ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
5.3.1 ਪੋਲਰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਫਾਰਮੈਟ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ।
5.3.2 ਇਟਰੇਟਿਡ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5.3.3 ਆਮ ਪੋਲਰ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਫਾਰਮੈਟ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ।
5.3.4 ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਆਇਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਈ ਵਾਰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਬਹੁਤ ਆਸਾਨ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ ਇਸ ਬਾਰੇ ਦੱਸਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਪੋਲਰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ—ਕਹੋ, xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖੇਤਰ RR ਉੱਤੇ gg—ਅਸੀਂ RR ਨੂੰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਪਾਸਿਆਂ ਵਾਲੇ ਉਪ-ਆਇਤਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ। ਇਹਨਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਜਾਂ ਤਾਂ ਸਥਿਰ x-ਮੁੱਲ ਅਤੇ/ਜਾਂ ਸਥਿਰ y-ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ, ਜਿਸ ਆਕਾਰ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਆਇਤ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਸਥਿਰ r-ਮੁੱਲ ਅਤੇ/ਜਾਂ ਸਥਿਰ θ-ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਆਇਤ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 5.28(a) ਵਿੱਚ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ R={(r,θ)|a≤r≤b,α≤θ≤β}।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੋਲਰ ਆਇਤਾਂ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਆਇਤ R ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(r,θ) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਨੂੰ m ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ [ri−1,ri] ਵਿੱਚ Δr=(b−a)/m ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਾਲ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ [α,β] ਨੂੰ n ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ [θj−1,θj] ਵਿੱਚ Δθ=(β−α)/n ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਨਾਲ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਚੱਕਰ r=ri ਅਤੇ ਕਿਰਨਾਂ θ=θj, 1≤i≤m ਅਤੇ 1≤j≤n ਲਈ, ਪੋਲਰ ਆਇਤ R ਨੂੰ ਛੋਟੀਆਂ ਪੋਲਰ ਉਪ-ਆਇਤਾਂ Rij (ਚਿੱਤਰ 5.28(b)) ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 5.28: (a) ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਆਇਤ R (b) ਉਪ-ਆਇਤਾਂ Rij ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਹੋਇਆ। (c) ਇੱਕ ਉਪ-ਆਇਤ ਦਾ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਦ੍ਰਿਸ਼।
ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਸਾਨੂੰ ਪੋਲਰ ਉਪ-ਆਇਤ Rij ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ΔA ਅਤੇ Rij ਉੱਤੇ ਪਤਲੇ ਬਾਕਸ ਦੇ "ਪੋਲਰ" ਆਇਤਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ, r ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ, θ ਰੇਡੀਅਨ ਦੇ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ s=rθ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪੋਲਰ ਉਪ-ਆਇਤ Rij, ri−1Δθ ਅਤੇ riΔθ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਪਾਸਿਆਂ ਅਤੇ Δr ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਟ੍ਰੈਪੀਜ਼ੋਇਡ ਵਰਗੀ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਪੋਲਰ ਉਪ-ਆਇਤ Rij ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ
ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਅਤੇ rij*=1/2(ri−1+ri) ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ΔA=rij*ΔrΔθ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, Rij (ਚਿੱਤਰ 5.29) ਉੱਤੇ ਪਤਲੇ ਬਾਕਸ ਦਾ ਪੋਲਰ ਆਇਤਨ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 5.29: ਪੋਲਰ ਆਇਤ Rij ਉੱਤੇ ਪਤਲੇ ਬਾਕਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ।
ਸਾਰੀਆਂ ਉਪ-ਆਇਤਾਂ ਲਈ ਇੱਕੋ ਵਿਚਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਅਤੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਕਸਾਂ ਦੇ ਆਇਤਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਦੋਹਰਾ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ m ਅਤੇ n ਨੂੰ ਵੱਡਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਖੇਤਰ R ਉੱਤੇ ਠੋਸ ਦੇ ਪੋਲਰ ਆਇਤਨ ਲਈ ਇੱਕ ਬਿਹਤਰ ਅਨੁਮਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋਹਰੇ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਦੀ ਸੀਮਾ ਵਜੋਂ ਪੋਲਰ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ,
ਇਹ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
