kc=−i+2j−4k
For the following exercises, the two-dimensional vectors a and b are given.
Find the measure of the angle θθ between a and b. Express the answer in radians rounded to two decimal places, if it is not possible to express it exactly.
Is θθ an acute angle?
[T] a=〈3,−1〉,a=〈3,−1〉, b=〈−4,0〉b=〈−4,0〉
[T] a=〈2,1〉,a=〈2,1〉, b=〈−1,3〉b=〈−1,3〉
u=3i,u=3i, v=4i+4jv=4i+4j
u=5i,u=5i, v=−6i+6jv=−6i+6j
For the following exercises, find the measure of the angle between the three-dimensional vectors a and b. Express the answer in radians rounded to two decimal places, if it is not possible to express it exactly.
a=〈3,−1,2〉,a=〈3,−1,2〉, b=〈1,−1,−2〉b=〈1,−1,−2〉
a=〈0,−1,−3〉,a=〈0,−1,−3〉, b=〈2,3,−1〉b=〈2,3,−1〉
a=i+j,a=i+j, b=j−kb=j−k
a=i−2j+k,a=i−2j+k, b=i+j−2kb=i+j−2k
[T] a=3i−j−2k,a=3i−j−2k, b=v+w,b=v+w, where v=−2i−3j+2kv=−2i−3j+2k and w=i+2kw=i+2k
[T] a=3i−j+2k,a=3i−j+2k, b=v−w,b=v−w, where v=2i+j+4kv=2i+j+4k and w=6i+j+2kw=6i+j+2k
For the following exercises determine whether the given vectors are orthogonal.
a=〈x,y〉,a=〈x,y〉, b=〈−y,x〉,b=〈−y,x〉, where x and y are nonzero real numbers
a=〈x,x〉,a=〈x,x〉, b=〈−y,y〉,b=〈−y,y〉, where x and y are nonzero real numbers
a=3i−j−2k,a=3i−j−2k, b=−2i−3j+kb=−2i−3j+k
a=i−j,a=i−j, b=7i+2j−kb=7i+2j−k
Find all two-dimensional vectors a orthogonal to vector b=〈3,4〉.b=〈3,4〉. Express the answer in component form.
Find all two-dimensional vectors a orthogonal to vector b=〈5,−6〉.b=〈5,−6〉. Express the answer by using standard unit vectors.
Determine all three-dimensional vectors uu orthogonal to vector v=〈1,1,0〉.v=〈1,1,0〉. Express the answer by using standard unit vectors.
Determine all three-dimensional vectors uu orthogonal to vector v=i−j−k.v=i−j−k. Express the answer in component form.
Determine the real number αα such that vectors a=2i+3ja=2i+3j and b=9i+αjb=9i+αj are orthogonal.
Determine the real number αα such that vectors a=−3i+2ja=−3i+2j and b=2i+αjb=2i+αj are orthogonal.
[T] Consider the points P(4,5)P(4,5) and Q(5,−7).Q(5,−7).
Determine vectors OP→OP→ and OQ→.OQ→. Express the answer by using standard unit vectors.
Determine the measure of angle O in triangle OPQ. Express the answer in degrees rounded to two decimal places.
[T] Consider points A(1,1),A(1,1), B(2,−7),B(2,−7), and C(6,3).C(6,3).
Determine vectors BA→BA→ and BC→.BC→. Express the answer in component form.
Determine the measure of angle B in triangle ABC. Express the answer in degrees rounded to two decimal places.
Determine the measure of angle A in triangle ABC, where A(1,1,8),A(1,1,8), B(4,−3,−4),B(4,−3,−4), and C(−3,1,5).C(−3,1,5). Express your answer in degrees rounded to two decimal places.
Consider points P(3,7,−2)P(3,7,−2) and Q(1,1,−3).Q(1,1,−3). Determine the angle between vectors OP→OP→ and OQ→.OQ→. Express the answer in degrees rounded to two decimal places.
For the following exercises, determine which (if any) pairs of the following vectors are orthogonal.
u=〈3,7,−2〉,u=〈3,7,−2〉, v=〈5,−3,−3〉,v=〈5,−3,−3〉, w=〈0,1,−1〉w=〈0,1,−1〉
u=i−k,u=i−k, v=5j−5k,v=5j−5k, w=10jw=10j
Use vectors to show that a parallelogram with equal diagonals is a rectangle.
Use vectors to show that the diagonals of a rhombus are perpendicular.
Show that u·(v+w)=u·v+u·wu·(v+w)=u·v+u·w is true for any vectors uu, vv, and ww.
