ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
4.5.1 ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੋ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਲਈ ਚੇਨ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਦੱਸੋ।
4.5.2 ਕਈ ਸੁਤੰਤਰ ਅਤੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਲਈ ਚੇਨ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਵਿੱਚ ਸਹਾਇਤਾ ਵਜੋਂ ਟ੍ਰੀ ਡਾਇਗਰਾਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4.5.3 ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਵਿਭੇਦਨ ਨੂੰ ਕਰੋ।
ਇਕ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਕੈਲਕੂਲਸ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਾਇਆ ਕਿ ਵਿਭੇਦਨ ਨਿਯਮਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਉਪਯੋਗੀ ਚੇਨ ਨਿਯਮ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਮਲਟੀ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਕੈਲਕੂਲਸ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਸੱਚ ਹੈ, ਪਰ ਇਸ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਚੇਨ ਨਿਯਮ ਦੇ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਰੂਪ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਚੇਨ ਨਿਯਮ ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਿੱਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਰਚਨਾਵਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕਿਵੇਂ ਲੈਣੇ ਹਨ।
ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੋ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਲਈ ਚੇਨ ਨਿਯਮ
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲਈ ਚੇਨ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, f(x)f(x) ਅਤੇ g(x)g(x) ਦੋਵੇਂ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ g ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਜਾਂ ਸ਼ਾਇਦ ਉਹ ਦੋਵੇਂ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ, ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਵੀ ਵੱਧ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕਰਾਂਗੇ? ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਥਿਊਰਮ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਲਈ ਜਵਾਬ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 4.8
ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਚੇਨ ਨਿਯਮ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ x=g(t)x=g(t) ਅਤੇ y=h(t)y=h(t) t ਦੇ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਅਤੇ z=f(x,y)z=f(x,y) x ਅਤੇ y ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਫਿਰ z=f(x(t),y(t))z=f(x(t),y(t)) t ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ
ਜਿੱਥੇ ਆਮ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ t 'ਤੇ ਅਤੇ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (x,y) 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਲਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਸਿੱਧ
ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਸਿੱਧ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗਤਾ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f ਬਿੰਦੂ P(x0,y0) 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x0=g(t0)x0=g(t0) ਅਤੇ y0=h(t0)y0=h(t0) t0 ਦੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਮੁੱਲ ਲਈ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ z=f(x(t),y(t))z=f(x(t),y(t)) t=t0 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ 4.29 ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ f P 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਜਿੱਥੇ lim(x,y)→(x0,y0)E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2=0। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ z0=f(x0,y0)z0=f(x0,y0) ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ:
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ t−t0 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਫਿਰ ਅਸੀਂ t0 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਾਲੇ t ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ dz/dt,dz/dt ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ
ਆਖਰੀ ਪਦ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ t, t0 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, (x(t),y(t))(x(t),y(t)) (x(t0),y(t0)),(x(t0),y(t0)) ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਆਖਰੀ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਕਿਉਂਕਿ ਪਹਿਲੀ ਸੀਮਾ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਦੂਜੀ ਸੀਮਾ ਸੀਮਤ ਹੈ:
ਕਿਉਂਕਿ x(t)x(t) ਅਤੇ y(t)y(t) ਦੋਵੇਂ t ਦੇ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ, ਆਖਰੀ ਰੈਡੀਕਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਦੋਵੇਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਮੌਜੂਦ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਮੁੱਲ ਸੀਮਤ ਹੈ। ਇਹ t=t0 'ਤੇ ਚੇਨ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕਰਦਾ ਹੈ; ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸਾ ਇਹ ਮੰਨਣ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਪਣੇ ਪੂਰੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਹਨ।
□
Closer examination of Equation 4.29 reveals an interesting pattern. The first term in the equation is ∂f∂x·dxdt∂f∂x·dxdt and the second term is ∂f∂y·dydt.∂f∂y·dydt. Recall that when multiplying fractions, cancelation can be used. If we treat these derivatives as fractions, then each product “simplifies” to something resembling ∂f/dt.∂f/dt. The variables xandyxandy that disappear in this simplification are often called intermediate variables: they are independent variables for the function f,f, but are dependent variables for the variable t.t. Two terms appear on the right-hand side of the formula, and ff is a function of two variables. This pattern works with functions of more than two variables as well, as we see later in this section.