rθ-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਪੋਲਰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ R ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(r,θ) ਦਾ ਦੋਹਰਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਦੁਬਾਰਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰਾਂ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਿੱਚ, ਪੋਲਰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇਟਰੇਟਿਡ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ dA ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ rdrdθ ਦੁਆਰਾ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪੋਲਰ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਬਦਲਣਾ। ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f x ਅਤੇ y ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, x=rcosθ, y=rsinθ, ਅਤੇ dA=rdrdθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸਨੂੰ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਈ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਉੱਤੇ ਸੂਚੀਬੱਧ ਸਾਰੇ ਗੁਣ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਈ ਵੀ ਸੱਚ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਝਿਜਕ ਦੇ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.24
ਪੋਲਰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦੀ ਸਕੈਚਿੰਗ
ਪੋਲਰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ R={(r,θ)|1≤r≤3,0≤θ≤π} ਦੀ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
1. ਹੱਲ
2. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 5.30 ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, r=1 ਅਤੇ r=3 ਇਕਾਈ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਹਨ ਅਤੇ 0≤θ≤π ਸਮਤਲ ਦੇ ਪੂਰੇ ਉੱਪਰਲੇ ਅੱਧੇ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਕਵਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਖੇਤਰ RR ਇੱਕ ਅਰਧ-ਚੱਕਰੀ ਪੱਟੀ ਵਰਗਾ ਦਿਸਦਾ ਹੈ।
3. ਚਿੱਤਰ 5.30: ਪੋਲਰ ਖੇਤਰ RR ਦੋ ਅਰਧ-ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਥਿਤ ਹੈ।
4. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾ ਲਿਆ ਹੈ, ਆਓ ਅਸੀਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਇਹ ਦਰਸਾਈਏ।
5. ਉਦਾਹਰਨ 5.25
6. ਪੋਲਰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ
7. ਇੰਟੀਗਰਲ ∬R3xdA∬R3xdA ਦਾ ਖੇਤਰ R={(r,θ)|1≤r≤2,0≤θ≤π} ਉੱਤੇ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
8. ਹੱਲ
9. ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਬਾਹਰੀ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 2.2 ਦੇ ਨਾਲ ਚਿੱਤਰ 5.30 ਦੇ ਸਮਾਨ ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
10. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.17
11. ਖੇਤਰ R={(r,θ)|1≤r≤2,−π2≤θ≤π2} ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ, ਅਤੇ ∬RxdA ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
12. ਉਦਾਹਰਨ 5.26
13. ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਬਦਲ ਕੇ ਇੱਕ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ
14. ਇੰਟੀਗਰਲ ∬R(1−x2−y2)dA ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ RR xy-ਸਮਤਲ ਉੱਤੇ ਇਕਾਈ ਡਿਸਕ ਹੈ।
15. ਹੱਲ
16. ਖੇਤਰ RR ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਡਿਸਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ R={(r,θ)|0≤r≤1,0≤θ≤2π} ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਣਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
17. ਪਰਿਵਰਤਨ x=rcosθ,y=rsinθ, ਅਤੇ dA=rdrdθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
18. ਉਦਾਹਰਨ 5.27
19. ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਬਦਲ ਕੇ ਇੱਕ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ
20. ਇੰਟੀਗਰਲ ∬R(x+y)dA ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ R={(x,y)|1≤x2+y2≤4,x≤0}।
21. ਹੱਲ
22. ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ RR ਇੱਕ ਐਨੂਲਰ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ R={(r,θ)|1≤r≤2,π2≤θ≤3π2} (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੋ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
23. ਚਿੱਤਰ 5.31: ਏਕੀਕਰਨ ਖੇਤਰ R ਦਾ ਐਨੂਲਰ ਖੇਤਰ।
24. ਇਸ ਲਈ, ਪਰਿਵਰਤਨ x=rcosθ,y=rsinθ, ਅਤੇ dA=rdrdθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.18
∫∫R(4−x2−y2)dA∫∫R(4−x2−y2)dA ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ RR xy-ਤਲ ਉੱਤੇ 22 ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਚੱਕਰ ਹੈ।
ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਆਮ ਪੋਲਰ ਖੇਤਰ
ਆਮ ਪੋਲਰ ਖੇਤਰਾਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਦੇ ਦੋਹਰੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਦੋਹਰੇ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਉੱਤੇ ਆਮ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਟਾਈਪ I ਅਤੇ ਟਾਈਪ II ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ। ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ r=f(θ)r=f(θ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ θ=f(r),θ=f(r) ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਆਮ ਪੋਲਰ ਖੇਤਰ ਨੂੰ D={(r,θ)|α≤θ≤β,h1(θ)≤r≤h2(θ)}D={(r,θ)|α≤θ≤β,h1(θ)≤r≤h2(θ)} (ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 5.32: α≤θ≤βα≤θ≤β ਅਤੇ h1(θ)≤r≤h2(θ).h1(θ)≤r≤h2(θ) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਆਮ ਪੋਲਰ ਖੇਤਰ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 5.8
