ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2.5.1 ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਅਤੇ ਦਿੱਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ, ਅਤੇ ਦੋ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਵੈਕਟਰ, ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਅਤੇ ਸਮਮਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
2.5.2 ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਦਿੱਤੀ ਰੇਖਾ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2.5.3 ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਅਤੇ ਦਿੱਤੇ ਨਾਰਮਲ ਨਾਲ ਤਲ ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਸਕੇਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
2.5.4 ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਦਿੱਤੇ ਤਲ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2.5.5 ਦੋ ਤਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਪਤਾ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, ਜਾਂ ਸਾਨੂੰ ਰੇਖਾ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਪਤਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚੋਂ ਰੇਖਾ ਲੰਘਦੀ ਹੈ। ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਸਥਿਤੀ, ਜਾਂ ਦਿਸ਼ਾ, ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਢਲਾਣ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਕਾਸ਼ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤੇ ਤਲਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ।
ਅਕਾਸ਼ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ
ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਪੜਚੋਲ ਕਰੀਏ ਕਿ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੋਣਾ ਕੀ ਅਰਥ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਜਾਂ ਵਿਰੋਧੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਦੋ ਗੈਰ-ਸਿਫਰ ਵੈਕਟਰ, $\vec{u}$ ਅਤੇ $\vec{v}$, ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦਾਅਵਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ, $k$, ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ $\vec{u} = k\vec{v}$। ਜੇਕਰ $\vec{u}$ ਅਤੇ $\vec{v}$ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਿਰਫ਼ $k = \frac{\|\vec{u}\|}{\|\vec{v}\|}$ ਚੁਣੋ। ਜੇਕਰ $\vec{u}$ ਅਤੇ $\vec{v}$ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿਰੋਧੀ ਹੈ, ਤਾਂ $k = -\frac{\|\vec{u}\|}{\|\vec{v}\|}$ ਚੁਣੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਉਲਟਾ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ। ਜੇਕਰ $\vec{u} = k\vec{v}$ ਕਿਸੇ ਸਕੇਲਰ $k$ ਲਈ ਹੈ, ਤਾਂ ਜਾਂ ਤਾਂ $\vec{u}$ ਅਤੇ $\vec{v}$ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੈ ($k>0$) ਜਾਂ ਵਿਰੋਧੀ ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ ($k<0$), ਇਸ ਲਈ $\vec{u}$ ਅਤੇ $\vec{v}$ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਦੋ ਗੈਰ-ਸਿਫਰ ਵੈਕਟਰ $\vec{u}$ ਅਤੇ $\vec{v}$ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੇਕਰ $\vec{u} = k\vec{v}$ ਕਿਸੇ ਸਕੇਲਰ $k$ ਲਈ ਹੋਵੇ। ਪਰੰਪਰਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਸਿਫਰ ਵੈਕਟਰ $\vec{0}$ ਸਾਰੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਅਕਾਸ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਵੈਕਟਰ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਦਿਸ਼ਾ ਵੈਕਟਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 2.63) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ $L$ ਬਿੰਦੂ $P(x_0, y_0, z_0)$ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਅਕਾਸ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ $\vec{v} = \langle a, b, c \rangle$ $L$ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੈ। ਫਿਰ, ਰੇਖਾ $L$ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ $Q(x, y, z)$ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $\vec{PQ}$ $\vec{v}$ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ, $t$, ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ $\vec{PQ} = t\vec{v}$, ਜੋ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 2.63: ਵੈਕਟਰ $\vec{v}$ $\vec{PQ}$ ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਵੈਕਟਰ ਹੈ।
ਵੈਕਟਰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 2.11 ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
$\vec{r} = \langle x, y, z \rangle$ ਅਤੇ $\vec{r}_0 = \langle x_0, y_0, z_0 \rangle$ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੁਣ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ:
ਘਟਕਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਕਰਕੇ, ਸਮੀਕਰਨ 2.11 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਮੀਕਰਨ ਇਕੱਠੇ ਸੱਚ ਹਨ: $x - x_0 = ta$, $y - y_0 = tb$, ਅਤੇ $z - z_0 = tc$। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਘਟਕ ਵੇਰੀਏਬਲ $x, y,$ ਅਤੇ $z$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਪੈਰਾਮੀਟਰ $t$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜੋ, ਇਕੱਠੇ, ਰੇਖਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ:
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ $a, b,$ ਅਤੇ $c$ ਗੈਰ-ਸਿਫਰ ਮੰਨ ਕੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ $t$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਉਸੇ ਰੇਖਾ ਦਾ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਵਰਣਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ $t$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਉਹਨਾਂ ਸਾਰਿਆਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮਮਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਅਸੀਂ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 2.11
ਰੇਖਾ ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਅਤੇ ਸਮਮਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ
ਵੈਕਟਰ $\vec{v} = \langle a, b, c \rangle$ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ $P(x_0, y_0, z_0)$ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਰੇਖਾ $L$ ਦਾ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਜੇਕਰ ਅੰਕ $a, b,$ ਅਤੇ $c$ ਸਾਰੇ ਗੈਰ-ਸਿਫਰ ਹਨ, ਤਾਂ $L$ ਦਾ ਵਰਣਨ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਮਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਰੇਖਾ ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿਲੱਖਣ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਵੈਕਟਰ ਜਾਂ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ, ਬਰਾਬਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਸਮਮਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਮੂਹ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮਮਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵੀ ਵਿਲੱਖਣ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.45
ਅਕਾਸ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ
1. ਬਿੰਦੂਆਂ (1,4,−2) ਅਤੇ (−3,5,0) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
2. ਹੱਲ
3. ਪਹਿਲਾਂ, ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਪਛਾਣੋ:
4. ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰੋ:
5. ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:
6. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.43
7. ਬਿੰਦੂਆਂ (1,−3,2) ਅਤੇ (5,−2,8) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
8. ਕਈ ਵਾਰ ਅਸੀਂ ਪੂਰੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਹੀਂ, ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰ t ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ P(x0,y0,z0) ਅਤੇ Q(x1,y1,z1) ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਹਨ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ p=〈x0,y0,z0〉 ਅਤੇ q=〈x1,y1,z1〉 ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਮੰਨ ਲਓ r=〈x,y,z〉। ਅਸੀਂ PP ਅਤੇ Q ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਲਈ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। PP ਨੂੰ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਸਾਡੇ ਗਿਆਤ ਬਿੰਦੂ ਵਜੋਂ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਤੇ PQ→=〈x1−x0,y1−y0,z1−z0〉 ਨੂੰ ਦਿਸ਼ਾ ਵੈਕਟਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ, ਸਮੀਕਰਨ 2.12 ਦਿੰਦਾ ਹੈ:
9. ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਫਿਰ:
10. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, PP ਅਤੇ QQ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ:
11. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪੂਰੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਹੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਸੀ, ਸਿਰਫ਼ PP ਅਤੇ Q ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਰੇਖਾ ਖੰਡ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਦੋਂ t=0, ਸਾਡੇ ਕੋਲ r=p ਹੈ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ t=1, ਸਾਡੇ ਕੋਲ r=q ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, PP ਅਤੇ QQ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ:
12. ਸਮੀਕਰਨ 2.12 ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵੀ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
13. ਫਿਰ, ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ:
14. ਉਦਾਹਰਨ 2.46
15. ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ
16. ਬਿੰਦੂਆਂ P(2,1,4) ਅਤੇ Q(3,−1,3) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
17. ਹੱਲ
18. ਸਮੀਕਰਨ 2.16 ਦੁਆਰਾ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
19. ਹਰੇਕ ਭਾਗ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
20. ਅਤੇ
21. ਇਸ ਲਈ, ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ:
22. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.44
23. ਬਿੰਦੂਆਂ P(−1,3,6) ਅਤੇ Q(−8,2,4) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
24. ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਕਈ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਮੌਜੂਦ ਹਨ ਜਦੋਂ ਇਹਨਾਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਘਰ ਬਣਾਉਣ ਵੇਲੇ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਬਿਲਡਰਾਂ ਨੂੰ "ਸੈੱਟਬੈਕ" ਲੋੜਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਢਾਂਚੇ ਜਾਂ ਫਿਕਸਚਰ ਨੂੰ ਜਾਇਦਾਦ ਦੀ ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੋਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਹਵਾਈ ਯਾਤਰਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਏਅਰਲਾਈਨਾਂ ਵਸੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰਾਂ ਅਤੇ ਪ੍ਰਸਤਾਵਿਤ ਉਡਾਣ ਮਾਰਗਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀਆਂ ਬਾਰੇ ਚਿੰਤਤ ਹਨ।
ਮੰਨ ਲਓ LL ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੈ ਅਤੇ MM ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜੋ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਫਿਰ, ਅਸੀਂ MM ਤੋਂ LL ਤੱਕ ਦੂਰੀ dd ਨੂੰ ਰੇਖਾ ਖੰਡ MP—,MP— ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ PP ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ LL 'ਤੇ ਹੈ ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ MP—MP—, LL (ਚਿੱਤਰ 2.64) ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.64: ਬਿੰਦੂ MM ਤੋਂ ਰੇਖਾ LL ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ MP—.MP— ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਚਿੱਤਰ 2.64 ਅਜੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਰੇਖਾ ਨਾਲ ਜੋੜਨ ਵਾਲੇ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਜਾਣਨ ਦਾ ਕੋਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤਰੀਕਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਕਿਹੜਾ ਬਿੰਦੂ ਅਜਿਹਾ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੇ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ PP ਰੇਖਾ LL 'ਤੇ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ vv LL (ਚਿੱਤਰ 2.65) ਲਈ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵੈਕਟਰ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.65: ਵੈਕਟਰ PM→PM→ ਅਤੇ v ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਦੋ ਪਾਸੇ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜਿਸਦਾ ਆਧਾਰ ‖v‖‖v‖ ਅਤੇ ਉਚਾਈ d,d ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਹੈ।
ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਅਨੁਸਾਰ, ਵੈਕਟਰ PM→PM→ ਅਤੇ vv ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਦੋ ਪਾਸੇ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜਿਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ‖PM→×v‖.‖PM→×v‖ ਹੈ। ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਸ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਇਸਦੇ ਆਧਾਰ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ:
ਅਸੀਂ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 2.12
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ
ਮੰਨ ਲਓ LL ਬਿੰਦੂ P ਨਾਲ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਦਿਸ਼ਾ ਵੈਕਟਰ v.v. ਹੈ। ਜੇ MM ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜੋ L,L 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ MM ਤੋਂ LL ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 2.47
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਬਿੰਦੂ M=(1,1,3)M=(1,1,3) ਅਤੇ ਰੇਖਾ x−34=y+12=z−3.x−34=y+12=z−3 ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵੈਕਟਰ v=〈4,2,1〉v=〈4,2,1〉 ਰੇਖਾ ਲਈ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵੈਕਟਰ ਹੈ। ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਿੰਦੂ P(3,−1,3)P(3,−1,3) ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਫਿਰ,
ਦੂਰੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ PM→×v:PM→×v: ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
ਇਸ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.66)
ਚਿੱਤਰ 2.66: ਬਿੰਦੂ (1,1,3)(1,1,3) ਸਮਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ x−34=y+12=z−3.x−34=y+12=z−3 ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਲਗਭਗ 2.72.7 ਯੂਨਿਟ ਦੂਰ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.45
ਬਿੰਦੂ (0,3,6)(0,3,6) ਅਤੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ x=1−t,y=1+2t,z=5+3t.x=1−t,y=1+2t,z=5+3t ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਲੱਭੋ।
ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ
ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਤਲ ਵਿੱਚ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਰੇਖਾਵਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਉਹ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ ਪਰ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਜਾਂ ਉਹ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ। ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਚੌਥਾ ਕੇਸ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਜੇ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਪਰ ਕੱਟਦੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਕਿਊ ਰੇਖਾਵਾਂ (skew lines) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.67)।
ਚਿੱਤਰ 2.67: ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਨਾ ਕੱਟਣ, ਭਾਵੇਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹੋਣ।
ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮਾਂਤਰ ਪਰ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ, ਬਰਾਬਰ, ਕੱਟਣ ਵਾਲੀਆਂ, ਜਾਂ ਸਕਿਊ ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਚੀਜ਼ਾਂ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ: ਕੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵੈਕਟਰ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ ਅਤੇ ਕੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਸਾਂਝਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 2.68)।
Figure 2.68: Determine the relationship between two lines based on whether their direction vectors are parallel and whether they share a point.
