Review Exercises
True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.
Vector field F(x,y)=x2yi+y2xjF(x,y)=x2yi+y2xj is conservative.
For vector field F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j,F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j, if Py(x,y)=Qx(x,y)Py(x,y)=Qx(x,y) in open region D,D, then ∫CPdx+Qdy=0.∫CPdx+Qdy=0.
The divergence of a vector field is a vector field.
If curlF=0,curlF=0, then FF is a conservative vector field.
Draw the following vector fields.
F ( x , y ) = 1 2 i + 2 x j F ( x , y ) = 1 2 i + 2 x j
F ( x , y ) = < y , 3 x > x 2 + y 2 F ( x , y ) = < y , 3 x > x 2 + y 2
Are the following the vector fields conservative? If so, find the potential function ff such that F=∇f.F=∇f.
F ( x , y ) = y i + ( x − 2 e y ) j F ( x , y ) = y i + ( x − 2 e y ) j
F ( x , y ) = ( 6 x y ) i + ( 3 x 2 − y e y ) j F ( x , y ) = ( 6 x y ) i + ( 3 x 2 − y e y ) j
F ( x , y , z ) = ( 2 x y + z 2 ) i + ( x 2 + 2 y z ) j + ( 2 x z + y 2 ) k F ( x , y , z ) = ( 2 x y + z 2 ) i + ( x 2 + 2 y z ) j + ( 2 x z + y 2 ) k
F ( x , y , z ) = ( e x y ) i + ( e x + z ) j + ( e x + y 2 ) k F ( x , y , z ) = ( e x y ) i + ( e x + z ) j + ( e x + y 2 ) k
Evaluate the following integrals.
∫Cx2dy+(2x−3xy)dx,∫Cx2dy+(2x−3xy)dx, along C:y=12xC:y=12x from (0, 0) to (4, 2)
∫Cydx+xy2dy,∫Cydx+xy2dy, where C:x=t,y=t−1,0≤t≤1C:x=t,y=t−1,0≤t≤1
∬Sxy2dS,∬Sxy2dS, where S is surface z=x2−y,0≤x≤1,0≤y≤4z=x2−y,0≤x≤1,0≤y≤4
Find the divergence and curl for the following vector fields.
F ( x , y , z ) = 3 x y z i + x y e z j − 3 x y k F ( x , y , z ) = 3 x y z i + x y e z j − 3 x y k
F ( x , y , z ) = e x i + e x y j + e x y z k F ( x , y , z ) = e x i + e x y j + e x y z k
Use Green’s theorem to evaluate the following integrals.
∫C3xydx+2xy2dy,∫C3xydx+2xy2dy, where C is a square with vertices (0, 0), (0, 2), (2, 2) and (2, 0) oriented counterclockwise.
∫C3ydx+(x+ey)dy,∫C3ydx+(x+ey)dy, where C is a circle centered at the origin with radius 3
ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∬S curl F·dS ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
F(x,y,z)=yi−xj+zk, ਜਿੱਥੇ S ਇਕਾਈ ਗੋਲੇ ਦਾ ਉਪਰਲਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ।
F(x,y,z)=yi+xyzj−2zxk, ਜਿੱਥੇ S, x2+y2=1 ਸਿਲੰਡਰ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਮੁਖੀ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ z=x2+y2 ਹੈ।
ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∬S F·dS ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
F(x,y,z)=(x3y)i+(3y−ex)j+(z+x)k, ਘਣ S ਉੱਤੇ, ਜੋ −1≤x≤1, 0≤y≤2, 0≤z≤2 ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ।
F(x,y,z)=(2xy)i+(−y2)j+(2z3)k, ਜਿੱਥੇ S, ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ z=x2+y2 ਅਤੇ ਸਮਤਲ z=2 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ।
2 ਮੀਟਰ ਦੇ ਘੇਰੇ ਅਤੇ 100 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਸਰਪਿਲ ਪੌੜੀ ਉੱਤੇ ਚੜ੍ਹ ਰਹੀ 50-ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਔਰਤ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਔਰਤ ਚੜ੍ਹਾਈ ਦੌਰਾਨ ਪੰਜ ਚੱਕਰ ਪੂਰੇ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਗੁਰੂਤਾ ਦੇ ਪ੍ਰਵੇਗ ਵਜੋਂ 9.8 m/s2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
2 ਦੇ ਘੇਰੇ ਵਾਲੇ ਉੱਪਰਲੇ ਅਰਧ-ਚੱਕਰ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਪਤਲੇ ਤਾਰ ਦੀ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x,y)=y+x2 ਹੈ।
z≥0 ਵਾਲੇ 2 ਦੇ ਘੇਰੇ ਵਾਲੇ ਅਰਧ-ਗੋਲੇ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਪਤਲੀ ਸ਼ੀਟ ਦਾ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x,y,z)=x+y+z ਹੈ।
ਇਕਾਈ ਗੋਲੇ ਉੱਤੇ F(x,y,z)=3zi+2yj+2xk ਨਾਲ ਫਲਕਸ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।