ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
4.8.1 ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਨਾਲ ਅਨੁਕੂਲਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਗਰੇਂਜ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4.8.2 ਦੋ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨਾਲ ਅਨੁਕੂਲਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਗਰੇਂਜ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਅਨੁਕੂਲਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਇੱਕ-ਚਲ ਕੈਲਕੂਲਸ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਮਲਟੀਪਲ ਚਲਾਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣ ਦੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਸਾਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਵਿਭਿੰਨ ਅਨੁਕੂਲਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਵਾਧੂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਜਾਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨਾਲ ਅਨੁਕੂਲਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਅਤੇ ਉਪਯੋਗੀ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਲਾਗਰੇਂਜ ਗੁਣਕ
ਉਦਾਹਰਨ 4.41 ਇੱਕ ਲਾਗੂ ਸਥਿਤੀ ਸੀ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੇ ਅਧੀਨ, ਮੁਨਾਫਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਸੀ। ਉਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਸੀਮਾਵਾਂ ਵਿੱਚ 11 ਮਹੀਨਿਆਂ (x),(x) ਵਿੱਚ ਪੈਦਾ ਕੀਤੇ ਅਤੇ ਵੇਚੇ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੇ ਗੋਲਫ ਬਾਲਾਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਗਿਣਤੀ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ ਖਰੀਦੀਆਂ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀਆਂ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਬਾਜ਼ੀ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਗਿਣਤੀ (y).(y) ਸ਼ਾਮਲ ਸੀ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਜਟਰੀ ਸੀਮਾ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 20x+4y≤216,20x+4y≤216, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਗੋਲਫ ਬਾਲਾਂ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ ਖਰੀਦੇ ਗਏ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਬਾਜ਼ੀ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਟੀਚਾ ਅਜੇ ਵੀ ਮੁਨਾਫਾ ਵਧਾਉਣਾ ਹੈ, ਪਰ ਹੁਣ xx ਅਤੇ y.y ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ। ਇਹ ਸੀਮਾ, ਜਦੋਂ ਮੁਨਾਫਾ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=48x+96y−x2−2xy−9y2,f(x,y)=48x+96y−x2−2xy−9y2 ਨਾਲ ਜੋੜੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇੱਕ ਅਨੁਕੂਲਨ ਸਮੱਸਿਆ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)f(x,y) ਨੂੰ ਉਦੇਸ਼ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)f(x,y) ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.59: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=48x+96y−x2−2xy−9y2f(x,y)=48x+96y−x2−2xy−9y2 ਦੇ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਜੋ c=150,250,350,and400.c=150,250,350,and400 ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.59 ਵਿੱਚ, ਮੁੱਲ cc ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੁਨਾਫਾ ਪੱਧਰਾਂ (ਭਾਵ, ਫੰਕਸ਼ਨ f.f ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ cc ਦਾ ਮੁੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਵਕਰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡਾ ਟੀਚਾ ਮੁਨਾਫਾ ਵਧਾਉਣਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਵਕਰ ਚੁਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਕੰਪਨੀ ਕਿੰਨੇ ਗੋਲਫ ਬਾਲ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਾਂ ਕਿੰਨੀ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਬਾਜ਼ੀ ਉਪਲਬਧ ਹੈ, ਇਸ 'ਤੇ ਕੋਈ ਪਾਬੰਦੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਜਿੰਨੇ ਚਾਹੁੰਦੇ ਗੋਲਫ ਬਾਲ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਜਿੰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਬਾਜ਼ੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਕੰਪਨੀ ਲਈ ਕੋਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁਨਾਫਾ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ। ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਬਜਟਰੀ ਸੀਮਾ ਹੈ ਜੋ ਅਸਮਾਨਤਾ 20x+4y≤216.20x+4y≤216 ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਇਹ ਸੀਮਾ ਮੁਨਾਫਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਪਰਸਪਰ ਪ੍ਰਭਾਵ ਪਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਚਿੱਤਰ 4.60 ਪਿਛਲੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਲਾਈਨ 20x+4y=21620x+4y=216 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.60: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=48x+96y−x2−2xy−9y2f(x,y)=48x+96y−x2−2xy−9y2 ਦੇ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਜੋ c=150,250,350,and395.c=150,250,350,and395 ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। ਲਾਲ ਗ੍ਰਾਫ ਸੀਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁਨਾਫਾ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁਨਾਫੇ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਉਤਪਾਦਨ ਦਾ ਪੱਧਰ ਵੀ ਬਜਟਰੀ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਜਿਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਇਹ ਮੁਨਾਫਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਚਿੱਤਰ 4.60 ਵਿੱਚ ਲਾਲ ਲਾਈਨ 'ਤੇ (ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ) ਵੀ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਇਹ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਉੱਥੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਲਾਈਨ f.f ਦੇ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ ਅਤੇ ਤਰੁੱਟੀ ਇਹ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਮੁਨਾਫਾ ਪੱਧਰ ਲਗਭਗ 395,395 ਜਾਪਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ xx ਅਤੇ yy ਦੋਵੇਂ 5.5 ਤੋਂ ਥੋੜੇ ਘੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਹੱਲ ਵੱਲ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਸਿਧਾਂਤਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਤੋਂ, ਜਿਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਮੁਨਾਫਾ ਵਕਰ ਸੀਮਾ ਲਾਈਨ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਦੋਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਇੱਕੋ (ਜਾਂ ਉਲਟ) ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕੋ (ਜਾਂ ਉਲਟ) ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਲਾਗਰੇਂਜ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦਾ ਆਧਾਰ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 4.20
ਲਾਗਰੇਂਜ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ: ਇੱਕ ਸੀਮਾ
ਮੰਨ ਲਓ ff ਅਤੇ gg ਦੋ ਚਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਰੰਤਰ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕਿਸੇ ਵੀ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਸੈੱਟ ਦੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਮੂਥ ਵਕਰ g(x,y)=0.g(x,y)=0 ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f,f, ਜਦੋਂ ਵਕਰ g(x,y)=0,g(x,y)=0 'ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਬਿੰਦੂ (x0,y0)(x0,y0) 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ∇g(x0,y0)≠0.∇g(x0,y0)≠0। ਫਿਰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ λλ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਲਾਗਰੇਂਜ ਗੁਣਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਲਈ
ਸਬੂਤ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਸੀਮਿਤ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਬਿੰਦੂ (x0,y0).(x0,y0) 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ g(x,y)=0g(x,y)=0 ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮੂਥਲੀ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ s ਇੱਕ ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਰੈਫਰੈਂਸ ਪੁਆਇੰਟ (x0,y0)(x0,y0) s=0.s=0 'ਤੇ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਮਾਤਰਾ z=f(x(s),y(s))z=f(x(s),y(s)) ਦਾ s=0.s=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਰਿਲੇਟਿਵ ਮੈਕਸਿਮਮ ਜਾਂ ਰਿਲੇਟਿਵ ਮਿਨਿਮਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ dzds=0dzds=0 ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ। ਚੇਨ ਰੂਲ ਤੋਂ,
ਜਿੱਥੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸਾਰੇ s=0.s=0 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਡਾਟ ਉਤਪਾਦ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾ ਕਾਰਕ f,f ਦਾ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਕਾਰਕ ਸੀਮਾ ਵਕਰ T(0)T(0) ਦਾ ਯੂਨਿਟ ਟੈਂਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਬਿੰਦੂ (x0,y0)(x0,y0) s=0.s=0 ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ ਕਿ
ਜੋ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਜਾਂ ਤਾਂ 00 ਹੈ ਜਾਂ ਸੀਮਿਤ ਰਿਲੇਟਿਵ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ 'ਤੇ ਸੀਮਾ ਵਕਰ ਦੇ ਆਮ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸੀਮਾ ਵਕਰ g(x,y)=0g(x,y)=0 ਫੰਕਸ਼ਨ g(x,y)g(x,y) ਲਈ ਇੱਕ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਜੇਕਰ ∇g(x0,y0)≠0∇g(x0,y0)≠0 ਤਾਂ ∇g(x0,y0)∇g(x0,y0) (x0,y0)(x0,y0) 'ਤੇ ਇਸ ਵਕਰ ਦੇ ਆਮ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੁਝ ਸਕੇਲਰ λλ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਲਈ
□
ਗੋਲਫ ਬਾਲ ਨਿਰਮਾਤਾ ਵਰਗੀ ਅਨੁਕੂਲਨ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਲਾਗਰੇਂਜ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ: ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
ਲਾਗਰੇਂਜ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਲਈ ਕਦਮ
ਉਦੇਸ਼ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)f(x,y) ਅਤੇ ਸੀਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x,y).g(x,y) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਕੀ ਅਨੁਕੂਲਨ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਉਦੇਸ਼ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨਾ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ?
1. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਸਟਮ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਜੋ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਟੈਂਪਲੇਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ: ∇f(x0,y0)=λ∇g(x0,y0)g(x0,y0)=0.
