ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
6.1.1 ਤਲ ਜਾਂ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ।
6.1.2 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
6.1.3 ਇੱਕ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਭੌਤਿਕ ਸੰਕਲਪਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਗੁਰੂਤਾਕਰਸ਼ਣ ਅਤੇ ਬਿਜਲਈ ਚੁੰਬਕਤਾ, ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸਾਧਨ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਤਲ ਜਾਂ ਪੁਲਾੜ ਦੇ ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਵਿਹਾਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਵਾਯੂਮੰਡਲੀ ਤੂਫਾਨਾਂ ਜਾਂ ਡੂੰਘੇ ਸਮੁੰਦਰ ਦੀਆਂ ਸਮੁੰਦਰੀ ਧਾਰਾਵਾਂ ਵਰਗੇ ਵੱਡੇ ਪੱਧਰ ਦੇ ਵਿਹਾਰ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣ ਲਈ ਵੀ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰਾਂ ਦੀਆਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਅਧਿਐਨ ਕਰ ਸਕੀਏ।
ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ
ਅਸੀਂ ਕਈ ਖਗੋਲ-ਵਿਗਿਆਨਕ ਵਸਤੂਆਂ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਏ ਗਏ ਗੁਰੂਤਾ ਬਲ ਦਾ ਮਾਡਲ ਕਿਵੇਂ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਦੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ 'ਤੇ ਪਾਣੀ ਦੇ ਕਣਾਂ ਦੇ ਵੇਗ ਦਾ ਮਾਡਲ ਕਿਵੇਂ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਚਿੱਤਰ 6.2 ਅਜਿਹੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.2(a) ਦੋ ਖਗੋਲ-ਵਿਗਿਆਨਕ ਵਸਤੂਆਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਤਾਰਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਹਿ ਜਾਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰਹਿ ਅਤੇ ਇੱਕ ਚੰਦਰਮਾ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਏ ਗਏ ਗੁਰੂਤਾ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਵੈਕਟਰ ਇਕਾਈ ਪੁੰਜ ਦੀ ਇੱਕ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਦੋ ਵਸਤੂਆਂ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਏ ਗਏ ਸ਼ੁੱਧ ਗੁਰੂਤਾ ਬਲ ਨੂੰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਵੱਡੀ ਵਸਤੂ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਹਨ। ਵੱਡੀ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਛੋਟੀ ਵਸਤੂ ਨਾਲੋਂ ਜ਼ਿਆਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਦਾ ਗੁਰੂਤਾ ਬਲ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.2(b) ਨਦੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਨਦੀ ਦੇ ਵੇਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਨਦੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ 'ਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਵੈਕਟਰ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਪਾਣੀ ਦੇ ਵੇਗ ਨੂੰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਚਿੱਤਰ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਵਿੱਚ ਛੋਟੇ ਹਨ, ਪਾਣੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਉਸ ਹਿੱਸੇ 'ਤੇ ਹੌਲੀ-ਹੌਲੀ ਵਹਿ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਪਾਣੀ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਇੱਕ ਚੱਟਾਨ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਕੁਝ ਤੇਜ਼ ਧਾਰਾਵਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪਾਣੀ ਦੀ ਗਤੀ ਵੱਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਤੇਜ਼ ਧਾਰਾਵਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਭੰਵਰ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.2: (a) ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਦੋ ਖਗੋਲ-ਵਿਗਿਆਨਕ ਪਿੰਡਾਂ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਇਆ ਗਿਆ ਗੁਰੂਤਾ ਖੇਤਰ। (b) ਇੱਕ ਨਦੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ 'ਤੇ ਪਾਣੀ ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਵੇਗ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਗਤੀਆਂ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ। ਲਾਲ ਰੰਗ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪਾਣੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਗਦਾ ਹੈ; ਨੀਲਾ ਰੰਗ ਘੱਟ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦੇ ਵਹਾਅ ਦੀ ਹੌਲੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਹਰੇਕ ਚਿੱਤਰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਨੁਭਵੀ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਨਕਸ਼ਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ℝ2 ਅਤੇ ℝ3 ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ℝ2 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ F, ℝ2 ਦੇ ਇੱਕ ਉਪ-ਸਮੂਹ D ਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ F(x,y) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਉਪ-ਸਮੂਹ D ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਹੈ।
ℝ3 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ F, ℝ3 ਦੇ ਇੱਕ ਉਪ-ਸਮੂਹ D ਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ (x,y,z) ਨੂੰ ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ F(x,y,z) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਉਪ-ਸਮੂਹ D ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਹੈ।
ℝ2 ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ
ℝ2 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਤਰੀਕਾ ਦੋ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਹੈ:
ਦੂਜਾ ਤਰੀਕਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਹੈ:
ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਣ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.1
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ F(x,y)=(2y2+x−4)i+cos(x)j ℝ2 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਦੋਵੇਂ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰੰਤਰ ਹਨ। ਬਿੰਦੂ (0,−1) ਨਾਲ ਕਿਹੜਾ ਵੈਕਟਰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ?
ਹੱਲ
x ਅਤੇ y ਲਈ ਬਿੰਦੂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ:
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.1
Let G(x,y)=x2yi−(x+y)jG(x,y)=x2yi−(x+y)j be a vector field in ℝ2.ℝ2. What vector is associated with the point (−2,3)?(−2,3)?
Drawing a Vector Field
We can now represent a vector field in terms of its components of functions or unit vectors, but representing it visually by sketching it is more complex because the domain of a vector field is in ℝ2,ℝ2, as is the range. Therefore the “graph” of a vector field in ℝ2ℝ2 lives in four-dimensional space. Since we cannot represent four-dimensional space visually, we instead draw vector fields in ℝ2ℝ2 in a plane itself. To do this, draw the vector associated with a given point at the point in a plane. For example, suppose the vector associated with point (4,−1)(4,−1) is 〈3,1〉.〈3,1〉. Then, we would draw vector 〈3,1〉〈3,1〉 at point (4,−1).(4,−1).
We should plot enough vectors to see the general shape, but not so many that the sketch becomes a jumbled mess. If we were to plot the image vector at each point in the region, it would fill the region completely and is useless. Instead, we can choose points at the intersections of grid lines and plot a sample of several vectors from each quadrant of a rectangular coordinate system in ℝ2.ℝ2.
There are two types of vector fields in ℝ2ℝ2 on which this chapter focuses: radial fields and rotational fields. Radial fields model certain gravitational fields and energy source fields, and rotational fields model the movement of a fluid in a vortex. In a radial field, all vectors either point directly toward or directly away from the origin. Furthermore, the magnitude of any vector depends only on its distance from the origin. In a radial field, the vector located at point (x,y)(x,y) is perpendicular to the circle centered at the origin that contains point (x,y),(x,y), and all other vectors on this circle have the same magnitude.
Example 6.2
Drawing a Radial Vector Field
Sketch the vector field F(x,y)=x2i+y2j.F(x,y)=x2i+y2j.
Solution
To sketch this vector field, choose a sample of points from each quadrant and compute the corresponding vector. The following table gives a representative sample of points in a plane and the corresponding vectors.
row: (x,y)(x,y) | F(x,y)F(x,y) | (x,y)(x,y) | F(x,y)F(x,y) | (x,y)(x,y) | F(x,y)F(x,y)
row: (1,0)(1,0) | 〈12,0〉〈12,0〉 | (2,0)(2,0) | 〈1,0〉〈1,0〉 | (1,1)(1,1) | 〈12,12〉〈12,12〉
row: (0,1)(0,1) | 〈0,12〉〈0,12〉 | (0,2)(0,2) | 〈0,1〉〈0,1〉 | (−1,1)(−1,1) | 〈−12,12〉〈−12,12〉
row: (−1,0)(−1,0) | 〈−12,0〉〈−12,0〉 | (−2,0)(−2,0) | 〈−1,0〉〈−1,0〉 | (−1,−1)(−1,−1) | 〈−12,−12〉〈−12,−12〉
row: (0,−1)(0,−1) | 〈0,−12〉〈0,−12〉 | (0,−2)(0,−2) | 〈0,−1〉〈0,−1〉 | (1,−1)(1,−1) | 〈12,−12〉〈12,−12〉
Figure 6.3(a) shows the vector field. To see that each vector is perpendicular to the corresponding circle, Figure 6.3(b) shows circles overlain on the vector field.
Figure 6.3: (a) A visual representation of the radial vector field F(x,y)=x2i+y2j.F(x,y)=x2i+y2j. (b) The radial vector field F(x,y)=x2i+y2jF(x,y)=x2i+y2j with overlaid circles. Notice that each vector is perpendicular to the circle on which it is located.
Checkpoint 6.2
Draw the radial field F(x,y)=−x3i−y3j.F(x,y)=−x3i−y3j.
In contrast to radial fields, in a rotational field, the vector at point (x,y)(x,y) is tangent (not perpendicular) to a circle with radius r=x2+y2.r=x2+y2. In a standard rotational field, all vectors point either in a clockwise direction or in a counterclockwise direction, and the magnitude of a vector depends only on its distance from the origin. Both of the following examples are clockwise rotational fields, and we see from their visual representations that the vectors appear to rotate around the origin.
Example 6.3
Chapter Opener: Drawing a Rotational Vector Field
Figure 6.4: (credit: modification of work by NASA)
Sketch the vector field F(x,y)=〈y,−x〉.F(x,y)=〈y,−x〉.
Solution
Create a table (see the one that follows) using a representative sample of points in a plane and their corresponding vectors. Figure 6.6 shows the resulting vector field.
row: (x,y)(x,y) | F(x,y)F(x,y) | (x,y)(x,y) | F(x,y)F(x,y) | (x,y)(x,y) | F(x,y)F(x,y)
row: (1,0)(1,0) | 〈0,−1〉〈0,−1〉 | (2,0)(2,0) | 〈0,−2〉〈0,−2〉 | (1,1)(1,1) | 〈1,−1〉〈1,−1〉
row: (0,1)(0,1) | 〈1,0〉〈1,0〉 | (0,2)(0,2) | 〈2,0〉〈2,0〉 | (−1,1)(−1,1) | 〈1,1〉〈1,1〉
row: (−1,0)(−1,0) | 〈0,1〉〈0,1〉 | (−2,0)(−2,0) | 〈0,2〉〈0,2〉 | (−1,−1)(−1,−1) | 〈−1,1〉〈−1,1〉
row: (0,−1)(0,−1) | 〈−1,0〉〈−1,0〉 | (0,−2)(0,−2) | 〈−2,0〉〈−2,0〉 | (1,−1)(1,−1) | 〈−1,−1〉〈−1,−1〉
Figure 6.5: (a) A visual representation of vector field F(x,y)=〈y,−x〉.F(x,y)=〈y,−x〉. (b) Vector field F(x,y)=〈y,−x〉F(x,y)=〈y,−x〉 with circles centered at the origin. (c) Vector F(a,b)F(a,b) is perpendicular to radial vector 〈a,b〉〈a,b〉 at point (a,b).(a,b).
Analysis
Note that vector F(a,b)=〈b,−a〉F(a,b)=〈b,−a〉 points clockwise and is perpendicular to radial vector 〈a,b〉.〈a,b〉. (We can verify this assertion by computing the dot product of the two vectors: 〈a,b〉·〈−b,a〉=−ab+ab=0.)〈a,b〉·〈−b,a〉=−ab+ab=0.) Furthermore, vector 〈b,−a〉〈b,−a〉 has length r=a2+b2.r=a2+b2. Thus, we have a complete description of this rotational vector field: the vector associated with point (a,b)(a,b) is the vector with length r tangent to the circle with radius r, and it points in the clockwise direction.
Sketches such as that in Figure 6.6 are often used to analyze major storm systems, including hurricanes and cyclones. In the northern hemisphere, storms rotate counterclockwise; in the southern hemisphere, storms rotate clockwise. (This is an effect caused by Earth’s rotation about its axis and is called the Coriolis Effect.)
Example 6.4
Sketching a Vector Field
Sketch vector field F(x,y)=yx2+y2i−xx2+y2j.F(x,y)=yx2+y2i−xx2+y2j.
Solution
To visualize this vector field, first note that the dot product F(a,b)·(ai+bj)F(a,b)·(ai+bj) is zero for any point (a,b).(a,b). Therefore, each vector is tangent to the circle on which it is located. Also, as (a,b)→(0,0),(a,b)→(0,0), the magnitude of F(a,b)F(a,b) goes to infinity. To see this, note that
Since 1a2+b2→∞1a2+b2→∞ as (a,b)→(0,0),(a,b)→(0,0), then ||F(a,b)||→∞||F(a,b)||→∞ as (a,b)→(0,0).(a,b)→(0,0). This vector field looks similar to the vector field in Example 6.3, but in this case the magnitudes of the vectors close to the origin are large. The table below shows a sample of points and the corresponding vectors, and Figure 6.6 shows the vector field. Note that this vector field models the whirlpool motion of the river in Figure 6.2(b). The domain of this vector field is all of ℝ2ℝ2 except for point (0,0).(0,0).
row: (x,y)(x,y) | F(x,y)F(x,y) | (x,y)(x,y) | F(x,y)F(x,y) | (x,y)(x,y) | F(x,y)F(x,y)
row: (1,0)(1,0) | 〈0,−1〉〈0,−1〉 | (2,0)(2,0) | 〈0,−12〉〈0,−12〉 | (1,1)(1,1) | 〈12,−12〉〈12,−12〉
row: (0,1)(0,1) | 〈1,0〉〈1,0〉 | (0,2)(0,2) | 〈12,0〉〈12,0〉 | (−1,1)(−1,1) | 〈12,12〉〈12,12〉
row: (−1,0)(−1,0) | 〈0,1〉〈0,1〉 | (−2,0)(−2,0) | 〈0,12〉〈0,12〉 | (−1,−1)(−1,−1) | 〈−12,12〉〈−12,12〉
row: (0,−1)(0,−1) | 〈−1,0〉〈−1,0〉 | (0,−2)(0,−2) | 〈−12,0〉〈−12,0〉 | (1,−1)(1,−1) | 〈−12,−12〉〈−12,−12〉
Figure 6.6: A visual representation of vector field F(x,y)=yx2+y2i−xx2+y2j.F(x,y)=yx2+y2i−xx2+y2j. This vector field could be used to model whirlpool motion of a fluid.
Checkpoint 6.3
F(x,y)=〈−2y,2x〉 ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ। ਕੀ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਰੇਡੀਅਲ, ਰੋਟੇਸ਼ਨਲ, ਜਾਂ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਨਹੀਂ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 6.5
ਤਰਲ ਦਾ ਵੇਗ ਫੀਲਡ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ v(x,y)=−2yx2+y2i+2xx2+y2j ਤਰਲ ਦਾ ਵੇਗ ਫੀਲਡ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ (1,−1) 'ਤੇ ਤਰਲ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਚੱਲ ਰਿਹਾ ਹੈ? (ਵੇਗ ਦੀ ਇਕਾਈ ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਮੰਨੋ।)
ਹੱਲ
ਬਿੰਦੂ (1,−1) 'ਤੇ ਤਰਲ ਦਾ ਵੇਗ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, v ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ:
(1,−1) 'ਤੇ ਤਰਲ ਦੀ ਗਤੀ ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮੈਗਨੀਚਿਊਡ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਗਤੀ ||i+j||=2||i+j||=2 m/sec ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.4
v(x,y)=〈4|x|,1〉 ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਇੱਕ ਨਦੀ ਦੀ ਸਤਹ 'ਤੇ ਪਾਣੀ ਦੇ ਵੇਗ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ (2,3) 'ਤੇ ਪਾਣੀ ਦੀ ਗਤੀ ਕੀ ਹੈ? ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੈਗਨੀਚਿਊਡ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਜ਼ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਪਰ ਜਿਵੇਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਵੀ ਰੱਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ ਜੇ ਫੀਲਡ ਦੇ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮੈਗਨੀਚਿਊਡ 1 ਹੈ। ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ, ਸਿਰਫ ਸੰਬੰਧਿਤ ਜਾਣਕਾਰੀ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.6
ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ
ਦਿਖਾਓ ਕਿ G(x,y)=〈yx2+y2,−xx2+y2〉 ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਿ G ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਫੀਲਡ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਪਵੇਗਾ ਕਿ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮੈਗਨੀਚਿਊਡ 1 ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ
ਇਸ ਲਈ, G ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.5
ਕੀ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F(x,y)=〈−y,x〉 ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ?
ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਜ਼ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਕਿਉਂ ਹਨ? ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਤਰਲ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਤਰਲ ਕਿਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਹਿ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਇਸ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਦਿਲਚਸਪੀ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਤਰਲ ਦੀ ਗਤੀ (ਜੋ ਕਿ ਸੰਬੰਧਿਤ ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮੈਗਨੀਚਿਊਡ ਹੈ) ਅਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਵੇਗ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਉਹ ਫੀਲਡ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਅਸੀਂ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ।
ਜੇ F=〈P,Q,R〉 ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ 〈P||F||,Q||F||,R||F||〉 ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇ F(x,y)=〈y,−x〉 ਉਦਾਹਰਨ 6.3 ਤੋਂ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ, ਤਾਂ F ਦਾ ਮੈਗਨੀਚਿਊਡ x2+y2 ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਸੰਬੰਧਿਤ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਪਿਛਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਤੋਂ G ਫੀਲਡ ਹੈ।
ਜੇ F ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ, ਤਾਂ F ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਮੈਗਨੀਚਿਊਡ ਦੁਆਰਾ ਵੰਡ ਕੇ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F/||F|| ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਫੀਲਡ F ਨੂੰ ਨਾਰਮਲਾਈਜ਼ ਕਰਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ℝ3 ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਜ਼
ਅਸੀਂ ℝ2 ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਜ਼ ਦੇ ਕਈ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੇਖੀਆਂ ਹਨ; ਆਓ ਹੁਣ ਆਪਣਾ ਧਿਆਨ ℝ3 ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਜ਼ ਵੱਲ ਮੋੜੀਏ। ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਜ਼ ਗੁਰੂਤਾਕਰਸ਼ਣ ਜਾਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡਜ਼ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ ਤਿੰਨ ਮਾਪਾਂ ਵਿੱਚ ਤਰਲ ਪ੍ਰਵਾਹ ਜਾਂ ਗਰਮੀ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵੀ ਵਰਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਦੋ-ਮਾਪੀ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਨਦੀ ਦੇ ਦੋ-ਮਾਪੀ ਸਲਾਈਸ (ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨਦੀ ਦੀ ਸਤਹ) 'ਤੇ ਪਾਣੀ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਨਦੀ ਤਿੰਨ ਸਪੇਸ਼ੀਅਲ ਮਾਪਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਵਗਦੀ ਹੈ, ਨਦੀ ਦੀ ਪੂਰੀ ਡੂੰਘਾਈ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਤਿੰਨ ਮਾਪਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ℝ3 ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਜ਼ ਨੂੰ ਵਿਜ਼ੂਅਲਾਈਜ਼ ਕਰਨਾ, ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਮਾਪੀ ਫੀਲਡ ਦਾ ਵਾਧੂ ਮਾਪ ਇਸਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਮੁਸ਼ਕਲ ਬਣਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਵਿਚਾਰ ਉਹੀ ਹੈ। ℝ3 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਵਿਜ਼ੂਅਲਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਮੁੱਚੇ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਵੈਕਟਰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ℝ2 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਵਿਜ਼ੂਅਲਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਹਰੇਕ ਆਕਟੈਂਟ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਕੇ।
ℝ2,ℝ2 ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਵਾਂਗ ਹੀ, ਅਸੀਂ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ℝ3ℝ3 ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ ਵਾਧੂ ਅਯਾਮ ਲਈ ਇੱਕ ਵਾਧੂ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
ਜਾਂ
ਉਦਾਹਰਨ 6.7
ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨਾ
ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F(x,y,z)=〈1,1,z〉.F(x,y,z)=〈1,1,z〉 ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਲਈ, x ਅਤੇ y ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਸਥਿਰ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ℝ3ℝ3 ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਕੋਲ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧਿਤ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਜਿਸਦੇ x ਅਤੇ y ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਇੱਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। F ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵਿਚਾਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਫੀਲਡ ਕਿਹੋ ਜਿਹੀ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ, z=0.z=0। ਇਸ ਲਈ, (a,b,0)(a,b,0) ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਕੋਲ ਵੈਕਟਰ 〈1,1,0〉〈1,1,0〉 ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਪਰ ਉਸ ਤੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਉੱਪਰ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਲਈ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਪਰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ z ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਸੰਬੰਧਿਤ ਵੈਕਟਰ ਥੋੜ੍ਹਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਦੂਰ xy-ਪਲੇਨ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਲਈ, z ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਵੈਕਟਰ ਲਗਭਗ ਲੰਬਵਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 6.7 ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.7: ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F(x,y,z)=〈1,1,z〉.F(x,y,z)=〈1,1,z〉 ਦਾ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.6
ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ G(x,y,z)=〈2,z2,1〉.G(x,y,z)=〈2,z2,1〉 ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੇ ਕਲਾਸਿਕ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ: ਇੱਕ ਗੁਰੂਤਾ ਖੇਤਰ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.8
ਗੁਰੂਤਾ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ
ਗੁਰੂਤਾ ਦਾ ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ F=−Gm1m2r2r^,F=−Gm1m2r2r^, ਜਿੱਥੇ G ਸਾਰਵਭੌਮਿਕ ਗੁਰੂਤਾ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਇਹ ਮੂਲ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਪੁੰਜ m1m1 ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਵਸਤੂ (ਵਸਤੂ 1) ਦੁਆਰਾ ਪੁੰਜ m2m2 ਵਾਲੀ ਦੂਜੀ ਵਸਤੂ (ਵਸਤੂ 2) 'ਤੇ ਲਗਾਈ ਗਈ ਗੁਰੂਤਾ ਖੇਤਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਬਿੰਦੂ (x,y,z)।(x,y,z) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਫੀਲਡ F, ਦੋ ਵਸਤੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ r, ਅਤੇ ਪਹਿਲੀ ਵਸਤੂ ਤੋਂ ਦੂਜੀ ਤੱਕ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ r^r^ ਦੁਆਰਾ ਵਸਤੂ 1 ਦੁਆਰਾ ਵਸਤੂ 2 'ਤੇ ਲਗਾਈ ਗਈ ਗੁਰੂਤਾ ਬਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਮਾਈਨਸ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗੁਰੂਤਾ ਬਲ ਮੂਲ ਵੱਲ ਆਕਰਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਭਾਵ, ਵਸਤੂ 1 ਦਾ ਬਲ ਆਕਰਸ਼ਕ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਵਸਤੂ 1 ਮੂਲ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਵਸਤੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ r=x2+y2+z2.r=x2+y2+z2। ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਵਸਤੂ 1 ਤੋਂ ਵਸਤੂ 2 ਤੱਕ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ r^=〈x,y,z〉||〈x,y,z〉||,r^=〈x,y,z〉||〈x,y,z〉||, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ r^=〈xr,yr,zr〉.r^=〈xr,yr,zr〉। ਇਸ ਲਈ, ਵਸਤੂ 1 ਦੁਆਰਾ ਵਸਤੂ 2 'ਤੇ ਲਗਾਈ ਗਈ ਗੁਰੂਤਾ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F ਹੈ
ਇਹ ℝ3ℝ3 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਡੀਅਲ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.8 ਮੂਲ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਪੁੰਜ ਲਈ ਇਸ ਗੁਰੂਤਾ ਖੇਤਰ ਦੀ ਦਿੱਖ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਮਾਪ ਵਧਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਵੈਕਟਰ ਮੂਲ ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 6.8: ਮੂਲ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਪੁੰਜ ਲਈ ਗੁਰੂਤਾ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F=−Gm1m2〈xr3,yr3,zr3〉F=−Gm1m2〈xr3,yr3,zr3〉 ਦਾ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.7
ਉਪਗ੍ਰਹਿ 1 ਦਾ ਪੁੰਜ 750,000 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਹੈ ਅਤੇ ਉਪਗ੍ਰਹਿ 2 ਦਾ ਪੁੰਜ 130,000 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਉਪਗ੍ਰਹਿ 1 ਮੂਲ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਪਗ੍ਰਹਿ 2 (15,−5,10),(15,−5,10) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਜਿਸ ਨੂੰ 10 ਦੀ ਅੱਠਵੀਂ ਘਾਤ ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਦੀ ਇਕਾਈ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਸਾਰਵਭੌਮਿਕ ਗੁਰੂਤਾ ਸਥਿਰ G=6.67384×10−11m3kg−1s−2,G=6.67384×10−11m3kg−1s−2, ਉਪਗ੍ਰਹਿ 1 ਦੁਆਰਾ ਉਪਗ੍ਰਹਿ 2 'ਤੇ ਲਗਾਈ ਗਈ ਗੁਰੂਤਾ ਬਲ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭੋ।
ਗਰੇਡੀਐਂਟ ਫੀਲਡ
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਿਸਮ ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਗਰੇਡੀਐਂਟ ਫੀਲਡ ਜਾਂ ਕੰਜ਼ਰਵੇਟਿਵ ਫੀਲਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਭੌਤਿਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਊਰਜਾ ਸੰਭਾਲੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਗੁਰੂਤਾ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਚਾਰਜ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਖੇਤਰ ਗਰੇਡੀਐਂਟ ਫੀਲਡ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ।
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ff x ਅਤੇ y ਦਾ ਇੱਕ (ਸਕੇਲਰ) ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ ff ਦਾ ਗਰੇਡੀਐਂਟ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਉਸ ਰੂਪ ਤੋਂ ਵੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ∇f∇f, ℝ2ℝ2 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ f, x, y, ਅਤੇ z ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ f ਦਾ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਹੈ
ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ℝ3ℝ3 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ।
ਇੱਕ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਫੀਲਡ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ℝ2ℝ2 ਜਾਂ ℝ3ℝ3 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ FF ਇੱਕ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਫੀਲਡ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ ∇f=F.∇f=F।
ਉਦਾਹਰਨ 6.9
ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨਾ
f(x,y)=x2y2.f(x,y)=x2y2 ਦੇ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਲਈ ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
f ਦਾ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ∇f=〈2xy2,2x2y〉.∇f=〈2xy2,2x2y〉 ਹੈ। ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨ ਲਈ, Mathematica ਵਰਗੇ ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਲਜਬਰਾ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਚਿੱਤਰ 6.9 ∇f.∇f ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.9: ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ∇f,∇f ਹੈ, ਜਿੱਥੇ f(x,y)=x2y2.f(x,y)=x2y2।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.8
f(x,y)=sinxcosy.f(x,y)=sinxcosy ਦੇ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਲਈ ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.9 ਤੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=x2y2f(x,y)=x2y2 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਚਿੱਤਰ 6.11 ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਲੈਵਲ ਕਰਵਜ਼ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ 'ਤੇ ਓਵਰਲੇਅ ਕੀਤਾ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਵੈਕਟਰ ਲੈਵਲ ਕਰਵਜ਼ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਵੱਡੇ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਲੈਵਲ ਕਰਵਜ਼ ਇਕੱਠੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦੇ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਨੇੜੇ-ਤੇੜੇ ਸਮੂਹ ਕੀਤੇ ਲੈਵਲ ਕਰਵਜ਼ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਡਾਇਰੈਕਸ਼ਨਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਮੁੱਲ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਤੁਸੀਂ ਕਿਸੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਥਾਨਕ ਖੜ੍ਹਾਈ ਨੂੰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਫੀਲਡ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਚਿੱਤਰ 6.10: f(x,y)=x2y2f(x,y)=x2y2 ਦਾ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਫੀਲਡ ਅਤੇ f.f ਦੇ ਕਈ ਲੈਵਲ ਕਰਵਜ਼। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਿਵੇਂ ਲੈਵਲ ਕਰਵਜ਼ ਇਕੱਠੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦੇ ਹਨ, ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਵਧਦਾ ਹੈ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ FF ਇੱਕ ਕੰਜ਼ਰਵੇਟਿਵ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਫੀਲਡ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ ∇f=F.∇f=F। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ff ਨੂੰ F.F ਲਈ ਇੱਕ ਪੋਟੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੰਜ਼ਰਵੇਟਿਵ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਉਭਰਦੇ ਹਨ, ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ। ਅਜਿਹੇ ਫੀਲਡਜ਼ ਨੂੰ ਕੰਜ਼ਰਵੇਟਿਵ ਕਿਉਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਇਸਦਾ ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਭੌਤਿਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੇ ਬਲਾਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਊਰਜਾ ਸੰਭਾਲੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਕੰਜ਼ਰਵੇਟਿਵ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਜ਼ ਦਾ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਤੁਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ, ਕੁਝ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, F ਲਈ ਇੱਕ ਪੋਟੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਨੂੰ ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ −∇f=F.−∇f=F। ਇਹ ਕੁਝ ਸੰਦਰਭਾਂ ਵਿੱਚ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕੇਸ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.10
ਇੱਕ ਪੋਟੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨਾ
ਕੀ f(x,y,z)=x2yz−sin(xy)f(x,y,z)=x2yz−sin(xy) ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਲਈ ਇੱਕ ਪੋਟੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ
ਹੱਲ
ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ∇f=F.∇f=F। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ∇f=F∇f=F ਅਤੇ ff, F.F ਲਈ ਇੱਕ ਪੋਟੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.9
Is f(x,y,z)=x2cos(yz)+y2z2f(x,y,z)=x2cos(yz)+y2z2 a potential function for F(x,y,z)=〈2xcos(yz),−x2zsin(yz)+2yz2,y2〉?F(x,y,z)=〈2xcos(yz),−x2zsin(yz)+2yz2,y2〉?
Example 6.11
Verifying a Potential Function
The velocity of a fluid is modeled by field v(x,y)=〈xy,x22−y〉.v(x,y)=〈xy,x22−y〉. Verify that f(x,y)=x2y2−y22f(x,y)=x2y2−y22 is a potential function for v.
Solution
To show that ff is a potential function, we must show that ∇f=v.∇f=v. Note that fx=xyfx=xy and fy=x22−y.fy=x22−y. Therefore, ∇f=〈xy,x22−y〉∇f=〈xy,x22−y〉 and ff is a potential function for v (Figure 6.11).
Figure 6.11: Velocity field v(x,y)v(x,y) has a potential function and is a conservative field.
Checkpoint 6.10
Verify that f(x,y)=x3y2+1f(x,y)=x3y2+1 is a potential function for velocity field v(x,y)=⟨3x2y2,2x3y⟩.v(x,y)=⟨3x2y2,2x3y⟩.
If F is a conservative vector field, then there is at least one potential function ff such that ∇f=F.∇f=F. But, could there be more than one potential function? If so, is there any relationship between two potential functions for the same vector field? Before answering these questions, let’s recall some facts from single-variable calculus to guide our intuition. Recall that if k(x)k(x) is an integrable function, then k has infinitely many antiderivatives. Furthermore, if F and G are both antiderivatives of k, then F and G differ only by a constant. That is, there is some number C such that F(x)=G(x)+C.F(x)=G(x)+C.
Now let FF be a conservative vector field and let ff and g be potential functions for FF. Since the gradient is like a derivative, FF being conservative means that FF is “integrable” with “antiderivatives” ff and g. Therefore, if the analogy with single-variable calculus is valid, we expect there is some constant C such that f(x)=g(x)+C.f(x)=g(x)+C. The next theorem says that this is indeed the case.
To state the next theorem with precision, we need to assume the domain of the vector field is connected and open. To be connected means if P1P1 and P2P2 are any two points in the domain, then you can walk from P1P1 to P2P2 along a path that stays entirely inside the domain.
Theorem 6.1
Uniqueness of Potential Functions
Let F be a conservative vector field on an open and connected domain and let ff and g be functions such that ∇f=F∇f=F and ∇g=F.∇g=F. Then, there is a constant C such that f=g+C.f=g+C.
Proof
Since ff and g are both potential functions for F, then ∇(f−g)=∇f−∇g=F−F=0.∇(f−g)=∇f−∇g=F−F=0. Let h=f−g,h=f−g, then we have ∇h=0.∇h=0. We would like to show that h is a constant function.
Assume h is a function of x and y (the logic of this proof extends to any number of independent variables). Since ∇h=0,∇h=0, we have hx=0hx=0 and hy=0.hy=0. The expression hx=0hx=0 implies that h is a constant function with respect to x—that is, h(x,y)=k1(y)h(x,y)=k1(y) for some function k1. Similarly, hy=0hy=0 implies h(x,y)=k2(x)h(x,y)=k2(x) for some function k2. Therefore, function h depends only on y and also depends only on x. Thus, h(x,y)=Ch(x,y)=C for some constant C on the connected domain of F. Note that we really do need connectedness at this point; if the domain of F came in two separate pieces, then k could be a constant C1 on one piece but could be a different constant C2 on the other piece. Since f−g=h=C,f−g=h=C, we have that f=g+C,f=g+C, as desired.
□
Conservative vector fields also have a special property called the cross-partial property. This property helps test whether a given vector field is conservative.
Theorem 6.2
The Cross-Partial Property of Conservative Vector Fields
Let F be a vector field in two or three dimensions such that the component functions of F have continuous first-order partial derivatives on the domain of F.
If F(x,y)=〈P(x,y),Q(x,y)〉F(x,y)=〈P(x,y),Q(x,y)〉 is a conservative vector field in ℝ2,ℝ2, then ∂P∂y=∂Q∂x.∂P∂y=∂Q∂x. If F(x,y,z)=〈P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)〉F(x,y,z)=〈P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)〉 is a conservative vector field in ℝ3,ℝ3, then
ਸਿੱਧ
ਕਿਉਂਕਿ F ਸੰਭਾਲੂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y) ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ∇f=F। ਇਸ ਲਈ, ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, fx=P ਅਤੇ fy=Q। ਕਲੇਰੋਟ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ, fxy=fyx। ਪਰ, fxy=Py ਅਤੇ fyx=Qx, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ Py=Qx।
□
ਕਲੇਰੋਟ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ℝ2 ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਲਈ ਜਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ℝ3 ਵਿੱਚ ਸੰਭਾਲੂ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਗੁਣ ਦਾ ਤੇਜ਼ ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਸੰਭਾਲੂ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਗੁਣ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਸੰਭਾਲੂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਗੁਣ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੋਣਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.12
ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਸੰਭਾਲੂ ਨਾ ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ
ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਰੋਟੇਸ਼ਨਲ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F(x,y)=〈y,−x〉 ਸੰਭਾਲੂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ P(x,y)=y ਅਤੇ Q(x,y)=−x। ਜੇ F ਸੰਭਾਲੂ ਹੈ, ਤਾਂ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਗੇ—ਭਾਵ, Py=Qx। ਇਸ ਲਈ, F ਨੂੰ ਸੰਭਾਲੂ ਨਾ ਸਿੱਧ ਕਰਨ ਲਈ, ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ Py≠Qx। ਕਿਉਂਕਿ Py=1 ਅਤੇ Qx=−1, ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਸੰਭਾਲੂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.11
ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F(x,y)=yi−x2xyj ਸੰਭਾਲੂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.13
ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਸੰਭਾਲੂ ਨਾ ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ
ਕੀ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F(x,y,z)=〈7,−2,x3〉 ਸੰਭਾਲੂ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ P(x,y,z)=7, Q(x,y,z)=−2, ਅਤੇ R(x,y,z)=x3। ਜੇ F ਸੰਭਾਲੂ ਹੈ, ਤਾਂ ਤਿੰਨੋਂ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਹੋਣਗੇ—ਭਾਵ, ਜੇ F ਸੰਭਾਲੂ ਹੈ, ਤਾਂ Py=Qx, Qz=Ry, ਅਤੇ Rx=Pz। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ Py=Qx=Ry=Qz=0, ਇਸ ਲਈ ਪਹਿਲੀਆਂ ਦੋ ਜ਼ਰੂਰੀ ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਸੱਚ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, Rx=3x2 ਅਤੇ Pz=0 ਇਸ ਲਈ Rx≠Pz। ਇਸ ਲਈ, F ਸੰਭਾਲੂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.12
ਕੀ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ G(x,y,z)=〈y,x,xyz〉 ਸੰਭਾਲੂ ਹੈ?
ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਨੂੰ ਇੱਕ ਚੇਤਾਵਨੀ ਨਾਲ ਸਮਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਸੰਭਾਲੂ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਗੁਣ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇ F ਸੰਭਾਲੂ ਹੈ, ਤਾਂ F ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਗੁਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਮੇਯ ਇਹ ਨਹੀਂ ਕਹਿੰਦਾ ਕਿ, ਜੇ F ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਗੁਣ ਹੈ, ਤਾਂ F ਸੰਭਾਲੂ ਹੈ (ਇੱਕ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦਾ ਉਲਟਾ ਤਰਕਪੂਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮੂਲ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ)। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਸੰਭਾਲੂ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਗੁਣ ਸਿਰਫ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਫੀਲਡ ਸੰਭਾਲੂ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਇਹ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਣ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ ਕਿ ਕੋਈ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਸੰਭਾਲੂ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F(x,y)=〈x2y,x33〉 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਸ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਗੁਣ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਸੰਭਾਲੂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਣ ਲਈ ਸੰਭਾਲੂ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਨਾ ਕੁਦਰਤੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਗਲਤ ਵਰਤੋਂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਕਿ F ਨੂੰ ਸੰਭਾਲੂ ਕਿਵੇਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਿਆ ਜਾਵੇ।
ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F=F(x,y) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y) ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਅਤੇ F ਦੀ ਰੇਂਜ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਕੀ ਹੈ?
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਥਨ ਸੱਚ ਹੈ ਜਾਂ ਝੂਠ।
ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F=〈3x2,1〉 ϕ1(x,y)=x3+y ਅਤੇ ϕ2(x,y)=y+x3+100 ਦੋਵਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਫੀਲਡ ਹੈ।
ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F=〈y,x〉x2+y2 ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਹੈ।
Vector field F=〈y,x〉x2+y2F=〈y,x〉x2+y2 is neither a radial field nor a rotation.
For the following exercises, describe each vector field by drawing some of its vectors.
[T] F(x,y)=xi+yjF(x,y)=xi+yj
[T] F(x,y)=−yi+xjF(x,y)=−yi+xj
[T] F(x,y)=xi−yjF(x,y)=xi−yj
[T] F(x,y)=i+jF(x,y)=i+j
[T] F(x,y)=2xi+3yjF(x,y)=2xi+3yj
[T] F(x,y)=3i+xjF(x,y)=3i+xj
[T] F(x,y)=yi+sinxjF(x,y)=yi+sinxj
[T] F(x,y,z)=xi+yj+zkF(x,y,z)=xi+yj+zk
[T] F(x,y,z)=2xi−2yj−2zkF(x,y,z)=2xi−2yj−2zk
[T] F(x,y,z)=yzi−xzjF(x,y,z)=yzi−xzj
For the following exercises, find the gradient vector field of each function f.f.
f ( x , y ) = x sin y + cos y f ( x , y ) = x sin y + cos y
f ( x , y , z ) = z e − x y f ( x , y , z ) = z e − x y
f ( x , y , z ) = x 2 y + x y + y 2 z f ( x , y , z ) = x 2 y + x y + y 2 z
f ( x , y ) = x 2 sin ( 5 y ) f ( x , y ) = x 2 sin ( 5 y )
f ( x , y ) = ln ( 1 + x 2 + 2 y 2 ) f ( x , y ) = ln ( 1 + x 2 + 2 y 2 )
f ( x , y , z ) = x cos ( y z ) f ( x , y , z ) = x cos ( y z )
What is vector field F(x,y)F(x,y) with a value at (x,y)(x,y) that is of unit length and points toward (1,0)?(1,0)?
For the following exercises, write formulas for the vector fields with the given properties.
All vectors are parallel to the x-axis and all vectors on a vertical line have the same magnitude.
All vectors point toward the origin and have constant length.
All vectors are of unit length and are perpendicular to the position vector at that point.
Give a formula F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)jF(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j for the vector field in a plane that has the properties that F=0F=0 at (0,0)(0,0) and that at any other point (a,b),(a,b), F is tangent to circle x2+y2=a2+b2x2+y2=a2+b2 and points in the clockwise direction with magnitude F=a2+b2.F=a2+b2.
Is vector field F(x,y)=P(x,y),Q(x,y)=(sinx+y)i+(cosy+x)jF(x,y)=P(x,y),Q(x,y)=(sinx+y)i+(cosy+x)j a gradient field?
Find a formula for vector field F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)jF(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j given the fact that for all points (x,y),(x,y), F points toward the origin and F=10x2+y2.F=10x2+y2.
For the following exercises, assume that an electric field in the xy-plane caused by an infinite line of charge along the x-axis is a gradient field with potential function V(x,y)=cln(r0x2+y2),V(x,y)=cln(r0x2+y2), where c>0c>0 is a constant and r0r0 is a reference distance at which the potential is assumed to be zero.
Find the components of the electric field in the x- and y-directions, where E(x,y)=−∇V(x,y).E(x,y)=−∇V(x,y).
Show that the electric field at a point in the xy-plane is directed outward from the origin and has magnitude E=crE=cr, where r=x2+y2r=x2+y2.
A flow line (or streamline) of a vector field FF is a curve r(t)r(t) such that dr/dt=F(r(t)).dr/dt=F(r(t)). If FF represents the velocity field of a moving particle, then the flow lines are paths taken by the particle. Therefore, flow lines are tangent to the vector field. For the following exercises, show that the given curve c(t)c(t) is a flow line of the given velocity vector field F(x,y,z).F(x,y,z).
c ( t ) = e 2 t , ln | t | , 1 t , t ≠ 0 ; F ( x , y , z ) = ⟨ 2 x , z , − z 2 ⟩ c ( t ) = e 2 t , ln | t | , 1 t , t ≠ 0 ; F ( x , y , z ) = ⟨ 2 x , z , − z 2 ⟩
c ( t ) = sin t , cos t , e t ; F ( x , y , z ) = ⟨ y , − x , z ⟩ c ( t ) = sin t , cos t , e t ; F ( x , y , z ) = ⟨ y , − x , z ⟩
For the following exercises, let F=xi+yj,F=xi+yj, G=−yi+xj,G=−yi+xj, and H=xi−yj.H=xi−yj. Match F, G, and H with their graphs.
For the following exercises, let F=xi+yj,F=xi+yj, G=−yi+xj,G=−yi+xj, and H=xi–yj.H=xi–yj. Match the vector fields in a through d with their graphs.
F+GF+G
F+HF+H
G+HG+H
−F+G−F+G