Example 4.26
Using the Chain Rule
Calculate dz/dtdz/dt for each of the following functions:
z=f(x,y)=4x2+3y2,x=x(t)=sint,y=y(t)=costz=f(x,y)=4x2+3y2,x=x(t)=sint,y=y(t)=cost
z=f(x,y)=x2−y2,x=x(t)=e2t,y=y(t)=e−tz=f(x,y)=x2−y2,x=x(t)=e2t,y=y(t)=e−t
Solution
To use the chain rule, we need four quantities—∂z/∂x,∂z/∂y,dx/dt,∂z/∂x,∂z/∂y,dx/dt, and dy/dt:dy/dt: ∂z∂x=8x∂z∂y=6ydxdt=costdydt=−sint∂z∂x=8x∂z∂y=6ydxdt=costdydt=−sint Now, we substitute each of these into Equation 4.29: dzdt=∂z∂x·dxdt+∂z∂y·dydt=(8x)(cost)+(6y)(−sint)=8xcost−6ysint.dzdt=∂z∂x·dxdt+∂z∂y·dydt=(8x)(cost)+(6y)(−sint)=8xcost−6ysint. This answer has three variables in it. To reduce it to one variable, use the fact that x(t)=sintandy(t)=cost.x(t)=sintandy(t)=cost. We obtain dzdt=8xcost−6ysint=8(sint)cost−6(cost)sint=2sintcost.dzdt=8xcost−6ysint=8(sint)cost−6(cost)sint=2sintcost. This derivative can also be calculated by first substituting x(t)x(t) and y(t)y(t) into f(x,y),f(x,y), then differentiating with respect to t:t: z=f(x,y)=f(x(t),y(t))=4(x(t))2+3(y(t))2=4sin2t+3cos2t.z=f(x,y)=f(x(t),y(t))=4(x(t))2+3(y(t))2=4sin2t+3cos2t. Then dzdt=2(4sint)(cost)+2(3cost)(−sint)=8sintcost−6sintcost=2sintcost,dzdt=2(4sint)(cost)+2(3cost)(−sint)=8sintcost−6sintcost=2sintcost, which is the same solution. However, it may not always be this easy to differentiate in this form.
To use the chain rule, we again need four quantities—∂z/∂x,∂z/dy,dx/dt,∂z/∂x,∂z/dy,dx/dt, and dy/dt:dy/dt: ∂z∂x=xx2−y2∂z∂y=−yx2−y2dxdt=2e2tdydt=−e−t.∂z∂x=xx2−y2∂z∂y=−yx2−y2dxdt=2e2tdydt=−e−t. We substitute each of these into Equation 4.29: dzdt=∂z∂x·dxdt+∂z∂y·dydt=(xx2−y2)(2e2t)+(−yx2−y2)(−e−t)=2xe2t+ye−tx2−y2.dzdt=∂z∂x·dxdt+∂z∂y·dydt=(xx2−y2)(2e2t)+(−yx2−y2)(−e−t)=2xe2t+ye−tx2−y2. To reduce this to one variable, we use the fact that x(t)=e2tx(t)=e2t and y(t)=e−t.y(t)=e−t. Therefore, dzdt=2xe2t+ye−tx2−y2=2(e2t)e2t+(e−t)e−te4t−e−2t=2e4t+e−2te4t−e−2t.dzdt=2xe2t+ye−tx2−y2=2(e2t)e2t+(e−t)e−te4t−e−2t=2e4t+e−2te4t−e−2t. To eliminate negative exponents, we multiply the top by e2te2t and the bottom by e4t:e4t: dzdt=2e4t+e−2te4t−e−2t·e2te4t=2e6t+1e8t−e2t=2e6t+1e2t(e6t−1)=2e6t+1ete6t−1.dzdt=2e4t+e−2te4t−e−2t·e2te4t=2e6t+1e8t−e2t=2e6t+1e2t(e6t−1)=2e6t+1ete6t−1. Again, this derivative can also be calculated by first substituting x(t)x(t) and y(t)y(t) into f(x,y),f(x,y), then differentiating with respect to t:t: z=f(x,y)=f(x(t),y(t))=(x(t))2−(y(t))2=e4t−e−2t=(e4t−e−2t)1/2.z=f(x,y)=f(x(t),y(t))=(x(t))2−(y(t))2=e4t−e−2t=(e4t−e−2t)1/2. Then dzdt=12(e4t−e−2t)−1/2(4e4t+2e−2t)=2e4t+e−2te4t−e−2t.dzdt=12(e4t−e−2t)−1/2(4e4t+2e−2t)=2e4t+e−2te4t−e−2t. This is the same solution.