2. x0 ਅਤੇ y0 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
3. ਕਦਮ 3 ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਗਏ ਹੱਲਾਂ 'ਤੇ f ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ f ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਦਾ ਹੈ; ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ f ਨੂੰ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
4. ਉਦਾਹਰਨ 4.42
5. ਲਾਗਰੇਂਜ ਮਲਟੀਪਲਾਇਰਜ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
6. f(x,y)=x2+4y2−2x+8y ਨੂੰ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਗਰੇਂਜ ਮਲਟੀਪਲਾਇਰਜ਼ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਿਸਦੀ ਸ਼ਰਤ x+2y=7 ਹੈ।
7. ਹੱਲ
8. ਆਓ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੀਏ:
9. ਅਨੁਕੂਲਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=x2+4y2−2x+8y ਹੈ। ਸ਼ਰਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਸ਼ਰਤ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ 7 ਘਟਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ x+2y−7=0 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਸ਼ਰਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ g(x,y)=x+2y−7 ਹੈ। ਸਮੱਸਿਆ ਸ਼ਰਤ ਦੇ ਅਧੀਨ f ਦੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)। ਚਿੱਤਰ 4.61 ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=x2+4y2−2x+8y ਦੇ ਪੱਧਰ ਦੇ ਵਕਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਜੋ c=10 ਅਤੇ 26.26 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ। ਲਾਲ ਗ੍ਰਾਫ ਸ਼ਰਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
10. ਫਿਰ ਸਾਨੂੰ f ਅਤੇ g ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ: ∇f(x,y)=(2x−2)i+(8y+8)j∇g(x,y)=i+2j। ਸਮੀਕਰਨ ∇f(x0,y0)=λ∇g(x0,y0) (2x0−2)i+(8y0+8)j=λ(i+2j) ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ (2x0−2)i+(8y0+8)j=λi+2λj ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ i ਅਤੇ j ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: 2x0−2=λ8y0+8=2λ। ਸਮੀਕਰਨ g(x0,y0)=0 x0+2y0−7=0 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਿਸਟਮ ਜਿਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਉਹ ਹੈ 2x0−2=λ8y0+8=2λx0+2y0−7=0।
11. ਇਹ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਜ਼ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਿਸਟਮ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ λ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ λ=4y0+4 ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਨ 'ਤੇ 2x0−2=4y0+4 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ x0 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ x0=2y0+3 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਤੀਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: (2y0+3)+2y0−7=04y0−4=0y0=1। ਕਿਉਂਕਿ x0=2y0+3, ਇਹ x0=5 ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
12. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ (5,1) ਨੂੰ f(x,y)=x2+4y2−2x+8y ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਨਾਲ f(5,1)=52+4(1)2−2(5)+8(1)=27 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਇਹ ਸ਼ਰਤ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ, ਆਓ ਕੁਝ ਹੋਰ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੀਏ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ g(x,y)=0 ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟ, ਜੋ ਕਿ (7,0) ਅਤੇ (0,3.5) ਹਨ। ਅਸੀਂ f(7,0)=35 ਅਤੇ f(0,3.5)=77 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ f (5,1) 'ਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ।
13. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.37
14. f(x,y)=9x2+36xy−4y2−18x−8y ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਲਾਗਰੇਂਜ ਮਲਟੀਪਲਾਇਰਜ਼ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਿਸਦੀ ਸ਼ਰਤ 3x+4y=32 ਹੈ।
15. ਆਓ ਹੁਣ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਈਏ।
16. ਉਦਾਹਰਨ 4.43
17. ਗੋਲਫ ਬਾਲਾਂ ਅਤੇ ਲਾਗਰੇਂਜ ਮਲਟੀਪਲਾਇਰਜ਼
18. ਗੋਲਫ ਬਾਲ ਨਿਰਮਾਤਾ, ਪ੍ਰੋ-ਟੀ, ਨੇ ਇੱਕ ਮੁਨਾਫਾ ਮਾਡਲ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜੋ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ ਵਿਕੀਆਂ ਗਈਆਂ ਗੋਲਫ ਬਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ (ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪੀ ਗਈ) xx, ਅਤੇ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਬਾਜ਼ੀ y ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ
19. ਜਿੱਥੇ zz ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਗੋਲਫ ਬਾਲਾਂ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਅਤੇ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਬਾਜ਼ੀ ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਲਾਗਤ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਬਜਟਰੀ ਸ਼ਰਤ ਫੰਕਸ਼ਨ 20x+4y=216 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੁਨਾਫੇ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਵਾਲੇ xx ਅਤੇ yy ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁਨਾਫਾ ਲੱਭੋ।
20. ਹੱਲ
21. ਦੁਬਾਰਾ, ਅਸੀਂ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
22. ਅਨੁਕੂਲਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=48x+96y−x2−2xy−9y2 ਹੈ। ਸ਼ਰਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸ਼ਰਤ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ 216 ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 4 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ 5x+y−54=0 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਸ਼ਰਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ g(x,y)=5x+y−54 ਹੈ। ਸਮੱਸਿਆ ਸ਼ਰਤ ਦੇ ਅਧੀਨ f ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ।
23. ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ f ਅਤੇ g ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ∇f(x,y)=(48−2x−2y)i+(96−2x−18y)j∇g(x,y)=5i+j। ਸਮੀਕਰਨ ∇f(x0,y0)=λ∇g(x0,y0) (48−2x0−2y0)i+(96−2x0−18y0)j=λ(5i+j) ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ (48−2x0−2y0)i+(96−2x0−18y0)j=λ5i+λj ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ i ਅਤੇ j ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: 48−2x0−2y0=5λ96−2x0−18y0=λ। ਸਮੀਕਰਨ g(x0,y0)=0 5x0+y0−54=0 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਿਸਟਮ ਜਿਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਉਹ ਹੈ 48−2x0−2y0=5λ96−2x0−18y0=λ5x0+y0−54=0।
24. ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ λ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: 48−2x0−2y0=5(96−2x0−18y0)48−2x0−2y0=480−10x0−90y08x0=432−88y0x0=54−11y0। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਤੀਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: 5(54−11y0)+y0−54=0270−55y0+y0=0216−54y0=0y0=4। ਕਿਉਂਕਿ x0=54−11y0, ਇਹ x0=10 ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਫਿਰ (10,4)(10,4) ਨੂੰ f(x,y)=48x+96y−x2−2xy−9y2,f(x,y)=48x+96y−x2−2xy−9y2 ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਨਾਲ f(10,4)=48(10)+96(4)−(10)2−2(10)(4)−9(4)2=480+384−100−80−144=540.f(10,4)=48(10)+96(4)−(10)2−2(10)(4)−9(4)2=480+384−100−80−144=540. ਇਸ ਲਈ ਬਜਟ ਦੀਆਂ ਰੁਕਾਵਟਾਂ ਦੇ ਅਧੀਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁਨਾਫਾ $540,000$540,000 ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ 10,00010,000 ਗੋਲਫ ਬਾਲਾਂ ਦਾ ਉਤਪਾਦਨ ਪੱਧਰ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ 44 ਘੰਟੇ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਬਾਜ਼ੀ ਖਰੀਦੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਆਓ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ ਕਿ ਇਹ ਸੱਚਮੁੱਚ ਇੱਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ। ਰੁਕਾਵਟ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (10.8,0)(10.8,0) ਅਤੇ (0,54)(0,54) ਹਨ। ਆਓ ਦੋਵਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ f ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢੀਏ: f(10.8,0)=48(10.8)+96(0)−10.82−2(10.8)(0)−9(02)=401.76f(0,54)=48(0)+96(54)−02−2(0)(54)−9(542)=−21,060.f(10.8,0)=48(10.8)+96(0)−10.82−2(10.8)(0)−9(02)=401.76f(0,54)=48(0)+96(54)−02−2(0)(54)−9(542)=−21,060. ਦੂਜਾ ਮੁੱਲ ਨੁਕਸਾਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਗੋਲਫ ਬਾਲਾਂ ਦਾ ਉਤਪਾਦਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ 540,000540,000 ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਡਾ ਅਤਿਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.38
ਇੱਕ ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਹੈ ਕਿ ਉਸਦਾ ਉਤਪਾਦਨ ਪੱਧਰ ਕੋਬ-ਡਗਲਸ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=2.5x0.45y0.55f(x,y)=2.5x0.45y0.55 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਮਜ਼ਦੂਰੀ ਦੇ ਕੁੱਲ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ y ਕੰਪਨੀ ਲਈ ਕੁੱਲ ਪੂੰਜੀ ਨਿਵੇਸ਼ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 11 ਯੂਨਿਟ ਮਜ਼ਦੂਰੀ ਦੀ ਕੀਮਤ $40$40 ਹੈ ਅਤੇ 11 ਯੂਨਿਟ ਪੂੰਜੀ ਦੀ ਕੀਮਤ $50$50 ਹੈ। $500,000$500,000 ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਦੇ ਬਜਟ ਰੁਕਾਵਟ ਦੇ ਅਧੀਨ f(x,y)=2.5x0.45y0.55f(x,y)=2.5x0.45y0.55 ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਲਾਗਰੇਂਜ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਕੰਸਟਰੇਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਾਲੇ ਆਪਟੀਮਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਆਪਟੀਮਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਗਰੇਂਜ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਆਪਟੀਮਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ: f(x,y,z)=x0.2y0.4z0.4,f(x,y,z)=x0.2y0.4z0.4, ਜਿੱਥੇ xx ਮਜ਼ਦੂਰੀ ਦੀ ਲਾਗਤ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, yy ਪੂੰਜੀ ਨਿਵੇਸ਼ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ zz ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਬਾਜ਼ੀ ਦੀ ਲਾਗਤ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਵਿਧੀ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਵਿਧੀ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ; ਹੱਲ ਕੀਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ
ਉਦਾਹਰਨ 4.44
ਤਿੰਨ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਆਪਟੀਮਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਲਾਗਰੇਂਜ ਗੁਣਕ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y,z)=x2+y2+z2f(x,y,z)=x2+y2+z2 ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ, ਜਿਸਦੀ ਰੁਕਾਵਟ x+y+z=1.x+y+z=1 ਹੈ।
ਹੱਲ
ਆਪਟੀਮਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y,z)=x2+y2+z2.f(x,y,z)=x2+y2+z2 ਹੈ। ਰੁਕਾਵਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਰੁਕਾਵਟ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਤੋਂ 1 ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ: x+y+z−1=0x+y+z−1=0 ਜੋ ਰੁਕਾਵਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ g(x,y,z)=x+y+z−1.g(x,y,z)=x+y+z−1 ਵਜੋਂ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ∇f(x,y,z)∇f(x,y,z) ਅਤੇ ∇g(x,y,z):∇g(x,y,z) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:∇g(x,y,z): ∇f(x,y,z)=〈2x,2y,2z〉∇g(x,y,z)=〈1,1,1〉.∇f(x,y,z)=〈2x,2y,2z〉∇g(x,y,z)=〈1,1,1〉. ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ 〈2x0,2y0,2z0〉=λ〈1,1,1〉x0+y0+z0−1=0〈2x0,2y0,2z0〉=λ〈1,1,1〉x0+y0+z0−1=0 ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: 2x0=λ2y0=λ2z0=λx0+y0+z0−1=0.2x0=λ2y0=λ2z0=λx0+y0+z0−1=0.
ਕਿਉਂਕਿ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ λλ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 2x0=2y0=2z02x0=2y0=2z0 ਅਤੇ ਤਿੰਨੋਂ ਵੇਰੀਏਬਲ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਆਖਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ y0=x0y0=x0 ਅਤੇ z0=x0z0=x0 ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ 3x0−1=0,3x0−1=0 ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ x0=13x0=13 ਅਤੇ y0=13y0=13 ਅਤੇ z0=13z0=13 ਜੋ ਰੁਕਾਵਟ ਕਰਵ 'ਤੇ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।
ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ (13,13,13):(13,13,13) 'ਤੇ f ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ: f(13,13,13)=(13)2+(13)2+(13)2=39=13.f(13,13,13)=(13)2+(13)2+(13)2=39=13. ਇਸ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਅਤਿਅੰਤ ਬਿੰਦੂ 13.13 ਹੈ। ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੈ, ਰੁਕਾਵਟ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ f ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢੋ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(1,0,0)=12+02+02=1f(0,−2,3)=02+(−2)2+32=13.f(1,0,0)=12+02+02=1f(0,−2,3)=02+(−2)2+32=13. ਇਹਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 13.13 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹਨ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਤਿਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.39
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਲਾਗਰੇਂਜ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਜਿਸਦੀ ਰੁਕਾਵਟ x2+y2+z2=1.x2+y2+z2=1 ਹੈ।
ਦੋ ਰੁਕਾਵਟਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ
ਲਾਗਰੇਂਜ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਰੁਕਾਵਟਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, w ਦਾ ਆਪਟੀਮਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ:
ਅਤੇ ਇਹ ਦੋ ਰੁਕਾਵਟਾਂ ਦੇ ਅਧੀਨ ਹੈ:
ਦੋ ਲਾਗਰੇਂਜ ਗੁਣਕ, λ1λ1 ਅਤੇ λ2,λ2, ਹਨ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਬਣਦੀ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 4.45
ਦੋ ਰੁਕਾਵਟਾਂ ਨਾਲ ਲਾਗਰੇਂਜ ਗੁਣਕ
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਅੰਤ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭੋ
ਜਿਸਦੀ ਰੁਕਾਵਟਾਂ z2=x2+y2z2=x2+y2 ਅਤੇ x+y−z+1=0.x+y−z+1=0 ਹਨ।
ਹੱਲ
Let’s follow the problem-solving strategy:
The optimization function is f(x,y,z)=x2+y2+z2.f(x,y,z)=x2+y2+z2. To determine the constraint functions, we first subtract z2z2 from both sides of the first constraint, which gives x2+y2−z2=0,x2+y2−z2=0, so g(x,y,z)=x2+y2−z2.g(x,y,z)=x2+y2−z2. The second constraint function is h(x,y,z)=x+y−z+1.h(x,y,z)=x+y−z+1.
