ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2.4.1 ਦੋ ਦਿੱਤੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (cross product) ਗਿਣੋ।
2.4.2 ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (cross product) ਗਿਣਨ ਲਈ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ (determinant) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
2.4.3 ਦੋ ਦਿੱਤੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ (orthogonal) ਵੈਕਟਰ ਲੱਭੋ।
2.4.4 ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (cross product) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਖੇਤਰਫਲ (areas) ਅਤੇ ਆਇਤਨ (volumes) ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
2.4.5 ਦਿੱਤੇ ਬਲ (force) ਅਤੇ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ (position vector) ਦਾ ਟਾਰਕ (torque) ਗਿਣੋ।
ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਮਕੈਨਿਕ ਬੋਲਟ ਨੂੰ ਕੱਸਣ ਲਈ ਇੱਕ ਰੈਂਚ (wrench) ਘੁਮਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਮਕੈਨਿਕ ਰੈਂਚ ਦੇ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਬਲ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਘੁੰਮਣ, ਜਾਂ ਟਾਰਕ (torque), ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਬੋਲਟ ਨੂੰ ਕੱਸਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਮਕੈਨਿਕ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਏ ਗਏ ਬਲ, ਅਤੇ ਬੋਲਟ ਤੋਂ ਰੈਂਚ ਦੇ ਸਿਰੇ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ (ਤ੍ਰਿਜਾ) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਟਾਰਕ ਨੂੰ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਸਥਿਤ ਵੈਕਟਰ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਟਾਰਕ ਵੈਕਟਰ ਬਲ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਜਾ ਵੈਕਟਰ ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ (orthogonal) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕਿਰਿਆ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (cross product) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਦਿੱਤੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ (orthogonal) ਵੈਕਟਰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਟਾਰਕ (torque) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟਸ (cross products) ਦੀ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ (application) ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਟਾਰਕ (torque) ਦਾ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਮੱਗਰੀ 3 × 3 ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ (determinant) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਰੂਪ |abc d ef g hi||abc d ef g hi| ਹੈ, ਜੋ ਮਾਈਨਰਾਂ (minors) ਦੁਆਰਾ a|ef h i|-b|df g i|+c|de g h|=a(ei–fh)– b(di–fg)+ c(dh–eg).a|ef h i|-b|df g i|+c|de g h|=a(ei–fh)–b(di–fg)+c(dh–eg) ਤੱਕ ਫੈਲਦਾ ਹੈ।
ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (Cross Product) ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗੁਣ
ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (dot product) ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ (scalar) ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਾ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਦੇ ਲੰਬਵਤ (orthogonal) ਤੀਜਾ ਵੈਕਟਰ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹਾ ਵੈਕਟਰ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ u=〈u1,u2,u3〉u=〈u1,u2,u3〉 ਅਤੇ v=〈v1,v2,v3〉v=〈v1,v2,v3〉 ਗੈਰ-ਸਿਫਰ (nonzero) ਵੈਕਟਰ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ w=〈w1,w2,w3〉w=〈w1,w2,w3〉 ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ u u ਅਤੇ v v ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ (orthogonal) ਹੋਵੇ—ਯਾਨੀ, ਅਸੀਂ ww ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਲਈ u·w=0u·w=0 ਅਤੇ v·w=0.v·w=0। ਇਸ ਲਈ, w1,w1, w2,w2, ਅਤੇ w3w3 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ
ਜੇ ਅਸੀਂ ਉਪਰਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ v3v3 ਨਾਲ ਅਤੇ ਹੇਠਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ u3u3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੀਏ ਅਤੇ ਘਟਾਈਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਵੇਰੀਏਬਲ w3,w3 ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਜੇ ਅਸੀਂ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਹੱਲ ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਯਾਨੀ, ਵੈਕਟਰ
u u ਅਤੇ v,v ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ (orthogonal) ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (cross product) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ u=〈u1,u2,u3〉andv=〈v1,v2,v3〉.u=〈u1,u2,u3〉andv=〈v1,v2,v3〉। ਫਿਰ, ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ u×vu×v ਵੈਕਟਰ ਹੈ
ਜਿਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਅਸੀਂ u×v,u×v ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਉਸ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (cross product) u u ਅਤੇ v.v ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ (orthogonal) ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਦੇ ਕੋਈ ਨੁਕਸਾਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਿ u×vu×v, u u ਦੇ ਲੰਬਵਤ (orthogonal) ਹੈ, ਅਸੀਂ u u ਅਤੇ u×v.u×v ਦਾ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (dot product) ਗਿਣਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (cross product) v.v ਦੇ ਵੀ ਲੰਬਵਤ (orthogonal) ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.31
ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (Cross Product) ਲੱਭਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ p=〈−1,2,5〉andq=〈4,0,−3〉p=〈−1,2,5〉andq=〈4,0,−3〉 (ਚਿੱਤਰ 2.53)। p×q.p×q ਲੱਭੋ।
ਚਿੱਤਰ 2.53: ਦੋ ਦਿੱਤੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (cross product) ਲੱਭਣਾ।
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ 2.9 ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਚੌਕੀ 2.30
p=〈5,1,2〉 ਅਤੇ q=〈−2,0,1〉 ਲਈ p×qp×q ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ 2.9 ਤੋਂ ਸਪੱਸ਼ਟ ਨਾ ਹੋਵੇ, u×vu×v ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਨੂੰ ਉਂਗਲਾਂ u,u ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਫੈਲਾਈਏ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਂਗਲਾਂ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ v,v ਵੱਲ ਮੋੜੀਏ, ਤਾਂ ਅੰਗੂਠਾ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.54: u×vu×v ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸਦਾ v×u ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਲਈ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ v×u 'ਤੇ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦਾ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਆਪਣੀਆਂ ਉਂਗਲਾਂ ਨੂੰ v,v ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਆਪਣੀਆਂ ਉਂਗਲਾਂ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ u.u ਵੱਲ ਮੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅੰਗੂਠਾ u×v.u×v ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। (ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ!)
ਉਦਾਹਰਨ 2.32
ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਐਂਟੀਕਮਿਊਟੇਟਿਵਿਟੀ
ਮੰਨ ਲਓ u=〈0,2,1〉 ਅਤੇ v=〈3,−1,0〉। u×vu×v ਅਤੇ v×uv×u ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 2.55: ਕੀ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ u×vu×v ਅਤੇ v×uv×u ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹਨ?