Example 2.48
Classifying Lines in Space
For each pair of lines, determine whether the lines are equal, parallel but not equal, skew, or intersecting.
L1:x=2s−1,y=s−1,z=s−4L1:x=2s−1,y=s−1,z=s−4 L2:x=t−3,y=3t+8,z=5−2tL2:x=t−3,y=3t+8,z=5−2t
L1:L1: x=−y=zx=−y=z L2:x−32=y=z−2L2:x−32=y=z−2
L1:x=6s−1,y=−2s,z=3s+1;s≠0L1:x=6s−1,y=−2s,z=3s+1;s≠0 L2:x−46=y+3−2=z−13L2:x−46=y+3−2=z−13
Solution
Line L1L1 has direction vector v1=〈2,1,1〉;v1=〈2,1,1〉; line L2L2 has direction vector v2=〈1,3,−2〉.v2=〈1,3,−2〉. Because the direction vectors are not parallel vectors, the lines are either intersecting or skew. To determine whether the lines intersect, we see if there is a point, (x,y,z),(x,y,z), that lies on both lines. To find this point, we use the parametric equations to create a system of equalities: 2s−1=t−3;s−1=3t+8;s−4=5−2t.2s−1=t−3;s−1=3t+8;s−4=5−2t. By the first equation, t=2s+2.t=2s+2. Substituting into the second equation yields s−1=3(2s+2)+8s−1=6s+6+85s=−15s=−3.s−1=3(2s+2)+8s−1=6s+6+85s=−15s=−3. Substitution into the third equation, however, yields a contradiction: s−4=5−2(2s+2)s−4=5−4s−45s=5s=1.s−4=5−2(2s+2)s−4=5−4s−45s=5s=1. There is no single point that satisfies the parametric equations for L1andL2L1andL2 simultaneously. These lines do not intersect, so they are skew (see the following figure).
Line L1 has direction vector v1=〈1,−1,1〉v1=〈1,−1,1〉 and passes through the origin, (0,0,0).(0,0,0). Line L2L2 has a different direction vector, v2=〈2,1,1〉,v2=〈2,1,1〉, so these lines are not parallel or equal. Let rr represent the parameter for line L1L1 and let ss represent the parameter for L2:L2: x=r y=−r z=r x=2s+3 y=s z=s+2. x=r y=−r z=r x=2s+3 y=s z=s+2. Solve the system of equations to find r=1r=1 and s=−1.s=−1. If we need to find the point of intersection, we can substitute these parameters into the original equations to get (1,−1,1)(1,−1,1) (see the following figure).
Lines L1L1 and L2L2 have equivalent direction vectors: v=〈6,−2,3〉.v=〈6,−2,3〉. These two lines are parallel (see the following figure).
Checkpoint 2.46
Describe the relationship between the lines with the following parametric equations:
Equations for a Plane
We know that a line is determined by two points. In other words, for any two distinct points, there is exactly one line that passes through those points, whether in two dimensions or three. Similarly, given any three points that do not all lie on the same line, there is a unique plane that passes through these points. Just as a line is determined by two points, a plane is determined by three.
This may be the simplest way to characterize a plane, but we can use other descriptions as well. For example, given two distinct, intersecting lines, there is exactly one plane containing both lines. A plane is also determined by a line and any point that does not lie on the line. These characterizations arise naturally from the idea that a plane is determined by three points. Perhaps the most surprising characterization of a plane is actually the most useful.
Imagine a pair of orthogonal vectors that share an initial point. Visualize grabbing one of the vectors and twisting it. As you twist, the other vector spins around and sweeps out a plane. Here, we describe that concept mathematically. Let n=〈a,b,c〉n=〈a,b,c〉 be a vector and P=(x0,y0,z0)P=(x0,y0,z0) be a point. Then the set of all points Q=(x,y,z)Q=(x,y,z) such that PQ→PQ→ is orthogonal to nn forms a plane (Figure 2.69). We say that nn is a normal vector, or perpendicular to the plane. Remember, the dot product of orthogonal vectors is zero. This fact generates the vector equation of a plane: n·PQ→=0.n·PQ→=0. Rewriting this equation provides additional ways to describe the plane:
Figure 2.69: Given a point PP and vector n,n, the set of all points QQ with PQ→PQ→ orthogonal to nn forms a plane.
Definition
Given a point PP and vector n,n, the set of all points QQ satisfying the equation n·PQ→=0n·PQ→=0 forms a plane. The equation
is known as the vector equation of a plane.
The scalar equation of a plane containing point P=(x0,y0,z0)P=(x0,y0,z0) with normal vector n=〈a,b,c〉n=〈a,b,c〉 is
This equation can be expressed as ax+by+cz+d=0,ax+by+cz+d=0, where d=−ax0−by0−cz0.d=−ax0−by0−cz0. This form of the equation is sometimes called the general form of the equation of a plane.
As described earlier in this section, any three points that do not all lie on the same line determine a plane. Given three such points, we can find an equation for the plane containing these points.
