ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਮਨੋਰਥ
6.8.1 ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਅਰਥ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
6.8.2 ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੇ ਫਲਕਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
6.8.3 ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਸਟੈਟਿਕ ਫੀਲਡ 'ਤੇ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਕਈ ਸੰਸਕਰਣਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਹੈ ਜੋ ਉੱਚੇ ਮਾਪਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਡੋਮੇਨ ਦੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਸੀਮਾ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਉਸ ਇਕਾਈ ਦੇ "ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ" ਨਾਲ ਜੋੜਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਥਿਊਰਮ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਅਸੀਂ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ। ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਉਪਯੋਗ ਹਨ; ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅੰਸ਼ਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਗਰਮੀ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਅਤੇ ਪੁੰਜ ਦੇ ਸੰਭਾਲ ਦੇ ਮਾਡਲਿੰਗ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਸਟੈਟਿਕ ਫੀਲਡਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮਾਂ ਦਾ ਸੰਖੇਪ
ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਜਿਸ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਸੰਸਕਰਣਾਂ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸੰਖੇਪ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੈ:
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਬੁਨਿਆਦੀ ਥਿਊਰਮ: ∫abf′(x)dx=f(b)−f(a)। ਇਹ ਥਿਊਰਮ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਲਾਈਨ ਸੈਗਮੈਂਟ [a,b] ਉੱਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f′ ਦਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਸੀਮਾ 'ਤੇ ਮੁੱਲ f ਦੇ ਅੰਤਰ ਨਾਲ ਜੋੜਦਾ ਹੈ।
ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਲਈ ਬੁਨਿਆਦੀ ਥਿਊਰਮ: ∫C∇f·dr=f(P1)−f(P0), ਜਿੱਥੇ P0, C ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ P1, C ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਲਈ ਬੁਨਿਆਦੀ ਥਿਊਰਮ ਪਾਥ C ਨੂੰ ਪਲੇਨ ਜਾਂ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਾਥ ਹੋਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਸਿਰਫ਼ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਸੈਗਮੈਂਟ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰੈਡੀਐਂਟ ਨੂੰ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵਜੋਂ ਸੋਚਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਥਿਊਰਮ ਪਾਥ C ਉੱਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ∇f ਦਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ C ਦੀ ਸੀਮਾ 'ਤੇ ਮੁੱਲ f ਦੇ ਅੰਤਰ ਨਾਲ ਜੋੜਦਾ ਹੈ।
ਗ੍ਰੀਨ ਦਾ ਥਿਊਰਮ, ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ਫਾਰਮ: ∬D(Qx−Py)dA=∫CF·dr। ਕਿਉਂਕਿ Qx−Py=curlF·k ਅਤੇ ਕਰਲ ਕਿਸੇ ਕਿਸਮ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ, ਗ੍ਰੀਨ ਦਾ ਥਿਊਰਮ ਪਲੈਨਰ ਰੀਜਨ D ਉੱਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕਰਲF ਦਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ D ਦੀ ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ F ਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨਾਲ ਜੋੜਦਾ ਹੈ।
ਗ੍ਰੀਨ ਦਾ ਥਿਊਰਮ, ਫਲਕਸ ਫਾਰਮ: ∬D(Px+Qy)dA=∫CF·Nds। ਕਿਉਂਕਿ Px+Qy=divF ਅਤੇ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਕਿਸੇ ਕਿਸਮ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ, ਗ੍ਰੀਨ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਫਲਕਸ ਫਾਰਮ ਪਲੈਨਰ ਰੀਜਨ D ਉੱਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ divF ਦਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ D ਦੀ ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ F ਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨਾਲ ਜੋੜਦਾ ਹੈ।
ਸਟੋਕਸ ਦਾ ਥਿਊਰਮ: ∬ScurlF·dS=∫CF·dr। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕਰਲ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਕਿਸਮ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵਜੋਂ ਸੋਚਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਟੋਕਸ ਦਾ ਥਿਊਰਮ ਸਤਹ S (ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕਿ ਪਲੈਨਰ) ਉੱਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕਰਲF ਦਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ S ਦੀ ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ F ਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨਾਲ ਜੋੜਦਾ ਹੈ।
ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਕਥਨ
ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਇਹਨਾਂ ਹੋਰ ਥਿਊਰਮਾਂ ਦੇ ਆਮ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਕਿਸਮ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵਜੋਂ ਸੋਚਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਇੱਕ ਸਾਲਿਡ ਉੱਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ divF ਦੇ ਟ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਸਾਲਿਡ ਦੀ ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ F ਦੇ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨਾਲ ਜੋੜਦਾ ਹੈ। ਵਧੇਰੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਇੱਕ ਬੰਦ ਸਤਹ S ਉੱਤੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F ਦੇ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ S ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਹੋਏ ਸਾਲਿਡ ਉੱਤੇ F ਦੇ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਦੇ ਟ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨਾਲ ਜੋੜਦਾ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 6.20
ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ
ਮੰਨ ਲਓ S ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਾਲਿਡ E ਨੂੰ ਘੇਰਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ-ਨਿਰਵਿਘਨ ਬੰਦ ਸਤਹ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ S ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਅਤੇ F ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਥਿਰ ਆਂਸ਼ਿਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹਨ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਜਿਸ ਵਿੱਚ E ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.87)। ਫਿਰ
ਚਿੱਤਰ 6.87: ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਇੱਕ ਬੰਦ ਸਤਹ S ਦੇ ਪਾਰ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਸਤਹ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਹੋਏ ਸਾਲਿਡ E ਉੱਤੇ ਟ੍ਰਿਪਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨਾਲ ਜੋੜਦਾ ਹੈ।
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰੀਨ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਫਲਕਸ ਫਾਰਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ∬DdivFdA=∫CF·Nds। ਇਸ ਲਈ, ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਇੱਕ ਉੱਚੇ ਮਾਪ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰੀਨ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਸਕਰਣ ਹੈ।
ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਸਬੂਤ ਇਸ ਪਾਠ ਦੇ ਦਾਇਰੇ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ ਸਬੂਤ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਸੱਚ ਹੋਣ ਦਾ ਇੱਕ ਆਮ ਅਹਿਸਾਸ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਠੋਰਤਾ ਨਾਲ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਇਹ ਵਿਆਖਿਆ ਸਟੋਕਸ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਸੱਚ ਹੋਣ ਦੇ ਕਾਰਨ ਲਈ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ ਵਿਆਖਿਆ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਸਬੂਤ
ਮੰਨ ਲਓ E ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਬਾਕਸ B ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਪਾਸੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 6.88)। ਮੰਨ ਲਓ B ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ (x,y,z) ਹਨ ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕਿਨਾਰੇ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ Δx, Δy, ਅਤੇ Δz ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 6.88(b))। ਬਾਕਸ ਦੇ ਉੱਪਰ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਆਉਣ ਵਾਲਾ ਨਾਰਮਲ ਵੈਕਟਰ k ਹੈ ਅਤੇ ਬਾਕਸ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਆਉਣ ਵਾਲਾ ਨਾਰਮਲ ਵੈਕਟਰ −k ਹੈ। k ਨਾਲ F=〈P,Q,R〉 ਦਾ ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ R ਹੈ ਅਤੇ −k ਨਾਲ ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ −R ਹੈ। ਬਾਕਸ ਦੇ ਉੱਪਰ (ਅਤੇ ਬਾਕਸ ਦੇ ਹੇਠਾਂ) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ΔS, ΔxΔy ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.88: (a) ਸਤਹ E ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਬਾਕਸ B ਦੇ ਪਾਸੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹਨ। (b) ਬਾਕਸ B ਦੀਆਂ ਕਿਨਾਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ Δx, Δy, ਅਤੇ Δz ਹਨ (c) ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ B ਦਾ ਸਾਈਡ ਵਿਊ ਦੇਖੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ (x,y,z) ਬਾਕਸ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਹੈ, ਬਾਕਸ ਦੇ ਉੱਪਰ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ (x,y,z) ਤੋਂ Δz/2 ਦੀ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦੂਰੀ ਉੱਪਰ ਜਾਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਬਾਕਸ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ (x,y,z) ਤੋਂ Δz/2 ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੇਠਾਂ ਜਾਣੀ ਪੈਂਦਾ ਹੈ।
ਬਾਕਸ ਦੇ ਉੱਪਰ ਤੋਂ ਫਲਕਸ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ R(x,y,z+Δz2)ΔxΔy (ਚਿੱਤਰ 6.88(c)) ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਬਾਕਸ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ ਫਲਕਸ −R(x,y,z−Δz2)ΔxΔy ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ΔR ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਨੈੱਟ ਫਲਕਸ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ΔRΔxΔy ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ,
ਇਸ ਲਈ, ਲੰਬਕਾਰੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਪ੍ਰਵਾਹ ਨੂੰ (∂R/∂z)ΔV ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, x-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਪ੍ਰਵਾਹ ਨੂੰ (∂P/∂x)ΔV ਦੁਆਰਾ ਅਤੇ y-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਪ੍ਰਵਾਹ ਨੂੰ (∂Q/∂y)ΔV ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਤਿੰਨਾਂ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਵਾਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਬਾਕਸ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁੱਲ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਅਨੁਮਾਨ ਬਾਕਸ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਜ਼ੀਰੋ ਤੱਕ ਸੁੰਗੜਨ 'ਤੇ ਕੁੱਲ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬੇਅੰਤ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
E ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਛੋਟੇ ਬਕਸਿਆਂ ਉੱਤੇ divFΔV ਦਾ ਜੋੜ ∭E divF dV ਦੇ ਲਗਭਗ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, E ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਛੋਟੇ ਬਕਸਿਆਂ ਉੱਤੇ divFΔV ਦਾ ਜੋੜ ਇਹਨਾਂ ਸਾਰੇ ਬਕਸਿਆਂ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਵਾਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ। ਸਟੋਕਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ ਸਬੂਤ ਵਾਂਗ, ਸਾਰੇ ਬਕਸਿਆਂ ਉੱਤੇ ਇਹਨਾਂ ਪ੍ਰਵਾਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਰੱਦ ਹੋਣਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਬਾਕਸ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਬਾਕਸ ਨਾਲ ਕੋਈ ਫਲਕ ਸਾਂਝਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਫਲਕ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਨਾਲ ਲੱਗਦੇ ਬਾਕਸ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਫਲਕ ਦੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੋ ਇੰਟੀਗਰਲ ਰੱਦ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਸਾਰੇ ਪ੍ਰਵਾਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਿਰਫ਼ ਉਹੀ ਪ੍ਰਵਾਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਬਚਦੇ ਹਨ ਜੋ E ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਾਲੇ ਫਲਕਾਂ ਉੱਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਬਕਸਿਆਂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਜ਼ੀਰੋ ਤੱਕ ਸੁੰਗੜਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਅਨੁਮਾਨ S ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੇ ਬੇਅੰਤ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
□
ਉਦਾਹਰਨ 6.77
ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ
ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F=⟨x−y,x+z,z−y⟩ ਅਤੇ ਸਤਹ S ਲਈ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਜੋ ਸ਼ੰਕੂ x²+y²=z², 0≤z≤1, ਅਤੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਚੱਕਰੀ ਸਿਖਰ (ਅਗਲੀ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ) ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇਹ ਸਤਹ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ E ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਠੋਸ ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਜੋ S ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ∭E divF dV = ∬S F·dS ਹਰੇਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ।
ਤ੍ਰਿਗੁਣ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ divF = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z = 2, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਤ੍ਰਿਗੁਣ ਇੰਟੀਗਰਲ ਹੈ
ਇੱਕ ਸਿੱਧੇ ਚੱਕਰੀ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਆਇਤਨ πr²h/3 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, h=r=1। ਇਸ ਲਈ,
ਫਲਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ S ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਮਤਲ ਹੈ; S ਨੂੰ ਸਮਤਲ ਸਤਹਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫਲਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਦੋ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ: ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਚੱਕਰੀ ਸਿਖਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਫਲਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਅਤੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਫਲਕ ਇੰਟੀਗਰਲ। ਚੱਕਰੀ ਸਿਖਰ ਨੂੰ S₁ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ S₂ ਕਹੋ। ਅਸੀਂ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਚੱਕਰੀ ਸਿਖਰ ਉੱਤੇ ਫਲਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ S₁ ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ
ਫਿਰ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ tu = ⟨cosv, sinv, 0⟩ ਅਤੇ tv = ⟨−u sinv, u cosv, 0⟩ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, S₁ ਉੱਤੇ ਫਲਕ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ S₂ ਉੱਤੇ ਫਲਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਸਤਹ ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ
ਟੈਂਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ tu = ⟨cosv, sinv, 1⟩ ਅਤੇ tv = ⟨−u sinv, u cosv, 0⟩ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਕਰਾਸ ਉਤਪਾਦ ਹੈ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ x ਅਤੇ y ਭਾਗਾਂ ਉੱਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਨੂੰ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਤਹ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਫਲਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ tv × tu = ⟨u cosv, u sinv, −u⟩ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ S₂ ਉੱਤੇ ਫਲਕ ਹੈ
S ਉੱਤੇ ਕੁੱਲ ਫਲਕ ਹੈ
ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕੀਤੀ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.65
ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F(x,y,z)=⟨x+y+z,y,2x−y⟩ ਅਤੇ ਸਤਹ S ਲਈ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਜੋ ਸਿਲੰਡਰ x²+y²=1, 0≤z≤3, ਅਤੇ ਸਿਲੰਡਰ ਦੇ ਚੱਕਰੀ ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਤਲ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ S ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਹੈ।
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂ P ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਫੀਲਡ F ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ, P ਉੱਤੇ ਫੀਲਡ ਦੇ "ਬਾਹਰ ਵਹਿਣ-ਪਨ" ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ। ਜੇਕਰ F ਕਿਸੇ ਤਰਲ ਦੇ ਵੇਗ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵਹਿਣ ਦੀ ਦਰ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਆਇਤਨ ਘਟਾਓ ਬਾਹਰ ਵਹਿਣ ਦੀ ਦਰ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਆਇਤਨ ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਇਸ ਵਿਆਖਿਆ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ P ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ Br, P ਉੱਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ r ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.89)। ਮੰਨ ਲਓ Sr, Br ਦੀ ਸੀਮਾ ਗੋਲਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਛੋਟਾ ਹੈ ਅਤੇ F ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਗੇਂਦ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ Q ਲਈ divF(Q) ≈ divF(P)। ਇਸ ਲਈ, Sr ਉੱਤੇ ਫਲਕ ਨੂੰ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਕਿਉਂਕਿ divF(P) ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ,
ਇਸ ਲਈ, ਫਲਕ ∬Sr F·dS ਨੂੰ divF(P) V(Br) ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਅਨੁਮਾਨ ਬਿਹਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਜ਼ੀਰੋ ਤੱਕ ਸੁੰਗੜਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ P ਉੱਤੇ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ, ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਆਇਤਨ ਤਰਲ ਦਾ ਸ਼ੁੱਧ ਬਾਹਰ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਫਲਕ ਦਰ ਹੈ।
6.89: ਛੋਟੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ r ਵਾਲੀ ਗੇਂਦ BrBr, ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ P 'ਤੇ ਹੈ।
ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਬੰਦ ਸਤ੍ਹਾ S ਦੇ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਅਤੇ S ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਤੀਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਿਚਕਾਰ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਥਿਊਰਮ ਸਾਨੂੰ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਜਾਂ ਤੀਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਤੀਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਕੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.78
ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਸਤ੍ਹਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ∬SF·dS, ਜਿੱਥੇ S ਸਿਲੰਡਰ x2+y2=1,0≤z≤2 ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਗੋਲਾਕਾਰ ਉੱਪਰਲਾ ਅਤੇ ਹੇਠਲਾ ਹਿੱਸਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਅਤੇ F=〈x33+yz,y33−sin(xz),z−x−y〉।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਇਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਗਣਨਾ ਸਿੱਧੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਨੂੰ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵੱਖਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ ਪਵੇਗਾ: ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਲਈ, ਇੱਕ ਹੇਠਲੇ ਹਿੱਸੇ ਲਈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਲਈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਹਰੇਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਈ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਤ੍ਹਾ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰਨ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ, ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ 6.19 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ।
ਇਸ ਦੇ ਉਲਟ, ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਸਾਨੂੰ ਸਿੰਗਲ ਤੀਹਰੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ∭EdivFdV ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ E ਸਿਲੰਡਰ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰਿਆ ਗਿਆ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਹੈ। ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.66
ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ∬SF·dS ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ S ਬਾਕਸ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ ਜੋ 0≤x≤2,1≤y≤4,0≤z≤1 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ F=〈x2+yz,y-z,2x+2y+2z〉 (ਅਗਲੀ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)।
ਉਦਾਹਰਨ 6.79
ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ v=〈−yz,xz,0〉 ਇੱਕ ਤਰਲ ਦਾ ਵੇਗ ਖੇਤਰ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ C 1≤x≤4,2≤y≤5,1≤z≤4 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਠੋਸ ਕਿਊਬ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ S ਇਸ ਕਿਊਬ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ (ਅਗਲੀ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)। S ਦੇ ਪਾਰ ਤਰਲ ਦੀ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦਰ ਲੱਭੋ।
6.90: ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ v=〈−yz,xz,0〉।
ਹੱਲ
S ਦੇ ਪਾਰ ਤਰਲ ਦੀ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦਰ ∬Sv·dS ਹੈ। ਇਸ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਚਰਚਾ ਕਰੀਏ ਕਿ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੀ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 6.90 ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਕਿਊਬ ਨੂੰ ਤਰਲ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ (ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕਿਊਬ ਮੂਲ ਨੂੰ ਘੇਰਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ), ਤਾਂ ਕਿਊਬ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਤਰਲ ਦੀ ਦਰ ਕਿਊਬ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲਣ ਵਾਲੇ ਤਰਲ ਦੀ ਦਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨਲ ਸੁਭਾਅ ਦਾ ਹੈ ਅਤੇ, z-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਵਾਲੇ xy-ਪਲੇਨ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚੱਕਰ ਲਈ, ਉਸ ਚੱਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ ਸਾਰੇ ਇੱਕੋ ਮਾਪ ਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦਰ ਕਿਊਬ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਹੋਣ ਅਤੇ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਕਿਊਬ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਵਾਹ ਕਿਊਬ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਪ੍ਰਵਾਹ ਨਾਲ ਰੱਦ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਕਿਊਬ ਦੇ ਪਾਰ ਤਰਲ ਦੀ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦਰ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਇਸ ਅਨੁਭੂਤੀ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਸਿੱਧੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਛੇ ਵੱਖਰੇ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਹਰ ਇੱਕ ਕਿਊਬ ਦੇ ਹਰੇਕ ਚਿਹਰੇ ਲਈ। ਸਾਨੂੰ ਟੈਂਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ, ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ 6.19 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਵੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਨਾਲ ਇਹ ਗਣਨਾ ਬਹੁਤ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:
ਇਸ ਲਈ ਫਲਕਸ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.67
ਮੰਨ ਲਓ v=〈xz,yz,0〉 ਇੱਕ ਤਰਲ ਦਾ ਵੇਗ ਖੇਤਰ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ C 1≤x≤4,2≤y≤5,1≤z≤4 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਠੋਸ ਕਿਊਬ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ S ਇਸ ਕਿਊਬ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ (ਅਗਲੀ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)। S ਦੇ ਪਾਰ ਤਰਲ ਦੀ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦਰ ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.79 ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਇੱਕ ਕਮਾਲ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ S ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ-ਟੁਕੜਿਆਂ, ਨਿਰਵਿਘਨ ਬੰਦ ਸਤ੍ਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ F ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ ਜੋ S ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ F ਦਾ ਰੂਪ F=〈f(y,z),g(x,z),h(x,y)〉 ਹੈ, ਤਾਂ F ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ, S ਦੇ ਪਾਰ F ਦਾ ਫਲਕਸ ਵੀ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕੁਝ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਨੂੰ ਅਵਿਸ਼ਵਾਸ਼ਯੋਗ ਤੌਰ 'ਤੇ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ∬SF·dS ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ S ਇੱਕ ਕਿਊਬ ਹੈ ਅਤੇ
ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਇਆਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਪੜ੍ਹੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਸਿੱਧੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਮੁਸ਼ਕਲ, ਜੇ ਅਸੰਭਵ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਹੋਵੇਗਾ। ਘੱਟੋ-ਘੱਟ, ਸਾਨੂੰ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਕਿਊਬ ਦੇ ਹਰੇਕ ਚਿਹਰੇ ਲਈ ਇੱਕ, ਛੇ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਪਰ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਖੇਤਰ ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ, ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਤੁਰੰਤ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਦੀ ਭੌਤਿਕ ਵਿਆਖਿਆ ਨੂੰ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਬਾਰੇ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ F ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ ਅਤੇ P, F ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਤਾਂ P 'ਤੇ F ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ P 'ਤੇ F ਦੇ "ਬਾਹਰ ਨਿਕਲਣ-ਪਨ" ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ। ਜੇਕਰ F ਇੱਕ ਤਰਲ ਦੇ ਵੇਗ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ P 'ਤੇ F ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ P ਤੋਂ ਸ਼ੁੱਧ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦਰ ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ (P ਤੋਂ ਤਰਲ ਦਾ ਪ੍ਰਵਾਹ ਘਟਾਓ P ਵਿੱਚ ਤਰਲ ਦਾ ਪ੍ਰਵਾਹ)। ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਇਸ ਵਿਆਖਿਆ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਮੰਨ ਲਓ BrBr, ਬਹੁਤ ਛੋਟੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ r ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ P ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ BrBr, F ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ BrBr ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ, ਬਾਹਰੀ ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ BrBr ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਛੋਟਾ ਹੈ ਅਤੇ F ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, Br 'ਤੇ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਲਗਭਗ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਭਾਵ, ਜੇਕਰ P′, Br ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਤਾਂ divF(P)≈divF(P′)। ਮੰਨ ਲਓ SrSr, Br ਦੀ ਸੀਮਾ ਗੋਲਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ Sr ਦੇ ਪਾਰ ਫਲਕਸ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਸੀਮਾ ਰਾਹੀਂ ਘੇਰਾ r ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਤੱਕ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, divF(P)V(Br)divF(P)V(Br) ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਅਤੇ ਅਸੀਂ P 'ਤੇ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਨੂੰ P 'ਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਆਇਤਨ ਬਾਹਰ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੀ ਨੈੱਟ ਦਰ ਵਜੋਂ ਮਾਪਣ ਲਈ ਵਿਚਾਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ "ਬਾਹਰ ਜਾਣ ਵਾਲਾ-ਪਨ" ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਆਇਤਨ ਬਾਹਰ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੀ ਨੈੱਟ ਦਰ ਲਈ ਇੱਕ ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ ਸ਼ਬਦ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਦੀ ਭੌਤਿਕ ਵਿਆਖਿਆ ਨੂੰ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾਇਆ ਹੈ ਜਿਸ ਬਾਰੇ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸੀ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਜਾਇਜ਼ਤਾ ਨੂੰ ਦੇਣ ਲਈ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ।
ਇਲੈਕਟਰੋਸਟੈਟਿਕ ਖੇਤਰਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ
ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਉਪਯੋਗ ਹਨ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਭੌਤਿਕ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਰੂਪ ਅਤੇ ਇੱਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਰੂਪ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ (ਬਿਲਕੁਲ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਸਟੋਕਸ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਨੇ ਸਾਨੂੰ ਫੈਰਾਡੇ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਦੇ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਅਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਰੂਪ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੱਤੀ ਸੀ)। ਤਰਲ ਗਤੀ ਵਿਗਿਆਨ, ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੇਟਿਜ਼ਮ, ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਰਗੇ ਅਧਿਐਨ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ ਜੋ ਪੁੰਜ, ਗਤੀ, ਜਾਂ ਊਰਜਾ ਦੇ ਸੰਭਾਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਸਾਨੂੰ ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਅਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਰੂਪਾਂ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਦੇਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਇਲੈਕਟਰੋਸਟੈਟਿਕ ਖੇਤਰਾਂ ਲਈ ਹੈ। ਇਸ ਵਿਸ਼ੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਤੀਜਾ ਗੌਸ ਦਾ ਕਾਨੂੰਨ ਹੈ। ਇਹ ਕਾਨੂੰਨ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ S ਇਲੈਕਟਰੋਸਟੈਟਿਕ ਖੇਤਰ E ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬੰਦ ਸਤ੍ਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ S ਦੇ ਪਾਰ E ਦਾ ਪ੍ਰਵਾਹ S ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੀ ਗਈ ਕੁੱਲ ਚਾਰਜ ਹੈ (ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਹੋਇਆ)। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਸ ਕਾਨੂੰਨ ਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਨੂੰ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾਉਣ ਲਈ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਲੈਕਟਰੋਸਟੈਟਿਕ ਖੇਤਰ ਮੂਲ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਬਿੰਦੂ ਚਾਰਜ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ (x,y,z)(x,y,z) ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਤਾਂ ਮੂਲ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ r=x2+y2+z2.r=x2+y2+z2 ਹੈ। FrFr ਨੂੰ ਰੇਡੀਅਲ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ Fr=1r2〈xr,yr,zr〉.Fr=1r2〈xr,yr,zr〉 ਨਾਲ ਦਰਸਾਈਏ। ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਵੈਕਟਰ ਇਕਾਈ ਰੇਡੀਅਲ ਵੈਕਟਰ 〈xr,yr,zr〉〈xr,yr,zr〉 ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 1/r2.1/r2 ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨਾਲ ਸਕੇਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਮੂਲ ਤੋਂ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਵਰਗ ਦੇ ਉਲਟ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਮੂਲ 'ਤੇ q ਕੁਲੌਂਬ ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਚਾਰਜ ਹੈ, ਜੋ ਵੈਕਿਊਮ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਹੈ। ਚਾਰਜ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਸਟੈਟਿਕ ਖੇਤਰ E ਤਿਆਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਜਿੱਥੇ ε0=8.854×10−12ε0=8.854×10−12 ਫੈਰਡ (F)/m ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ। (ε0ε0 ਸਥਿਰਾਂਕ ਵੈਕਿਊਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਖੇਤਰ ਬਣਾਉਣ ਵੇਲੇ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਵਿਰੋਧ ਦਾ ਇੱਕ ਮਾਪ ਹੈ।) ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ E ਇੱਕ ਰੇਡੀਅਲ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ ਜੋ ਉਦਾਹਰਨ 6.6 ਵਿੱਚ ਵਰਣਿਤ ਗੁਰੂਤਾ ਖੇਤਰ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਅੰਤਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਖੇਤਰ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ ਗੁਰੂਤਾ ਖੇਤਰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ
ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਲੈਕਟਰੋਸਟੈਟਿਕ ਖੇਤਰ ਉਲਟ-ਵਰਗ ਕਾਨੂੰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਭਾਵ, ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਇਲੈਕਟਰੋਸਟੈਟਿਕ ਬਲ ਚਾਰਜ ਦੇ ਸਰੋਤ (ਜੋ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਮੂਲ 'ਤੇ ਹੈ) ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਦੇ ਵਰਗ ਦੇ ਉਲਟ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬੰਦ ਸਤ੍ਹਾ S ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਵਾਹ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਚਾਰਜ S ਦੇ ਬਾਹਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਵਾਹ q/ε0q/ε0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਚਾਰਜ S ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, S ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਵਾਹ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਅੰਦਰ ਚਾਰਜ ਹੈ ਜੋ ਸਥਿਰ ε0.ε0 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਗੌਸ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਨੂੰ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾਉਣ ਲਈ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਿ S ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਵਾਹ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਅੰਦਰ ਚਾਰਜ ਹੈ ਜੋ ਸਥਿਰ ε0,ε0 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ FrFr ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮਤਲ ਸਤ੍ਹਾ S ਦੇ ਪਾਰ FrFr ਦਾ ਪ੍ਰਵਾਹ ਜਾਂ ਤਾਂ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ ਜਾਂ 4π.4π। ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਗੌਸ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਦੇ ਇਸ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਨੂੰ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.80
FrFr ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ
ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿ FrFr ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ ਜਿੱਥੇ FrFr ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ (ਮੂਲ ਤੋਂ ਦੂਰ)।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ r=x2+y2+z2,r=x2+y2+z2, ਭਾਗ ਨਿਯਮ ਸਾਨੂੰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਇਸ ਲਈ,
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਉਂਕਿ FrFr ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ ਅਤੇ E ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਦੁਆਰਾ ਸਕੇਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ FrFr ਹੈ, ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਸਟੈਟਿਕ ਖੇਤਰ E ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਵੀ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ (ਮੂਲ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ)।
ਥਿਊਰਮ 6.21
ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਵਾਹ
ਮੰਨ ਲਓ S ਇੱਕ ਜੁੜੀ ਹੋਈ, ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਮਤਲ ਬੰਦ ਸਤ੍ਹਾ ਹੈ ਅਤੇ Fr=1r2〈xr,yr,zr〉.Fr=1r2〈xr,yr,zr〉 ਹੈ। ਫਿਰ,
ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਥਿਊਰਮ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਮਤਲ ਬੰਦ ਸਤ੍ਹਾ S ਦੇ ਪਾਰ FrFr ਦਾ ਪ੍ਰਵਾਹ ਸਿਰਫ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਮੂਲ S ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
ਸਬੂਤ
ਇਸ ਸਬੂਤ ਦਾ ਤਰਕ ਉਦਾਹਰਨ 6.46 ਦੇ ਤਰਕ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਸਿਰਫ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰੀਨ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਬਜਾਏ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ S ਮੂਲ ਨੂੰ ਘੇਰਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, S ਦੁਆਰਾ ਘੇਰਿਆ ਗਿਆ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ FrFr ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ FrFr ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਤੁਰੰਤ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਪਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ∬SF·dS∬SF·dS ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ।
Now suppose that S does encompass the origin. We cannot just use the divergence theorem to calculate the flux, because the field is not defined at the origin. Let SaSa be a sphere of radius a inside of S centered at the origin. The outward normal vector field on the sphere, in spherical coordinates, is
(see Example 6.64). Therefore, on the surface of the sphere, the dot product Fr·NFr·N (in spherical coordinates) is
The flux of FrFr across SaSa is
Now, remember that we are interested in the flux across S, not necessarily the flux across Sa.Sa. To calculate the flux across S, let E be the solid between surfaces SaSa and S. Then, the boundary of E consists of SaSa and S. Denote this boundary by S−SaS−Sa to indicate that S is oriented outward but now SaSa is oriented inward. We would like to apply the divergence theorem to solid E. Notice that the divergence theorem, as stated, can’t handle a solid such as E because E has a hole. However, the divergence theorem can be extended to handle solids with holes, just as Green’s theorem can be extended to handle regions with holes. This allows us to use the divergence theorem in the following way. By the divergence theorem,
Therefore,
and we have our desired result.
