ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
5.2.1 ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਆਮ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗਰੇਬਲ ਕਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
5.2.2 ਦੋ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤੇ x ਦੇ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, x, ਜਾਂ ਦੋ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤੇ y ਦੇ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, y ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਇਟੇਰੇਟਿਡ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
5.2.3 ਏਕੀਕਰਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਇੱਕ ਇਟੇਰੇਟਿਡ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
5.2.4 ਦੋ ਸਤਹਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਦੇ ਆਇਤਨ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5.2.5 ਡਬਲ ਇੰਪ੍ਰਾਪਰ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲਸ ਓਵਰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਰੀਜਨਜ਼ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਸੰਕਲਪ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਸਾਧਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ। ਅਸੀਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਖੇਤਰਾਂ ਉੱਤੇ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਨ ਲਈ ਤਕਨੀਕਾਂ ਅਤੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਖਿਆ। ਅਸੀਂ ਕਈ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਵੀ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਸੀਮਤ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣਾ, ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਖੇਤਰ ਲੱਭਣਾ, ਅਤੇ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸਮਤਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਆਮ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ DD ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪਿਛਲੇ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਨਤੀਜੇ ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਕੁਝ ਤਕਨੀਕਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਕੇਸ ਨੂੰ ਕਵਰ ਕਰਨ ਲਈ ਵਧਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਏਕੀਕਰਨ ਦੇ ਆਮ ਖੇਤਰ
ਸਮਤਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਆਮ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ DD ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਚਿੱਤਰ 5.12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ DD ਸਮਤਲ ਉੱਤੇ ਸੀਮਤ ਹੈ, ਇਸੇ ਸਮਤਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਖੇਤਰ RR ਮੌਜੂਦ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜੋ ਖੇਤਰ D ਨੂੰ ਘੇਰਦਾ ਹੈ, ਭਾਵ, ਇੱਕ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਖੇਤਰ RR ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ DD ਇੱਕ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਹੈ R(D⊆R)।
ਚਿੱਤਰ 5.12: R,R ਦੇ ਇੱਕ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਦੇ ਖੇਤਰ DD ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x,y) ਨੂੰ DD ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ f(x,y) ਅਤੇ R ਵਿੱਚ DD ਵਿੱਚ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਮੰਨ ਲਓ z=f(x,y) ਚਿੱਤਰ 5.12 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਮ ਸਮਤਲ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ DD ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। DD ਉੱਤੇ f ਦੇ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਖੇਤਰ RR ਦੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਤੋਂ ਸੰਕਲਪਾਂ ਅਤੇ ਸਾਧਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪਰ ਅਸੀਂ R ਉੱਤੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਲਈ f ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਿਵੇਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ? ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ RR ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x,y) ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇ DD ਦੀ ਸੀਮਾ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕੁਝ ਤਕਨੀਕੀ ਮੁਸ਼ਕਲਾਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਟੁਕੜੇ-ਟੁਕੜੇ ਨਿਰਵਿਘਨ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਸਧਾਰਨ ਬੰਦ ਵਕਰ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। ਨਾਲ ਹੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਰੀਜਨਜ਼ ਉੱਤੇ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਵਿੱਚ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਾਰੇ ਨਤੀਜੇ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰੇਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਸਾਨੂੰ g(x,y) ਬਾਰੇ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਤਸਦੀਕ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ g(x,y) ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਖੇਤਰ R ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰੇਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਖੇਤਰ DD ਸਧਾਰਨ ਬੰਦ ਵਕਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਲਹਾਲ ਅਸੀਂ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਵਰਣਨ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਾਂਗੇ ਨਾ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਅਤੇ ਏਕੀਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੇ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਉਚਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਧਾਵਾਂਗੇ।
ਅਸੀਂ ਦੋ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸਮਤਲ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
(x,y) ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖੇਤਰ DD ਕਿਸਮ I ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਦੋ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤੇ ਦੋ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ g1(x) ਅਤੇ g2(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪਿਆ ਹੋਵੇ। ਭਾਵ (ਚਿੱਤਰ 5.13),
xy ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖੇਤਰ DD ਕਿਸਮ II ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਦੋ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤੇ ਦੋ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ h1(y) ਅਤੇ h2(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪਿਆ ਹੋਵੇ। ਭਾਵ (ਚਿੱਤਰ 5.14),
ਚਿੱਤਰ 5.13: ਇੱਕ ਕਿਸਮ I ਖੇਤਰ ਦੋ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤੇ x ਦੇ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.14: ਇੱਕ ਕਿਸਮ II ਖੇਤਰ ਦੋ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤੇ y ਦੇ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.11
ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਕਿਸਮ I ਅਤੇ ਕਿਸਮ II ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ
ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ y=x ਅਤੇ y=x^3 ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ (ਚਿੱਤਰ 5.15)। ਖੇਤਰ ਦਾ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿਸਮ I ਵਜੋਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਕਿਸਮ II ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 5.15: ਖੇਤਰ DD ਨੂੰ ਕਿਸਮ I ਜਾਂ ਕਿਸਮ II ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਟਾਈਪ I ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਉਸ ਖੇਤਰ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਸ ਖੇਤਰ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਥੇ, ਖੇਤਰ DD, x∈[0,1] ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ y=x^3 ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ y=x ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਸੀਮਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਟਾਈਪ I ਵਜੋਂ, DD ਨੂੰ ਸੈੱਟ {(x,y)|0≤x≤1,x^3≤y≤x} ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਟਾਈਪ II ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਉਸ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਉਸ ਖੇਤਰ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਥੇ, ਖੇਤਰ DD, y∈[0,1] ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ x=y^3 ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ x=y^2 ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸੀਮਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਟਾਈਪ II ਵਜੋਂ, DD ਨੂੰ ਸੈੱਟ {(x,y)|0≤y≤1,y^2≤x≤y^3} ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚੌਕੀ 5.7
ਪਹਿਲੇ ਚੌਥਾਈ ਵਿੱਚ y=2x ਅਤੇ y=x^2 ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਖੇਤਰ ਦਾ ਪਹਿਲਾਂ ਟਾਈਪ I ਅਤੇ ਫਿਰ ਟਾਈਪ II ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
ਗੈਰ-ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰਾਂ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ
ਇੱਕ ਆਮ, ਗੈਰ-ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਮੁਲਾਂਕਣ ਲਈ ਸੰਕਲਪ ਅਤੇ ਸਾਧਨ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਟਾਈਪ I ਜਾਂ ਟਾਈਪ II ਜਾਂ ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਸੁਮੇਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝੇ ਬਿਨਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੋਵਾਂਗੇ। ਪਹਿਲੇ ਕਦਮ ਵਜੋਂ, ਆਓ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ।
ਥਿਊਰਮ 5.3
ਗੈਰ-ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰਾਂ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ
ਮੰਨ ਲਓ g(x,y) ਖੇਤਰ DD ਉੱਤੇ ਆਇਤ RR ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ DD, RR ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ। ਨਮੂਨਾ ਖੇਤਰ ਚਿੱਤਰ 5.12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਫਿਰ g(x,y) ਇੰਟੀਗਰੇਬਲ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ DD ਉੱਤੇ f(x,y) ਦੇ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ ਉਹ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਥਿਊਰਮ ਵਾਜਬ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ RR ਇੱਕ ਆਇਤ ਹੈ ਅਤੇ ∬Rg(x,y)dA ਦਾ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, ਸਮਾਨਤਾ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ g(x,y) ਦੇ ਮੁੱਲ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਲਈ 0 ਹਨ ਜੋ D ਦੇ ਬਾਹਰ ਪੈਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਵੀ ਨਹੀਂ ਜੋੜਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਆਇਤ RR, ਖੇਤਰ D ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਦਰਅਸਲ, ਜੇਕਰ ਖੇਤਰ DD ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਉੱਤੇ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਟਾਈਪ I ਜਾਂ ਟਾਈਪ II ਜਾਂ ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਮਿਸ਼ਰਣ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਆਇਤ RR ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਪਵੇਗੀ।
ਥਿਊਰਮ 5.4
ਫੁਬਿਨੀ ਦਾ ਥਿਊਰਮ (ਮਜ਼ਬੂਤ ਰੂਪ)
ਟਾਈਪ I ਦੇ ਖੇਤਰ DD ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y) ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਟਾਈਪ II ਦੇ ਖੇਤਰ DD ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y) ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗਰਲ ਇੱਕ ਇਟਰੇਟਿਡ ਇੰਟੀਗਰਲ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇਖੇ ਗਏ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅੰਦਰੂਨੀ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ f(x,y) ਨੂੰ x ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖ ਕੇ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ g1(x) ਅਤੇ g2(x) ਦੇ ਨਾਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅੰਦਰੂਨੀ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ f(x,y) ਨੂੰ y ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖ ਕੇ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ h1(y) ਅਤੇ h2(y) ਦੇ ਨਾਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.12
ਟਾਈਪ I ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਇਟਰੇਟਿਡ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ
ਇੰਟੀਗਰਲ ∬Dx^2e^{xy}dA ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ DD ਚਿੱਤਰ 5.16 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ DD ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਟਾਈਪ I ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਬਣਾਓ (ਚਿੱਤਰ 5.16)। ਇੱਥੇ D={(x,y)|0≤x≤2,1/2x≤y≤1}। ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
ਚਿੱਤਰ 5.16: ਅਸੀਂ DD ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਟਾਈਪ I ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ y=1/2x ਤੋਂ y=1 ਤੱਕ, x=0 ਅਤੇ x=2 ਦੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
ਉਦਾਹਰਨ 5.12 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਸੀ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ D={(x,y)|0≤y≤1,0≤x≤2y} (ਚਿੱਤਰ 5.17)।
1. ਇਹ ਇੱਕ ਕਿਸਮ II ਖੇਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਕਿਤ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ
2. ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ x,x ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਅੰਕਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਅੰਕਿਤ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲੰਬਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਭਾਗਾਂ ਦੁਆਰਾ ਅੰਕਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 5.13
4. ਕਿਸਮ II ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਇਆ ਅੰਕਿਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ
5. ਅੰਕਿਤ ∬D(3x2+y2)dA∬D(3x2+y2)dA ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ ={(x,y)|−2≤y≤3,y2−3≤x≤y+3}.={(x,y)|−2≤y≤3,y2−3≤x≤y+3}.
6. ਹੱਲ
7. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ DD ਨੂੰ ਕਿਸਮ I ਜਾਂ ਕਿਸਮ II ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5.18 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ DD ਨੂੰ ਕਿਸਮ II ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ ਇਸਨੂੰ ਕਿਸਮ II ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ DD ਨੂੰ ਅੰਕਿਤ ਲਈ ਕਿਸਮ II ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ।
8. ਚਿੱਤਰ 5.18: ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ DD ਖੇਤਰ ਜਾਂ ਤਾਂ (a) ਕਿਸਮ I ਜਾਂ (b) ਕਿਸਮ II ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
9. ਅੰਕਿਤ ਦਾ ਇਹ ਕ੍ਰਮ ਚੁਣਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
10. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.8
11. DD ਖੇਤਰ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਦੁਹਰਾਏ ਅੰਕਿਤ ∬Dxydydx∬Dxydydx ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ DD ਵਕਰਾਂ y=cosxy=cosx ਅਤੇ y=sinxy=sinx ਦੁਆਰਾ ਅੰਤਰਾਲ [−3π/4,π/4].[−3π/4,π/4] ਵਿੱਚ ਘਿਰੀ ਹੋਈ ਹੈ।
12. ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰਾਂ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਅੰਕਿਤ ਤੋਂ ਦੋਹਰੇ ਅੰਕਿਤ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਤੋਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਇਹ ਸਾਰੇ ਗੁਣ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਆਇਤਾਕਾਰ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਵੀ ਵੈਧ ਹਨ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਗੁਣ 33 ਦੱਸਦਾ ਹੈ:
13. ਜੇਕਰ R=S∪TR=S∪T ਅਤੇ S∩T=∅S∩T=∅ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ, ਤਾਂ
14. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਆਇਤਾਕਾਰ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਅੰਕਿਤ ਦਾ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗੁਣ ਹੈ।
15. ਥਿਊਰਮ 5.5
16. ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ
17. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ DD ਖੇਤਰ ਨੂੰ D=D1∪D2D=D1∪D2 ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ D1D1 ਅਤੇ D2D2 ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਓਵਰਲੈਪ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਫਿਰ
18. ਇਹ ਥਿਊਰਮ ਗੈਰ-ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰਾਂ ਲਈ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਕਿਸਮ I ਅਤੇ ਕਿਸਮ II ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਟੁਕੜੇ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਅੰਕਿਤ ਦੀ ਗਣਨਾ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ।
19. ਉਦਾਹਰਨ 5.14
20. ਖੇਤਰਾਂ ਦਾ ਵਿਭਾਜਨ
21. ਚਿੱਤਰ 5.19 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ DD ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਕਿਸਮ I ਜਾਂ ਕਿਸਮ II ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਅੰਕਿਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ
22. ਚਿੱਤਰ 5.19: ਇਸ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਕਿਸਮ I ਜਾਂ ਕਿਸਮ II ਦੇ ਤਿੰਨ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
23. ਹੱਲ
24. DD ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ ਆਸਾਨ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਇਹ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦਾ ਸੁਮੇਲ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਤਿੰਨ ਖੇਤਰਾਂ D1,D2,ਅਤੇD3D1,D2,ਅਤੇD3 ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ, D1={(x,y)|−2≤x≤0,0≤y≤(x+2)2},D1={(x,y)|−2≤x≤0,0≤y≤(x+2)2}, D2={(x,y)|0≤y≤4,0≤x≤(y−116y3)}, D2={(x,y)|0≤y≤4,0≤x≤(y−116y3)}, D3=x,y-4≤y≤0,-2≤x≤y-y316.D3=x,y-4≤y≤0,-2≤x≤y-y316. ਇਹ ਖੇਤਰ ਚਿੱਤਰ 5.20 ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
5.20 ਅੰਕ: ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਉਪ-ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ ਨਾਲ ਏਕੀਕਰਨ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
Here D1D1 is Type II and D2D2 and D3D3 are both of Type II. Hence,
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਨੂੰ ਦੋ ਕਿਸਮ II ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ (ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ ਵੇਖੋ)।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.9
y=lnxy=lnx ਅਤੇ y=exy=ex ਵਕਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ [1,2].[1,2] ਹੈ। ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਕਿਸਮ II ਦੇ ਛੋਟੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.10
ਉਦਾਹਰਨ 5.14 ਨੂੰ ਦੋ ਕਿਸਮ II ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਕਰੋ।
ਏਕੀਕਰਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਏਕੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਕਈ ਵਾਰ ਏਕੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਦੂਜੇ ਏਕੀਕਰਨ ਕ੍ਰਮ ਨਾਲੋਂ ਕਾਫ਼ੀ ਸਰਲ ਗਣਨਾ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ ਏਕੀਕਰਨ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਕੋਈ ਮਾਇਨੇ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ, ਪਰ ਇਹ ਪਛਾਣਨਾ ਸਿੱਖਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਕਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਵੇਗੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.15
ਏਕੀਕਰਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ
ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਏਕੀਕਰਨ ∫x=0x=2∫y=0y=2−x2xex2dydx.∫x=0x=2∫y=0y=2−x2xex2dydx. ਦੇ ਏਕੀਕਰਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਉਲਟਾਓ। ਫਿਰ ਨਵੇਂ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਏਕੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਖੇਤਰ ਜਿਵੇਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਕਿਸਮ I ਦਾ ਹੈ। ਏਕੀਕਰਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਉਲਟਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਕਿਸਮ II ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅੰਕ 5.21 ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿਓ।
ਅੰਕ 5.21: ਕਿਸਮ I ਤੋਂ ਕਿਸਮ II ਤੱਕ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ।
ਅਸੀਂ ਏਕੀਕਰਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਖੇਤਰ y=2−x2y=2−x2 ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਅਤੇ y=0,y=0 ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ xx ਅੰਤਰਾਲ [0,2].[0,2] ਵਿੱਚ ਹੈ। ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਕੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਖੇਤਰ x=0x=0 ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ x=2−yx=2−y ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ yy ਅੰਤਰਾਲ [0,2].[0,2] ਵਿੱਚ ਹੈ। ਅਸੀਂ xx ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ y=2−x2y=2−x2 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਤਾਂ ਜੋ x=2−y.x=2−y ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋ ਸਕੇ।
ਇਸ ਲਈ
ਉਦਾਹਰਨ 5.16
ਏਕੀਕਰਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਕੇ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਏਕੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ
ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਏਕੀਕਰਨ ∬Rf(x,y)dxdy∬Rf(x,y)dxdy 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ z=f(x,y)=x−2yz=f(x,y)=x−2y ਇੱਕ ਤਿਕੋਣੀ ਖੇਤਰ RR ਉੱਤੇ ਹੈ ਜਿਸ ਦੇ ਪਾਸੇ x=0,y=0,x=0,y=0, ਅਤੇ ਲਾਈਨ x+y=1.x+y=1 ਹਨ। ਖੇਤਰ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਦੁਆਰਾ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਏਕੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ
ਪਹਿਲਾਂ y ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਏਕੀਕਰਨ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ
ਪਹਿਲਾਂ x ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਏਕੀਕਰਨ ਕਰਕੇ।x.
ਹੱਲ
ਖੇਤਰ ਦਾ ਸਕੈਚ ਅੰਕ 5.22 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਅੰਕ 5.22: ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਏਕੀਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣੀ ਖੇਤਰ RR।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਏਕੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪੂਰਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ y=0 ਤੋਂ y=1−x ਤੱਕ y ਦਾ ਏਕੀਕਰਨ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ ਅਤੇ ਫਿਰ x=0 ਤੋਂ x=1 ਤੱਕ x ਦਾ ਏਕੀਕਰਨ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ: ∬Rf(x,y)dxdy=∫x=0x=1∫y=0y=1−x(x−2y)dydx=∫x=0x=1[xy−y2]y=0y=1−xdx=∫x=0x=1[x(1−x)−(1−x)2]dx=∫x=0x=1[−1+3x−2x2]dx=[−x+32x2−23x3]x=0x=1=−16.
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਕਰਨ ਦਾ ਦੂਜਾ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ x=0 ਤੋਂ x=1−y ਤੱਕ x ਦਾ ਏਕੀਕਰਨ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ ਅਤੇ ਫਿਰ y=0 ਤੋਂ y=1 ਤੱਕ y ਦਾ ਏਕੀਕਰਨ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ: ∬Rf(x,y)dxdy=∫y=0y=1∫x=0x=1−y(x−2y)dxdy=∫y=0y=1[12x2−2xy]x=0x=1−ydy=∫y=0y=1[12(1−y)2−2y(1−y)]dy=∫y=0y=1[12−3y+52y2]dy=[12y−32y2+56y3]y=0y=1=−16.