Example 2.49
ਸਮਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਲਿਖਣਾ
ਬਿੰਦੂਆਂ P=(1,1,−2), Q=(0,2,1), ਅਤੇ R=(−1,−1,0) ਵਾਲੇ ਸਮਤਲ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਸਟੈਂਡਰਡ ਅਤੇ ਆਮ ਰੂਪਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਸਮਤਲ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਵਾਸਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਸਮਤਲ ਲਈ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਕਰਾਸ ਗੁਣਨਫਲ PQ→×QR→, PQ→ ਅਤੇ QR→ ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮਤਲ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, n=〈8,−4,4〉, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਸਮਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਸਮਤਲ ਦੇ ਸਕੇਲਰ ਸਮੀਕਰਨ, ਚੁਣੇ ਗਏ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੇ ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.50
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ ਸਮਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
ਸਮਤਲ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂ (1,4,3) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਰੇਖਾ x=y−12=z+1 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਸਮਿੱਖ ਸਮੀਕਰਨ ਬਿੰਦੂ (0,1,−1) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਵੈਕਟਰ v1=〈1,2,1〉 ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)। ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ, (1,4,3), ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮਤਲ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਇੱਕ ਦੂਜਾ ਵੈਕਟਰ ਪਛਾਣੋ:
ਸਮਤਲ ਲਈ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ ਪਛਾਣਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕਰਾਸ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਸਮਤਲ ਲਈ ਸਕੇਲਰ ਸਮੀਕਰਨ 5x−3(y−1)+(z+1)=0 ਅਤੇ 5x−3y+z+4=0 ਹਨ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.47
ਰੇਖਾਵਾਂ L1 ਅਤੇ L2 ਵਾਲੇ ਸਮਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ:
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ P ਅਤੇ ਸਮਤਲ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ d ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਨੂੰ P ਤੋਂ ਸਮਤਲ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਭਵ ਦੂਰੀ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.70: ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ P ਤੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਦੂਰੀ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਬਿੰਦੂ R ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਕਿ, ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ Q ਲਈ, ‖RP→‖<‖QP→‖।
ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਦੂਰੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਰੇਖਾ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਕਰਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਸਮਤਲ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਦੂਰੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਸਮਤਲ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਕਰਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ R ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਕਿ RP→ ਸਮਤਲ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ Q ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਮਨਮਾਨਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਫਿਰ ਵੈਕਟਰ QP→ ਦਾ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ RP→ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2.70 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 2.13
ਸਮਤਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ n ਵਾਲਾ ਸਮਤਲ ਬਿੰਦੂ Q ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਸਮਤਲ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ P ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਜੋ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ:
ਉਦਾਹਰਨ 2.51
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਸਮਤਲ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ
1. ਬਿੰਦੂ P=(3,1,2)P=(3,1,2) ਅਤੇ ਸਮਤਲ x−2y+z=5x−2y+z=5 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮਤਲ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)।
2. ਹੱਲ
3. ਸਮਤਲ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਸਮਤਲ ਲਈ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ: n=〈1,−2,1〉.n=〈1,−2,1〉. ਵੈਕਟਰ QP→,QP→ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਕੰਮ ਕਰੇਗਾ, ਇਸ ਲਈ y=z=0y=z=0 ਸੈੱਟ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਬਿੰਦੂ Q=(5,0,0)Q=(5,0,0) ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। QਤੋਂP ਤੱਕ ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਸੰਯੋਜਕ ਰੂਪ ਪਤਾ ਕਰੋ:QਤੋਂP ਤੱਕ ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਸੰਯੋਜਕ ਰੂਪ ਪਤਾ ਕਰੋ:
4. ਸਮੀਕਰਨ 2.19 ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਦਾ ਸੂਤਰ ਲਾਗੂ ਕਰੋ:
5. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.48
6. ਬਿੰਦੂ P=(5,−1,0)P=(5,−1,0) ਅਤੇ ਸਮਤਲ 4x+2y−z=3.4x+2y−z=3 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮਤਲ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
7. ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਅਤੇ ਕੱਟਣ ਵਾਲੇ ਸਮਤਲ
8. ਅਸੀਂ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਅਤੇ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸੰਭਵ ਸਬੰਧਾਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮਤਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਿਰਫ ਦੋ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ: ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਸਮਤਲ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਉਹ ਕੱਟਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਦੋ ਸਮਤਲ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਦੋ ਸਮਤਲ ਕੱਟਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਕੱਟਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.71)।
9. ਚਿੱਤਰ 2.71: ਦੋ ਗੈਰ-ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਸਮਤਲਾਂ ਦਾ ਕੱਟਣ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
10. ਅਸੀਂ ਕੱਟਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ ਸਮਤਲਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 2.52
12. ਦੋ ਸਮਤਲਾਂ ਦੇ ਕੱਟਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
13. ਸਮਤਲਾਂ x+y+z=0x+y+z=0 ਅਤੇ 2x−y+z=02x−y+z=0 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮਤਲਾਂ ਦੇ ਕੱਟਣ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਰੇਖਾ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਅਤੇ ਸਮਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)।
14. ਹੱਲ
15. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਦੋ ਸਮਤਲਾਂ ਦੇ ਗੈਰ-ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਲੰਬਵਤ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਸਮਤਲ ਕੱਟਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਮੂਲ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੱਟਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਮੂਲ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ, ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, y:y: ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮਤਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ:
16. ਇਹ ਸਾਨੂੰ x=−23z.x=−23z. ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ y ਨੂੰ z:z: ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ:
17. ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਤੀਜੇ ਵੇਰੀਏਬਲ, z.z. ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ, xx ਅਤੇ y,y, ਹਨ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ zz ਨੂੰ t.t. ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਭਿੰਨਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ tt ਨੂੰ t=−13z.t=−13z. ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, z=−3t.z=−3t. zz ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਬਦਲਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੱਟਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ x=2t,y=t,z=−3t.x=2t,y=t,z=−3t. ਹਨ। ਰੇਖਾ ਲਈ ਸਮਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ x2=y=z−3.x2=y=z−3. ਹਨ।
18. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.49
19. ਸਮਤਲਾਂ x+y−z=3x+y−z=3 ਅਤੇ 3x−y+3z=5.3x−y+3z=5. ਦੇ ਕੱਟਣ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਰੇਖਾ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
20. ਦੋ ਸਮਤਲਾਂ ਦੇ ਕੱਟਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਸਮਤਲਾਂ ਦੇ ਕੱਟਣ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਕੋਣ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਘਰ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਕਾਰੀਗਰਾਂ ਨੂੰ ਛੱਤ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਮਿਲਣ ਦੇ ਕੋਣ ਨੂੰ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਪਤਾ ਲੱਗ ਸਕੇ ਕਿ ਛੱਤ ਚੰਗੀ ਲੱਗੇਗੀ ਅਤੇ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਨਿਕਲੇਗੀ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਸਮਤਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਸਮਤਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2.72 ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਸੱਚ ਕਿਉਂ ਹੈ।
21. ਚਿੱਤਰ 2.72: ਦੋ ਸਮਤਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਸਮਤਲਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਦੇ ਮਾਪ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
22. ਅਸੀਂ ਕੱਟਣ ਵਾਲੇ ਦੋ ਸਮਤਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ θ ਦਾ ਮਾਪ ਪਹਿਲਾਂ ਕੋਣ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾ ਕੇ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
23. ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਦੋ ਸਮਤਲਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਜਾਂ ਲੰਬਵਤ ਹੋਣ ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਕੋਣ 'ਤੇ ਕੱਟਣ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 2.53
Finding the Angle between Two Planes
Determine whether each pair of planes is parallel, orthogonal, or neither. If the planes are intersecting, but not orthogonal, find the measure of the angle between them. Give the answer in radians and round to two decimal places.