□
Now we return to calculating the flux across a smooth surface in the context of electrostatic field E=q4πε0FrE=q4πε0Fr of a point charge at the origin. Let S be a piecewise smooth closed surface that encompasses the origin. Then
If S does not encompass the origin, then
Therefore, we have justified the claim that we set out to justify: the flux across closed surface S is zero if the charge is outside of S, and the flux is q/ε0q/ε0 if the charge is inside of S.
This analysis works only if there is a single point charge at the origin. In this case, Gauss’ law says that the flux of E across S is the total charge enclosed by S. Gauss’ law can be extended to handle multiple charged solids in space, not just a single point charge at the origin. The logic is similar to the previous analysis, but beyond the scope of this text. In full generality, Gauss’ law states that if S is a piecewise smooth closed surface and Q is the total amount of charge inside of S, then the flux of E across S is Q/ε0.Q/ε0.
Example 6.81
Using Gauss’ law
Suppose we have four stationary point charges in space, all with a charge of 0.002 Coulombs (C). The charges are located at (0,1,1),(1,1,4),(−1,0,0),and(−2,−2,2).(0,1,1),(1,1,4),(−1,0,0),and(−2,−2,2). Let E denote the electrostatic field generated by these point charges. If S is the sphere of radius 2 oriented outward and centered at the origin, then find ∬SE·dS.∬SE·dS.
Solution
According to Gauss’ law, the flux of E across S is the total charge inside of S divided by the electric constant. Since S has radius 2, notice that only two of the charges are inside of S: the charge at (0,1,1)(0,1,1) and the charge at (−1,0,0).(−1,0,0). Therefore, the total charge encompassed by S is 0.004 and, by Gauss’ law,
Checkpoint 6.68
Work the previous example for surface S that is a sphere of radius 4 centered at the origin, oriented outward.
For the following exercises, use a computer algebraic system (CAS) and the divergence theorem to evaluate surface integral ∬SF·Nds∬SF·Nds for the given choice of F and the boundary surface S. For each closed surface, assume N is the outward unit normal vector.
[T] F(x,y,z)=xi+yj+zk;F(x,y,z)=xi+yj+zk; S is the surface of cube 0≤x≤1,0≤y≤1,0<z≤1.0≤x≤1,0≤y≤1,0<z≤1.
[T] F(x,y,z)=(cosyz)i+exzj+3z2k;F(x,y,z)=(cosyz)i+exzj+3z2k; S is the surface of hemisphere z=4−x2−y2z=4−x2−y2 together with disk x2+y2≤4x2+y2≤4 in the xy-plane.
[T] F(x,y,z)=(x2+y2−x2)i+x2yj+3zk;SF(x,y,z)=(x2+y2−x2)i+x2yj+3zk;S is the surface of the unit cube 0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤10≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1 excluding the face z=0z=0.
[T] F(x,y,z)=xi+yj+zk;F(x,y,z)=xi+yj+zk; S is the surface of the solid bounded by the parabola z=x2+y2z=x2+y2 and the plane z=9z=9.
[T] F(x,y,z)=x2i+y2j+z2k;F(x,y,z)=x2i+y2j+z2k; S is the surface of sphere x2+y2+z2=4.x2+y2+z2=4.
[T] F(x,y,z)=xi+yj+(z2−1)k;F(x,y,z)=xi+yj+(z2−1)k; S is the surface of the solid bounded by cylinder x2+y2=4x2+y2=4 and planes z=0andz=1.z=0andz=1.
[T] F(x,y,z)=xy2i+yz2j+x2zk;F(x,y,z)=xy2i+yz2j+x2zk; S is the surface of the solid bounded above by sphere ρ=2ρ=2 and below by cone φ=π4φ=π4 in spherical coordinates. (Think of S as the surface of an “ice cream cone.”)
[T] F(x,y,z)=x3i+y3j+3a2zk(constanta>0);F(x,y,z)=x3i+y3j+3a2zk(constanta>0); S is the surface of the solid bounded by cylinder x2+y2=a2x2+y2=a2 and planes z=0andz=1.z=0andz=1.
[T] Surface integral ∬SF·dS,∬SF·dS, where S is the surface of the solid bounded by paraboloid z=x2+y2z=x2+y2 and plane z=4,z=4, and F(x,y,z)=(x+y2z2)i+(y+z2x2)j+(z+x2y2)kF(x,y,z)=(x+y2z2)i+(y+z2x2)j+(z+x2y2)k
Use the divergence theorem to calculate surface integral ∬SF·dS,∬SF·dS, where F(x,y,z)=(ey2)i+(y+sin(z2))j+(z−1)kF(x,y,z)=(ey2)i+(y+sin(z2))j+(z−1)k and S is the surface of the solid bounded by the sphere x2+y2+z2=1,x2+y2+z2=1, and below by the plane z=0z=0.
Use the divergence theorem to calculate surface integral ∬SF·ds,∬SF·ds, where F(x,y,z)=x4i−x3z2j+4xy2zkF(x,y,z)=x4i−x3z2j+4xy2zk and SS is the surface bounded by cylinder x2+y2=1x2+y2=1 and planes z=x+2z=x+2 and z=0.z=0.