We then calculate the gradients of f,g,andh:f,g,andh: ∇f(x,y,z)=2xi+2yj+2zk∇g(x,y,z)=2xi+2yj−2zk∇h(x,y,z)=i+j−k.∇f(x,y,z)=2xi+2yj+2zk∇g(x,y,z)=2xi+2yj−2zk∇h(x,y,z)=i+j−k. The equation ∇f(x0,y0,z0)=λ1∇g(x0,y0,z0)+λ2∇h(x0,y0,z0)∇f(x0,y0,z0)=λ1∇g(x0,y0,z0)+λ2∇h(x0,y0,z0) becomes 2x0i+2y0j+2z0k=λ1(2x0i+2y0j−2z0k)+λ2(i+j−k),2x0i+2y0j+2z0k=λ1(2x0i+2y0j−2z0k)+λ2(i+j−k), which can be rewritten as 2x0i+2y0j+2z0k=(2λ1x0+λ2)i+(2λ1y0+λ2)j−(2λ1z0+λ2)k.2x0i+2y0j+2z0k=(2λ1x0+λ2)i+(2λ1y0+λ2)j−(2λ1z0+λ2)k. Next, we set the coefficients of i,j, andki,j, andk equal to each other: 2x0=2λ1x0+λ22y0=2λ1y0+λ22z0=−2λ1z0−λ2.2x0=2λ1x0+λ22y0=2λ1y0+λ22z0=−2λ1z0−λ2. The two equations that arise from the constraints are z02=x02+y02z02=x02+y02 and x0+y0−z0+1=0.x0+y0−z0+1=0. Combining these equations with the previous three equations gives 2x0=2λ1x0+λ22y0=2λ1y0+λ22z0=−2λ1z0−λ2z02=x02+y02x0+y0−z0+1=0.2x0=2λ1x0+λ22y0=2λ1y0+λ22z0=−2λ1z0−λ2z02=x02+y02x0+y0−z0+1=0.
The first three equations contain the variable λ2.λ2. Solving the third equation for λ2λ2 and replacing into the first and second equations reduces the number of equations to four: 2x0=2λ1x0−2λ1z0−2z02y0=2λ1y0−2λ1z0−2z0z02=x02+y02x0+y0−z0+1=0.2x0=2λ1x0−2λ1z0−2z02y0=2λ1y0−2λ1z0−2z0z02=x02+y02x0+y0−z0+1=0. Next, we solve the first and second equation for λ1.λ1. The first equation gives λ1=x0+z0x0−z0,λ1=x0+z0x0−z0, the second equation gives λ1=y0+z0y0−z0.λ1=y0+z0y0−z0. We set the right-hand side of each equation equal to each other and cross-multiply: x0+z0x0−z0=y0+z0y0−z0(x0+z0)(y0−z0)=(x0−z0)(y0+z0)x0y0−x0z0+y0z0−z02=x0y0+x0z0−y0z0−z022y0z0−2x0z0=02z0(y0−x0)=0..x0+z0x0−z0=y0+z0y0−z0(x0+z0)(y0−z0)=(x0−z0)(y0+z0)x0y0−x0z0+y0z0−z02=x0y0+x0z0−y0z0−z022y0z0−2x0z0=02z0(y0−x0)=0.. Therefore, either z0=0z0=0 or y0=x0.y0=x0. If z0=0,z0=0, then the first constraint becomes 0=x02+y02.0=x02+y02. The only real solution to this equation is x0=0x0=0 and y0=0,y0=0, which gives the ordered triple (0,0,0).(0,0,0). This point does not satisfy the second constraint, so it is not a solution. Next, we consider y0=x0,y0=x0, which reduces the number of equations to three: y0=x0z02=x02+y02x0+y0−z0+1=0.y0=x0z02=x02+y02x0+y0−z0+1=0. We substitute the first equation into the second and third equations: z02=x02+x02x0+x0−z0+1=0.z02=x02+x02x0+x0−z0+1=0. Then, we solve the second equation for z0,z0, which gives z0=2x0+1.z0=2x0+1. We then substitute this into the first equation, z02=2x02(2x0+1)2=2x024x02+4x0+1=2x022x02+4x0+1=0,z02=2x02(2x0+1)2=2x024x02+4x0+1=2x022x02+4x0+1=0, and use the quadratic formula to solve for x0:x0: x0=−4±42−4(2)(1)2(2)=−4±84=−4±224=−1±22.x0=−4±42−4(2)(1)2(2)=−4±84=−4±224=−1±22. Recall y0=x0,y0=x0, so this solves for y0y0 as well. Then, z0=2x0+1,z0=2x0+1, so z0=2x0+1=2(−1±22)+1=−2+1±2=−1±2.z0=2x0+1=2(−1±22)+1=−2+1±2=−1±2. Therefore, there are two ordered triplet solutions: (−1+22,−1+22,−1+2)and(−1−22,−1−22,−1−2).(−1+22,−1+22,−1+2)and(−1−22,−1−22,−1−2).