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.11
ਖੇਤਰ DD ਵਿੱਚ, y=2x ਅਤੇ y=x^2 ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ, ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਏਕੀਕਰਨ ∬D(x^2+y^2)dA ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਪਹਿਲਾਂ y ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਏਕੀਕਰਨ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ x ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਏਕੀਕਰਨ ਕਰਕੇ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਏਕੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਆਇਤਨਾਂ, ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਅਤੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਅਸੀਂ ਆਇਤਨਾਂ, ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਅਤੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਆਮ ਖੇਤਰਾਂ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਏਕੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਵਿਧੀਆਂ ਉਹੀ ਹਨ ਜੋ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰਾਂ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਏਕੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਪਰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਨਾ ਹੋਣ ਕਾਰਨ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਵਧੇਰੇ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.17
ਚਤੁਰਫਲਕ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਤਲ xy-ਪਲੇਨ ਉੱਤੇ ਅਤੇ ਉਚਾਈ z=6−2x−3y ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚਤੁਰਫਲਕ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਤਲ ਖੇਤਰ DD ਹੈ ਜੋ ਰੇਖਾਵਾਂ x=0, y=0 ਅਤੇ 2x+3y=6 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ ਜਿੱਥੇ z=0 ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 5.23)। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਖੇਤਰ DD ਨੂੰ ਟਾਈਪ I ਜਾਂ ਟਾਈਪ II ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਏਕੀਕਰਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਹੱਲ
ਠੋਸ ਇੱਕ ਚਤੁਰਫਲਕ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਆਧਾਰ xy-ਪਲੇਨ ਉੱਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ z=6−2x−3y ਹੈ। ਆਧਾਰ ਖੇਤਰ DD ਹੈ ਜੋ ਰੇਖਾਵਾਂ, x=0, y=0 ਅਤੇ 2x+3y=6 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ ਜਿੱਥੇ z=0 ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 5.23)। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਖੇਤਰ DD ਨੂੰ ਟਾਈਪ I ਜਾਂ ਟਾਈਪ II ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਏਕੀਕਰਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 5.23: ਤਿੰਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨਾਂ ਅਤੇ ਪਲੇਨ z=6−2x−3y, ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਇੱਕ ਚਤੁਰਫਲਕ, ਜਿਸਦਾ ਆਧਾਰ x=0, y=0, ਅਤੇ 2x+3y=6 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ।
ਪਹਿਲਾਂ, DD ਨੂੰ ਇੱਕ ਟਾਈਪ I ਖੇਤਰ ਮੰਨੋ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ D={(x,y)|0≤x≤3,0≤y≤2−23x}।
ਇਸ ਲਈ, ਆਇਤਨ ਹੈ
ਹੁਣ DD ਨੂੰ ਇੱਕ ਟਾਈਪ II ਖੇਤਰ ਮੰਨੋ, ਇਸ ਲਈ D={(x,y)|0≤y≤2,0≤x≤3−32y}। ਇਸ ਗਣਨਾ ਵਿੱਚ, ਆਇਤਨ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ਆਇਤਨ 66 ਘਣ ਇਕਾਈ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.12
ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ f(x,y)=10−2x+y ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਸੀਮਤ ਹੈ, ਖੇਤਰ DD ਉੱਤੇ ਜੋ ਵਕਰਾਂ y=0 ਅਤੇ y=e^x ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x [0,1] ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਇੰਨਾ ਆਸਾਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਹਰੇ ਏਕੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਇੱਕ ਆਮ ਗੈਰ-ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਗਲੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਤਲ-ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ DD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ∬D1dA ਦੇ ਦੋਹਰੇ ਏਕੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦੇਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ-ਏਕੀਕਰਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਦੋਹਰੇ ਏਕੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਦੇਖ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਬਹੁਤ ਉਪਯੋਗੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਬਾਅਦ ਵਾਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਦੇਖਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.18
Finding the Area of a Region
Find the area of the region bounded below by the curve y=x2y=x2 and above by the line y=2xy=2x in the first quadrant (Figure 5.24).
Figure 5.24: The region bounded by y=x2y=x2 and y=2x.y=2x.
Solution
We just have to integrate the constant function f(x,y)=1f(x,y)=1 over the region. Thus, the area AA of the bounded region is ∫x=0x=2∫y=x2y=2xdydx∫x=0x=2∫y=x2y=2xdydx or ∫y=0x=4∫x=y/2x=ydxdy:∫y=0x=4∫x=y/2x=ydxdy:
Checkpoint 5.13
Find the area of a region bounded above by the curve y=x3y=x3 and below by y=0y=0 over the interval [0,3].[0,3].
We can also use a double integral to find the average value of a function over a general region. The definition is a direct extension of the earlier formula.
Definition
If f(x,y)f(x,y) is integrable over a plane-bounded region DD with positive area A(D),A(D), then the average value of the function is
Note that the area is A(D)=∬D1dA.A(D)=∬D1dA.
Example 5.19
Finding an Average Value
Find the average value of the function f(x,y)=7xy2f(x,y)=7xy2 on the region bounded by the line x=yx=y and the curve x=yx=y (Figure 5.25).
Figure 5.25: The region bounded by x=yx=y and x=y.x=y.
Solution
First find the area A(D)A(D) where the region DD is given by the figure. We have
Then the average value of the given function over this region is
Checkpoint 5.14
Find the average value of the function f(x,y)=xyf(x,y)=xy over the triangle with vertices (0,0),(1,0)and(1,3).(0,0),(1,0)and(1,3).
Improper Double Integrals
An improper double integral is an integral ∬DfdA∬DfdA where either DD is an unbounded region or ff is an unbounded function. For example, D={(x,y)||x−y|≥2}D={(x,y)||x−y|≥2} is an unbounded region, and the function f(x,y)=1/(1−x2−2y2)f(x,y)=1/(1−x2−2y2) over the ellipse x2+2y2≤1x2+2y2≤1 is an unbounded function. Hence, both of the following integrals are improper integrals:
∬DxydA∬DxydA where D={(x,y)||x−y|≥2};D={(x,y)||x−y|≥2};
∬D11−x2−2y2dA∬D11−x2−2y2dA where D={(x,y)|x2+2y2≤1}.D={(x,y)|x2+2y2≤1}.
