ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2.6.1 ਸਿਲੰਡਰ ਨੂੰ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ।
2.6.2 ਅੰਡਾਕਾਰ, ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ ਅਤੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲੋਇਡ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ।
2.6.3 ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨਾਂ ਨਾਲ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਟ੍ਰੇਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਰੇਖਾਵਾਂ, ਸਮਤਲਾਂ ਅਤੇ ਗੋਲਿਆਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੇ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮਤਲਾਂ ਅਤੇ ਗੋਲਿਆਂ ਦੇ ਆਪਣੇ ਗਿਆਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਸਤ੍ਹਾ ਨਾਮਕ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਆਕਾਰਾਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਣ ਹਨ, ਤਾਂ ਜੋ ਹੋਰ ਕਈ ਸਤ੍ਹਾਵਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਿਲੰਡਰਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਪਹਿਲੀ ਸਤ੍ਹਾ ਜਿਸ ਦੀ ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਉਹ ਸਿਲੰਡਰ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਲੋਕ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ਬਦ ਸੁਣਨ 'ਤੇ ਤੁਰੰਤ ਇੱਕ ਖੋਖਲੀ ਪਾਈਪ ਜਾਂ ਸੋਡਾ ਸਟਰਾਅ ਬਾਰੇ ਸੋਚਦੇ ਹਨ, ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸ਼ਬਦ ਦੇ ਵਿਆਪਕ ਗਣਿਤਿਕ ਅਰਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਸਤ੍ਹਾਵਾਂ ਨੂੰ ਗੋਲ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਹੀਟਿੰਗ ਡਕਟ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਰੋਲਡ-ਅੱਪ ਯੋਗਾ ਮੈਟ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਸਪਿਰਲ ਆਕਾਰ ਹੈ।
ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ x²+y²=9 ਮੂਲ 'ਤੇ 3 ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ, ਇਹੋ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਸਤ੍ਹਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। z-ਐਕਸਿਸ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉੱਪਰ ਸਟੈਕ ਕੀਤੇ ਚੱਕਰਾਂ ਦੀਆਂ ਕਾਪੀਆਂ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ (ਚਿੱਤਰ 2.75), ਇੱਕ ਖੋਖਲੀ ਟਿਊਬ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋਏ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਚੱਕਰ x²+y²=9 ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀਆਂ z-ਐਕਸਿਸ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਵਕਰ ਇੱਕ ਸਤ੍ਹਾ ਬਣਨ ਲਈ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.75: ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ x²+y²=9 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ z-ਐਕਸਿਸ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 3 ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਹੈ। ਇਹ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਜੋ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਵਕਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਸਤ੍ਹਾ, ਜਾਂ ਸਿਲੰਡਰ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਰੂਲਿੰਗਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਅਜੇ ਵੀ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਵਕਰ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਕੋਈ ਵੀ ਵਕਰ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਬਣਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਰੂਲਿੰਗਸ ਜੋ ਸਿਲੰਡਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਉਹ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 2.76)।
ਚਿੱਤਰ 2.76: ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ z=x³ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਹੈ, ਜਾਂ y-ਐਕਸਿਸ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਰੂਲਿੰਗਸ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਸਤ੍ਹਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.55
ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਸਤ੍ਹਾਵਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਸਤ੍ਹਾਵਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
x²+z²=25
z=2x²−y
y=sinx
ਹੱਲ
