Learning Objectives
5.7.1 Determine the image of a region under a given transformation of variables.
5.7.2 Compute the Jacobian of a given transformation.
5.7.3 Evaluate a double integral using a change of variables.
5.7.4 Evaluate a triple integral using a change of variables.
Recall from Substitution Rule the method of integration by substitution. When evaluating an integral such as ∫23x(x2−4)5dx,∫23x(x2−4)5dx, we substitute u=g(x)=x2−4.u=g(x)=x2−4. Then du=2xdxdu=2xdx or xdx=12duxdx=12du and the limits change to u=g(2)=22−4=0u=g(2)=22−4=0 and u=g(3)=9−4=5.u=g(3)=9−4=5. Thus the integral becomes ∫0512u5du∫0512u5du and this integral is much simpler to evaluate. In other words, when solving integration problems, we make appropriate substitutions to obtain an integral that becomes much simpler than the original integral.
We also used this idea when we transformed double integrals in rectangular coordinates to polar coordinates and transformed triple integrals in rectangular coordinates to cylindrical or spherical coordinates to make the computations simpler. More generally,
Where x=g(u),dx=g′(u)du,x=g(u),dx=g′(u)du, and u=cu=c and u=du=d satisfy c=g-1(a)c=g-1(a) and d=g-1(b).d=g-1(b).
A similar result occurs in double integrals when we substitute x=h(r,θ)=rcosθ,x=h(r,θ)=rcosθ, y=g(r,θ)=rsinθ,y=g(r,θ)=rsinθ, and dA=dxdy=rdrdθ.dA=dxdy=rdrdθ. Then we get
where the domain RR is replaced by the domain SS in polar coordinates. Generally, the function that we use to change the variables to make the integration simpler is called a transformation or mapping.
Planar Transformations
A planar transformation TT is a function that transforms a region GG in one plane into a region RR in another plane by a change of variables. Both GG and RR are subsets of ℝ2.ℝ2. For example, Figure 5.71 shows a region GG in the uv-planeuv-plane transformed into a region RR in the xy-planexy-plane by the change of variables x=g(u,v)x=g(u,v) and y=h(u,v),y=h(u,v), or sometimes we write x=x(u,v)x=x(u,v) and y=y(u,v).y=y(u,v). We shall typically assume that each of these functions has continuous first partial derivatives, which means gu,gv,hu,gu,gv,hu, and hvhv exist and are also continuous. The need for this requirement will become clear soon.
Figure 5.71: The transformation of a region GG in the uv-planeuv-plane into a region RR in the xy-plane.xy-plane.
Definition
A transformation T:G→R,T:G→R, defined as T(u,v)=(x,y),T(u,v)=(x,y), is said to be a one-to-one transformation if no two points map to the same image point.
To show that TT is a one-to-one transformation, we assume T(u1,v1)=T(u2,v2)T(u1,v1)=T(u2,v2) and show that as a consequence we obtain (u1,v1)=(u2,v2).(u1,v1)=(u2,v2). If the transformation TT is one-to-one in the domain G,G, then the inverse T−1T−1 exists with the domain RR such that T−1∘TT−1∘T and T∘T−1T∘T−1 are identity functions.
Figure 5.71 shows the mapping T(u,v)=(x,y)T(u,v)=(x,y) where xx and yy are related to uu and vv by the equations x=g(u,v)x=g(u,v) and y=h(u,v).y=h(u,v). The region GG is the domain of TT and the region RR is the range of T,T, also known as the image of GG under the transformation T.T.
Example 5.65
Determining How the Transformation Works
Suppose a transformation TT is defined as T(r,θ)=(x,y)T(r,θ)=(x,y) where x=rcosθ,y=rsinθ.x=rcosθ,y=rsinθ. Find the image of the polar rectangle G={(r,θ)|0<r≤1,0≤θ≤π/2}G={(r,θ)|0<r≤1,0≤θ≤π/2} in the rθ-planerθ-plane to a region RR in the xy-plane.xy-plane. Show that TT is a one-to-one transformation in GG and find T−1(x,y).T−1(x,y).
Solution
Since rr varies from 0 to 1 in the rθ-plane,rθ-plane, we have a circular disc of radius 0 to 1 in the xy-plane.xy-plane. Because θθ varies from 0 to π/2π/2 in the rθ-plane,rθ-plane, we end up getting a quarter circle of radius 11 in the first quadrant of the xy-planexy-plane (Figure 5.72). Hence RR is a quarter circle bounded by x2+y2=1x2+y2=1 in the first quadrant.
Figure 5.72: A rectangle in the rθ-planerθ-plane is mapped into a quarter circle in the xy-plane.xy-plane.
In order to show that TT is a one-to-one transformation, assume T(r1,θ1)=T(r2,θ2)T(r1,θ1)=T(r2,θ2) and show as a consequence that (r1,θ1)=(r2,θ2).(r1,θ1)=(r2,θ2). In this case, we have
Dividing, we obtain
since the cotangent function is one-one function in the interval 0≤θ≤π/2.0≤θ≤π/2. Also, since 0<r≤1,0<r≤1, we have r1=r2,θ1=θ2.r1=r2,θ1=θ2. Therefore, (r1,θ1)=(r2,θ2)(r1,θ1)=(r2,θ2) and TT is a one-to-one transformation from GG into R.R.
To find T−1(x,y)T−1(x,y) solve for r,θr,θ in terms of x,y.x,y. We already know that r2=x2+y2r2=x2+y2 and tanθ=yx.tanθ=yx. Thus T−1(x,y)=(r,θ)T−1(x,y)=(r,θ) is defined as r=x2+y2r=x2+y2 and θ=tan−1(yx).θ=tan−1(yx).
Example 5.66
Finding the Image under TT
Let the transformation TT be defined by T(u,v)=(x,y)T(u,v)=(x,y) where x=u2−v2x=u2−v2 and y=uv.y=uv. Find the image of the triangle in the uv-planeuv-plane with vertices (0,0),(0,1),(0,0),(0,1), and (1,1).(1,1).
Solution
The triangle and its image are shown in Figure 5.73. To understand how the sides of the triangle transform, call the side that joins (0,0)(0,0) and (0,1)(0,1) side A,A, the side that joins (0,0)(0,0) and (1,1)(1,1) side B,B, and the side that joins (1,1)(1,1) and (0,1)(0,1) side C.C.