Verify the identity u·(v+w)=u·v+u·wu·(v+w)=u·v+u·w for vectors u=〈1,0,4〉,u=〈1,0,4〉, v=〈−2,3,5〉,v=〈−2,3,5〉, and w=〈4,−2,6〉.w=〈4,−2,6〉.
For the following problems, the vector uu is given.
Find the direction cosines for the vector uu.
Find the direction angles for the vector uu expressed in degrees. (Round the answer to the nearest integer.)
u = 〈 2 , 2 , 1 〉 u = 〈 2 , 2 , 1 〉
u = i − 2 j + 2 k u = i − 2 j + 2 k
u = 〈 −1 , 5 , 2 〉 u = 〈 −1 , 5 , 2 〉
1. u = 〈 2 , 3 , 4 〉 u = 〈 2 , 3 , 4 〉
2. ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ u=〈a,b,c〉 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ cosα, cosβ, ਅਤੇ cosγ u ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨ ਹਨ। ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ cos²α + cos²β + cos²γ = 1।
3. ਵੈਕਟਰ u=i+2j+2k ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਉਹ cos²α + cos²β + cos²γ = 1 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ।
4. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵੈਕਟਰ u ਅਤੇ v ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।
5. ਵੈਕਟਰ v ਦਾ ਵੈਕਟਰ u ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ w = proj_u v ਲੱਭੋ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
6. ਵੈਕਟਰ v ਦਾ ਵੈਕਟਰ u ਉੱਤੇ ਸਕੇਲਰ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ comp_u v ਲੱਭੋ।
7. u=5i+2j, v=2i+3j
8. u=〈−4,7〉, v=〈3,5〉
9. u=3i+2k, v=2j+4k
10. u=〈4,4,0〉, v=〈0,4,1〉
11. ਵੈਕਟਰ u=4i−3j ਅਤੇ v=3i+2j 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
12. ਵੈਕਟਰ w = proj_u v ਦਾ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੂਪ ਲੱਭੋ ਜੋ v ਦਾ u ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
13. ਵੈਕਟਰ v ਨੂੰ ਆਰਥੋਗੋਨਲ ਕੰਪੋਨੈਂਟਸ w ਅਤੇ q ਵਿੱਚ ਵੰਡ v=w+q ਲਿਖੋ, ਜਿੱਥੇ w, v ਦਾ u ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ q, u ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਆਰਥੋਗੋਨਲ ਵੈਕਟਰ ਹੈ।
14. ਵੈਕਟਰ u=2i+4j ਅਤੇ v=4j+2k 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
15. ਵੈਕਟਰ w = proj_u v ਦਾ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੂਪ ਲੱਭੋ ਜੋ v ਦਾ u ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
16. ਵੈਕਟਰ v ਨੂੰ ਆਰਥੋਗੋਨਲ ਕੰਪੋਨੈਂਟਸ w ਅਤੇ q ਵਿੱਚ ਵੰਡ v=w+q ਲਿਖੋ, ਜਿੱਥੇ w, v ਦਾ u ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ q, u ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਆਰਥੋਗੋਨਲ ਵੈਕਟਰ ਹੈ।
17. ਇੱਕ ਮੀਥੇਨ ਅਣੂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਾਰਬਨ ਪਰਮਾਣੂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਚਾਰ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਪਰਮਾਣੂ ਬਿੰਦੂਆਂ P(1,1,−1), Q(1,−1,1), R(−1,1,1), ਅਤੇ S(−1,−1,−1) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)।
18. P ਅਤੇ R 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਪਰਮਾਣੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਲੱਭੋ।
19. ਕਾਰਬਨ ਪਰਮਾਣੂ ਨੂੰ S ਅਤੇ R 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਪਰਮਾਣੂਆਂ ਨਾਲ ਜੋੜਨ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ OS→ ਅਤੇ OR→ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਲੱਭੋ, ਜਿਸਨੂੰ ਬੌਂਡ ਐਂਗਲ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਵਾਬ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
20. [T] ਇੱਕ ਘੜੀ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ 1:00, 2:00, ਅਤੇ 3:00 ਦੇ ਘੰਟਿਆਂ ਨਾਲ ਜੋੜਨ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭੋ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਘੜੀ 1 ਯੂਨਿਟ ਦੇ ਘੇਰੇ ਵਾਲੀ ਗੋਲ ਹੈ।
21. ਬਲ F=〈5,6,−2〉 (ਨਿਊਟਨ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ) ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕਾਰਜ ਲੱਭੋ ਜੋ ਇੱਕ ਕਣ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ P(3,−1,0) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ Q(2,3,1) ਤੱਕ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨਾਲ (ਦੂਰੀ ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪੀ ਗਈ ਹੈ) ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