y ਵੇਰੀਏਬਲ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਬਿਨਾਂ ਸੀਮਾ ਦੇ ਲੈ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਸਤ੍ਹਾ ਨੂੰ ਰੂਲ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ y-ਐਕਸਿਸ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹਨ। ਇਸ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ xz-ਪਲੇਨ ਨਾਲ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ 5 ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ ਵਾਲਾ ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ (ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)। ਚਿੱਤਰ 2.77 ਸਮੀਕਰਨ x²+z²=25 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ y-ਐਕਸਿਸ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 5 ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਹੈ।
ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ —x, y, ਅਤੇ z— ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਵੇਰੀਏਬਲ ਮਨਮਾਨੇ ਢੰਗ ਨਾਲ ਨਹੀਂ ਬਦਲ ਸਕਦਾ। ਇਸ ਸਤ੍ਹਾ ਨੂੰ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ ਕੰਪਿਊਟਰ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਹੈ (ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)। ਚਿੱਤਰ 2.78
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, z ਵੇਰੀਏਬਲ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਬਿਨਾਂ ਸੀਮਾ ਦੇ ਲੈ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਸਤ੍ਹਾ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ z-ਐਕਸਿਸ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹਨ। ਇਸ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ xy-ਪਲੇਨ ਨਾਲ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਵਕਰ y=sinx ਨੂੰ ਰੂਪਰੇਖਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ (ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)। ਚਿੱਤਰ 2.79 ਸਮੀਕਰਨ y=sinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਵਕਰ y=sinx ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀਆਂ z-ਐਕਸਿਸ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੁਆਰਾ ਬਣਦਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.52
1. ਸਿਲੰਡਰਕਲ ਸਤਹ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ z=y2.z=y2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਕੈਚ ਜਾਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਟੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
2. ਸਤਹਾਂ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਪਲੇਨ ਨਾਲ ਸਤਹ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਵਕਰ ਟ੍ਰੇਸ ਕਹਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 2.80 ਵਿੱਚ ਸਿਲੰਡਰ ਦੇ ਪਲਾਟ ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
3. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
4. ਕਿਸੇ ਸਤਹ ਦੇ ਟ੍ਰੇਸ ਉਹ ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਪਲੇਨ ਨਾਲ ਸਤਹ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਬਣਦੇ ਹਨ।
5. ਚਿੱਤਰ 2.80: (a) ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ z=sinx.z=sinx ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਹੈ। (b) xz-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਟ੍ਰੇਸ ਲੱਭਣ ਲਈ, y=0.y=0 ਸੈੱਟ ਕਰੋ। ਟ੍ਰੇਸ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਸਾਈਨ ਵੇਵ ਹੈ।
6. ਸਿਲੰਡਰਕਲ ਸਤਹਾਂ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨ ਲਈ ਟ੍ਰੇਸ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਲਈ, ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਟ੍ਰੇਸ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 2.80 ਵਿੱਚ ਦੇਖੋ, ਕਿ xz-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ z=sinxz=sinx ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਟ੍ਰੇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਟ੍ਰੇਸ ਸਿਰਫ਼ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਹੈ, ਅਤੇ yz-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਟ੍ਰੇਸ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੈ।
7. ਸਿਲੰਡਰਕਲ ਸਤਹਾਂ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਰੀਆਂ ਸਤਹਾਂ ਇੰਨੀ ਸਧਾਰਨ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਨਹੀਂ ਬਣਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਤਹਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਟ੍ਰੇਸ ਇਸ ਜਾਂਚ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸਾਧਨ ਹਨ।
8. ਕੁਆਡਰਿਕ ਸਤਹਾਂ
9. ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਸਤਹਾਂ ਬਾਰੇ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ; ਇਹ ਪਲੇਨ ਹਨ। ਕੁਝ ਹੋਰ ਆਮ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਸਤਹਾਂ ਨੂੰ ਦੂਜੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਤਹਾਂ ਨੂੰ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਵਿਸਥਾਰ ਵਜੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਬਾਰੇ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸੀ: ਇੱਲਿਪਸ, ਪਰਬੋਲਾ, ਅਤੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ। ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਨੂੰ ਕੁਆਡਰਿਕ ਸਤਹਾਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
10. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
11. ਕੁਆਡਰਿਕ ਸਤਹਾਂ ਉਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
12. ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਕੁਆਡਰਿਕ ਸਤਹ ਕਿਸੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਟ੍ਰੇਸ ਇੱਕ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
13. ਇੱਕ ਇੱਲਿਪਸੋਇਡ ਇੱਕ ਸਤਹ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ x2a2+y2b2+z2c2=1.x2a2+y2b2+z2c2=1 ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। yz-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਲਿਪਸੋਇਡ ਦੇ ਟ੍ਰੇਸ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਲਈ x=0x=0 ਸੈੱਟ ਕਰੋ। xy- ਅਤੇ xz-ਪਲੇਨਾਂ ਵਿੱਚ ਟ੍ਰੇਸ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ z=0z=0 ਅਤੇ y=0,y=0 ਸੈੱਟ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ, ਜੇਕਰ a=b,a=b, ਤਾਂ xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਟ੍ਰੇਸ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ a=c,a=c, ਤਾਂ xz-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਟ੍ਰੇਸ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੈ ਅਤੇ, ਜੇਕਰ b=c,b=c, ਤਾਂ yz-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਟ੍ਰੇਸ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਗੋਲਾ a=b=c.a=b=c ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਇੱਲਿਪਸੋਇਡ ਹੈ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 2.56
15. ਇੱਕ ਇੱਲਿਪਸੋਇਡ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨਾ
16. ਇੱਲਿਪਸੋਇਡ x222+y232+z252=1.x222+y232+z252=1 ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
17. ਹੱਲ
18. ਟ੍ਰੇਸ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਟ੍ਰੇਸ ਲੱਭਣ ਲਈ, z=0:z=0 ਸੈੱਟ ਕਰੋ: x222+y232=1x222+y232=1 (ਚਿੱਤਰ 2.81 ਦੇਖੋ)। ਹੋਰ ਟ੍ਰੇਸ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ y=0y=0 ਸੈੱਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ x=0.x=0 ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
19. ਚਿੱਤਰ 2.81: (a) ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ਼ xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ x222+y232+z252=1x222+y232+z252=1 ਦੇ ਟ੍ਰੇਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ z=0.z=0 ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। (b) ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ y=0,y=0 ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ xz-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਲਿਪਸੋਇਡ ਦਾ ਟ੍ਰੇਸ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਇੱਲਿਪਸ ਹੈ। (c) ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ x=0,x=0 ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ yz-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਲਿਪਸੋਇਡ ਦਾ ਟ੍ਰੇਸ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਇੱਲਿਪਸ ਵੀ ਹੈ।
20. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਠੋਸ ਦੇ ਟ੍ਰੇਸ ਕਿਹੋ ਜਿਹੇ ਦਿਖਦੇ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਤਹ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 2.82)।
21. ਚਿੱਤਰ 2.82: (a) ਟ੍ਰੇਸ ਸਤਹ ਲਈ ਇੱਕ ਢਾਂਚਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। (b) ਇਸ ਇੱਲਿਪਸੋਇਡ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਹੈ।
22. ਇੱਕ ਇੱਲਿਪਸੋਇਡ ਦਾ ਟ੍ਰੇਸ ਹਰੇਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇੱਲਿਪਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਸਾਰੀਆਂ ਕੁਆਡਰਿਕ ਸਤਹਾਂ ਲਈ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਕੁਆਡਰਿਕ ਸਤਹਾਂ ਦੇ ਟ੍ਰੇਸ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਤਹ ਦੇ ਨਾਮ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸਤਹ ਨੂੰ x2a2+y2b2=zc.x2a2+y2b2=zc ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਸ ਸਤਹ ਨੂੰ ਇੱਕ ਇੱਲਿਪਟਿਕ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਟ੍ਰੇਸ ਇੱਕ ਇੱਲਿਪਸ ਹੈ, ਪਰ xz-ਪਲੇਨ ਅਤੇ yz-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਟ੍ਰੇਸ ਪਰਬੋਲਾ (ਚਿੱਤਰ 2.83) ਹਨ। ਹੋਰ ਇੱਲਿਪਟਿਕ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡਸ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਅਭਿਨਿਆਸ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ x2a2+z2c2=ybx2a2+z2c2=yb ਜਾਂ y2b2+z2c2=xa.y2b2+z2c2=xa ਦੇ ਰੇਖੀ ਪਦ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਵੇਰੀਏਬਲ ਮਿਲ ਸਕੇ।