ਆਮ ਪੋਲਰ ਖੇਤਰਾਂ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਸਮਾਕਲਨ
ਜੇਕਰ f(r,θ)f(r,θ) ਉੱਪਰ ਦੱਸੇ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਆਮ ਪੋਲਰ ਖੇਤਰ DD ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ
ਉਦਾਹਰਨ 5.28
ਇੱਕ ਆਮ ਪੋਲਰ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
∫∫Dr2 · sin θ · rdrdθ∫∫Dr2 · sin θ · rdrdθ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ DD ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਕਾਰਡੀਓਇਡ r=1+cosθ.r=1+cosθ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਅੱਧੇ ਹਿੱਸੇ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਖੇਤਰ DD ਨੂੰ {(r,θ)|0≤θ≤π,0≤r≤1+cosθ}{(r,θ)|0≤θ≤π,0≤r≤1+cosθ} ਵਜੋਂ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.33: DD ਖੇਤਰ ਇੱਕ ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਦਾ ਉੱਪਰਲਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.19
ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਪੋਲਰ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਆਇਤਨ
ਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਾਂਗ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਠੋਸ SS ਸਤ੍ਹਾ z=f(r,θ),z=f(r,θ) ਦੁਆਰਾ, ਨਾਲ ਹੀ ਸਤ੍ਹਾ r=a,r=b,θ=α,r=a,r=b,θ=α, ਅਤੇ θ=β,θ=β ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੋਹਰੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦੁਆਰਾ SS ਦੇ ਆਇਤਨ VV ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ
ਜੇਕਰ ਠੋਸ ਦਾ ਆਧਾਰ DD={(r,θ)|α≤θ≤β,h1(θ)≤r≤h2(θ)},D={(r,θ)|α≤θ≤β,h1(θ)≤r≤h2(θ)} ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਇਤਨ ਲਈ ਦੋਹਰਾ ਸਮਾਕਲਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.29
ਦੋਹਰੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣਾ
ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ z=1−x2−y2z=1−x2−y2 ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ xy-ਤਲ ਉੱਤੇ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਉੱਪਰ ਸਥਿਤ ਹੈ (ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 5.34: ਪਰਬਲੋਇਡ z=1−x2−y2z=1−x2−y2।
ਹੱਲ
ਦੋਹਰੀ ਸਮਾਕਲਨ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਆਇਤਨ ∬R(1−x2−y2)dA∬R(1−x2−y2)dA ਦਾ ਦੁਹਰਾਇਆ ਸਮਾਕਲਨ ਹੈ ਜਿੱਥੇ R={(r,θ)|0≤r≤1,0≤θ≤2π}.R={(r,θ)|0≤r≤1,0≤θ≤2π}.
ਇਹ ਸਮਾਕਲਨ ਪਹਿਲਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.26 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ ਆਇਤਨ π2π2 ਘਣ ਇਕਾਈ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.30
ਦੋਹਰੀ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣਾ
ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਪਰਬਲੋਇਡ z=4−x2−y2z=4−x2−y2 ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ xyxy-ਪਲੇਨ ਉੱਤੇ ਡਿਸਕ (x−1)2+y2=1(x−1)2+y2=1 ਦੇ ਉੱਪਰ ਸਥਿਤ ਹੈ। xyxy-ਪਲੇਨ ਉੱਤੇ ਸਿਲੰਡਰ (x−1)2+y2=1(x−1)2+y2=1 ਨੂੰ ਕੱਟਣ ਵਾਲੇ ਪਰਬਲੋਇਡ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 5.35 ਵਿੱਚ ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 5.35: ਇੱਕ ਪਰਬਲੋਇਡ ਕੈਪ ਅਤੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਅਧਾਰ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣਾ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਡਿਸਕ (x−1)2+y2=1(x−1)2+y2=1 ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਵਰਗ ਪਦ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ x2−2x+1+y2=1 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਕੇ x2+y2=2x,x2+y2=2x ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ r2=2rcosθr2=2rcosθ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਜਾਂ ਤਾਂ r=0r=0 ਜਾਂ r=2cosθ.r=2cosθ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਪਰਬਲੋਇਡ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ z=4−r2.z=4−r2 ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ xyxy-ਪਲੇਨ ਉੱਤੇ ਡਿਸਕ (x−1)2+y2=1(x−1)2+y2=1 ਨੂੰ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਲਈ ਪਰਬਲੋਇਡ z=4−x2−y2z=4−x2−y2 ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ r=2cosθr=2cosθ ਦੇ ਉੱਪਰ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨਾਲ ਸਮਾਕਲਨ ਹਮੇਸ਼ਾ ਆਸਾਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਜਟਿਲਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸ ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਵੀ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਕੁਦਰਤੀ ਪ੍ਰਗਟਾਵਾ ਹੈ ਜਾਂ ਜੇਕਰ ff ਦਾ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਰਲ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਉਚਿਤ ਹੈ; ਨਹੀਂ ਤਾਂ, ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.31
ਦੋਹਰੀ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣਾ
ਉਸ ਖੇਤਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਪਰਬਲੋਇਡ z=x2+y2z=x2+y2 ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ xyxy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ y=x,x=0,y=x,x=0, ਅਤੇ x+y=2x+y=2 ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਉੱਪਰ ਸਥਿਤ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 5.36)।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਉਸ ਖੇਤਰ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਸਾਨੂੰ ਦੋਹਰੀ ਸਮਾਕਲਨ ਸਥਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੇ ਪਰਬਲੋਇਡ ਦੀ।
ਚਿੱਤਰ 5.36: ਇੱਕ ਪਰਬਲੋਇਡ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ ਦਿੱਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣਾ।
ਖੇਤਰ DD {(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤2−x}.{(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤2−x} ਹੈ। xyxy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾਵਾਂ y=x,x=0,y=x,x=0, ਅਤੇ x+y=2x+y=2 ਨੂੰ r ਅਤੇ θ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ θ=π/4,θ=π/4, θ=π/2,θ=π/2, ਅਤੇ r=2/(cosθ+sinθ),r=2/(cosθ+sinθ) ਮਿਲਦਾ ਹੈ। xyxy-ਪਲੇਨ ਉੱਤੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ D={(r,θ)|π/4≤θ≤π/2,0≤r≤2/(cosθ+sinθ)}.D={(r,θ)|π/4≤θ≤π/2,0≤r≤2/(cosθ+sinθ)} ਵਰਗਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਸਤਹ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਦਲਣ 'ਤੇ z=x2+y2=r2.z=x2+y2=r2 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਦੋਹਰੀ ਸਮਾਕਲਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਇਹ ਸਮਾਕਲਨ ਬਹੁਤ ਜਟਿਲ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਦੋਹਰੀ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਮੁੱਲ ਪਾਉਣ 'ਤੇ ਇਹ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ ਕਿ ਇੱਕ ਗੋਲੇ, ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਵਰਗੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮਿਆਰੀ ਠੋਸਾਂ ਦੇ ਆਇਤਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.32
ਦੋਹਰੀ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣਾ
ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸ਼ੰਕੂ z=2−x2+y2z=2−x2+y2 ਦੇ ਅੰਦਰ ਅਤੇ xy-ਤਲ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਸਮਾਕਲਨ ਲਈ ਖੇਤਰ DD ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਅਧਾਰ ਹੈ, ਜੋ xy-ਤਲ 'ਤੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਵਾਂਗ ਦਿਸਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.37: ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਅਤੇ xy-ਤਲ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲੇ ਠੋਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ।
ਅਸੀਂ z=0 ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 2 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਮਾਕਲਨ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ 0≤θ≤2π ਅਤੇ 0≤r≤2 ਹੈ। z=2−x2+y2z=2−x2+y2 ਵਿੱਚ x=rcosθ ਅਤੇ y=rsinθ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਸਾਨੂੰ z=2−r ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਆਇਤਨ ਹੈ
∫θ=0θ=2π∫r=0r=2(2−r)rdrdθ=2π43=8π3 ਘਣ ਇਕਾਈਆਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਅਰਧ ਵਿਆਸ aa ਇਕਾਈਆਂ ਅਤੇ ਉਚਾਈ hh ਇਕਾਈਆਂ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ z=h−hax2+y2 ਹੋਵੇਗਾ।
ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ ਚਿੱਤਰ 5.37 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਮਾਕਲਨ ਨੂੰ ∫θ=0θ=2π∫r=0r=a(h−har)rdrdθ ਵਜੋਂ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ 13πa2h ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.20
ਪੈਰਾਬੋਲਾਈਡਜ਼ z=x2+y2z=x2+y2 ਅਤੇ z=16−x2−y2z=16−x2−y2 ਦੁਆਰਾ ਬੰਦ ਠੋਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਇਟਰੇਟਿਡ ਸਮਾਕਲਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਦੋਹਰੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਸਾਨੂੰ ਉਸ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਅਸੀਂ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ ਅਤੇ ਖੇਤਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਦੋਹਰੇ ਸਮਾਕਲਨ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ
ਉਦਾਹਰਨ 5.33
ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੋਹਰੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਲੱਭਣਾ
ਕਰਵ r=cos4θr=cos4θ ਦੁਆਰਾ ਬੰਦ ਖੇਤਰ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਫੰਕਸ਼ਨ r=cos4θr=cos4θ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਅੱਠ ਪੱਤੀਆਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਧਰੁਵੀ ਗੁਲਾਬ ਹੈ (ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 5.38: ਅੱਠ ਪੱਤੀਆਂ ਵਾਲੇ ਧਰੁਵੀ ਗੁਲਾਬ ਦਾ ਖੇਤਰ ਲੱਭਣਾ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਪੱਤੀ ਦਾ ਖੇਤਰ ਲੱਭਣ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ 8 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ θ ਦੇ ਉਹ ਮੁੱਲ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਤੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ cos4θ, ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ π/8 ਦੇ ਵਿਸ਼ਮ ਗੁਣਕ ਹਨ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਪੱਤੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ θ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ [−π/8,π/8] ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕਰਵ r=cos4θr=cos4θ ਦੁਆਰਾ ਬੰਦ ਖੇਤਰ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 5.34