In this section we would like to deal with improper integrals of functions over rectangles or simple regions such that ff has only finitely many discontinuities. Not all such improper integrals can be evaluated; however, a form of Fubini’s theorem does apply for some types of improper integrals.
Theorem 5.6
Fubini’s Theorem for Improper Integrals
If DD is a bounded rectangle or simple region in the plane defined by {(x,y):a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x)}{(x,y):a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x)} and also by {(x,y):c≤y≤d,j(y)≤x≤k(y)}{(x,y):c≤y≤d,j(y)≤x≤k(y)} and ff is a nonnegative function on DD with finitely many discontinuities in the interior of D,D, then
It is very important to note that we required that the function be nonnegative on DD for the theorem to work. We consider only the case where the function has finitely many discontinuities inside D.D.
Example 5.20
Evaluating a Double Improper Integral
Consider the function f(x,y)=eyyf(x,y)=eyy over the region D={(x,y):0≤x≤1,x≤y≤x}.D={(x,y):0≤x≤1,x≤y≤x}.
Notice that the function is nonnegative and continuous at all points on DD except (0,0).(0,0). Use Fubini’s theorem to evaluate the improper integral.
Solution
First we plot the region DD (Figure 5.26); then we express it in another way.
Figure 5.26: The function ff is continuous at all points of the region DD except (0,0).(0,0).
The other way to express the same region DD is
Thus we can use Fubini’s theorem for improper integrals and evaluate the integral as
Therefore, we have
As mentioned before, we also have an improper integral if the region of integration is unbounded. Suppose now that the function ff is continuous in an unbounded rectangle R.R.
Theorem 5.7
Improper Integrals on an Unbounded Region
If RR is an unbounded rectangle such as R={(x,y):a≤x<∞,c≤y<∞},R={(x,y):a≤x<∞,c≤y<∞}, then when the limit exists, we have ∬Rf(x,y)dA=lim(b,d)→(∞,∞)∫ab(∫cdf(x,y)dy)dx=lim(b,d)→(∞,∞)∫cd(∫abf(x,y)dx)dy.∬Rf(x,y)dA=lim(b,d)→(∞,∞)∫ab(∫cdf(x,y)dy)dx=lim(b,d)→(∞,∞)∫cd(∫abf(x,y)dx)dy.
The following example shows how this theorem can be used in certain cases of improper integrals.
Example 5.21
Evaluating a Double Improper Integral
Evaluate the integral ∬Rxye−x2−y2dA∬Rxye−x2−y2dA where RR is the first quadrant of the plane.
Solution
1. ਖੇਤਰ RR ਤਲ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਅਸੀਮ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ
2. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ∬Rxye−x2−y2dA∬Rxye−x2−y2dA ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ ਅਤੇ ਮੁੱਲ 14.14 ਹੈ।
3. ਚੌਕੀ 5.15
4. ਅਨੁਚਿਤ ਸਮਾਕਲ ∬Dy1−x2−y2dA∬Dy1−x2−y2dA ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ D={(x,y)|x≥0,y≥0,x2+y2≤1}.D={(x,y)|x≥0,y≥0,x2+y2≤1}.
5. ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਸੂਝ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਆਮ ਖੇਤਰਾਂ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਸਮਾਕਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੋਹਰੇ ਸਮਾਕਲ ਨਾਲ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇਖੀਏ, ਸਾਨੂੰ ਕੁਝ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਕੁਝ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਗੁਣਾਂ ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
6. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
7. ਨਿਰੰਤਰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ XX ਅਤੇ Y,Y ਦੀ ਇੱਕ ਜੋੜੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦੋ ਲੋਕਾਂ ਦੇ ਜਨਮਦਿਨ ਜਾਂ ਇੱਕ ਮਹੀਨੇ ਵਿੱਚ ਧੁੱਪ ਵਾਲੇ ਅਤੇ ਬਰਸਾਤੀ ਦਿਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ। XX ਅਤੇ YY ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ (X,Y)(X,Y) ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਖੇਤਰ D:D ਵਿੱਚ ਪੈਂਦਾ ਹੈ:
8. ਕਿਉਂਕਿ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਕਦੇ ਵੀ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਅਤੇ 00 ਅਤੇ 1,1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ, ਸਾਂਝਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ:
9. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
10. ਵੇਰੀਏਬਲ XX ਅਤੇ YY ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
11. ਉਦਾਹਰਨ 5.22
12. ਸੰਭਾਵਨਾ 'ਤੇ ਲਾਗੂ
13. ਸਿਡਨੀ ਦੇ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ ਵਿੱਚ, ਗਾਹਕਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਲਈ ਔਸਤਨ 1515 ਮਿੰਟ ਉਡੀਕ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਜਿਸ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਉਹ ਬੈਠਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਉਹ ਆਪਣਾ ਭੋਜਨ ਖਤਮ ਨਹੀਂ ਕਰ ਲੈਂਦੇ, ਔਸਤਨ 4040 ਮਿੰਟ ਲੱਗਦੇ ਹਨ। ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਗਾਹਕ ਡਿਨਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘੰਟੇ ਅਤੇ ਡੇਢ ਘੰਟੇ ਤੋਂ ਘੱਟ ਸਮਾਂ ਬਿਤਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਕਿ ਟੇਬਲ ਦੀ ਉਡੀਕ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਭੋਜਨ ਪੂਰਾ ਕਰਨਾ ਸੁਤੰਤਰ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ?