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ, ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, u×v=−(v×u)u×v=−(v×u) (ਚਿੱਤਰ 2.56)। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਾਬਤ ਕਰਾਂਗੇ।
ਚਿੱਤਰ 2.56: ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ u×vu×v ਅਤੇ v×uv×u ਦੋਵੇਂ uu ਅਤੇ v,v ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹਨ, ਪਰ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਹਨ।
ਚੌਕੀ 2.31
ਮੰਨ ਲਓ ਵੈਕਟਰ uu ਅਤੇ vv xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਪਏ ਹਨ (ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ z-ਭਾਗ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ)। ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ uu ਦੇ x- ਅਤੇ y-ਭਾਗ ਅਤੇ vv ਦਾ y-ਭਾਗ ਸਾਰੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ vv ਦਾ x-ਭਾਗ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਅਕਸ ਆਮ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਿਤ ਹਨ, u×vu×v ਕਿਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ?
ਮਿਆਰੀ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰਾਂ i,j,i,j, ਅਤੇ kk ਦੇ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਕੁਝ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਆਓ ਇਹਨਾਂ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਵਰਤੋਂ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ
(ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਫਲ ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਸਕੇਲਰ 0।)0.) ਇਹ ਤੁਹਾਡੇ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਕਰੋ।
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ii ਅਤੇ jj ਦਾ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ k.k ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ii ਅਤੇ kk ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ j,j ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ, ਅਤੇ jj ਅਤੇ kk ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ i.i ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਹ ਫਾਰਮੂਲੇ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਆਉਂਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.33
ਮਿਆਰੀ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ
i×(j×k).i×(j×k) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਨੂੰ ਪਤਾ ਹੈ ਕਿ j×k=i. ਇਸ ਲਈ, i×(j×k)=i×i=0.
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.32
(i×j)×(k×i) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦਾ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕ੍ਰਾਸ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਵੈਕਟਰ ਗੁਣਨਫਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕਾਰਜ ਦੋਵੇਂ ਵੈਕਟਰ ਗੁਣਨ ਦੇ ਰੂਪ ਹਨ, ਪਰ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗੁਣ ਅਤੇ ਉਪਯੋਗ ਬਹੁਤ ਵੱਖਰੇ ਹਨ। ਆਓ ਕ੍ਰਾਸ ਗੁਣਨ ਦੇ ਕੁਝ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰੀਏ। ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਕੁਝ ਹੀ ਸਾਬਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਬਾਕੀ ਗੁਣਾਂ ਦੇ ਸਬੂਤ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਜੋਂ ਛੱਡ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਥਿਊਰਮ 2.6
ਕ੍ਰਾਸ ਗੁਣਨ ਦੇ ਗੁਣ
ਮੰਨ ਲਓ u,v, ਅਤੇ w ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਹਨ, ਅਤੇ c ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਹੈ।
ਸਬੂਤ
ਗੁਣ i. ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ u×v=−(v×u)। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਦੇਖੇ ਗਏ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਉਲਟ, ਕ੍ਰਾਸ ਗੁਣਨ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੇ ਨਿਯਮ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣ 'ਤੇ ਸਮਝ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।
ਗੁਣ iv. ਲਈ, ਇਹ ਕ੍ਰਾਸ ਗੁਣਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਸਿੱਧਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਫਿਰ, ਗੁਣ i. ਦੁਆਰਾ, 0×u=0 ਵੀ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਸਕੇਲਰ 0 ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਕ੍ਰਾਸ ਗੁਣਨਫਲ ਵੈਕਟਰ 0 ਹੈ।
ਗੁਣ vi. ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ ਵਰਗਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਕਾਰਜਾਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ:
□
ਉਦਾਹਰਨ 2.34
ਕ੍ਰਾਸ ਗੁਣਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
(2i×3j)×j ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰਾਸ ਗੁਣਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.33
(i×k)×(k×j) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰਾਸ ਗੁਣਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੁਣ ਤੱਕ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ u×v ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਇਹ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ u×v ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਲਈ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ u ਅਤੇ v ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ, ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਥਿਊਰਮ 2.7
ਕ੍ਰਾਸ ਗੁਣਨ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ
ਮੰਨ ਲਓ u ਅਤੇ v ਵੈਕਟਰ ਹਨ, ਅਤੇ θ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਹੈ। ਫਿਰ, ‖u×v‖=‖u‖·‖v‖·sinθ।
ਸਿੱਧ
ਮੰਨ ਲਓ u=〈u1,u2,u3〉 ਅਤੇ v=〈v1,v2,v3〉 ਵੈਕਟਰ ਹਨ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ θ ਉਹਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਕੋਣ ਹੈ। ਤਦ
ਵਰਗਮੂਲ ਲੈਣ ਅਤੇ ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਨ 'ਤੇ ਕਿ 0≤θ≤180° ਲਈ sin2θ=sinθ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਲੋੜੀਦਾ ਨਤੀਜਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
□
ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਇਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਸਾਨੂੰ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨ ਜਾਂ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕਿ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸਿਰਫ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਲਈ। ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਗੈਰ-ਸਮਾਂਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਪੈਦਾ ਕਰਨਾ ਅਸੰਭਵ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.35
ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਗਣਨਾ
u=〈0,4,0〉 ਅਤੇ v=〈0,0,−3〉 ਦੇ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.34
u×v ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ u=〈−8,0,0〉 ਅਤੇ v=〈0,2,0〉।
ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਅਤੇ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ
ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 2.9 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਸਿੱਧਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਉਪਯੋਗੀ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਫਾਰਮੂਲਾ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਅਤੇ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਵਿੱਚ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੈ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਬਦਲ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇੱਕ 2×2 ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,