ਦੋ ਧਰੁਵੀ ਕਰਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਲੱਭਣਾ
ਚੱਕਰ r=3cosθr=3cosθ ਅਤੇ ਕਾਰਡੀਓਇਡ r=1+cosθ.r=1+cosθ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
1. ਹੱਲ
2. ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਖੇਤਰ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ (ਚਿੱਤਰ 5.39) ਦਾ ਖਾਕਾ ਬਣਾਓ।
3. ਚਿੱਤਰ 5.39: ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ।
4. ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ 'ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
5. ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ θ=π/3 ਹੈ। ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਉੱਪਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਇੱਕ ਭਾਗ ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਦੁਆਰਾ θ=0 ਤੋਂ θ=π/3 ਤੱਕ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਭਾਗ ਚੱਕਰ ਦੁਆਰਾ θ=π/3 ਤੋਂ θ=π/2 ਤੱਕ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੁਆਰਾ, ਕੁੱਲ ਖੇਤਰ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਉੱਪਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਦੁੱਗਣਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
6. ਹਰੇਕ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਖੇਤਰ ਹੈ
7. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.21
8. ਕਾਰਡੀਓਇਡ r=3−3sinθ ਦੇ ਅੰਦਰ ਅਤੇ ਕਾਰਡੀਓਇਡ r=1+sinθ ਦੇ ਬਾਹਰ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 5.35
10. ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਣਉਚਿਤ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ
11. ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ∬ℝ2e−10(x2+y2)dxdy ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
12. ਹੱਲ
13. ਇਹ ਇੱਕ ਅਣਉਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ℝ2 ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ, ਪੂਰੇ ਤਲ ℝ2 ਨੂੰ 0≤θ≤2π, 0≤r<∞ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
14. ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
15. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.22
16. ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ∬ℝ2e−4(x2+y2)dxdy ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
17. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਖੇਤਰ DD ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
18. DD ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 2 ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਡਿਸਕ ਦਾ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ।
19. DD ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 4 ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਅਤੇ 5 ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ।
20. DD y-ਧੁਰੇ ਅਤੇ x=1−y2 ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਹੈ।
21. DD x-ਧੁਰੇ ਅਤੇ y=2−x2 ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਹੈ।
22. D = { ( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 4 x }
23. D = { ( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 4 y }
24. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਪੋਲਰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ DD ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। DD ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
In the following graph, the region DD is situated below y=xy=x and is bounded by x=1,x=5,x=1,x=5, and y=0.y=0.
In the following graph, the region DD is bounded by y=xy=x and y=x2.y=x2.
In the following exercises, evaluate the double integral ∬Rf(x,y)dA∬Rf(x,y)dA over the polar rectangular region D.D.
f ( x , y ) = x 2 + y 2 , D = { ( r , θ ) | 3 ≤ r ≤ 5 , 0 ≤ θ ≤ 2 π } f ( x , y ) = x 2 + y 2 , D = { ( r , θ ) | 3 ≤ r ≤ 5 , 0 ≤ θ ≤ 2 π }
f ( x , y ) = x + y , D = { ( r , θ ) | 3 ≤ r ≤ 5 , 0 ≤ θ ≤ 2 π } f ( x , y ) = x + y , D = { ( r , θ ) | 3 ≤ r ≤ 5 , 0 ≤ θ ≤ 2 π }
f ( x , y ) = x 2 + x y , D = { ( r , θ ) | 1 ≤ r ≤ 2 , π ≤ θ ≤ 2 π } f ( x , y ) = x 2 + x y , D = { ( r , θ ) | 1 ≤ r ≤ 2 , π ≤ θ ≤ 2 π }
f ( x , y ) = x 4 + y 4 , D = { ( r , θ ) | 1 ≤ r ≤ 2 , 3 π 2 ≤ θ ≤ 2 π } f ( x , y ) = x 4 + y 4 , D = { ( r , θ ) | 1 ≤ r ≤ 2 , 3 π 2 ≤ θ ≤ 2 π }
f(x,y)=x2+y23,f(x,y)=x2+y23, where D={(r,θ)|0≤r≤1,π2≤θ≤π}.D={(r,θ)|0≤r≤1,π2≤θ≤π}.