Checkpoint 4.23
Calculate dz/dtdz/dt given the following functions. Express the final answer in terms of t.t.
It is often useful to create a visual representation of Equation 4.29 for the chain rule. This is called a tree diagram for the chain rule for functions of one variable and it provides a way to remember the formula (Figure 4.34). This diagram can be expanded for functions of more than one variable, as we shall see very shortly.
Figure 4.34: Tree diagram for the case dzdt=∂z∂x·dxdt+∂z∂y·dydt.dzdt=∂z∂x·dxdt+∂z∂y·dydt.
In this diagram, the leftmost corner corresponds to z=f(x,y).z=f(x,y). Since ff has two independent variables, there are two lines coming from this corner. The upper branch corresponds to the variable xx and the lower branch corresponds to the variable y.y. Since each of these variables is then dependent on one variable t,t, one branch then comes from xx and one branch comes from y.y. Last, each of the branches on the far right has a label that represents the path traveled to reach that branch. The top branch is reached by following the xx branch, then the tt branch; therefore, it is labeled (∂z/∂x)×(dx/dt).(∂z/∂x)×(dx/dt). The bottom branch is similar: first the yy branch, then the tt branch. This branch is labeled (∂z/∂y)×(dy/dt).(∂z/∂y)×(dy/dt). To get the formula for dz/dt,dz/dt, add all the terms that appear on the rightmost side of the diagram. This gives us Equation 4.29.
In Chain Rule for Two Independent Variables, z=f(x,y)z=f(x,y) is a function of xandy,xandy, and both x=g(u,v)x=g(u,v) and y=h(u,v)y=h(u,v) are functions of the independent variables uandv.uandv.
Theorem 4.9
Chain Rule for Two Independent Variables
Suppose x=g(u,v)x=g(u,v) and y=h(u,v)y=h(u,v) are differentiable functions of uu and v,v, and z=f(x,y)z=f(x,y) is a differentiable function of xandy.xandy. Then, z=f(g(u,v),h(u,v))z=f(g(u,v),h(u,v)) is a differentiable function of uandv,uandv, and
and
We can draw a tree diagram for each of these formulas as well as follows.
Figure 4.35: Tree diagram for ∂z∂u=∂z∂x·∂x∂u+∂z∂y·∂y∂u∂z∂u=∂z∂x·∂x∂u+∂z∂y·∂y∂u and ∂z∂v=∂z∂x·∂x∂v+∂z∂y·∂y∂v.∂z∂v=∂z∂x·∂x∂v+∂z∂y·∂y∂v.
