ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
5.4.1 ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਕਸ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਬਲ ਕਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
5.4.2 ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਗੁਣਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਇਟਰੇਟਿਡ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5.4.3 ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਬੰਦ ਅਤੇ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਬਲ ਕਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
5.4.4 ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਗੁਣਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
5.4.5 ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਗਿਣੋ।
ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰਾਂ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)f(x,y) ਦੇ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸਪੇਸ, ℝ3ℝ3 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸੋਲਿਡ ਬਾਕਸ ਉੱਤੇ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y,z)f(x,y,z) ਦੇ ਤਿੰਨ-ਗੁਣਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ℝ3ℝ3 ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਖੇਤਰਾਂ ਤੱਕ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਅਸੀਂ ℝ3ℝ3 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਕਸ BB ਨੂੰ B={(x,y,z)|a≤x≤b,c≤y≤d,e≤z≤f}B={(x,y,z)|a≤x≤b,c≤y≤d,e≤z≤f} ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰਾਂ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਵਿੱਚ ਜੋ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [a,b][a,b] ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਲੰਬਾਈ Δx=b-alΔx=b-al ਦੇ ll ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ [xi−1,xi][xi−1,xi] ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ, ਅੰਤਰਾਲ [c,d][c,d] ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਲੰਬਾਈ Δy=d-cmΔy=d-cm ਦੇ mm ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ [yj−1,yj][yj−1,yj] ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ [e,f][e,f] ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਲੰਬਾਈ Δz=f-enΔz=f-en ਦੇ nn ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ [zk−1,zk][zk−1,zk] ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਕਸ BB ਨੂੰ lmnlmn ਉਪ-ਬਾਕਸਾਂ Bijk=[xi−1,xi]×[yj−1,yj]×[zk−1,zk],Bijk=[xi−1,xi]×[yj−1,yj]×[zk−1,zk] ਵਿੱਚ ਉਪ-ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5.40 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.40: ℝ3ℝ3 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਕਸ ਜੋ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਪਲੇਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਉਪ-ਬਾਕਸਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਹਰੇਕ i,j,ਅਤੇk,i,j,ਅਤੇk ਲਈ, ਹਰੇਕ ਉਪ-ਬਾਕਸ Bijk.Bijk ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਬਿੰਦੂ (xijk*,yijk*,zijk*)(xijk*,yijk*,zijk*) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸਦਾ ਆਇਤਨ ΔV=ΔxΔyΔz.ΔV=ΔxΔyΔz ਹੈ। ਤਿੰਨ-ਗੁਣਾ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਬਣਾਓ
ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ-ਗੁਣਾ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ-ਗੁਣਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੋਹਰੇ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਲਈ ਕੀਤਾ ਸੀ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਕਸ BB ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y,z)f(x,y,z) ਦਾ ਤਿੰਨ-ਗੁਣਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਜੇਕਰ ਇਹ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਤਿੰਨ-ਗੁਣਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ B,B ਉੱਤੇ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y,z)f(x,y,z) ਨੂੰ B.B ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਬਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, ਤਿੰਨ-ਗੁਣਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ f(x,y,z)f(x,y,z) B.B ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਲਈ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਕਾਫੀ ਹੈ ਪਰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ff, B.B ਉੱਤੇ ਸੀਮਤ ਹੈ ਅਤੇ ਸੰਭਵ ਤੌਰ 'ਤੇ B.B ਦੀ ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਨਮੂਨਾ ਬਿੰਦੂ (xijk*,yijk*,zijk*)(xijk*,yijk*,zijk*) ਆਇਤਾਕਾਰ ਉਪ-ਬਾਕਸ BijkBijk ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਗੁਣਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ 'ਤੇ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੇ ਸਾਰੇ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਵਿਹਾਰਕ ਉਪਯੋਗ ਹਨ, ਤਿੰਨ-ਗੁਣਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੇ ਵੀ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਉਪਯੋਗ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਅਸੀਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ-ਗੁਣਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰ ਲਈ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਇਟਰੇਟਿਡ ਤਿੰਨ-ਗੁਣਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਤਿੰਨ-ਗੁਣਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਲਈ ਫੁਬਿਨੀ ਦੇ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਸਕਰਣ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 5.9
ਤਿੰਨ-ਗੁਣਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਲਈ ਫੁਬਿਨੀ ਦਾ ਥਿਊਰਮ
ਜੇਕਰ f(x,y,z)f(x,y,z) ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਕਸ B=[a,b]×[c,d]×[r,s],B=[a,b]×[c,d]×[r,s] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ
ਇਹ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਇਟਰੇਟਿਡ ਤਿੰਨ-ਗੁਣਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਲਈ ਹੋਰ ਪੰਜ ਸੰਭਵ ਕ੍ਰਮਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦੇ ਵੀ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
a,b,c,d,e,a,b,c,d,e, ਅਤੇ ff ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਇਟਰੇਟਿਡ ਤਿੰਨ-ਗੁਣਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਛੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕ੍ਰਮਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਕਸ ਲਈ, ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਗਣਨਾ ਦੀ ਮੁਸ਼ਕਲ ਦੇ ਪੱਧਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ ਫੁਬਿਨੀ ਦੇ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤਿੰਨ-ਗੁਣਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਵਾਂਗ ਹੀ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ (ਯਾਨੀ, ਅੰਦਰ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਤੱਕ)।
ਉਦਾਹਰਨ 5.36
Evaluating a Triple Integral
Evaluate the triple integral ∫z=0z=1∫y=2y=4∫x=−1x=5(x+yz2)dxdydz.∫z=0z=1∫y=2y=4∫x=−1x=5(x+yz2)dxdydz.