f(x,y)=x4+2x2y2+y4,f(x,y)=x4+2x2y2+y4, where D={(r,θ)|3≤r≤4,π3≤θ≤2π3}.D={(r,θ)|3≤r≤4,π3≤θ≤2π3}.
f(x,y)=sin(arctanyx),f(x,y)=sin(arctanyx), where D={(r,θ)|1≤r≤2,π6≤θ≤π3}D={(r,θ)|1≤r≤2,π6≤θ≤π3}
f(x,y)=arctan(yx),f(x,y)=arctan(yx), where D={(r,θ)|2≤r≤3,π4≤θ≤π3}D={(r,θ)|2≤r≤3,π4≤θ≤π3}
∬ D e x 2 + y 2 [ 1 + 2 arctan ( y x ) ] d A , D = { ( r , θ ) | 1 ≤ r ≤ 2 , π 6 ≤ θ ≤ π 3 } ∬ D e x 2 + y 2 [ 1 + 2 arctan ( y x ) ] d A , D = { ( r , θ ) | 1 ≤ r ≤ 2 , π 6 ≤ θ ≤ π 3 }
∬ D ( e x 2 + y 2 + x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 ) arctan ( y x ) d A , D = { ( r , θ ) | 1 ≤ r ≤ 2 , π 4 ≤ θ ≤ π 3 } ∬ D ( e x 2 + y 2 + x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 ) arctan ( y x ) d A , D = { ( r , θ ) | 1 ≤ r ≤ 2 , π 4 ≤ θ ≤ π 3 }
In the following exercises, the integrals have been converted to polar coordinates. Verify that the identities are true and choose the easiest way to evaluate the integrals, in rectangular or polar coordinates.
∫ 1 2 ∫ 0 x ( x 2 + y 2 ) d y d x = ∫ 0 π 4 ∫ sec θ 2 sec θ r 3 d r d θ ∫ 1 2 ∫ 0 x ( x 2 + y 2 ) d y d x = ∫ 0 π 4 ∫ sec θ 2 sec θ r 3 d r d θ
∫ 2 3 ∫ 0 x x x 2 + y 2 d y d x = ∫ 0 π / 4 ∫ 2 sec θ 3secθ r cos θ d r d θ ∫ 2 3 ∫ 0 x x x 2 + y 2 d y d x = ∫ 0 π / 4 ∫ 2 sec θ 3secθ r cos θ d r d θ
∫ 0 1 ∫ x 2 x 1 x 2 + y 2 d y d x = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ d r d θ ∫ 0 1 ∫ x 2 x 1 x 2 + y 2 d y d x = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ d r d θ
∫ 0 1 ∫ x 2 x y x 2 + y 2 d y d x = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ r sin θ d r d θ ∫ 0 1 ∫ x 2 x y x 2 + y 2 d y d x = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ r sin θ d r d θ
In the following exercises, convert the integrals to polar coordinates and evaluate them.
∫ 0 3 ∫ 0 9 − y 2 ( x 2 + y 2 ) d x d y ∫ 0 3 ∫ 0 9 − y 2 ( x 2 + y 2 ) d x d y
∫ 0 2 ∫ − 4 − y 2 4 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 d x d y ∫ 0 2 ∫ − 4 − y 2 4 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 d x d y
∫ 0 1 ∫ 0 1 − x 2 ( x + y ) d y d x ∫ 0 1 ∫ 0 1 − x 2 ( x + y ) d y d x
∫ 0 4 ∫ − 16 − x 2 16 − x 2 sin ( x 2 + y 2 ) d y d x ∫ 0 4 ∫ − 16 − x 2 16 − x 2 sin ( x 2 + y 2 ) d y d x
Evaluate the integral ∬DrdA∬DrdA where DD is the region bounded by the polar axis and the upper half of the cardioid r=1+cosθ.r=1+cosθ.
Find the area of the region DD bounded by the polar axis and the upper half of the cardioid r=1+cosθ.r=1+cosθ.
Evaluate the integral ∬DdA,∬DdA, where DD is the region bounded by the part of the four-leaved rose r=sin2θr=sin2θ situated in the first quadrant (see the following figure).
Find the total area of the region enclosed by the four-leaved rose r=sin2θr=sin2θ (see the figure in the previous exercise).