To derive the formula for ∂z/∂u,∂z/∂u, start from the left side of the diagram, then follow only the branches that end with uu and add the terms that appear at the end of those branches. For the formula for ∂z/∂v,∂z/∂v, follow only the branches that end with vv and add the terms that appear at the end of those branches.
There is an important difference between these two chain rule theorems. In Chain Rule for One Independent Variable, the left-hand side of the formula for the derivative is not a partial derivative, but in Chain Rule for Two Independent Variables it is. The reason is that, in Chain Rule for One Independent Variable, zz is ultimately a function of tt alone, whereas in Chain Rule for Two Independent Variables, zz is a function of both uandv.uandv.
Example 4.27
ਦੋ ਚਲਾਂ ਲਈ ਚੇਨ ਰੂਲ
1. ∂z/∂u∂z/∂u ਅਤੇ ∂z/∂v∂z/∂v ਦੀ ਗਣਨਾ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਰੋ:
1. ਨਿਵਾਰਨ
ਦੋ ਚਲਾਂ ਲਈ ਚੇਨ ਰੂਲ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਛੇ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ—∂z/∂x, ∂z/∂y, ∂x/∂u, ∂x/∂v, ∂y/∂u, ਅਤੇ ∂y/∂v:
1. ∂z/∂u, ∂z/∂u ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 4.31 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅਸੀਂ ਹੁਣ x(u,v)=3u+2v ਅਤੇ y(u,v)=4u−v ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ:
∂z/∂v, ∂z/∂v ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 4.32 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਤਦ ਅਸੀਂ x(u,v)=3u+2v ਅਤੇ y(u,v)=4u−v ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ:
ਚੌਥਾ ਪੜਾਅ 4.24
∂z/∂u∂z/∂u ਅਤੇ ∂z/∂v∂z/∂v ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਅਨੁਸਾਰ:
ਸਰਬ-ਵਿਆਪਕ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਨਿਯਮ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਮੂਲ ਚੇਨ ਰੂਲ ਨੂੰ ਵੇਖ ਲਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਪੁੱਛਣਾ ਕੁਦਰਤੀ ਹੈ: ਕੀ ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਜਵਾਬ ਹਾਂ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਆਮ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੱਸਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 4.10
ਸਰਬ-ਵਿਆਪਕ ਲੜੀ ਨਿਯਮ
1. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ w=f(x1,x2,…,xm)m ਸੁਤੰਤਰ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਫਲਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ i∈{1,…,m} ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ xi=xi(t1,t2,…,tn)n ਸੁਤੰਤਰ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਫਲਨ ਹੈ। ਫਿਰ
1. ਹਰੇਕ ਜੇ ∈ {1,2,…,n} ਲਈ।
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਸੁਤੰਤਰ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਅਵਕਲਨ (derivative) ਗਿਣਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨਾਂ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੋ ਹੋਰ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਾਂ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ।
1. ਚੌਥਾ ਅਧਿਆਇ, ਵੀਹਵਾਂ ਅਤੇ ਅੱਠਵਾਂ ਸ਼ਲੋਕ
ਸਧਾਰਨ ਚੇਨ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
1. ∂w/∂u∂w/∂u ਅਤੇ ∂w/∂v∂w/∂v ਦੀ ਗਣਨਾ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਰੋ:
1. ਹੱਲ
∂w/∂u∂w/∂u ਅਤੇ ∂w/∂v∂w/∂v ਦੇ ਸੂਤਰ ਹਨ
ਇਸ ਲਈ, ਨੌਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਅੰਸ਼ਿਕ ਵਿਉਤਪਤੀਆਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਅਤੇ ਸਥਾਪਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਹਰੇਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ:
1. ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ∂w/∂u:∂w/∂u ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ:
then substitute x(u,v)=eusinv,y(u,v)=eucosv,x(u,v)=eusinv,y(u,v)=eucosv, and z(u,v)=euz(u,v)=eu into this equation:
Next, we calculate ∂w/∂v:∂w/∂v:
then we substitute x(u,v)=eusinv,y(u,v)=eucosv,x(u,v)=eusinv,y(u,v)=eucosv, and z(u,v)=euz(u,v)=eu into this equation:
Checkpoint 4.25
Calculate ∂w/∂u∂w/∂u and ∂w/∂v∂w/∂v given the following functions:
Example 4.29
Drawing a Tree Diagram
Create a tree diagram for the case when
and write out the formulas for the three partial derivatives of w.w.