ਇੱਕ 3×3 ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਨੂੰ 2×2 ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਸਮੀਕਰਨ 2.10 ਨੂੰ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਦੇ ਨਾਲ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹਰੇਕ 2×2 ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਦੇ ਗੁਣਕ 3×3 ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਦੇ ਐਂਟਰੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਹਰੇਕ 2×2 ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਵਿੱਚ 3×3 ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਤੋਂ ਉਹ ਐਂਟਰੀਆਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਗੁਣਕ ਵਾਲੀ ਕਤਾਰ ਅਤੇ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਕੱਢਣ 'ਤੇ ਬਚੀਆਂ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਲਈ, a1 ਗੁਣਕ ਹੈ, ਅਤੇ 2×2 ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਵਿੱਚ ਉਹ ਐਂਟਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ 3×3 ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਕੱਢਣ 'ਤੇ ਬਚੀਆਂ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਦੂਜੇ ਪਦ ਲਈ, ਗੁਣਕ a2 ਹੈ, ਅਤੇ 2×2 ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਵਿੱਚ ਉਹ ਐਂਟਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਕੱਢਣ 'ਤੇ ਬਚੀਆਂ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿ ਦੂਜੇ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। ਤੀਜੇ ਪਦ ਦੀ ਗਣਨਾ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.36
3×3 ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਦੇ ਨਾਲ ਵਿਸਤਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ |25−1−113−234| ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.35
1. |1−2−132−3154| ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ।
2. ਤਕਨੀਕੀ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਨਿਰਣਾਇਕ ਸਿਰਫ਼ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਐਰੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਨਿਰਣਾਇਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲਈ ਇੱਕ ਉਪਯੋਗੀ ਯਾਦਦਾਸ਼ਤ ਉਪਕਰਨ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
3. ਨਿਯਮ: ਨਿਰਣਾਇਕ ਦੁਆਰਾ ਗਣਨਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ
4. ਮੰਨ ਲਓ u=〈u1,u2,u3〉 ਅਤੇ v=〈v1,v2,v3〉 ਵੈਕਟਰ ਹਨ। ਤਾਂ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ u×v ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
5. ਉਦਾਹਰਨ 2.37
6. p×q ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਰਣਾਇਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
7. ਮੰਨ ਲਓ p=〈−1,2,5〉 ਅਤੇ q=〈4,0,−3〉। p×q ਪਤਾ ਕਰੋ।
8. ਹੱਲ
9. ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਸਟੈਂਡਰਡ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ, ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ u ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ, ਅਤੇ ਤੀਜੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ v ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੱਖ ਕੇ ਆਪਣਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
10. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਜਵਾਬ ਉਦਾਹਰਨ 2.31 ਵਿੱਚ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।
11. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.36
12. a×b ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਰਣਾਇਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ a=〈8,2,3〉 ਅਤੇ b=〈−1,0,4〉।
13. ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
14. ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਕਈ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਲਈ ਬਹੁਤ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭਣਾ, ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਅਤੇ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ, ਅਤੇ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ ਤੋਂ ਬਣੀ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸ਼ਕਲ ਜਿਸਨੂੰ ਪੈਰਾਲੇਲੋਪਾਈਪੇਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦਾ ਆਇਤਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਇਹਨਾਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।
15. ਉਦਾਹਰਨ 2.38
16. ਦੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭਣਾ
17. ਮੰਨ ਲਓ a=〈5,2,−1〉 ਅਤੇ b=〈0,−1,4〉। a ਅਤੇ b ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
18. ਹੱਲ
19. ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ a×b ਦੋਵੇਂ ਵੈਕਟਰਾਂ a ਅਤੇ b ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਰਣਾਇਕ ਨਾਲ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
20. ਉਸੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਨਾਰਮਲਾਈਜ਼ ਕਰੋ:
21. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, 〈7474,−20474,−5474〉 a ਅਤੇ b ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਹੈ।
22. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.37
23. a ਅਤੇ b, ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ a=〈4,0,3〉 ਅਤੇ b=〈1,1,4〉।
24. ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਲਈ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਾਬਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 2.8
ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ **u** ਅਤੇ **v** ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੀਏ ਕਿ ਉਹ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀਆਂ ਲਗਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ‖**u**×**v**‖ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.57)।
ਚਿੱਤਰ 2.57: ਲਗਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ **u** ਅਤੇ **v** ਵਾਲੇ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਆਧਾਰ ‖**u**‖ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ‖**v**‖sinθ ਹੈ।
ਸਿੱਧ
ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਰਾਸ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਮਾਪ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਆਧਾਰ ਗੁਣਾ ਉਚਾਈ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
□
ਉਦਾਹਰਨ 2.39
ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ P=(1,0,0), Q=(0,1,0), ਅਤੇ R=(0,0,1) ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਸਿਖਰ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 2.58)। ਇਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 2.58: ਕਰਾਸ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ PQ→ = 〈0−1,1−0,0−0〉 = 〈−1,1,0〉 ਅਤੇ PR→ = 〈0−1,0−0,1−0〉 = 〈−1,0,1〉 ਹੈ। ਲਗਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ PQ→ ਅਤੇ PR→ ਵਾਲੇ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ‖PQ→×PR→‖ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ΔPQR ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹੈ, ਜਾਂ 3/2।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.38
ਸਿਖਰ P(1,1,0), Q(7,1,0), R(9,4,2), ਅਤੇ S(3,4,2) ਵਾਲੇ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ PQRS ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਤ੍ਰਿਗੁਣ ਅਦਿਸ਼ਟ ਗੁਣਨਫਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕਰਾਸ ਗੁਣਨਫਲ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਕਰਾਸ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਦੋ ਹੋਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕਰਾਸ ਗੁਣਨਫਲ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਤ੍ਰਿਗੁਣ ਅਦਿਸ਼ਟ ਗੁਣਨਫਲ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਅਦਿਸ਼ਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਵੈਕਟਰ **u**, **v**, ਅਤੇ **w** ਦਾ ਤ੍ਰਿਗੁਣ ਅਦਿਸ਼ਟ ਗੁਣਨਫਲ **u**·(**v**×**w**) ਹੈ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 2.9