x+2y−z=8and2x+4y−2z=10x+2y−z=8and2x+4y−2z=10
2x−3y+2z=3and6x+2y−3z=12x−3y+2z=3and6x+2y−3z=1
x+y+z=4andx−3y+5z=1x+y+z=4andx−3y+5z=1
Solution
The normal vectors for these planes are n1=〈1,2,−1〉n1=〈1,2,−1〉 and n2=〈2,4,−2〉.n2=〈2,4,−2〉. These two vectors are scalar multiples of each other. The normal vectors are parallel, so the planes are parallel.
The normal vectors for these planes are n1=〈2,−3,2〉n1=〈2,−3,2〉 and n2=〈6,2,−3〉.n2=〈6,2,−3〉. Taking the dot product of these vectors, we have n1·n2=〈2,−3,2〉·〈6,2,−3〉=2(6)−3(2)+2(−3)=0.n1·n2=〈2,−3,2〉·〈6,2,−3〉=2(6)−3(2)+2(−3)=0. The normal vectors are orthogonal, so the corresponding planes are orthogonal as well.
The normal vectors for these planes are n1=〈1,1,1〉n1=〈1,1,1〉 and n2=〈1,−3,5〉:n2=〈1,−3,5〉: cosθ=|n1·n2|‖n1‖‖n2‖=|〈1,1,1〉·〈1,−3,5〉|12+12+1212+(−3)2+52=3105.cosθ=|n1·n2|‖n1‖‖n2‖=|〈1,1,1〉·〈1,−3,5〉|12+12+1212+(−3)2+52=3105. The angle between the two planes is 1.271.27 rad, or approximately 73°.73°.
Checkpoint 2.50
Find the measure of the angle between planes x+y−z=3x+y−z=3 and 3x−y+3z=5.3x−y+3z=5. Give the answer in radians and round to two decimal places.
When we find that two planes are parallel, we may need to find the distance between them. To find this distance, we simply select a point in one of the planes. The distance from this point to the other plane is the distance between the planes.
Previously, we introduced the formula for calculating this distance in Equation 2.19:
where QQ is a point on the plane, PP is a point not on the plane, and nn is the normal vector that passes through point Q.Q. Consider the distance from point (x0,y0,z0)(x0,y0,z0) to plane ax+by+cz+k=0.ax+by+cz+k=0. Let (x1,y1,z1)(x1,y1,z1) be any point in the plane. Substituting into the formula yields
We state this result formally in the following theorem.
Theorem 2.14
Distance from a Point to a Plane
Let P(x0,y0,z0)P(x0,y0,z0) be a point. The distance from PP to plane ax+by+cz+k=0ax+by+cz+k=0 is given by
Example 2.54
Finding the Distance between Parallel Planes
Find the distance between the two parallel planes given by 2x+y−z=22x+y−z=2 and 2x+y−z=8.2x+y−z=8.
Solution
Point (1,0,0)(1,0,0) lies in the first plane. The desired distance, then, is
Checkpoint 2.51
ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਤਲਾਂ 5x−2y+z=6 ਅਤੇ 5x−2y+z=−3 ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ
ਦੋ ਤਿਰਛੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ
ਚਿੱਤਰ 2.73: ਉਦਯੋਗਿਕ ਪਾਈਪ ਸਥਾਪਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਚੱਲਦੀਆਂ ਪਾਈਪਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਤਿਰਛੀਆਂ ਪਾਈਪਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਰੇਖਾ ਜਾਂ ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਤਲ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਅਮੂਰਤ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਜਾਪਦੀ ਹੈ। ਪਰ, ਜੇ ਰੇਖਾਵਾਂ ਕਿਸੇ ਰਸਾਇਣਕ ਪਲਾਂਟ ਵਿੱਚ ਪਾਈਪਾਂ ਜਾਂ ਤੇਲ ਰਿਫਾਇਨਰੀ ਵਿੱਚ ਟਿਊਬਾਂ ਜਾਂ ਹਾਈਵੇਅ ਦੇ ਚੌਰਾਹੇ 'ਤੇ ਸੜਕਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਨਿਰਧਾਰਨਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਅਤੇ ਮਾਪਣਾ ਔਖਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਪਾਈਪਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਜੋਂ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇ। ਗਣਨਾ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ ਬਣਾਉਣਾ ਅਤੇ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਅਤੇ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੋਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ, L1 ਅਤੇ L2, ਦੇ ਸਮਮਿਤ ਰੂਪ ਹਨ
ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ d, a1,b1,c1;a2,b2,c2;x1,y1,z1;ਅਤੇx2,y2,z2 ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੂਰੀ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਜਾਂ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ ਜੋ ਦੋਵਾਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ ਅਤੇ ਦੋਵਾਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਦੋ ਵੈਕਟਰ, v1 ਅਤੇ v2, ਲਿਖੋ ਜੋ ਕ੍ਰਮਵਾਰ L1 ਅਤੇ L2 ਦੇ ਨਾਲ ਪਏ ਹਨ।
ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ N ਕਹੋ। ਇਹ ਵੈਕਟਰ v1 ਅਤੇ v2 ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਦੋਵਾਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ।
ਵੈਕਟਰ N ਤੋਂ, ਉਸੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ n ਬਣਾਓ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ, ਇੱਕ ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ 'ਤੇ, ਵਿਚਕਾਰ ਪਈ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ v12 ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮਮਿਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਦੁਬਾਰਾ, ਇਹ ਸਿੱਧੇ ਸਮਮਿਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਦੂਜੇ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਗੁਣਾ ਦੂਜੇ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਹੈ—ਯਾਨੀ, A·B=‖A‖‖B‖cosθ, ਜਿੱਥੇ θ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਕੋਣ ਹੈ। ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਕਦਮ 3 ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਗਏ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ n ਉੱਤੇ ਕਦਮ 4 ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਗਏ ਵੈਕਟਰ v12 ਦੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਦੋਵਾਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਲੰਬਵਤ ਦੂਰੀ d ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ d ਦਾ ਮੁੱਲ, ਤੁਹਾਡੇ ਵੈਕਟਰ v12 ਦੀ ਚੋਣ ਜਾਂ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਸ਼ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਤੁਹਾਡਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ |−25|/198≈1.78 ਦੀ ਸਹੀ ਦੂਰੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ: L1:x−52=y−34=z−13 L2:x−63=y−15=z7।
ਕੀ ਤੁਹਾਡਾ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਲਈ ਵੈਧ ਹੈ? ਜੇ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਕਿਉਂ? (ਸੰਕੇਤ: ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੇ ਮੁੱਲ ਬਾਰੇ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਜਾਣਦੇ ਹੋ? ਇਹ ਤੁਹਾਡੇ d ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿੱਥੇ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ?)
ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ ਤਾਂ ਤੁਹਾਡੇ ਦੂਰੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ ਜੇ ਉਹ ਸਮਾਂਤਰ ਨਾ ਹੋਣ ਅਤੇ ਉਹ ਇੱਕੋ ਤਲ ਵਿੱਚ ਹੋਣ। ਇਸ ਲਈ, n ਅਤੇ v12 ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਕੀ ਹੈ?
ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਰਿਫਾਇਨਰੀ ਦੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰਾਂ ਨੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਹੈ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਨੁਕਸਾਨਦੇਹ ਕੰਬਣੀਆਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਲਈ ਗੈਸ ਪਾਈਪਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਹਾਇਤਾ ਸਟਰਟ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਲਾਗਤ ਨੂੰ ਘੱਟ ਕਰਨ ਲਈ, ਉਹ ਇਹਨਾਂ ਸਟਰਟਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗਤ-ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਆਇਤਾਕਾਰ ਫਰੇਮ ਢਾਂਚੇ ਦੇ ਮਾਪ 4.0×15.0×10.0m (ਉਚਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ ਡੂੰਘਾਈ) ਹਨ। ਇੱਕ ਸੈਕਟਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਾਈਪ ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਰੇਮ ਯੂਨਿਟ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਕੋਨੇ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਵਿਆਸ ਦੇ ਉਲਟ ਕੋਨੇ (ਉੱਪਰ ਸਭ ਤੋਂ ਦੂਰ ਵਾਲਾ) ਵਿੱਚੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲਦੀ ਹੈ; ਇਸਨੂੰ L1 ਕਹੋ। ਦੂਜੀ ਪਾਈਪ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਉਲਟ ਹੇਠਲੇ ਕੋਨਿਆਂ 'ਤੇ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲਦੀ ਹੈ; ਇਸਨੂੰ L2 ਕਹੋ (ਚਿੱਤਰ 2.74)। ਚਿੱਤਰ 2.74 ਦੋ ਪਾਈਪਾਂ ਇੱਕ ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਰੇਮ ਯੂਨਿਟ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਹਨਾਂ ਪਾਈਪਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ ਲਿਖੋ, ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ n ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੂਰੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। (ਪਹਿਲੀ ਪਾਈਪ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਕੋਨੇ ਨੂੰ ਮੂਲ ਮੰਨੋ।) ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਤੁਸੀਂ ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ ਲਈ ਸਮਮਿਤ ਸਮੀਕਰਨ ਵੀ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਬਿੰਦੂ P ਅਤੇ Q ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। P ਅਤੇ Q ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ L ਹੈ।
ਰੇਖਾ L ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਰੇਖਾ L ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਰੇਖਾ L ਦੇ ਸਮਮਿਤ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
P ਅਤੇ Q ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
P(−3,5,9),P(−3,5,9), Q(4,−7,2)Q(4,−7,2)
P ( 4 , 0 , 5 ) , Q ( 2 , 3 , 1 )
P(−1,0,5),P(−1,0,5), Q(4,0,3)Q(4,0,3)
P(7,−2,6),P(7,−2,6), Q(−3,0,6)Q(−3,0,6)
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ P ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ v ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। P ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ v ਨਾਲ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ L ਹੈ।
ਰੇਖਾ L ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
Find symmetric equations of line L.L.
Find the intersection of the line with the xy-plane.
P(1,−2,3),P(1,−2,3), v=〈1,2,3〉v=〈1,2,3〉
P(3,1,5),P(3,1,5), v=〈1,1,1〉v=〈1,1,1〉
P(3,1,5),P(3,1,5), v=QR→,v=QR→, where Q(2,2,3)Q(2,2,3) and R(3,2,3)R(3,2,3)
P(2,3,0),P(2,3,0), v=QR→,v=QR→, where Q(0,4,5)Q(0,4,5) and R(0,4,6)R(0,4,6)
For the following exercises, line LL is given.
Find point PP that belongs to the line and direction vector vv of the line. Express vv in component form.
Find the distance from the origin to line L.L.
x=1+t,y=3+t,z=5+4t,x=1+t,y=3+t,z=5+4t, t∈ℝt∈ℝ
− x = y + 1 , z = 2 − x = y + 1 , z = 2
Find the distance between point A(−3,1,1)A(−3,1,1) and the line of symmetric equations
x = − y = − z . x = − y = − z .
Find the distance between point A(4,2,5)A(4,2,5) and the line of parametric equations
x=−1−t,y=−t,z=2,x=−1−t,y=−t,z=2, t∈ℝ.t∈ℝ.
For the following exercises, lines L1L1 and L2L2 are given.
Verify whether lines L1L1 and L2L2 are parallel.
If the lines L1L1 and L2L2 are parallel, then find the distance between them.
L1:x=1+t,y=t,z=2+t,L1:x=1+t,y=t,z=2+t, t∈ℝ,t∈ℝ, L2:x−3=y−1=z−3L2:x−3=y−1=z−3
L1:x=2,y=1,z=t,L1:x=2,y=1,z=t, L2:x=1,y=1,z=2−3t,L2:x=1,y=1,z=2−3t, t∈ℝt∈ℝ
Show that the line passing through points P(3,1,0)P(3,1,0) and Q(1,4,−3)Q(1,4,−3) is perpendicular to the line with equations x = 3 + 3t, y = 1 + 8t, z = 6t,x = 3 + 3t, y = 1 + 8t, z = 6t, t∈ℝ.t∈ℝ.