14. ਹੱਲ
15. ਉਡੀਕ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਘਾਤੀ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ mm ਔਸਤ ਉਡੀਕ ਸਮਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ
16. ਜੇਕਰ XX ਅਤੇ YY 'ਟੇਬਲ ਦੀ ਉਡੀਕ' ਅਤੇ 'ਭੋਜਨ ਪੂਰਾ ਕਰਨ' ਲਈ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹਨ, ਤਾਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਹਨ,
17. ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਘਟਨਾਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਸਾਂਝਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ
18. ਅਸੀਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੰਯੁਕਤ ਸਮਾਂ X+YX+Y 9090 ਮਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ। ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਖੇਤਰ DD ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ ਜੋ ਰੇਖਾ x+y=90x+y=90 (ਚਿੱਤਰ 5.27) ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ।
19. ਚਿੱਤਰ 5.27: ਸਾਂਝੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਮਾਕਲ ਦਾ ਖੇਤਰ।
20. ਇਸ ਲਈ, ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ (X,Y)(X,Y) ਖੇਤਰ DD ਵਿੱਚ ਹੈ
21. ਕਿਉਂਕਿ x+y=90x+y=90, y=90−x,y=90−x ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਕਿਸਮ I ਦਾ ਖੇਤਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ
22. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, 83.28%83.28% ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਗਾਹਕ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘੰਟੇ ਅਤੇ ਡੇਢ ਘੰਟੇ ਤੋਂ ਘੱਟ ਸਮਾਂ ਬਿਤਾਉਂਦਾ ਹੈ।
23. ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੋਰ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਜੋ ਅਨੁਚਿਤ ਦੋਹਰੇ ਸਮਾਕਲਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਉਹ ਹੈ ਉਮੀਦ ਕੀਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ। ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਗਣਨਾ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
24. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਵਜੋਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ E(X)E(X) ਅਤੇ E(Y),E(Y) ਦੇ ਉਮੀਦ ਕੀਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਉਮੀਦ ਕੀਤੇ ਮੁੱਲ E(X)E(X) ਅਤੇ E(Y)E(Y) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ
ਜਿੱਥੇ SS, ਯਾਦ੍ਰਿਕ ਚਲਾਂ XX ਅਤੇ Y.Y. ਦਾ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.23
ਉਮੀਦ ਕੀਤੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
ਉਦਾਹਰਨ 5.22 ਵਿੱਚ ਘਟਨਾਵਾਂ ‘ਟੇਬਲ ਦੀ ਉਡੀਕ’ ਅਤੇ ‘ਭੋਜਨ ਮੁਕੰਮਲ ਕਰਨਾ’ ਲਈ ਉਮੀਦ ਕੀਤੇ ਸਮੇਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ ਵਜੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ E(X)E(X) ਅਤੇ E(Y).E(Y) ਲਈ ਅਣਉਚਿਤ ਇੰਟੈਗਰਲ ਹਨ। ਟੇਬਲ ਲਈ ਉਮੀਦ ਕੀਤਾ ਸਮਾਂ ਹੈ
ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਗਣਨਾ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ E(Y)=40.E(Y)=40। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਯਾਦ੍ਰਿਕ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਉਮੀਦ ਕੀਤੇ ਮੁੱਲ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਔਸਤ ਉਡੀਕ ਸਮਾਂ ਅਤੇ ਔਸਤ ਡਾਇਨਿੰਗ ਸਮਾਂ ਹਨ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.16
ਦੋ ਯਾਦ੍ਰਿਕ ਚਲਾਂ XX ਅਤੇ YY ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
XX ਦੇ 1010 ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਾ ਹੋਣ ਅਤੇ YY ਦੇ 5.5 ਤੋਂ ਘੱਟ ਨਾ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਖੇਤਰ ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦਾ ਹੈ, ਕਿਸਮ I ਜਾਂ ਕਿਸਮ II।
ਖੇਤਰ DD, y=x3,y=x3+1, x=0,x=0, ਅਤੇ x=1x=1 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਪਿਛਲੀ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤੇ ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=3xyf(x,y)=3xy ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੀ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਖੇਤਰ DD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਖੇਤਰ DD, y=sinx,y=1+sinx,x=0,andx=π2y=sinx,y=1+sinx,x=0,andx=π2 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਪਿਛਲੀ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤੇ ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=cosxf(x,y)=cosx ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੀ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਖੇਤਰ DD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਖੇਤਰ DD, x=y2−1x=y2−1 ਅਤੇ x=1−y2x=1−y2 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਪਿਛਲੀ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਦੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=xy+1f(x,y)=xy+1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਖੇਤਰ DD, y=0,x=−10+y,andx=10−yy=0,x=−10+y,andx=10−y ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਪਿਛਲੀ ਅਭਿਆਸ ਤੋਂ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਦੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=x+yf(x,y)=x+y ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਠੋਸ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਖੇਤਰ DD, y=0,x=y−1,y=0,x=y−1, x=π2x=π2 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਖੇਤਰ DD, y=0y=0 ਅਤੇ y=x2−1y=x2−1 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਹੈ।
Let DD be the region bounded by the curve y=2−x2y=2−x2 and below the equations y=x,y=−x,y=x,y=−x, Explain why DD is neither of Type I nor II.
Let DD be the region bounded above by the curve of the equation y=4−x2y=4−x2 and below by y=cosxy=cosx and the xx-axis. Explain why DD is neither of Type I nor II.
In the following exercises, evaluate the double integral ∬Df(x,y)dA∬Df(x,y)dA over the region D.D.
f(x,y)=2x+5yf(x,y)=2x+5y and D={(x,y)|0≤x≤1,x3≤y≤x3+1}D={(x,y)|0≤x≤1,x3≤y≤x3+1}
f(x,y)=1f(x,y)=1 and D={(x,y)|0≤x≤π2,sinx≤y≤1+sinx}D={(x,y)|0≤x≤π2,sinx≤y≤1+sinx}
f(x,y)=2f(x,y)=2 and D={(x,y)|0≤y≤1,y−1≤x≤arccosy}D={(x,y)|0≤y≤1,y−1≤x≤arccosy}
f(x,y)=xyf(x,y)=xy and D={(x,y)|−1≤y≤1,y2−1≤x≤1−y2}D={(x,y)|−1≤y≤1,y2−1≤x≤1−y2}
f(x,y)=sinyf(x,y)=siny and DD is the triangular region with vertices (0,0),(0,3),and(3,0)(0,0),(0,3),and(3,0)
f(x,y)=−x+1f(x,y)=−x+1 and DD is the triangular region with vertices (0,0),(0,2),and(2,2)(0,0),(0,2),and(2,2)
Evaluate the iterated integrals.
∫ 0 1 ∫ 2 x 3 x ( x + y 2 ) d y d x ∫ 0 1 ∫ 2 x 3 x ( x + y 2 ) d y d x
∫ 0 1 ∫ 2 x 2 x + 1 ( x y + 1 ) d y d x ∫ 0 1 ∫ 2 x 2 x + 1 ( x y + 1 ) d y d x
∫ e e 2 ∫ ln u 2 ( v + ln u ) d v d u ∫ e e 2 ∫ ln u 2 ( v + ln u ) d v d u
∫ 1 2 ∫ − u 2 − 1 − u ( 8 u v ) d v d u ∫ 1 2 ∫ − u 2 − 1 − u ( 8 u v ) d v d u
∫ 0 1 ∫ − 1 − y 2 1 − y 2 ( 2 x + 4 x 3 ) d x d y ∫ 0 1 ∫ − 1 − y 2 1 − y 2 ( 2 x + 4 x 3 ) d x d y
∫ 0 1 / 2 ∫ − 1 − 4 y 2 1 − 4 y 2 4 d x d y ∫ 0 1 / 2 ∫ − 1 − 4 y 2 1 − 4 y 2 4 d x d y
Let DD be the region in the first quadrant bounded by y=1−x2,y=4−x2,y=1−x2,y=4−x2, and the xx- and yy-axes.