ਤ੍ਰਿਗੁਣ ਅਦਿਸ਼ਟ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਵੈਕਟਰ **u**=u₁**i**+u₂**j**+u₃**k**, **v**=v₁**i**+v₂**j**+v₃**k**, ਅਤੇ **w**=w₁**i**+w₂**j**+w₃**k** ਦਾ ਤ੍ਰਿਗੁਣ ਅਦਿਸ਼ਟ ਗੁਣਨਫਲ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਘਟਕਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਨਿਰਧਾਰਕ (determinant) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
ਸਿੱਧ
ਗਣਨਾ ਸਿੱਧੀ ਹੈ।
□
ਉਦਾਹਰਨ 2.40
ਤ੍ਰੈ-ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ u=〈1,3,5〉, v=〈2,−1,0〉 ਅਤੇ w=〈−3,0,−1〉। ਤ੍ਰੈ-ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ u·(v×w) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਤ੍ਰੈ-ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਲਾਗੂ ਕਰੋ:
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.39
ਤ੍ਰੈ-ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ a·(b×c) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ a=〈2,−4,1〉, b=〈0,3,−1〉, ਅਤੇ c=〈5,−3,3〉।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਬਾਰੇ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਅਟੁੱਟ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਹਰ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਦੋ ਕਤਾਰਾਂ ਆਪਣੀ ਜਗ੍ਹਾ ਬਦਲਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨਾ ਸਿੱਧਾ ਹੈ, ਪਰ ਕਾਫ਼ੀ ਗੰਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਨਾਲ ਵੇਖੀਏ:
ਉੱਪਰਲੀਆਂ ਦੋ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਤ੍ਰੈ-ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨਾ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ u=u1i+u2j+u3k, v=v1i+v2j+v3k, ਅਤੇ w=w1i+w2j+w3k। ਤ੍ਰੈ-ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਅਸੀਂ u·(w×v) ਦੀ ਗਣਨਾ ਲਈ ਨਿਰਧਾਰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, u·(v×w) ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦੋ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ। ਇਸ ਲਈ, u·(v×w)=−u·(w×v)।
ਇਸ ਤਰਕ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਅਤੇ ਤ੍ਰੈ-ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਚਲਾਂ ਦੇ ਅਦਾਨ-ਪ੍ਰਦਾਨ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਪਛਾਣਾਂ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਮੰਨ ਲਓ u ਅਤੇ v ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਹਨ। ਜੇਕਰ u ਅਤੇ v ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ‖u×v‖ ਹੈ। ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤੀਜਾ ਵੈਕਟਰ w ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ ਜੋ u ਅਤੇ v ਦੇ ਸਮਾਨ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ ਪਰ ਅਜੇ ਵੀ ਉਸੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਸ਼ਟਕ (parallelepiped) ਦੇ ਤਿੰਨ ਕਿਨਾਰੇ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਪ੍ਰਿਜ਼ਮ ਜਿਸਦੇ ਛੇ ਚਿਹਰੇ ਹਰੇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2.59 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰਿਜ਼ਮ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸਦੇ ਆਧਾਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਉਚਾਈ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ। u, v, ਅਤੇ w ਦਾ ਤ੍ਰੈ-ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਇਹਨਾਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਮਾਂਤਰ ਸ਼ਟਕ (parallelepiped) ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਵਿਧੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 2.10
ਸਮਾਂਤਰ ਸ਼ਟਕ (Parallelepiped) ਦਾ ਆਇਤਨ
u, v, ਅਤੇ w ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮਾਂਤਰ ਸ਼ਟਕ (parallelepiped) ਦਾ ਆਇਤਨ ਤ੍ਰੈ-ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਹੈ:
ਚਿੱਤਰ 2.59 ਦੇਖੋ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨਾਮ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ, ਤ੍ਰੈ-ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉੱਪਰ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਆਇਤਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.59: ਸਮਾਂਤਰ ਸ਼ਟਕ (parallelepiped) ਦੀ ਉਚਾਈ ‖projv×wu‖ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਸਿੱਧ
ਸਮਾਂਤਰ ਸ਼ਟਕ (parallelepiped) ਦੇ ਆਧਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ‖v×w‖ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ‖projv×wu‖ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਸਮਾਂਤਰ ਸ਼ਟਕ (parallelepiped) ਦਾ ਆਇਤਨ ਉਚਾਈ ਅਤੇ ਆਧਾਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
1. □
2. ਮਿਸਾਲ 2.41
3. ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਸ਼ਟਾਕ (parallelepiped) ਦਾ ਘਣਫਲ (volume) ਪਤਾ ਕਰਨਾ
4. ਮੰਨ ਲਓ u=〈−1,−2,1〉,v=〈4,3,2〉, ਅਤੇ w=〈0,−5,−2〉। ਉਹ ਸਮਾਂਤਰ ਸ਼ਟਾਕ ਜਿਸਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੇ ਕਿਨਾਰੇ u,v, ਅਤੇ w ਹਨ, ਉਸਦਾ ਘਣਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ (ਚਿੱਤਰ 2.60)।
5. ਹੱਲ
6. ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
7. ਇਸ ਲਈ, ਸਮਾਂਤਰ ਸ਼ਟਾਕ ਦਾ ਘਣਫਲ |−40|=40|−40|=40 ਇਕਾਈ3 ਹੈ।
8. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.40
9. ਵੈਕਟਰਾਂ a=3i+4j−k, b=2i−j−k, ਅਤੇ c=3j+k ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਸਮਾਂਤਰ ਸ਼ਟਾਕ ਦਾ ਘਣਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
10. ਕ੍ਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (Cross Product) ਦੇ ਉਪਯੋਗ
11. ਕ੍ਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਗਣਿਤ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਅਤੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਦੇ ਕਈ ਵਿਹਾਰਕ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਉਪਯੋਗਾਂ ਦੀ ਇੱਥੇ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਟਾਰਕ (torque) ਦਾ ਸੰਕਲਪ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਹੋਰ ਉਪਯੋਗ ਬਾਅਦ ਦੇ ਅਧਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਉਭਰਦੇ ਹਨ, ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਗੁਰੂਤਾ ਅਤੇ ਬਿਜਲਈ ਚੁੰਬਕੀ ਖੇਤਰਾਂ (Introduction to Vector Calculus) ਦੇ ਸਾਡੇ ਅਧਿਐਨ ਵਿੱਚ।
12. ਮਿਸਾਲ 2.42
13. ਟ੍ਰਿਪਲ ਸਕੇਲਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (Triple Scalar Product) ਦੀ ਵਰਤੋਂ
14. ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਟ੍ਰਿਪਲ ਸਕੇਲਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਵੈਕਟਰ u=〈2,0,5〉, v=〈2,2,4〉, ਅਤੇ w=〈1,−1,3〉 ਸਮਤਲੀ (coplanar) ਹਨ—ਭਾਵ, ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕੋ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹਨ।
15. ਹੱਲ
16. u,v, ਅਤੇ w ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਮਾਂਤਰ ਸ਼ਟਾਕ ਦਾ ਘਣਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਟ੍ਰਿਪਲ ਸਕੇਲਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ:
17. ਸਮਾਂਤਰ ਸ਼ਟਾਕ ਦਾ ਘਣਫਲ 00 ਇਕਾਈ3 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਮਾਪ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਤਿੰਨੋਂ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕੋ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹਨ।
18. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.41
19. ਕੀ ਵੈਕਟਰ a=i+j−k, b=i−j+k, ਅਤੇ c=i+j+k ਸਮਤਲੀ ਹਨ?