Solution
The order of integration is specified in the problem, so integrate with respect to xx first, then y, and then z.z.
Example 5.37
Evaluating a Triple Integral
Evaluate the triple integral ∭Bx2yzdV∭Bx2yzdV where B={(x,y,z)|−2≤x≤1,0≤y≤3,1≤z≤5}B={(x,y,z)|−2≤x≤1,0≤y≤3,1≤z≤5} as shown in the following figure.
Figure 5.41: Evaluating a triple integral over a given rectangular box.
Solution
The order is not specified, but we can use the iterated integral in any order without changing the level of difficulty. Choose, say, to integrate y first, then x, and then z.
∭ B x 2 y z d V = ∫ 1 5 ∫ −2 1 ∫ 0 3 [ x 2 y z ] d y d x d z = ∫ 1 5 ∫ −2 1 [ x 2 y 2 2 z | 0 3 ] d x d z = ∫ 1 5 ∫ −2 1 9 2 x 2 z d x d z = ∫ 1 5 [ 9 2 x 3 3 z | −2 1 ] d z = ∫ 1 5 27 2 z d z = 27 2 z 2 2 | 1 5 = 162. ∭ B x 2 y z d V = ∫ 1 5 ∫ −2 1 ∫ 0 3 [ x 2 y z ] d y d x d z = ∫ 1 5 ∫ −2 1 [ x 2 y 2 2 z | 0 3 ] d x d z = ∫ 1 5 ∫ −2 1 9 2 x 2 z d x d z = ∫ 1 5 [ 9 2 x 3 3 z | −2 1 ] d z = ∫ 1 5 27 2 z d z = 27 2 z 2 2 | 1 5 = 162.
Now try to integrate in a different order just to see that we get the same answer. Choose to integrate with respect to xx first, then z,z, and then y.y.
Checkpoint 5.23
Evaluate the triple integral ∭BzsinxcosydV∭BzsinxcosydV where B={(x,y,z)|0≤x≤π,3π2≤y≤2π,1≤z≤3}.B={(x,y,z)|0≤x≤π,3π2≤y≤2π,1≤z≤3}.
Triple Integrals over a General Bounded Region
We now expand the definition of the triple integral to compute a triple integral over a more general bounded region EE in ℝ3.ℝ3. The general bounded regions we will consider are of three types. First, let DD be the bounded region that is a projection of EE onto the xyxy-plane. Suppose the region EE in ℝ3ℝ3 has the form
for two functions z=u1(x,y)z=u1(x,y) and z=u2(x,y),z=u2(x,y), such that u1(x,y)≤u2(x,y)u1(x,y)≤u2(x,y) for all (x,y)(x,y) in DD as shown in the following figure.
Figure 5.42: We can describe region EE as the space between u1(x,y)u1(x,y) and u2(x,y)u2(x,y) above the projection DD of EE onto the xyxy-plane.
