Learning Objectives
4.7.1 Use partial derivatives to locate critical points for a function of two variables.
4.7.2 Apply a second derivative test to identify a critical point as a local maximum, local minimum, or saddle point for a function of two variables.
4.7.3 Examine critical points and boundary points to find absolute maximum and minimum values for a function of two variables.
One of the most useful applications for derivatives of a function of one variable is the determination of maximum and/or minimum values. This application is also important for functions of two or more variables, but as we have seen in earlier sections of this chapter, the introduction of more independent variables leads to more possible outcomes for the calculations. The main ideas of finding critical points and using derivative tests are still valid, but new wrinkles appear when assessing the results.
Critical Points
For functions of a single variable, we defined critical points as the values of the function when the derivative equals zero or does not exist. For functions of two or more variables, the concept is essentially the same, except for the fact that we are now working with partial derivatives.
Definition
Let z=f(x,y)z=f(x,y) be a function of two variables that is defined on an open set containing the point (x0,y0).(x0,y0). The point (x0,y0)(x0,y0) is called a critical point of a function of two variables ff if one of the two following conditions holds:
fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0
Either fx(x0,y0)orfy(x0,y0)fx(x0,y0)orfy(x0,y0) does not exist.
Example 4.38
Finding Critical Points
Find the critical points of each of the following functions:
f(x,y)=4y2−9x2+24y+36x+36f(x,y)=4y2−9x2+24y+36x+36
g(x,y)=x2+2xy−4y2+4x−6y+4g(x,y)=x2+2xy−4y2+4x−6y+4
Solution
First, we calculate fx(x,y)andfy(x,y):fx(x,y)andfy(x,y): fx(x,y)=12(−18x+36)(4y2−9x2+24y+36x+36)−1/2=−9x+184y2−9x2+24y+36x+36fy(x,y)=12(8y+24)(4y2−9x2+24y+36x+36)−1/2=4y+124y2−9x2+24y+36x+36.fx(x,y)=12(−18x+36)(4y2−9x2+24y+36x+36)−1/2=−9x+184y2−9x2+24y+36x+36fy(x,y)=12(8y+24)(4y2−9x2+24y+36x+36)−1/2=4y+124y2−9x2+24y+36x+36. Next, we set each of these expressions equal to zero: −9x+184y2−9x2+24y+36x+36=04y+124y2−9x2+24y+36x+36=0.−9x+184y2−9x2+24y+36x+36=04y+124y2−9x2+24y+36x+36=0. Then, multiply each equation by its common denominator: −9x+18=04y+12=0.−9x+18=04y+12=0. Therefore, x=2x=2 and y=−3,y=−3, so (2,−3)(2,−3) is a critical point of f.f. We must also check for the possibility that the denominator of each partial derivative can equal zero, thus causing the partial derivative not to exist. Since the denominator is the same in each partial derivative, we need only do this once: 4y2−9x2+24y+36x+36=0.4y2−9x2+24y+36x+36=0. This equation represents a hyperbola. We should also note that the domain of ff consists of points satisfying the inequality 4y2−9x2+24y+36x+36≥0.4y2−9x2+24y+36x+36≥0. Therefore, any points on the hyperbola are not only critical points, they are also on the boundary of the domain. To put the hyperbola in standard form, we use the method of completing the square: 4y2−9x2+24y+36x+36=04y2−9x2+24y+36x=−364y2+24y−9x2+36x=−364(y2+6y)−9(x2−4x)=−364(y2+6y+9)−9(x2−4x+4)=−36+36−364(y+3)2−9(x−2)2=−36.4y2−9x2+24y+36x+36=04y2−9x2+24y+36x=−364y2+24y−9x2+36x=−364(y2+6y)−9(x2−4x)=−364(y2+6y+9)−9(x2−4x+4)=−36+36−364(y+3)2−9(x−2)2=−36. Dividing both sides by −36−36 puts the equation in standard form: 4(y+3)2−36−9(x−2)2−36=1(x−2)24−(y+3)29=1.4(y+3)2−36−9(x−2)2−36=1(x−2)24−(y+3)29=1. Notice that point (2,−3)(2,−3) is the center of the hyperbola.
First, we calculate gx(x,y)andgy(x,y):gx(x,y)andgy(x,y): gx(x,y)=2x+2y+4gy(x,y)=2x−8y−6.gx(x,y)=2x+2y+4gy(x,y)=2x−8y−6. Next, we set each of these expressions equal to zero, which gives a system of equations in xandy:xandy: 2x+2y+4=02x−8y−6=0.2x+2y+4=02x−8y−6=0. Subtracting the second equation from the first gives 10y+10=0,soy=−1.10y+10=0,soy=−1. Substituting this into the first equation gives 2x+2(−1)+4=0,2x+2(−1)+4=0, so x=−1.x=−1. Therefore (−1,−1)(−1,−1) is a critical point of gg (Figure 4.46). There are no points in ℝ2ℝ2 that make either partial derivative not exist. Figure 4.46 The function g(x,y)g(x,y) has a critical point at (−1,−1,5).(−1,−1,5).
Checkpoint 4.34
Find the critical point of the function f(x,y)=x3+2xy−2x−4y.f(x,y)=x3+2xy−2x−4y.
The main purpose for determining critical points is to locate relative maxima and minima, as in single-variable calculus. When working with a function of one variable, the definition of a local extremum involves finding an interval around the critical point such that the function value is either greater than or less than all the other function values in that interval. When working with a function of two or more variables, we work with an open disk around the point.