Find the area of the region D,D, which is the region bounded by y=4−x2,y=4−x2, x=3,x=3, x=2,x=2, and y=0.y=0.
Find the area of the region D,D, which is the region inside the disk x2+y2≤4x2+y2≤4 and to the right of the line x=1.x=1.
Determine the average value of the function f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x2+y2 over the region DD bounded by the polar curve r=cos2θ,r=cos2θ, where −π4≤θ≤π4−π4≤θ≤π4 (see the following graph).
Determine the average value of the function f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x2+y2 over the region DD bounded by the polar curve r=3sin2θ,r=3sin2θ, where 0≤θ≤π20≤θ≤π2 (see the following graph).
Find the volume of the solid situated in the first octant and bounded by the paraboloid z=1−4x2−4y2z=1−4x2−4y2 and the planes x=0,y=0,x=0,y=0, and z=0.z=0.
Find the volume of the solid bounded by the paraboloid z=2−9x2−9y2z=2−9x2−9y2 and the plane z=1.z=1.
Find the volume of the solid S1S1 bounded by the cylinder x2+y2=1x2+y2=1 and the planes z=0z=0 and z=1.z=1.
Find the volume of the solid S2S2 outside the double cone z2=x2+y2,z2=x2+y2, inside the cylinder x2+y2=1,x2+y2=1, and above the plane z=0.z=0.
Find the volume of the solid inside the cone z2=x2+y2z2=x2+y2 and below the plane z=1z=1 by subtracting the volumes of the solids S1S1 and S2.S2.
Find the volume of the solid S1S1 inside the unit sphere x2+y2+z2=1x2+y2+z2=1 and above the plane z=0.z=0.
Find the volume of the solid S2S2 inside the double cone (z−1)2=x2+y2(z−1)2=x2+y2 and above the plane z=0.z=0.
Find the volume of the solid outside the double cone (z−1)2=x2+y2(z−1)2=x2+y2 and inside the sphere x2+y2+z2=1.x2+y2+z2=1.
For the following two exercises, consider a spherical ring, which is a sphere with a cylindrical hole cut so that the axis of the cylinder passes through the center of the sphere (see the following figure).
If the sphere has radius 44 and the cylinder has radius 2,2, find the volume of the spherical ring.
A cylindrical hole of diameter 66 cm is bored through a sphere of radius 55 cm such that the axis of the cylinder passes through the center of the sphere. Find the volume of the resulting spherical ring.
Find the volume of the solid that lies under the double cone z2=4x2+4y2,z2=4x2+4y2, inside the cylinder x2+y2=x,x2+y2=x, and above the plane z=0.z=0.
Find the volume of the solid that lies under the paraboloid z=x2+y2,z=x2+y2, inside the cylinder x2+y2=x,x2+y2=x, and above the plane z=0.z=0.
Find the volume of the solid that lies under the plane x+y+z=10x+y+z=10 and above the disk x2+y2=4x.x2+y2=4x.
Find the volume of the solid that lies under the plane 2x+y+2z=82x+y+2z=8 and above the unit disk x2+y2=1.x2+y2=1.
A radial function ff is a function whose value at each point depends only on the distance between that point and the origin of the system of coordinates; that is, f(x,y)=g(r),f(x,y)=g(r), where r=x2+y2.r=x2+y2. Show that if ff is a continuous radial function, then ∬Df(x,y)dA=(θ2−θ1)[G(R2)−G(R1)],∬Df(x,y)dA=(θ2−θ1)[G(R2)−G(R1)], where G′(r)=rg(r)G′(r)=rg(r) and (x,y)∈D={(r,θ)|R1≤r≤R2,θ1≤θ≤θ2},(x,y)∈D={(r,θ)|R1≤r≤R2,θ1≤θ≤θ2}, with 0≤R1<R20≤R1<R2 and 0≤θ1<θ2≤2π.0≤θ1<θ2≤2π.
Use the information from the preceding exercise to calculate the integral ∬D(x2+y2)3dA,∬D(x2+y2)3dA, where DD is the unit disk.
Let f(x,y)=F′(r)rf(x,y)=F′(r)r be a continuous radial function defined on the annular region D={(r,θ)|R1≤r≤R2,0≤θ≤2π},D={(r,θ)|R1≤r≤R2,0≤θ≤2π}, where r=x2+y2,r=x2+y2, 0<R1<R2,0<R1<R2, and FF is a differentiable function. Show that ∬Df(x,y)dA=2π[F(R2)−F(R1)].∬Df(x,y)dA=2π[F(R2)−F(R1)].
Apply the preceding exercise to calculate the integral ∬Dex2+y2x2+y2dxdy,∬Dex2+y2x2+y2dxdy, where DD is the annular region between the circles of radii 11 and 22 situated in the third quadrant.