Theorem 5.10
Triple Integral over a General Region
The triple integral of a continuous function f(x,y,z)f(x,y,z) over a general three-dimensional region
in ℝ3,ℝ3, where DD is the projection of EE onto the xzxz-plane, is
Similarly, we can consider a general bounded region DD in the xyxy-plane and two functions y=u1(x,z)y=u1(x,z) and y=u2(x,z)y=u2(x,z) such that u1(x,z)≤u2(x,z)u1(x,z)≤u2(x,z) for all (x,z)(x,z) in D.D. Then we can describe the solid region EE in ℝ3ℝ3 as
where DD is the projection of EE onto the xzxz-plane and the triple integral is
1. ਜੇਕਰ DD yzyz-ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ x=u1(y,z) ਅਤੇ x=u2(y,z) ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ D ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ (y,z) ਲਈ u1(y,z)≤u2(y,z) ਹੈ, ਤਾਂ ℝ3 ਵਿੱਚ ਘਣ ਖੇਤਰ EE ਦਾ ਵਰਣਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
2. ਜਿੱਥੇ DD, yzyz-ਤਲ ਉੱਤੇ EE ਦਾ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਹੈ:
3. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਤਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਲ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ DD, ਡਬਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਜ਼ ਓਵਰ ਜਨਰਲ ਰੀਜਨਜ਼ ਵਿੱਚ ਵਰਣਿਤ ਟਾਈਪ I ਜਾਂ ਟਾਈਪ II ਦਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ xyxy-ਤਲ ਵਿੱਚ DD ਟਾਈਪ I (ਚਿੱਤਰ 5.43) ਹੈ, ਤਾਂ:
4. ਚਿੱਤਰ 5.43: ਇੱਕ ਬਾਕਸ EE ਜਿੱਥੇ xyxy-ਤਲ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ DD ਟਾਈਪ I ਹੈ।
5. ਤਾਂ ਤ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
6. ਜੇਕਰ xyxy-ਤਲ ਵਿੱਚ DD ਟਾਈਪ II (ਚਿੱਤਰ 5.44) ਹੈ, ਤਾਂ:
7. ਚਿੱਤਰ 5.44: ਇੱਕ ਬਾਕਸ EE ਜਿੱਥੇ xyxy-ਤਲ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ DD ਟਾਈਪ II ਹੈ।
8. ਤਾਂ ਤ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
9. ਉਦਾਹਰਨ 5.38
10. ਇੱਕ ਆਮ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਤ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ
11. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y,z)=5x−3y ਦੇ ਤ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਘਣ ਟੈਟਰਾਹੇਡ੍ਰਨ ਉੱਤੇ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਜੋ ਕਿ ਤਲਾਂ x=0,y=0,z=0, ਅਤੇ x+y+z=1 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ।
12. ਹੱਲ
13. ਚਿੱਤਰ 5.45 ਘਣ ਟੈਟਰਾਹੇਡ੍ਰਨ EE ਅਤੇ xyxy-ਤਲ ਉੱਤੇ ਇਸਦੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ DD ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
14. ਚਿੱਤਰ 5.45: ਘਣ EE ਦਾ xyxy-ਤਲ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ DD ਟਾਈਪ I ਹੈ।
15. ਅਸੀਂ ਘਣ ਖੇਤਰ ਟੈਟਰਾਹੇਡ੍ਰਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
16. ਇਸ ਲਈ, ਤ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਹੈ:
17. ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ∫z=0z=1−x−y(5x−3y)dz ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
18. ਹੁਣ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ∫y=0y=1−x(5x−3y)(1−x−y)dy ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ, ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
19. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ:
20. ਸਭ ਕੁਝ ਇਕੱਠੇ ਰੱਖਣ ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
21. ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਆਮ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ D ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ∬D1dA ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਆਮ ਸੀਮਤ ਘਣ ਖੇਤਰ E ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ∭E1dV ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
22. ਉਦਾਹਰਨ 5.39
23. ਤ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਕੇ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
24. ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਪਿਰਾਮਿਡ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਵਰਗ ਅਧਾਰ xyxy-ਤਲ [−1,1]×[−1,1] ਵਿੱਚ ਹੈ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ (0,0,1) ਉੱਤੇ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
Figure 5.46: Finding the volume of a pyramid with a square base.
Solution
In this pyramid the value of zz changes from 0to1,0to1, and at each height z,z, the cross section of the pyramid for any value of zz is the square [−1+z,1−z]×[−1+z,1−z].[−1+z,1−z]×[−1+z,1−z]. Hence, the volume of the pyramid is ∭E1dV∭E1dV where
Thus, we have
Hence, the volume of the pyramid is 4343 cubic units.
Checkpoint 5.24
Consider the solid sphere E={(x,y,z)|x2+y2+z2≤9}.E={(x,y,z)|x2+y2+z2≤9}. Write the triple integral ∭Ef(x,y,z)dV∭Ef(x,y,z)dV for an arbitrary function ff as an iterated integral. Then evaluate this triple integral with f(x,y,z)=1.f(x,y,z)=1. Notice that this gives the volume of a sphere using a triple integral.
Changing the Order of Integration
As we have already seen in double integrals over general bounded regions, changing the order of the integration is done quite often to simplify the computation. With a triple integral over a rectangular box, the order of integration does not change the level of difficulty of the calculation. However, with a triple integral over a general bounded region, choosing an appropriate order of integration can simplify the computation quite a bit. Sometimes making the change to polar coordinates can also be very helpful. We demonstrate two examples here.
Example 5.40
Changing the Order of Integration
Consider the iterated integral
The order of integration here is first with respect to z, then y, and then x. Express this integral by changing the order of integration to be first with respect to x, then z, and then y.y. Verify that the value of the integral is the same if we let f(x,y,z)=xyz.f(x,y,z)=xyz.