23. ਚਿੱਤਰ 2.83: ਇਸ ਕੁਆਡਰਿਕ ਸਤਹ ਨੂੰ ਇੱਲਿਪਟਿਕ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 2.57
ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤਹਾਂ ਦੇ ਨਿਸ਼ਾਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਅੰਡਾਕਾਰ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ $x^2+y^2/2^2=z/5$ ਦੇ ਨਿਸ਼ਾਨਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਨਿਸ਼ਾਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, $z=0$ ਸੈੱਟ ਕਰੋ: $x^2+y^2/2^2=0$। $z=0$ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਨਿਸ਼ਾਨ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਮੂਲ। ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਇਕੱਲਾ ਬਿੰਦੂ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਹੀਂ ਦੱਸਦਾ ਕਿ ਆਕਾਰ ਕੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਹੋਰ ਨਿਸ਼ਾਨਾਂ ਦਾ ਆਕਾਰ ਲੱਭਣ ਲਈ z-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੇ ਪਲੇਨ ਤੱਕ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
$z=5$ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਨਿਸ਼ਾਨ ਸਮੀਕਰਨ $x^2+y^2/2^2=1$ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ। xz-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ $z=5x^2$ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਿਸ਼ਾਨ ਇਸ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਅਤੇ $y=b$ ਸਮੀਕਰਨ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਹੈ।
yz-ਪਲੇਨ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਪਲੇਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਨਿਸ਼ਾਨ ਵੀ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 2.84: (a) ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ $x^2+y^2/2^2=z/5$। (b) $z=5$ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਨਿਸ਼ਾਨ। (c) xz-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਨਿਸ਼ਾਨ। (d) yz-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਨਿਸ਼ਾਨ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.53
ਇੱਕ ਸ਼ੀਟ ਦਾ ਹਾਈਪਰਬੋਲੋਇਡ ਕੋਈ ਵੀ ਸਤਹ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ $x^2/a^2+y^2/b^2−z^2/c^2=1$ ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸ਼ੀਟ ਦੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲੋਇਡ ਦੇ ਨਿਸ਼ਾਨਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ $x^2/3^2+y^2/2^2−z^2/5^2=1$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸ਼ੀਟ ਦੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲੋਇਡਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਦਿਲਚਸਪ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਧੀਆਂ ਲਾਈਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2.85(a) ਵਿੱਚ ਮੂਰਤੀ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰਮਾਣੂ ਸ਼ਕਤੀ ਪਲਾਂਟਾਂ ਲਈ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲੋਇਡ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਬਿਲਡਰ ਸਟੀਲ ਦੀਆਂ ਸਿੱਧੀਆਂ ਬੀਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਮਰੱਥ ਹਨ, ਜੋ ਟਾਵਰਾਂ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਮਜ਼ਬੂਤ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦੋਂ ਕਿ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਸਮੱਗਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 2.85(b))।
ਚਿੱਤਰ 2.85: (a) ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲੋਇਡ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਇੱਕ ਮੂਰਤੀ ਸਿੱਧੀਆਂ ਲਾਈਨਾਂ ਨਾਲ ਬਣਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। (b) ਪ੍ਰਮਾਣੂ ਸ਼ਕਤੀ ਪਲਾਂਟਾਂ ਲਈ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਅਕਸਰ ਹਾਈਪਰਬੋਲੋਇਡ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.58
ਚੈਪਟਰ ਓਪਨਰ: ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਦੇ ਫੋਕਸ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਦੀ ਸਤਹ 'ਤੇ ਪੈਣ ਵਾਲੀ ਊਰਜਾ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਦੇ ਫੋਕਲ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.86)। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਦੀ ਸਤਹ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ $x^2/100+y^2/100=z/4$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਦਾ ਫੋਕਲ ਪੁਆਇੰਟ ਕਿੱਥੇ ਹੈ?