20. ਮਿਸਾਲ 2.43
21. ਇੱਕ ਲੰਬਤ (Orthogonal) ਵੈਕਟਰ ਲੱਭਣਾ
22. ਕੋਈ ਵੀ ਤਿੰਨ ਗੈਰ-ਸਮਰੇਖੀ (noncollinear) ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕੋ ਸਮਤਲ ਲੰਘ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਬਿੰਦੂਆਂ P=(9,−3,−2), Q=(1,3,0), ਅਤੇ R=(−2,5,0) ਵਾਲੇ ਸਮਤਲ ਦੇ ਲੰਬਤ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭੋ।
23. ਹੱਲ
24. ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ PQ→ ਅਤੇ QR→ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ:
PQ→×QR→ ਦਾ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ PQ→ ਅਤੇ QR→ ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਉਸ ਤਲ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:
ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਟ੍ਰਿਪਲ ਸਕੇਲਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਤਲ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਈ ਵਾਰ ਕੋਈ ਬਲ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਘੁੰਮਾਉਣ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਸਕ੍ਰਿਊਡ੍ਰਾਈਵਰ ਜਾਂ ਰੈਂਚ ਨੂੰ ਮੋੜਨ ਨਾਲ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦਾ ਘੁੰਮਣ ਪ੍ਰਭਾਵ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਟਾਰਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਟਾਰਕ, τ (ਯੂਨਾਨੀ ਅੱਖਰ ਟੌ), ਕਿਸੇ ਬਲ ਦੀ ਘੁੰਮਣ ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰਵਿਰਤੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ r ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਘੁੰਮਣ ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਬਲ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ਵੈਕਟਰ F ਬਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਟਾਰਕ r ਅਤੇ F ਦੇ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ:
ਚਿੱਤਰ 2.61 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 2.61: ਟਾਰਕ ਮਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਬਲ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਘੁਮਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਬੋਲਟ ਨੂੰ ਕੱਸਣ ਲਈ ਰੈਂਚ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ। ਬੋਲਟ 'ਤੇ ਲਗਾਇਆ ਗਿਆ ਟਾਰਕ τ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਰੈਂਚ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਜ਼ੋਰ ਨਾਲ ਧੱਕਦੇ ਹਾਂ (ਬਲ) ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਹੈਂਡਲ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਉੱਪਰ ਬਲ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ (ਦੂਰੀ)। ਬੋਲਟ ਤੋਂ ਜ਼ਿਆਦਾ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਰੈਂਚ 'ਤੇ ਜ਼ਿਆਦਾ ਬਲ ਨਾਲ ਟਾਰਕ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਟਾਰਕ ਦੀਆਂ ਆਮ ਇਕਾਈਆਂ ਨਿਊਟਨ-ਮੀਟਰ ਜਾਂ ਫੁੱਟ-ਪੌਂਡ ਹਨ। ਭਾਵੇਂ ਟਾਰਕ ਕੰਮ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ (ਇਸਦੇ ਸਮਾਨ ਇਕਾਈਆਂ ਹਨ), ਦੋਵੇਂ ਸੰਕਲਪ ਵੱਖਰੇ ਹਨ। ਟਾਰਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ 'ਤੇ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਕੰਮ ਵਿੱਚ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਦੇ ਨਾਲ ਗਤੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.44
ਟਾਰਕ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ
ਇੱਕ ਬੋਲਟ ਨੂੰ 0.15-ਮੀ ਰੈਂਚ (ਚਿੱਤਰ 2.62) 'ਤੇ 66 N ਦੇ ਬਲ ਨਾਲ ਕੱਸਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਰੈਂਚ ਅਤੇ ਬਲ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਕੋਣ 40° ਹੈ। ਬੋਲਟ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਟਾਰਕ ਦੇ ਮਾਪ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 2.62: ਟਾਰਕ ਰੈਂਚ ਦੀ ਮਰੋੜਨ ਵਾਲੀ ਕਾਰਵਾਈ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਟਾਰਕ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ:
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.42
150-ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੀ ਛੜ ਤੋਂ 30º ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ 15N·m ਟਾਰਕ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਬਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵੈਕਟਰ u ਅਤੇ v ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਵੈਕਟਰ u×v ਦਾ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ u×v ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਵੈਕਟਰ u, v, ਅਤੇ u×v ਬਣਾਓ।
u=〈2,0,0〉, v=〈2,2,0〉
u=〈3,2,−1〉, v=〈1,1,0〉
u=2i+3j, v=j+2k
u=2j+3k, v=3i+k
(i×i−2i×j−4i×k+3j×k)×i ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
Simplify j×(k×j+2j×i−3j×j+5i×k).j×(k×j+2j×i−3j×j+5i×k).
In the following exercises, vectors uu and vv are given. Find unit vector ww in the direction of the cross product vector u×v.u×v. Express your answer using standard unit vectors.
u=〈3,−1,2〉,u=〈3,−1,2〉, v=〈−2,0,1〉v=〈−2,0,1〉
u=〈2,6,1〉,u=〈2,6,1〉, v=〈3,0,1〉v=〈3,0,1〉
u=AB→,u=AB→, v=AC→,v=AC→, where A(1,0,1),A(1,0,1), B(1,−1,3),B(1,−1,3), and C(0,0,5)C(0,0,5)
u=OP→,u=OP→, v=PQ→,v=PQ→, where P(−1,1,0)P(−1,1,0) and Q(0,2,1)Q(0,2,1)
Determine the real number αα such that u×vu×v and ii are orthogonal, where u=3i+j−5ku=3i+j−5k and v=4i−2j+αk.v=4i−2j+αk.
Show that u×vu×v and 2i−14j+2k2i−14j+2k cannot be orthogonal for any αα real number, where u=i+7j−ku=i+7j−k and v=αi+5j+k.v=αi+5j+k.
Show that u×vu×v is orthogonal to u+vu+v and u−v,u−v, where uu and vv are nonzero vectors.
Show that v×uv×u is orthogonal to (u·v)(u+v)+u,(u·v)(u+v)+u, where uu and vv are nonzero vectors.
Calculate the determinant |ijk1−17203|.|ijk1−17203|.
Calculate the determinant |ijk03−416−1|.|ijk03−416−1|.
For the following exercises, the vectors uu and vv are given. Use determinant notation to find vector ww orthogonal to vectors uu and v.v.
u=〈−1,0,et〉,u=〈−1,0,et〉, v=〈1,e−t,0〉,v=〈1,e−t,0〉, where tt is a real number
u=〈1,0,x〉,u=〈1,0,x〉, v=〈2x,1,0〉,v=〈2x,1,0〉, where xx is a nonzero real number
Find vector (a−2b)×c,(a−2b)×c, where a= |ijk2−15018| ,a= |ijk2−15018| , b= |ijk0112−1−2| ,b= |ijk0112−1−2| , and c=i+j+k.c=i+j+k.
Find vector c×(a+3b),c×(a+3b), where a=|ijk509010|,a=|ijk509010|, b=|ijk0−1171−1|,b=|ijk0−1171−1|, and c=i−k.c=i−k.
[T] Use the cross product u×vu×v to find the acute angle between vectors uu and v,v, where u=i+2ju=i+2j and v=i+k.v=i+k. Express the answer in degrees rounded to the nearest integer.