We substitute (−1+22,−1+22,−1+2)(−1+22,−1+22,−1+2) into f(x,y,z)=x2+y2+z2,f(x,y,z)=x2+y2+z2, which gives f(−1+22,−1+22,−1+2)=(−1+22)2+(−1+22)2+(−1+2)2=(1−2+12)+(1−2+12)+(1−22+2)=6−42.f(−1+22,−1+22,−1+2)=(−1+22)2+(−1+22)2+(−1+2)2=(1−2+12)+(1−2+12)+(1−22+2)=6−42. Then, we substitute (−1−22,−1−22,−1−2)(−1−22,−1−22,−1−2) into f(x,y,z)=x2+y2+z2,f(x,y,z)=x2+y2+z2, which gives f(−1−22,−1−22,−1−2)=(−1−22)2+(−1−22)2+(−1−2)2=(1+2+12)+(1+2+12)+(1+22+2)=6+42.f(−1−22,−1−22,−1−2)=(−1−22)2+(−1−22)2+(−1−2)2=(1+2+12)+(1+2+12)+(1+22+2)=6+42. 6+426+42 and 6−426−42 are the local extreme values of f(x,y,z),f(x,y,z), subject to the given constraints.
Checkpoint 4.40
Use the method of Lagrange multipliers to find the minimum value of the function
subject to the constraints 2x+y+2z=92x+y+2z=9 and 5x+5y+7z=29.5x+5y+7z=29.
For the following exercises, use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given constraints.
f ( x , y ) = x 2 y ; x 2 + 2 y 2 = 6 f ( x , y ) = x 2 y ; x 2 + 2 y 2 = 6
f ( x , y , z ) = x y z , x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6 f ( x , y , z ) = x y z , x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6
f ( x , y ) = x y ; 4 x 2 + 8 y 2 = 16 f ( x , y ) = x y ; 4 x 2 + 8 y 2 = 16
f ( x , y ) = 4 x 3 + y 2 ; 2 x 2 + y 2 = 1 f ( x , y ) = 4 x 3 + y 2 ; 2 x 2 + y 2 = 1
f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 , x 4 + y 4 + z 4 = 1 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 , x 4 + y 4 + z 4 = 1
f ( x , y , z ) = y z + x y , x y = 1 , y 2 + z 2 = 1 f ( x , y , z ) = y z + x y , x y = 1 , y 2 + z 2 = 1
f ( x , y ) = x 2 + y 2 , ( x − 1 ) 2 + 4 y 2 = 4 f ( x , y ) = x 2 + y 2 , ( x − 1 ) 2 + 4 y 2 = 4
f ( x , y ) = 4 x y , x 2 9 + y 2 16 = 1 f ( x , y ) = 4 x y , x 2 9 + y 2 16 = 1
f ( x , y , z ) = x + y + z , 1 x + 1 y + 1 z = 1 f ( x , y , z ) = x + y + z , 1 x + 1 y + 1 z = 1
f ( x , y , z ) = x + 3 y − z , x 2 + y 2 + z 2 = 4 f ( x , y , z ) = x + 3 y − z , x 2 + y 2 + z 2 = 4
f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 , x y z = 4 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 , x y z = 4
Minimize f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x2+y2 on the hyperbola xy=1.xy=1.
Minimize f(x,y)=xyf(x,y)=xy on the ellipse b2x2+a2y2=a2b2.b2x2+a2y2=a2b2.
Maximize f(x,y,z)=2x+3y+5zf(x,y,z)=2x+3y+5z on the sphere x2+y2+z2=19.x2+y2+z2=19.