ਚਿੱਤਰ 2.86: ਊਰਜਾ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਤੋਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਫੋਕਲ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: CGP Grey, Wikimedia Commons ਦਾ ਸੋਧ)
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ $z$ ਪਹਿਲੀ-ਪਾਵਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ, ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਦਾ ਧੁਰਾ z-ਧੁਰੇ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ। $x^2$ ਅਤੇ $y^2$ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ z-ਧੁਰੇ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ ਦਾ ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ xz-ਪਲੇਨ ਜਾਂ yz-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਾਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ; ਨਤੀਜਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ। $y=0$ ਸੈੱਟ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਨਿਸ਼ਾਨ z-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਸਮੀਕਰਨ $x^2=4pz$ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $p$ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੀ ਫੋਕਲ ਲੰਬਾਈ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ $x^2=100 \cdot z/4=4pz$ ਜਾਂ $25=4p$ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ $p$ 6.25 ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ ਦਾ ਫੋਕਸ ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ 6.25 ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਸਤਹ ਦਾ ਸਿਖਰ ਮੂਲ ਹੈ, ਫੋਕਲ ਪੁਆਇੰਟ (0,0,6.25) ਹੈ।
ਸਤਾਰਾਂ ਸਟੈਂਡਰਡ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤਹਾਂ ਨੂੰ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਲੋਕਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਦੋ ਤਸਵੀਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤਹ ਦਾ "ਧੁਰਾ" ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਧੁਰਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਸੇ "ਧੁਰੇ" ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਲੇਨ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਸਤਹ 'ਤੇ ਸਾਰੇ ਨਿਸ਼ਾਨ ਇੱਕੋ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਕਿਸਮ ਦੇ ਹੋਣਗੇ।
ਚਿੱਤਰ 2.87: ਆਮ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤਹਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ: ਅੰਡਾਕਾਰ, ਇੱਕ ਸ਼ੀਟ ਦਾ ਹਾਈਪਰਬੋਲੋਇਡ, ਦੋ ਸ਼ੀਟਾਂ ਦਾ ਹਾਈਪਰਬੋਲੋਇਡ।
ਚਿੱਤਰ 2.88: ਆਮ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤਹਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ: ਅੰਡਾਕਾਰ ਕੋਨ, ਅੰਡਾਕਾਰ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ, ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.59
ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤਹਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਸਤਹਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
16x^2+9y^2+16z^2=144
9x^2−18x+4y^2+16y−36z+25=0
ਹੱਲ
x, y, ਅਤੇ z ਦੇ ਪਦ ਸਾਰੇ ਵਰਗ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਧਨ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਸੰਭਵ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੱਖੀਏ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ 16x^2+9y^2+16z^2=144 ਹੈ। 144 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇਣ 'ਤੇ x^2/9+y^2/16+z^2/9=1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ z ਦਾ ਪਦ ਸਿਰਫ਼ ਪਹਿਲੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਜਾਂ ਤਾਂ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ ਹੈ ਜਾਂ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x ਅਤੇ y ਦੇ ਪਦ ਹਨ ਜੋ ਵਰਗ ਨਹੀਂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤਹ ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਲਈ ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ 9x^2−18x+4y^2+16y−36z+25=0 ਹੈ। 9x^2−18x+4y^2+16y+25=36z 9(x^2−2x)+4(y^2+4y)+25=36z 9(x^2−2x+1−1)+4(y^2+4y+4−4)+25=36z 9(x−1)^2−9+4(y+2)^2−16+25=36z 9(x−1)^2+4(y+2)^2=36z (x−1)^2/4+(y+2)^2/9=z ਹੈ। ਇਹ (1,2,0) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 2.54