Show that ∬DxdA=∫01∫1−x24−x2xdydx+∫12∫04−x2xdydx∬DxdA=∫01∫1−x24−x2xdydx+∫12∫04−x2xdydx by dividing the region DD into two regions of Type I.
Evaluate the integral ∬DxdA.∬DxdA.
Let DD be the region bounded by y=1,y=1, y=x,y=x, y=lnx,y=lnx, and the xx-axis.
Show that ∬DydA=∫01∫0xydydx+∫1e∫lnx1ydydx∬DydA=∫01∫0xydydx+∫1e∫lnx1ydydx by dividing DD into two regions of Type I.
Evaluate the integral ∬DydA.∬DydA.
Show that ∬Dy2dA=∫−10∫−x2−x2y2dydx+∫01∫x2−x2y2dydx∬Dy2dA=∫−10∫−x2−x2y2dydx+∫01∫x2−x2y2dydx by dividing the region DD into two regions of Type I, where D={(x,y)|y≥x,y≥−x,y≤2−x2}.D={(x,y)|y≥x,y≥−x,y≤2−x2}.
Evaluate the integral ∬Dy2dA.∬Dy2dA.
Let DD be the region bounded by y=x2,y=x+2,y=x2,y=x+2, and y=−x.y=−x.
Show that ∬DxdA=∫01∫−yyxdxdy+∫14∫y−2yxdxdy∬DxdA=∫01∫−yyxdxdy+∫14∫y−2yxdxdy by dividing the region DD into two regions of Type II, where D={(x,y)|y≥x2,y≥−x,y≤x+2}.D={(x,y)|y≥x2,y≥−x,y≤x+2}.
Evaluate the integral ∬DxdA.∬DxdA.
The region DD bounded by x=0,y=x5+1,x=0,y=x5+1, and y=3−x2y=3−x2 is shown in the following figure. Find the area A(D)A(D) of the region D.D.
The region DD bounded by y=cosx,y=4+cosx,y=cosx,y=4+cosx, and x=±π3x=±π3 is shown in the following figure. Find the area A(D)A(D) of the region D.D.
Find the area A(D)A(D) of the region D={(x,y)|y≥1−x2,y≤4−x2,y≥0,x≥0}.D={(x,y)|y≥1−x2,y≤4−x2,y≥0,x≥0}.
Let DD be the region bounded by y=1,y=x,y=lnx,y=1,y=x,y=lnx, and the xx-axis. Find the area A(D)A(D) of the region D.D.
Find the average value of the function f(x,y)=sinyf(x,y)=siny on the triangular region with vertices (0,0),(0,3),(0,0),(0,3), and (3,0).(3,0).
Find the average value of the function f(x,y)=−x+1f(x,y)=−x+1 on the triangular region with vertices (0,0),(0,2),(0,0),(0,2), and (2,2).(2,2).
In the following exercises, change the order of integration and evaluate the integral.
∫ −1 π / 2 ∫ 0 x + 1 sin x d y d x ∫ −1 π / 2 ∫ 0 x + 1 sin x d y d x
∫ 0 1 ∫ x − 1 1 − x x d y d x ∫ 0 1 ∫ x − 1 1 − x x d y d x
∫ −1 0 ∫ − y + 1 y + 1 y 2 d x d y ∫ −1 0 ∫ − y + 1 y + 1 y 2 d x d y
∫ −1 1 ∫ − 1 – y 2 1 – y 2 y d x d y ∫ −1 1 ∫ − 1 – y 2 1 – y 2 y d x d y
The region DD is shown in the following figure. Evaluate the double integral ∬D(x2+y)dA∬D(x2+y)dA by using the easier order of integration.
The region DD is given in the following figure. Evaluate the double integral ∬D(x2−y2)dA∬D(x2−y2)dA by using the easier order of integration.
Find the volume of the solid under the surface z=2x+y2z=2x+y2 and above the region bounded by y=x5y=x5 and y=x.y=x.
Find the volume in the first octant of the solid under the plane z=3x+yz=3x+y and above the region determined by y=x7y=x7 and y=x.y=x.
Find the volume of the solid under the plane z=x−yz=x−y and above the region bounded by x=tany,x=−tany,x=tany,x=−tany, and x=1.x=1.
Find the volume of the solid under the surface z=x3z=x3 and above the plane region bounded by x=siny,x=−siny,x=siny,x=−siny, and x=1x=1 for values of yy between y=–π2 and y=π2y=–π2 and y=π2
Let gg be a positive, increasing, and differentiable function on the interval [a,b].[a,b]. Show that the volume of the solid under the surface z=g′(x)z=g′(x) and above the region bounded by y=0,y=0, y=g(x),y=g(x), x=a,x=a, and x=bx=b is given by 12(g2(b)−g2(a)).12(g2(b)−g2(a)).
Let gg be a positive, increasing, and differentiable function on the interval [a,b],[a,b], and let kk be a positive real number. Show that the volume of the solid under the surface z=g′(x)z=g′(x) and above the region bounded by y=g(x),y=g(x)+k,x=a,y=g(x),y=g(x)+k,x=a, and x=bx=b is given by k(g(b)−g(a)).k(g(b)−g(a)).
Find the volume of the solid situated in the first octant and determined by the planes z=2,z=2, z=0,x+y=1,x=0,andy=0.z=0,x+y=1,x=0,andy=0.
Find the volume of the solid situated in the first octant and bounded by the planes x+2y=1,x+2y=1, x=0,y=0,z=4,andz=0.x=0,y=0,z=4,andz=0.