Definition
Let z=f(x,y)z=f(x,y) be a function of two variables that is defined and continuous on an open set containing the point (x0,y0).(x0,y0). Then f has a local maximum at (x0,y0)(x0,y0) if
1. ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y)(x,y) ਲਈ ਜੋ (x0,y0)(x0,y0) ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਿਸੇ ਡਿਸਕ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹਨ। ਸੰਖਿਆ f(x0,y0)f(x0,y0) ਨੂੰ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਪਿਛਲੀ ਅਸਮਾਨਤਾ f,f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ (x,y)(x,y) ਲਈ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ f,f ਦਾ (x0,y0)(x0,y0) ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਗਲੋਬਲ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ (ਜਿਸਨੂੰ ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
2. ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ (x0,y0)(x0,y0) ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ
3. ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y)(x,y) ਲਈ ਜੋ (x0,y0)(x0,y0) ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਿਸੇ ਡਿਸਕ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹਨ। ਸੰਖਿਆ f(x0,y0)f(x0,y0) ਨੂੰ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਪਿਛਲੀ ਅਸਮਾਨਤਾ f,f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ (x,y)(x,y) ਲਈ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ f,f ਦਾ (x0,y0)(x0,y0) ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਗਲੋਬਲ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ (ਜਿਸਨੂੰ ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
4. ਜੇਕਰ f(x0,y0)f(x0,y0) ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ (ਅਗਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
5. ਤਸਵੀਰ 4.47: z=16−x2−y2z=16−x2−y2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ (x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0) ਉੱਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਆਪਣੇ ਡੋਮੇਨ ਦੀ ਸੀਮਾ, ਜੋ ਕਿ ਚੱਕਰ x2+y2=16.x2+y2=16 ਹੈ, ਉੱਤੇ ਆਪਣਾ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
6. ਮੈਕਸਿਮਾ ਅਤੇ ਮਿਨਿਮਾ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਉੱਤੇ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਸੱਚ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
7. ਥਿਊਰਮ 4.16
8. ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਫਰਮਾਟ ਦਾ ਥਿਊਰਮ
9. ਮੰਨ ਲਓ z=f(x,y)z=f(x,y) ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ (x0,y0)(x0,y0) ਬਿੰਦੂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਸੈੱਟ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ fx fx ਅਤੇ fy fy ਹਰੇਕ (x0,y0)(x0,y0) ਉੱਤੇ ਮੌਜੂਦ ਹਨ। ਜੇਕਰ f,f ਦਾ (x0,y0)(x0,y0) ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਹੈ, ਤਾਂ (x0,y0)(x0,y0) f,f ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ ਹੈ।
10. ਦੂਜੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ
11. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x3.f(x)=x3. ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ x=0,x=0 ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ f′(0)=3(0)2=0.f′(0)=3(0)2=0. ਹਾਲਾਂਕਿ, f,f ਦਾ x=0.x=0 ਉੱਤੇ ਕੋਈ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, x=x0x=x0 ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਮੁੱਲ ਦਾ ਹੋਣਾ x=x0.x=x0 ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਦੀ ਗਰੰਟੀ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਸੱਚ ਹੈ। ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਜਿਸ ਨਾਲ ਇਹ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਉਹ ਹੈ ਸੈਡਲ ਪੁਆਇੰਟ ਉੱਤੇ। ਸੈਡਲ ਪੁਆਇੰਟ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਅਗਲੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
12. ਤਸਵੀਰ 4.48: ਫੰਕਸ਼ਨ z=x2−y2.z=x2−y2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ। ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸੈਡਲ ਪੁਆਇੰਟ ਹੈ।
13. ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਸੈਡਲ ਪੁਆਇੰਟ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ f(x,y)=x2−y2f(x,y)=x2−y2 ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਦੋਵੇਂ ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਪਰ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਨਾ ਤਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, y=0y=0 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਵਰਟੀਕਲ ਟ੍ਰੇਸ z=x2z=x2 (ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਾ) ਹੈ, ਪਰ x=0x=0 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਵਰਟੀਕਲ ਟ੍ਰੇਸ z=−y2z=−y2 (ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਾ) ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਇੱਕ ਟ੍ਰੇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਗਲੋਬਲ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਲਈ ਇੱਕ ਗਲੋਬਲ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ।
14. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
15. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ z=f(x,y),z=f(x,y) ਦੇ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ (x0,y0,f(x0,y0))(x0,y0,f(x0,y0)) ਇੱਕ ਸੈਡਲ ਪੁਆਇੰਟ ਹੈ ਜੇਕਰ fx(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0 ਅਤੇ fy(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0, ਪਰ f,f ਦਾ (x0,y0)(x0,y0) ਉੱਤੇ ਕੋਈ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਨਹੀਂ ਹੈ।
16. ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਦੂਜੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ ਉੱਤੇ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਮੁੱਦਾ ਉੱਭਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇਸ ਤੱਥ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ ਕਿ, ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਚਾਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਦੂਜੀ-ਆਰਡਰ ਦੇ ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਮਿਕਸਡ ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਦੀ ਸਮਾਨਤਾ ਇਸਨੂੰ ਤਿੰਨ ਤੱਕ ਘਟਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਦੂਜੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ, ਜੋ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ DD ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਦੂਜੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਵਿੱਚ f″(x0)f″(x0) ਨੂੰ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
17. ਥਿਊਰਮ 4.17
18. ਦੂਜੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ
19. ਮੰਨ ਲਓ z=f(x,y)z=f(x,y) ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ-ਆਰਡਰ ਦੇ ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕਿਸੇ ਡਿਸਕ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ (x0,y0)(x0,y0) ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ fx(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0 ਅਤੇ fy(x0,y0)=0.fy(x0,y0)=0. ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ
20. ਜੇਕਰ D>0D>0 ਅਤੇ fxx(x0,y0)>0,fxx(x0,y0)>0, ਤਾਂ f,f ਦਾ (x0,y0)(x0,y0) ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
21. ਜੇਕਰ D>0D>0 ਅਤੇ fxx(x0,y0)<0,fxx(x0,y0)<0, ਤਾਂ f,f ਦਾ (x0,y0)(x0,y0) ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
22. ਜੇਕਰ D<0,D<0, ਤਾਂ f,f ਦਾ (x0,y0)(x0,y0) ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸੈਡਲ ਪੁਆਇੰਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
23. ਜੇਕਰ D=0,D=0, ਤਾਂ ਟੈਸਟ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ।
24. ਤਸਵੀਰ 4.49 ਦੇਖੋ।
Figure 4.49: The second derivative test can often determine whether a function of two variables has a local minima (a), a local maxima (b), or a saddle point (c).