Are the lines of equations x=−2+2t,y=−6,z=2+6tx=−2+2t,y=−6,z=2+6t and x=−1+t,y=1+t,z=t,x=−1+t,y=1+t,z=t, t∈ℝ,t∈ℝ, perpendicular to each other?
Find the point of intersection of the lines of equations x=−2y=3zx=−2y=3z and x=−5−t,y=−1+t,z=t−11,x=−5−t,y=−1+t,z=t−11, t∈ℝ.t∈ℝ.
Find the intersection point of the x-axis with the line of parametric equations
x=10+t,y=2−2t,z=−3+3t,x=10+t,y=2−2t,z=−3+3t, t∈ℝ.t∈ℝ.
For the following exercises, lines L1L1 and L2L2 are given. Determine whether the lines are equal, parallel but not equal, skew, or intersecting.
L1:x=y−1=−zL1:x=y−1=−z and L2:x−2=−y=z2L2:x−2=−y=z2
L1:x=2t,y=0,z=3,L1:x=2t,y=0,z=3, t∈ℝt∈ℝ and L2:x=0,y=8+s,z=7+s,L2:x=0,y=8+s,z=7+s, s∈ℝs∈ℝ
L1:x=−1+2t,y=1+3t,z=7t,L1:x=−1+2t,y=1+3t,z=7t, t∈ℝt∈ℝ and L2:x−1=23(y−4)=27z−2L2:x−1=23(y−4)=27z−2
L1:3x=y+1=2zL1:3x=y+1=2z and L2:x=6+2t,y=17+6t,z=9+3t,L2:x=6+2t,y=17+6t,z=9+3t, t∈ℝt∈ℝ
Consider line LL of symmetric equations x−2=−y=z2x−2=−y=z2 and point A(1,1,1).A(1,1,1).
Find parametric equations for a line parallel to LL that passes through point A.A.
Find symmetric equations of a line skew to LL and that passes through point A.A.
Find symmetric equations of a line that intersects LL and passes through point A.A.
Consider line LL of parametric equations x=t,y=2t,z=3,x=t,y=2t,z=3, t∈ℝ.t∈ℝ.
Find parametric equations for a line parallel to LL that passes through the origin.
Find parametric equations of a line skew to LL that passes through the origin.
Find symmetric equations of a line that intersects LL and passes through the origin.
For the following exercises, point PP and vector nn are given.
Find the scalar equation of the plane that passes through PP and has normal vector n.n.
Find the general form of the equation of the plane that passes through PP and has normal vector n.n.
P(0,0,0),P(0,0,0), n=3i−2j+4kn=3i−2j+4k
P(3,2,2),P(3,2,2), n=2i+3j−kn=2i+3j−k
P(1,2,3),P(1,2,3), n=〈1,2,3〉n=〈1,2,3〉
P(0,0,0),P(0,0,0), n=〈−3,2,−1〉n=〈−3,2,−1〉
For the following exercises, the equation of a plane is given.
Find normal vector nn to the plane. Express nn using standard unit vectors.
Find the intersections of the plane with the coordinate axes.
Sketch the plane.
[T] 4x+5y+10z−20=04x+5y+10z−20=0
3 x + 4 y − 12 = 0 3 x + 4 y − 12 = 0
3 x − 2 y + 4 z = 0 3 x − 2 y + 4 z = 0
x + z = 0 x + z = 0
Given point P(1,2,3)P(1,2,3) and vector n=i+j,n=i+j, find point QQ on the x-axis such that PQ→PQ→ and nn are orthogonal.
Show there is no plane perpendicular to n=i+jn=i+j that passes through points P(1,2,3)P(1,2,3) and Q(2,3,4).Q(2,3,4).
Find parametric equations of the line passing through point P(−2,1,3)P(−2,1,3) that is perpendicular to the plane of equation 2x−3y+z=7.2x−3y+z=7.
P(2,5,4) ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਅਤੇ 2x+3y−5z=0 ਸਮੀਕਰਨ ਵਾਲੇ ਤਲ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮਮਿਤ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਰੇਖਾ x−12=y+13=z−24, ਤਲ x−2y+z=6 ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ।
ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ α ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ x=t,y=2−t,z=3+t, t∈ℝ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ αx+5y+z−10=0 ਸਮੀਕਰਨ ਵਾਲੇ ਤਲ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੋਵੇ।
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ P,Q,ਅਤੇR ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।
P,Q,ਅਤੇR ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਤਲ ਦਾ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
a. ਵਿਖੇ ਤਲ ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਸਮੀਕਰਨ n·PS→=0 ਲਿਖੋ, ਜਿੱਥੇ S(x,y,z) ਤਲ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਅਤੇ P,Q,ਅਤੇR ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਤਲ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
P(1,1,1),Q(2,4,3),P(1,1,1),Q(2,4,3), and R(−1,−2,−1)R(−1,−2,−1)
P(−2,1,4),Q(3,1,3),P(−2,1,4),Q(3,1,3), and R(−2,1,0)R(−2,1,0)
ਤਲਾਂ x+y+z=1 ਅਤੇ x+z=0 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਤਲ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੇ ਹਨ।
ਬਿੰਦੂ P(1,4,6) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਅਤੇ ਤਲਾਂ ਦੇ ਕਾਟਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮਮਿਤ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਤਲਾਂ −y+z−2=0 ਅਤੇ x−y=0 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਤਲ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੇ ਹਨ।
ਬਿੰਦੂ P(−8,0,2) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਅਤੇ ਤਲਾਂ ਦੇ ਕਾਟਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾ ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਬਿੰਦੂ P(−1,2,1) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਅਤੇ ਤਲਾਂ x+y−z−2=0 ਅਤੇ 2x−y+3z−1=0 ਦੇ ਕਾਟਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਤਲ ਦਾ ਸਕੇਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਅਤੇ ਤਲਾਂ −x+y+2=0 ਅਤੇ z−3=0 ਦੇ ਕਾਟਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਤਲ ਦਾ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ x=1+2t,y=−2t,z=2+t, t∈ℝ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ 3x+4y+6z−7=0 ਸਮੀਕਰਨ ਵਾਲੇ ਤਲ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਾਟਕ ਬਿੰਦੂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ x=5,y=4−t,z=2t, t∈ℝ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ 2x−y+z=5 ਸਮੀਕਰਨ ਵਾਲੇ ਤਲ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਾਟਕ ਬਿੰਦੂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਬਿੰਦੂ P(1,5,−4) ਤੋਂ 3x−y+2z−6=0 ਸਮੀਕਰਨ ਵਾਲੇ ਤਲ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਬਿੰਦੂ P(1,−2,3) ਤੋਂ (x−3)+2(y+1)−4z=0 ਸਮੀਕਰਨ ਵਾਲੇ ਤਲ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੋ ਤਲਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਤਲ ਸਮਾਂਤਰ, ਲੰਬਵਤ, ਜਾਂ ਕੁਝ ਵੀ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਜੇਕਰ ਤਲ ਨਾ ਤਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਲੰਬਵਤ, ਤਾਂ ਤਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