1. x+y=1, x−y=1, x=0, z=0, ਅਤੇ z=10 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. x+y=1, x−y=1, x+y=−1, x−y=−1, z=1, ਅਤੇ z=0 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
3. ਮੰਨ ਲਓ S1 ਅਤੇ S2 ਪਹਿਲੇ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਤਲ x+y+z=1 ਅਤੇ x+y+2z=1 ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਸਥਿਤ ਠੋਸ ਹਨ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ S, S1, S2, x=0, ਅਤੇ y=0 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਥਿਤ ਠੋਸ ਹੈ।
4. ਠੋਸ S1 ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5. ਠੋਸ S2 ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
6. ਠੋਸ S1 ਅਤੇ S2 ਦੇ ਆਇਤਨਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਠੋਸ S ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
7. ਮੰਨ ਲਓ S1 ਅਤੇ S2 ਪਹਿਲੇ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਤਲ 2x+2y+z=2 ਅਤੇ x+y+z=1 ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਸਥਿਤ ਠੋਸ ਹਨ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ S, S1, S2, x=0, ਅਤੇ y=0 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਥਿਤ ਠੋਸ ਹੈ।
8. ਠੋਸ S1 ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
9. ਠੋਸ S2 ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
10. ਠੋਸ S1 ਅਤੇ S2 ਦੇ ਆਇਤਨਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਠੋਸ S ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
11. ਮੰਨ ਲਓ S1 ਅਤੇ S2 ਪਹਿਲੇ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਤਲ x+y+z=2 ਅਤੇ ਗੋਲਾ x²+y²+z²=4 ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਸਥਿਤ ਠੋਸ ਹਨ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ। ਜੇਕਰ ਠੋਸ S2 ਦਾ ਆਇਤਨ 4π/3 ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹਨਾਂ ਠੋਸਾਂ ਦੇ ਆਇਤਨਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ S1 ਅਤੇ S2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਥਿਤ ਠੋਸ S ਦਾ ਆਇਤਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
12. ਪਹਿਲੇ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਤਲ x + y + z = 2 ਅਤੇ ਸਿਲੰਡਰ x² + y² = 4 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
13. ਤਲ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
14. ਤਲ z = 2 ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਿਲੰਡਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
15. ਤਲ ਦੇ ਉੱਪਰ, ਸਿਲੰਡਰ ਦੇ ਅੰਦਰ, ਅਤੇ ਤਲ z = 2 ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
16. [T] ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਚਿੱਤਰ ਖੇਤਰ DD ਨੂੰ ਵਕਰ y=sinx, x=0, ਅਤੇ y=x⁴ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਪਤਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਖੇਤਰ D ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਜਾਂ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਛੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
17. [T] ਖੇਤਰ DD, ਜੋ ਵਕਰ y=cosx, x=0, ਅਤੇ y=x³ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਪਤਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਖੇਤਰ D ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਜਾਂ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਛੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
18. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ (X,Y) ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ ਜੋ xy-ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖਾਸ ਖੇਤਰ S ਵਿੱਚ ਵਾਪਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ, ਖੇਤਰ S ਨੂੰ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦਾ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ X ਅਤੇ Y ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹਨ। ਜੇਕਰ D, S ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ (X,Y) ਦੇ D ਵਿੱਚ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ P[(X,Y)∈D]=∬Dp(x,y)dxdy, ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ p(x,y) ਪ੍ਰਯੋਗ ਦਾ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ, p(x,y) ਇੱਕ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਲਈ ∬Sp(x,y)dxdy=1। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (X,Y) ਵਰਗ [0,3]×[0,3] ਵਿੱਚ ਯਾਦ੍ਰਿਛਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ
19. p ( x , y ) = { 1 9 ( x , y ) ∈ [ 0 , 3 ] × [ 0 , 3 ] , 0 ਹੋਰਥਾਂ, p ( x , y ) = { 1 9 ( x , y ) ∈ [ 0 , 3 ] × [ 0 , 3 ] , 0 ਹੋਰਥਾਂ,
20. ਬਿੰਦੂ (X,Y) ਦੇ ਇਕਾਈ ਵਰਗ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
21. X ਅਤੇ Y ਦੋ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ p1(x) ਅਤੇ p2(y) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ। ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ X ਅਤੇ Y ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਸੰਯੁਕਤ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ p(x,y)=p1(x)p2(y) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਡਰਾਈਵ-ਥਰੂ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ ਵਿੱਚ, ਗਾਹਕ ਔਸਤਨ 33 ਮਿੰਟ ਆਰਡਰ ਦੇਣ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਵਾਧੂ 55 ਮਿੰਟ ਭੁਗਤਾਨ ਕਰਨ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਭੋਜਨ ਲੈਣ ਵਿੱਚ ਬਿਤਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਆਰਡਰ ਦੇਣਾ ਅਤੇ ਭੁਗਤਾਨ ਕਰਨਾ/ਭੋਜਨ ਲੈਣਾ ਦੋ ਸੁਤੰਤਰ ਘਟਨਾਵਾਂ X ਅਤੇ Y ਹਨ। ਜੇਕਰ ਉਡੀਕ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
22. p 1 ( x ) = { 1 3 e − x / 3 x ≥ 0 , 0 ਹੋਰਥਾਂ, ਅਤੇ p 2 ( y ) = { 1 5 e − y / 5 y ≥ 0 , 0 ਹੋਰਥਾਂ,
23. ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਇੱਕ ਗਾਹਕ ਦੇ ਡਰਾਈਵ-ਥਰੂ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ 6 ਮਿੰਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਸਮਾਂ ਬਿਤਾਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ P[X+Y≤6]=∬Dp(x,y)dxdy, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ D={(x,y)}|x≥0,y≥0,x+y≤6}। P[X+Y≤6] ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
24. [T] ਰਿਊਲੋਸ ਤਿਕੋਣ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤਿਕੋਣ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਖੇਤਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ, ਹਰ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਉਲਟ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ r=s ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਇੱਕ ਚਾਪ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ। ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ s ਵਾਲੇ ਰਿਊਲੋਸ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ s²(π-3)/2 ਹੈ।
੧. ਇਹ ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਅਲਹਜ਼ਨ ਦੇ ਚੰਦਰਕਾਂ (lunes) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ, ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦੋ ਨੀਲੇ ਚੰਦਰਕ, ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ABC ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਚੰਦਰਕਾਂ ਦੀਆਂ ਬਾਹਰੀ ਸੀਮਾਵਾਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ AB ਅਤੇ BC ਵਿਆਸਾਂ ਵਾਲੇ ਅਰਧ-ਚੱਕਰ ਹਨ, ਅਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸੀਮਾਵਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ABC ਦੇ ਪਰਿਵਰਤ ਚੱਕਰ (circumcircle) ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।