Solution
The best way to do this is to sketch the region EE and its projections onto each of the three coordinate planes. Thus, let
and
We need to express this triple integral as
Knowing the region EE we can draw the following projections (Figure 5.47):
on the xyxy-plane is D1={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x2}={(x,y)|0≤y≤1,y≤x≤1},D1={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x2}={(x,y)|0≤y≤1,y≤x≤1},
on the yzyz-plane is D2={(y,z)|0≤y≤1,0≤z≤y2},D2={(y,z)|0≤y≤1,0≤z≤y2}, and
on the xzxz-plane is D3={(x,z)|0≤x≤1,0≤z≤x4}.D3={(x,z)|0≤x≤1,0≤z≤x4}.
Figure 5.47: The three cross sections of EE on the three coordinate planes.
Now we can describe the same region EE as {(x,y,z)|0≤y≤1,0≤z≤y2,y≤x≤1},{(x,y,z)|0≤y≤1,0≤z≤y2,y≤x≤1}, and consequently, the triple integral becomes
Now assume that f(x,y,z)=xyzf(x,y,z)=xyz in each of the integrals. Then we have
1. ਜਵਾਬ ਮਿਲਦੇ ਹਨ।
2. ਚੌਕੀ 5.25
3. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਪੰਜ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਇਟੇਰੇਟਿਡ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਿਖੋ।
4. ਉਦਾਹਰਨ 5.41
5. ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਅਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਬਦਲਣਾ
6. ਟ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ∭Ex2+z2dV,∭Ex2+z2dV ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ EE ਪਰਬਲਾਈਡ y=x2+z2y=x2+z2 (ਚਿੱਤਰ 5.48) ਅਤੇ ਸਮਤਲ y=4.y=4 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਖੇਤਰ ਹੈ।
7. ਚਿੱਤਰ 5.48: ਇੱਕ ਪਰਬਲਾਈਡ ਉੱਤੇ ਟ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ।
8. ਹੱਲ
9. xyxy-ਪਲੇਨ ਉੱਤੇ ਸੋਲਿਡ ਰੀਜਨ EE ਦਾ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ y=4y=4 ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਅਤੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ y=x2y=x2 ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਸੀਮਿਤ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
10. ਚਿੱਤਰ 5.49: ਚਿੱਤਰ 5.48 ਵਿੱਚ ਪਰਬਲਾਈਡ ਦੇ xyxy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਾਸ ਸੈਕਸ਼ਨ।
11. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
12. ਟ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
13. ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ EE ਦੇ xzxz-ਪਲੇਨ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਹ ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਡਿਸਕ x2+z2≤4.x2+z2≤4 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
14. ਇੱਥੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਪਹਿਲਾਂ z,z, ਫਿਰ y,y, ਅਤੇ ਫਿਰ xx ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਹੋਣ ਤੋਂ ਬਦਲ ਕੇ ਪਹਿਲਾਂ y,y, ਫਿਰ z,z, ਅਤੇ ਫਿਰ x.x ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਜਲਦੀ ਹੀ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ ਕਿ ਇਹ ਤਬਦੀਲੀ ਗਣਨਾ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
15. ਹੁਣ xzxz-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਪੋਲਰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ x=rcosθ,z=rsinθ,x=rcosθ,z=rsinθ, ਅਤੇ dzdx=rdrdθdzdx=rdrdθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇਹ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਹੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ xyxy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ, ਸਿਵਾਏ ਇਸਦੇ ਕਿ ਅਸੀਂ yy ਨੂੰ z.z ਨਾਲ ਬਦਲ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਸਿੱਟੇ ਵਜੋਂ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਅਸੀਂ r2=x2+z2,r2=x2+z2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ,
16. ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ
17. ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਲੇਨ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇ ਕੇ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਪਾਇਆ ਸੀ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੋਲਿਡ ਰੀਜਨ ਉੱਤੇ ਟ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸੋਲਿਡ ਦੇ ਵੌਲਯੂਮ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇ ਕੇ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਪਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
18. ਥਿਊਰਮ 5.11
19. ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ
20. ਜੇਕਰ f(x,y,z)f(x,y,z) ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਵੌਲਯੂਮ V(E),V(E) ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਇੱਕ ਸੋਲਿਡ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਬਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਹੈ
21. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਵੌਲਯੂਮ V(E)=∭E1dV.V(E)=∭E1dV ਹੈ।
22. ਉਦਾਹਰਨ 5.42
23. ਔਸਤ ਤਾਪਮਾਨ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
24. ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨਾਂ ਅਤੇ ਸਮਤਲ x+y+z=1x+y+z=1 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਇੱਕ ਸੋਲਿਡ EE ਦੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (x,y,z)(x,y,z) ਉੱਤੇ ਤਾਪਮਾਨ T(x,y,z)=(xy+8z+20)°C.T(x,y,z)=(xy+8z+20)°C ਹੈ। ਸੋਲਿਡ ਉੱਤੇ ਔਸਤ ਤਾਪਮਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
Solution
Use the theorem given above and the triple integral to find the numerator and the denominator. Then do the division. Notice that the plane x+y+z=1x+y+z=1 has intercepts (1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0), and (0,0,1).(0,0,1). The region EE looks like
Hence the triple integral of the temperature is
The volume evaluation is V(E)=∭E1dV=∫x=0x=1∫y=0y=1−x∫z=0z=1−x−y1dzdydx=16.V(E)=∭E1dV=∫x=0x=1∫y=0y=1−x∫z=0z=1−x−y1dzdydx=16.