22. [T] ਇੱਕ ਸਲੇਜ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੱਸੀ 'ਤੇ 100 N ਦਾ ਬਲ ਲਗਾ ਕੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਨਾਲ 25° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਸਲੇਜ ਨੂੰ 40 ਮੀਟਰ ਖਿੱਚਣ ਵਿੱਚ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਲੱਭੋ। (ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
23. [T] ਇੱਕ ਪਿਤਾ ਆਪਣੇ ਪੁੱਤਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਲੇਜ 'ਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਨਾਲ 20° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ 25 lb ਦੇ ਬਲ ਨਾਲ ਖਿੱਚ ਰਿਹਾ ਹੈ (ਅਗਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)। ਉਹ ਸਲੇਜ ਨੂੰ 50 ਫੁੱਟ ਦੀ ਸਿੱਧੀ ਪੱਥ 'ਤੇ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। ਆਦਮੀ ਦੁਆਰਾ ਸਲੇਜ ਖਿੱਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਕਾਰਜ ਕੀਤਾ ਗਿਆ? (ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
24. [T] ਇੱਕ ਕਾਰ ਨੂੰ 1600 N ਦੇ ਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਕਾਰ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਵਰਤੀ ਗਈ ਰੱਸੀ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਨਾਲ 25° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। 2 ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਕਾਰ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣ ਵਿੱਚ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਲੱਭੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਜੂਲਾਂ (1J=1N·m) ਵਿੱਚ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
1. ਇੱਕ ਕਿਸ਼ਤੀ ਉੱਤਰ ਵੱਲ ਨੂੰ 500 lb ਦੇ ਬਲ ਵਾਲੀ ਹਵਾ ਦੀ ਮਦਦ ਨਾਲ ਚੱਲ ਰਹੀ ਹੈ, ਜੋ N30°E ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਗ ਰਹੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿਸ਼ਤੀ 100 ft ਅੱਗੇ ਵਧਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਹਵਾ ਦੁਆਰਾ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ? (ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
2. ਵੈਕਟਰ p=〈150,225,375〉 ਸਾਈਕਲ ਦੀ ਦੁਕਾਨ ਦੁਆਰਾ ਵੇਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਕੁਝ ਸਾਈਕਲਾਂ ਦੇ ਮਾਡਲਾਂ ਦੀ ਕੀਮਤ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ n=〈10,7,9〉 ਹਰੇਕ ਮਾਡਲ ਦੀਆਂ ਵਿਕੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਾਈਕਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ। ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ p·n ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅਰਥ ਦੱਸੋ।
3. ਦੋ ਬਲ F1 ਅਤੇ F2 ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਹਨ। ਪਹਿਲੇ ਬਲ ਦਾ ਮਾਪ 20 lb ਹੈ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ P(1,1,0) ਹੈ। ਦੂਜੇ ਬਲ ਦਾ ਮਾਪ 40 lb ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ Q(0,1,1) ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ F, ਬਲਾਂ F1 ਅਤੇ F2 ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਬਲ ਹੈ।
4. F ਦਾ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ। (ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
5. F ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੋ। (ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।)
6. ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ r(t)=〈cost,sint,2t〉 ਸਮੇਂ t∈[0,30] 'ਤੇ ਇੱਕ ਕਣ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ r ਦੇ ਭਾਗ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਸਮਾਂ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ। OP→, 1 ਸਕਿੰਟ ਬਾਅਦ ਕਣ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
7. ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਸਾਰੇ ਵੈਕਟਰ PQ→, ਜਿੱਥੇ Q(x,y,z) ਇੱਕ ਮਨਮਾਨਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, 1 ਸਕਿੰਟ ਬਾਅਦ ਕਣ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਗਤੀ ਵੈਕਟਰ v(1) ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹਨ, ਨੂੰ PQ→=〈x−cos1,y−sin1,z−2〉 ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ xsin1−ycos1−2z+4=0। ਬਿੰਦੂ Q ਦਾ ਸਮੂਹ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਬਿੰਦੂ P 'ਤੇ ਕਣ ਦੇ ਪਥ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਸਮਤਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
8. CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਿੰਦੂ P 'ਤੇ ਤਤਕਾਲੀ ਗਤੀ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਲੰਬਵਤ ਸਮਤਲ ਨੂੰ ਕਣ ਦੇ ਪਥ ਦੇ ਨਾਲ ਵਿਜ਼ੂਅਲਾਈਜ਼ ਕਰੋ।