1. ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
2. ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਭਿੰਨਾਂ ਜਾਂ ਸਮਾਪਤ ਜਾਂ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਦਸ਼ਮਲਵਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
3. ਇਸਨੂੰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੋਈ ਸੰਖਿਆ ਪਰਿਮੇਯ ਹੈ ਜਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
4. ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਮਿਲ ਕੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ। ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ, ਪੂਰਨ, ਪੂਰਨ ਅੰਕ, ਪਰਿਮੇਯ, ਜਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਵਜੋਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
5. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
6. ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜੋੜ ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਦੇ ਕਾਰਜਾਂ ਅਧੀਨ ਮੁੱਢਲੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਗੁਣ, ਸਹਿਚਰ ਗੁਣ, ਵੰਡ ਗੁਣ, ਤਤਸਮ ਗੁਣ, ਅਤੇ ਉਲਟ ਗੁਣ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
7. ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਅਤੇ ਚਲਾਂ ਤੋਂ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਗੁਣਾ, ਅਤੇ ਭਾਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜੋੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ। ਜਦੋਂ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਉਹ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮੁੱਲ ਧਾਰਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 9, ਉਦਾਹਰਨ 10, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 12 ਦੇਖੋ।
8. ਸੂਤਰ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦੂਜੀਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਾਂਗ ਸਰਲ ਜਾਂ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 13 ਦੇਖੋ।
9. ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ ਵਾਲੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
10. ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ ਵਾਲੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
11. ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ ਵਾਲੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
12. ਸਿਫ਼ਰ ਘਾਤ ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ 1 ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
13. ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤ ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਜ ਉਲਟ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
14. ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਘਾਤ, ਉਸੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
15. ਭਾਗਫਲ ਦੀ ਘਾਤ, ਉਸੇ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
16. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਜਟਿਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
17. ਵਿਗਿਆਨਕ ਸੰਕੇਤ ਪੱਧਤੀ ਬਹੁਤ ਵੱਡੀਆਂ ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਛੋਟੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ 10 ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 11 ਦੇਖੋ।
18. ਵਿਗਿਆਨਕ ਸੰਕੇਤ ਪੱਧਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਹੁਤ ਵੱਡੀਆਂ ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਛੋਟੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 12 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 13 ਦੇਖੋ।
19. ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ 'a' ਦਾ ਮੁੱਖ ਵਰਗਮੂਲ ਉਹ ਅਣ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਜਦੋਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਤਾਂ 'a' ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
20. ਜੇਕਰ 'a' ਅਤੇ 'b' ਅਣ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ 'ab' ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ, 'a' ਅਤੇ 'b' ਦੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
21. ਜੇਕਰ 'a' ਅਤੇ 'b' ਅਣ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ, ਤਾਂ ਭਾਗਫਲ 'a/b' ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ, 'a' ਅਤੇ 'b' ਦੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
22. ਅਸੀਂ ਕਰਣੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਕਾਰਣੀ ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕ ਸਮਾਨ ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
23. ਕਰਣੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਜੋ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਕਰਣੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਹਰ ਵਿੱਚੋਂ ਵਰਗਮੂਲ ਕਰਣੀ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਹਰ ਦੇ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
24. ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ 'a' ਦਾ ਮੁੱਖ n-ਵਾਂ ਮੂਲ ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ 'a' ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਨੂੰ n-ਵੀਂ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ 'ਤੇ 'a' ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮੂਲਾਂ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਗੁਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।
ਮੂਲ ਨੂੰ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਘਾਤਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਮੂਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 12 ਵੇਖੋ।
ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਘਾਤਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 13 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦ (Polynomial) ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਪਦ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ (variable) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਅਣ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਡਿਗਰੀ (degree) ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ ਹੈ ਜੋ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੀ ਹੈ। ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ (leading term) ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲਾ ਪਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ (leading coefficient) ਉਸ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ (distributive property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
FOIL (ਪਹਿਲਾ, ਬਾਹਰੀ, ਅੰਦਰੂਨੀ, ਆਖਰੀ) ਇੱਕ ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੋਪਦੀਆਂ (binomials) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ (Perfect square trinomials) ਅਤੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ (difference of squares) ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਕਈ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਉਹੀ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (greatest common factor), ਜਾਂ GCF, ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਕੱਢਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ GCF ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ 1 ਵਾਲੀਆਂ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭ ਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਤੀਜਾ ਪਦ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਜੋੜ ਦੂਜਾ ਪਦ ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ (factoring by grouping) ਨਾਮਕ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਅਤੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲ ਹਨ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (equations) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਘਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ (sum of cubes) ਅਤੇ ਘਣਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ (difference of cubes) ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਭਿੰਨਾਂ ਅਤੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ GCF ਕੱਢ ਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
ਤਾਰਕਿਕ ਵਿਅੰਜਕਾਂ (Rational expressions) ਨੂੰ ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਤਾਰਕਿਕ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਤਾਰਕਿਕ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰਨ ਲਈ, ਦੂਜੇ ਵਿਅੰਜਕ ਦੇ ਉਲਟ (reciprocal) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਤਾਰਕਿਕ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸਾਂਝੇ ਹਰ (common denominator) ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਜਟਿਲ ਤਾਰਕਿਕ ਵਿਅੰਜਕਾਂ (Complex rational expressions) ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼ ਜਾਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਭਿੰਨਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।