Hence the average value is Tave=147/401/6=6(147)40=44120Tave=147/401/6=6(147)40=44120 degrees Celsius.
Checkpoint 5.26
Find the average value of the function f(x,y,z)=xyzf(x,y,z)=xyz over the cube with sides of length 44 units in the first octant with one vertex at the origin and edges parallel to the coordinate axes.
In the following exercises, evaluate the triple integrals over the rectangular solid box B.B.
∭B(2x+3y2+4z3)dV,∭B(2x+3y2+4z3)dV, where B={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤2,0≤z≤3}B={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤2,0≤z≤3}
∭B(xy+yz+xz)dV,∭B(xy+yz+xz)dV, where B={(x,y,z)|1≤x≤2,0≤y≤2,1≤z≤3}B={(x,y,z)|1≤x≤2,0≤y≤2,1≤z≤3}
∭B(xcosy+z)dV,∭B(xcosy+z)dV, where B={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤π,−1≤z≤1}B={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤π,−1≤z≤1}
∭B(zsinx+y2)dV,∭B(zsinx+y2)dV, where B={(x,y,z)|0≤x≤π,0≤y≤1,−1≤z≤2}B={(x,y,z)|0≤x≤π,0≤y≤1,−1≤z≤2}
In the following exercises, change the order of integration by integrating first with respect to z,z, then x,x, then y.y.
∫ 0 1 ∫ 1 2 ∫ 2 3 ( x 2 + ln y + z ) d x d y d z ∫ 0 1 ∫ 1 2 ∫ 2 3 ( x 2 + ln y + z ) d x d y d z
∫ - 1 1 ∫ 0 3 ∫ 0 1 ( z e x + 2 y ) d x d y d z ∫ - 1 1 ∫ 0 3 ∫ 0 1 ( z e x + 2 y ) d x d y d z
∫ −1 2 ∫ 1 3 ∫ 0 4 ( x 2 z + 1 y ) d x d y d z ∫ −1 2 ∫ 1 3 ∫ 0 4 ( x 2 z + 1 y ) d x d y d z
∫ 1 2 ∫ −2 −1 ∫ 0 1 x + y z d x d y d z ∫ 1 2 ∫ −2 −1 ∫ 0 1 x + y z d x d y d z
Let F,G,andHF,G,andH be continuous functions on [a,b],[c,d],[a,b],[c,d], and [e,f],[e,f], respectively, where a,b,c,d,e,andfa,b,c,d,e,andf are real numbers such that a<b,c<d,ande<f.a<b,c<d,ande<f. Show that
Let F,G,andHF,G,andH be differential functions on [a,b],[c,d],[a,b],[c,d], and [e,f],[e,f], respectively, where a,b,c,d,e,andfa,b,c,d,e,andf are real numbers such that a<b,c<d,ande<f.a<b,c<d,ande<f. Show that
In the following exercises, evaluate the triple integrals over the bounded region E={(x,y,z)|a≤x≤b,h1(x)≤y≤h2(x),e≤z≤f}.E={(x,y,z)|a≤x≤b,h1(x)≤y≤h2(x),e≤z≤f}.
∭E(2x+5y+7z)dV,∭E(2x+5y+7z)dV, where E={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤−x+1,1≤z≤2}E={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤−x+1,1≤z≤2}
∭E(ylnx+z)dV,∭E(ylnx+z)dV, where E={(x,y,z)|1≤x≤e,0≤y≤lnx,0≤z≤1}E={(x,y,z)|1≤x≤e,0≤y≤lnx,0≤z≤1}
∭E(sinx+siny)dV,∭E(sinx+siny)dV, where E={(x,y,z)|0≤x≤π2,−cosx≤y≤cosx,−1≤z≤1}E={(x,y,z)|0≤x≤π2,−cosx≤y≤cosx,−1≤z≤1}
∭E(xy+yz+xz)dV,∭E(xy+yz+xz)dV, where E={(x,y,z)|0≤x≤1,−x2≤y≤x2,0≤z≤1}E={(x,y,z)|0≤x≤1,−x2≤y≤x2,0≤z≤1}
In the following exercises, evaluate the triple integrals over the indicated bounded region E.E.
