ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
4.6.1 ਦੋ ਚਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਦਿੱਤੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
4.6.2 ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਅਸਲ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
4.6.3 ਸਤਹ ਦੇ ਨਾਲ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਮਹੱਤਵ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
4.6.4 ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ (level curve) ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ (tangent) ਲੱਭਣ ਲਈ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4.6.5 ਤਿੰਨ ਮਾਪਾਂ (dimensions) ਵਿੱਚ ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਤੇ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (Partial Derivatives) ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਪਾਠ ਪੜ੍ਹਿਆ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ z=f(x,y) ਦੇ ਦੋ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ∂z/∂x ਅਤੇ ∂z/∂y। ਇਹ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹਰੇਕ ਸੁਤੰਤਰ ਚਲ (independent variable) ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਤਤਕਾਲ ਦਰ (instantaneous rates of change) ਵਜੋਂ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਯਾਨੀ, ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਵਜੋਂ)। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ∂z/∂x, z=f(x,y) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਤਹ 'ਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਕਿ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ∂z/∂y, y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ
ਅਸੀਂ z=f(x,y) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਤਹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। f ਦੇ ਡੋਮੇਨ (domain) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (a,b) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਯਾਤਰਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕੋਣ θ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਾਪਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ x, y-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਵਾਮ-ਵਰਤ (counterclockwise) ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋ ਕੇ ਸਿਫਰ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 4.39)। ਸਾਡੀ ਯਾਤਰਾ ਦੀ ਦੂਰੀ h ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ u=(cosθ)i+(sinθ)j ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਦਾ z-ਸੰਯੋਜਕ (coordinate) z=f(a+hcosθ,b+hsinθ) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.39: z=f(x,y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣਾ। ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਨੀਲੇ ਤੀਰ ਦੀ ਢਲਾਣ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਅਸੀਂ z-ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਾਲ ਵੰਡ ਕੇ ਸਿਕੰਟ ਰੇਖਾ (secant line) ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ h ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਿਕੰਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਹੈ
ਉਸੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ h ਦੇ ਸਿਫਰ ਵੱਲ ਵਧਣ ਦੀ ਸੀਮਾ (limit) ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ z=f(x,y) ਦੋ ਚਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ D ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ (a,b)∈D ਅਤੇ u=cosθi+sinθj ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਫਿਰ uu ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ff ਦਾ ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਬਸ਼ਰਤੇ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ।
ਸਮੀਕਰਨ 4.36 ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਇੱਕ ਰਸਮੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਈ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.31
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ θ=arccos(3/5)। f(x,y)=x2−xy+3y2 ਦੇ uu ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ Duf(x,y) ਲੱਭੋ, ਜਿੱਥੇ u=(cosθ)i+(sinθ)j। Duf(−1,2) ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ cosθ=3/5 ਅਤੇ θ ਨਿਊਨਤਮ (acute) ਹੈ, ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ
f(x,y)=x2−xy+3y2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ f(x+hcosθ,y+hsinθ) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 4.36 ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ:
Duf(−1,2) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਜਵਾਬ ਵਿੱਚ x=−1 ਅਤੇ y=2 ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ:
(See the following figure.)
Figure 4.40: Finding the directional derivative in a given direction uu at a given point on a surface. The plane is tangent to the surface at the given point (−1,2,15).(−1,2,15).
Another approach to calculating a directional derivative involves partial derivatives, as outlined in the following theorem.
Theorem 4.12
Directional Derivative of a Function of Two Variables
Let z=f(x,y)z=f(x,y) be a function of two variables xandy,xandy, and assume that fxfx and fyfy exist and f(x, y)f(x, y) is differentiable everywhere. Then the directional derivative of ff in the direction of u=cosθi+sinθju=cosθi+sinθj is given by
Proof
Equation 4.36 states that the directional derivative of f in the direction of u=cosθi+sinθju=cosθi+sinθj is given by
Let x=a+tcosθx=a+tcosθ and y=b+tsinθ,y=b+tsinθ, and define g(t)=f(x,y).g(t)=f(x,y). Since fxfx and fyfy both exist, and therefore ff is differentiable, we can use the chain rule for functions of two variables to calculate g′(t):g′(t):
If t=0,t=0, then x=x0(=a)x=x0(=a) and y=y0(=b),y=y0(=b), so
By the definition of g′(t),g′(t), it is also true that
Therefore, Duf(x0,y0)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ.Duf(x0,y0)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ.
□
Example 4.32
Finding a Directional Derivative: Alternative Method
Let θ=arccos(3/5).θ=arccos(3/5). Find the directional derivative Duf(x,y)Duf(x,y) of f(x,y)=x2−xy+3y2f(x,y)=x2−xy+3y2 in the direction of u=(cosθ)i+(sinθ)j.u=(cosθ)i+(sinθ)j. What is Duf(−1,2)?Duf(−1,2)?
Solution
First, we must calculate the partial derivatives of f:f:
Then we use Equation 4.37 with θ=arccos(3/5):θ=arccos(3/5):
To calculate Duf(−1,2),Duf(−1,2), let x=−1x=−1 and y=2:y=2:
This is the same answer obtained in Example 4.31.
Gradient
The right-hand side of Equation 4.37 is equal to fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ,fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ, which can be written as the dot product of two vectors. Define the first vector as ∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j and the second vector as u=(cosθ)i+(sinθ)j.u=(cosθ)i+(sinθ)j. Then the right-hand side of the equation can be written as the dot product of these two vectors:
The first vector in Equation 4.38 has a special name: the gradient of the function f.f. The symbol ∇∇ is called nabla and the vector ∇f∇f is read “delf.”“delf.”
Definition
Let z=f(x,y)z=f(x,y) be a function of xandyxandy such that fxfx and fyfy exist. The vector ∇f(x,y)∇f(x,y) is called the gradient of ff and is defined as
The vector ∇f(x,y)∇f(x,y) is also written as “gradf.”“gradf.”
Checkpoint 4.28
Find the directional derivative Duf(x,y)Duf(x,y) of f(x,y)=3x2y−4xy3+3y2−4xf(x,y)=3x2y−4xy3+3y2−4x in the direction of u=(cosπ3)i+(sinπ3)ju=(cosπ3)i+(sinπ3)j using Equation 4.37. What is Duf(3,4)?Duf(3,4)?
If the vector that is given for the direction of the derivative is not a unit vector, then it is only necessary to divide by the norm of the vector. For example, if we wished to find the directional derivative of the function in Example 4.32 in the direction of the vector 〈−5,12〉,〈−5,12〉, we would first divide by its magnitude to get u.u. This gives us u=〈−(5/13),12/13〉.u=〈−(5/13),12/13〉. Then
Example 4.33
Finding Gradients
Find the gradient ∇f(x,y)∇f(x,y) of each of the following functions:
f(x,y)=x2−xy+3y2f(x,y)=x2−xy+3y2
f(x,y)=sin3xcos3yf(x,y)=sin3xcos3y
Solution
For both parts a. and b., we first calculate the partial derivatives fxfx and fy,fy, then use Equation 4.39.
fx(x,y)=2x−yandfy(x,y)=−x+6y,so∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j=(2x−y)i+(−x+6y)j.fx(x,y)=2x−yandfy(x,y)=−x+6y,so∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j=(2x−y)i+(−x+6y)j.
fx(x,y)=3cos3xcos3yandfy(x,y)=−3sin3xsin3y,so ∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j=(3cos3xcos3y)i−(3sin3xsin3y)j.fx(x,y)=3cos3xcos3yandfy(x,y)=−3sin3xsin3y,so ∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j=(3cos3xcos3y)i−(3sin3xsin3y)j.
Checkpoint 4.29
Find the gradient ∇f(x,y)∇f(x,y) of f(x,y)=(x2−3y2)/(2x+y).f(x,y)=(x2−3y2)/(2x+y).
The gradient has some important properties. We have already seen one formula that uses the gradient: the formula for the directional derivative. Recall from The Dot Product that if the angle between two vectors aa and bb is φ,φ, then a·b=‖a‖‖b‖cosφ.a·b=‖a‖‖b‖cosφ. Therefore, if the angle between ∇f(x0,y0)∇f(x0,y0) and u=(cosθ)i+(sinθ)ju=(cosθ)i+(sinθ)j is φ,φ, we have
The ‖u‖‖u‖ disappears because uu is a unit vector. Therefore, the directional derivative is equal to the magnitude of the gradient evaluated at (x0,y0)(x0,y0) multiplied by cosφ.cosφ. Recall that cosφcosφ ranges from −1−1 to 1.1. If φ=0,φ=0, then cosφ=1cosφ=1 and ∇f(x0,y0)∇f(x0,y0) and uu both point in the same direction. If φ=π,φ=π, then cosφ=−1cosφ=−1 and ∇f(x0,y0)∇f(x0,y0) and uu point in opposite directions. In the first case, the value of Duf(x0,y0)Duf(x0,y0) is maximized; in the second case, the value of Duf(x0,y0)Duf(x0,y0) is minimized. If ∇f(x0,y0)=0,∇f(x0,y0)=0, then Duf(x0,y0)=∇f(x0,y0)·u=0Duf(x0,y0)=∇f(x0,y0)·u=0 for any vector u.u. These three cases are outlined in the following theorem.
Theorem 4.13
Properties of the Gradient
Suppose the function z=f(x,y)z=f(x,y) is differentiable at (x0,y0)(x0,y0) (Figure 4.41).
If ∇f(x0,y0)=0,∇f(x0,y0)=0, then Duf(x0,y0)=0Duf(x0,y0)=0 for any unit vector u.u.
If ∇f(x0,y0)≠0,∇f(x0,y0)≠0, then Duf(x0,y0)Duf(x0,y0) is maximized when uu points in the same direction as ∇f(x0,y0).∇f(x0,y0). The maximum value of Duf(x0,y0)Duf(x0,y0) is ‖∇f(x0,y0)‖.‖∇f(x0,y0)‖.
1. ਜੇਕਰ ∇f(x0,y0)≠0, ਤਾਂ Duf(x0,y0) ਉਦੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ u, ∇f(x0,y0) ਤੋਂ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। Duf(x0,y0) ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ −‖∇f(x0,y0)‖ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
2. ਚਿੱਤਰ 4.41: ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 4.34
4. ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣਾ
5. ਉਹ ਦਿਸ਼ਾ ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਲਈ f(x,y)=3x2−4xy+2y2 ਦਾ (−2,3) 'ਤੇ ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋਵੇ। ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਕੀ ਹੈ?
6. ਹੱਲ
7. ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ∇f ਅਤੇ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ∇f(x,y) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
8. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ (−2,3) 'ਤੇ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
9. ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ ∇f(−2,3) ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ, ਇਸ ਲਈ ਅਗਲਾ ਕਦਮ ∇f(−2,3) ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ (−24)2+(20)2=976=461 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
10. ਇਹ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਜੋ ∇f(−2,3) ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਕੋਣ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
11. θ ਲਈ। ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਕੋਣ ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, θ=π−arcsin((561)/61)≈2.45rad।
12. (−2,3) 'ਤੇ ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ‖∇f(−2,3)‖=461 ਹੈ (ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)।
13. ਚਿੱਤਰ 4.42: (−2,3) 'ਤੇ ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੈ।
14. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.30
15. ਉਹ ਦਿਸ਼ਾ ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਲਈ g(x,y)=4x−xy+2y2 ਦਾ (−2,3) 'ਤੇ ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋਵੇ। ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਕੀ ਹੈ?
16. ਚਿੱਤਰ 4.43 ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=3+sinxsiny ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (a,b) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ‖∇f(a,b)‖ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਤ੍ਹਾ ਇੱਕ ਟੋਪੋਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਨਕਸ਼ੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਇਹ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚੜ੍ਹਾਈ ਦੀ ਦਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗਾ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਜਾਂਦੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਤਾਰ ਦੀ ਦਰ ਹੋਵੇਗੀ।
17. ਚਿੱਤਰ 4.43: ℝ3 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਮ ਸਤ੍ਹਾ। ਸਤ੍ਹਾ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
18. ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਟੋਪੋਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਨਕਸ਼ੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਖੜ੍ਹੀ ਢਲਾਣ ਹਮੇਸ਼ਾ ਉਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਕੰਟੂਰ ਲਾਈਨਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 4.44 ਦੇਖੋ)। ਇਹ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਕੰਟੂਰ ਨਕਸ਼ੇ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਕਿ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰਾਂ ਉਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ ਵਾਲੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
19. ਚਿੱਤਰ 4.44: f(x,y)=x2−y2 ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਕੰਟੂਰ ਨਕਸ਼ਾ, −5 ਅਤੇ 5 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪੱਧਰੀ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।
20. ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਅਤੇ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰਾਂ
21. ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ (x(t),y(t)) ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋੜੀ ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਵੈਕਟਰ x′(t)i+y′(t)j ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹਰ t ਮੁੱਲ ਲਈ ਵਕਰ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ z=f(x,y), x ਅਤੇ y ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਭੇਦਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ (x0,y0) ਇਸਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਆਓ ਅੱਗੇ ਮੰਨ ਲਈਏ ਕਿ x0=x(t0) ਅਤੇ y0=y(t0) ਕਿਸੇ t ਮੁੱਲ ਲਈ, ਅਤੇ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ f(x,y)=k 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। g(t)=f(x(t),y(t)) ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ 'ਤੇ g′(t) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੁਆਰਾ,
22. ਪਰ g′(t)=0 ਕਿਉਂਕਿ g(t)=k ਸਾਰੇ t ਲਈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਪਾਸੇ,
23. ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ,
24. ਇਸ ਲਈ,
ਇਸ ਲਈ, ਇਹਨਾਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਲੰਬਵਤ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਦੂਜਾ ਵੈਕਟਰ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ (level curve) ਦੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ (tangent) ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ (gradient) ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਤੋਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦਾ ਜਨਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 4.14
1. ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ (ਲੈਵਲ ਕਰਵ) ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ z=f(x,y) ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਡਿਸਕ ਵਿੱਚ (x0,y0) ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ∇f(x0,y0)≠0, ਤਾਂ ∇f(x0,y0) (x0,y0) 'ਤੇ f ਦੇ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ (level curve) ਦੇ ਲੰਬਵਤ (normal) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਲੈਵਲ ਕਰਵਜ਼ (level curves) ਲਈ ਟੈਂਜੈਂਟ (tangent) ਅਤੇ ਨਾਰਮਲ (normal) ਵੈਕਟਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
4.35. ਮਨੁੱਖੀ ਮਨ ਦੀ ਸਥਿਤੀ, ਜਿਸ ਨੂੰ ਅਸੀਂ "ਅਵਿਚਾਰ" ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਉਹ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਅਸਥਾਈ ਅਵਸਥਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਕਾਰਨਾਂ ਕਰਕੇ ਪੈਦਾ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਕੋਈ ਅੰਤਿਮ ਸੱਚਾਈ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ ਜਿਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਅੱਗੇ ਵਧ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਵਕਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਪੱਧਰਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਲੱਭਣਾ
1. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=2x^2−3xy+8y^2+2x−4y+4 ਲਈ, ਬਿੰਦੂ (−2,1) ਉੱਤੇ ਲੈਵਲ ਕਰਵ ਲਈ ਇੱਕ ਟੈਂਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭੋ। f(x,y)=18 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਲੈਵਲ ਕਰਵ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ ਅਤੇ ∇f(−2,1) ਅਤੇ ਇੱਕ ਟੈਂਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ ਬਣਾਓ।
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ∇f(x,y) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ:
ਅਸੀਂ ਹੁਣ (−2,1) ਤੇ ∇f(x,y)∇f(x,y) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਬਿੰਦੂ (−2,1) ਉੱਤੇ ਵਕਰ (curve) ਦੇ ਲੰਬਵਤ (orthogonal) ਹੈ। ਅਸੀਂ ਭਾਗਾਂ (components) ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਕੇ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ੀ ਵੈਕਟਰ (tangent vector) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, −18i−9j ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ੀ ਵੈਕਟਰ ਹੈ (ਅਗਲੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)।
4.45: ਇੱਕ ਘੁਮਾਈ ਹੋਈ ਅੰਡਾਕਾਰ ਜਿਸ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ f(x, y) = 18 ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ (–2, 1) ਉੱਤੇ, ਦੋ ਤੀਰ ਖਿੱਚੇ ਗਏ ਹਨ, ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ। ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ∇f(–2, 1) ਵਜੋਂ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸਲ ਨਾਲੋਂ ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਦਿਸ਼ਾ ਸਹੀ ਹੈ।
ਚੌਥਾ ਪੜਾਅ 3.1
1. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=x^2−2xy+5y^2+3x−2y+4, ਲਈ, ਬਿੰਦੂ (1,1) ਉੱਤੇ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ (level curve) ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ (tangent) ਪਤਾ ਕਰੋ। f(x,y)=9 ਲਈ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ∇f(1,1) ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ ਬਣਾਓ।
ਤ੍ਰੈ-ਅਯਾਮੀ ਢਲਾਣਾਂ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾਈ ਵਿਉਤਪੰਨ
ਗਰੇਡੀਐਂਟ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਫਲਨਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
1. ਮੰਨ ਲਓ w=f(x,y,z) ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫਲਨ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ fx, fy, ਅਤੇ fz ਮੌਜੂਦ ਹਨ। ਵੈਕਟਰ ∇f(x,y,z) ਨੂੰ f ਦਾ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਗ੍ਰੈਡਫ(x,y,z) · ਗ੍ਰੈਡਫ(x,y,z) ਨੂੰ ਗ੍ਰੈਡਫ(x,y,z) · ਗ੍ਰੈਡਫ(x,y,z) ਵਜੋਂ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਿਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ fx, fy, ਅਤੇ fz ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 4.40 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
1. ਉਦਾਹਰਨ 4.36
ਤਿੰਨ ਪਹਿਲੂਆਂ ਵਿੱਚ ਢਲਾਣਾਂ ਲੱਭਣਾ
1. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਫਲਨਾਂ (functions) ਦੇ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ (gradient) ∇f(x,y,z) ∇f(x,y,z) ਪਤਾ ਕਰੋ:
f(x,y,z)=5x2−2xy+y2−4yz+z2+3xzf(x,y,z)=5x2−2xy+y2−4yz+z2+3xz
f(x,y,z)=e−2zsin2xcos2yf(x,y,z)=e−2zsin2xcos2y
Solution
For both parts a. and b., we first calculate the partial derivatives fx,fy,fx,fy, and fz,fz, then use Equation 4.40.
fx(x,y,z)=10x−2y+3z,fy(x,y,z)=−2x+2y−4zandfz(x,y,z)=3x−4y+2z,so∇f(x,y,z)=fx(x,y,z)i+fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k=(10x−2y+3z)i+(−2x+2y−4z)j+(3x-4y+2z)k.fx(x,y,z)=10x−2y+3z,fy(x,y,z)=−2x+2y−4zandfz(x,y,z)=3x−4y+2z,so∇f(x,y,z)=fx(x,y,z)i+fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k=(10x−2y+3z)i+(−2x+2y−4z)j+(3x-4y+2z)k.
fx(x,y,z)=2e−2zcos2xcos2y,fy(x,y,z)=−2e−2zsin2xsin2yandfz(x,y,z)=−2e−2zsin2xcos2y,so∇f(x,y,z)=fx(x,y,z)i+fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k=(2e−2zcos2xcos2y)i+(-2e-2zsin 2x sin 2y)j+(-2e-2zsin 2x cos 2y)k=2e−2z(cos2xcos2yi−sin2xsin2yj−sin2xcos2yk).fx(x,y,z)=2e−2zcos2xcos2y,fy(x,y,z)=−2e−2zsin2xsin2yandfz(x,y,z)=−2e−2zsin2xcos2y,so∇f(x,y,z)=fx(x,y,z)i+fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k=(2e−2zcos2xcos2y)i+(-2e-2zsin 2x sin 2y)j+(-2e-2zsin 2x cos 2y)k=2e−2z(cos2xcos2yi−sin2xsin2yj−sin2xcos2yk).
Checkpoint 4.32
Find the gradient ∇f(x,y,z)∇f(x,y,z) of f(x,y,z)=x2−3y2+z22x+y−4z.f(x,y,z)=x2−3y2+z22x+y−4z.
The directional derivative can also be generalized to functions of three variables. To determine a direction in three dimensions, a vector with three components is needed. This vector is a unit vector, and the components of the unit vector are called directional cosines. Given a three-dimensional unit vector uu in standard form (i.e., the initial point is at the origin), this vector forms three different angles with the positive x−,y−,x−,y−, and z-axes. Let’s call these angles α,β,α,β, and γ.γ. Then the directional cosines are given by cosα,cosβ,cosα,cosβ, and cosγ.cosγ. These are the components of the unit vector u;u; since uu is a unit vector, it is true that cos2α+cos2β+cos2γ=1.cos2α+cos2β+cos2γ=1.
Definition
Suppose w=f(x,y,z)w=f(x,y,z) is a function of three variables with a domain of D.D. Let (x0,y0,z0)∈D(x0,y0,z0)∈D and let u=cosαi+cosβj+cosγku=cosαi+cosβj+cosγk be a unit vector. Then, the directional derivative of ff in the direction of uu is given by
provided the limit exists.
