ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
5.5.1 ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਇੱਕ ਤੀਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5.5.2 ਸਫੈਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਇੱਕ ਤੀਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਸੀ ਕਿ ਚੱਕਰੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਢੰਗ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣ ਲਈ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਤੀਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਨਾਲ ਵੀ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਥੇ ਸਾਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਅਤੇ ਸਫੈਰੀਕਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਵਿਚਕਾਰ ਫਰਕ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਤੀਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਜਾਂ ਸਫੈਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਤੀਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ।
ਚੈਪਟਰ ਓਪਨਰ ਨੂੰ ਵੀ ਯਾਦ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਪੇਨ ਦੇ ਵੈਲੈਂਸੀਆ ਵਿੱਚ ਓਪੇਰਾ ਹਾਊਸ ਲ’ਹੇਮਿਸਫੇਰਿਕ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਇਸਦੇ ਚਾਰ ਭਾਗ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਭਾਗ ਇੱਕ ਫੁੱਟਬਾਲ ਮੈਦਾਨ ਜਿੰਨੀ ਲੰਬੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਛੱਤ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਪੰਜ ਮੰਜ਼ਿਲਾ ਗੋਲੇ (ਬਾਲ) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਥੀਏਟਰ ਹੈ। ਅੰਦਰ ਇੱਕ IMAX ਸਕ੍ਰੀਨ ਹੈ ਜੋ ਗੋਲੇ ਨੂੰ 90009000 ਟਿਮਟਿਮਾਉਂਦੇ ਤਾਰਿਆਂ ਨਾਲ ਭਰੇ ਅਸਮਾਨ ਵਾਲੇ ਪਲੈਨੇਟੇਰੀਅਮ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਸਫੈਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਤੀਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵਰਗੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਆਕਾਰਾਂ ਦੇ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ℝ2 ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਜਿਸਦੇ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (x,y) ਹਨ, ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ (r,θ) ਵਜੋਂ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਜਿੱਥੇ x=rcosθ, y=rsinθ, r2=x2+y2 ਅਤੇ tanθ=(yx) ਵੇਰੀਏਬਲਜ਼ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਹਨ।
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ℝ3 ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਜਿਸਦੇ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (x,y,z) ਹਨ, ਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (r,θ,z) ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸਮਾਨ ਪਰਿਵਰਤਨ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, xy-ਪਲੇਨ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੀ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦੂਰੀ ਵਜੋਂ z ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹੋਏ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.50: ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ z ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਤੋਂ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਰਿਵਰਤਨ x=rcosθ ਅਤੇ y=rsinθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਤੋਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ r2=x2+y2 ਅਤੇ tanθ=yx ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। z-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਦੋਵਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਨਾਲ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ x=k (ਸਥਿਰ) ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਸਾਡਾ ਮਤਲਬ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਇੱਕ ਅਸੀਮਿਤ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਜਦੋਂ y=l (ਸਥਿਰ) ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਸਾਡਾ ਮਤਲਬ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਇੱਕ ਅਸੀਮਿਤ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਨਾਲ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ r=c (ਸਥਿਰ) ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡਾ ਮਤਲਬ c ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਦੋਂ θ=α (ਸਥਿਰ) ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਸਾਡਾ ਮਤਲਬ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਪਾਸੇ ਨਾਲ α ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਕਿਰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (x,y,z) ਦੇ ਨਾਲ, ਸਮੀਕਰਨ x=k, y=l, ਅਤੇ z=m, ਜਿੱਥੇ k, l, ਅਤੇ m ਸਥਿਰ ਹਨ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ yz-ਪਲੇਨ, xz-ਪਲੇਨ ਅਤੇ xy-ਪਲੇਨ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਅਸੀਮਿਤ ਪਲੇਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (r,θ,z) ਦੇ ਨਾਲ, r=c, θ=α, ਅਤੇ z=m, ਜਿੱਥੇ c, α, ਅਤੇ m ਸਥਿਰ ਹਨ, ਸਾਡਾ ਮਤਲਬ z-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਰੇਡੀਅਲ ਧੁਰੇ ਵਜੋਂ ਲੈ ਕੇ ਇੱਕ ਅਸੀਮਿਤ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸਿਲੰਡਰ; xz-ਪਲੇਨ ਨਾਲ α ਦਾ ਸਥਿਰ ਕੋਣ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਪਲੇਨ; ਅਤੇ xy-ਪਲੇਨ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਇੱਕ ਅਸੀਮਿਤ ਖਿਤਿਜੀ ਪਲੇਨ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਚੱਕਰੀ ਸਿਲੰਡਰ x2+y2=c2 ਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ r=c ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। (ਹੋਰ ਸਮੀਖਿਆ ਲਈ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਅਤੇ ਸਫੈਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵੇਖੋ।)
ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਅਕਸਰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਬਜਾਏ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਧੇਰੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਸਤਹਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ, ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਨਾਲ, ਟੇਬਲ 5.1 ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਹਨ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਤੀਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਸਾਡੇ ਲਈ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋਣਗੀਆਂ।
ਪੰਕਤੀ: ਚੱਕਰੀ ਸਿਲੰਡਰ | ਚੱਕਰੀ ਕੋਨ | ਗੋਲਾ | ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ
ਪੰਕਤੀ: ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ | x2+y2=c2 | z2=c2(x2+y2) | x2+y2+z2=c2 | z=c(x2+y2)
ਪੰਕਤੀ: ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ | r=c | z=cr | r2+z2=c2 | z=cr2
ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ℝ3 ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ B ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਬਾਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, B={(r,θ,z)|a≤r≤b,α≤θ≤β,c≤z≤d} (ਚਿੱਤਰ 5.51)। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ l, m, ਅਤੇ n ਉਪ-ਵਿਭਾਜਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ Δr=b−a/l, Δθ=β−α/m, ਅਤੇ Δz=d−c/n। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੀਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 5.51: ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਬਾਕਸ B ਜਿਸਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਬਾਕਸ (ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(r,θ,z) B ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਜੇਕਰ (ri*,θi*,zi*) ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਉਪ-ਬਾਕਸ Bijk=[ri−1,ri]×[θj−1,θj]×[zk−1,zk] (ਚਿੱਤਰ 5.51) ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਨਮੂਨਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਤੀਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੀਹਰੇ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਦੇ ਲਿਮਟ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਬਸ਼ਰਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਲਿਮਟ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ:
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ g(x,y,z) ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ ਬਾਕਸ B ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੀਹਰਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ∭Bg(x,y,z)dV, ਤੀਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ∭Bg(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਸਾਰੇ ਗੁਣ ਤੀਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਵਿੱਚ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਭਾਵੇਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਹੋਣ ਜਾਂ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ। ਉਹ ਇਟੇਰੇਟਿਡ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਲਈ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਦੁਹਰਾਉਣ ਲਈ, ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ, ਫੁਬਿਨੀ ਦਾ ਥਿਊਰਮ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਰੂਪ ਲੈਂਦਾ ਹੈ:
Theorem 5.12
Fubini’s Theorem in Cylindrical Coordinates
Suppose that g(x,y,z)g(x,y,z) is continuous on a portion of a circular cylinder B,B, which when described in cylindrical coordinates looks like B={(r,θ,z)|a≤r≤b,α≤θ≤β,c≤z≤d}.B={(r,θ,z)|a≤r≤b,α≤θ≤β,c≤z≤d}.
Then g(x,y,z)=g(rcosθ,rsinθ,z)=f(r,θ,z)g(x,y,z)=g(rcosθ,rsinθ,z)=f(r,θ,z) and
The iterated integral may be replaced equivalently by any one of the other five iterated integrals obtained by integrating with respect to the three variables in other orders.
Cylindrical coordinate systems work well for solids that are symmetric around an axis, such as cylinders and cones. Let us look at some examples before we define the triple integral in cylindrical coordinates on general cylindrical regions.
Example 5.43
Evaluating a Triple Integral over a Cylindrical Box
Evaluate the triple integral ∭B(zrsinθ)rdrdθdz∭B(zrsinθ)rdrdθdz where the cylindrical box BB is B={(r,θ,z)|0≤r≤2,0≤θ≤π/2,0≤z≤4}.B={(r,θ,z)|0≤r≤2,0≤θ≤π/2,0≤z≤4}.
Solution
As stated in Fubini’s theorem, we can write the triple integral as the iterated integral
The evaluation of the iterated integral is straightforward. Each variable in the integral is independent of the others, so we can integrate each variable separately and multiply the results together. This makes the computation much easier:
Checkpoint 5.27
Evaluate the triple integral ∫θ=0θ=π∫r=0r=1∫z=0z=4(rzsinθ)rdzdrdθ.∫θ=0θ=π∫r=0r=1∫z=0z=4(rzsinθ)rdzdrdθ.
If the cylindrical region over which we have to integrate is a general solid, we look at the projections onto the coordinate planes. Hence the triple integral of a continuous function f(r,θ,z)f(r,θ,z) over a general solid region E={(r,θ,z)|(r,θ)∈D,u1(r,θ)≤z≤u2(r,θ)}E={(r,θ,z)|(r,θ)∈D,u1(r,θ)≤z≤u2(r,θ)} in ℝ3,ℝ3, where DD is the projection of EE onto the rθrθ-plane, is
In particular, if D={(r,θ)|g1(θ)≤r≤g2(θ),α≤θ≤β},D={(r,θ)|g1(θ)≤r≤g2(θ),α≤θ≤β}, then we have
Similar formulas exist for projections onto the other coordinate planes. We can use polar coordinates in those planes if necessary.
Example 5.44
Setting up a Triple Integral in Cylindrical Coordinates over a General Region
Consider the region EE inside the right circular cylinder with equation r=2sinθ,r=2sinθ, bounded below by the rθrθ-plane and bounded above by the sphere with radius 44 centered at the origin (Figure 5.52). Set up a triple integral over this region with a function f(r,θ,z)f(r,θ,z) in cylindrical coordinates.
Figure 5.52: Setting up a triple integral in cylindrical coordinates over a cylindrical region.
Solution
First, identify that the equation for the sphere is r2+z2=16.r2+z2=16. We can see that the limits for zz are from 00 to z=16−r2.z=16−r2. Then the limits for rr are from 00 to r=2sinθ.r=2sinθ. Finally, the limits for θθ are from 00 to π.π. Hence the region is
Therefore, the triple integral is
Checkpoint 5.28
Consider the region EE inside the right circular cylinder with equation r=2sinθ,r=2sinθ, bounded below by the rθrθ-plane and bounded above by z=4−y.z=4−y. Set up a triple integral with a function f(r,θ,z)f(r,θ,z) in cylindrical coordinates.
Example 5.45
Setting up a Triple Integral in Two Ways
Let EE be the region bounded below by the cone z=x2+y2z=x2+y2 and above by the paraboloid z=2−x2−y2.z=2−x2−y2. (Figure 5.53). Set up a triple integral in cylindrical coordinates to find the volume of the region, using the following orders of integration:
dzdrdθdzdrdθ
drdzdθ.drdzdθ. Figure 5.53 Setting up a triple integral in cylindrical coordinates over a conical region.
Solution
The cone is of radius 1 where it meets the paraboloid. Since z=2−x2−y2=2−r2z=2−x2−y2=2−r2 and z=x2+y2=rz=x2+y2=r (assuming rr is nonnegative), we have 2−r2=r.2−r2=r. Solving, we have r2+r−2=(r+2)(r−1)=0.r2+r−2=(r+2)(r−1)=0. Since r≥0,r≥0, we have r=1.r=1. Therefore z=1.z=1. So the intersection of these two surfaces is a circle of radius 11 in the plane z=1.z=1. The cone is the lower bound for zz and the paraboloid is the upper bound. The projection of the region onto the xyxy-plane is the circle of radius 11 centered at the origin. Thus, we can describe the region as E={(r,θ,z)|0≤θ≤2π,0≤r≤1,r≤z≤2−r2}.E={(r,θ,z)|0≤θ≤2π,0≤r≤1,r≤z≤2−r2}. Hence the integral for the volume is V=∫θ=0θ=2π∫r=0r=1∫z=rz=2−r2rdzdrdθ.V=∫θ=0θ=2π∫r=0r=1∫z=rz=2−r2rdzdrdθ.
We can also write the cone surface as r=zr=z and the paraboloid as r2=2−z.r2=2−z. The lower bound for rr is zero, but the upper bound is sometimes the cone and the other times it is the paraboloid. The plane z=1z=1 divides the region into two regions. Then the region can be described as E={(r,θ,z)|0≤θ≤2π,0≤z≤1,0≤r≤z}∪{(r,θ,z)|0≤θ≤2π,1≤z≤2,0≤r≤2−z}.E={(r,θ,z)|0≤θ≤2π,0≤z≤1,0≤r≤z}∪{(r,θ,z)|0≤θ≤2π,1≤z≤2,0≤r≤2−z}. Now the integral for the volume becomes V=∫θ=0θ=2π∫z=0z=1∫r=0r=zrdrdzdθ+∫θ=0θ=2π∫z=1z=2∫r=0r=2−zrdrdzdθ.V=∫θ=0θ=2π∫z=0z=1∫r=0r=zrdrdzdθ+∫θ=0θ=2π∫z=1z=2∫r=0r=2−zrdrdzdθ.
Checkpoint 5.29
Redo the previous example with the order of integration dθdzdr.dθdzdr.
Example 5.46
Finding a Volume with Triple Integrals in Two Ways
Let E be the region bounded below by the rθrθ-plane, above by the sphere x2+y2+z2=4,x2+y2+z2=4, and on the sides by the cylinder x2+y2=1x2+y2=1 (Figure 5.54). Set up a triple integral in cylindrical coordinates to find the volume of the region using the following orders of integration, and in each case find the volume and check that the answers are the same:
dzdrdθdzdrdθ
drdzdθ.drdzdθ. Figure 5.54 Finding a cylindrical volume with a triple integral in cylindrical coordinates.
Solution
Note that the equation for the sphere is x2+y2+z2=4orr2+z2=4x2+y2+z2=4orr2+z2=4 and the equation for the cylinder is x2+y2=1orr2=1.x2+y2=1orr2=1. Thus, we have for the region EE E={(r,θ,z)|0≤z≤4−r2,0≤r≤1,0≤θ≤2π}E={(r,θ,z)|0≤z≤4−r2,0≤r≤1,0≤θ≤2π} Hence the integral for the volume is V(E)=∫θ=0θ=2π∫r=0r=1∫z=0z=4−r2rdzdrdθ=∫θ=0θ=2π∫r=0r=1[rz|z=0z=4−r2]drdθ=∫θ=0θ=2π∫r=0r=1(r4−r2)drdθ=∫02π(83−3)dθ=2π(83−3)cubic units.V(E)=∫θ=0θ=2π∫r=0r=1∫z=0z=4−r2rdzdrdθ=∫θ=0θ=2π∫r=0r=1[rz|z=0z=4−r2]drdθ=∫θ=0θ=2π∫r=0r=1(r4−r2)drdθ=∫02π(83−3)dθ=2π(83−3)cubic units.
Since the sphere is x2+y2+z2=4,x2+y2+z2=4, which is r2+z2=4,r2+z2=4, and the cylinder is x2+y2=1,x2+y2=1, which is r2=1,r2=1, we have 1+z2=4,1+z2=4, that is, z2=3.z2=3. Thus we have two regions, since the sphere and the cylinder intersect at (1,3)(1,3) in the rzrz-plane E1={(r,θ,z)|0≤r≤4−z2,3≤z≤2,0≤θ≤2π}E1={(r,θ,z)|0≤r≤4−z2,3≤z≤2,0≤θ≤2π} and E2={(r,θ,z)|0≤r≤1,0≤z≤3,0≤θ≤2π}.E2={(r,θ,z)|0≤r≤1,0≤z≤3,0≤θ≤2π}. Hence the integral for the volume is V(E)=∫θ=0θ=2π∫z=3z=2∫r=0r=4−r2rdrdzdθ+∫θ=0θ=2π∫z=0z=3∫r=0r=1rdrdzdθ=3π+(163−33)π=2π(83−3)cubic units.V(E)=∫θ=0θ=2π∫z=3z=2∫r=0r=4−r2rdrdzdθ+∫θ=0θ=2π∫z=0z=3∫r=0r=1rdrdzdθ=3π+(163−33)π=2π(83−3)cubic units.
Checkpoint 5.30
Redo the previous example with the order of integration dθdzdr.dθdzdr.
Review of Spherical Coordinates
In three-dimensional space ℝ3ℝ3 in the spherical coordinate system, we specify a point PP by its distance ρρ from the origin, the polar angle θθ from the positive x-axisx-axis (same as in the cylindrical coordinate system), and the angle φφ from the positive z-axisz-axis and the line OPOP (Figure 5.55). Note that ρ≥0ρ≥0 and 0≤φ≤π.0≤φ≤π. (Refer to Cylindrical and Spherical Coordinates for a review.) Spherical coordinates are useful for triple integrals over regions that are symmetric with respect to the origin.
1. ਚਿੱਤਰ 5.55: ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਅਤੇ ਮੂਲ ਤੋਂ ਇੱਕ ਦੂਰੀ ਨਾਲ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ।
2. ਉਹਨਾਂ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ ਜੋ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨਾਲ ਜੋੜਦੇ ਹਨ।
3. ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੱਕ:
4. ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੱਕ:
5. ਹੋਰ ਸਬੰਧ ਜੋ ਪਰਿਵਰਤਨ ਲਈ ਜਾਣਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ
6. ਅਤੇ
7. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਚਿੱਤਰ ਕੁਝ ਠੋਸ ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹਨ।
8. ਚਿੱਤਰ 5.56: ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਇਹਨਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸਤਹਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹਨ। (ਅੱਖਰ cc ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।)
9. ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਸਮਾਕਲਨ
10. ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੀਹਰੀ ਸਮਾਕਲਨ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(ρ,θ,φ) ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਗੋਲਾਕਾਰ ਬਾਕਸ, B={(ρ,θ,φ)|a≤ρ≤b,α≤θ≤β,γ≤φ≤ψ} ਵਿੱਚ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ l, m, ਅਤੇ n ਉਪ-ਵਿਭਾਜਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ Δρ=b−a/l, Δθ=β−α/m, Δφ=ψ−γ/n।
11. ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਤੀਹਰੀ ਸਮਾਕਲਨ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ (ρijk*,θijk*,φijk*) ਗੋਲਾਕਾਰ ਉਪ-ਬਾਕਸ Bijk ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਨਮੂਨਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਉਪ-ਬਾਕਸ ΔV ਦੇ ਆਇਤਨ ਤੱਤ ਲਈ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ΔV=(Δρ)(ρΔφ)(ρsinφΔθ) ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
12. ਚਿੱਤਰ 5.57: ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਾਕਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਤੱਤ।
13. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
14. ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਤੀਹਰੀ ਸਮਾਕਲਨ ਇੱਕ ਤੀਹਰੀ ਰੀਮਨ ਜੋੜ ਦਾ ਸੀਮਾ ਹੈ,
15. ਬਸ਼ਰਤੇ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ।
16. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਂਚੇ ਗਏ ਹੋਰ ਬਹੁ-ਗੁਣਾ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਨਾਲ, ਸਾਰੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਤੀਹਰੀ ਸਮਾਕਲਨ ਲਈ ਸਮਾਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਸਮਾਕਲਨ ਵੀ। ਫੁਬਿਨੀ ਦਾ ਥਿਊਰਮ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
17. ਥਿਊਰਮ 5.13
18. ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਲਈ ਫੁਬਿਨੀ ਦਾ ਥਿਊਰਮ
19. ਜੇਕਰ f(ρ,θ,φ) ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਠੋਸ ਬਾਕਸ B=[a,b]×[α,β]×[γ,ψ] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ
20. ਇਸ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਸਮਾਕਲਨ ਨੂੰ ਹੋਰ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਕ੍ਰਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰਕੇ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
21. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਗੋਲਿਆਂ ਅਤੇ ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਲਈ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਆਓ ਆਮ ਗੋਲਾਕਾਰ ਖੇਤਰਾਂ 'ਤੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਤੀਹਰੀ ਸਮਾਕਲਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੇਖੀਏ।
22. ਉਦਾਹਰਨ 5.47
23. ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੀਹਰੀ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ
24. ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਤੀਹਰੀ ਸਮਾਕਲਨ ∫θ=0θ=2π∫φ=0φ=π/2∫p=0ρ=1ρ2sinφdρdφdθ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟਡ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਸਫੈਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਟ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨਾਂ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਆਮ ਸਾਲਿਡ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ dV ਅਤੇ dA, ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਵਾਲੀਅਮ ਅਤੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਵੇਰੀਏਬਲ V ਅਤੇ A ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਲਈ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਜੋਂ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਇੱਕ ਆਮ ਸਾਲਿਡ ਰੀਜਨ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(ρ,θ,φ) ਦਾ ਟ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ
ℝ3 ਵਿੱਚ, ਜਿੱਥੇ D, ρθ-ਪਲੇਨ ਉੱਤੇ E ਦਾ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਹੈ
ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇ D={(ρ,θ)|g1(θ)≤ρ≤g2(θ),α≤θ≤β}, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਹੋਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨਾਂ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸਮਾਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.48
ਸਫੈਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਟ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਸਥਾਪਤ ਕਰਨਾ
ਸ਼ੰਕੂ z=3(x2+y2) ਅਤੇ ਹੇਮਿਸਫੀਅਰ z=4−x2−y2 ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਰੀਜਨ ਦੇ ਵਾਲੀਅਮ ਲਈ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਸਥਾਪਤ ਕਰੋ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 5.58: ਇੱਕ ਰੀਜਨ ਜੋ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਅਤੇ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਹੇਮਿਸਫੀਅਰ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਸਫੈਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
ਸ਼ੰਕੂ ਲਈ: z=3(x2+y2) ਜਾਂ ρcosφ=3ρsinφ ਜਾਂ tanφ=1/3 ਜਾਂ φ=π/6।
ਗੋਲੇ ਲਈ: z=4−x2−y2 ਜਾਂ z2=x2+y2=4 ਜਾਂ ρ2=4 ਜਾਂ ρ=2।
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਵਾਲੀਅਮ ਲਈ ਟ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਹੈ V(E)=∫θ=0θ=2π∫φ=0φ=π/6∫ρ=0ρ=2ρ2sinφdρdφdθ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.31
ਗੋਲੇ ρ=2 ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਸ਼ੰਕੂ φ=π/3 ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਘਿਰੇ ਸਾਲਿਡ ਰੀਜਨ ਦੇ ਵਾਲੀਅਮ ਲਈ ਇੱਕ ਟ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਸਥਾਪਤ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.49
ਸਫੈਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ E, ਸ਼ੰਕੂ z=x2+y2 ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ ਗੋਲੇ z=x2+y2+z2 ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ ਰੀਜਨ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 5.59)। ਸਫੈਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਟ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਸਥਾਪਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਕ੍ਰਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੀਜਨ ਦੇ ਵਾਲੀਅਮ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ:
dρdθdθ,
dφdρdθ। ਚਿੱਤਰ 5.59 ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ ਗੋਲੇ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ ਰੀਜਨ।
ਹੱਲ
1. ਗੋਲੇ ਅਤੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ ਪਰਿਵਰਤਨ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਗੋਲੇ ਲਈ: x2+y2+z2=zρ2=ρcosφρ=cosφ। ਸ਼ੰਕੂ ਲਈ: z=x2+y2ρcosφ=ρ2sin2φcos2θ+ρ2sin2φsin2θρcosφ=ρ2sin2φ(cos2θ+sin2θ)ρcosφ=ρsinφcosφ=sinφφ=π/4। ਇਸ ਲਈ, ਠੋਸ ਖੇਤਰ EE ਦੇ ਆਇਤਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ V(E)=∫θ=0θ=2π∫φ=0φ=π/4∫ρ=0ρ=cosφρ2sinφdρdφdθ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
2. φρφρ-ਤਲ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ φφ ਅਤੇ ρρ (ਭਾਗ a. ਤੋਂ) ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ 0≤φ≤π/40≤ρ≤cosφ ਹਨ। ਵਕਰ ρ=cosφ, ਰੇਖਾ φ=π/4 ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (π/4,2/2) 'ਤੇ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ: 0≤ρ≤2/20≤φ≤π/4 ਅਤੇ 2/2≤ρ≤10≤φ≤cos−1ρ। ਇਸ ਲਈ, ਠੋਸ ਖੇਤਰ EE ਦੇ ਆਇਤਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ V(E)=∫θ=0θ=2π∫ρ=0ρ=2/2∫φ=0φ=π/4ρ2sinφdφdρdθ+∫θ=0θ=2π∫ρ=2/2ρ=1∫φ=0φ=cos−1ρρ2sinφdφdρdθ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ V(E)=π8 ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
3. ਇਸ ਭਾਗ ਨੂੰ ਸਮਾਪਤ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਤੋਂ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਅਤੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਤੋਂ ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।
4. ਉਦਾਹਰਨ 5.50
5. ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਤੋਂ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ
6. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ:
7. ਹੱਲ
8. ਚਲਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਹਨ
9. ਪਹਿਲੀਆਂ ਦੋ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸੱਜੇ ਅੱਧੇ ਭਾਗ ਨੂੰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 1.1 ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, θθ ਅਤੇ rr ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਹਨ
10. zz ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ r2≤z≤r ਹਨ, ਇਸ ਲਈ
11. ਉਦਾਹਰਨ 5.51
12. ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਤੋਂ ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ
13. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ:
14. ਹੱਲ
15. ਚਲਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਹਨ
16. ਚਲਾਂ ਦੀਆਂ ਪਹਿਲੀਆਂ ਦੋ ਸੀਮਾਵਾਂ xyxy-ਤਲ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚੌਥਾਈ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੌਥਾਈ ਡਿਸਕ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, θθ ਦੀ ਸੀਮਾ 0≤θ≤π2 ਹੈ।
17. ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ z=x2+y2 ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਉੱਪਰਲਾ ਅੱਧਾ ਭਾਗ ਹੈ ਅਤੇ ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ z=18−x2−y2 ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਦਾ ਉੱਪਰਲਾ ਅੱਧਾ ਭਾਗ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ 0≤ρ≤18 ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 0≤ρ≤32 ਹੈ।
18. φ,φ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਸ਼ੰਕੂ ਅਤੇ ਗੋਲਾ ਕਿੱਥੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
19. ਇਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
20. ਇਸਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
21. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.32
22. ਗੋਲੇ x2+y2+z2=4 ਦੇ ਅੰਦਰ ਪਰ ਸਿਲੰਡਰ x2+y2=1 ਦੇ ਬਾਹਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਆਇਤਾਕਾਰ, ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਅਤੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
23. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਹੋ ਗਏ ਹਾਂ, ਆਓ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਆਕਾਰਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਗੋਲੇ ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 5.52
ਅਧਿਆਇ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ: ਲ’ਹੇਮਿਸਫੇਰਿਕ (l’Hemisphèric) ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣਾ
ਵੈਲੇਂਸੀਆ, ਸਪੇਨ ਵਿੱਚ ਲ’ਹੇਮਿਸਫੇਰਿਕ (l’Hemisphèric) ਨਾਮੀ ਗੋਲਾਕਾਰ ਪਲੈਨੇਟੇਰੀਅਮ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੋ ਪੰਜ ਮੰਜ਼ਿਲਾ ਹੈ ਅਤੇ ਲਗਭਗ 5050 ਫੁੱਟ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ x2+y2+z2=r2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ।
ਚਿੱਤਰ 5.60: (ਸਿਹਰਾ: ਜੇਵੀਅਰ ਯਾਯਾ ਤੂਰ, ਵਿਕੀਮੀਡੀਆ ਕਾਮਨਜ਼ ਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ)
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ (octant) ਵਿੱਚ ਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ ਗਿਣਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ x≥0, y≥0, ਅਤੇ z≥0 ਹੈ, ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (spherical coordinates) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਮਰੂਪਤਾ (symmetry) ਲਈ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ 8 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇੰਟੀਗਰਲ (integral) ਵਿੱਚ DD ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ, ਚਲਾਂ (variables) ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਹਨ
ਇਸ ਲਈ,
ਇਹ ਬਿਲਕੁਲ ਉਸ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਸੀ। ਇਸ ਲਈ ਲਗਭਗ 5050 ਫੁੱਟ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ 43π(50)3≈523,600ft3 ਹੈ।
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipsoid) ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.53
ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipsoid) ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣਾ
ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipsoid) x2a2+y2b2+z2c2=1 ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਸਮਰੂਪਤਾ (symmetry) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (spherical coordinates) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipsoid) ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ (octant) x≥0, y≥0, ਅਤੇ z≥0 ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ 8.8 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਚਲਾਂ (variables) ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਹਨ
ਨਾਲ ਹੀ, ਸਾਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ (rectangular) ਨੂੰ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (spherical coordinates) ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਦਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipsoid) ਦਾ ਆਇਤਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 5.54
ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipsoid) ਅਤੇ ਗੋਲੇ (sphere) ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣਾ
ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipsoid) x2752+y2802+z2902=1 ਦੇ ਅੰਦਰ ਅਤੇ ਗੋਲੇ (sphere) x2+y2+z2=502 ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲ’ਹੇਮਿਸਫੇਰਿਕ (l’Hemisphèric) ਢਾਂਚੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipsoid) ਦੇ ਅੰਦਰ ਅਤੇ ਗੋਲੇ (sphere) ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਉਸ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਗਰਮ ਕਰਨ ਜਾਂ ਠੰਡਾ ਕਰਨ ਦੇ ਖਰਚੇ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਗੋਲੇ (sphere) ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipsoid) ਦੇ ਆਇਤਨ ਲਈ ਪਿਛਲੀਆਂ ਦੋ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.53 ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਿੱਚ a=75ft, b=80ft, ਅਤੇ c=90ft ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipsoid) ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipsoid) ਦਾ ਆਇਤਨ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 5.52 ਤੋਂ, ਗੋਲੇ (sphere) ਦਾ ਆਇਤਨ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipsoid) x2752+y2802+z2902=1 ਦੇ ਅੰਦਰ ਅਤੇ ਗੋਲੇ (sphere) x2+y2+z2=502 ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਲਗਭਗ ਹੈ
Student Project
Hot air balloons
Hot air ballooning is a relaxing, peaceful pastime that many people enjoy. Many balloonist gatherings take place around the world, such as the Albuquerque International Balloon Fiesta. The Albuquerque event is the largest hot air balloon festival in the world, with over 500500 balloons participating each year.
Figure 5.61: Balloons lift off at the 20012001 Albuquerque International Balloon Fiesta. (credit: David Herrera, Flickr)
As the name implies, hot air balloons use hot air to generate lift. (Hot air is less dense than cooler air, so the balloon floats as long as the hot air stays hot.) The heat is generated by a propane burner suspended below the opening of the basket. Once the balloon takes off, the pilot controls the altitude of the balloon, either by using the burner to heat the air and ascend or by using a vent near the top of the balloon to release heated air and descend. The pilot has very little control over where the balloon goes, however—balloons are at the mercy of the winds. The uncertainty over where we will end up is one of the reasons balloonists are attracted to the sport.
In this project we use triple integrals to learn more about hot air balloons. We model the balloon in two pieces. The top of the balloon is modeled by a half sphere of radius 2828 feet. The bottom of the balloon is modeled by a frustum of a cone (think of an ice cream cone with the pointy end cut off). The radius of the large end of the frustum is 2828 feet and the radius of the small end of the frustum is 66 feet. A graph of our balloon model and a cross-sectional diagram showing the dimensions are shown in the following figure.
Figure 5.62: (a) Use a half sphere to model the top part of the balloon and a frustum of a cone to model the bottom part of the balloon. (b) A cross section of the balloon showing its dimensions.
We first want to find the volume of the balloon. If we look at the top part and the bottom part of the balloon separately, we see that they are geometric solids with known volume formulas. However, it is still worthwhile to set up and evaluate the integrals we would need to find the volume. If we calculate the volume using integration, we can use the known volume formulas to check our answers. This will help ensure that we have the integrals set up correctly for the later, more complicated stages of the project.
Find the volume of the balloon in two ways. Use triple integrals to calculate the volume. Consider each part of the balloon separately. (Consider using spherical coordinates for the top part and cylindrical coordinates for the bottom part.) Verify the answer using the formulas for the volume of a sphere, V=43πr3,V=43πr3, and for the volume of a cone, V=13πr2h.V=13πr2h. In reality, calculating the temperature at a point inside the balloon is a tremendously complicated endeavor. In fact, an entire branch of physics (thermodynamics) is devoted to studying heat and temperature. For the purposes of this project, however, we are going to make some simplifying assumptions about how temperature varies from point to point within the balloon. Assume that just prior to liftoff, the temperature (in degrees Fahrenheit) of the air inside the balloon varies according to the function T0(r,θ,z)=z−r10+210.T0(r,θ,z)=z−r10+210.
What is the average temperature of the air in the balloon just prior to liftoff? (Again, look at each part of the balloon separately, and do not forget to convert the function into spherical coordinates when looking at the top part of the balloon.) Now the pilot activates the burner for 1010 seconds. This action affects the temperature in a 1212-foot-wide column 2020 feet high, directly above the burner. A cross section of the balloon depicting this column in shown in the following figure. Figure 5.63 Activating the burner heats the air in a 2020-foot-high, 1212-foot-wide column directly above the burner. Assume that after the pilot activates the burner for 1010 seconds, the temperature of the air in the column described above increases according to the formula H(r,θ,z)=−2z−48.H(r,θ,z)=−2z−48. Then the temperature of the air in the column is given by T1(r,θ,z)=z−r10+210+(−2z−48),T1(r,θ,z)=z−r10+210+(−2z−48), while the temperature in the remainder of the balloon is still given by T0(r,θ,z)=z−r10+210.T0(r,θ,z)=z−r10+210.
Find the average temperature of the air in the balloon after the pilot has activated the burner for 1010 seconds.
In the following exercises, evaluate the triple integrals ∭Bf(x,y,z)dV∭Bf(x,y,z)dV over the solid B.B.
f(x,y,z)=z,f(x,y,z)=z, B={(x,y,z)|x2+y2≤9,x≥0,y≥0,0≤z≤1}B={(x,y,z)|x2+y2≤9,x≥0,y≥0,0≤z≤1}
f(x,y,z)=xz2,f(x,y,z)=xz2, B={(x,y,z)|x2+y2≤16,x≥0,y≤0,−1≤z≤1}B={(x,y,z)|x2+y2≤16,x≥0,y≤0,−1≤z≤1}
f(x,y,z)=xy,f(x,y,z)=xy, B={(x,y,z)|x2+y2≤1,x≥0,y≥0,x≤y,−1≤z≤1}B={(x,y,z)|x2+y2≤1,x≥0,y≥0,x≤y,−1≤z≤1}
f(x,y,z)=x2+y2,f(x,y,z)=x2+y2, B={(x,y,z)|x2+y2≤4,x≥0,x≤y,0≤z≤3}B={(x,y,z)|x2+y2≤4,x≥0,x≤y,0≤z≤3}
f(x,y,z)=ex2+y2,f(x,y,z)=ex2+y2, B={(x,y,z)|1≤x2+y2≤4,y≤0,x≤y3,2≤z≤3}B={(x,y,z)|1≤x2+y2≤4,y≤0,x≤y3,2≤z≤3}
f(x,y,z)=x2+y2,f(x,y,z)=x2+y2, B={(x,y,z)|1≤x2+y2≤9,y≤0,0≤z≤1}B={(x,y,z)|1≤x2+y2≤9,y≤0,0≤z≤1}
Let BB be a cylindrical shell with inner radius a,a, outer radius b,b, and height c,c, where 0<a<b0<a<b and c>0.c>0. Assume that a function FF defined on BB can be expressed in cylindrical coordinates as F(x,y,z)=f(r)+h(z),F(x,y,z)=f(r)+h(z), where ff and hh are differentiable functions. If ∫abf˜(r)dr=0∫abf˜(r)dr=0 and h˜(0)=0,h˜(0)=0, where f˜f˜ and h˜h˜ are antiderivatives of ff and h,h, respectively, show that ∭BF(x,y,z)dV=2πc(bf˜(b)−af˜(a))+π(b2−a2)h˜(c).∭BF(x,y,z)dV=2πc(bf˜(b)−af˜(a))+π(b2−a2)h˜(c).
Use the previous result to show that ∭B(z+sinx2+y2)dxdydz=6π2(π−2),∭B(z+sinx2+y2)dxdydz=6π2(π−2), where BB is a cylindrical shell with inner radius π,π, outer radius 2π,2π, and height 2.2.
Let BB be a cylindrical shell with inner radius a,a, outer radius b,b, and height c,c, where 0<a<b0<a<b and c>0.c>0. Assume that a function FF defined on BB can be expressed in cylindrical coordinates as F(x,y,z)=f(r)g(θ)h(z),F(x,y,z)=f(r)g(θ)h(z), where f,g,andhf,g,andh are differentiable functions. If ∫abf˜(r)dr=0,∫abf˜(r)dr=0, where f˜f˜ is an antiderivative of f,f, show that ∭BF(x,y,z)dV=[bf˜(b)−af˜(a)][g˜(2π)−g˜(0)][h˜(c)−h˜(0)],∭BF(x,y,z)dV=[bf˜(b)−af˜(a)][g˜(2π)−g˜(0)][h˜(c)−h˜(0)], where g˜g˜ and h˜h˜ are antiderivatives of gg and h,h, respectively.
Use the previous result to show that ∭Bzsinx2+y2dxdydz=−12π2,∭Bzsinx2+y2dxdydz=−12π2, where BB is a cylindrical shell with inner radius π,π, outer radius 2π,2π, and height 2.2.
In the following exercises, the boundaries of the solid EE are given in cylindrical coordinates. Let f (r,θ,z)f (r,θ,z) be the corresponding function in cylindrical coordinates.
Define the region in cylindrical coordinates.
Convert the integral ∭Εg(x,y,z)dV∭Εg(x,y,z)dV to cylindrical coordinates.
EE is inside the right circular cylinder r=4sinθ,r=4sinθ, above the rθrθ-plane, and inside the sphere r2+z2=16.r2+z2=16.
EE is inside the right circular cylinder r=cosθ,r=cosθ, above the rθrθ-plane, and inside the sphere r2+z2=9.r2+z2=9.
EE is located in the first octant and is bounded by the circular paraboloid z=9−3r2,z=9−3r2, the cylinder r=3,r=3, and the plane r(cosθ+sinθ)=20−z.r(cosθ+sinθ)=20−z.
EE is located in the first octant outside the circular paraboloid z=10−2r2z=10−2r2 and inside the cylinder r=5r=5 and is bounded also by the planes z=20z=20 and θ=π4.θ=π4.
In the following exercises, the function gg and region EE are given in rectangular coordinates.
Express the region ΕΕ and the function gg in cylindrical coordinates. Let f(r,θ,z)f(r,θ,z) be the corresponding function in cylindrical coordinates.
Convert the integral ∭Eg(x,y,z)dV∭Eg(x,y,z)dV to cylindrical coordinates and evaluate it.
g(x,y,z)=1x+3,g(x,y,z)=1x+3, E={(x,y,z)|0≤x2+y2≤9,x≥0,y≥0,0≤z≤x+3}E={(x,y,z)|0≤x2+y2≤9,x≥0,y≥0,0≤z≤x+3}
g(x,y,z)=x2+y2,g(x,y,z)=x2+y2, E={(x,y,z)|0≤x2+y2≤4,y≥0,0≤z≤3−x}E={(x,y,z)|0≤x2+y2≤4,y≥0,0≤z≤3−x}
g(x,y,z)=x,g(x,y,z)=x, E={(x,y,z)|1≤y2+z2≤9,0≤x≤9−y2−z2}E={(x,y,z)|1≤y2+z2≤9,0≤x≤9−y2−z2}
g(x,y,z)=y,g(x,y,z)=y, E={(x,y,z)|1≤x2+z2≤9,0≤y≤9−x2−z2}E={(x,y,z)|1≤x2+z2≤9,0≤y≤9−x2−z2}
In the following exercises, find the volume of the solid EE whose boundaries are given in rectangular coordinates.
EE is above the xyxy-plane, inside the cylinder x2+y2=1,x2+y2=1, and below the plane z=1.z=1.
EE is below the plane z=1z=1 and inside the paraboloid z=x2+y2.z=x2+y2.
EE is bounded by the circular cone z=x2+y2z=x2+y2 and z=1.z=1.
EE is located above the xyxy-plane, below z=1,z=1, outside the one-sheeted hyperboloid x2+y2−z2=1,x2+y2−z2=1, and inside the cylinder x2+y2=2.x2+y2=2.
EE is located inside the cylinder x2+y2=1x2+y2=1 and between the circular paraboloids z=1−x2−y2z=1−x2−y2 and z=x2+y2.z=x2+y2.
EE is located inside the sphere x2+y2+z2=1,x2+y2+z2=1, above the xyxy-plane, and inside the circular cone z=x2+y2.z=x2+y2.
EE is located inside the circular cone x2+y2=(z−1)2x2+y2=(z−1)2 and between the planes z=0z=0 and z=2.z=2.
EE is located inside the cylinder x2+y2=1x2+y2=1, above the circular cone z=1-x2+y2z=1-x2+y2, and below the circular paraboloid z=1+x2+y2z=1+x2+y2, and between the planes z=0z=0 and z=2z=2.
[T] Use a computer algebra system (CAS) to graph the solid whose volume is given by the iterated integral in cylindrical coordinates ∫−π/2π/2∫01∫r2rrdzdrdθ.∫−π/2π/2∫01∫r2rrdzdrdθ. Find the volume VV of the solid. Round your answer to four decimal places.
[T] Use a CAS to graph the solid whose volume is given by the iterated integral in cylindrical coordinates ∫0π/2∫01∫r4rrdzdrdθ.∫0π/2∫01∫r4rrdzdrdθ. Find the volume VV of the solid Round your answer to four decimal places.
Convert the integral ∫01∫−1−y21−y2∫x2+y2x2+y2xzdzdxdy∫01∫−1−y21−y2∫x2+y2x2+y2xzdzdxdy into an integral in cylindrical coordinates.
Convert the integral ∫02∫0y∫01(xy+z)dzdxdy∫02∫0y∫01(xy+z)dzdxdy into an integral in cylindrical coordinates.
In the following exercises, evaluate the triple integral ∭Bf(x,y,z)dV∭Bf(x,y,z)dV over the solid B.B.
f(x,y,z)=1,f(x,y,z)=1, B={(x,y,z)|x2+y2+z2≤90,z≥0}B={(x,y,z)|x2+y2+z2≤90,z≥0}
f(x,y,z)=1−x2+y2+z2,f(x,y,z)=1−x2+y2+z2, B={(x,y,z)|x2+y2+z2≤9,y≥0,z≥0}B={(x,y,z)|x2+y2+z2≤9,y≥0,z≥0}
f(x,y,z)=x2+y2,f(x,y,z)=x2+y2, BB is bounded above by the half-sphere x2+y2+z2=9x2+y2+z2=9 with z≥0z≥0 and below by the cone z2=x2+y2.z2=x2+y2.
f(x,y,z)=z,f(x,y,z)=z, BB is bounded above by the half-sphere x2+y2+z2=16x2+y2+z2=16 with z≥0z≥0 and below by the cone z2=x2+y2.z2=x2+y2.
Show that if F(ρ,θ,φ)=f(ρ)g(θ)h(φ)F(ρ,θ,φ)=f(ρ)g(θ)h(φ) is a continuous function on the spherical box B={(ρ,θ,φ)|a≤ρ≤b,α≤θ≤β,γ≤φ≤ψ},B={(ρ,θ,φ)|a≤ρ≤b,α≤θ≤β,γ≤φ≤ψ}, then
A function FF is said to have spherical symmetry if it depends on the distance to the origin only, that is, it can be expressed in spherical coordinates as F(x,y,z)=f(ρ),F(x,y,z)=f(ρ), where ρ=x2+y2+z2.ρ=x2+y2+z2. Show that ∭BF(x,y,z)dV=2π∫abρ2f(ρ)dρ,∭BF(x,y,z)dV=2π∫abρ2f(ρ)dρ, where BB is the region between the upper concentric hemispheres of radii aa and bb centered at the origin, with 0<a<b0<a<b and FF a spherical function defined on B.B.
Use the previous result to show that ∭B(x2+y2+z2)x2+y2+z2dV=21π,∭B(x2+y2+z2)x2+y2+z2dV=21π, where B={(x,y,z)|1≤x2+y2+z2≤2,z≥0}.B={(x,y,z)|1≤x2+y2+z2≤2,z≥0}.
Let BB be the region between the upper concentric hemispheres of radii a and b centered at the origin and situated in the first octant, where 0<a<b.0<a<b. Consider F a function defined on B whose form in spherical coordinates (ρ,θ,φ)(ρ,θ,φ) is F(x,y,z)=f(ρ)cosφ.F(x,y,z)=f(ρ)cosφ. Show that if g(a)=g(b)=0g(a)=g(b)=0 and ∫abh(ρ)dρ=0,∫abh(ρ)dρ=0, then ∭BF(x,y,z)dV=π24[ah(a)−bh(b)],∭BF(x,y,z)dV=π24[ah(a)−bh(b)], where gg is an antiderivative of ff and hh is an antiderivative of g.g.
Use the previous result to show that ∭Bzcosx2+y2+z2x2+y2+z2dV=3π22,∭Bzcosx2+y2+z2x2+y2+z2dV=3π22, where BB is the region between the upper concentric hemispheres of radii ππ and 2π2π centered at the origin and situated in the first octant.
In the following exercises, the function gg and region EE are given in rectangular coordinates.
Express the region EE and the function gg in spherical coordinates. Let f(ρ, θ, φ) f(ρ, θ, φ) be the corresponding function in spherical coordinates
Convert the integral ∭Eg(x,y,z)dV∭Eg(x,y,z)dV to spherical coordinates and evaluate it.
g(x,y,z)=z;g(x,y,z)=z; E={(x,y,z)|0≤x2+y2+z2≤1,z≥0}E={(x,y,z)|0≤x2+y2+z2≤1,z≥0}
g(x,y,z)=x+y;g(x,y,z)=x+y; E={(x,y,z)|1≤x2+y2+z2≤4,z≥0,y≥0}E={(x,y,z)|1≤x2+y2+z2≤4,z≥0,y≥0}
g(x,y,z)=2xy;g(x,y,z)=2xy; E={(x,y,z)|x2+y2≤z≤1−x2−y2,x≥0,y≥0}E={(x,y,z)|x2+y2≤z≤1−x2−y2,x≥0,y≥0}
g(x,y,z)=z;g(x,y,z)=z; E={(x,y,z)|x2+y2+z2−2z≤0,x2+y2≤z}E={(x,y,z)|x2+y2+z2−2z≤0,x2+y2≤z}
In the following exercises, find the volume of the solid EE whose boundaries are given in rectangular coordinates.
E = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 ≤ z ≤ 16 − x 2 − y 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 } E = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 ≤ z ≤ 16 − x 2 − y 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 }
E = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 + z 2 − 2 z ≤ 0 , x 2 + y 2 ≤ z } E = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 + z 2 − 2 z ≤ 0 , x 2 + y 2 ≤ z }
Use spherical coordinates to find the volume of the solid situated inside the sphere ρ=1ρ=1 and outside the sphere ρ=cosφ,ρ=cosφ, with φ∈[0,π2].φ∈[0,π2].
Use spherical coordinates to find the volume of the ball ρ≤3ρ≤3 that is situated between the cones φ=π4andφ=π3.φ=π4andφ=π3.
Convert the integral ∫−44∫−16−y216−y2∫−16−x2−y216−x2−y2(x2+y2+z2)dzdxdy∫−44∫−16−y216−y2∫−16−x2−y216−x2−y2(x2+y2+z2)dzdxdy into an integral in spherical coordinates.
Convert the integral ∫04∫016−x2∫−16−x2−y216−x2−y2(x2+y2+z2)2dzdydx∫04∫016−x2∫−16−x2−y216−x2−y2(x2+y2+z2)2dzdydx into an integral in spherical coordinates.
Convert the integral ∫−2222∫-8−x28−x2∫x2+y216−x2−y2dzdydx∫−2222∫-8−x28−x2∫x2+y216−x2−y2dzdydx into an integral in spherical coordinates and evaluate it.
[T] Use a CAS to graph the solid whose volume is given by the iterated integral in spherical coordinates ∫π/2π∫5π/6π/6∫02ρ2sinφdρdφdθ.∫π/2π∫5π/6π/6∫02ρ2sinφdρdφdθ. Find the volume VV of the solid. Round your answer to three decimal places.
[T] Use a CAS to graph the solid whose volume is given by the iterated integral in spherical coordinates as ∫02π∫π/43π/4∫01ρ2sinφdρdφdθ.∫02π∫π/43π/4∫01ρ2sinφdρdφdθ. Find the volume VV of the solid. Round your answer to three decimal places.
[T] Use a CAS to evaluate the integral ∭E(x2+y2)dV∭E(x2+y2)dV where EE lies above the paraboloid z=x2+y2z=x2+y2 and below the plane z=3y.z=3y.
[T]
Evaluate the integral ∭Eex2+y2+z2dV,∭Eex2+y2+z2dV, where EE is bounded by the spheres 4x2+4y2+4z2=14x2+4y2+4z2=1 and x2+y2+z2=1.x2+y2+z2=1.
Use a CAS to find an approximation of the previous integral. Round your answer to two decimal places.
Express the volume of the solid inside the sphere x2+y2+z2=16x2+y2+z2=16 and outside the cylinder x2+y2=4x2+y2=4 as triple integrals in cylindrical coordinates and spherical coordinates.
Express the volume of the solid inside the sphere x2+y2+z2=16x2+y2+z2=16 and outside the cylinder x2+y2=4x2+y2=4 that is located in the first octant as triple integrals in cylindrical coordinates and spherical coordinates.
The power emitted by an antenna has a power density per unit volume given in spherical coordinates by
p(ρ,θ,φ)=P0ρ2cos2θsin4φ,p(ρ,θ,φ)=P0ρ2cos2θsin4φ,where P0P0 is a constant with units in watts. The total power within a sphere BB of radius rr meters is defined as P=∭Bp(ρ,θ,φ)dV.P=∭Bp(ρ,θ,φ)dV. Find the total power PP within a sphere of radius 20 meters.
Use the preceding exercise to find the total power within a sphere BB of radius 5 meters when the power density per unit volume is given by p(ρ,θ,φ)=30ρ2cos2θsin4φ.p(ρ,θ,φ)=30ρ2cos2θsin4φ.
A charge cloud contained in a sphere BB of radius r centimeters centered at the origin has its charge density given by q(x,y,z)=kx2+y2+z2μCcm3,q(x,y,z)=kx2+y2+z2μCcm3, where k>0.k>0. The total charge contained in BB is given by Q=∭Bq(x,y,z)dV.Q=∭Bq(x,y,z)dV. Find the total charge Q.Q.
Use the preceding exercise to find the total charge cloud contained in the unit sphere if the charge density is q(x,y,z)=20x2+y2+z2μCcm3.q(x,y,z)=20x2+y2+z2μCcm3.