To apply the second derivative test, it is necessary that we first find the critical points of the function. There are several steps involved in the entire procedure, which are outlined in a problem-solving strategy.
Problem-Solving Strategy
Using the Second Derivative Test for Functions of Two Variables
Let z=f(x,y)z=f(x,y) be a function of two variables for which the first- and second-order partial derivatives are continuous on some disk containing the point (x0,y0).(x0,y0). To apply the second derivative test to find local extrema, use the following steps:
Determine the critical points (x0,y0)(x0,y0) of the function ff where fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0.fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0. Discard any points where at least one of the partial derivatives does not exist.
Calculate the discriminant D=fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)−(fxy(x0,y0))2D=fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)−(fxy(x0,y0))2 for each critical point of f.f.
Apply Second Derivative Test to determine whether each critical point is a local maximum, local minimum, or saddle point, or whether the theorem is inconclusive.
Example 4.39
Using the Second Derivative Test
Find the critical points for each of the following functions, and use the second derivative test to find the local extrema:
f(x,y)=4x2+9y2+8x−36y+24f(x,y)=4x2+9y2+8x−36y+24
g(x,y)=13x3+y2+2xy−6x−3y+4g(x,y)=13x3+y2+2xy−6x−3y+4
Solution
Step 11 of the problem-solving strategy involves finding the critical points of f.f. To do this, we first calculate fx(x,y)fx(x,y) and fy(x,y),fy(x,y), then set each of them equal to zero: fx(x,y)=8x+8fy(x,y)=18y−36.fx(x,y)=8x+8fy(x,y)=18y−36. Setting them equal to zero yields the system of equations 8x+8=018y−36=0.8x+8=018y−36=0. The solution to this system is x=−1x=−1 and y=2.y=2. Therefore (−1,2)(−1,2) is a critical point of f.f. Step 2 of the problem-solving strategy involves calculating D.D. To do this, we first calculate the second partial derivatives of f:f: fxx(x,y)=8fxy(x,y)=0fyy(x,y)=18.fxx(x,y)=8fxy(x,y)=0fyy(x,y)=18. Therefore, D=fxx(−1,2)fyy(−1,2)−(fxy(−1,2))2=(8)(18)−(0)2=144.D=fxx(−1,2)fyy(−1,2)−(fxy(−1,2))2=(8)(18)−(0)2=144. Step 3 states to check the Second Derivative Test for Functions of Two Variables.. Since D>0D>0 and fxx(−1,2)>0,fxx(−1,2)>0, this corresponds to case 1. Therefore, ff has a local minimum at (−1,2)(−1,2) as shown in the following figure. Figure 4.50 The function f(x,y)f(x,y) has a local minimum at (−1,2,−16).(−1,2,−16).
For step 1, we first calculate gx(x,y)gx(x,y) and gy(x,y),gy(x,y), then set each of them equal to zero: gx(x,y)=x2+2y−6gy(x,y)=2y+2x−3.gx(x,y)=x2+2y−6gy(x,y)=2y+2x−3. Setting them equal to zero yields the system of equations x2+2y−6=02y+2x−3=0.x2+2y−6=02y+2x−3=0. To solve this system, first solve the second equation for y. This gives y=3−2x2.y=3−2x2. Substituting this into the first equation gives x2+3−2x−6=0x2−2x−3=0(x−3)(x+1)=0.x2+3−2x−6=0x2−2x−3=0(x−3)(x+1)=0. Therefore, x=−1x=−1 or x=3.x=3. Substituting these values into the equation y=3−2x2y=3−2x2 yields the critical points (−1,52)(−1,52) and (3,−32).(3,−32). Step 2 involves calculating the second partial derivatives of g:g: gxx(x,y)=2xgxy(x,y)=2gyy(x,y)=2.gxx(x,y)=2xgxy(x,y)=2gyy(x,y)=2. Then, we find a general formula for D:D: D=gxx(x0,y0)gyy(x0,y0)−(gxy(x0,y0))2=(2x0)(2)−22=4x0−4.D=gxx(x0,y0)gyy(x0,y0)−(gxy(x0,y0))2=(2x0)(2)−22=4x0−4. Next, we substitute each critical point into this formula: D(−1,52)=(2(−1))(2)−(2)2=−4−4=−8D(3,−32)=(2(3))(2)−(2)2=12−4=8.D(−1,52)=(2(−1))(2)−(2)2=−4−4=−8D(3,−32)=(2(3))(2)−(2)2=12−4=8. In step 3, we note that, applying the Second Derivative Test for Functions of Two Variables. to point (−1,52)(−1,52) leads to case 3,3, which means that (−1,52)(−1,52) is a saddle point. Applying the theorem to point (3,−32)(3,−32) leads to case 1, which means that (3,−32)(3,−32) corresponds to a local minimum as shown in the following figure. Figure 4.51 The function g(x,y)g(x,y) has a local minimum and a saddle point.