[T] Use the cross product u×vu×v to find the obtuse angle between vectors uu and v,v, where u=−i+3j+ku=−i+3j+k and v=i−2j.v=i−2j. Express the answer in degrees rounded to the nearest integer.
Use the sine and cosine of the angle between two nonzero vectors uu and vv to prove Lagrange’s identity: ‖u×v‖2=‖u‖2‖v‖2−(u·v)2.‖u×v‖2=‖u‖2‖v‖2−(u·v)2.
Verify Lagrange’s identity ‖u×v‖2=‖u‖2‖v‖2−(u·v)2‖u×v‖2=‖u‖2‖v‖2−(u·v)2 for vectors u=−i+j−2ku=−i+j−2k and v=2i−j.v=2i−j.
Nonzero vectors uu and vv are called collinear if there exists a nonzero scalar αα such that v=αu.v=αu. Show that uu and vv are collinear if and only if u×v=0.u×v=0.
Nonzero vectors uu and vv are called collinear if there exists a nonzero scalar αα such that v=αu.v=αu. Show that vectors AB→AB→ and AC→AC→ are collinear, where A(4,1,0),A(4,1,0), B(6,5,−2),B(6,5,−2), and C(5,3,−1).C(5,3,−1).
Find the area of the parallelogram with adjacent sides u=〈3,2,0〉u=〈3,2,0〉 and v=〈0,2,1〉.v=〈0,2,1〉.
Find the area of the parallelogram with adjacent sides u=i+ju=i+j and v=i+k.v=i+k.
Consider points A(3,−1,2),B(2,1,5),A(3,−1,2),B(2,1,5), and C(1,−2,−2).C(1,−2,−2).
Find the area of parallelogram ABCDABCD with adjacent sides AB→AB→ and AC→.AC→.
ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਏਬੀਸੀ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।ਏਬੀਸੀ।
ਬਿੰਦੂ ਏ ਤੋਂ ਰੇਖਾ ਬੀਸੀ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।ਬੀਸੀ।
Consider points A(2,−3,4),B(0,1,2),A(2,−3,4),B(0,1,2), and C(−1,2,0).C(−1,2,0).
ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਏਬੀਸੀਡੀ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਲਾਗਵੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਏਬੀ→ ਅਤੇ ਏਸੀ→ ਹਨ।ਏਬੀਸੀਡੀਏਬੀ→ਏਸੀ→।
ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਏਬੀਸੀ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।ਏਬੀਸੀ।
ਬਿੰਦੂ ਬੀ ਤੋਂ ਰੇਖਾ ਏਸੀ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।ਏਸੀ।
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਵੈਕਟਰ ਯੂ, ਵੀ, ਅਤੇ ਡਬਲਯੂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।ਯੂ, ਵੀ, ਡਬਲਯੂ।
ਤ੍ਰਿ-ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਯੂ·(ਵੀ×ਡਬਲਯੂ) ਪਤਾ ਕਰੋ।ਯੂ·(ਵੀ×ਡਬਲਯੂ)।
ਯੂ, ਵੀ, ਅਤੇ ਡਬਲਯੂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮਾਂਤਰ-ਪਾਈਪੈੱਡ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।ਯੂ, ਵੀ, ਡਬਲਯੂ।
ਯੂ=ਆਈ+ਜੇ, ਵੀ=ਜੇ+ਕੇ, ਅਤੇ ਡਬਲਯੂ=ਆਈ+ਕੇ।ਯੂ=ਆਈ+ਜੇ, ਵੀ=ਜੇ+ਕੇ, ਡਬਲਯੂ=ਆਈ+ਕੇ।
ਯੂ=〈−3,5,−1〉, ਵੀ=〈0,2,−2〉, ਅਤੇ ਡਬਲਯੂ=〈3,1,1〉।ਯੂ=〈−3,5,−1〉, ਵੀ=〈0,2,−2〉, ਡਬਲਯੂ=〈3,1,1〉।
ਤ੍ਰਿ-ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਵੀ·(ਯੂ×ਡਬਲਯੂ) ਅਤੇ ਡਬਲਯੂ·(ਯੂ×ਵੀ) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ ਯੂ=〈1,1,1〉, ਵੀ=〈7,6,9〉, ਅਤੇ ਡਬਲਯੂ=〈4,2,7〉।ਵੀ·(ਯੂ×ਡਬਲਯੂ)ਡਬਲਯੂ·(ਯੂ×ਵੀ)ਯੂ=〈1,1,1〉, ਵੀ=〈7,6,9〉, ਡਬਲਯੂ=〈4,2,7〉।
ਤ੍ਰਿ-ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਡਬਲਯੂ·(ਵੀ×ਯੂ) ਅਤੇ ਯੂ·(ਡਬਲਯੂ×ਵੀ) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ ਯੂ=〈4,2,−1〉, ਵੀ=〈2,5,−3〉, ਅਤੇ ਡਬਲਯੂ=〈9,5,−10〉।ਡਬਲਯੂ·(ਵੀ×ਯੂ)ਯੂ·(ਡਬਲਯੂ×ਵੀ)ਯੂ=〈4,2,−1〉, ਵੀ=〈2,5,−3〉, ਡਬਲਯੂ=〈9,5,−10〉।
ਵੈਕਟਰ ਏ, ਬੀ, ਅਤੇ ਸੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਤ੍ਰਿ-ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।ਏ, ਬੀ, ਸੀ।
|123025892|।ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਤ੍ਰਿ-ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
ਵੈਕਟਰ ਏ, ਬੀ, ਅਤੇ ਸੀ ਦਾ ਤ੍ਰਿ-ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।ਏ, ਬੀ, ਸੀ।
|0−210141−37|।ਵੈਕਟਰ ਏ−ਬੀ+ਸੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।ਏ−ਬੀ+ਸੀ।
Consider the parallelepiped with edges OA,OB,OA,OB, and OC,OC, where A(2,1,0),B(1,2,0),A(2,1,0),B(1,2,0), and C(0,1,α).C(0,1,α).
ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ α>0 ਅਜਿਹੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਸਮਾਂਤਰ-ਪਾਈਪੈੱਡ ਦਾ ਆਇਤਨ 33 ਘਣ ਇਕਾਈ ਹੋਵੇ।α>0।
α=1 ਲਈ, ਭੁਜਾਵਾਂ OA ਅਤੇ OB ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਤਲ ਤੱਕ ਸਿਖਰ CC ਤੋਂ ਉਚਾਈ hh ਪਤਾ ਕਰੋ।α=1, OA, OB, CC, hh।
ਬਿੰਦੂ A(α,0,0), B(0,β,0), ਅਤੇ C(0,0,γ) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ α, β, ਅਤੇ γ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।A(α,0,0),B(0,β,0),C(0,0,γ),α,β,γ।
OA→, OB→, ਅਤੇ OC→ ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮਾਂਤਰ-ਪਾਈਪੈੱਡ ਦਾ ਆਇਤਨ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।OA→, OB→, OC→।
O, A, B, ਅਤੇ C ਸਿਖਰਾਂ ਵਾਲੇ ਚਤੁਰਫਲਕ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। (ਸੰਕੇਤ: ਚਤੁਰਫਲਕ ਦਾ ਆਇਤਨ ਸਮਾਂਤਰ-ਪਾਈਪੈੱਡ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ 1/6 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।)O,A,B,C।
A, B, ਅਤੇ C ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਤਲ ਤੋਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸਮਾਂਤਰ-ਪਾਈਪੈੱਡ ਅਤੇ ਚਤੁਰਫਲਕ ਬਣਾਓ।A,B,C।
ਮੰਨ ਲਓ ਯੂ, ਵੀ, ਅਤੇ ਡਬਲਯੂ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਹਨ ਅਤੇ ਸੀ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਕਰਾਸ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕਰੋ।ਯੂ, ਵੀ, ਡਬਲਯੂ, ਸੀ।
ਯੂ×ਯੂ=0।ਯੂ×ਯੂ=0।
u×(v+w)=(u×v)+(u×w)u×(v+w)=(u×v)+(u×w)
c(u×v)=(cu)×v=u×(cv)c(u×v)=(cu)×v=u×(cv)
u·(u×v)=0u·(u×v)=0
Show that vectors u=〈1,0,−8〉,u=〈1,0,−8〉, v=〈0,1,6〉,v=〈0,1,6〉, and w=〈−1,9,3〉w=〈−1,9,3〉 satisfy the following properties of the cross product.
u×u=0u×u=0
u×(v+w)=(u×v)+(u×w)u×(v+w)=(u×v)+(u×w)
c(u×v)=(cu)×v=u×(cv)c(u×v)=(cu)×v=u×(cv)
u·(u×v)=0u·(u×v)=0
Nonzero vectors u,v,andwu,v,andw are said to be linearly dependent if one of the vectors is a linear combination of the other two. For instance, there exist two nonzero real numbers αα and ββ such that w=αu+βv.w=αu+βv. Otherwise, the vectors are called linearly independent. Show that u,v,andwu,v,andw are coplanar if and only if they are linear dependent.
Consider vectors u=〈1,4,−7〉,u=〈1,4,−7〉, v=〈2,−1,4〉,v=〈2,−1,4〉, w=〈0,−9,18〉,w=〈0,−9,18〉, and p=〈0,−9,17〉.p=〈0,−9,17〉.
Show that u,v,andwu,v,andw are coplanar by using their triple scalar product
Show that u,v,andwu,v,andw are coplanar, using the definition that there exist two nonzero real numbers αα and ββ such that w=αu+βv.w=αu+βv.
Show that u,v,andpu,v,andp are linearly independent—that is, none of the vectors is a linear combination of the other two.
Consider points A(0,0,2),A(0,0,2), B(1,0,2),B(1,0,2), C(1,1,2),C(1,1,2), and D(0,1,2).D(0,1,2). Are vectors AB→,AB→, AC→,AC→, and AD→AD→ linearly dependent (that is, one of the vectors is a linear combination of the other two)?
Show that vectors i+j,i+j, i−j,i−j, and i+j+ki+j+k are linearly independent—that is, there do not exist two nonzero real numbers αα and ββ such that i+j+k=α(i+j)+β(i−j).i+j+k=α(i+j)+β(i−j).
Let u=〈u1,u2〉u=〈u1,u2〉 and v=〈v1,v2〉v=〈v1,v2〉 be two-dimensional vectors. The cross product of vectors uu and vv is not defined. However, if the vectors are regarded as the three-dimensional vectors u˜=〈u1,u2,0〉u˜=〈u1,u2,0〉 and v˜=〈v1,v2,0〉,v˜=〈v1,v2,0〉, respectively, then, in this case, we can define the cross product of u˜u˜ and v˜.v˜. In particular, in determinant notation, the cross product of u˜u˜ and v˜v˜ is given by
Use this result to compute (icosθ+jsinθ)×(isinθ−jcosθ),(icosθ+jsinθ)×(isinθ−jcosθ), where θθ is a real number.
Consider points P(2,1),P(2,1), Q(4,2),Q(4,2), and R(1,2).R(1,2).
Find the area of triangle P,Q,andR.P,Q,andR.
Determine the distance from point RR to the line passing through PandQ.PandQ.
Determine a vector of magnitude 1010 perpendicular to the plane passing through the x-axis and point P(1,2,4).P(1,2,4).
Determine a unit vector perpendicular to the plane passing through the z-axis and point A(3,1,−2).A(3,1,−2).
Consider uu and vv two three-dimensional vectors. If the magnitude of the cross product vector u×vu×v is kk times larger than the magnitude of vector u,u, show that the magnitude of vv is greater than or equal to k,k, where kk is a natural number.
[T] Assume that the magnitudes of two nonzero vectors uu and vv are known. The function f(θ)=‖u‖‖v‖sinθf(θ)=‖u‖‖v‖sinθ defines the magnitude of the cross product vector u×v,u×v, where θ∈[0,π]θ∈[0,π] is the angle between uandv.uandv.
Graph the function f.f.
1. ਫੰਕਸ਼ਨ f.f. ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
2. ਜੇਕਰ ‖u‖=5‖u‖=5 ਅਤੇ ‖v‖=2,‖v‖=2, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ ਗੁਣਨਫਲ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ 9.9 ਹੈ, ਤਾਂ uਅਤੇvਉਹਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।
3. ਸਾਰੇ ਵੈਕਟਰ w=〈w1,w2,w3〉w=〈w1,w2,w3〉 ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ 〈1,1,1〉×w=〈−1,−1,2〉.〈1,1,1〉×w=〈−1,−1,2〉 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ।
4. ਸਮੀਕਰਨ w×〈1,0,−1〉=〈3,0,3〉,w×〈1,0,−1〉=〈3,0,3〉 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ w=〈w1,w2,w3〉w=〈w1,w2,w3〉 ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ 3.3 ਹੈ।
5. [T] ਇੱਕ ਮਕੈਨਿਕ ਬੋਲਟ ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣ ਲਈ 12-ਇੰਚ ਦੀ ਰੈਂਚ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਰੈਂਚ ਖਿਤਿਜੀ ਨਾਲ 30°30° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਮਕੈਨਿਕ ਰੈਂਚ ਹੈਂਡਲ 'ਤੇ 1010 lb ਦਾ ਲੰਬਵਤ ਬਲ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਿੰਦੂ PP 'ਤੇ ਟਾਰਕ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਕੀ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)? ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਫੁੱਟ-ਪੌਂਡ ਵਿੱਚ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
6. [T] ਇੱਕ ਲੜਕਾ ਪੈਡਲ 'ਤੇ 2020 lb ਦਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਬਲ ਲਗਾ ਕੇ ਸਾਈਕਲ ਦੇ ਬ੍ਰੇਕ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ 6-ਇੰਚ ਦਾ ਕ੍ਰੈਂਕ ਖਿਤਿਜੀ ਨਾਲ 40°40° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)। ਬਿੰਦੂ P.P. 'ਤੇ ਟਾਰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਫੁੱਟ-ਪੌਂਡ ਵਿੱਚ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
7. [T] 20-ਸੈਮੀ ਰੈਂਚ ਦੇ ਸਿਰੇ 'ਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਲਗਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਬਲ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇਕਰ ਬਲ 〈0,1,−2〉〈0,1,−2〉 ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਮੂਲ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਬੋਲਟ ਨੂੰ 100100 N·m ਟਾਰਕ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
8. [T] 2020 ft-lbs ਦਾ ਟਾਰਕ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ 35°35° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ 1-ਫੁੱਟ ਰੈਂਚ ਦੇ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਲਗਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਬਲ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਕੀ ਹੈ?