Solution
Starting from the left, the function ff has three independent variables: x,y,andz.x,y,andz. Therefore, three branches must be emanating from the first node. Each of these three branches also has three branches, for each of the variables t,u,andv.t,u,andv.
Figure 4.36: Tree diagram for a function of three variables, each of which is a function of three independent variables.
The three formulas are
Checkpoint 4.26
Create a tree diagram for the case when
and write out the formulas for the three partial derivatives of w.w.
Implicit Differentiation
Recall from Implicit Differentiation that implicit differentiation provides a method for finding dy/dxdy/dx when yy is defined implicitly as a function of x.x. The method involves differentiating both sides of the equation defining the function with respect to x,x, then solving for dy/dx.dy/dx. Partial derivatives provide an alternative to this method.
Consider the ellipse defined by the equation x2+3y2+4y−4=0x2+3y2+4y−4=0 as follows.
Figure 4.37: Graph of the ellipse defined by x2+3y2+4y−4=0.x2+3y2+4y−4=0.
This equation implicitly defines yy as a function of x.x. As such, we can find the derivative dy/dxdy/dx using the method of implicit differentiation:
We can also define a function z=f(x,y)z=f(x,y) by using the left-hand side of the equation defining the ellipse. Then f(x,y)=x2+3y2+4y−4.f(x,y)=x2+3y2+4y−4. The ellipse x2+3y2+4y−4=0x2+3y2+4y−4=0 can then be described by the equation f(x,y)=0.f(x,y)=0. Using this function and the following theorem gives us an alternative approach to calculating dy/dx.dy/dx.
Theorem 4.11
Implicit Differentiation of a Function of Two or More Variables
Suppose the function z=f(x,y)z=f(x,y) defines yy implicitly as a function y=g(x)y=g(x) of xx via the equation f(x,y)=0.f(x,y)=0. Then
provided fy(x,y)≠0.fy(x,y)≠0.
If the equation f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0 defines zz implicitly as a differentiable function of xandy,xandy, then
as long as fz(x,y,z)≠0.fz(x,y,z)≠0.
Equation 4.34 is a direct consequence of Equation 4.31. In particular, if we assume that yy is defined implicitly as a function of xx via the equation f(x,y)=0,f(x,y)=0, we can apply the chain rule to find dy/dx:dy/dx:
Solving this equation for dy/dxdy/dx gives Equation 4.34. Equation 4.35 can be derived in a similar fashion.
Let’s now return to the problem that we started before the previous theorem. Using Implicit Differentiation of a Function of Two or More Variables and the function f(x,y)=x2+3y2+4y−4,f(x,y)=x2+3y2+4y−4, we obtain
Then Equation 4.34 gives
which is the same result obtained by the earlier use of implicit differentiation.
Example 4.30
Implicit Differentiation by Partial Derivatives
Calculate dy/dxdy/dx if yy is defined implicitly as a function of xx via the equation 3x2−2xy+y2+4x−6y−11=0.3x2−2xy+y2+4x−6y−11=0. What is the equation of the tangent line to the graph of this curve at point (2,1)?(2,1)?
Calculate ∂z/∂x∂z/∂x and ∂z/∂y,∂z/∂y, given x2ey−yzex=0.x2ey−yzex=0.
