ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
5.6.1 ਦੋ-ਪਸਾਰੀ ਵਸਤੂ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5.6.2 ਦੋ-ਪਸਾਰੀ ਵਸਤੂ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5.6.3 ਤਿੰਨ-ਪਸਾਰੀ ਵਸਤੂ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਤਿਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਬਹੁ-ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਖੇਤਰ, ਆਇਤਨ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਕਈ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਭੌਤਿਕ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗਣਨਾਤਮਕ ਤਕਨੀਕਾਂ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ (ਫਲੈਟ ਪਲੇਟ) ਲਈ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਅਤੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਘਣਤਾ ਵਾਲੀ ਤਿੰਨ-ਪਸਾਰੀ ਵਸਤੂ ਲਈ ਤਿਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਲੈਮੀਨਾ ਜਾਂ ਵਸਤੂ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਭਾਵ, ਵਸਤੂ ਦੀ ਘਣਤਾ ਇਕਸਾਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਘਣਤਾ ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਸੰਖਿਆ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਦੋ ਪਾਸਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ
ਜੇਕਰ ਵਸਤੂ ਇੱਕ ਸਮਰੂਪ ਗੁਰੂਤਾ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਗੁਰੂਤਾ ਕੇਂਦਰ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਵਸਤੂ ਦੀ ਘਣਤਾ ਇਕਸਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਵਸਤੂ ਦਾ ਭੌਤਿਕ ਕੇਂਦਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5.64 ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ P ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਲੈਮੀਨਾ ਆਪਣੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਤੁਲਿਤ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.64: ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ ਇੱਕ ਸਪਿੰਡਲ ਉੱਤੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਤੁਲਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਸਪਿੰਡਲ ਉੱਤੇ ਬੈਠਾ ਹੋਵੇ।
ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ P(x̄, ȳ) ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟ Mx ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਮੋਮੈਂਟ My ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਪੁੰਜ m ਨੂੰ ਵੀ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਫਿਰ
ਇੱਕ-ਪਸਾਰੀ ਵਸਤੂ (ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਛੜ) ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਿੰਗਲ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਅਤੇ ਵਿਧੀਆਂ ਲਈ ਮੋਮੈਂਟਸ ਅਤੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰਾਂ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਲਓ। ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਵਿਚਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਜਾ ਰਹੇ ਹਾਂ ਸਿਵਾਏ ਇਸਦੇ ਕਿ ਵਸਤੂ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਸਾਰੀ ਲੈਮੀਨਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ x̄ = My/m ਅਤੇ ȳ = Mx/m ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਲੈਮੀਨਾ xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖੇਤਰ R ਉੱਤੇ ਕਬਜ਼ਾ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ρ(x,y) ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਉੱਤੇ ਇਸਦੀ ਘਣਤਾ (ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਖੇਤਰ ਪੁੰਜ ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਵਿੱਚ) ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ρ(x,y) = lim(ΔA→0) Δm/ΔA, ਜਿੱਥੇ Δm ਅਤੇ ΔA ਬਿੰਦੂ (x,y) ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਆਇਤਕਾਰ ਦੇ ਪੁੰਜ ਅਤੇ ਖੇਤਰ ਹਨ ਅਤੇ ਸੀਮਾ ਉਦੋਂ ਲਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਆਇਤਕਾਰ ਦੇ ਮਾਪ 0 ਤੱਕ ਜਾਂਦੇ ਹਨ (ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 5.65: ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ ਦੀ ਘਣਤਾ, ਖੇਤਰ ਦੇ ਸਿਫਰ ਤੱਕ ਜਾਣ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਆਇਤਕਾਰ ਵਿੱਚ ਇਸਦੇ ਪੁੰਜ ਪ੍ਰਤੀ ਖੇਤਰ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ।
ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ, ਅਸੀਂ ਖੇਤਰ R ਨੂੰ ΔA ਖੇਤਰ ਵਾਲੇ ਛੋਟੇ ਆਇਤਕਾਰਾਂ Rij ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਨਮੂਨਾ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਜੋਂ (xij*, yij*) ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਹਰੇਕ Rij ਦਾ ਪੁੰਜ mij ρ(xij*, yij*)ΔA ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 5.66)। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ k ਅਤੇ l ਕ੍ਰਮਵਾਰ x ਅਤੇ y ਵਿੱਚ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹਨ। ਨਾਲ ਹੀ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਆਕਾਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਪਰ ਸੀਮਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.66: ਲੈਮੀਨਾ ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਆਇਤਕਾਰਾਂ Rij ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ, ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਬਿੰਦੂ (xij*, yij*) ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ, ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ ਹੈ
ਆਓ ਹੁਣ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣੀ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇਖੀਏ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.55
ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਲੱਭਣਾ
(0,0), (0,3), (3,0) ਸਿਖਰਾਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣੀ ਲੈਮੀਨਾ R 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਘਣਤਾ ρ(x,y) = xy kg/m² ਨਾਲ। ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ, ਖੇਤਰ R ਦਾ ਇੱਕ ਸਕੈਚ ਹਮੇਸ਼ਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.67: xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ ਜਿਸਦੀ ਘਣਤਾ ρ(x,y) = xy ਹੈ।
ਪੁੰਜ ਲਈ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਗਣਨਾ ਸਿੱਧੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ m=278kg.m=278kg ਜਵਾਬ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਚੌਕੀ 5.33
ਉਸੇ ਖੇਤਰ RR 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਤੇ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x,y)=xy.ρ(x,y)=xy ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਲੱਭੋ। ਸੰਕੇਤ: ਤ੍ਰਿਕੋਣੀ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ x=3sinθx=3sinθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਤ੍ਰਿਕੋਣੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਪਾਵਰ ਰਿਡਿਊਸਿੰਗ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪੁੰਜ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਉਹ ਸਾਧਨ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਸਾਨੂੰ ਮੋਮੈਂਟ ਅਤੇ ਪੁੰਜ ਦੇ ਕੇਂਦਰਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜ ਹੈ। RR ਲਈ x-ਧੁਰੇ x-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ MxMx ਮੋਮੈਂਟ, x-ਧੁਰੇ x-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ RijRij ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਜੋੜਾਂ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, RR ਲਈ y-ਧੁਰੇ y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ MyMy ਮੋਮੈਂਟ, y-ਧੁਰੇ y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ RijRij ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਜੋੜਾਂ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਉਦਾਹਰਨ 5.56
ਮੋਮੈਂਟ ਲੱਭਣਾ
ਉਸੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣੀ ਲੈਮੀਨਾ RR 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ (0,0),(0,3),(3,0)(0,0),(0,3),(3,0) ਹਨ ਅਤੇ ਘਣਤਾ ρ(x,y)=xy.ρ(x,y)=xy ਨਾਲ। ਮੋਮੈਂਟ MxMx ਅਤੇ My.My ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਹਰੇਕ ਮੋਮੈਂਟ ਲਈ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ:
ਗਣਨਾ ਕਾਫ਼ੀ ਸਿੱਧੀ ਹੈ।
ਚੌਕੀ 5.34
ਉਸੇ ਲੈਮੀਨਾ RR 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉੱਪਰ, ਅਤੇ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x,y)=xy.ρ(x,y)=xy ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਮੋਮੈਂਟ MxMx ਅਤੇ My.My ਲੱਭੋ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਪੁੰਜ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਲਈ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਦੱਸਣ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਪੁੰਜ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਦੇ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਨੂੰ x−x− ਅਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਨੂੰ y−.y− ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ,
ਉਦਾਹਰਨ 5.57
ਪੁੰਜ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭਣਾ
ਦੁਬਾਰਾ ਉਸੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣੀ ਖੇਤਰ RR 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ (0,0),(0,3),(0,0),(0,3), (3,0)(3,0) ਹਨ ਅਤੇ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x,y)=xy.ρ(x,y)=xy ਨਾਲ। ਪੁੰਜ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ਪੁੰਜ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਬਿੰਦੂ (65,65).(65,65) ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਘਣਤਾ ρ(x,y)ρ(x,y) ਨੂੰ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮਾਨ (ਭਾਵ, ਸਥਿਰ) ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਮੁੱਲ 1 (ਕੋਈ ਵੀ ਸਥਿਰ ਕੰਮ ਕਰੇਗਾ), ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ,
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਪੁੰਜ ਦਾ ਕੇਂਦਰ (65,65)(65,65) ਤ੍ਰਿਕੋਣੀ ਖੇਤਰ ਦੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ (1,1)(1,1) ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਸਮਾਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ R.R ਦੀ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਘਣਤਾ ਕਾਰਨ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਘਣਤਾ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ρ(x,y)=cρ(x,y)=c (ਸਥਿਰ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਮੁੱਲ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਤੋਂ ਰੱਦ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਘਣਤਾ ਲਈ, ਪੁੰਜ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚੌਕੀ 5.35
1. ਉਪਰੋਕਤ ਖੇਤਰ RR ਅਤੇ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x,y)=xy.ρ(x,y)=xy ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ਮੁੜ, ਉਦਾਹਰਨ 5.57 ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀਆਂ ਟਿੱਪਣੀਆਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਸਮਤਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਲਈ ਵਿਅੰਜਕ ਮਿਲਦੇ ਹਨ:
3. ਸਾਨੂੰ ਇਹਨਾਂ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਪਿਛਲੀਆਂ ਤਿੰਨ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤੇ ਤਿਕੋਣੀ ਖੇਤਰ RR ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
4. ਉਦਾਹਰਨ 5.58
5. ਪੁੰਜ, ਮੋਮੈਂਟ ਅਤੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭਣਾ
6. ਘਣਤਾ ρ(x,y)=x+yρ(x,y)=x+y ਵਾਲੇ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਪੁੰਜ, ਮੋਮੈਂਟ ਅਤੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ 0≤x≤20≤x≤2 ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ y=x2y=x2 ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ RR ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ (ਅਗਲੀ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)।
7. ਚਿੱਤਰ 5.68: ਘਣਤਾ ρ(x,y)=x+y.ρ(x,y)=x+y ਵਾਲੇ ਪਦਾਰਥ RR ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਸਥਾਨ ਨਿਰਧਾਰਨ।
8. ਹੱਲ
9. ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਪੁੰਜ m.m. ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ y=x2y=x2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ x=0x=0 ਅਤੇ x=2:x=2: ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
10. ਹੁਣ MxMx ਅਤੇ My:My: ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ:
11. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ,
12. ਇਸ ਲਈ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (x−,y−)=(4427,10063).(x−,y−)=(4427,10063) ਹੈ।
13. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.36
14. y=xy=x ਅਤੇ y=x2y=x2 ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ, 0≤x≤1.0≤x≤1 ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ, ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x,y)=xρ(x,y)=x ਦੇ ਨਾਲ ਖੇਤਰ ਦੇ ਪੁੰਜ, ਮੋਮੈਂਟ ਅਤੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
15. ਉਦਾਹਰਨ 5.59
16. ਕੇਂਦਰ ਲੱਭਣਾ
17. 1≤x≤31≤x≤3 ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ y=exy=ex ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ (ਅਗਲੀ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)।
18. ਚਿੱਤਰ 5.69: y=ex.y=ex ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ।
19. ਹੱਲ
20. ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਥਿਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਰੱਦ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
21. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਹੈ
22. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.37
23. y=xy=x ਅਤੇ y=xy=x ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ, 0≤x≤1.0≤x≤1 ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਘਣਤਾ ਨਾਲ ਖੇਤਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
24. ਜੜਤਾ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟ
For a clear understanding of how to calculate moments of inertia using double integrals, we need to go back to the general definition of moments and centers of mass in Section 6.6 of Volume 1. The moment of inertia of a particle of mass mm about an axis is mr2,mr2, where rr is the distance of the particle from the axis. We can see from Figure 5.66 that the moment of inertia of the subrectangle RijRij about the x-axisx-axis is (yij*)2ρ(xij*,yij*)ΔA.(yij*)2ρ(xij*,yij*)ΔA. Similarly, the moment of inertia of the subrectangle RijRij about the y-axisy-axis is (xij*)2ρ(xij*,yij*)ΔA.(xij*)2ρ(xij*,yij*)ΔA. The moment of inertia is related to the rotation of the mass; specifically, it measures the tendency of the mass to resist a change in rotational motion about an axis.
The moment of inertia IxIx about the x-axisx-axis for the region RR is the limit of the sum of moments of inertia of the regions RijRij about the x-axis.x-axis. Hence
Similarly, the moment of inertia IyIy about the y-axisy-axis for RR is the limit of the sum of moments of inertia of the regions RijRij about the y-axis.y-axis. Hence
Sometimes, we need to find the moment of inertia of an object about the origin, which is known as the polar moment of inertia. We denote this by I0I0 and obtain it by adding the moments of inertia IxIx and Iy.Iy. Hence
All these expressions can be written in polar coordinates by substituting x=rcosθ,x=rcosθ, y=rsinθ,y=rsinθ, and dA=rdrdθ.dA=rdrdθ. For example, I0=∬Rr2ρ(rcosθ,rsinθ)dA.I0=∬Rr2ρ(rcosθ,rsinθ)dA.
Example 5.60
Finding Moments of Inertia for a Triangular Lamina
Use the triangular region RR with vertices (0,0),(2,2),(0,0),(2,2), and (2,0)(2,0) and with density ρ(x,y)=xyρ(x,y)=xy as in previous examples. Find the moments of inertia.
Solution
Using the expressions established above for the moments of inertia, we have
Checkpoint 5.38
Again use the same region RR as above and the density function ρ(x,y)=xy.ρ(x,y)=xy. Find the moments of inertia.
As mentioned earlier, the moment of inertia of a particle of mass mm about an axis is mr2mr2 where rr is the distance of the particle from the axis, also known as the radius of gyration.
Hence the radii of gyration with respect to the x-axis,x-axis, the y-axis,y-axis, and the origin are
respectively. In each case, the radius of gyration tells us how far (perpendicular distance) from the axis of rotation the entire mass of an object might be concentrated. The moments of an object are useful for finding information on the balance and torque of the object about an axis, but radii of gyration are used to describe the distribution of mass around its centroidal axis. There are many applications in engineering and physics. Sometimes it is necessary to find the radius of gyration, as in the next example.
Example 5.61
Finding the Radius of Gyration for a Triangular Lamina
Consider the same triangular lamina RR with vertices (0,0),(2,2),(0,0),(2,2), and (2,0)(2,0) and with density ρ(x,y)=xyρ(x,y)=xy as in previous examples. Find the radii of gyration with respect to the x-axis,x-axis, the y-axis,y-axis, and the origin.
Solution
If we compute the mass of this region we find that m=2.m=2. We found the moments of inertia of this lamina in Example 5.58. From these data, the radii of gyration with respect to the x-axis,x-axis, y-axis,y-axis, and the origin are, respectively,
Checkpoint 5.39
Use the same region RR from Example 5.61 and the density function ρ(x,y)=xy.ρ(x,y)=xy. Find the radii of gyration with respect to the x-axis,x-axis, the y-axis,y-axis, and the origin.
Center of Mass and Moments of Inertia in Three Dimensions
All the expressions of double integrals discussed so far can be modified to become triple integrals.
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਜੇਕਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ (x,y,z) 'ਤੇ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x,y,z) ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਠੋਸ ਵਸਤੂ QQ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਪੁੰਜ ਹੈ
xy-ਪਲੇਨ, xz-ਪਲੇਨ ਅਤੇ yz-ਪਲੇਨ ਬਾਰੇ ਇਸਦੇ ਮੋਮੈਂਟ ਹਨ
ਜੇਕਰ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਬਿੰਦੂ (x̄,ȳ,z̄) ਹੈ, ਤਾਂ
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਜੇਕਰ ਠੋਸ ਵਸਤੂ ਸਮਰੂਪ (ਸਥਿਰ ਘਣਤਾ ਵਾਲੀ) ਹੈ, ਤਾਂ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਠੋਸ ਦਾ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇੰਗ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, yz-ਪਲੇਨ, xz-ਪਲੇਨ ਅਤੇ xy-ਪਲੇਨ ਬਾਰੇ ਜੜਤਾ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟ ਹਨ
ਉਦਾਹਰਨ 5.62
ਇੱਕ ਠੋਸ ਦਾ ਪੁੰਜ ਲੱਭਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ QQ ਇੱਕ ਠੋਸ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ x+2y+3z=6 ਅਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਘਣਤਾ ρ(x,y,z)=x²yz ਹੈ। ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਖੇਤਰ QQ ਇੱਕ ਚਤੁਰਫਲਕ (ਚਿੱਤਰ 5.70) ਹੈ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (6,0,0), (0,3,0) ਅਤੇ (0,0,2) 'ਤੇ ਧੁਰਿਆਂ ਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਸਮਾਕਲਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਤਿਰਛੇ ਪਲੇਨ z=⅓(6−x−2y) ਵਿੱਚ z=0 ਮੰਨੋ। ਫਿਰ xx ਅਤੇ yy ਲਈ QQ ਦੇ xy-ਪਲੇਨ 'ਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ, ਜੋ ਕਿ ਧੁਰਿਆਂ ਅਤੇ ਰੇਖਾ x+2y=6 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਪੁੰਜ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 5.70: ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਠੋਸ Q ਦਾ ਪੁੰਜ ਲੱਭਣਾ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.40
ਉਹੀ ਖੇਤਰ QQ (ਚਿੱਤਰ 5.70) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x,y,z)=xy²z ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਪੁੰਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.63
ਇੱਕ ਠੋਸ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ QQ ਇੱਕ ਠੋਸ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਪਲੇਨ x+2y+3z=6 ਅਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਘਣਤਾ ρ(x,y,z)=x²yz ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 5.70 ਦੇਖੋ)। ਦਸ਼ਮਲਵ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 5.62 ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਪੁੰਜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਇਸ ਚਤੁਰਫਲਕ ਦੀ ਪਹਿਲਾਂ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ ਅਤੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਤੁਰੰਤ ਗਣਨਾਵਾਂ ਵੱਲ ਵਧ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ xy-ਪਲੇਨ, xz-ਪਲੇਨ ਅਤੇ yz-ਪਲੇਨ ਬਾਰੇ ਮੋਮੈਂਟ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
ਇਸ ਲਈ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਹੈ
ਚਤੁਰਫਲਕ QQ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਬਿੰਦੂ (2.25, 0.75, 0.5) ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.41
ਉਹੀ ਖੇਤਰ QQ (ਚਿੱਤਰ 5.70) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x,y,z)=xy²z ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਨੂੰ ਜੜਤਾ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟ Ix, Iy, ਅਤੇ Iz ਲੱਭਣ ਦੇ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਨਾਲ ਸਮਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.64
Finding the Moments of Inertia of a Solid
Suppose that QQ is a solid region and is bounded by x+2y+3z=6x+2y+3z=6 and the coordinate planes with density ρ(x,y,z)=x2yzρ(x,y,z)=x2yz (see Figure 5.70). Find the moments of inertia of the tetrahedron QQ about the yz-plane,yz-plane, the xz-plane,xz-plane, and the xy-plane.xy-plane.
Solution
Once again, we can almost immediately write the limits of integration and hence we can quickly proceed to evaluating the moments of inertia. Using the formula stated before, the moments of inertia of the tetrahedron QQ about the xy-plane,xy-plane, the xz-plane,xz-plane, and the yz-planeyz-plane are
and
Proceeding with the computations, we have
Thus, the moments of inertia of the tetrahedron QQ about the yz-plane,yz-plane, the xz-plane,xz-plane, and the xy-planexy-plane are 117/35,684/35,and729/35,117/35,684/35,and729/35, respectively.
Checkpoint 5.42
Consider the same region QQ (Figure 5.70), and use the density function ρ(x,y,z)=xy2z.ρ(x,y,z)=xy2z. Find the moments of inertia about the three coordinate planes.
In the following exercises, the region RR occupied by a lamina is shown in a graph. Find the mass of RR with the density function ρ.ρ.
RR is the triangular region with vertices (0,0),(0,3),(0,0),(0,3), and (6,0);ρ(x,y)=xy.(6,0);ρ(x,y)=xy.
RR is the triangular region with vertices (0,0),(1,1),(0,0),(1,1), (0,5);ρ(x,y)=x+y.(0,5);ρ(x,y)=x+y.
RR is the rectangular region with vertices (0,0),(0,3),(6,3),(0,0),(0,3),(6,3), and (6,0);(6,0); ρ(x,y)=xy.ρ(x,y)=xy.
RR is the rectangular region with vertices (0,1),(0,3),(3,3),(0,1),(0,3),(3,3), and (3,1);(3,1); ρ(x,y)=x2y.ρ(x,y)=x2y.
RR is the trapezoidal region determined by the lines y=−14x+52,y=0,y=2,y=−14x+52,y=0,y=2, and x=0;x=0; ρ(x,y)=3xy.ρ(x,y)=3xy.
RR is the trapezoidal region determined by the lines y=0,y=1,y=x,y=0,y=1,y=x, and y=−x+3;ρ(x,y)=2x+y.y=−x+3;ρ(x,y)=2x+y.
RR is the disk of radius 22 centered at (1,2);(1,2); ρ(x,y)=x2+y2−2x−4y+5.ρ(x,y)=x2+y2−2x−4y+5.
RR is the unit disk; ρ(x,y)=3x4+6x2y2+3y4.ρ(x,y)=3x4+6x2y2+3y4.
RR is the region enclosed by the ellipse x2+4y2=1;ρ(x,y)=1.x2+4y2=1;ρ(x,y)=1.
R={(x,y)|9x2+y2≤1,x≥0,y≥0};R={(x,y)|9x2+y2≤1,x≥0,y≥0}; ρ(x,y)=9x2+y2.ρ(x,y)=9x2+y2.
RR is the region bounded by y=x,y=−x,y=x+2,y=−x+2;y=x,y=−x,y=x+2,y=−x+2; ρ(x,y)=1.ρ(x,y)=1.
RR is the region bounded by y=1x,y=2x,y=1,y=1x,y=2x,y=1, and y=2;ρ(x,y)=4(x+y).y=2;ρ(x,y)=4(x+y).
In the following exercises, consider a lamina occupying the region RR and having the density function ρρ given in the preceding group of exercises. Use a computer algebra system (CAS) to answer the following questions.
Find the moments MxMx and MyMy about the x-axisx-axis and y-axis,y-axis, respectively.
Calculate and plot the center of mass of the lamina.
[T] Use a CAS to locate the center of mass on the graph of R.R.
[T] RR is the triangular region with vertices (0,0),(0,3),(0,0),(0,3), and (6,0);ρ(x,y)=xy.(6,0);ρ(x,y)=xy.
[T] RR is the triangular region with vertices (0,0),(1,1),and(0,5);ρ(x,y)=x+y.(0,0),(1,1),and(0,5);ρ(x,y)=x+y.
[T] RR is the rectangular region with vertices (0,0),(0,3),(6,3),and(6,0);(0,0),(0,3),(6,3),and(6,0); ρ(x,y)=xy.ρ(x,y)=xy.
[T] RR is the rectangular region with vertices (0,1),(0,3),(3,3),and(3,1);(0,1),(0,3),(3,3),and(3,1); ρ(x,y)=x2y.ρ(x,y)=x2y.
[T] RR is the trapezoidal region determined by the lines y=−14x+52,y=0,y=−14x+52,y=0, y=2,andx=0;y=2,andx=0; ρ(x,y)=3xy.ρ(x,y)=3xy.
[T] RR is the trapezoidal region determined by the lines y=0,y=1,y=x,y=0,y=1,y=x, and y=−x+3;ρ(x,y)=2x+y.y=−x+3;ρ(x,y)=2x+y.
[T] RR is the disk of radius 22 centered at (1,2);(1,2); ρ(x,y)=x2+y2−2x−4y+5.ρ(x,y)=x2+y2−2x−4y+5.
[T] RR is the unit disk; ρ(x,y)=3x4+6x2y2+3y4.ρ(x,y)=3x4+6x2y2+3y4.
[T] RR is the region enclosed by the ellipse x2+4y2=1;ρ(x,y)=1.x2+4y2=1;ρ(x,y)=1.
[T] R={(x,y)|9x2+y2≤1,x≥0,y≥0};R={(x,y)|9x2+y2≤1,x≥0,y≥0}; ρ(x,y)=9x2+y2.ρ(x,y)=9x2+y2.
[T] RR is the region bounded by y=x,y=−x,y=x+2,y=x,y=−x,y=x+2, and y=−x+2;y=−x+2; ρ(x,y)=1.ρ(x,y)=1.
[T] RR is the region bounded by y=1x,y=1x, y=2x,y=1,andy=2;y=2x,y=1,andy=2; ρ(x,y)=4(x+y).ρ(x,y)=4(x+y).
In the following exercises, consider a lamina occupying the region RR and having the density function ρρ given in the first two groups of Exercises.
Find the moments of inertia Ix,Iy,Ix,Iy, and I0I0 about the x-axis,x-axis, y-axis,y-axis, and origin, respectively.
Find the radii of gyration with respect to the x-axis,x-axis, y-axis,y-axis, and origin, respectively.
RR is the triangular region with vertices (0,0),(0,3),(0,0),(0,3), and (6,0);ρ(x,y)=xy.(6,0);ρ(x,y)=xy.
RR is the triangular region with vertices (0,0),(1,1),(0,0),(1,1), and (0,5);ρ(x,y)=x+y.(0,5);ρ(x,y)=x+y.
RR is the rectangular region with vertices (0,0),(0,3),(6,3),(0,0),(0,3),(6,3), and (6,0);ρ(x,y)=xy.(6,0);ρ(x,y)=xy.
RR is the rectangular region with vertices (0,1),(0,3),(3,3),(0,1),(0,3),(3,3), and (3,1);ρ(x,y)=x2y.(3,1);ρ(x,y)=x2y.
RR is the trapezoidal region determined by the lines y=−14x+52,y=0,y=2,y=−14x+52,y=0,y=2, and x=0;ρ(x,y)=3xy.x=0;ρ(x,y)=3xy.
RR is the trapezoidal region determined by the lines y=0,y=1,y=x,y=0,y=1,y=x, and y=−x+3;ρ(x,y)=2x+y.y=−x+3;ρ(x,y)=2x+y.
RR is the disk of radius 22 centered at (1,2);(1,2); ρ(x,y)=x2+y2−2x−4y+5.ρ(x,y)=x2+y2−2x−4y+5.
RR is the unit disk; ρ(x,y)=3x4+6x2y2+3y4.ρ(x,y)=3x4+6x2y2+3y4.
RR is the region enclosed by the ellipse x2+4y2=1;ρ(x,y)=1.x2+4y2=1;ρ(x,y)=1.
R = { ( x , y ) | 9 x 2 + y 2 ≤ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 } ; ρ ( x , y ) = 9 x 2 + y 2 . R = { ( x , y ) | 9 x 2 + y 2 ≤ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 } ; ρ ( x , y ) = 9 x 2 + y 2 .
RR is the region bounded by y=x,y=−x,y=x+2,andy=−x+2;y=x,y=−x,y=x+2,andy=−x+2; ρ(x,y)=1.ρ(x,y)=1.
RR is the region bounded by y=1x,y=2x,y=1,andy=2;ρ(x,y)=4(x+y).y=1x,y=2x,y=1,andy=2;ρ(x,y)=4(x+y).
Let QQ be the solid unit cube. Find the mass of the solid if its density ρρ is equal to the square of the distance of an arbitrary point of QQ to the xy-plane.xy-plane.
Let QQ be the solid unit hemisphere. Find the mass of the solid if its density ρρ is equal to the distance of an arbitrary point of QQ to the origin.
The solid QQ of constant density 11 is situated inside the sphere x2+y2+z2=16x2+y2+z2=16 and outside the sphere x2+y2+z2=1.x2+y2+z2=1. Show that the center of mass of the solid is not located within the solid.
Find the mass of the solid Q={(x,y,z)|1≤x2+z2≤25,y≤1−x2−z2}Q={(x,y,z)|1≤x2+z2≤25,y≤1−x2−z2} whose density is ρ(x,y,z)=k,ρ(x,y,z)=k, where k>0.k>0.
[T] The solid Q={(x,y,z)|x2+y2≤9,0≤z≤1,x≥0,y≥0}Q={(x,y,z)|x2+y2≤9,0≤z≤1,x≥0,y≥0} has density equal to the distance to the xy-plane.xy-plane. Use a CAS to answer the following questions.
Find the mass of Q.Q.
Find the moments Mxy,Mxz,andMyzMxy,Mxz,andMyz about the xy-plane,xy-plane, xz-plane,xz-plane, and yz-plane,yz-plane, respectively.
Find the center of mass of Q.Q.
Graph QQ and locate its center of mass.
Consider the solid Q={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤2,0≤z≤3}Q={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤2,0≤z≤3} with the density function ρ(x,y,z)=x+y+1.ρ(x,y,z)=x+y+1.
Find the mass of Q.Q.
Find the moments Mxy,Mxz,andMyzMxy,Mxz,andMyz about the xy-plane,xy-plane, xz-plane,xz-plane, and yz-plane,yz-plane, respectively.
Find the center of mass of Q.Q.
[T] The solid QQ has the mass given by the triple integral ∫−11∫0π4∫01r2drdθdz.∫−11∫0π4∫01r2drdθdz. Use a CAS to answer the following questions.
Show that the center of mass of QQ is located in the xy-plane.xy-plane.
Graph QQ and locate its center of mass.
The solid QQ is bounded by the planes x+4y+z=8,x=0,y=0,andz=0.x+4y+z=8,x=0,y=0,andz=0. Its density at any point is equal to the distance to the xz-plane.xz-plane. Find the moment of inertia IyIy of the solid about the xz-plane.xz-plane.
The solid QQ is bounded by the planes x+y+z=3,x+y+z=3, x=0,y=0,x=0,y=0, and z=0.z=0. Its density is ρ(x,y,z)=x+ay,ρ(x,y,z)=x+ay, where a>0.a>0. Show that the center of mass of the solid is located in the plane z=35z=35 for any value of a.a.
Let QQ be the solid situated outside the sphere x2+y2+z2=zx2+y2+z2=z and inside the upper hemisphere x2+y2+z2=R2,x2+y2+z2=R2, where R>1.R>1. If the density of the solid is ρ(x,y,z)=1x2+y2+z2,ρ(x,y,z)=1x2+y2+z2, find RR such that the mass of the solid is 7π2.7π2.
ਠੋਸ QQ ਦਾ ਪੁੰਜ ∫022∫08−x2∫x2+y216−x2−y2(x2+y2+z2)ndzdydx,∫022∫08−x2∫x2+y216−x2−y2(x2+y2+z2)ndzdydx, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ nn ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ। nn ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਠੋਸ ਦਾ ਪੁੰਜ (2−2)π.(2−2)π ਹੋਵੇ।
QQ ਉਹ ਠੋਸ ਹੈ ਜੋ ਸ਼ੰਕੂ x2+y2=z2x2+y2=z2 ਦੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਗੋਲੇ x2+y2+z2−4kz=0.x2+y2+z2−4kz=0 ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਦਾ ਘਣਤਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ k>0.k>0 ਹੈ। kk ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਠੋਸ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਦੂਰੀ 77 ਇਕਾਈ ਹੋਵੇ।
ਠੋਸ Q={(x,y,z)|0≤x2+y2≤16,x≥0,y≥0,0≤z≤x}Q={(x,y,z)|0≤x2+y2≤16,x≥0,y≥0,0≤z≤x} ਦਾ ਘਣਤਾ ρ(x,y,z)=k.ρ(x,y,z)=k ਹੈ। ਦਰਸਾਓ ਕਿ xy-ਤਲ xy-ਤਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੋਮੈਂਟ MxyMxy, yz-ਤਲ yz-ਤਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੋਮੈਂਟ MyzMyz ਦਾ ਅੱਧਾ ਹੈ।
ਠੋਸ QQ ਸਿਲੰਡਰ x2+y2=a2,x2+y2=a2, ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ b2−z=x2+y2,b2−z=x2+y2, ਅਤੇ xy-ਤਲ,xy-ਤਲ, ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਾਬੱਧ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ 0<a<b.0<a<b ਹੈ। ਠੋਸ ਦਾ ਪੁੰਜ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇਕਰ ਇਸ ਦਾ ਘਣਤਾ ρ(x,y,z)=x2+y2.ρ(x,y,z)=x2+y2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
QQ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਘਣਤਾ k,k>0, ਵਾਲਾ ਠੋਸ ਹੈ, ਜੋ ਪਹਿਲੇ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ, ਵ੍ਰਿੱਤੀ ਸ਼ੰਕੂ x2+y2=9(z−1)2,x2+y2=9(z−1)2 ਦੇ ਅੰਦਰ, ਅਤੇ ਤਲ z=0.z=0 ਦੇ ਉੱਪਰ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਦਰਸਾਓ ਕਿ xy-ਤਲ xy-ਤਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੋਮੈਂਟ MxyMxy, yz-ਤਲ yz-ਤਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੋਮੈਂਟ MyzMyz ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਠੋਸ QQ ਦਾ ਪੁੰਜ ਤ੍ਰਿਗੁਣ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫01∫0π/2∫0r2(r4+r)dzdθdr.∫01∫0π/2∫0r2(r4+r)dzdθdr ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਠੋਸ ਦਾ ਘਣਤਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
xy-ਤਲ xy-ਤਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੋਮੈਂਟ MxyMxy ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਠੋਸ QQ ਦਾ yz-ਤਲ yz-ਤਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਜੜਤਾ ਮੋਮੈਂਟ IxIx ਤ੍ਰਿਗੁਣ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫02∫−4−y24−y2∫12(x2+y2)x2+y2(y2+z2)(x2+y2)dzdxdy.∫02∫−4−y24−y2∫12(x2+y2)x2+y2(y2+z2)(x2+y2)dzdxdy ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
Q ਦਾ ਘਣਤਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
xy-ਤਲ xy-ਤਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਜੜਤਾ ਮੋਮੈਂਟ IzIz ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਠੋਸ QQ ਦਾ ਪੁੰਜ ਤ੍ਰਿਗੁਣ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫0π/4∫02secθ∫01(r3cosθsinθ+2r)dzdrdθ.∫0π/4∫02secθ∫01(r3cosθsinθ+2r)dzdrdθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਠੋਸ ਦਾ ਘਣਤਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
xz-ਤਲ xz-ਤਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੋਮੈਂਟ MxzMxz ਪਤਾ ਕਰੋ।
QQ ਉਹ ਠੋਸ ਹੈ ਜੋ xy-ਤਲ,xy-ਤਲ, ਸਿਲੰਡਰ x2+y2=a2,x2+y2=a2, ਅਤੇ ਤਲ z=1,z=1, ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਾਬੱਧ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a>1a>1 ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਠੋਸ ਦਾ ਮੋਮੈਂਟ MxyMxy xy-ਤਲ xy-ਤਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇਕਰ ਇਸ ਦਾ ਘਣਤਾ ਸਿਲੰਡਰਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ρ(r,θ,z)=d2fdr2(r),ρ(r,θ,z)=d2fdr2(r) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ff ਇੱਕ ਵਿਭੇਦਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (0,a).(0,a) ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਵਿਭੇਦਕ ਹਨ।
ਇੱਕ ਠੋਸ QQ ਦਾ ਆਇਤਨ ∬D∫abdzdA,∬D∫abdzdA ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ DD xy-ਤਲ xy-ਤਲ ਤੇ ਠੋਸ ਦਾ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ a<ba<b ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਦਾ ਘਣਤਾ ਚੱਲ z.z ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਇਸ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਤਲ z=a+b2.z=a+b2 ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ।
ਠੋਸ QQ, ਜੋ ਸਿਲੰਡਰ x2+z2=a2x2+z2=a2 ਅਤੇ ਤਲਾਂ y=by=b ਅਤੇ y=c,y=c, ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ a>0a>0 ਅਤੇ b<cb<c ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। QQ ਦਾ ਘਣਤਾ ρ(x,y,z)=f′(y),ρ(x,y,z)=f′(y) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ff ਇੱਕ ਵਿਭੇਦਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (b,c).(b,c) ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਜੇਕਰ f(b)=f(c),f(b)=f(c), ਤਾਂ QQ ਦੇ xz-ਤਲ xz-ਤਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਜੜਤਾ ਮੋਮੈਂਟ ਸਿਫਰ ਹੈ।
[T] ਇੱਕ ਠੋਸ QQ ਦਾ ਔਸਤ ਘਣਤਾ ρave=1V(Q)∭Qρ(x,y,z)dV=mV(Q),ρave=1V(Q)∭Qρ(x,y,z)dV=mV(Q) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ V(Q)V(Q) ਅਤੇ mm ਕ੍ਰਮਵਾਰ Q,Q ਦਾ ਆਇਤਨ ਅਤੇ ਪੁੰਜ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇਕਾਈ ਗੇਂਦ ਦਾ ਘਣਤਾ ρ(x,y,z)=e−x2−y2−z2,ρ(x,y,z)=e−x2−y2−z2 ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸ ਦਾ ਔਸਤ ਘਣਤਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇਕਾਈ ਗੇਂਦ ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ρ(x,y,z)=e−x2−y2−z2ρ(x,y,z)=e−x2−y2−z2 ਹੈ, ਦੇ yz-ਤਲ yz-ਤਲ, xz-ਤਲ xz-ਤਲ, ਅਤੇ xy-ਤਲ xy-ਤਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਜੜਤਾ ਮੋਮੈਂਟ Ix,Iy,andIzIx,Iy,andIz ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।