Maximize f(x,y)=x2−y2;x>0,y>0;g(x,y)=y−x2=0f(x,y)=x2−y2;x>0,y>0;g(x,y)=y−x2=0
1. ਵਕਰ x3−y3=1, ਰੇਖਾ y=x ਦੇ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ੀ ਹੈ। ਰੇਖਾ y=x ਤੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਦੂਰ ਬਿੰਦੂ(ਬਿੰਦੂਆਂ) ਨੂੰ ਵਕਰ x3−y3=1 ਤੇ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. U(x,y)=8x4/5y1/5 ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ 4x+2y=12।
3. f(x,y)=x2+y2 ਨੂੰ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ x+2y−5=0।
4. f(x,y)=6−x2−y2 ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ x+y−2=0।
5. f(x,y,z)=x2+y2+z2 ਨੂੰ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ x+y+z=1।
6. f(x,y)=x2−y2 ਨੂੰ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ x−2y+6=0।
7. f(x,y,z)=x2+y2+z2 ਨੂੰ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਕਰੋ, ਜਦੋਂ x+y+z=9 ਅਤੇ x+2y+3z=20।
8. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਗਰੇਂਜ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
9. ਇੱਕ ਪੈਂਟਾਗਨ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਰੱਖ ਕੇ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਪੈਂਟਾਗਨ ਦਾ ਘੇਰਾ 1010 ਇੰਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੈਂਟਾਗਨ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਪੈਂਟਾਗਨ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨਗੀਆਂ।
10. ਉੱਪਰੋਂ ਖੁੱਲ੍ਹਾ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਡੱਬਾ 1212 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਕਾਰਡਬੋਰਡ ਤੋਂ ਬਣਾਇਆ ਜਾਣਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਡੱਬੇ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
11. ਅੰਡਾਕਾਰ x2+xy+2y2=1 ਅਤੇ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੂਰੀਆਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
12. ਸਤ੍ਹਾ x2−2xy+y2−x+y=0 ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ (1,2,−3) ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਬਿੰਦੂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
13. ਦਿਖਾਓ ਕਿ, ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਜਿਸਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ RR ਹੈ, ਵਿੱਚ ਬਣੇ ਸਾਰੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਘੇਰਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)।
14. ਬਿੰਦੂ (0,1) ਤੋਂ ਪਰਵਲੈ x2=4y ਤੱਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
15. ਪਰਵਲੈ y=x2 ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (0,3) ਤੱਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
16. ਸਮਤਲ x+y+z=1 ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (2,1,1) ਤੱਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
17. ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਕੰਟੇਨਰ ਜਿਸਦਾ ਆਕਾਰ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਠੋਸ ਹੈ, ਦਾ ਆਇਤਨ 480480 m3 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਕੰਟੇਨਰ ਦੇ ਤਲ ਦੀ ਉਸਾਰੀ ਦੀ ਲਾਗਤ $5/m2 ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ ਉੱਪਰਲੇ ਅਤੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਉਸਾਰੀ ਦੀ ਲਾਗਤ $3/m2 ਹੈ। ਲਾਗਰੇਂਜ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸ ਆਕਾਰ ਦੇ ਕੰਟੇਨਰ ਦੇ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦੀ ਲਾਗਤ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਵੇ।
18. ਰੇਖਾ y=2x+3 ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ (4,2) ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਬਿੰਦੂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
19. ਸਮਤਲ 4x+3y+z=2 ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ (1,−1,1) ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਬਿੰਦੂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
20. f(x,y)=sinxsiny ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ x ਅਤੇ y ਇੱਕ ਸਮਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਨਿਊਨਤਮ ਕੋਣ ਹਨ। CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਕੰਟੂਰ ਪਲਾਟ ਬਣਾਓ।
21. ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਠੋਸ ਇੱਕ ਚਤੁਰਫਲਕ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), ਅਤੇ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਹਨ। ਡੱਬੇ ਦੇ ਆਧਾਰ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ x,y ਹਨ, ਅਤੇ ਡੱਬੇ ਦੀ ਉਚਾਈ z ਹੈ। ਜੇਕਰ x,y, ਅਤੇ z ਦਾ ਜੋੜ 1.0 ਹੈ, ਤਾਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਠੋਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ।
22. (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), ਅਤੇ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ।
23. [T] x ਇਕਾਈ ਮਜ਼ਦੂਰੀ ਅਤੇ y ਇਕਾਈ ਪੂੰਜੀ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਕੇ, ਇੱਕ ਘੜੀ ਨਿਰਮਾਤਾ P(x,y)=50x0.4y0.6 ਘੜੀਆਂ ਦਾ ਉਤਪਾਦਨ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। $20,000 ਦੇ ਬਜਟ 'ਤੇ ਪੈਦਾ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀਆਂ ਘੜੀਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੇ ਮਜ਼ਦੂਰੀ ਦੀ ਲਾਗਤ $100/ਇਕਾਈ ਅਤੇ ਪੂੰਜੀ ਦੀ ਲਾਗਤ $200/ਇਕਾਈ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਕੰਟੂਰ ਪਲਾਟ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨ ਲਈ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।