Checkpoint 4.35
Use the second derivative to find the local extrema of the function
Absolute Maxima and Minima
When finding global extrema of functions of one variable on a closed interval, we start by checking the critical values over that interval and then evaluate the function at the endpoints of the interval. When working with a function of two variables, the closed interval is replaced by a closed, bounded set. A set is bounded if all the points in that set can be contained within a ball (or disk) of finite radius. First, we need to find the critical points inside the set and calculate the corresponding critical values. Then, it is necessary to find the maximum and minimum value of the function on the boundary of the set. When we have all these values, the largest function value corresponds to the global maximum and the smallest function value corresponds to the absolute minimum. First, however, we need to be assured that such values exist. The following theorem does this.
Theorem 4.18
Extreme Value Theorem
A continuous function f(x,y)f(x,y) on a closed and bounded set DD in the plane attains an absolute maximum value at some point of DD and an absolute minimum value at some point of D.D.
Now that we know any continuous function ff defined on a closed, bounded set attains its extreme values, we need to know how to find them.
ਪ੍ਰਮੇਯ 4.19
ਦੋ ਚਲਾਂ ਦੇ ਫਲਨ ਦੇ ਅਤਿਮ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ $z=f(x,y)$ ਇੱਕ ਬੰਦ, ਸੀਮਤ ਸਮੂਹ $D$ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਦੋ ਚਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਅਵਕਲਨੀਯ ਫਲਨ ਹੈ। ਤਾਂ $f$ ਸਥਾਨਕ ਮਹੱਤਮ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਸਥਾਨਕ ਨਿਊਨਤਮ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੇਗਾ, ਜੋ ਕਿ ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪਾਏ ਗਏ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਮੁੱਲ ਹਨ:
$D$ ਵਿੱਚ $f$ ਦੇ ਸੰਕਟਮਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਉੱਤੇ $f$ ਦੇ ਮੁੱਲ।
$D$ ਦੀ ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ $f$ ਦੇ ਮੁੱਲ।
ਇਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਸਬੂਤ ਅਤਿਮ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਤੇ ਫਰਮਾਟ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਸਿੱਧਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ। ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵੀ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂ $D$ ਦੀ ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ $D$ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹੋਵੇਗਾ। ਪਰ $D$ ਦਾ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਬਿੰਦੂ $(x_0, y_0)$ ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਉਹ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਵੀ ਹੈ; ਇਸ ਲਈ, ਫਰਮਾਟ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ $(x_0, y_0)$ $f$ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਕਟਮਈ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ $D$ ਉੱਤੇ $f$ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਲਈ ਕੇਵਲ ਸੰਭਾਵੀ ਮੁੱਲ $D$ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਜਾਂ ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ $f$ ਦੇ ਅਤਿਮ ਮੁੱਲ ਹਨ।
ਸਮੱਸਾ-ਹੱਲ ਰਣਨੀਤੀ
ਸਥਾਨਕ ਮਹੱਤਮ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ $z=f(x,y)$ ਇੱਕ ਬੰਦ, ਸੀਮਤ ਸਮੂਹ $D$ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਦੋ ਚਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ $f$ $D$ ਉੱਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ। $D$ ਉੱਤੇ $f$ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਮਹੱਤਮ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਕਰੋ:
$D$ ਵਿੱਚ $f$ ਦੇ ਸੰਕਟਮਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਇਹਨਾਂ ਸੰਕਟਮਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਉੱਤੇ $f$ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦੀ ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ $f$ ਦੇ ਮਹੱਤਮ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
$f$ ਦੇ ਮਹੱਤਮ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ ਮੁੱਲ ਕਦਮ 2 ਅਤੇ 3 ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਉੱਤੇ ਵਾਪਰਨਗੇ।
$D$ ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦੀ ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ $f$ ਦੇ ਮਹੱਤਮ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਚੁਣੌਤੀਪੂਰਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸੀਮਾ ਇੱਕ ਆਇਤ ਜਾਂ ਸਿੱਧੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਤਾਂ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਖੰਡ ਉੱਤੇ ਮਹੱਤਮ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਦਾਹਰਨ 4.40 ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਹੀ ਪਹੁੰਚ ਹੋਰ ਆਕਾਰਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚੱਕਰਾਂ ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਸਮੂਹ $D$ ਦੀ ਸੀਮਾ ਇੱਕ ਵਧੇਰੇ ਜਟਿਲ ਵਕਰ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ $c$ ਲਈ ਫਲਨ $g(x,y)=c$ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਅਤੇ $g$ ਦੇ ਪਹਿਲੇ-ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਅਵਕਲਜ ਮੌਜੂਦ ਹਨ, ਤਾਂ ਲਾਗਰਾਂਜ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ $f$ ਦੇ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਲਾਭਦਾਇਕ ਸਾਬਤ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਲਾਗਰਾਂਜ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਲਾਗਰਾਂਜ ਗੁਣਕਾਂ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.40
ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਸਮੱਸਾ-ਹੱਲ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
$f(x,y)=x^2−2xy+4y^2−4x−2y+24$ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਉੱਤੇ ਜਿੱਥੇ $0≤x≤4$ ਅਤੇ $0≤y≤2$
$g(x,y)=x^2+y^2+4x−6y$ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਉੱਤੇ ਜਿੱਥੇ $x^2+y^2≤16$
ਹੱਲ
ਸਮੱਸਾ-ਹੱਲ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਕਦਮ 11 ਵਿੱਚ ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਉੱਤੇ $f$ ਦੇ ਸੰਕਟਮਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ $f_x(x,y)$ ਅਤੇ $f_y(x,y)$ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: $f_x(x,y)=2x−2y−4$ ਅਤੇ $f_y(x,y)=−2x+8y−2$। ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ $2x−2y−4=0$ ਅਤੇ $-2x+8y−2=0$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ $x=3$ ਅਤੇ $y=1$ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ $(3,1)$ $f$ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਕਟਮਈ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। $f(3,1)$ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਨਾਲ $f(3,1)=17$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਗਲਾ ਕਦਮ ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦੀ ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ $f$ ਦੇ ਅਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦੀ ਸੀਮਾ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ: ਚਿੱਤਰ 4.52 ਫਲਨ $f(x,y)=x^2−2xy+4y^2−4x−2y+24$ ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ। $L_1$ $(0,0)$ ਅਤੇ $(4,0)$ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ $x(t)=t, y(t)=0$ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ $0≤t≤4$ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। $g(t)=f(x(t),y(t))$ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਇਹ $g(t)=t^2−4t+24$ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। $g$ ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਕਰਨ ਨਾਲ $g'(t)=2t−4$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $g$ ਦਾ $t=2$ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸੰਕਟਮਈ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਜੋ ਬਿੰਦੂ $(2,0)$ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। $f(2,0)$ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਨਾਲ $z$-ਮੁੱਲ 20 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। $L_2$ $(4,0)$ ਅਤੇ $(4,2)$ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ $x(t)=4, y(t)=t$ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ $0≤t≤2$ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਦੁਬਾਰਾ, $g(t)=f(x(t),y(t))$ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਇਹ $g(t)=4t^2−10t+24$ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, $g'(t)=8t−10$ ਹੈ। $g$ ਦਾ $t=5/4$ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸੰਕਟਮਈ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਜੋ ਬਿੰਦੂ $(4,5/4)$ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। $f(4,5/4)$ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਨਾਲ $z$-ਮੁੱਲ 17.75 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। $L_3$ $(0,2)$ ਅਤੇ $(4,2)$ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ $x(t)=t, y(t)=2$ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ $0≤t≤4$ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਦੁਬਾਰਾ, $g(t)=f(x(t),y(t))$ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਇਹ $g(t)=t^2−8t+36$ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਸੰਕਟਮਈ ਮੁੱਲ ਬਿੰਦੂ $(4,2)$ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $f(4,2)$ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਨਾਲ $z$-ਮੁੱਲ 20 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। $L_4$ $(0,0)$ ਅਤੇ $(0,2)$ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ $x(t)=0, y(t)=t$ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ $0≤t≤2$ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਾਰ, $g(t)=4t^2−2t+24$ ਅਤੇ ਸੰਕਟਮਈ ਮੁੱਲ $t=1/4$ ਬਿੰਦੂ $(0,1/4)$ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। $f(0,1/4)$ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਨਾਲ $z$-ਮੁੱਲ 23.75 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦੇ ਕੋਨਿਆਂ ਉੱਤੇ $f(x,y)$ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਵੀ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਹ ਕੋਨੇ $(0,0),(4,0),(4,2)$ ਅਤੇ $(0,2)$ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ: $f(0,0)=(0)^2−2(0)(0)+4(0)^2−4(0)−2(0)+24=24$, $f(4,0)=(4)^2−2(4)(0)+4(0)^2−4(4)−2(0)+24=24$, $f(4,2)=(4)^2−2(4)(2)+4(2)^2−4(4)−2(2)+24=20$, $f(0,2)=(0)^2−2(0)(2)+4(2)^2−4(0)−2(2)+24=36$। ਸਥਾਨਕ ਮਹੱਤਮ ਮੁੱਲ 36 ਹੈ, ਜੋ $(0,2)$ ਉੱਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਥਾਨਕ ਨਿਊਨਤਮ ਮੁੱਲ 17 ਹੈ, ਜੋ $(3,1)$ ਉੱਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.53 ਫਲਨ $f(x,y)$ ਦਾ ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਨਿਊਨਤਮ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਮਹੱਤਮ ਹੈ।
1. ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਕਦਮ 11 ਵਿੱਚ g ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਇਸਦੇ ਨਾਜ਼ੁਕ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ gx(x,y) ਅਤੇ gy(x,y) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: gx(x,y)=2x+4, gy(x,y)=2y−6। ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 2x+4=0, 2y−6=0 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ x=−2 ਅਤੇ y=3 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, (−2,3) g ਦਾ ਇੱਕ ਨਾਜ਼ੁਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। g(−2,3) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ g(−2,3)=(−2)2+32+4(−2)−6(3)=4+9−8−18=−13 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਅਗਲਾ ਕਦਮ ਇਸਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ g ਦੇ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 4 ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਬਣੀ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.54 ਫੰਕਸ਼ਨ g(x,y)=x2+y2+4x−6y ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ। g ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ x(t)=4cost, y(t)=4sint, 0≤t≤2π ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। h(t)=g(x(t),y(t)) ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ: h(t)=g(x(t),y(t))=(4cost)2+(4sint)2+4(4cost)−6(4sint)=16cos2t+16sin2t+16cost−24sint=16+16cost−24sint। h′(t)=0 ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਨਾਲ −16sint−24cost=0, −16sint=24cost, −16cost−16sint=24cost, tant=−32 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ 0≤t≤2π ਉੱਤੇ ਦੋ ਹੱਲ ਹਨ। ਇੱਕ t=π−arctan(3/2) ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ t=2π−arctan(3/2) ਹੈ। ਪਹਿਲੇ ਕੋਣ ਲਈ, sint=sin(π−arctan(3/2))=sin(arctan(3/2))=3/√13, cost=cos(π−arctan(3/2))=−cos(arctan(3/2))=−2/√13। ਇਸ ਲਈ, x(t)=4cost=−8/√13 ਅਤੇ y(t)=4sint=12/√13, ਇਸ ਲਈ (−8/√13,12/√13) ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨਾਜ਼ੁਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ g(−8/√13,12/√13)=(−8/√13)2+(12/√13)2+4(−8/√13)−6(12/√13)=144/13+64/13−32/√13−72/√13=208/13−104/√13≈−12.844। ਦੂਜੇ ਕੋਣ ਲਈ, sint=sin(2π−arctan(3/2))=−sin(arctan(3/2))=−3/√13, cost=cos(2π−arctan(3/2))=cos(arctan(3/2))=2/√13। ਇਸ ਲਈ, x(t)=4cost=8/√13 ਅਤੇ y(t)=4sint=−12/√13, ਇਸ ਲਈ (8/√13,−12/√13) ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨਾਜ਼ੁਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ g(8/√13,−12/√13)=(8/√13)2+(−12/√13)2+4(8/√13)−6(−12/√13)=144/13+64/13+32/√13+72/√13=208/13+104/√13≈44.844। g ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ −13 ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂ (−2,3) ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ D ਦਾ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। g ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧੋ-ਵੱਧ ਲਗਭਗ 44.844 ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸੀਮਾ ਬਿੰਦੂ (8/√13,−12/√13) ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ g ਦੇ D ਉੱਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.55 ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y) ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧੋ-ਘੱਟ ਹੈ।
2. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.36
3. ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
4. ਡੋਮੇਨ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ 0≤x≤2 ਅਤੇ −1≤y≤3 ਉੱਤੇ।
5. ਉਦਾਹਰਨ 4.41
6. ਚੈਪਟਰ ਓਪਨਰ: ਮੁਨਾਫੇ ਵਾਲੀਆਂ ਗੋਲਫ ਬਾਲਾਂ
7. ਚਿੱਤਰ 4.56: (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ: oatsy40, Flickr)
8. ਪ੍ਰੋ-ਟੀਟੀ ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਇੱਕ ਮੁਨਾਫਾ ਮਾਡਲ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜੋ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ ਵੇਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਗੋਲਫ ਬਾਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ x (ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪੀ ਗਈ), ਅਤੇ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਬਾਜ਼ੀ y ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ
9. ਜਿੱਥੇ z ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪੈਦਾ ਅਤੇ ਵੇਚੀਆਂ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀਆਂ ਗੋਲਫ ਬਾਲਾਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆ 50,000 ਹੈ, ਅਤੇ ਖਰੀਦੀਆਂ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀਆਂ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਬਾਜ਼ੀ ਦੇ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆ 25 ਹੈ। ਮੁਨਾਫੇ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਵਾਲੇ x ਅਤੇ y ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁਨਾਫਾ ਲੱਭੋ।
10. ਹੱਲ
11. ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਕਦਮ 11 ਵਿੱਚ ff ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਇਸਦੇ ਨਾਜ਼ੁਕ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ fx(x,y) ਅਤੇ fy(x,y) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
12. ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ
13. ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ x=21 ਅਤੇ y=3 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ (21,3) f ਦਾ ਇੱਕ ਨਾਜ਼ੁਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। f(21,3) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਨਾਲ f(21,3)=48(21)+96(3)−212−2(21)(3)−9(3)2=648 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
14. ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ 0≤x≤50 ਅਤੇ 0≤y≤25 ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
15. ਚਿੱਤਰ 4.57: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=48x+96y−x2−2xy−9y2 ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ।
16. L1, (0,0) ਅਤੇ (50,0) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ x(t)=t, y(t)=0, 0≤t≤50 ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ g(t)=f(x(t),y(t)) ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: g(t)=f(x(t),y(t)):