Solution
Set f(x,y)=3x2−2xy+y2+4x−6y−11=0,f(x,y)=3x2−2xy+y2+4x−6y−11=0, then calculate fxfx and fy:fy: fx=6x−2y+4fy=−2x+2y−6.fx=6x−2y+4fy=−2x+2y−6. The derivative is given by dydx=−∂f/∂x∂f/∂y=−6x−2y+4−2x+2y−6=3x−y+2x−y+3.dydx=−∂f/∂x∂f/∂y=−6x−2y+4−2x+2y−6=3x−y+2x−y+3. The slope of the tangent line at point (2,1)(2,1) is given by dydx|(x,y)=(2,1)=3(2)−1+22−1+3=74.dydx|(x,y)=(2,1)=3(2)−1+22−1+3=74. To find an equation of the tangent line, we use the point-slope form (Figure 4.38): y−y0=m(x−x0)y−1=74(x−2)y=74x−72+1y=74x−52.y−y0=m(x−x0)y−1=74(x−2)y=74x−72+1y=74x−52. Figure 4.38 Graph of the rotated ellipse defined by 3x2−2xy+y2+4x−6y−11=0.3x2−2xy+y2+4x−6y−11=0.
We have f(x,y,z)=x2ey−yzex.f(x,y,z)=x2ey−yzex. Therefore, ∂f∂x=2xey−yzex∂f∂y=x2ey−zex∂f∂z=−yex.∂f∂x=2xey−yzex∂f∂y=x2ey−zex∂f∂z=−yex. Using Equation 4.35, ∂z∂x=−∂f/∂x∂f/∂z=−2xey−yzex−yex=2xey−yzexyexand∂z∂y=−∂f/∂y∂f/∂z=−x2ey−zex−yex=x2ey−zexyex.∂z∂x=−∂f/∂x∂f/∂z=−2xey−yzex−yex=2xey−yzexyexand∂z∂y=−∂f/∂y∂f/∂z=−x2ey−zex−yex=x2ey−zexyex.
Checkpoint 4.27
Find dy/dxdy/dx if yy is defined implicitly as a function of xx by the equation x2+xy−y2+7x−3y−26=0.x2+xy−y2+7x−3y−26=0. What is the equation of the tangent line to the graph of this curve at point (3,−2)?(3,−2)?
For the following exercises, use the information provided to solve the problem.
Let w(x,y,z)=xycosz,w(x,y,z)=xycosz, where x=t,y=t2,x=t,y=t2, and z=arcsint.z=arcsint. Find dwdt.dwdt.
Let w(t,v)=etvw(t,v)=etv where t=r+st=r+s and v=rs.v=rs. Find ∂w∂r∂w∂r and ∂w∂s.∂w∂s.
If w=5x2+2y2,x=−3s+t,w=5x2+2y2,x=−3s+t, and y=s−4t,y=s−4t, find ∂w∂s∂w∂s and ∂w∂t.∂w∂t.
If w=xy2,x=5cos(2t),w=xy2,x=5cos(2t), and y=5sin(2t),y=5sin(2t), find dwdt.dwdt.
If f(x,y)=xy,x=rcosθ,f(x,y)=xy,x=rcosθ, and y=rsinθ,y=rsinθ, find ∂f∂r∂f∂r and express the answer in terms of rr and θ.θ.
Suppose f(x,y)=x+y,f(x,y)=x+y, where x=rcosθx=rcosθ and y=rsinθ.y=rsinθ. Find ∂f∂θ.∂f∂θ.
For the following exercises, find dfdtdfdt using the chain rule and direct substitution.
f(x,y)=x2+y2,f(x,y)=x2+y2, x=t,y=t2x=t,y=t2
f ( x , y ) = x 2 + y 2 , y = t 2 , x = t f ( x , y ) = x 2 + y 2 , y = t 2 , x = t
f ( x , y ) = x y , x = 1 − t , y = 1 + t f ( x , y ) = x y , x = 1 − t , y = 1 + t
f ( x , y ) = x y , x = e t , y = 2 e t f ( x , y ) = x y , x = e t , y = 2 e t
f(x,y)=ln(x+y),f(x,y)=ln(x+y), x=et,y=etx=et,y=et
f(x,y)=x4,f(x,y)=x4, x=t,y=tx=t,y=t
Let w(x,y,z)=x2+y2+z2,w(x,y,z)=x2+y2+z2, x=cost,y=sint,x=cost,y=sint, and z=et.z=et. Express ww as a function of tt and find dwdtdwdt directly. Then, find dwdtdwdt using the chain rule.
Let z=x2y,z=x2y, where x=t2x=t2 and y=t3.y=t3. Find dzdt.dzdt.
Let u=exsiny,u=exsiny, where x=-ln2tx=-ln2t and y=πt.y=πt. Find dudtdudt when x=ln2x=ln2 and y=π4.y=π4.
For the following exercises, find dydxdydx using partial derivatives.
sin ( 6 x ) + tan ( 8 y ) + 5 = 0 sin ( 6 x ) + tan ( 8 y ) + 5 = 0
x 3 + y 2 x − 3 = 0 x 3 + y 2 x − 3 = 0
sin ( x + y ) + cos ( x − y ) = 4 sin ( x + y ) + cos ( x − y ) = 4
x 2 − 2 x y + y 4 = 4 x 2 − 2 x y + y 4 = 4
x e y + y e x − 2 x 2 y = 0 x e y + y e x − 2 x 2 y = 0
x 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3 x 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3
x cos ( x y ) + y cos x = 2 x cos ( x y ) + y cos x = 2
e x y + y e y = 1 e x y + y e y = 1
x 2 y 3 + cos y = 0 x 2 y 3 + cos y = 0
Find dzdtdzdt using the chain rule where z=3x2y3,x=t4,z=3x2y3,x=t4, and y=t2.y=t2.
Let z=3cosx−sin(xy),x=1t,z=3cosx−sin(xy),x=1t, and y=3t.y=3t. Find dzdt.dzdt.
Let z=e1−xy,x=t1/3,z=e1−xy,x=t1/3, and y=t3.y=t3. Find dzdt.dzdt.
Find dzdtdzdt by the chain rule where z=cosh2(xy),x=12t,z=cosh2(xy),x=12t, and y=et.y=et.
Let z=xy,x=2cosu,z=xy,x=2cosu, and y=3sinv.y=3sinv. Find ∂z∂u∂z∂u and ∂z∂v.∂z∂v.
Let z=ex2y,z=ex2y, where x=uvx=uv and y=1v.y=1v. Find ∂z∂u∂z∂u and ∂z∂v.∂z∂v.
If z=xyex/y,z=xyex/y, x=rcosθ,x=rcosθ, and y=rsinθ,y=rsinθ, find ∂z∂r∂z∂r and ∂z∂θ∂z∂θ when r=2r=2 and θ=π6.θ=π6.
Find ∂w∂s∂w∂s if w=4x+y2+z3,x=ers2,y=ln(r+st),w=4x+y2+z3,x=ers2,y=ln(r+st), and z=rst2.z=rst2.
If w=sin(xyz),x=1−3t,y=e1−t,w=sin(xyz),x=1−3t,y=e1−t, and z=4t,z=4t, find ∂w∂t.∂w∂t.
For the following exercises, use this information: A function f(x,y)f(x,y) is said to be homogeneous of degree nn if f(tx,ty)=tnf(x,y).f(tx,ty)=tnf(x,y). For all homogeneous functions of degree n,n, the following equation is true: x∂f∂x+y∂f∂y=nf(x,y).x∂f∂x+y∂f∂y=nf(x,y). Show that the given function is homogeneous and verify that x∂f∂x+y∂f∂y=nf(x,y).x∂f∂x+y∂f∂y=nf(x,y).
f ( x , y ) = 3 x 2 + y 2 f ( x , y ) = 3 x 2 + y 2
f ( x , y ) = x 2 + y 2 f ( x , y ) = x 2 + y 2
f ( x , y ) = x 2 y − 2 y 3 f ( x , y ) = x 2 y − 2 y 3
The volume of a right circular cylinder is given by V(x,y)=πx2y,V(x,y)=πx2y, where xx is the radius of the cylinder and y is the cylinder height. Suppose xx and yy are functions of tt given by x=12tx=12t and y=13ty=13t so that xandyxandy are both increasing with time. How fast is the volume increasing when x=2x=2 and y=43?y=43?