ਸਮੀਕਰਨ 9x^2+y^2−z^2+2z−10=0 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਸਤਹ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਸਿਲੰਡਰ ਸਤਹ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
x^2+z^2=1
x^2+y^2=9
z=cos(π/2+x)
z=e^x
z=9−y^2
z=ln(x)
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤਹ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤਹ ਦਾ ਨਾਮ ਦੱਸੋ।
ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤਹ ਦਾ ਧੁਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤਹ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਮੇਲ ਕਰੋ।
x^2/4+y^2/9−z^2/12=1
x^2/4−y^2/9−z^2/12=1
x^2/4+y^2/9+z^2/12=1
z=4x^2+3y^2
z=4x^2−y^2
4x² + y² - z² = 0
ਦੋ ਸ਼ੀਟਾਂ ਵਾਲਾ ਹਾਈਪਰਬੋਲੋਇਡ
ਇਲਿਪਸੋਇਡ
ਇਲਿਪਟਿਕ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ
ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ
ਇੱਕ ਸ਼ੀਟ ਵਾਲਾ ਹਾਈਪਰਬੋਲੋਇਡ
ਇਲਿਪਟਿਕ ਕੋਨ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤਹ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। ਸਤਹ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
- x² + 36y² + 36z² = 9
-4x² + 25y² + z² = 100
-3x² + 5y² - z² = 10
3x² - y² - 6z² = 18
5y = x² - z²
8x² - 5y² - 10z = 0
x² + 5y² + 3z² - 15 = 0
63x² + 7y² + 9z² - 63 = 0
x² + 5y² - 8z² = 0
5x² - 4y² + 20z² = 0
6x = 3y² + 2z²
49y = x² + 7z²
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਤਲ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤਹ ਦਾ ਟ੍ਰੇਸ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
x² + z² + 4y = 0, z = 0
x² + z² + 4y = 0, x = 0
-4x² + 25y² + z² = 100, x = 0
−4x^2+25y^2+z^2=100,y=0
x^2+y^2/4+z^2/100=1,x=0
x^2−y−z^2=1,y=0
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉੱਤਰ ਦਿਓ।
ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਨਾਮ ਦੱਸੋ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ—16x^2+9y^2+36z^2=3600, 9x^2+36y^2+16z^2=3600, 16x^2+9y^2+36z^2=3600, 9x^2+36y^2+16z^2=3600, ਜਾਂ 36x^2+9y^2+16z^2=3600?
b. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉੱਤਰ ਦਿਓ।
ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਨਾਮ ਦੱਸੋ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ—36z=9x^2+y^2, 9x^2+4y^2=36z, ਜਾਂ −36z=−81x^2+4y^2?
b. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਤ੍ਹਾ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
x^2+2z^2+6x−8z+1=0
4x^2−y^2+z^2−8x+2y+2z+3=0
x^2+4y^2−4z^2−6x−16y−16z+5=0
x^2+z^2−4y+4=0
x^2+y^2/4−z^2/3+6x+9=0
x^2−y^2+z^2−12z+2x+37=0
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipsoid) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲਿਖੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ A(2,0,0), B(0,0,1), ਅਤੇ C(12,11,12) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
ਬਿੰਦੂ P(1,1,0) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipsoid) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲਿਖੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ A(6,1,0), B(4,2,0) ਅਤੇ C(1,2,1) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
ਅੰਡਾਕਾਰ ਕੋਨ (elliptic cone) x^2−y^2−z^2=0 ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ x−12=y+13=z ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਨਾਲ ਕਾਟਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲੋਇਡ (parabolic hyperboloid) z=3x^2−2y^2 ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ x=3t, y=2t, z=19t, ਜਿੱਥੇ t∈ℝ, ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਨਾਲ ਕਾਟਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
1. P(x,y,z) ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤਹ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂ Q(0,−1,0) ਅਤੇ ਸਮਤਲ y=1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹਨ। ਸਤਹ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
2. P(x,y,z) ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤਹ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂ Q(0,2,0) ਅਤੇ ਸਮਤਲ y=−2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹਨ। ਸਤਹ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
3. ਜੇਕਰ ਪਰਵਲਈ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਦੀ ਸਤਹ ਦਾ ਵਰਣਨ ਸਮੀਕਰਨ 400z=x²+y² ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਦਾ ਨਾਭੀ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ।
4. ਪਰਵਲਈ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਜਿਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ z=20x²+20y² ਹੈ, 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਸਦਾ ਨਾਭੀ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ।
5. ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤਹ x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz+x+y+z=0 ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਸਮਤਲਾਂ ਤੱਕ ਘਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
6. ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤਹ x²+y²+z²−2xy−2xz+2yz−1=0 ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਸਮਤਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਤੱਕ ਘਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
7. [T] ਸਿਲੰਡਰ (x−1)²+y²=1 ਅਤੇ ਗੋਲਾ x²+y²+z²=4 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਚੌਰਾਹਾ ਵਿਵੀਆਨੀ ਵਕਰ (Viviani curve) ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ।
8. ਚੌਰਾਹੇ ਦੇ ਵਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਤਹਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਲੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। (ਸੰਕੇਤ: z ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ x ਅਤੇ y ਲੱਭੋ।)
9. ਗੋਲੇ x²+y²+z²=4 'ਤੇ ਚੌਰਾਹੇ ਦੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਲਜਬਰਾ ਸਿਸਟਮ (CAS) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
10. ਇੱਕ ਸ਼ੀਟ ਦਾ ਹਾਈਪਰਬੋਲੋਇਡ 25x²+25y²−z²=25 ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਕੋਨ −25x²+75y²+z²=0 ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਚੌਰਾਹੇ ਦੇ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਚੌਰਾਹੇ ਦੇ ਵਕਰਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ (ਸੰਕੇਤ: ਸਤਹਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਲੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਤੋਂ y ਲੱਭੋ।)
11. [T] ਸਿਲੰਡਰ 9x²+4y²=18 ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ 36x²+16y²+9z²=144 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਚੌਰਾਹੇ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਚੌਰਾਹੇ ਦੇ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
12. [T] ਇੱਕ ਸਫੇਰੋਇਡ (spheroid) ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਅਰਧ-ਧੁਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, z-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰੇ ਵਜੋਂ ਰੱਖਣ ਵਾਲੇ ਸਫੇਰੋਇਡ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x²/a²+y²/a²+z²/c²=1 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a ਅਤੇ c ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਸਫੇਰੋਇਡ ਨੂੰ ਚਪਟਾ (oblate) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ c<a, ਅਤੇ ਲੰਮਾ (prolate) ਜੇਕਰ c>a।
13. ਅੱਖ ਦੇ ਕਾਰਨੀਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਲੰਮੇ ਸਫੇਰੋਇਡ (prolate spheroid) ਵਜੋਂ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਧੁਰਾ ਅੱਖ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a=8.7mm ਅਤੇ c=9.6mm। ਕਾਰਨੀਆ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸਫੇਰੋਇਡ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਸਤਹ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
14. ਲੰਮੇ ਸਫੇਰੋਇਡ (prolate spheroid) ਆਕਾਰ ਵਾਲੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਦੋ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦਿਓ।