∭E(x+2yz)dV,∭E(x+2yz)dV, where E={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤x,0≤z≤5−x−y}E={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤x,0≤z≤5−x−y}
∭E(x3+y3+z3)dV,∭E(x3+y3+z3)dV, where E={(x,y,z)|0≤x≤2,0≤y≤2x,0≤z≤4−x−y}E={(x,y,z)|0≤x≤2,0≤y≤2x,0≤z≤4−x−y}
∭EydV,∭EydV, where E={(x,y,z)|−1≤x≤1,−1−x2≤y≤1−x2,0≤z≤1−x2−y2}E={(x,y,z)|−1≤x≤1,−1−x2≤y≤1−x2,0≤z≤1−x2−y2}
∭ExdV,∭ExdV, where E={(x,y,z)|−2≤x≤2,-4−x2≤y≤4−x2,0≤z≤4−x2−y2}E={(x,y,z)|−2≤x≤2,-4−x2≤y≤4−x2,0≤z≤4−x2−y2}
In the following exercises, evaluate the triple integrals over the bounded region EE of the form E={(x,y,z)|g1(y)≤x≤g2(y),c≤y≤d,e≤z≤f}.E={(x,y,z)|g1(y)≤x≤g2(y),c≤y≤d,e≤z≤f}.
∭Ex2dV,∭Ex2dV, where E={(x,y,z)|1−y2≤x≤y2−1,−1≤y≤1,1≤z≤2}E={(x,y,z)|1−y2≤x≤y2−1,−1≤y≤1,1≤z≤2}
∭E(sinx+y)dV,∭E(sinx+y)dV, where E={(x,y,z)|−y4≤x≤y4,0≤y≤2,0≤z≤4}E={(x,y,z)|−y4≤x≤y4,0≤y≤2,0≤z≤4}
∭E(x−yz)dV,∭E(x−yz)dV, where E={(x,y,z)|−y6≤x≤y,0≤y≤1,−1≤z≤1}E={(x,y,z)|−y6≤x≤y,0≤y≤1,−1≤z≤1}
∭EzdV,∭EzdV, where E={(x,y,z)|2−2y≤x≤2+y,0≤y≤1,2≤z≤3}E={(x,y,z)|2−2y≤x≤2+y,0≤y≤1,2≤z≤3}
In the following exercises, evaluate the triple integrals over the bounded region
∭EzdV,∭EzdV, where E={(x,y,z)|−y≤x≤y,0≤y≤1,0≤z≤1−x4−y4}E={(x,y,z)|−y≤x≤y,0≤y≤1,0≤z≤1−x4−y4}
∭E(xz+1)dV,∭E(xz+1)dV, where E={(x,y,z)|0≤x≤y,0≤y≤2,0≤z≤1−x2−y2}E={(x,y,z)|0≤x≤y,0≤y≤2,0≤z≤1−x2−y2}
∭E(x−z)dV,∭E(x−z)dV, where E={(x,y,z)|−1−y2≤x≤0,0≤y≤12,0≤z≤1−x2−y2}E={(x,y,z)|−1−y2≤x≤0,0≤y≤12,0≤z≤1−x2−y2}
∭E(x+y)dV,∭E(x+y)dV, where E={(x,y,z)|0≤x≤1−y2,0≤y≤1,0≤z≤1−x}E={(x,y,z)|0≤x≤1−y2,0≤y≤1,0≤z≤1−x}
In the following exercises, evaluate the triple integrals over the bounded region
E={(x,y,z)|(x,y)∈D,u1(x,y)≤z≤u2(x,y)},E={(x,y,z)|(x,y)∈D,u1(x,y)≤z≤u2(x,y)}, where DD is the projection of EE onto the xyxy-plane.
∬D(∫12(x+z)dz)dA,∬D(∫12(x+z)dz)dA, where D={(x,y)|x2+y2≤1}D={(x,y)|x2+y2≤1}
∬D(∫13x(z+1)dz)dA,∬D(∫13x(z+1)dz)dA, where D={(x,y)|x2−y2≥1,1≤x≤5}D={(x,y)|x2−y2≥1,1≤x≤5}
∬D(∫010−x−y(x+2z)dz)dA,∬D(∫010−x−y(x+2z)dz)dA, where D={(x,y)|y≥0,x≥0,x+y≤10}D={(x,y)|y≥0,x≥0,x+y≤10}
∬D(∫04x2+4y2ydz)dA,∬D(∫04x2+4y2ydz)dA, where D={(x,y)|x2+y2≤4,y≥1,x≥0}D={(x,y)|x2+y2≤4,y≥1,x≥0}
The solid EE bounded by y2+z2=9,z=0,x=0,y2+z2=9,z=0,x=0, and x=5x=5 is shown in the following figure. Evaluate the integral ∭EzdV∭EzdV by integrating first with respect to z,z, then y,and thenx.y,and thenx.
The solid EE bounded by y=x,y=x, x=4,x=4, y=0,y=0, z=-2z=-2, and z=1z=1 is given in the following figure. Evaluate the integral ∭ExyzdV∭ExyzdV by integrating first with respect to x,x, then y,y, and then z.z.
[T] The volume of a solid EE is given by the integral ∫−20∫x0∫0x2+y2dzdydx.∫−20∫x0∫0x2+y2dzdydx. Use a computer algebra system (CAS) to graph EE and find its volume. Round your answer to two decimal places.
[T] The volume of a solid EE is given by the integral ∫−10∫−x20∫01+x2+y2dzdydx.∫−10∫−x20∫01+x2+y2dzdydx. Use a CAS to graph EE and find its volume V.V. Round your answer to two decimal places.
In the following exercises, use two circular permutations of the variables x,y,andzx,y,andz to write new integrals whose values equal the value of the original integral. A circular permutation of x,y,andzx,y,andz is the arrangement of the numbers in one of the following orders: y,z,andxorz,x,andy.y,z,andxorz,x,andy.
∫ 0 1 ∫ 1 3 ∫ 2 4 ( x 2 z 2 + 1 ) d x d y d z ∫ 0 1 ∫ 1 3 ∫ 2 4 ( x 2 z 2 + 1 ) d x d y d z
∫ 1 3 ∫ 0 1 ∫ 0 −y + 1 ( 2 y + 5 z + 7 x ) d z d y d x ∫ 1 3 ∫ 0 1 ∫ 0 −y + 1 ( 2 y + 5 z + 7 x ) d z d y d x
∫ 0 1 ∫ − y y ∫ 0 1 − x 4 − y 4 e x d z d x d y ∫ 0 1 ∫ − y y ∫ 0 1 − x 4 − y 4 e x d z d x d y
∫ −1 1 ∫ 0 1 ∫ − y 6 y ( x + y z ) d x d y d z ∫ −1 1 ∫ 0 1 ∫ − y 6 y ( x + y z ) d x d y d z
Set up the integral that gives the volume of the solid EE bounded by y2=x2+z2y2=x2+z2 and y=a,y=a, where a>0a>0 and y ≥ 0y ≥ 0
Set up the integral that gives the volume of the solid EE bounded by x=y2+z2x=y2+z2 and x=a2,x=a2, where a>0.a>0.
Find the average value of the function f(x,y,z)=x+y+zf(x,y,z)=x+y+z over the parallelepiped determined by x=0,x=1,y=0,y=3,z=0,x=0,x=1,y=0,y=3,z=0, and z=5.z=5.
Find the average value of the function f(x,y,z)=xyzf(x,y,z)=xyz over the solid E=[0,1]×[0,1]×[0,1]E=[0,1]×[0,1]×[0,1] situated in the first octant.
Find the volume of the solid EE that lies under the plane x+y+z=9x+y+z=9 and whose projection onto the xyxy-plane is bounded by x=y−1,x=0,x=y−1,x=0, and x+y=7.x+y=7.
Find the volume of the solid E that lies under the plane 2x+y+z=82x+y+z=8 and whose projection onto the xyxy-plane is bounded by x=sin−1y,y=0,x=sin−1y,y=0, and x=π2.x=π2.
Consider the pyramid with the base in the xyxy-plane of [−2,2]×[−2,2][−2,2]×[−2,2] and the vertex at the point (0,0,8).(0,0,8).
Show that the equations of the planes of the lateral faces of the pyramid are 4y+z=8,4y+z=8, 4y−z=−8,4y−z=−8, 4x+z=8,4x+z=8, and −4x+z=8.−4x+z=8.
Find the volume of the pyramid.
Consider the pyramid with the base in the xyxy-plane of [−3,3]×[−3,3][−3,3]×[−3,3] and the vertex at the point (0,0,9).(0,0,9).
Show that the equations of the planes of the side faces of the pyramid are 3 x + z = 9 , − 3 x + z = 9 , − 3 y + z = 9 , and 3 y + z = 9 3x+z=9,−3x+z=9,−3y+z=9, and 3y+z=9
Find the volume of the pyramid.
The solid EE bounded by the sphere of equation x2+y2+z2=r2x2+y2+z2=r2 with r>0r>0 and located in the first octant is represented in the following figure.
Write the triple integral that gives the volume of EE by integrating first with respect to z,z, then with y,y, and then with x.x.
Rewrite the integral in part a. as an equivalent integral in five other orders.
The solid EE bounded by the equation 9x2+4y2+z2=19x2+4y2+z2=1 and located in the first octant is represented in the following figure.
Write the triple integral that gives the volume of EE by integrating first with respect to z,z, then with y,y, and then with x.x.
Rewrite the integral in part a. as an equivalent integral in five other orders.
1. ਪ੍ਰਿਜ਼ਮ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ (0,0,0),(2,0,0),(2,3,0),(0,3,0),(0,0,1), ਅਤੇ (2,0,1) ਹਨ।
2. ਪ੍ਰਿਜ਼ਮ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ (0,0,0),(4,0,0),(4,6,0),(0,6,0),(0,0,1), ਅਤੇ (4,0,1) ਹਨ।
3. ਠੋਸ EE, ਜੋ ਕਿ z=10−2x−y ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਅਸ਼ਟਕ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. ਠੋਸ EE, ਜੋ ਕਿ z=1−x^2 ਅਤੇ y=5 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਅਸ਼ਟਕ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5. ਤ੍ਰਿ-ਅਖੰਡ ਸਮਾਕਲ ∭Bf(x,y,z)dV ਲਈ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਨਿਯਮ, ਜੋ ਕਿ ਆਇਤਾਕਾਰ ਠੋਸ ਬਾਕਸ BB ਉੱਤੇ ਹੈ, ਦੋ-ਅਖੰਡ ਸਮਾਕਲਾਂ ਲਈ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਨਿਯਮ ਦਾ ਇੱਕ ਆਮਕਰਨ ਹੈ। ਖੇਤਰ BB ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਆਕਾਰ ਦੇ ਉਪ-ਬਾਕਸਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਮਾਕਲ ਨੂੰ ਤ੍ਰਿ-ਅਖੰਡ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ∑i=1l∑j=1m∑k=1nf(xi–,yj–,zk–)ΔV ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ (xi–,yj–,zk–) ਬਾਕਸ Bijk ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਹੈ ਅਤੇ ΔV ਹਰੇਕ ਉਪ-ਬਾਕਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਹੈ। ਬਾਕਸ B={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1} ਉੱਤੇ ∭Bx^2dV ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰੋ, ਬਰਾਬਰ ਆਕਾਰ ਦੇ ਅੱਠ ਘਣਾਂ ਦੀ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
6. [T]
7. ਬਾਕਸ B={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1} ਉੱਤੇ ∭Be^−x^2dV ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰੋ, ਬਰਾਬਰ ਆਕਾਰ ਦੇ ਅੱਠ ਘਣਾਂ ਦੀ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
8. ਬਰਾਬਰ ਆਕਾਰ ਦੇ n^3 ਘਣਾਂ ਦੀ ਵੰਡ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਜਿੱਥੇ n=3,4,…,10, ਉਪਰੋਕਤ ਸਮਾਕਲ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਬਿਹਤਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
9. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਠੋਸ EE, ਜੋ ਕਿ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤਲਾਂ ਅਤੇ x+y+z=5 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ, ਦੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (x,y,z) ਉੱਤੇ ਸੈਲਸੀਅਸ ਡਿਗਰੀ ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ T(x,y,z)=xz+5z+10 ਹੈ। ਠੋਸ ਉੱਤੇ ਔਸਤ ਤਾਪਮਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
10. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਠੋਸ EE, ਜੋ ਕਿ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤਲਾਂ ਅਤੇ x+y+z=5 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ, ਦੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (x,y,z) ਉੱਤੇ ਫਾਰਨਹੀਟ ਡਿਗਰੀ ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ T(x,y,z)=x+y+xy ਹੈ। ਠੋਸ ਉੱਤੇ ਔਸਤ ਤਾਪਮਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
11. ਤ੍ਰਿ-ਅਖੰਡ ਸਮਾਕਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਉਚਾਈ hh ਅਤੇ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ aa ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਪਿਰਾਮਿਡ ਦਾ ਆਇਤਨ v=ha^2/3 ਹੈ।
12. ਤ੍ਰਿ-ਅਖੰਡ ਸਮਾਕਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ aa ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਸੱਜੇ ਹੈਕਸਾਗੋਨਲ ਪ੍ਰਿਜ਼ਮ ਦਾ ਆਇਤਨ 3a^3√3/2 ਹੈ।
13. ਤ੍ਰਿ-ਅਖੰਡ ਸਮਾਕਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ aa ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਸੱਜੇ ਹੈਕਸਾਗੋਨਲ ਪਿਰਾਮਿਡ ਦਾ ਆਇਤਨ a^3√3/2 ਹੈ।
14. ਜੇਕਰ ਠੋਸ EE ਦੇ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੇ ਬਿੰਦੂ (x,y,z) ਉੱਤੇ ਚਾਰਜ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x,y,z) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਤਾਂ ਠੋਸ ਦੇ ਅੰਦਰ ਕੁੱਲ ਚਾਰਜ ਨੂੰ ਤ੍ਰਿ-ਅਖੰਡ ਸਮਾਕਲ ∭Eρ(x,y,z)dV ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡਜ਼ x=5−y^2−z^2 ਅਤੇ x=y^2+z^2−5 ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਠੋਸ EE ਦੀ ਚਾਰਜ ਘਣਤਾ, EE ਦੇ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਮੂਲ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਠੋਸ E ਦੇ ਅੰਦਰ ਕੁੱਲ ਚਾਰਜ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਸਮਾਕਲ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।