The pressure PP of a gas is related to the volume and temperature by the formula PV=kT,PV=kT, where temperature is expressed in kelvins. Express the pressure of the gas as a function of both VV and T.T. Find dPdtdPdt when k=1,k=1, dVdt=2dVdt=2 cm3/min, dTdt=12dTdt=12 K/min, V=20V=20 cm3, and T=20°F.T=20°F.
The radius of a right circular cone is increasing at 33 cm/min whereas the height of the cone is decreasing at 22 cm/min. Find the rate of change of the volume of the cone when the radius is 1313 cm and the height is 1818 cm.
The volume of a frustum of a cone is given by the formula V=13πz(x2+y2+xy),V=13πz(x2+y2+xy), where xx is the radius of the smaller circle, yy is the radius of the larger circle, and zz is the height of the frustum (see figure). Find the rate of change of the volume of this frustum when x=10in.,y=12in.,andz=18in.x=10in.,y=12in.,andz=18in. if dzdt=-5,dxdt=1,dydt=1dzdt=-5,dxdt=1,dydt=1 (all in/min).
A closed box is in the shape of a rectangular solid with dimensions x,y,andz.x,y,andz. (Dimensions are in inches.) Suppose each dimension is changing at the rate of 0.50.5 in./min. Find the rate of change of the total surface area of the box when x=2in.,y=3in.,andz=1in.x=2in.,y=3in.,andz=1in.
The total resistance in a circuit that has three individual resistances represented by x,y,x,y, and zz is given by the formula R(x,y,z)=xyzyz+xz+xy.R(x,y,z)=xyzyz+xz+xy. Suppose at a given time the xx resistance is 100Ω,100Ω, the y resistance is 200Ω,200Ω, and the zz resistance is 300Ω.300Ω. Also, suppose the xx resistance is changing at a rate of 2Ω/min,2Ω/min, the yy resistance is changing at the rate of 1Ω/min,1Ω/min, and the zz resistance has no change. Find the rate of change of the total resistance in this circuit at this time.
The temperature TT at a point (x,y)(x,y) is T(x,y)T(x,y) and is measured using the Celsius scale. A fly crawls so that its position after tt seconds is given by x=1+tx=1+t and y=2+13t,y=2+13t, where xandyxandy are measured in centimeters. The temperature function satisfies Tx(2,3)=4Tx(2,3)=4 and Ty(2,3)=3.Ty(2,3)=3. How fast is the temperature increasing on the fly’s path after 33 sec?
The xandyxandy components of a fluid moving in two dimensions are given by the following functions: u(x,y)=2yu(x,y)=2y and v(x,y)=−2x;v(x,y)=−2x; x≥0;y≥0.x≥0;y≥0. The speed of the fluid at the point (x,y)(x,y) is s(x,y)=u(x,y)2+v(x,y)2.s(x,y)=u(x,y)2+v(x,y)2. Find ∂s∂x∂s∂x and ∂s∂y∂s∂y using the chain rule.
Let u=u(x,y,z),u=u(x,y,z), where x=x(w,t),y=y(w,t),z=z(w,t),w=w(r,s),andt=t(r,s).x=x(w,t),y=y(w,t),z=z(w,t),w=w(r,s),andt=t(r,s). Use a tree diagram and the chain rule to find an expression for ∂u∂r.∂u∂r.