We can calculate the directional derivative of a function of three variables by using the gradient, leading to a formula that is analogous to Equation 4.38.
Theorem 4.15
Directional Derivative of a Function of Three Variables
Let f(x,y,z)f(x,y,z) be a differentiable function of three variables and let u=cosαi+cosβj+cosγku=cosαi+cosβj+cosγk be a unit vector. Then, the directional derivative of ff in the direction of uu is given by
The three angles α,β,andγα,β,andγ determine the unit vector u.u. In practice, we can use an arbitrary (nonunit) vector, then divide by its magnitude to obtain a unit vector in the desired direction.
Example 4.37
Finding a Directional Derivative in Three Dimensions
Calculate Duf(1,−2,3)Duf(1,−2,3) in the direction of v=−i+2j+2kv=−i+2j+2k for the function
Solution
First, we find the magnitude of v:v:
Therefore, v‖v‖=−i+2j+2k3=−13i+23j+23kv‖v‖=−i+2j+2k3=−13i+23j+23k is a unit vector in the direction of v,v, so cosα=−13,cosβ=23,andcosγ=23.cosα=−13,cosβ=23,andcosγ=23. Next, we calculate the partial derivatives of f:f:
then substitute them into Equation 4.42:
Last, to find Duf(1,−2,3),Duf(1,−2,3), we substitute x=1,y=−2,andz=3:x=1,y=−2,andz=3:
Checkpoint 4.33
Calculate Duf(x,y,z)Duf(x,y,z) and Duf(0,−2,5)Duf(0,−2,5) in the direction of v=−3i+12j−4kv=−3i+12j−4k for the function f(x,y,z)=3x2+xy−2y2+4yz−z2+2xz.f(x,y,z)=3x2+xy−2y2+4yz−z2+2xz.
For the following exercises, find the directional derivative using the limit definition only.
f(x,y)=5−2x2−12y2f(x,y)=5−2x2−12y2 at point P(3,4)P(3,4) in the direction of u=(cosπ4)i+(sinπ4)ju=(cosπ4)i+(sinπ4)j
f(x,y)=y2cos(2x)f(x,y)=y2cos(2x) at point P(π3,2)P(π3,2) in the direction of u=(cosπ4)i+(sinπ4)ju=(cosπ4)i+(sinπ4)j
Find the directional derivative of f(x,y)=y2sin(2x)f(x,y)=y2sin(2x) at point P(π4,2)P(π4,2) in the direction of u=5i+12j.u=5i+12j.
For the following exercises, find the directional derivative of the function at point PP in the direction of uu or vv as appropriate.
f(x,y)=xy,f(x,y)=xy, P(0,−2),P(0,−2), v=12i+32jv=12i+32j
h ( x , y ) = e x sin y , P ( 1 , π 2 ) , v = − i h ( x , y ) = e x sin y , P ( 1 , π 2 ) , v = − i
h ( x , y , z ) = x y z , P ( 2 , 1 , 1 ) , v = 2 i + j − k h ( x , y , z ) = x y z , P ( 2 , 1 , 1 ) , v = 2 i + j − k
f ( x , y ) = x y , P ( 1 , 1 ) , u = 〈 2 2 , 2 2 〉 f ( x , y ) = x y , P ( 1 , 1 ) , u = 〈 2 2 , 2 2 〉
f ( x , y ) = x 2 − y 2 , u = 〈 3 2 , 1 2 〉 , P ( 1 , 0 ) f ( x , y ) = x 2 − y 2 , u = 〈 3 2 , 1 2 〉 , P ( 1 , 0 )
f ( x , y ) = 3 x + 4 y + 7 , u = 〈 3 5 , 4 5 〉 , P ( 0 , π 2 ) f ( x , y ) = 3 x + 4 y + 7 , u = 〈 3 5 , 4 5 〉 , P ( 0 , π 2 )
f ( x , y ) = e x cos y , u = 〈 0 , 1 〉 , P = ( 0 , π 2 ) f ( x , y ) = e x cos y , u = 〈 0 , 1 〉 , P = ( 0 , π 2 )
f ( x , y ) = y 10 , u = 〈 0 , −1 〉 , P = ( 1 , −1 ) f ( x , y ) = y 10 , u = 〈 0 , −1 〉 , P = ( 1 , −1 )
f ( x , y ) = ln ( x 2 + y 2 ) , u = 〈 3 5 , 4 5 〉 , P ( 1 , 2 ) f ( x , y ) = ln ( x 2 + y 2 ) , u = 〈 3 5 , 4 5 〉 , P ( 1 , 2 )
f ( x , y ) = x 2 y , P ( −5 , 5 ) , v = 3 i − 4 j f ( x , y ) = x 2 y , P ( −5 , 5 ) , v = 3 i − 4 j
f ( x , y , z ) = y 2 + x z , P ( 1 , 2 , 2 ) , v = 〈 2 , −1 , 2 〉 f ( x , y , z ) = y 2 + x z , P ( 1 , 2 , 2 ) , v = 〈 2 , −1 , 2 〉
For the following exercises, find the directional derivative of the function in the direction of the unit vector u=cosθi+sinθj.u=cosθi+sinθj.
f ( x , y ) = x 2 + 2 y 2 , θ = π 6 f ( x , y ) = x 2 + 2 y 2 , θ = π 6
f ( x , y ) = y x + 2 y , θ = − π 4 f ( x , y ) = y x + 2 y , θ = − π 4
f ( x , y ) = cos ( 3 x + y ) , θ = π 4 f ( x , y ) = cos ( 3 x + y ) , θ = π 4
w ( x , y ) = y e x , θ = π 3 w ( x , y ) = y e x , θ = π 3
f ( x , y ) = x arctan ( y ) , θ = π 2 f ( x , y ) = x arctan ( y ) , θ = π 2
f ( x , y ) = ln ( x + 2 y ) , θ = π 3 f ( x , y ) = ln ( x + 2 y ) , θ = π 3
For the following exercises, find the gradient.
Find the gradient of f(x,y)=14−x2−y23.f(x,y)=14−x2−y23. Then, find the gradient at point P(1,2).P(1,2).
Find the gradient of f(x,y,z)=xy+yz+xzf(x,y,z)=xy+yz+xz at point P(1,2,3).P(1,2,3).
Find the gradient of f(x,y,z)f(x,y,z) at PP and the directional derivative in the direction of u:u: f(x,y,z)=ln(x2+2y2+3z2),P(2,1,4),u=−313i−413j−1213k.f(x,y,z)=ln(x2+2y2+3z2),P(2,1,4),u=−313i−413j−1213k.
f ( x , y , z ) = 4 x 5 y 2 z 3 , P ( 2 , −1 , 1 ) , u = 1 3 i + 2 3 j − 2 3 k f ( x , y , z ) = 4 x 5 y 2 z 3 , P ( 2 , −1 , 1 ) , u = 1 3 i + 2 3 j − 2 3 k
For the following exercises, find the directional derivative of the function at point PP in the direction of Q.Q.
f ( x , y ) = x 2 + 3 y 2 , P ( 1 , 1 ) , Q ( 4 , 5 ) f ( x , y ) = x 2 + 3 y 2 , P ( 1 , 1 ) , Q ( 4 , 5 )
f ( x , y , z ) = y x + z , P ( 2 , 1 , −1 ) , Q ( −1 , 2 , 0 ) f ( x , y , z ) = y x + z , P ( 2 , 1 , −1 ) , Q ( −1 , 2 , 0 )
For the following exercises, find the derivative of the function at PP in the direction of u.u.
f ( x , y ) = −7 x + 2 y , P ( 2 , −4 ) , u = 4 i − 3 j f ( x , y ) = −7 x + 2 y , P ( 2 , −4 ) , u = 4 i − 3 j
f ( x , y ) = ln ( 5 x + 4 y ) , P ( 3 , 9 ) , u = 6 i + 8 j f ( x , y ) = ln ( 5 x + 4 y ) , P ( 3 , 9 ) , u = 6 i + 8 j
[T] Use technology to sketch the level curve of f(x,y)=4x−2y+3f(x,y)=4x−2y+3 that passes through P(1,2)P(1,2) and draw the gradient vector at P.P.
[T] Use technology to sketch the level curve of f(x,y)=x2+4y2f(x,y)=x2+4y2 that passes through P(−2,0)P(−2,0) and draw the gradient vector at P.P.