Figure 5.73: A triangular region in the uv-planeuv-plane is transformed into an image in the xy-plane.xy-plane.
For the side A:u=0,0≤v≤1A:u=0,0≤v≤1 transforms to x=−v2,y=0x=−v2,y=0 so this is the side A′A′ that joins (−1,0)(−1,0) and (0,0).(0,0).
For the side B:u=v,0≤u≤1B:u=v,0≤u≤1 transforms to x=0,y=u2x=0,y=u2 so this is the side B′B′ that joins (0,0)(0,0) and (0,1).(0,1).
For the side C:0≤u≤1,v=1C:0≤u≤1,v=1 transforms to x=u2−1,y=ux=u2−1,y=u (hence x=y2−1)x=y2−1) so this is the side C′C′ that makes the upper half of the parabolic arc joining (−1,0)(−1,0) and (0,1).(0,1).
All the points in the entire region of the triangle in the uv-planeuv-plane are mapped inside the parabolic region in the xy-plane.xy-plane.
Checkpoint 5.43
Let a transformation TT be defined as T(u,v)=(x,y)T(u,v)=(x,y) where x=u+v,y=3v.x=u+v,y=3v. Find the image of the rectangle G={(u,v):0≤u≤1,0≤v≤2}G={(u,v):0≤u≤1,0≤v≤2} from the uv-planeuv-plane after the transformation into a region RR in the xy-plane.xy-plane. Show that TT is a one-to-one transformation and find T−1(x,y).T−1(x,y).
Jacobians
Recall that we mentioned near the beginning of this section that each of the component functions must have continuous first partial derivatives, which means that gu,gv,hu,gu,gv,hu, and hvhv exist and are also continuous. A transformation that has this property is called a C1C1 transformation (here CC denotes continuous). Let T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)), where x=g(u,v)x=g(u,v) and y=h(u,v),y=h(u,v), be a one-to-one C1C1 transformation. We want to see how it transforms a small rectangular region S,S, ΔuΔu units by ΔvΔv units, in the uv-planeuv-plane (see the following figure).
Figure 5.74: A small rectangle SS in the uv-planeuv-plane is transformed into a region RR in the xy-plane.xy-plane.
Since x=g(u,v)x=g(u,v) and y=h(u,v),y=h(u,v), we have the position vector r(u,v)=g(u,v)i+h(u,v)jr(u,v)=g(u,v)i+h(u,v)j of the image of the point (u,v).(u,v). Suppose that (u0,v0)(u0,v0) is the coordinate of the point at the lower left corner that mapped to (x0,y0)=T(u0,v0).(x0,y0)=T(u0,v0). The line v=v0v=v0 maps to the image curve with vector function r(u,v0),r(u,v0), and the tangent vector at (x0,y0)(x0,y0) to the image curve is
Similarly, the line u=u0u=u0 maps to the image curve with vector function r(u0,v),r(u0,v), and the tangent vector at (x0,y0)(x0,y0) to the image curve is
Now, note that
Similarly,
This allows us to estimate the area ΔAΔA of the image RR by finding the area of the parallelogram formed by the sides ΔvrvΔvrv and Δuru.Δuru. By using the cross product of these two vectors by adding the k component as 0,0, the area ΔAΔA of the image RR (refer to The Cross Product) is approximately ||Δuru×Δvrv||=||ru×rv||ΔuΔv.||Δuru×Δvrv||=||ru×rv||ΔuΔv. In determinant form, the cross product is
Since ||k||=1,||k||=1, we have ΔA≈||ru×rv||ΔuΔv=(∂x∂u∂y∂v−∂x∂v∂y∂u)ΔuΔv.ΔA≈||ru×rv||ΔuΔv=(∂x∂u∂y∂v−∂x∂v∂y∂u)ΔuΔv.
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)) ਰੂਪਾਂਤਰਨ T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)) ਦਾ ਜੈਕੋਬੀਅਨ J(u,v)J(u,v) ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ 2×22×2 ਨਿਰਣਾਇਕ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜੈਕੋਬੀਅਨ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਸਿਰਫ਼ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਵੀ ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ
ਇਸ ਲਈ J(u,v)=∂(x,y)∂(u,v)J(u,v)=∂(x,y)∂(u,v) ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜੈਕੋਬੀਅਨ ਨਿਰਣਾਇਕ ਨੂੰ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ x ਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ y ਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਨਾਲ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.67
ਜੈਕੋਬੀਅਨ ਲੱਭਣਾ
ਉਦਾਹਰਨ 5.65 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੂਪਾਂਤਰਨ ਦਾ ਜੈਕੋਬੀਅਨ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਰੂਪਾਂਤਰਨ T(r,θ)=(rcosθ,rsinθ)T(r,θ)=(rcosθ,rsinθ) ਹੈ ਜਿੱਥੇ x=rcosθx=rcosθ ਅਤੇ y=rsinθ.y=rsinθ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜੈਕੋਬੀਅਨ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 5.68
ਜੈਕੋਬੀਅਨ ਲੱਭਣਾ
ਉਦਾਹਰਨ 5.66 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੂਪਾਂਤਰਨ ਦਾ ਜੈਕੋਬੀਅਨ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਰੂਪਾਂਤਰਨ T(u,v)=(u2−v2,uv)T(u,v)=(u2−v2,uv) ਹੈ ਜਿੱਥੇ x=u2−v2x=u2−v2 ਅਤੇ y=uv.y=uv। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜੈਕੋਬੀਅਨ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.44
ਰੂਪਾਂਤਰਨ ਦਾ ਜੈਕੋਬੀਅਨ ਲੱਭੋ: T(u,v)=(u+v,2v).T(u,v)=(u+v,2v).
ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਲਈ ਵੇਰੀਏਬਲ ਬਦਲਣਾ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦੇਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ ਕਿ, ਵੇਰੀਏਬਲ ਬਦਲਣ T(u,v)=(x,y)T(u,v)=(x,y) ਦੇ ਅਧੀਨ ਜਿੱਥੇ x=g(u,v)x=g(u,v) ਅਤੇ y=h(u,v),y=h(u,v), xy-ਪਲੇਨxy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਖੇਤਰ ΔAΔA ਨੂੰ uv-ਪਲੇਨuv-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ΔuΔvΔuΔv ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਖੇਤਰ ਨਾਲ ਇਸ ਅਨੁਮਾਨ ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਹੁਣ ਆਓ ਇੱਕ ਮਿੰਟ ਲਈ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਈਏ:
ਚਿੱਤਰ 5.75 ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਦੇਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ uv-ਪਲੇਨuv-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ SS ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਉਪ-ਆਇਤਾਕਾਰ SijSij ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ xy-ਪਲੇਨxy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਉਪ-ਆਇਤਾਕਾਰ RijRij ਨੂੰ ਰੂਪਾਂਤਰਨ T(u,v)=(x,y)T(u,v)=(x,y) ਦੇ ਅਧੀਨ SijSij ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਵਜੋਂ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 5.75: uv-ਪਲੇਨuv-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਉਪ-ਆਇਤਾਕਾਰ SijSij xy-ਪਲੇਨxy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਉਪ-ਆਇਤਾਕਾਰ RijRij ਵਿੱਚ ਰੂਪਾਂਤਰਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਫਿਰ ਦੋਹਰਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
1. ਵੇਖੋ ਕਿ ਇਹ ਅਖੰਡ (integral) ਲਈ ਬਿਲਕੁਲ ਦੋਹਰੀ ਰੀਮਾਨ ਜੋੜ (double Riemann sum) ਹੈ
2. ਥਿਊਰਮ 5.14
3. ਦੋਹਰੇ ਅਖੰਡਾਂ (double integrals) ਲਈ ਪਰਿਵਰਤਨ ਬਦਲੋ
4. ਮੰਨ ਲਓ T(u,v)=(x,y) ਜਿੱਥੇ x=g(u,v) ਅਤੇ y=h(u,v) ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ C1 ਪਰਿਵਰਤਨ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ uv-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ SS ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਜੈਕੋਬੀਅਨ (Jacobian) ਹੈ; ਇਹ SS ਨੂੰ xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ RR ਵਿੱਚ ਮੈਪ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ f, R ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ (continuous) ਹੈ, ਤਾਂ
5. ਦੋਹਰੇ ਅਖੰਡਾਂ (double integrals) ਲਈ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਦੋਹਰੇ ਅਖੰਡ (double integral) ਵਿੱਚ (x,y) ਤੋਂ (u,v) ਤੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਸਿਰਫ਼ ਬਦਲ ਕੇ
6. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ x=g(u,v) ਅਤੇ y=h(u,v) ਦੇ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ (substitutions) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਸ ਅਨੁਸਾਰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ (integration) ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਪਰਿਵਰਤਨ ਬਦਲਣਾ ਅਕਸਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਰਲ ਬਣਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 5.69
8. ਆਇਤਾਕਾਰ (rectangular) ਤੋਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (polar coordinates) ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਬਦਲਣਾ
9. ਅਖੰਡ (integral) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
10. ਪਰਿਵਰਤਨ x=rcosθ ਅਤੇ y=rsinθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਅਖੰਡ (integral) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
11. ਹੱਲ
12. ਪਹਿਲਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ (integration) ਦੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਹ ਖੇਤਰ y=0 ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ y=2x−x2 ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਸੀਮਾਬੱਧ ਹੈ (ਅਗਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)।
13. ਚਿੱਤਰ 5.76: ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ (rectangular) ਤੋਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (polar coordinates) ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ।
14. ਵਰਗ (squaring) ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਪਦਾਂ (terms) ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਖੇਤਰ x2+y2−2x=0, ਯਾਨੀ y2+(x−1)2=1, ਦਾ ਉੱਪਰਲਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ। ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (polar coordinates) ਵਿੱਚ, ਚੱਕਰ r=2cosθ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (polar coordinates) ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ (integration) ਦਾ ਖੇਤਰ 0≤r≤2 cosθ ਅਤੇ 0≤θ≤π2 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਾਬੱਧ ਹੈ।
15. ਜੈਕੋਬੀਅਨ (Jacobian) J(r,θ)=r ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਦਾਹਰਨ 5.67 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ r≥0, ਸਾਡੇ ਕੋਲ |J(r,θ)|=r ਹੈ।
16. ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ (integrand) x2+y2 ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (polar coordinates) ਵਿੱਚ rr ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਦੋਹਰਾ ਇਟੇਰੇਟਿਡ ਅਖੰਡ (double iterated integral) ਹੈ
17. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.45
18. ਅਖੰਡ ∫01∫01−x2(x2+y2)dydx 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਪਰਿਵਰਤਨ x=rcosθ ਅਤੇ y=rsinθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਅਖੰਡ (integral) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
19. ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਵੇਖੋ ਕਿ ਜਿਸ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਅਸੀਂ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ (integrate) ਕਰਨਾ ਹੈ, ਉਹ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ (integration) ਲਈ ਇੱਕ ਢੁਕਵਾਂ ਪਰਿਵਰਤਨ ਸੁਝਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਆਮ ਅਤੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸਥਿਤੀ ਹੈ।
20. ਉਦਾਹਰਨ 5.70
21. ਪਰਿਵਰਤਨ ਬਦਲਣਾ
22. ਅਖੰਡ ∬R(x−y)dydx 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ R ਬਿੰਦੂਆਂ (1,2), (3,4), (4,3), ਅਤੇ (6,5) (ਚਿੱਤਰ 5.77) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ (parallelogram) ਹੈ। ਢੁਕਵੇਂ ਪਰਿਵਰਤਨ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਅਖੰਡ (integral) ਨੂੰ ਲਿਖੋ।
23. ਚਿੱਤਰ 5.77: ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅਖੰਡ (integral) ਲਈ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ (integration) ਦਾ ਖੇਤਰ।
24. ਹੱਲ
First, we need to understand the region over which we are to integrate. The sides of the parallelogram are x−y+1=0,x−y−1=0,x−y+1=0,x−y−1=0, x−3y+5=0,andx−3y+9=0x−3y+5=0,andx−3y+9=0 (Figure 5.78). Another way to look at them is x−y=−1,x−y=1,x−y=−1,x−y=1, x−3y=−5,x−3y=−5, and x−3y=−9.x−3y=−9.
Clearly the parallelogram is bounded by the lines y=x+1,y=x−1,y=13(x+5),y=x+1,y=x−1,y=13(x+5), and y=13(x+9).y=13(x+9).
Notice that if we were to make u=x−yu=x−y and v=x−3y,v=x−3y, then the limits on the integral would be −1≤u≤1−1≤u≤1 and −9≤v≤−5.−9≤v≤−5.
To solve for xx and y,y, we multiply the first equation by 33 and subtract the second equation, 3u−v=(3x−3y)−(x−3y)=2x.3u−v=(3x−3y)−(x−3y)=2x. Then we have x=3u−v2.x=3u−v2. Moreover, if we simply subtract the second equation from the first, we get u−v=(x−y)−(x−3y)=2yu−v=(x−y)−(x−3y)=2y and y=u−v2.y=u−v2.
Figure 5.78: A parallelogram in the xy-planexy-plane that we want to transform by a change in variables.
Thus, we can choose the transformation
and compute the Jacobian J(u,v).J(u,v). We have
Therefore, |J(u,v)|=12.|J(u,v)|=12. Also, the original integrand becomes
Therefore, by the use of the transformation T,T, the integral changes to
which is much simpler to compute. In fact, it is easily found to be zero. And this is just one example of why we transform integrals like this.
Checkpoint 5.46
Make appropriate changes of variables in the integral ∬R4(x−y)2dydx,∬R4(x−y)2dydx, where RR is the trapezoid bounded by the lines x−y=2,x−y=4,x=0,andy=0.x−y=2,x−y=4,x=0,andy=0. Write the resulting integral.
We are ready to give a problem-solving strategy for change of variables.
Problem-Solving Strategy
Change of Variables
Sketch the region given by the problem in the xy-planexy-plane and then write the equations of the curves that form the boundary.
Depending on the region or the integrand, choose the transformations x=g(u,v)x=g(u,v) and y=h(u,v).y=h(u,v).
Determine the new limits of integration in the uv-plane.uv-plane.
Find the Jacobian J(u,v).J(u,v).
In the integrand, replace the variables to obtain the new integrand.
Replace dydxdydx or dxdy,dxdy, whichever occurs, by J(u,v)dudv.J(u,v)dudv.
In the next example, we find a substitution that makes the integrand much simpler to compute.
Example 5.71
Evaluating an Integral
u=x−y ਅਤੇ v=x+y ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨਾਲ, ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਜਿੱਥੇ R, x+y=1 ਅਤੇ x+y=3 ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤੇ x²−y²=−1 ਅਤੇ x²−y²=1 ਵਕਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬੱਝਿਆ ਹੋਇਆ ਖੇਤਰ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 5.79 ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾ ਖੇਤਰ ਦੇਖੋ)।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਪਹਿਲਾਂ R ਖੇਤਰ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਪਰਿਵਰਤਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੋ ਜਾਵੇ (ਚਿੱਤਰ 5.79)।
ਚਿੱਤਰ 5.79: ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ R ਖੇਤਰ ਨੂੰ S ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ।
u=x−y ਅਤੇ v=x+y ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ x=(u+v)/2 ਅਤੇ y=(v−u)/2 ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਵਰਤਣ ਵਾਲਾ ਪਰਿਵਰਤਨ T(u,v)=((u+v)/2, (v−u)/2) ਹੈ। x+y=1 ਅਤੇ x+y=3 ਰੇਖਾਵਾਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ v=1 ਅਤੇ v=3 ਬਣ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। x²−y²=1 ਅਤੇ x²−y²=−1 ਵਕਰਾਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ uv=1 ਅਤੇ uv=−1 ਬਣ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ S ਖੇਤਰ (ਚਿੱਤਰ 5.79 ਵਿੱਚ ਦੂਜਾ ਖੇਤਰ ਦੇਖੋ) ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਪਰਿਵਰਤਨ ਲਈ ਜੈਕੋਬੀਅਨ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, T ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇੰਟੀਗਰਲ ਇਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.47
x=v ਅਤੇ y=u+v ਦੇ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ∬Rysin(y²−x)dA ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ R, y=x, x=2, ਅਤੇ y=0 ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬੱਝਿਆ ਹੋਇਆ ਖੇਤਰ ਹੈ।
ਤ੍ਰਿ-ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਲਈ ਪਰਿਵਰਤਨ
ਤ੍ਰਿ-ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਬਿਲਕੁਲ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਿਲੰਡ੍ਰੀਕਲ ਅਤੇ ਸਫੈਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਇਸ ਵਿਧੀ ਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਹਨ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ G uvw-ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ C¹ ਪਰਿਵਰਤਨ T(u,v,w)=(x,y,z) ਦੁਆਰਾ xyz-ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ D ਵਿੱਚ ਮੈਪ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 5.80) ਜਿੱਥੇ x=g(u,v,w), y=h(u,v,w), ਅਤੇ z=k(u,v,w)।
ਚਿੱਤਰ 5.80: uvw-ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖੇਤਰ G, xyz-ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖੇਤਰ D ਵਿੱਚ ਮੈਪ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਫਿਰ D ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੋਈ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ F(x,y,z) ਇੱਕ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨ H(u,v,w) ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ G ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ:
ਹੁਣ ਸਾਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਲਈ ਜੈਕੋਬੀਅਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਜੈਕੋਬੀਅਨ ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ J(u,v,w) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਇਹ ਇਸਦੇ ਬਰਾਬਰ ਵੀ ਹੈ
ਜੈਕੋਬੀਅਨ ਨੂੰ ∂(x,y,z)/∂(u,v,w) ਵਜੋਂ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਲਈ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਅਤੇ ਜੈਕੋਬੀਅਨ ਦੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿ-ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਲਈ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 5.15
Change of Variables for Triple Integrals
Let T(u,v,w)=(x,y,z)T(u,v,w)=(x,y,z) where x=g(u,v,w),y=h(u,v,w),x=g(u,v,w),y=h(u,v,w), and z=k(u,v,w),z=k(u,v,w), be a one-to-one C1C1 transformation, with a nonzero Jacobian, that maps the region GG in the uvw-spaceuvw-space into the region RR in the xyz-space.xyz-space. As in the two-dimensional case, if FF is continuous on R,R, then
Let us now see how changes in triple integrals for cylindrical and spherical coordinates are affected by this theorem. We expect to obtain the same formulas as in Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates.
Example 5.72
Obtaining Formulas in Triple Integrals for Cylindrical and Spherical Coordinates
Derive the formula in triple integrals for
cylindrical and
spherical coordinates.
Solution
For cylindrical coordinates, the transformation is T(r,θ,z)=(x,y,z)T(r,θ,z)=(x,y,z) from the Cartesian rθz-planerθz-plane to the Cartesian xyz-planexyz-plane (Figure 5.81). Here x=rcosθ,x=rcosθ, y=rsinθ,y=rsinθ, and z=z.z=z. The Jacobian for the transformation is J(r,θ,z)=∂(x,y,z)∂(r,θ,z)=|∂x∂r∂x∂θ∂x∂z∂y∂r∂y∂θ∂y∂z∂z∂r∂z∂θ∂z∂z|=|cosθ−rsinθ0sinθrcosθ0001|=rcos2θ+rsin2θ=r(cos2θ+sin2θ)=r.J(r,θ,z)=∂(x,y,z)∂(r,θ,z)=|∂x∂r∂x∂θ∂x∂z∂y∂r∂y∂θ∂y∂z∂z∂r∂z∂θ∂z∂z|=|cosθ−rsinθ0sinθrcosθ0001|=rcos2θ+rsin2θ=r(cos2θ+sin2θ)=r. We know that r≥0,r≥0, so |J(r,θ,z)|=r.|J(r,θ,z)|=r. Then the triple integral is ∭Df(x,y,z)dV=∭Gf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz.∭Df(x,y,z)dV=∭Gf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz. Figure 5.81 The transformation from rectangular coordinates to cylindrical coordinates can be treated as a change of variables from region GG in rθz-spacerθz-space to region DD in xyz-space.xyz-space.
For spherical coordinates, the transformation is T(ρ,θ,φ)=(x,y,z)T(ρ,θ,φ)=(x,y,z) from the Cartesian pθφ-planepθφ-plane to the Cartesian xyz-planexyz-plane (Figure 5.82). Here x=ρsinφcosθ,x=ρsinφcosθ, y=ρsinφsinθ,y=ρsinφsinθ, and z=ρcosφ.z=ρcosφ. The Jacobian for the transformation is J(ρ,θ,φ)=∂(x,y,z)∂(ρ,θ,φ)=|∂x∂ρ∂x∂θ∂x∂φ∂y∂ρ∂y∂θ∂y∂φ∂z∂ρ∂z∂θ∂z∂φ|=|sinφcosθρsinφsinθρcosφcosθsinφsinθρsinφcosθρcosφsinθcosϕ0−ρsinφ|.J(ρ,θ,φ)=∂(x,y,z)∂(ρ,θ,φ)=|∂x∂ρ∂x∂θ∂x∂φ∂y∂ρ∂y∂θ∂y∂φ∂z∂ρ∂z∂θ∂z∂φ|=|sinφcosθρsinφsinθρcosφcosθsinφsinθρsinφcosθρcosφsinθcosϕ0−ρsinφ|. Expanding the determinant with respect to the third row: =cosφ|−ρsinφsinθρcosφcosθρsinφsinθρcosφsinθ|−ρsinφ|sinφcosθ−ρsinφsinθsinφsinθρsinφcosθ|=cosφ(−ρ2sinφcosφsin2θ−ρ2sinφcosφcos2θ)−ρsinφ(ρsin2φcos2θ+ρsin2φsin2θ)=−ρ2sinφcos2φ(sin2θ+cos2θ)−ρ2sinφsin2φ(sin2θ+cos2θ)=−ρ2sinφcos2φ−ρ2sinφsin2φ=−ρ2sinφ(cos2φ+sin2φ)=−ρ2sinφ.=cosφ|−ρsinφsinθρcosφcosθρsinφsinθρcosφsinθ|−ρsinφ|sinφcosθ−ρsinφsinθsinφsinθρsinφcosθ|=cosφ(−ρ2sinφcosφsin2θ−ρ2sinφcosφcos2θ)−ρsinφ(ρsin2φcos2θ+ρsin2φsin2θ)=−ρ2sinφcos2φ(sin2θ+cos2θ)−ρ2sinφsin2φ(sin2θ+cos2θ)=−ρ2sinφcos2φ−ρ2sinφsin2φ=−ρ2sinφ(cos2φ+sin2φ)=−ρ2sinφ. Since 0≤φ≤π,0≤φ≤π, we must have sinφ≥0.sinφ≥0. Thus |J(ρ,θ,φ)|=|−ρ2sinφ|=ρ2sinφ.|J(ρ,θ,φ)|=|−ρ2sinφ|=ρ2sinφ. Figure 5.82 The transformation from rectangular coordinates to spherical coordinates can be treated as a change of variables from region GG in ρθφ-spaceρθφ-space to region DD in xyz-space.xyz-space. Then the triple integral becomes ∭Df(x,y,z)dV=∭Gf(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2sinφdρdφdθ.∭Df(x,y,z)dV=∭Gf(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2sinφdρdφdθ.
Let’s try another example with a different substitution.
Example 5.73
Evaluating a Triple Integral with a Change of Variables
Evaluate the triple integral
in xyz-spacexyz-space by using the transformation
Then integrate over an appropriate region in uvw-space.uvw-space.
Solution
As before, some kind of sketch of the region GG in xyz-spacexyz-space over which we have to perform the integration can help identify the region DD in uvw-spaceuvw-space (Figure 5.83). Clearly GG in xyz-spacexyz-space is bounded by the planes x=y/2,x=(y/2)+1,y=0,x=y/2,x=(y/2)+1,y=0, y=4,y=4, z=0,andz=4.z=0,andz=4. We also know that we have to use u=(2x−y)/2,v=y/2,andw=z/3u=(2x−y)/2,v=y/2,andw=z/3 for the transformations. We need to solve for x,y,andz.x,y,andz. Here we find that x=u+v,x=u+v, y=2v,y=2v, and z=3w.z=3w.
Using elementary algebra, we can find the corresponding surfaces for the region GG and the limits of integration in uvw-space.uvw-space. It is convenient to list these equations in a table.
row: Equations in xyzxyz for the region DD | Corresponding equations in uvwuvw for the region GG | Limits for the integration in uvwuvw
row: x=y/2x=y/2 | u+v=2v/2=vu+v=2v/2=v | u=0u=0
row: x=y/2x=y/2 | u+v=(2v/2)+1=v+1u+v=(2v/2)+1=v+1 | u=1u=1
row: y=0y=0 | 2v=02v=0 | v=0v=0
row: y=4y=4 | 2v=42v=4 | v=2v=2
row: z=0z=0 | 3w=03w=0 | w=0w=0
row: z=3z=3 | 3w=33w=3 | w=1w=1
Figure 5.83: The region GG in uvw-spaceuvw-space is transformed to region DD in xyz-space.xyz-space.
Now we can calculate the Jacobian for the transformation:
The function to be integrated becomes
We are now ready to put everything together and complete the problem.
Checkpoint 5.48
Let DD be the region in xyz-spacexyz-space defined by 1≤x≤2,0≤xy≤2,and0≤z≤1.1≤x≤2,0≤xy≤2,and0≤z≤1.
Evaluate ∭D(x2y+3xyz)dxdydz∭D(x2y+3xyz)dxdydz by using the transformation u=x,v=xy,u=x,v=xy, and w=3z.w=3z.
In the following exercises, the function T:S→R,T(u,v)=(x,y)T:S→R,T(u,v)=(x,y) on the region S={(u,v)|0≤u≤1,0≤v≤1}S={(u,v)|0≤u≤1,0≤v≤1} bounded by the unit square is given, where R⊂ℝ2R⊂ℝ2 is the image of SS under T.T.
Justify that the function TT is a C1C1 transformation.
Find the images of the vertices of the unit square SS through the function T.T.
Determine the image RR of the unit square SS and graph it.
x = 2 u , y = 3 v x = 2 u , y = 3 v
x = u 2 , y = v 3 x = u 2 , y = v 3
x = u − v , y = u + v x = u − v , y = u + v
x = 2 u − v , y = u + 2 v x = 2 u − v , y = u + 2 v
x = u 2 , y = v 2 x = u 2 , y = v 2
x = u 3 , y = v 3 x = u 3 , y = v 3
In the following exercises, determine whether the transformations T:S→RT:S→R are one-to-one or not.
x=u2,y=v2,whereSx=u2,y=v2,whereS is the rectangle of vertices (−1,0),(1,0),(1,1),and(−1,1).(−1,0),(1,0),(1,1),and(−1,1).
x=u4,y=u2+v,whereSx=u4,y=u2+v,whereS is the triangle of vertices (−2,0),(2,0),and(0,2).(−2,0),(2,0),and(0,2).
x=2u,y=3v,whereSx=2u,y=3v,whereS is the square of vertices (−1,1),(−1,−1),(1,−1),and(1,1).(−1,1),(−1,−1),(1,−1),and(1,1).
T(u,v)=(2u−v,u),T(u,v)=(2u−v,u), where SS is the triangle of vertices (−1,1),(−1,−1),and(1,−1).(−1,1),(−1,−1),and(1,−1).
x=u+v+w,y=u+v,z=w,x=u+v+w,y=u+v,z=w, where S=R=ℝ3.S=R=ℝ3.
x=u2+v+w,y=u2+v,z=w,x=u2+v+w,y=u2+v,z=w, where S=R=ℝ3.S=R=ℝ3.
In the following exercises, the transformations T:S→RT:S→R are one-to-one. Find their related inverse transformations T−1:R→S.T−1:R→S.
x=4u,y=5v,x=4u,y=5v, where S=R=ℝ2.S=R=ℝ2.
x=u+2v,y=−u+v,x=u+2v,y=−u+v, where S=R=ℝ2.S=R=ℝ2.
x=e2u+v,y=eu−v,x=e2u+v,y=eu−v, where S=ℝ2S=ℝ2 and R={(x,y)|x>0,y>0}R={(x,y)|x>0,y>0}
x=lnu,y=ln(uv),x=lnu,y=ln(uv), where S={(u,v)|u>0,v>0}S={(u,v)|u>0,v>0} and R=ℝ2.R=ℝ2.
x=u+v+w,y=3v,z=2w,x=u+v+w,y=3v,z=2w, where S=R=ℝ3.S=R=ℝ3.
x=u+v,y=v+w,z=u+w,x=u+v,y=v+w,z=u+w, where S=R=ℝ3.S=R=ℝ3.
In the following exercises, the transformation T:S→R,T(u,v)=(x,y)T:S→R,T(u,v)=(x,y) and the region R⊂ℝ2R⊂ℝ2 are given. Find the region S⊂ℝ2.S⊂ℝ2.
x=au,y=bv,R={(x,y)|x2+y2≤a2b2},x=au,y=bv,R={(x,y)|x2+y2≤a2b2}, where a,b>0a,b>0
x=au,y=bv,R={(x,y)|x2a2+y2b2≤1},x=au,y=bv,R={(x,y)|x2a2+y2b2≤1}, where a,b>0a,b>0
x=ua,y=vb,z=wc,x=ua,y=vb,z=wc, R={(x,y)|x2+y2+z2≤1},R={(x,y)|x2+y2+z2≤1}, where a,b,c>0a,b,c>0
x=au,y=bv,z=cw,R={(x,y)|x2a2−y2b2−z2c2≤1,z>0},x=au,y=bv,z=cw,R={(x,y)|x2a2−y2b2−z2c2≤1,z>0}, where a,b,c>0a,b,c>0
In the following exercises, find the Jacobian JJ of the transformation.
x = u + 2 v , y = − u + v x = u + 2 v , y = − u + v
x = u 3 2 , y = v u 2 x = u 3 2 , y = v u 2
x = e 2 u − v , y = e u + v x = e 2 u − v , y = e u + v
x = u e v , y = e − v x = u e v , y = e − v
x = u cos ( e v ) , y = u sin ( e v ) x = u cos ( e v ) , y = u sin ( e v )
x = v sin ( u 2 ) , y = v cos ( u 2 ) x = v sin ( u 2 ) , y = v cos ( u 2 )
x = u cosh v , y = u sinh v , z = w x = u cosh v , y = u sinh v , z = w
x = v cosh ( 1 u ) , y = v sinh ( 1 u ) , z = u + w 2 x = v cosh ( 1 u ) , y = v sinh ( 1 u ) , z = u + w 2
x = u + v , y = v + w , z = u x = u + v , y = v + w , z = u
x = u − v , y = u + v , z = u + v + w x = u − v , y = u + v , z = u + v + w
The triangular region RR with the vertices (0,0),(1,1),and(1,2)(0,0),(1,1),and(1,2) is shown in the following figure.
Find a transformation T:S→R,T:S→R, T(u,v)=(x,y)=(au+bv,cu+dv),T(u,v)=(x,y)=(au+bv,cu+dv), where a,b,c,a,b,c, and dd are real numbers with ad−bc≠0ad−bc≠0 such that T−1(0,0)=(0,0),T−1(1,1)=(1,0),T−1(0,0)=(0,0),T−1(1,1)=(1,0), and T−1(1,2)=(0,1).T−1(1,2)=(0,1).
Use the transformation TT to find the area A(R)A(R) of the region R.R.
The triangular region RR with the vertices (0,0),(2,0),and(1,3)(0,0),(2,0),and(1,3) is shown in the following figure.
Find a transformation T:S→R,T:S→R, T(u,v)=(x,y)=(au+bv,cu+dv),T(u,v)=(x,y)=(au+bv,cu+dv), where a,b,ca,b,c and dd are real numbers with ad−bc≠0ad−bc≠0 such that T−1(0,0)=(0,0),T−1(0,0)=(0,0), T−1(2,0)=(1,0),T−1(2,0)=(1,0), and T−1(1,3)=(0,1).T−1(1,3)=(0,1).
Use the transformation TT to find the area A(R)A(R) of the region R.R.
In the following exercises, use the transformation u=y−x,v=y,u=y−x,v=y, to evaluate the integrals on the parallelogram RR of vertices (0,0),(1,0),(2,1),and(1,1)(0,0),(1,0),(2,1),and(1,1) shown in the following figure.
∬ R ( y − x ) d A ∬ R ( y − x ) d A
∬ R ( y 2 − x y ) d A ∬ R ( y 2 − x y ) d A
In the following exercises, use the transformation y−x=u,x+y=vy−x=u,x+y=v to evaluate the integrals on the square RR determined by the lines y=x,y=−x+2,y=x+2,y=x,y=−x+2,y=x+2, and y=−xy=−x shown in the following figure.
∬ R e x + y d A ∬ R e x + y d A
∬ R sin ( x − y ) d A ∬ R sin ( x − y ) d A
In the following exercises, use the transformation x=u,5y=vx=u,5y=v to evaluate the integrals on the region RR bounded by the ellipse x2+25y2=1x2+25y2=1 shown in the following figure.
∬ R x 2 + 25 y 2 d A ∬ R x 2 + 25 y 2 d A
∬ R ( x 2 + 25 y 2 ) 2 d A ∬ R ( x 2 + 25 y 2 ) 2 d A
In the following exercises, use the transformation u=x+y,v=x−yu=x+y,v=x−y to evaluate the integrals on the trapezoidal region RR determined by the points (1,0),(2,0),(0,2),and(0,1)(1,0),(2,0),(0,2),and(0,1) shown in the following figure.
∬ R ( x 2 − 2 x y + y 2 ) e x + y d A ∬ R ( x 2 − 2 x y + y 2 ) e x + y d A
∬ R ( x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 ) d A ∬ R ( x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 ) d A
The circular annulus sector RR bounded by the circles 4x2+4y2=14x2+4y2=1 and 9x2+9y2=64,9x2+9y2=64, the line x=y3,x=y3, and the y-axisy-axis is shown in the following figure. Find a transformation TT from a rectangular region SS in the rθ-planerθ-plane to the region RR in the xy-plane.xy-plane. Graph S.S.
The solid RR bounded by the circular cylinder x2+y2=9x2+y2=9 and the planes z=0,z=1,z=0,z=1, x=0,andy=0x=0,andy=0 is shown in the following figure. Find a transformation TT from a cylindrical box SS in rθz-spacerθz-space to the solid RR in xyz-space.xyz-space.
Show that ∬Rf(x23+y23)dA=2π15∫01f(ρ)ρdρ,∬Rf(x23+y23)dA=2π15∫01f(ρ)ρdρ, where ff is a continuous function on [0,1][0,1] and RR is the region bounded by the ellipse 5x2+3y2=15.5x2+3y2=15.
Show that ∭Rf(16x2+4y2+z2)dV=π2∫01f(ρ)ρ2dρ,∭Rf(16x2+4y2+z2)dV=π2∫01f(ρ)ρ2dρ, where ff is a continuous function on [0,1][0,1] and RR is the region bounded by the ellipsoid 16x2+4y2+z2=1.16x2+4y2+z2=1.
[T] Find the area of the region bounded by the curves xy=1,xy=3,y=2x,xy=1,xy=3,y=2x, and y=3xy=3x by using the transformation u=xyu=xy and v=yx.v=yx. Use a computer algebra system (CAS) to graph the boundary curves of the region R.R.
[T] Find the area of the region bounded by the curves xy=2,xy=3,y=x,xy=2,xy=3,y=x, and y=2xy=2x by using the transformation u=xyu=xy and v=yx.v=yx.
Evaluate the triple integral ∫01∫12∫zz+1(y+1)dxdydz∫01∫12∫zz+1(y+1)dxdydz by using the transformation u=x−z,u=x−z, v=3y,andw=z2.v=3y,andw=z2.
Evaluate the triple integral ∫02∫46∫3z3z+2(5−4y)dxdzdy∫02∫46∫3z3z+2(5−4y)dxdzdy by using the transformation u=x−3z,v=4y,andw=z.u=x−3z,v=4y,andw=z.
A transformation T:ℝ2→ℝ2,T(u,v)=(x,y)T:ℝ2→ℝ2,T(u,v)=(x,y) of the form x=au+bv,y=cu+dv,x=au+bv,y=cu+dv, where a,b,c,andda,b,c,andd are real numbers, is called linear. Show that a linear transformation for which ad−bc≠0ad−bc≠0 maps parallelograms to parallelograms.
The transformation Tθ:ℝ2→ℝ2,Tθ(u,v)=(x,y),Tθ:ℝ2→ℝ2,Tθ(u,v)=(x,y), where x=ucosθ−vsinθ,x=ucosθ−vsinθ, y=usinθ+vcosθ,y=usinθ+vcosθ, is called a rotation of angle θ.θ. Show that the inverse transformation of TθTθ satisfies Tθ−1=T−θ,Tθ−1=T−θ, where T−θT−θ is the rotation of angle −θ.−θ.
1. ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ uv-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ SS ਖੇਤਰ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੀ ਤਸਵੀਰ π/4 ਕੋਣ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਦੁਆਰਾ ਅੰਡਾਕਾਰ x²/1+4y²=1 ਦੁਆਰਾ ਬੰਨ੍ਹੇ ਹੋਏ RR ਖੇਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ ਇੱਕ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
2. S ਖੇਤਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
3. ∬S e⁻²ᵘᵛ du dv ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
4. [T] ਪਰਿਵਰਤਨ Ti:ℝ²→ℝ², i=1,…,4, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ T₁(u,v)=(u,−v), T₂(u,v)=(−u,v), T₃(u,v)=(−u,−v), ਅਤੇ T₄(u,v)=(v,u) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ x-ਧੁਰੇ, y-ਧੁਰੇ, ਮੂਲ, ਅਤੇ y=x ਰੇਖਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
5. xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ T₁∘T₂∘T₃∘T₄ ਦੁਆਰਾ S={(u,v)|u²+v²−2u−4v+1≤0} ਖੇਤਰ ਦੀ ਤਸਵੀਰ ਲੱਭੋ।
6. S ਦੀ ਤਸਵੀਰ ਨੂੰ xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
7. ∬S sin(u²) du dv ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
8. [T] Tk,1,1:ℝ³→ℝ³, Tk,1,1(u,v,w)=(x,y,z) ਪਰਿਵਰਤਨ, ਜਿਸਦਾ ਰੂਪ x=ku, y=v, z=w ਹੈ, ਜਿੱਥੇ k≠1 ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਨੂੰ x-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖਿੱਚ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ k>1 ਅਤੇ ਇੱਕ ਸੰਕੋਚਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ 0<k<1। CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∭S e⁻⁽⁴ˣ²+⁹ʸ²+²⁵ᶻ²⁾ dx dy dz ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ S={(x,y,z)|4x²+9y²+25z²≤1} ਠੋਸ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੰਕੋਚਨ T₂,₃,₅(u,v,w)=(x,y,z) ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ x=u², y=v³, ਅਤੇ z=w⁵ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
9. [T] Ta,0:ℝ²→ℝ², Ta,0(u,v)=(u+av,v) ਪਰਿਵਰਤਨ, ਜਿੱਥੇ a≠0 ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਨੂੰ x-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ੀਅਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। T₀,b:ℝ²→ℝ², T₀,b(u,v)=(u,bu+v) ਪਰਿਵਰਤਨ, ਜਿੱਥੇ b≠0 ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਨੂੰ y-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ੀਅਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
Find transformations T0,2∘T3,0.T0,2∘T3,0.
10. u=0, v=0, v=1, ਅਤੇ v=2−u ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਟ੍ਰੈਪੀਜ਼ੋਇਡਲ ਖੇਤਰ S ਦੀ T₀,₂∘T₃,₀ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੁਆਰਾ RR ਤਸਵੀਰ ਲੱਭੋ।
11. RR ਤਸਵੀਰ ਨੂੰ xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
12. S ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ RR ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
13. ਪਰਿਵਰਤਨ, x=au, y=av, z=cw ਅਤੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਸਫੇਰੋਇਡ x²/a²+y²/a²+z²/c²=1 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਦਾ ਆਇਤਨ 4πa²c³/3 ਹੈ।
14. ਇੱਕ ਫੁੱਟਬਾਲ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਆਕਾਰ ਇੱਕ ਸਫੇਰੋਇਡ x²/a²+y²/a²+z²/c²=1 ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਟਿਪ ਤੋਂ ਟਿਪ ਤੱਕ ਲੰਬਾਈ 11 ਇੰਚ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਘੇਰਾ 22 ਇੰਚ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
15. [T] ਲਾਮੇ ਓਵਲ (ਜਾਂ ਸੁਪਰਏਲਿਪਸ) ਸਮੀਕਰਨ (x/a)ⁿ+(y/b)ⁿ=1 ਦੇ ਸਮਤਲ ਵਕਰ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ a, b, ਅਤੇ n ਧਨਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।
16. a=1, b=2, n=4 ਅਤੇ n=6 ਲਈ ਲਾਮੇ ਓਵਲ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ RR ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
17. ਉਹ ਪਰਿਵਰਤਨ ਲੱਭੋ ਜੋ x⁴+y⁴=1, ਜਿਸਨੂੰ ਸਕੁਆਰਕਲ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ RR ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਯੂਨਿਟ ਡਿਸਕ ਵਿੱਚ ਮੈਪ ਕਰਦੇ ਹਨ।
18. x⁴+y⁴=1 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ RR ਖੇਤਰ A(R) ਦੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
19. [T] ਲਾਮੇ ਓਵਲ ਡਿਜ਼ਾਈਨਰਾਂ ਅਤੇ ਆਰਕੀਟੈਕਟਾਂ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਤਾਰ ਵਰਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਗੇਰਾਲਡ ਰੌਬਿਨਸਨ, ਇੱਕ ਕੈਨੇਡੀਅਨ ਆਰਕੀਟੈਕਟ, ਨੇ ਪੀਟਰਬਰੋ, ਓਨਟਾਰੀਓ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ਾਪਿੰਗ ਸੈਂਟਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਾਰਕਿੰਗ ਗੈਰੇਜ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (x/a)ⁿ+(y/b)ⁿ=1 ਦੇ ਸੁਪਰਏਲਿਪਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ab=97 ਅਤੇ n=e ਹੈ। a=900 ਯਾਰਡ, b=700 ਯਾਰਡ, ਅਤੇ n=2.72 ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਪਾਰਕਿੰਗ ਗੈਰੇਜ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ CAS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।