x+y+z=0, 2x−y+z−7=0
5x−3y+z=4, x+4y+7z=1
1. x−5y−z=1, 5x−25y−5z=−3
2. x−3y+6z=4, 5x+y−z=4
3. ਇਹ ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨਾਂ x=t, y=1+t, z=2+t, t∈ℝ, ਅਤੇ x2=y−13=z−3 ਵਾਲੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿਲੱਖਣ (skew) ਹਨ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. ਇਹ ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨਾਂ x=−1+t, y=−2+t, z=3t, t∈ℝ, ਅਤੇ x=5+s, y=−8+2s, z=7s, s∈ℝ ਵਾਲੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿਲੱਖਣ (skew) ਹਨ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5. ਬਿੰਦੂ C(−3,2,4) ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ 2x+4y−3z=8 ਵਾਲੇ ਤਲ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
6. ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਤਲ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦੀ ਹੋਈ, ਕੇਂਦਰ C ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ।
7. ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ P ਪਤਾ ਕਰੋ।
8. ਸਮੀਕਰਨ x−y−z−8=0 ਵਾਲੇ ਤਲ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
9. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ C ਵਾਲੇ ਅਤੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਤਲ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦੇ ਹੋਏ ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
10. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
11. ਦੋ ਬੱਚੇ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਨਾਲ ਖੇਡ ਰਹੇ ਹਨ। ਕੁੜੀ ਗੇਂਦ ਲੜਕੇ ਵੱਲ ਸੁੱਟਦੀ ਹੈ। ਗੇਂਦ ਹਵਾ ਵਿੱਚ
12. ਉੱਡਦੀ ਹੈ, 33 ਫੁੱਟ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਮੁੜਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੁੜੀ ਤੋਂ 55 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਡਿੱਗਦੀ ਹੈ (ਅਗਲੀ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)। ਜੇਕਰ ਗੇਂਦ ਦੇ ਪਥ ਦਾ ਤਲ ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਉਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
13. ਜੌਨ ਮਹੀਨੇਵਾਰ ਤਿੰਨ ਵਸਤੂਆਂ a, b, ਅਤੇ c ਦੀਆਂ ਕੀਮਤਾਂ 'ਤੇ d ਡਾਲਰ ਖਰਚ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ, ਬਜਟ ਸਮੀਕਰਨ ax+by+cz=d, ਜਿੱਥੇ x≥0, y≥0, ਅਤੇ z≥0 ਹਰੇਕ ਵਸਤੂ ਤੋਂ ਖਰੀਦੀਆਂ ਗਈਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਬਜਟ ਸਮੂਹ {(x,y,z)|ax+by+cz≤d,x≥0,y≥0,z≥0} ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਬਜਟ ਤਲ ਸਮੀਕਰਨ ax+by+cz=d ਦਾ ਉਹ ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ x≥0, y≥0, ਅਤੇ z≥0। a=$8, b=$5, c=$10, ਅਤੇ d=$500 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
14. ਬਜਟ ਸਮੂਹ ਅਤੇ ਬਜਟ ਤਲ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ CAS (Computer Algebra System) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
15. z=25 ਲਈ, ਨਵਾਂ ਬਜਟ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਸੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਬਜਟ ਸਮੂਹ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
16. ਇੱਕ ਕਣ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ r(t)=〈sint,cost,2t〉 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ t∈[0,3], ਜਿੱਥੇ r ਦੇ ਭਾਗ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ ਅਤੇ ਸਮਾਂ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। OP→, 11 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਕਣ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਹੈ।
17. 11 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਕਣ ਦੇ ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ v(1) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
18. ਬਿੰਦੂ P ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਅਤੇ v(1) ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਤਲ ਦਾ ਸਕੇਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਇਸ ਤਲ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ P 'ਤੇ ਕਣ ਦੇ ਪਥ ਦਾ ਲੰਬ ਤਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
19. ਬਿੰਦੂ P 'ਤੇ ਕਣ ਦੇ ਪਥ, ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਲੰਬ ਤਲ ਨੂੰ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
20. ਇੱਕ ਘਰ ਦੀ ਛੱਤ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੋਲਰ ਪੈਨਲ ਲਗਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਪੈਨਲ ਨੂੰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ) A(8,0,0), B(8,18,0), C(0,18,8), ਅਤੇ D(0,0,8) ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਅਗਲੀ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)।
21. ਬਿੰਦੂਆਂ A, B, ਅਤੇ C ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੋਲਰ ਪੈਨਲ ਵਾਲੇ ਤਲ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਇਸਦਾ ਲੰਬ ਵੈਕਟਰ AB→×AD→ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
22. ਸੋਲਰ ਪੈਨਲ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵੈਕਟਰ s=1/3i+1/3j+1/3k ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ L1 ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੋ ਦਿਨ ਦੇ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸਮੇਂ 'ਤੇ ਸੂਰਜ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
23. ਸੋਲਰ ਪੈਨਲ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ L2 ਦਾ ਸਮਤੁਲ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
24. ਰੇਖਾਵਾਂ L1 ਅਤੇ L2 ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੂਰਜ ਦੇ ਉੱਠਣ ਦੇ ਕੋਣ ਨੂੰ ਸੋਲਰ ਪੈਨਲ ਦੇ ਉੱਪਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।