Use the divergence theorem to calculate surface integral ∬SF·dS∬SF·dS when F(x,y,z)=x2z3i+2xyz3j+xz4kF(x,y,z)=x2z3i+2xyz3j+xz4k and S is the surface of the box with vertices (±1,±2,±3).(±1,±2,±3).
Use the divergence theorem to calculate surface integral ∬SF·dS∬SF·dS when F(x,y,z)=ztan−1(y2)i+z3ln(x2+1)j+zkF(x,y,z)=ztan−1(y2)i+z3ln(x2+1)j+zk and S is the surface of the solid bounded by the paraboloid x2+y2+z=2x2+y2+z=2 and the plane z=1z=1.
[T] Use a CAS and the divergence theorem to calculate flux ∬SF·dS,∬SF·dS, where F(x,y,z)=(x3+y3)i+(y3+z3)j+(z3+x3)kF(x,y,z)=(x3+y3)i+(y3+z3)j+(z3+x3)k and S is a sphere with center (0, 0, 0) and radius 2.
Use the divergence theorem to compute the value of flux integral ∬SF·dS,∬SF·dS, where F(x,y,z)=(y3+3x)i+(xz+y)j+[z+x4cos(x2y)]kF(x,y,z)=(y3+3x)i+(xz+y)j+[z+x4cos(x2y)]k and S is the surface of the solid bounded by x2+y2=1,x≥0,y≥0,and0≤z≤1.x2+y2=1,x≥0,y≥0,and0≤z≤1.
Use the divergence theorem to compute flux integral ∬SF·dS,∬SF·dS, where F(x,y,z)=yj−zkF(x,y,z)=yj−zk and S consists of the union of paraboloid y=x2+z2,0≤y≤1,y=x2+z2,0≤y≤1, and disk x2+z2≤1,y=1,x2+z2≤1,y=1, oriented outward. What is the flux through just the paraboloid?
Use the divergence theorem to compute flux integral ∬SF·dS,∬SF·dS, where F(x,y,z)=x+yj+z4kF(x,y,z)=x+yj+z4k and S is a part of cone z=x2+y2z=x2+y2 beneath top plane z=1,z=1, oriented downward.
Use the divergence theorem to calculate surface integral ∬SF·dS∬SF·dS for F(x,y,z)=x4i−x3z2j+4xy2zk,F(x,y,z)=x4i−x3z2j+4xy2zk, where S is the surface inside the cylinder x2+y2=1x2+y2=1 between the planes z=x+2andz=0.z=x+2andz=0.
Consider F(x,y,z)=x2i+xyj+(z+1)k.F(x,y,z)=x2i+xyj+(z+1)k. Let E be the solid enclosed by paraboloid z=4−x2−y2z=4−x2−y2 and plane z=0z=0 with normal vectors pointing outside E. Compute flux F across the boundary of E using the divergence theorem.
For the following exercises, use a CAS along with the divergence theorem to compute the net outward flux for the fields across the given surfaces S.
[T] F=〈x,−2y,3z〉;F=〈x,−2y,3z〉; S is sphere {(x,y,z):x2+y2+z2=6}.{(x,y,z):x2+y2+z2=6}.
[T] F=〈x,2y,z〉;F=〈x,2y,z〉; S is the boundary of the tetrahedron in the first octant formed by plane x+y+z=1.x+y+z=1.
[T] F=〈y−2x,x3−y,y2−z〉;F=〈y−2x,x3−y,y2−z〉; S is sphere {(x,y,z):x2+y2+z2=4}.{(x,y,z):x2+y2+z2=4}.
[T] F=〈x,y,z〉;F=〈x,y,z〉; S is the surface of paraboloid z=4−x2−y2,z=4−x2−y2, for z≥0,z≥0, plus its base in the xy-plane.
For the following exercises, use a CAS and the divergence theorem to compute the net outward flux for the vector fields across the boundary of the given regions D.
[T] F=〈z−x,x−y,2y−z〉;F=〈z−x,x−y,2y−z〉; D is the region between spheres of radius 2 and 4 centered at the origin.
[T] F=r||r||=〈x,y,z〉x2+y2+z2;F=r||r||=〈x,y,z〉x2+y2+z2; D is the region between spheres of radius 1 and 2 centered at the origin.
[T] F=〈x2,−y2,z2〉;F=〈x2,−y2,z2〉; D is the region in the first octant between planes z=4−x−yz=4−x−y and z=2−x−y.z=2−x−y.
Let F(x,y,z)=2xi−3xyj+xz2k.F(x,y,z)=2xi−3xyj+xz2k. Use the divergence theorem to calculate ∬SF·dS,∬SF·dS, where S is the surface of the cube with corners at (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0), (1,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),and(1,1,1),(1,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),and(1,1,1), oriented outward.
Use the divergence theorem to find the outward flux of field F(x,y,z)=(x3−3y)i+(2yz+1)j+xyzkF(x,y,z)=(x3−3y)i+(2yz+1)j+xyzk through the cube bounded by planes x=±1,y=±1,andz=±1.x=±1,y=±1,andz=±1.
Let F(x,y,z)=2xi−3yj+5zkF(x,y,z)=2xi−3yj+5zk and let S be hemisphere z=9−x2−y2z=9−x2−y2 together with disk x2+y2≤9x2+y2≤9 in the xy-plane. Use the divergence theorem to calculate ∬S F ⋅dS∬S F ⋅dS.
Evaluate ∬SF·NdS,∬SF·NdS, where F(x,y,z)=x2i+xyj+x3y3kF(x,y,z)=x2i+xyj+x3y3k and S is the surface consisting of all faces of the tetrahedron bounded by plane x+y+z=1x+y+z=1 and the coordinate planes, with outward unit normal vector N.
Find the net outward flux of field F=〈bz−cy,cx−az,ay−bx〉F=〈bz−cy,cx−az,ay−bx〉 across any smooth closed surface in R3,R3, where a, b, and c are constants.
Use the divergence theorem to evaluate ∬S‖R‖R·ndS,∬S‖R‖R·ndS, where R(x,y,z)=xi+yj+zkR(x,y,z)=xi+yj+zk and S is sphere x2+y2+z2=a2,x2+y2+z2=a2, with constant a>0.a>0.
Use the divergence theorem to evaluate ∬SF·dS,∬SF·dS, where F(x,y,z)=y2zi+y3j+xzkF(x,y,z)=y2zi+y3j+xzk and S is the boundary of the cube defined by −1≤x≤1,−1≤y≤1,and0≤z≤2.−1≤x≤1,−1≤y≤1,and0≤z≤2.