9. [T] ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਟੋਨ 'ਤੇ ਲੱਗਣ ਵਾਲਾ ਬਲ ਵੈਕਟਰ FF ਜਿਸਦਾ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਚਾਰਜ 1.6×10−19C1.6×10−19C (ਕੂਲੌਂਬ ਵਿੱਚ) ਹੈ ਅਤੇ ਜੋ ਚੁੰਬਕੀ ਖੇਤਰ BB ਵਿੱਚ ਗਤੀ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਵੈਲੋਸਿਟੀ ਵੈਕਟਰ vv ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ F=1.6×10−19(v×B)F=1.6×10−19(v×B) (ਇੱਥੇ, vv ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਵਿੱਚ, BB ਟੇਸਲਾ [T] ਵਿੱਚ, ਅਤੇ FF ਨਿਊਟਨ [N] ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ)। ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਟੋਨ 'ਤੇ ਲੱਗਣ ਵਾਲਾ ਬਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਵੈਲੋਸਿਟੀ v=105i+105jv=105i+105j (ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਵਿੱਚ) ਨਾਲ ਚੁੰਬਕੀ ਖੇਤਰ B=0.3j.B=0.3j ਵਿੱਚ ਗਤੀ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ।
10. [T] ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਟੋਨ 'ਤੇ ਲੱਗਣ ਵਾਲਾ ਬਲ ਵੈਕਟਰ FF ਜਿਸਦਾ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਚਾਰਜ 1.6×10−19C1.6×10−19C ਹੈ ਅਤੇ ਜੋ ਚੁੰਬਕੀ ਖੇਤਰ BB ਵਿੱਚ ਗਤੀ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਵੈਲੋਸਿਟੀ ਵੈਕਟਰ v ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ F=1.6×10−19(v×B)F=1.6×10−19(v×B) (ਇੱਥੇ, vv ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਵਿੱਚ, BB T,T ਵਿੱਚ, ਅਤੇ FF N).N ਵਿੱਚ)। ਜੇਕਰ ਪ੍ਰੋਟੋਨ 'ਤੇ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਬਲ FF ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ 5.9×10−175.9×10−17 N ਹੈ ਅਤੇ ਪ੍ਰੋਟੋਨ 300 m/sec ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ 2.4 T ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਵਾਲੇ ਚੁੰਬਕੀ ਖੇਤਰ BB ਵਿੱਚ ਗਤੀ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪ੍ਰੋਟੋਨ ਦੇ ਵੈਲੋਸਿਟੀ ਵੈਕਟਰ vv ਅਤੇ ਚੁੰਬਕੀ ਖੇਤਰ B.B. ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
11. [T] r(t)=〈cost,sint,2t〉r(t)=〈cost,sint,2t〉 ਨੂੰ ਸਮਾਂ t∈[0,30],t∈[0,30] 'ਤੇ ਇੱਕ ਕਣ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਮੰਨੋ, ਜਿੱਥੇ rr ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਸਮਾਂ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ। OP→OP→ ਨੂੰ 11 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਕਣ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਮੰਨੋ।
12. ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ B(t)B(t) (ਜਿਸਨੂੰ ਬਾਈਨੋਰਮਲ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜੋ ਵੈਕਟਰ v(t)×a(t),v(t)×a(t) ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ ਗੁਣਨਫਲ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ v(t)v(t) ਅਤੇ a(t)a(t) ਕ੍ਰਮਵਾਰ tt ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਕਣ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੈਲੋਸਿਟੀ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ ਹਨ।
13. ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਲਜਬਰਾ ਸਿਸਟਮ (CAS) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੈਕਟਰ v(1),v(1), a(1),a(1), ਅਤੇ B(1)B(1) ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ PP ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਕਣ ਦੇ ਮਾਰਗ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ, ਵਿਜ਼ੂਅਲਾਈਜ਼ ਕਰੋ।
14. ਇੱਕ ਘਰ ਦੀ ਛੱਤ 'ਤੇ ਸੋਲਰ ਪੈਨਲ ਲਗਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਪੈਨਲ ਨੂੰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ) A(8,0,0),A(8,0,0), B(8,18,0),B(8,18,0), C(0,18,8),C(0,18,8), ਅਤੇ D(0,0,8)D(0,0,8) ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)।
15. ਸੋਲਰ ਪੈਨਲਾਂ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ n=AB→×AD→n=AB→×AD→ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
16. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਦਿਨ ਦੇ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸਮੇਂ ਸੂਰਜ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ s=13i+13j+13ks=13i+13j+13k ਹੈ ਅਤੇ ਸੂਰਜੀ ਊਰਜਾ ਦਾ ਪ੍ਰਵਾਹ F=900sF=900s (ਵੈਟ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਮੀਟਰ [W/m2W/m2] ਵਿੱਚ) ਹੈ। ਪੈਨਲ ਦੁਆਰਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਬਿਜਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੋ ਵੈਕਟਰਾਂ FF ਅਤੇ nn ਦੇ ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ (ਵੈਟਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
17. ਸੂਰਜ ਦੇ ਉੱਠਣ ਦੇ ਕੋਣ ਨੂੰ ਸੋਲਰ ਪੈਨਲ ਦੇ ਉੱਪਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। (ਸੰਕੇਤ: ਵੈਕਟਰਾਂ nn ਅਤੇ ss ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਅਤੇ ਉੱਠਣ ਦਾ ਕੋਣ ਪੂਰਕ ਹਨ।)