15. [T] ਕਾਰਟੋਗ੍ਰਾਫੀ (cartography) ਵਿੱਚ, ਧਰਤੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਦੀ ਬਜਾਏ ਇੱਕ ਚਪਟੇ ਸਫੇਰੋਇਡ (oblate spheroid) ਵਜੋਂ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਵਿਸ਼ਵ ਰੇਖਾ (equator) ਅਤੇ ਧਰੁਵਾਂ (poles) 'ਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲਗਭਗ 3963 ਮੀਲ ਅਤੇ 3950 ਮੀਲ ਹਨ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ।
16. ਧਰਤੀ ਦੇ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਧਰਤੀ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਸਮਤਲ z=0 ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਟ੍ਰੇਸ (trace) ਵਿਸ਼ਵ ਰੇਖਾ (equator) ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ।
17. ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
18. xy-ਸਮਤਲ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਸਮਤਲ z=1000 ਨਾਲ ਸਤਹ ਦੇ ਚੌਰਾਹੇ ਦੇ ਵਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। ਚੌਰਾਹੇ ਦੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਸਮਾਂਤਰ (parallel) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
19. z-ਧੁਰੇ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਸਮਤਲ x+y=0 ਨਾਲ ਸਤਹ ਦੇ ਚੌਰਾਹੇ ਦੇ ਵਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। ਚੌਰਾਹੇ ਦੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਮੈਰੀਡੀਅਨ (meridian) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
20. [T] ਬਜ਼ਿੰਗ ਸਟੰਟ ਮੈਗਨੈਟਸ (buzzing stunt magnets) ਜਾਂ “ਰੈਟਲਸਨੇਕ ਐੱਗਜ਼” (rattlesnake eggs) ਦੇ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ ਦੋ ਚਮਕਦਾਰ, ਪਾਲਿਸ਼ ਕੀਤੇ, ਸੁਪਰਸਟਰੌਂਗ ਸਫੇਰੋਇਡ-ਆਕਾਰ ਦੇ ਮੈਗਨੈਟ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ ਜੋ ਬੱਚਿਆਂ ਦੇ ਮਨੋਰੰਜਨ ਲਈ ਮਸ਼ਹੂਰ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਮੈਗਨੈਟ 1.625 ਇੰਚ ਲੰਬਾ ਅਤੇ ਮੱਧ ਵਿੱਚ 0.5 ਇੰਚ ਚੌੜਾ ਹੈ। ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਸੁੱਟਣ ਵੇਲੇ, ਉਹ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਆਕਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਗੂੰਜਣ ਵਾਲੀ ਆਵਾਜ਼ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ।
21. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਲੰਮੇ ਸਫੇਰੋਇਡ (prolate spheroid) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ ਜੋ ਇੱਕ ਮੈਗਨੈਟ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
22. ਬਜ਼ਿੰਗ ਸਟੰਟ ਮੈਗਨੈਟਸ (buzzing stunt magnets) ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਲੰਮੇ ਸਫੇਰੋਇਡ (prolate spheroids) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
23. [T] ਇੱਕ ਦਿਲ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਸਤਹ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ (x²+9/4y²+z²−1)³−x²z³−9/80y²z³=0 ਹੈ।
24. ਇਸ ਆਕਾਰ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੀ ਸਤਹ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1. ਦਿਲ-ਆਕਾਰ ਦੀ ਸਤਹ ਦਾ xz-ਤਲ ਉੱਤੇ ਟਰੇਸ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
2. [T] z-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਮਿਤੀ ਵਾਲਾ ਰਿੰਗ ਟੋਰਸ ਟੋਪੋਲੋਜੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸਤਹ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ (x2+y2+z2+R2−r2)2=4R2(x2+y2) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ R>r>0। R ਅਤੇ r ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸਤਹ ਦੇ ਮੇਜਰ ਅਤੇ ਮਾਈਨਰ ਰੇਡੀਅਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ R=2 ਅਤੇ r=1 ਵਾਲੇ ਰਿੰਗ ਟੋਰਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
3. R=2 ਅਤੇ r=1 ਵਾਲੇ ਰਿੰਗ ਟੋਰਸ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ, ਅਤੇ ਸਤਹ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ CAS (ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਲਜਬਰਾ ਸਿਸਟਮ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
4. a. ਤੋਂ ਰਿੰਗ ਟੋਰਸ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ xy-ਤਲ ਉੱਤੇ ਇਸਦਾ ਟਰੇਸ ਬਣਾਓ।
5. ਰਿੰਗ ਟੋਰਸ ਆਕਾਰ ਵਾਲੀਆਂ ਦੋ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ।