ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
6.7.1 ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਅਰਥ ਸਮਝਾਓ।
6.7.2 ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
6.7.3 ਸਤਹ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
6.7.4 ਕਰਲ (curl) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਗ੍ਰੀਨਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਇੱਕ ਉੱਚ-ਆਯਾਮੀ ਸਧਾਰਨਕਰਨ ਹੈ। ਇਹ ਥਿਊਰਮ, ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਲਈ ਫੰਡਾਮੈਂਟਲ ਥਿਊਰਮ ਅਤੇ ਗ੍ਰੀਨਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਵਾਂਗ, ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਫੰਡਾਮੈਂਟਲ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਉੱਚ ਆਯਾਮਾਂ ਤੱਕ ਸਧਾਰਨਕਰਨ ਹੈ। ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਤਹ S ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ S ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨਾਲ ਜੋੜਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਸ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੀਆਂ ਥਿਊਰਮਾਂ, ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵਸਤੂ S ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ S ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਤੱਕ ਘਟਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਅਤੇ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਵਿਚਕਾਰ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦੇਣ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਕਰਲ ਅਤੇ ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ਦੇ ਸੰਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਤਰਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੇਟਿਜ਼ਮ ਵਿੱਚ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਫੈਰਾਡੇ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਖੇਤਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਤੀਜਾ ਹੈ।
ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ
ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਤਹ S ਉੱਤੇ ਕਰਲ F ਦੇ ਫਲਕਸ (flux) ਦੀ ਗਣਨਾ S ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ਉੱਤੇ F ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਬਾਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਕੇ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਅਸੀਂ ਸਤਹ S ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F ਦੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਸਨੂੰ S ਉੱਤੇ F ਦੇ ਕਰਲ ਦੇ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ।
ਮੰਨ ਲਓ S ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੀ ਨਿਰਵਿਘਨ ਸਤਹ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਇਕਾਈ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ N ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ S ਦਾ ਕਿਨਾਰਾ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਬੰਦ ਵਕਰ C ਹੈ। S ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ C ਦੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ, ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ C ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ N ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਸਿਰ ਨਾਲ ਚੱਲਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਸਤਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਤੁਹਾਡੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 6.19
ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ
ਮੰਨ ਲਓ S ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਨਿਰਵਿਘਨ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੀ ਸਤਹ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਇੱਕ ਕਿਨਾਰਾ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਬੰਦ ਵਕਰ C ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.79)। ਜੇਕਰ F ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਭਾਗ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਨਿਰੰਤਰ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ S ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਤਾਂ
ਚਿੱਤਰ 6.79: ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਸਤਹ ਉੱਤੇ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਸਤਹ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨਾਲ ਜੋੜਦੀ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਵਕਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਸਤਹ S xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਕਾਈ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ k ਹੈ ਅਤੇ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ∬ScurlF·dS∬ScurlF·dS ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ∬ScurlF·kdA.∬ScurlF·kdA. ਹੈ। ਇਸ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ∫CF·dr=∬ScurlF·kdA.∫CF·dr=∬ScurlF·kdA. ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਗ੍ਰੀਨਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ਰੂਪ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰੀਨਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲਾ ਹੈ। ਗ੍ਰੀਨਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਸਤਹਾਂ ਨੂੰ ਸੰਭਾਲ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਜਾਂ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਤਹਾਂ ਨੂੰ ਸੰਭਾਲ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਪੂਰਾ ਸਬੂਤ ਇਸ ਪਾਠ ਦੇ ਦਾਇਰੇ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਸੱਚਾਈ ਲਈ ਇੱਕ ਅਨੁਭਵੀ ਵਿਆਖਿਆ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਸਬੂਤ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਤਹ S ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਹੈ, ਅਤੇ S, S ਦਾ ਕਿਨਾਰਾ, ਅਤੇ F ਸਾਰੇ ਕਾਫ਼ੀ ਸੁਭਾਵਕ ਹਨ।
ਸਬੂਤ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਇੱਕ ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ ਸਬੂਤ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਬੂਤ ਸਖ਼ਤ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ ਇਸਦਾ ਉਦੇਸ਼ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਸੱਚ ਹੋਣ ਦੇ ਕਾਰਨ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਆਮ ਭਾਵਨਾ ਦੇਣਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ S ਇੱਕ ਸਤਹ ਹੈ ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ D ਸਤਹ ਦਾ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਟੁਕੜਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ D ਸਤਹ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ਨਾਲ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਸਾਂਝਾ ਨਾ ਕਰੇ। ਅਸੀਂ D ਨੂੰ ਇੰਨਾ ਛੋਟਾ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੇ ਵਰਗ E ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਮੰਨ ਲਓ D ਆਪਣੀ ਦਿਸ਼ਾ S ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ E ਨੂੰ ਉਹੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਰਗ ਦੇ ਚਾਰ ਪਾਸੇ ਹਨ; ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ El,El, Er,Er, Eu,Eu, ਅਤੇ EdEd ਖੱਬੇ, ਸੱਜੇ, ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਲਈ ਨਾਮ ਦਿਓ। ਵਰਗ ਉੱਤੇ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰੀਨਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਫਲਕਸ ਰੂਪ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਸਾਰੀ ਸਤਹ ਉੱਤੇ ਫਲਕਸ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਤਹ ਦੇ ਛੋਟੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਾਲੇ ਛੋਟੇ ਵਰਗਾਂ ਉੱਤੇ ਫਲਕਸ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 6.80)। ਗ੍ਰੀਨਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ, ਹਰੇਕ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਵਰਗ ਦਾ ਫਲਕਸ ਇਸਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ F ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਵਰਗ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਦਿਸ਼ਾ S ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ ElEl ਹੈ (ਇਸ ਲਈ F, E ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੈ)। ਮੰਨ ਲਓ FrFr, FF ਦਾ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ; ਫਿਰ, El=−Fr.El=−Fr. ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, FF ਦਾ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ E ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸਮਾਨ ਵਕਰ ਹੈ, ਸਿਰਫ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਦਿਸ਼ਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਤਹ S ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਵਰਗਾਂ ਉੱਤੇ ਸਾਰੇ ਪ੍ਰਵਾਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫ElF·dr ਅਤੇ ∫FrF·dr ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। E ਦੇ ਹੋਰ ਤਿੰਨ ਪਾਸਿਆਂ ਉੱਤੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਗੱਲ ਹੈ। ਇਹ ਤਿੰਨ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ E ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਵਰਗ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ, E ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਵਰਗ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ, ਅਤੇ E ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਵਰਗ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ (ਚਿੱਤਰ 6.81) ਨਾਲ ਰੱਦ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਸਾਰੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਵਰਗਾਂ ਉੱਤੇ ਇਸ ਰੱਦ ਹੋਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਸਿਰਫ਼ ਉਹੀ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਬਚਦੇ ਹਨ ਜੋ S ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਾਲੇ ਪਾਸਿਆਂ ਉੱਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਰੇ ਪ੍ਰਵਾਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ (ਜੋ ਕਿ, ਗ੍ਰੀਨ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ, ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਵਰਗਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਸਾਰੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ) S ਦੀ ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸੀਮਾ ਵਿੱਚ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਸਿਫ਼ਰ ਵੱਲ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਅਨੁਮਾਨ ਬੇਅੰਤ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.80: ਸਤਹ ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕੱਟੋ। ਟੁਕੜੇ ਇੰਨੇ ਛੋਟੇ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਵਰਗ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ।
ਚਿੱਤਰ 6.81: (a) ElEl ਦੇ ਨਾਲ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ FrFr ਦੇ ਨਾਲ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ El=−Fr। (b) E ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਾਸੇ ਦੇ ਨਾਲ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਇੱਕ ਨਾਲ ਲੱਗਦੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਵਰਗ ਦੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਨਾਲ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨਾਲ ਰੱਦ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਆਓ ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਇੱਕ ਸਖ਼ਤ ਸਬੂਤ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ S ਫੰਕਸ਼ਨ z=g(x,y) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x ਅਤੇ y ਇੱਕ ਸੀਮਤ, ਸਧਾਰਨ-ਜੋੜੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰ D, ਜਿਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਸੀਮਤ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.82), ਉੱਤੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ gg ਵਿੱਚ ਨਿਰੰਤਰ ਦੂਜੇ-ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਵਿਭੇਦਕ ਹਨ। C, S ਦੀ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ C′, D ਦੀ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, D, ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ S ਦਾ "ਪਰਛਾਵਾਂ" ਹੈ ਅਤੇ C′, C ਦਾ "ਪਰਛਾਵਾਂ" ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ S ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸਥਿਤ ਹੈ। C ਦੀ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ C′ ਦੀ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ। F(x,y,z)=〈P,Q,R〉 ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਭਾਗ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਰੰਤਰ ਅੰਸ਼ਕ ਵਿਭੇਦਕ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 6.82: D ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ S ਦਾ "ਪਰਛਾਵਾਂ", ਜਾਂ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ C′ C ਦਾ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਅਸੀਂ S ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ: x=x, y=y, z=g(x,y)। ਟੈਂਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ tx=〈1,0,gx〉 ਅਤੇ ty=〈0,1,gy〉 ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ, tx×ty=〈−gx,−gy,1〉। ਸਮੀਕਰਨ 6.19 ਦੁਆਰਾ,
ਜਿੱਥੇ ਅੰਸ਼ਕ ਵਿਭੇਦਕ ਸਾਰੇ (x,y,g(x,y)) ਉੱਤੇ ਮੁੱਲਵਾਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇੰਟਿਗਰੈਂਡ ਸਿਰਫ਼ x ਅਤੇ y ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ 〈x(t),y(t)〉, a≤t≤b, C′ ਦਾ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ। ਫਿਰ, C ਦਾ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ 〈x(t),y(t),g(x(t),y(t))〉, a≤t≤b ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨਾਂ, ਚੇਨ ਰੂਲ, ਅਤੇ ਗ੍ਰੀਨ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨਾਲ ਲੈਸ ਹੋ ਕੇ, ਅਤੇ ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਕਿ P, Q, ਅਤੇ R ਸਾਰੇ x ਅਤੇ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫CF·dr ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਕਲੇਰੌਟ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ, ∂2z∂x∂y=∂2z∂y∂x। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਦੋਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਤੋਂ ਚਾਰ ਪਦ ਅਲੋਪ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਾਲ ਬਚ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ
ਜੋ ∬ScurlF·dS ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
□
ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ ਕਿ ਸਟੋਕਸ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸੱਚ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਸਧਾਰਨ-ਜੋੜੇ ਹੋਇਆ ਖੇਤਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਜਲਦੀ ਹੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਮਾਮਲੇ ਲਈ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: ਜਦੋਂ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F ਸੰਭਾਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇ F ਸੰਭਾਵੀ ਹੈ, ਤਾਂ F ਦਾ ਕਰਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ∬ScurlF·dS=0। ਕਿਉਂਕਿ S ਦੀ ਸੀਮਾ ਇੱਕ ਬੰਦ ਵਕਰ ਹੈ, ∫CF·dr ਵੀ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.73
ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲੇ ਲਈ ਸਟੋਕਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨਾ
ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿ ਸਟੋਕਸ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F(x,y,z)=〈y,2z,x2〉 ਅਤੇ ਸਤਹ S ਲਈ ਸੱਚ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ S ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ z=4-x2-y2 ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਤਹ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਸਥਿਤ ਹੈ ਅਤੇ z≥0 ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.83: ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਅਰਧ-ਗੋਲੇ ਲਈ ਸਟੋਕਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨਾ।
ਹੱਲ
ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਜੋਂ, ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ g(x,y)=4-x2-y2, gx=−2x ਅਤੇ gy=−2y ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ 6.19 ਦੁਆਰਾ,
ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਜੋਂ, ਤੁਸੀਂ C ਨੂੰ r(t)=〈2cost,2sint,0〉, 0≤t≤2π ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਸਮੀਕਰਨ 6.19 ਦੁਆਰਾ,
ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਸਟੋਕਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕੀਤੀ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.61
ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿ ਸਟੋਕਸ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F(x,y,z)=〈y,x,−z〉 ਅਤੇ ਸਤਹ S ਲਈ ਸੱਚ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ S xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ (0,0), (2,0), ਅਤੇ (0,2) ਹਨ, ਉੱਤੇ f(x,y)=x2y ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸਥਿਤ ਹਿੱਸਾ ਹੈ।
ਸਟੋਕਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਸਟੋਕਸ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਸਤਹ S ਦੇ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ S ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਪ੍ਰਮੇਯ ਸਾਨੂੰ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਜਾਂ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਿੱਚ ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਕੇ ਕਾਫ਼ੀ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋਣਗੇ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਹਰੇਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਅਨੁਵਾਦ ਦੇ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
6.74 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ∬ScurlF·dS,∬ScurlF·dS ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ S, ਚਿੱਤਰ 6.84 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਸਤਹ ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਹੈ, ਅਤੇ F=〈z,2xy,x+y〉.F=〈z,2xy,x+y〉.
ਚਿੱਤਰ 6.84: ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸਤਹ।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਟੋਕਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ∬ScurlF·dS∬ScurlF·dS ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 6.19 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਲਈ S ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਤਹ S ਇੰਨੀ ਜਟਿਲ ਹੈ ਕਿ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਲੱਭਣਾ ਬਹੁਤ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਸ ਲਈ, ਪਿਛਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਜੋ ਤਰੀਕੇ ਸਿੱਖੇ ਹਨ, ਉਹ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਸਟੋਕਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਸਤਹ ਦੀ ਸੀਮਾ C ਸਿਰਫ਼ 1 ਘੇਰੇ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਚੱਕਰ ਹੈ।
ਸਟੋਕਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੁਆਰਾ,
ਜਿੱਥੇ C ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t)=〈sint,0,1−cost〉,0≤t<2π.r(t)=〈sint,0,1−cost〉,0≤t<2π ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ 6.9 ਦੁਆਰਾ,
ਸਟੋਕਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਇੱਕ ਹੈਰਾਨੀਜਨਕ ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਜੇ S′ ਇੱਕੋ ਸੀਮਾ C ਅਤੇ ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੀ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸਮਤਲ ਸਤਹ ਹੈ, ਤਾਂ ∬ScurlF·dS=∫CF·dr=0∬ScurlF·dS=∫CF·dr=0 ਕਿਉਂਕਿ ਸਟੋਕਸ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਸੀਮਾ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਮਿਸਾਲ 6.74 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਤਹ ਦੀ ਸੀਮਾ ਬਾਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਮੰਨ ਲਓ S1S1 ਅਤੇ S2S2 ਇੱਕੋ ਸੀਮਾ C ਅਤੇ ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮਤਲ ਸਤਹਾਂ ਹਨ। ਸਟੋਕਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੁਆਰਾ,
ਇਸ ਲਈ, ਜੇ ∬S1curlF·dS∬S1curlF·dS ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੈ ਪਰ ∬S2curlF·dS∬S2curlF·dS ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਟੋਕਸ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਸਾਨੂੰ ਆਸਾਨ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਮਿਸਾਲ 6.74 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ∬ScurlF·dS∬ScurlF·dS ਦੀ ਗਣਨਾ ∬S′curlF·dS,∬S′curlF·dS ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ, ਜਿੱਥੇ S′S′ ਸੀਮਾ ਵਕਰ C ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੀ ਗਈ ਡਿਸਕ ਹੈ (ਜਿਸ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਬਹੁਤ ਸਰਲ ਸਤਹ ਹੈ)।
ਸਮੀਕਰਨ 6.23 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਰਲ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਜ਼ ਦੇ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਸਤਹ-ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਫੀਲਡਜ਼ ਦੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਪਾਥ-ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇ F ਇੱਕ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਸੰਭਾਲੀ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਜੁੜੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ff F ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ C F ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ∫CF·dr∫CF·dr ਸਿਰਫ਼ C ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਜੇ C′ C ਦੇ ਸਮਾਨ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਵਾਲੀ ਕੋਈ ਹੋਰ ਵਕਰ ਹੈ (ਭਾਵ, C′ C ਦੇ ਸਮਾਨ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੀ ਹੈ), ਤਾਂ ∫CF·dr=∫C′F·dr.∫CF·dr=∫C′F·dr. ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਿਰਫ਼ ਪਾਥ ਦੀ ਸੀਮਾ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ; ਇਹ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਪਾਥ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ S ਅਤੇ S′ ਇੱਕੋ ਸੀਮਾ ਅਤੇ ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੀਆਂ ਸਤਹਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ G ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F ਦੇ ਕਰਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਇਸ ਲਈ F, G ਦਾ ਇੱਕ "ਸੰਭਾਵੀ ਫੀਲਡ" ਹੈ)। ਸਮੀਕਰਨ 6.23 ਦੁਆਰਾ,
ਇਸ ਲਈ, G ਦਾ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਸਤਹ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ, ਸਿਰਫ਼ ਸਤਹ ਦੀ ਸੀਮਾ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਜ਼ ਦੇ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੇ ਕਰਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਸਤਹ-ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਜ਼ ਦੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਾਥ-ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.62
ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ∬ScurlF·dS,∬ScurlF·dS ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਟੋਕਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ F=〈z,x,y〉F=〈z,x,y〉 ਅਤੇ S ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਸਤਹ ਹੈ। ਸੀਮਾ ਵਕਰ, C, ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਦੇਖਣ 'ਤੇ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਦਿਸ਼ਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।
6.75 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫CF·dr,∫CF·dr ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ F=〈xy,x2+y2+z2,yz〉F=〈xy,x2+y2+z2,yz〉 ਅਤੇ C ਸਿਖਰਾਂ (0,0,1),(0,1,0),(2,1,−2),(0,0,1),(0,1,0),(2,1,−2), ਅਤੇ (2,0,−1).(2,0,−1) ਵਾਲੇ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਸਿੱਧੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ ਕਰਨ, ਚਾਰ ਵੱਖਰੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ ਜੋੜਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਹ ਬਹੁਤ ਜਟਿਲ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਸਮਾਂ ਖਾਣ ਵਾਲਾ ਹੈ।
ਇਸ ਦੇ ਉਲਟ, ਆਓ ਸਟੋਕਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੀਏ। ਮੰਨ ਲਓ S ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀ ਸਤਹ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ S, z=1−x−yz=1−x−y ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਉਹ ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ (x,y)(x,y) xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਸਿਖਰਾਂ (0,0),(0,0), (0,1),(0,1), (2,0),(2,0), ਅਤੇ (2,1)(2,1) ਵਾਲੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, S ਦਾ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ 〈x,y,1−x−y〉,0≤x≤2,0≤y≤1.〈x,y,1−x−y〉,0≤x≤2,0≤y≤1 ਹੈ। F ਦਾ ਕਰਲ 〈−z,0,x〉,〈−z,0,x〉 ਹੈ, ਅਤੇ ਸਟੋਕਸ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ 6.19 ਦਿੰਦੇ ਹਨ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.63
ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫CF·dr,∫CF·dr ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਟੋਕਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ F=〈z,x,y〉F=〈z,x,y〉 ਅਤੇ C ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੈ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ (0,0,1),(3,0,−2),(0,0,1),(3,0,−2), ਅਤੇ (0,1,2).(0,1,2) ਵਾਲੇ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ।
ਵਕਰਤਾ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ
ਸਥਾਨਕ ਅਖੰਡਤਾ ਅਤੇ ਵਹਾਅ ਅਖੰਡਤਾ ਵਿਚਕਾਰ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਸਟੋਕਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸੀਂ ਸਿੱਖੀ ਹੋਈ ਵਕਰਤਾ ਦੀ ਭੌਤਿਕ ਵਿਆਖਿਆ ਨੂੰ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਵਕਰਤਾ ਅਤੇ ਚੱਕਰਣ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਬਿਜਲਈ ਖੇਤਰ ਦੀ ਵਕਰਤਾ ਨੂੰ ਚੁੰਬਕੀ ਖੇਤਰ ਦੇ ਬਦਲਣ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਜੋੜਨ ਵਾਲੇ ਬਿਜਲਈ ਅਤੇ ਚੁੰਬਕੀ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਿਯਮ, ਫੈਰਾਡੇ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਦੱਸਣ ਲਈ ਸਟੋਕਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇ C ਇੱਕ ਬੰਦ ਵਕਰ ਹੈ ਅਤੇ F C ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ C ਦੇ ਦੁਆਲੇ F ਦਾ ਚੱਕਰਣ ਸਥਾਨਕ ਅਖੰਡਤਾ ∫CF·dr.∫CF·dr. ਹੈ। ਜੇ F ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਤਰਲ ਦੇ ਵੇਗ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਚੱਕਰਣ ਤਰਲ ਦੀ C ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚੱਲਣ ਦੀ ਰੁਚੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ F ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਹੈ ਅਤੇ DrDr ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਡਿਸਕ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ r ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ P0P0 (ਚਿੱਤਰ 6.85) ਹੈ। ਜੇ DrDr ਕਾਫ਼ੀ ਛੋਟੀ ਹੈ, ਤਾਂ DrDr ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ P ਲਈ (curlF)(P)≈(curlF)(P0)(curlF)(P)≈(curlF)(P0) ਹੋਵੇਗਾ ਕਿਉਂਕਿ ਵਕਰਤਾ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ CrCr ਡਿਸਕ ਦੀ ਸੀਮਾ-ਵਕਰ ਹੈ। ਸਟੋਕਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੁਆਰਾ,
ਚਿੱਤਰ 6.85: ਡਿਸਕ DrDr ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਡਿਸਕ ਹੈ।
ਮਾਤਰਾ (curlF)(P0)·N(P0)(curlF)(P0)·N(P0) ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ
ਅਤੇ ਅਨੁਮਾਨ ਅਰਬਿਟ੍ਰਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨੇੜੇ ਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਸਿਫ਼ਰ ਤੱਕ ਸੁੰਗੜਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਟੋਕਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਦੀ ਵਕਰਤਾ ਨੂੰ ਚੱਕਰਣ ਨਾਲ ਜੋੜਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਡਿਸਕ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ πr2,πr2 ਹੈ, ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਵਕਰਤਾ ਨੂੰ (ਸੀਮਾ ਵਿੱਚ) ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਖੇਤਰਫਲ ਚੱਕਰਣ ਵਜੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇ F ਤਰਲ ਦਾ ਵੇਗ ਖੇਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਚੱਕਰਣ ∫CrF·dr=∫CrF·Tds∫CrF·dr=∫CrF·Tds Cr.Cr ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਤਰਲ ਦੇ ਚੱਲਣ ਦੀ ਰੁਚੀ ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ F·TF·T, T ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ F ਦਾ ਇੱਕ ਭਾਗ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਿੰਨਾ F ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ T ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੋਵੇਗੀ, F·TF·T ਦਾ ਮੁੱਲ ਓਨਾ ਹੀ ਵੱਡਾ ਹੋਵੇਗਾ (ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਜੇ a ਅਤੇ b ਵੈਕਟਰ ਹਨ ਅਤੇ b ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ a·ba·b ਉਦੋਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ a, b ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ)। ਇਸ ਲਈ, ਜੇ F ਤਰਲ ਦਾ ਵੇਗ ਖੇਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ curlF·NcurlF·N, ਇਹ ਮਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤਰਲ N ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਕਿਵੇਂ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ। ਵਕਰਤਾ ਦਾ ਪ੍ਰਭਾਵ ਉਸ ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ N ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ curlF·NcurlF·N ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਪ੍ਰਭਾਵ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਠੋਸ ਢੰਗ ਨਾਲ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ P0P0 (ਚਿੱਤਰ 6.86) ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਪੈਡਲਵ੍ਹੀਲ ਰੱਖਣ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ। ਪੈਡਲਵ੍ਹੀਲ ਆਪਣੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਗਤੀ ਉਦੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਪਹੀਏ ਦੀ ਧੁਰੀ curlF ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਵਕਰਤਾ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਨੂੰ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਸਿੱਖੀ ਹੈ: ਵਕਰਤਾ, ਸਧਾਰਨ ਵੈਕਟਰ N ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਇੱਕ ਮਾਪ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਟੋਕਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਇਸ ਵਿਆਖਿਆ ਨੂੰ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.86: ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਕਰਤਾ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਪੈਡਲਵ੍ਹੀਲ ਰੱਖਣ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਟੋਕਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਬਾਰੇ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਜ਼ਮ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਇਸਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਫੈਰਾਡੇ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੇ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਰੂਪਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨ ਲਈ ਸਟੋਕਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫੈਰਾਡੇ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੇ ਦੋ ਰੂਪਾਂ ਨੂੰ ਦੱਸਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਕੁਝ ਪਿਛੋਕੜ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ C ਇੱਕ ਬੰਦ ਵਕਰ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਪਤਲੇ ਤਾਰ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਬਿਜਲਈ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ, ਤਾਰ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਚਲ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਤਾਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ C(t)C(t) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ t 'ਤੇ, ਤਾਰ ਦੀ ਗਤੀ ਕਾਰਨ ਵਕਰ C(t)C(t) ਮੂਲ ਵਕਰ C ਤੋਂ ਵੱਖਰੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ C(t)C(t) ਸਾਰੇ ਸਮਿਆਂ t ਲਈ ਇੱਕ ਬੰਦ ਵਕਰ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ D(t)D(t) ਇੱਕ ਸਤ੍ਹਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਸੀਮਾ C(t)C(t) ਹੈ, ਅਤੇ C(t)C(t) ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਕਿ D(t)D(t) ਦੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਾਪਨਾ ਹੋਵੇ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ C(t)C(t) ਇੱਕ ਚੁੰਬਕੀ ਖੇਤਰ B(t)B(t) ਵਿੱਚ ਹੈ ਜੋ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲ ਵੀ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, B ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ P, Q, ਅਤੇ R ਸਾਰੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਨਿਰੰਤਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਬਦਲਦੇ ਖੇਤਰ B(t)B(t) ਦੁਆਰਾ ਤਾਰ ਦੇ ਨਾਲ ਕਰੰਟ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ (ਇਹ ਐਂਪੀਅਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ)। ਫਲੈਕਸ ϕ(t)=∬D(t)B(t)·dSϕ(t)=∬D(t)B(t)·dS ਬਿਜਲਈ ਖੇਤਰ E(t)E(t) ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਫੈਰਾਡੇ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦਾ ਅਖੰਡ ਰੂਪ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ
ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, E ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ਸੀਮਾ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਸਥਾਨਕ ਅਖੰਡਤਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸਮੇਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਫਲੈਕਸ ਦੇ ਬਦਲਣ ਦੀ ਦਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਵੀ ਹੈ। ਫੈਰਾਡੇ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦਾ ਵਿਭਿੰਨ ਰੂਪ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ
ਸਟੋਕਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੈਰਾਡੇ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦਾ ਵਿਭਿੰਨ ਰੂਪ ਅਖੰਡ ਰੂਪ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ। ਸਟੋਕਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੁਆਰਾ, ਅਸੀਂ ਅਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਥਾਨਕ ਅਖੰਡਤਾ ਨੂੰ ਸਤ੍ਹਾ ਅਖੰਡਤਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਕਿਉਂਕਿ ϕ(t)=∬D(t)B(t)·dS,ϕ(t)=∬D(t)B(t)·dS, ਇਸ ਲਈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਏਕੀਕਰਨ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਲਈ,
ਫੈਰਾਡੇ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦਾ ਵਿਭਿੰਨ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ curlE=−∂B∂t.curlE=−∂B∂t. ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਸਮੀਕਰਨ
curlE=−∂B∂t.curlE=−∂B∂t. ਦਾ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਣ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਖੰਡ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸਿਰਫ਼ "ਰੱਦ" ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇੰਟਿਗਰੈਂਡਾਂ ਦੀ ਸਮਾਨਤਾ ਬਚ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਖੰਡ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸਿਰਫ਼ ਰੱਦ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਦੋ ਇੱਕ-ਵਿਅੰਗ ਅਖੰਡ ∫01xdx∫01xdx ਅਤੇ ∫01f(x)dx,∫01f(x)dx 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ
Both of these integrals equal 12,12, so ∫01xdx=∫01f(x)dx.∫01xdx=∫01f(x)dx. However, x≠f(x).x≠f(x). Analogously, with our equation ∬D(t)−∂B∂t·dS=∬D(t)curlE·dS,∬D(t)−∂B∂t·dS=∬D(t)curlE·dS, we cannot simply conclude that curlE=−∂B∂tcurlE=−∂B∂t just because their integrals are equal. However, in our context, equation ∬D(t)−∂B∂t·dS=∬D(t)curlE·dS∬D(t)−∂B∂t·dS=∬D(t)curlE·dS is true for any region, however small (this is in contrast to the single-variable integrals just discussed). If F and G are three-dimensional vector fields such that ∬sF·dS=∬sG·dS∬sF·dS=∬sG·dS for any surface S, then it is possible to show that F=GF=G by shrinking the area of S to zero by taking a limit (the smaller the area of S, the closer the value of ∬sF·dS∬sF·dS to the value of F at a point inside S). Therefore, we can let area D(t)D(t) shrink to zero by taking a limit and obtain the differential form of Faraday’s law:
In the context of electric fields, the curl of the electric field can be interpreted as the negative of the rate of change of the corresponding magnetic field with respect to time.
Example 6.76
Using Faraday’s Law
Calculate the curl of electric field E if the corresponding magnetic field is constant field B(t)=〈1,−4,2〉.B(t)=〈1,−4,2〉.
Solution
Since the magnetic field does not change with respect to time, −∂B∂t=0.−∂B∂t=0. By Faraday’s law, the curl of the electric field is therefore also zero.
Analysis
A consequence of Faraday’s law is that the curl of the electric field corresponding to a constant magnetic field is always zero.
Checkpoint 6.64
Calculate the curl of electric field E if the corresponding magnetic field is B(t)=〈tx,ty,−2tz〉,0≤t<∞.B(t)=〈tx,ty,−2tz〉,0≤t<∞.
Notice that the curl of the electric field does not change over time, although the magnetic field does change over time.
For the following exercises, without using Stokes’ theorem, calculate directly both the flux of curlF·NcurlF·N over the given surface and the circulation integral around its boundary, assuming all boundaries have positive orientation.
F(x,y,z)=y2i+z2j+x2k;F(x,y,z)=y2i+z2j+x2k; S is the first-octant portion of plane x+y+z=1.x+y+z=1.
F(x,y,z)=zi+xj+yk;F(x,y,z)=zi+xj+yk; S is hemisphere z=(a2−x2−y2)1/2.z=(a2−x2−y2)1/2.
F(x,y,z)=y2i+2xj+5k;F(x,y,z)=y2i+2xj+5k; S is hemisphere z=(4−x2−y2)1/2.z=(4−x2−y2)1/2.
F(x,y,z)=zi+2xj+3yk;F(x,y,z)=zi+2xj+3yk; S is upper hemisphere z=9−x2−y2.z=9−x2−y2.
F(x,y,z)=(x+2z)i+(y−x)j+(z−y)k;F(x,y,z)=(x+2z)i+(y−x)j+(z−y)k; S is a triangular region with vertices (3, 0, 0), (0, 3/2, 0), and (0, 0, 3).
F(x,y,z)=2yi−6zj+3xk;F(x,y,z)=2yi−6zj+3xk; S is a portion of paraboloid z=4−x2−y2z=4−x2−y2 and is above the xy-plane.
For the following exercises, use Stokes’ theorem to evaluate ∬S(curlF·N)dS∬S(curlF·N)dS for the vector fields and surface.
F(x,y,z)=xyi−zjF(x,y,z)=xyi−zj and S is the surface of the cube 0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1,0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1, except for the face where z=0,z=0, and using the outward unit normal vector.
F(x,y,z)=xyi+x2j+z2k;F(x,y,z)=xyi+x2j+z2k; and S is the part of paraboloid z=x2+y2z=x2+y2 below plane z=y,z=y, and using the outward normal vector.
F(x,y,z)=4yi+zj+2ykF(x,y,z)=4yi+zj+2yk and S is the part of sphere x2+y2+z2=4x2+y2+z2=4 above plane z=0,z=0, and using the outward normal vector
Use Stokes’ theorem to evaluate ∫C[2xy2zdx+2x2yzdy+(x2y2−2z)dz],∫C[2xy2zdx+2x2yzdy+(x2y2−2z)dz], where C is the curve given by x=cost,y=sint,z=sint,0≤t≤2π,x=cost,y=sint,z=sint,0≤t≤2π, traversed in the direction of increasing t.
ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਲਜੈਬ੍ਰਿਕ ਸਿਸਟਮ (CAS) ਅਤੇ ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ∫C(ydx+zdy+xdz) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ, ਜਿੱਥੇ C ਸਮਤਲ x+y=2 ਅਤੇ ਸਤ੍ਹਾ x²+y²+z²=2(x+y) ਦਾ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਮੂਲ ਤੋਂ ਦੇਖਣ 'ਤੇ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਲਜੈਬ੍ਰਿਕ ਸਿਸਟਮ (CAS) ਅਤੇ ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ∫C(3ydx+2zdy−5xdz) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ, ਜਿੱਥੇ C xy-ਪਲੇਨ ਅਤੇ ਹੈਮੀਸਫੀਅਰ z=1−x²−y² ਦਾ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਉੱਪਰ ਤੋਂ ਦੇਖਣ 'ਤੇ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ—ਭਾਵ, ਪੋਜ਼ੀਟਿਵ z-ਐਕਸਿਸ ਤੋਂ xy-ਪਲੇਨ ਵੱਲ।
ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਲਜੈਬ੍ਰਿਕ ਸਿਸਟਮ (CAS) ਅਤੇ ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ∫C[(1+y)zdx+(1+z)xdy+(1+x)ydz] ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ, ਜਿੱਥੇ C ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ (1,0,0), (0,1,0), ਅਤੇ (0,0,1) ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∬ScurlF·dS ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ F(x,y,z)=exycoszi+x2zj+xyk ਹੈ, ਅਤੇ S ਗੋਲੇ x=1−y²−z² ਦਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਪੋਜ਼ੀਟਿਵ x-ਐਕਸਿਸ ਵੱਲ ਓਰੀਐਂਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਲਜੈਬ੍ਰਿਕ ਸਿਸਟਮ (CAS) ਅਤੇ ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∬S(curlF·N)dS ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ F(x,y,z)=x²yi+xy²j+z³k ਹੈ ਅਤੇ S ਪਲੇਨ 3x+2y+z=6 ਦੇ ਉਸ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਕਰਵ ਹੈ ਜੋ ਸਿਲੰਡਰ x²+y²=4 ਦੇ ਉੱਪਰ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਉੱਪਰ ਤੋਂ ਦੇਖਣ 'ਤੇ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਓਰੀਐਂਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਲਜੈਬ੍ਰਿਕ ਸਿਸਟਮ (CAS) ਅਤੇ ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∬ScurlF·dS ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ F(x,y,z)=(sin(y+z)−yx²/3−y³/3)i+xcos(y+z)j+cos(2y)k ਹੈ ਅਤੇ S ਘਣ ਜਿਸਦੇ ਬਿੰਦੂ (±1,±1,±1) ਹਨ, ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਅਤੇ ਚਾਰ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਪਰ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਨਹੀਂ, ਜਿਸਨੂੰ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਓਰੀਐਂਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਲਜੈਬ੍ਰਿਕ ਸਿਸਟਮ (CAS) ਅਤੇ ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∬ScurlF·dS ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ F(x,y,z)=z²i−3xyj+x³y³k ਹੈ ਅਤੇ S ਪਲੇਨ z=1 ਦੇ ਉੱਪਰ z=5−x²−y² ਦਾ ਉੱਪਰਲਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ, ਅਤੇ S ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਓਰੀਐਂਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∬S(curlF·N)dS ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ F(x,y,z)=z²i+y²j+xk ਹੈ ਅਤੇ S ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ (1, 0, 0), (0, 1, 0) ਅਤੇ (0, 0, 1) ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਓਰੀਐਂਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ∫C(zdx+xdy+ydz) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ C ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ (3, 0, 0), (0, 0, 2), ਅਤੇ (0, 6, 0) ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਚਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫C(12y²dx+zdy+xdz) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ C ਪਲੇਨ x+z=1 ਅਤੇ ਐਲਿਪਸੋਇਡ x²+2y²+z²=1 ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਕਰਵ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਮੂਲ ਤੋਂ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਓਰੀਐਂਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∬S(curlF·N)dS ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ F(x,y,z)=xi+y²j+zexyk ਹੈ ਅਤੇ S ਸਤ੍ਹਾ z=1−x²−2y² ਦਾ ਉਹ ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ z≥0 ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਓਰੀਐਂਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F(x,y,z)=zi+3xj+2zk ਲਈ ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∬S(curlF·N)dS ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ S ਸਤ੍ਹਾ z=1−x²−y² ਹੈ ਜਿੱਥੇ z≥0 ਹੈ, C ਬਾਉਂਡਰੀ ਸਰਕਲ x²+y²=1 ਹੈ, ਅਤੇ S ਨੂੰ ਪੋਜ਼ੀਟਿਵ z-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਓਰੀਐਂਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F(x,y,z)=−3/2y²i−2xyj+yzk ਲਈ ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∬S(curlF·N)dS ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ S ਪਲੇਨ x+y+z=1 ਦੀ ਉਹ ਸਤ੍ਹਾ ਹੈ ਜੋ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ (1, 0, 0), (0, 1, 0), ਅਤੇ (0, 0, 1) ਵਾਲੇ ਤਿਕੋਣ C ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਉੱਪਰ ਤੋਂ ਦੇਖਣ 'ਤੇ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਬੰਦ ਪਾਥ C ਜੋ ਪਲੇਨ 2x+2y+z=1 ਵਿੱਚ ਹੈ, xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ x²+y²=1 ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ c ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ ਅਤੇ R(x,y,z)=xi+yj+zk ਹੈ। ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫C(ck×R)·dr ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ C ਸਤ੍ਹਾ z=x²+y² ਦੀ ਬਾਉਂਡਰੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ 0≤x≤2 ਅਤੇ 0≤y≤1 ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਫੇਸਿੰਗ ਨੋਰਮਲ ਨਾਲ ਓਰੀਐਂਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ S ਹੈਮੀਸਫੀਅਰ x²+y²+z²=4 ਹੈ ਜਿੱਥੇ z≥0 ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਓਰੀਐਂਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ F(x,y,z)=x²eyzi+y²exzj+z²exyk ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ। ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∬ScurlF·dS ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਮੰਨ ਲਓ F(x,y,z)=xyi+(ez²+y)j+(x+y)k ਹੈ ਅਤੇ S ਫੰਕਸ਼ਨ y=x²/9+z²/9−1 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੈ ਜਿੱਥੇ y≤0 ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਓਰੀਐਂਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ S ਦਾ ਨੋਰਮਲ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕ ਪੋਜ਼ੀਟਿਵ j ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∬ScurlF·dS ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢੋ।
ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫CF·dr ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ F(x,y,z)=yi+zj+xk ਹੈ ਅਤੇ C ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ (0, 0, 0), (2, 0, 0) ਅਤੇ (0,−2,2) ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਉੱਪਰ ਤੋਂ ਦੇਖਣ 'ਤੇ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਓਰੀਐਂਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਸਰਫੇਸ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੀਲਡ F, F(x,y,z)=x²y³i+j+zk ਦੇ ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ C ਸਿਲੰਡਰ x²+y²=4 ਅਤੇ ਹੈਮੀਸਫੀਅਰ x²+y²+z²=16, z≥0 ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਉੱਪਰ ਤੋਂ ਦੇਖਣ 'ਤੇ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਓਰੀਐਂਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∬ScurlF·dS ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢੋ, ਜਿੱਥੇ F(x,y,z)=i+xy²j+xy²k ਹੈ ਅਤੇ S ਪਲੇਨ y+z=2 ਦਾ ਉਹ ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਜੋ ਸਿਲੰਡਰ x²+y²=1 ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਨੂੰ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਓਰੀਐਂਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∬ScurlF·dS ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ F(x,y,z)=−y²i+xj+z²k ਹੈ ਅਤੇ S ਪਲੇਨ x+y+z=1 ਦਾ ਉਹ ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਜੋ ਪਹਿਲੇ ਆਕਟੈਂਟ ਵਿੱਚ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਨੂੰ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਓਰੀਐਂਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ x≥0,y≥0,z≥0।
ਮੰਨ ਲਓ F(x,y,z)=xyi+2zj−2yk ਹੈ ਅਤੇ C ਪਲੇਨ x+z=5 ਅਤੇ ਸਿਲੰਡਰ x²+y²=9 ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਉੱਪਰ ਤੋਂ ਦੇਖਣ 'ਤੇ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਓਰੀਐਂਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ C ਉੱਤੇ F ਦਾ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ਕੱਢੋ।
ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਲਜੈਬ੍ਰਿਕ ਸਿਸਟਮ (CAS) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ F(x,y,z)=xy²i+(yz−x)j+eyxzk ਹੈ। ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘਣ [0,1]×[0,1]×[0,1] ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਹਿੱਸੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚੋਂ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ ਗਾਇਬ ਹੈ, ਦੇ ਸਰਫੇਸ ਇੰਟੈਗਰਲ ਆਫ ਕਰਲ F ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢੋ, ਜਿਸਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ ਓਰੀਐਂਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਐਲਿਪਸੋਇਡ x²/4+y²/9+z²=1 ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਓਰੀਐਂਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ F ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਨਿਰੰਤਰ ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹਨ। ∬Scurl F·dS ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢੋ।
Let S be the part of paraboloid z=9−x2−y2z=9−x2−y2 with z≥0z≥0 oriented upward. Verify Stokes’ theorem for vector field F(x,y,z)=3zi+4xj+2yk.F(x,y,z)=3zi+4xj+2yk.
[T] Use a CAS and Stokes’ theorem to evaluate ∫CF·dr∫CF·dr if F(x,y,z)=(3z−sinx)i+(x2+ey)j+(y3−cosz)k,F(x,y,z)=(3z−sinx)i+(x2+ey)j+(y3−cosz)k, where C is the curve given by x=cost,y=sint,z=1;0≤t≤2π.x=cost,y=sint,z=1;0≤t≤2π.
[T] Use a CAS and Stokes’ theorem to evaluate ∬ScurlF·dS,∬ScurlF·dS, where F(x,y,z)=2yi+ezj−arctanxkF(x,y,z)=2yi+ezj−arctanxk with S as a portion of paraboloid z=4−x2−y2z=4−x2−y2 cut off by the xy-plane oriented upward.
[T] Use a CAS to evaluate ∬ScurlF·dS,∬ScurlF·dS, where F(x,y,z)=2zi+3xj+5ykF(x,y,z)=2zi+3xj+5yk and S is the surface parametrically by r(r,θ)=rcosθi+rsinθj+(4−r2)kr(r,θ)=rcosθi+rsinθj+(4−r2)k (0≤θ≤2π,0≤r≤3).(0≤θ≤2π,0≤r≤3).
Let S be paraboloid z=a(1−x2−y2),z=a(1−x2−y2), for z≥0,z≥0, where a>0a>0 is a real number. Let F=〈x−y,y+z,z−x〉.F=〈x−y,y+z,z−x〉. For what value(s) of a (if any) does ∬Scurl F·dS∬Scurl F·dS have its maximum value?
For the following application exercises, the goal is to evaluate A=∬Scurl F·dSA=∬Scurl F·dS where F=〈xz,−xz,xy〉F=〈xz,−xz,xy〉 and S is the upper half of ellipsoid x2+y2+8z2=1,wherez≥0.x2+y2+8z2=1,wherez≥0.
Evaluate a surface integral over a more convenient surface to find the value of A.
Evaluate A using a line integral.
Take paraboloid z=x2+y2,z=x2+y2, for 0≤z≤4,0≤z≤4, and slice it with plane y=0.y=0. Let S be the surface that remains for y≥0,y≥0, including the planar surface in the xz-plane. Let C be the semicircle and line segment that bounded the cap of S in plane z=4z=4 with counterclockwise orientation. Let F=〈2z+y,2x+z,2y+x〉.F=〈2z+y,2x+z,2y+x〉. Evaluate ∬Scurl F·dS∬Scurl F·dS
For the following exercises, let S be the disk enclosed by curve
C:r(t)=〈cosφcost,sint,sinφcost〉,C:r(t)=〈cosφcost,sint,sinφcost〉, for 0≤t≤2π,0≤t≤2π, where 0≤φ≤π20≤φ≤π2 is a fixed angle.
What is the length of C in terms of φ?φ?
What is the circulation of C of vector field F=〈−y,−z,x〉F=〈−y,−z,x〉 as a function of φ?φ?
For what value of φφ is the circulation a maximum?
Circle C in plane x+y+z=8x+y+z=8 has radius 4 and center (2, 3, 3). Evaluate ∫CF·dr∫CF·dr for F=〈0,−z,2y〉,F=〈0,−z,2y〉, where C has a counterclockwise orientation when viewed from above.
Velocity field v=〈0,1−x2,0〉,v=〈0,1−x2,0〉, for |x|≤1and|z|≤1,|x|≤1and|z|≤1, represents a horizontal flow in the y-direction. Compute the curl of v in a clockwise rotation.
Evaluate integral ∬Scurl F·dS∬Scurl F·dS where F=−xzi+yzj+xyezkF=−xzi+yzj+xyezk and S is the cap of paraboloid z=5−x2−y2z=5−x2−y2 above plane z=3,z=3, and n points in the positive z-direction on S.
For the following exercises, use Stokes’ theorem to find the circulation of the following vector fields around any smooth, simple closed curve C.
F = ∇ ( x sin y e z ) F = ∇ ( x sin y e z )
F = 〈 y 2 z 3 , 2 x y z 3 , 3 x y 2 z 2 〉 F = 〈 y 2 z 3 , 2 x y z 3 , 3 x y 2 z 2 〉