Let R be the region defined by x2+y2+z2≤1.x2+y2+z2≤1. Use the divergence theorem to find ∭Rz2dV.∭Rz2dV.
Let E be the solid bounded by the xy-plane and paraboloid z=4−x2−y2z=4−x2−y2 so that S is the surface of the paraboloid piece together with the disk in the xy-plane that forms its bottom. If F(x,y,z)=(xzsin(yz)+x3)i+cos(yz)j+(3zy2−ex2+y2)k,F(x,y,z)=(xzsin(yz)+x3)i+cos(yz)j+(3zy2−ex2+y2)k, find ∬SF·dS∬SF·dS using the divergence theorem.
Let E be the solid unit cube with diagonally opposite corners at the origin and (1, 1, 1), and faces parallel to the coordinate planes. Let S be the surface of E, oriented with the outward-pointing normal. Use a CAS to find ∬SF·dS∬SF·dS using the divergence theorem if F(x,y,z)=2xyi+3yezj+xsinzk.F(x,y,z)=2xyi+3yezj+xsinzk.
Use the divergence theorem to calculate the flux of F(x,y,z)=x3i+y3j+z3kF(x,y,z)=x3i+y3j+z3k through sphere x2+y2+z2=1.x2+y2+z2=1.
Find ∬SF·dS,∬SF·dS, where F(x,y,z)=xi+yj+zkF(x,y,z)=xi+yj+zk and S is the outwardly oriented surface obtained by removing cube [1,2]×[1,2]×[1,2][1,2]×[1,2]×[1,2] from cube [0,2]×[0,2]×[0,2].[0,2]×[0,2]×[0,2].
Consider radial vector field F=r|r|=〈x,y,z〉(x2+y2+z2)1/2.F=r|r|=〈x,y,z〉(x2+y2+z2)1/2. Compute the surface integral, where S is the surface of a sphere of radius a centered at the origin.
Compute the flux of water through parabolic cylinder S:y=x2,S:y=x2, from 0≤x≤2,0≤z≤3,0≤x≤2,0≤z≤3, if the velocity vector is F(x,y,z)=3z2i+6j+6xzk.F(x,y,z)=3z2i+6j+6xzk.
[T] Use a CAS to find the flux of vector field F(x,y,z)=zi+zj+x2+y2kF(x,y,z)=zi+zj+x2+y2k across the portion of hyperboloid x2+y2=z2+1x2+y2=z2+1 between planes z=0z=0 and z=33,z=33, oriented so the unit normal vector points away from the z-axis.
[T] Use a CAS to find the flux of vector field F(x,y,z)=(ey+x)i+(3cos(xz)−y)j+zkF(x,y,z)=(ey+x)i+(3cos(xz)−y)j+zk through surface S, where S is given by z2=4x2+4y2z2=4x2+4y2 from 0≤z≤4,0≤z≤4, oriented so the unit normal vector points downward.
[T] Use a CAS to compute ∬SF·dS,∬SF·dS, where F(x,y,z)=xi+yj+2zkF(x,y,z)=xi+yj+2zk and S is the boundary of a part of solid sphere x2+y2+z2≤2x2+y2+z2≤2 with 0≤z≤1.0≤z≤1.
Evaluate ∬SF·dS,∬SF·dS, where F(x,y,z)=bxy2i+bx2yj+(x2+y2)z2kF(x,y,z)=bxy2i+bx2yj+(x2+y2)z2k and S is the boundary of the solid cylinder x2+y2≤a2x2+y2≤a2 and 0≤z≤b.0≤z≤b.
[T] Use a CAS to calculate the flux of F(x,y,z)=(x3+ysinz)i+(y3+zsinx)j+3zkF(x,y,z)=(x3+ysinz)i+(y3+zsinx)j+3zk across surface S, where S is the boundary of the solid bounded by hemispheres z=4−x2−y2z=4−x2−y2 and z=1−x2−y2,z=1−x2−y2, and plane z=0.z=0.
Use the divergence theorem to evaluate ∬SF·dS,∬SF·dS, where F(x,y,z)=xyi−12y2j+zkF(x,y,z)=xyi−12y2j+zk and S is the surface consisting of three pieces: z=4−3x2−3y2,1≤z≤4z=4−3x2−3y2,1≤z≤4 on the top; x2+y2=1,0≤z≤1x2+y2=1,0≤z≤1 on the sides; and z=0z=0 on the bottom.
[T] Use a CAS and the divergence theorem to evaluate ∬SF·dS,∬SF·dS, where F(x,y,z)=(2x+ycosz)i+(x2−y)j+y2zkF(x,y,z)=(2x+ycosz)i+(x2−y)j+y2zk and S is sphere x2+y2+z2=4x2+y2+z2=4 orientated outward.
Use the divergence theorem to evaluate ∬SF·dS,∬SF·dS, where F(x,y,z)=xi+yj+zkF(x,y,z)=xi+yj+zk and S is the boundary of the solid enclosed by paraboloid y=x2+z2−2,y=x2+z2−2, cylinder x2+z2=1,x2+z2=1, and plane x+y=2,x+y=2, and S is oriented outward.
For the following exercises, Fourier’s law of heat transfer states that the heat flow vector F at a point is proportional to the negative gradient of the temperature; that is, F=−k∇T,F=−k∇T, which means that heat energy flows hot regions to cold regions. The constant k>0k>0 is called the conductivity, which has metric units of joules per meter per second-kelvin or watts per meter-kelvin. A temperature function for region D is given. Use the divergence theorem to find net outward heat flux ∬SF·NdS=−k∬S∇T·NdS∬SF·NdS=−k∬S∇T·NdS across the boundary S of D, where k=1.k=1.
T(x,y,z)=100+x+2y+z;T(x,y,z)=100+x+2y+z; D={(x,y,z):0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}D={(x,y,z):0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}
T(x,y,z)=100+e−z;T(x,y,z)=100+e−z; D={(x,y,z):0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}D={(x,y,z):0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}
T(x,y,z)=100e−x2−y2−z2; T(x,y,z)=100e−x2−y2−z2; D, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ, 'a' ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਗੋਲਾ ਹੈ।