17. g′(t)=0 ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਨਾਲ ਨਾਜ਼ੁਕ ਬਿੰਦੂ t=24 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ (24,0) ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ। f(24,0) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਨਾਲ 576 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
18. L2, ਅਤੇ (50,25) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ x(t)=50, y(t)=t, 0≤t≤25 ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਫਿਰ, ਅਸੀਂ g(t)=f(x(t),y(t)) ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: g(t)=f(x(t),y(t)):
19. ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਨਾਜ਼ੁਕ ਬਿੰਦੂ t=−29 ਉੱਤੇ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂ (50,−29) ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ। ਇਹ ਬਿੰਦੂ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ।
20. L3, (0,25) ਅਤੇ (50,25) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ x(t)=t, y(t)=25, 0≤t≤50 ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ g(t)=f(x(t),y(t)) ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: g(t)=f(x(t),y(t)):
21. ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਨਾਜ਼ੁਕ ਬਿੰਦੂ t=−1 ਉੱਤੇ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂ (−1,25) ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ।
22. L4, (0,0) ਤੋਂ (0,25) ਤੱਕ ਦੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ x(t)=0, y(t)=t, 0≤t≤25 ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ g(t)=f(x(t),y(t)) ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: g(t)=f(x(t),y(t)):
23. ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਨਾਜ਼ੁਕ ਬਿੰਦੂ t=1/63 ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂ (0,163) ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਡੋਮੇਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ ਹੈ। f(0,163) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਨਾਲ 256 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
24. ਸਾਨੂੰ ਇਸਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਕੋਨਿਆਂ ਉੱਤੇ f(x,y) ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਹ ਕੋਨੇ (0,0), (50,0), (50,25) ਅਤੇ (0,25) ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ:
The maximum critical value is 648,648, which occurs at (21,3).(21,3). Therefore, a maximum profit of $648,000$648,000 is realized when 21,00021,000 golf balls are sold and 33 hours of advertising are purchased per month as shown in the following figure.
Figure 4.58: The profit function f(x,y)f(x,y) has a maximum at (21,3,648).(21,3,648).
For the following exercises, find all critical points.
f ( x , y ) = 1 + x 2 + y 2 f ( x , y ) = 1 + x 2 + y 2
f ( x , y ) = ( 3 x − 2 ) 2 + ( y − 4 ) 2 f ( x , y ) = ( 3 x − 2 ) 2 + ( y − 4 ) 2
f ( x , y ) = x 4 + y 4 − 16 x y f ( x , y ) = x 4 + y 4 − 16 x y
f ( x , y ) = 15 x 3 − 3 x y + 15 y 3 f ( x , y ) = 15 x 3 − 3 x y + 15 y 3
For the following exercises, find the critical points of the function by using algebraic techniques (completing the square) or by examining the form of the equation. Verify your results using the partial derivatives test.
f ( x , y ) = x 2 + y 2 + 1 f ( x , y ) = x 2 + y 2 + 1
f ( x , y ) = − x 2 − 5 y 2 + 8 x − 10 y − 13 f ( x , y ) = − x 2 − 5 y 2 + 8 x − 10 y − 13
f ( x , y ) = x 2 + y 2 + 2 x − 6 y + 6 f ( x , y ) = x 2 + y 2 + 2 x − 6 y + 6
f ( x , y ) = x 2 + y 2 + 1 f ( x , y ) = x 2 + y 2 + 1
For the following exercises, use the second derivative test to classify any critical points and determine whether each critical point is a maximum, minimum, saddle point, or none of these.
f ( x , y ) = − x 3 + 4 x y − 2 y 2 + 1 f ( x , y ) = − x 3 + 4 x y − 2 y 2 + 1
f ( x , y ) = x 2 y 2 f ( x , y ) = x 2 y 2
f ( x , y ) = x 2 − 6 x + y 2 + 4 y − 8 f ( x , y ) = x 2 − 6 x + y 2 + 4 y − 8
f ( x , y ) = 2 x y + 3 x + 4 y f ( x , y ) = 2 x y + 3 x + 4 y
f ( x , y ) = 8 x y ( x + y ) + 7 f ( x , y ) = 8 x y ( x + y ) + 7
f ( x , y ) = x 2 + 4 x y + y 2 f ( x , y ) = x 2 + 4 x y + y 2
f ( x , y ) = x 3 + y 3 − 300 x − 75 y − 3 f ( x , y ) = x 3 + y 3 − 300 x − 75 y − 3
f ( x , y ) = 9 − x 4 y 4 f ( x , y ) = 9 − x 4 y 4
f ( x , y ) = 7 x 2 y + 9 x y 2 f ( x , y ) = 7 x 2 y + 9 x y 2
f ( x , y ) = 3 x 2 − 2 x y + y 2 − 8 y f ( x , y ) = 3 x 2 − 2 x y + y 2 − 8 y
f ( x , y ) = 3 x 2 + 2 x y + y 2 f ( x , y ) = 3 x 2 + 2 x y + y 2
f ( x , y ) = y 2 + x y + 3 y + 2 x + 3 f ( x , y ) = y 2 + x y + 3 y + 2 x + 3
f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 − 3 x f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 − 3 x
f ( x , y ) = x 2 + 2 y 2 − x 2 y f ( x , y ) = x 2 + 2 y 2 − x 2 y
f ( x , y ) = x 2 + y − e y f ( x , y ) = x 2 + y − e y
f ( x , y ) = e − ( x 2 + y 2 + 2 x ) f ( x , y ) = e − ( x 2 + y 2 + 2 x )
f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 − x − y + 1 f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 − x − y + 1
f ( x , y ) = x 2 + 10 x y + y 2 f ( x , y ) = x 2 + 10 x y + y 2
f ( x , y ) = − x 2 − 5 y 2 + 10 x − 30 y − 62 f ( x , y ) = − x 2 − 5 y 2 + 10 x − 30 y − 62
f ( x , y ) = 120 x + 120 y − x y − x 2 − y 2 f ( x , y ) = 120 x + 120 y − x y − x 2 − y 2
f ( x , y ) = 2 x 2 + 2 x y + y 2 + 2 x − 3 f ( x , y ) = 2 x 2 + 2 x y + y 2 + 2 x − 3
f ( x , y ) = x 2 + x − 3 x y + y 3 − 5 f ( x , y ) = x 2 + x − 3 x y + y 3 − 5
f ( x , y ) = 2 x y e − x 2 − y 2 f ( x , y ) = 2 x y e − x 2 − y 2
For the following exercises, determine the extreme values and the saddle points. Use a CAS to graph the function.