For the following exercises, find the gradient vector at the indicated point.
f ( x , y ) = x y 2 − y x 2 , P ( −1 , 1 ) f ( x , y ) = x y 2 − y x 2 , P ( −1 , 1 )
f ( x , y ) = x e y − ln ( x ) , P ( 3 , 0 ) f ( x , y ) = x e y − ln ( x ) , P ( 3 , 0 )
f ( x , y , z ) = x y − ln ( z ) , P ( 2 , −2 , 2 ) f ( x , y , z ) = x y − ln ( z ) , P ( 2 , −2 , 2 )
f ( x , y , z ) = x y 2 + z 2 , P ( −2 , −1 , −1 ) f ( x , y , z ) = x y 2 + z 2 , P ( −2 , −1 , −1 )
For the following exercises, find the derivative of the function.
f(x,y)=x2+xy+y2f(x,y)=x2+xy+y2 at point (−5,−4)(−5,−4) in the direction the function increases most rapidly
f(x,y)=exyf(x,y)=exy at point (6,7)(6,7) in the direction the function increases most rapidly
f(x,y)=arctan(yx)f(x,y)=arctan(yx) at point (−9,9)(−9,9) in the direction the function increases most rapidly
f(x,y,z)=ln(xy+yz+zx)f(x,y,z)=ln(xy+yz+zx) at point (−9,−18,−27)(−9,−18,−27) in the direction the function increases most rapidly
f(x,y,z)=xy+yz+zxf(x,y,z)=xy+yz+zx at point (5,−5,5)(5,−5,5) in the direction the function increases most rapidly
For the following exercises, find the maximum rate of change of ff at the given point and the direction in which it occurs.
f(x,y)=xe−y,f(x,y)=xe−y, (1,0)(1,0)
f(x,y)=x2+2y,f(x,y)=x2+2y, (4,10)(4,10)
f ( x , y ) = cos ( 3 x + 2 y ) , ( π 6 , − π 8 ) f ( x , y ) = cos ( 3 x + 2 y ) , ( π 6 , − π 8 )
For the following exercises, find equations of
the tangent plane and
the normal line to the given surface at the given point.
The level surface f(x,y,z)=12f(x,y,z)=12 for f(x,y,z)=4x2−2y2+z2f(x,y,z)=4x2−2y2+z2 at point (2,2,2).(2,2,2).
f(x,y,z)=xy+yz+xz=3f(x,y,z)=xy+yz+xz=3 at point (1,1,1)(1,1,1)
f(x,y,z)=xyz=6f(x,y,z)=xyz=6 at point (1,2,3)(1,2,3)
f(x,y,z)=xeycosz−z=1f(x,y,z)=xeycosz−z=1 at point (1,0,0)(1,0,0)
For the following exercises, solve the problem.
The temperature TT in a metal sphere is inversely proportional to the distance from the center of the sphere (the origin: (0,0,0)).(0,0,0)). The temperature at point (1,2,2)(1,2,2) is 120°C.120°C.
Find the rate of change of the temperature at point (1,2,2)(1,2,2) in the direction toward point (2,1,3).(2,1,3).
Show that, at any point in the sphere, the direction of greatest increase in temperature is given by a vector that points toward the origin.
The electrical potential (voltage) in a certain region of space is given by the function V(x,y,z)=5x2−3xy+xyz.V(x,y,z)=5x2−3xy+xyz.
Find the rate of change of the voltage at point (3,4,5)(3,4,5) in the direction of the vector 〈1,1,−1〉.〈1,1,−1〉.
In which direction does the voltage change most rapidly at point (3,4,5)?(3,4,5)?
What is the maximum rate of change of the voltage at point (3,4,5)?(3,4,5)?
If the electric potential at a point (x,y)(x,y) in the xy-plane is V(x,y)=e−2xcos(2y),V(x,y)=e−2xcos(2y), then the electric intensity vector at (x,y)(x,y) is E=−∇V(x,y).E=−∇V(x,y).
Find the electric intensity vector at (π4,0).(π4,0).
Show that, at each point in the plane, the electric potential decreases most rapidly in the direction of the vector E.E.
In two dimensions, the motion of an ideal fluid is governed by a velocity potential φ.φ. The velocity components of the fluid uu in the x-direction and vv in the y-direction, are given by 〈u,v〉=∇φ.〈u,v〉=∇φ. Find the velocity components associated with the velocity potential φ(x,y)=sinπxsin2πy.φ(x,y)=sinπxsin2πy.