Let ff be a continuous function that can be expressed in polar coordinates as a product of a function of rr only and a function of θθ only; that is, f(x,y)=h(θ),f(x,y)=h(θ), where (x,y)∈D={(r,θ)|R1≤r≤R2,θ1≤θ≤θ2},(x,y)∈D={(r,θ)|R1≤r≤R2,θ1≤θ≤θ2}, with 0≤R1<R20≤R1<R2 and 0≤θ1<θ2≤2π.0≤θ1<θ2≤2π. Show that ∬Df(x,y)dA=12(R22−R12)[H(θ2)−H(θ1)],∬Df(x,y)dA=12(R22−R12)[H(θ2)−H(θ1)], where HH is an antiderivative of h.h.
Apply the preceding exercise to calculate the integral ∬Dy2x2dA,∬Dy2x2dA, where D={(r,θ)|1≤r≤2,π6≤θ≤π3}.D={(r,θ)|1≤r≤2,π6≤θ≤π3}.
Let ff be a continuous function that can be expressed in polar coordinates as a product of a function of rr only and function of θθ only; that is, f(x,y)=g(r)h(θ),f(x,y)=g(r)h(θ), where (x,y)∈D={(r,θ)|R1≤r≤R2,θ1≤θ≤θ2}(x,y)∈D={(r,θ)|R1≤r≤R2,θ1≤θ≤θ2} with 0≤R1<R20≤R1<R2 and 0≤θ1<θ2≤2π.0≤θ1<θ2≤2π. Show that ∬Df(x,y)dA=[G(R2)−G(R1)][H(θ2)−H(θ1)],∬Df(x,y)dA=[G(R2)−G(R1)][H(θ2)−H(θ1)], where G(r)G(r) and H(θ)H(θ) are antiderivatives of rg(r)rg(r) and h(θ)h(θ), respectively.
Evaluate ∬Darctan(yx)x2+y2dA,∬Darctan(yx)x2+y2dA, where D={(r,θ)|2≤r≤3,π4≤θ≤π3}.D={(r,θ)|2≤r≤3,π4≤θ≤π3}.
A spherical cap is the region of a sphere that lies above or below a given plane.
Show that the volume of the spherical cap in the figure below is 16πh(3a2+h2).16πh(3a2+h2).
A spherical segment is the solid defined by intersecting a sphere with two parallel planes. If the distance between the planes is h,h, show that the volume of the spherical segment in the figure below is 16πh(3a2+3b2+h2).16πh(3a2+3b2+h2).
In statistics, the joint density for two independent, normally distributed events with a mean μ=0μ=0 and a standard distribution σσ is defined by p(x,y)=12πσ2e−x2+y22σ2.p(x,y)=12πσ2e−x2+y22σ2. Consider (X,Y),(X,Y), the Cartesian coordinates of a ball in the resting position after it was released from a position on the z-axis toward the xyxy-plane. Assume that the coordinates of the ball are independently normally distributed with a mean μ=0μ=0 and a standard deviation of σσ (in feet). The probability that the ball will stop no more than aa feet from the origin is given by P[X2+Y2≤a2]=∬Dp(x,y)dydx,P[X2+Y2≤a2]=∬Dp(x,y)dydx, where DD is the disk of radius a centered at the origin. Show that P[X2+Y2≤a2]=1−e−a2/2σ2.P[X2+Y2≤a2]=1−e−a2/2σ2.
The double improper integral ∫−∞∞∫−∞∞e−(x2+y2)/2dydx∫−∞∞∫−∞∞e−(x2+y2)/2dydx may be defined as the limit value of the double integrals ∬Dae−(x2+y2)/2dA∬Dae−(x2+y2)/2dA over disks DaDa of radii a centered at the origin, as a increases without bound; that is, ∫−∞∞∫−∞∞e−(x2+y2)/2dydx=lima→∞∬Dae−(x2+y2)/2dA.∫−∞∞∫−∞∞e−(x2+y2)/2dydx=lima→∞∬Dae−(x2+y2)/2dA.
Use polar coordinates to show that ∫−∞∞∫−∞∞e−(x2+y2)/2dydx=2π.∫−∞∞∫−∞∞e−(x2+y2)/2dydx=2π.
Show that ∫−∞∞e−x2/2dx=2π,∫−∞∞e−x2/2dx=2π, by using the relation ∫−∞∞∫−∞∞e−(x2+y2)/2dydx=(∫−∞∞e−x2/2dx)(∫−∞∞e−y2/2dy).∫−∞∞∫−∞∞e−(x2+y2)/2dydx=(∫−∞∞e−x2/2dx)(∫−∞∞e−y2/2dy).