[T] f(x,y)=yex−eyf(x,y)=yex−ey
[T] f(x,y)=xsin(y)f(x,y)=xsin(y)
[T] f(x,y)=sin(x)sin(y),x∈(0,2π),y∈(0,2π)f(x,y)=sin(x)sin(y),x∈(0,2π),y∈(0,2π)
Find the absolute extrema of the given function on the indicated closed and bounded set R.R.
f(x,y)=xy−x−3y;f(x,y)=xy−x−3y; RR is the triangular region with vertices (0,0),(0,4),and(5,0).(0,0),(0,4),and(5,0).
Find the absolute maximum and minimum values of f(x,y)=x2+y2−2y+1f(x,y)=x2+y2−2y+1 on the region R={(x,y)|x2+y2≤4}.R={(x,y)|x2+y2≤4}.
f(x,y)=x3−3xy−y3f(x,y)=x3−3xy−y3 on R={(x,y):−2≤x≤2,−2≤y≤2}R={(x,y):−2≤x≤2,−2≤y≤2}
f(x,y)=−2yx2+y2+1f(x,y)=−2yx2+y2+1 on R={(x,y):x2+y2≤4}R={(x,y):x2+y2≤4}
Find three positive numbers the sum of which is 27,27, such that the sum of their squares is as small as possible.
Find the points on the surface x2−yz=5x2−yz=5 that are closest to the origin.
Find the maximum volume of a rectangular box with three faces in the coordinate planes and a vertex in the first octant on the plane x+y+z=1.x+y+z=1.
1. ਕਿਸੇ ਡਿਲਿਵਰੀ ਸੇਵਾ ਦੁਆਰਾ ਲਿਜਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਪੈਕੇਜ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਘੇਰਾ (ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਘੇਰਾ) ਦਾ ਜੋੜ 108108 ਇੰਚ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ। ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਇਤਨ ਵਾਲੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪੈਕੇਜ ਦੇ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਭੇਜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
2. ਬਿਨਾਂ ਢੱਕਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਗੱਤੇ ਦਾ ਡੱਬਾ 44 ft3 ਦੇ ਆਇਤਨ ਨਾਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾਣਾ ਹੈ। ਡੱਬੇ ਦੇ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਗੱਤੇ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇ।
3. ਸਤ੍ਹਾ f(x,y)=x2+y2+10f(x,y)=x2+y2+10 'ਤੇ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜੋ ਸਮਤਲ x+2y−z=0.x+2y−z=0 ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਹੈ। ਸਮਤਲ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
4. ਸਮਤਲ 2x−y+2z=162x−y+2z=16 ਵਿੱਚ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜੋ ਮੂਲ (origin) ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਹੈ।
5. ਇੱਕ ਕੰਪਨੀ ਦੋ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਐਥਲੈਟਿਕ ਜੁੱਤੇ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ: ਜੌਗਿੰਗ ਜੁੱਤੇ ਅਤੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਟਰੇਨਰ। xx ਜੌਗਿੰਗ ਜੁੱਤੇ ਅਤੇ yy ਕ੍ਰਾਸ-ਟਰੇਨਰ ਤੋਂ ਕੁੱਲ ਆਮਦਨ R(x,y)=−5x2−8y2−2xy+42x+102y,R(x,y)=−5x2−8y2−2xy+42x+102y ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ xx ਅਤੇ yy ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਇਕਾਈਆਂ ਵਿੱਚ ਹਨ। ਕੁੱਲ ਆਮਦਨ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਲਈ x ਅਤੇ y ਦੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
6. ਇੱਕ ਸ਼ਿਪਿੰਗ ਕੰਪਨੀ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਕਸੇ ਸੰਭਾਲਦੀ ਹੈ ਬਸ਼ਰਤੇ ਕਿ ਬਕਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਦਾ ਜੋੜ 9696 ਇੰਚ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਸ਼ਰਤ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਆਇਤਨ ਰੱਖਣ ਵਾਲੇ ਬਕਸੇ ਦੇ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ।
7. ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਵਾਲੀ ਸੋਡਾ ਕੈਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦੀ ਉਚਾਈ ਅਤੇ ਘੇਰੇ ਦਾ ਜੋੜ 120120 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਹੈ।