ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ।
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਦੋਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕਈ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨਾਲ ਕਾਰਜ ਕਰੋ।
ਮਾਹੀ ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਮੁਫ਼ਤ ਲਾਇਬ੍ਰੇਰੀ (ਘਰ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਕਿਤਾਬਾਂ ਦਾ ਭੰਡਾਰ) ਬਣਾ ਰਹੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਦਾ ਅਗਲਾ ਹਿੱਸਾ ਤਿਕੋਣ ਨਾਲ ਢੱਕੇ ਵਰਗ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦਰਵਾਜ਼ਾ ਹੋਵੇਗਾ ਜਿਸ ਰਾਹੀਂ ਲੋਕ ਕਿਤਾਬਾਂ ਲੈ ਅਤੇ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਮਾਹੀ ਲਾਇਬ੍ਰੇਰੀ ਦੇ ਅਗਲੇ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਉਹ ਸਹੀ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਰੰਗ ਖਰੀਦ ਸਕੇ। ਘਰ ਦੇ ਅਗਲੇ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਮਾਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਕਈ ਚਲਿਤ ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਹਿਲਾਂ ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਵਿੱਚ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਫਿਰ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਵਿੱਚ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅੱਗੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦਰਵਾਜ਼ੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਵਿੱਚ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਲਾਇਬ੍ਰੇਰੀ ਦੇ ਅਗਲੇ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਵਰਗ ਅਤੇ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ 4x² + 32x - x ft² ਜਾਂ 4x² + 12x ft² ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ, ਜੋ ਕਈ ਚਲਿਤ ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਨ।
ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਜੋ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੁਣੇ ਪਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਹ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਲ (variable) ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਗੈਰ-ऋਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਜੋ ਇੱਕ ਚੱਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 384π, ਇੱਕ ਗੁਣਾਂਕ (coefficient) ਵਜੋਂ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਗੁਣਾਂਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ, ਨਕਾਰਾਤਮਕ, ਜਾਂ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ, ਦਸ਼ਮਲਵ, ਜਾਂ ਭਿੰਨ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਫਲ aᵢxᵢ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 384πw, ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਇੱਕ ਸ਼ਬਦ (term) ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸ਼ਬਦ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਚੱਲ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ ਸਥਿਰ (constant) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਸ਼ਬਦ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 5x⁴, ਮੋਨੋਮੀਅਲ (monomial) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 2x - 9, ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ (binomial) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤਿੰਨ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ -3x² + 8x - 7, ਟ੍ਰਾਈਨੋਮੀਅਲ (trinomial) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾ ਕੇ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਚੱਲ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਸ਼ਬਦ ਨੂੰ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਸ਼ਬਦ (leading term) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਹਿਲਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਸ਼ਬਦ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ (leading coefficient) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਘਾਤਾਂ ਘਟਦੀਆਂ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ (standard form) ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਬਹੁਪਦ
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਹਰੇਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ aᵢ ਨੂੰ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੰਖਿਆ a₀ ਜਿਸਨੂੰ ਕਿਸੇ ਚੱਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ, ਉਸਨੂੰ ਸਥਿਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਫਲ aᵢxᵢ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਇੱਕ ਸ਼ਬਦ ਹੈ। ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਚੱਲ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ ਨੂੰ ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਸ਼ਬਦ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ ਵਾਲਾ ਸ਼ਬਦ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ, ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਡਿਗਰੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ x ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ ਲੱਭੋ।
ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਸ਼ਬਦ ਲੱਭਣ ਲਈ x ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਮੁਖ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਪਛਾਣੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਘਾਤ ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁਖ ਗੁਣਾਂਕ ਪਛਾਣਨਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਲਈ, ਘਾਤ, ਪ੍ਰਮੁਖ ਪਦ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁਖ ਗੁਣਾਂਕ ਪਛਾਣੋ।
ⓐ 3+2 x 2 −4 x 3
ⓑ 5 t 5 −2 t 3 +7t
ⓒ 6p− p 3 −2
ਹੱਲ
ⓐ x ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ 3 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਘਾਤ 3 ਹੈ। ਪ੍ਰਮੁਖ ਪਦ ਉਹ ਪਦ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਘਾਤ ਹੈ, −4 x 3 । ਪ੍ਰਮੁਖ ਗੁਣਾਂਕ ਉਸ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ, −4।
ⓑ t ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ 5 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਘਾਤ 5 ਹੈ। ਪ੍ਰਮੁਖ ਪਦ ਉਹ ਪਦ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਘਾਤ ਹੈ, 5 t 5 । ਪ੍ਰਮੁਖ ਗੁਣਾਂਕ ਉਸ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ, 5।
ⓒ p ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ 3 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਘਾਤ 3 ਹੈ। ਪ੍ਰਮੁਖ ਪਦ ਉਹ ਪਦ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਘਾਤ ਹੈ, − p 3 , ਪ੍ਰਮੁਖ ਗੁਣਾਂਕ ਉਸ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ, −1।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਬਹੁਪਦ 4 x 2 − x 6 +2x−6 ਦੀ ਘਾਤ, ਪ੍ਰਮੁਖ ਪਦ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁਖ ਗੁਣਾਂਕ ਪਛਾਣੋ।
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ
ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾ ਕੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਉਹ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਚੱਲ ਰਾਸ਼ੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕੋ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 5 x 2 ਅਤੇ −2 x 2 ਸਮਾਨ ਪਦ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ 3 x 2 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ 3x ਅਤੇ 3 x 2 ਸਮਾਨ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕਈ ਬਹੁਪਦ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ।
ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ
ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
( 12 x 2 +9x−21 )+( 4 x 3 +8 x 2 −5x+20 )
ਹੱਲ
4 x 3 +20 x 2 +4x−1
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹਨਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕੀਤੇ ਜਵਾਬ ਦੇ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। ਦੋ ਗ੍ਰਾਫ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕੋ ਵਿੰਡੋ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ। ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਿੰਡੋਜ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਬਰਾਬਰ ਜਾਪ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਕਿ ਉਹ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #2
ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
( 2 x 3 +5 x 2 −x+1 )+( 2 x 2 −3x−4 )
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣਾ
ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
( 7 x 4 − x 2 +6x+1 )−( 5 x 3 −2 x 2 +3x+2 )
ਹੱਲ
7 x 4 − x 2 +6 x + 1 -5 x 3 +2x2-3x−2 ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵੰਡੋ। 7 x 4 −5 x 3 + x 2 +6x−3x+1-2 ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਕ ਕਰੋ। 7 x 4 −5 x 3 + x 2 +3 x-1 ਜੋੜੋ/ਸਰਲ ਕਰੋ। 7 x 4 − x 2 +6 x + 1 -5 x 3 +2x2-3x−2 ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵੰਡੋ। 7 x 4 −5 x 3 + x 2 +6x−3x+1-2 ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਕ ਕਰੋ। 7 x 4 −5 x 3 + x 2 +3 x-1 ਜੋੜੋ/ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਦੋ ਬਹੁਪਦਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਦੂਜੇ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਵਿਰੋਧੀ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਵਿੱਚ ਜੋੜਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #3
ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
( −7 x 3 −7 x 2 +6x−2 )−( 4 x 3 −6 x 2 −x+7 )
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣ ਨਾਲੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਵਧੇਰੇ ਚੁਣੌਤੀਪੂਰਨ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ FOIL ਵਿਧੀ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕੁਝ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਉਤਪਾਦਾਂ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਹਰ ਵਾਰ ਹੱਥੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ ਯਾਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ।
ਵਿਤਤਰਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਬਹੁਪਦ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ 2(x+7) ਵਿੱਚ 2 ਨੂੰ ਵੰਡ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਬਰਾਬਰ ਸਮੀਕਰਨ 2x+14 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋ ਸਕੇ। 2x+14। ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਉਤਪਾਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲੇ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
1. ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
2. ਸਰਲ ਕਰੋ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 4
4. ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ (Distributive Property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਬਹੁਪਦੀਆਂ (Polynomials) ਦਾ ਗੁਣਾ
5. ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
6. ( 2x+1 )( 3 x 2 −x+4 )
7. ਹੱਲ
8. 2x( 3 x 2 −x+4 )+1( 3 x 2 −x+4 ) ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ( 6 x 3 −2 x 2 +8x )+( 3 x 2 −x+4 ) ਗੁਣਾ ਕਰੋ। 6 x 3 +( −2 x 2 +3 x 2 )+(8x−x)+4 ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। 6 x 3 + x 2 +7x+4 ਸਰਲ ਕਰੋ।
9. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
10. ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਦਰਜ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ (Table) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਨੂੰ ਪਾਸੇ ਲਿਖੋ। ਸਾਰਣੀ ਦੇ ਹਰੇਕ ਖਾਨੇ ਲਈ, ਉਸ ਕਤਾਰ (row) ਦੇ ਪਦ ਨੂੰ ਉਸ ਕਾਲਮ (column) ਦੇ ਪਦ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ, ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ, ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ।
11. ਕਤਾਰ: 3 x 2 | −x | +4
12. ਕਤਾਰ: 2x | 6 x 3 | −2 x 2 | 8x
13. ਕਤਾਰ: +1 | 3 x 2 | −x | 4
14. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #4
15. ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
16. (3x+2)( x 3 −4 x 2 +7 )
17. ਦੋਪਦੀਆਂ (Binomials) ਦਾ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ
18. FOIL ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ ਕਈ ਵਾਰ ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ FOIL ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦਾਂ, ਬਾਹਰੀ ਪਦਾਂ, ਅੰਦਰੂਨੀ ਪਦਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਅੰਤਿਮ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
19. FOIL ਵਿਧੀ ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ (Distributive Property) ਤੋਂ ਉਤਪੰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਪਹਿਲੀ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਰਹੇ ਹਾਂ।
20. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
21. ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨ ਲਈ FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
22. ਹਰੇਕ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
23. ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਬਾਹਰੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
24. ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਹਰੇਕ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਦੋਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
(2x-18)(3x+3)
ਹੱਲ
ਪਹਿਲੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਬਾਹਰੀ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅੰਦਰੂਨੀ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅੰਤਿਮ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
6x² +6x−54x−54 ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। 6x² +(6x−54x)−54 ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰੋ। 6x² −48x−54 ਸਰਲ ਬਣਾਓ। 6x² +6x−54x−54 ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। 6x² +(6x−54x)−54 ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰੋ। 6x² −48x−54 ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
(x+7)(3x−5)
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨਪਦੀਆਂ
ਕੁਝ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨਪਦੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਵਰਗ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਹਰ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨਪਦੀ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਰੂਪ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰਨ ਨਾਲ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਨਾ ਬਹੁਤ ਆਸਾਨ ਅਤੇ ਤੇਜ਼ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਰੂਪ ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਹੋਣ ਲਈ ਕੁਝ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਤਿੰਨਪਦੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਹੈ ਅਤੇ, ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਤਿੰਨਪਦੀ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਹੈ। ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਪਦ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਦੁੱਗਣਾ ਹੈ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਤਿੰਨਪਦੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨਪਦੀਆਂ
ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ, ਦੋਨਾਂ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਦੁੱਗਣਾ, ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋਪਦੀ ਦਾ, ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨਪਦੀਆਂ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਰਗ ਕਰੋ।
ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦੇ ਮੱਧ ਪਦ ਲਈ, ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕਰੋ।
ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ
(3x−8) 2 ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ। (3x−8) 2 .
ਹੱਲ
ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦੇ ਮੱਧ ਪਦ ਲਈ, ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #6
(4x−1) 2 ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ। (4x−1) 2 .
ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ
ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਉਸੇ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਦੂਜੇ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਪਰ ਵਿਰੋਧੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ। ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ FOIL ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ (x+1)(x−1) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਮੱਧ ਪਦ ਖਤਮ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗਾਂ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਆਓ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੇਖੀਏ।
ਕਿਉਂਕਿ ਦੂਜੇ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵਿੱਚ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਬਾਹਰੀ ਅਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਪਦ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੇ ਵਰਗ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦੇ ਵਰਗ ਨਾਲ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
Q&A
ਕੀ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਕੋਈ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਰੂਪ ਹੈ?
ਨਹੀਂ। ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਇਸ ਲਈ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲਜ਼ ਦੇ ਵਿਰੋਧੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਮੱਧ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਅਲੋਪ ਹੋਣ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣਦੇ ਹਨ। ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨਹੀਂ ਹਨ ਜੋ ਗੁਣਾ ਹੋ ਕੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ
ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਉਸੇ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਦੂਜੇ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵਿਰੋਧੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਮਾਈਨਸ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਉਸੇ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਦੂਜੇ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਪਰ ਵਿਰੋਧੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ, ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭੋ।
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲਜ਼ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲਜ਼ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦੇ ਵਰਗ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੇ ਵਰਗ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਾ ਜਿਸਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਆਉਂਦਾ ਹੈ
(9x+4)(9x−4) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। (9x+4)(9x−4)।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ (9x) 2 =81 x 2 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ। (9x) 2 =81 x 2। ਆਖਰੀ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ 4 2 =16 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ। 4 2 =16। 81 x 2 −16 ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਆਖਰੀ ਪਦ ਦੇ ਵਰਗ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੇ ਵਰਗ ਤੋਂ ਘਟਾਓ। 81 x 2 −16।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
(2x+7)(2x−7) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। (2x+7)(2x−7)।
ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨਾਲ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਇੱਕੋ ਚਲ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਸਾਰੇ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ:
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ
(x+4)(3x−2y+5) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। (x+4)(3x−2y+5)।
ਹੱਲ
ਉਹੀ ਕਦਮ ਚੁੱਕੋ ਜੋ ਅਸੀਂ ਇੱਕੋ ਚਲ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਸਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
(3x−1)(2x+7y−9) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। (3x−1)(2x+7y−9)।
ਮੀਡੀਆ
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਆਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ
ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ
ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲ
ਸ਼ਬਦਕ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਕਥਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਅਗਵਾਈ ਵਾਲੇ ਪਦ ਦਾ ਘਾਤ ਅੰਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਕਥਨ ਸੱਚ ਹੈ ਜਾਂ ਝੂਠ।
ਬਹੁਤ ਵਾਰ, ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਜਦੋਂ ਦੋ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੋਵੇ। ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਫਲ ਵੀ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਕਿਉਂ ਹੈ।
ਤੁਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਪਦਾਂ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਚਾਰ ਮੁੱਢਲੇ ਕਦਮਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਤੁਸੀਂ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਬਹੁਪਦ ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦੇ। ਚਾਰ ਕਦਮ ਕੀ ਹਨ?
ਸੱਚ ਦੱਸੋ ਅਤੇ ਦੱਸੋ ਕਿ ਇਹ ਕਥਨ ਸੱਚ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ: ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ-ਪਦੀ ਨਾਲੋਂ ਉੱਚ ਡਿਗਰੀ ਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਪਛਾਣੋ।
7x−2 x 2 +13
14 m 3 + m 2 −16m+8
−625 a 8 +16 b 4
200p−30 p 2 m+40 m 3
x 2 +4x+4
6 y 4 − y 5 +3y−4
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਪਤਾ ਕਰੋ।
( 12 x 2 +3x )−( 8 x 2 −19 )
( 4 z 3 +8 z 2 −z )+( −2 z 2 +z+6 )
( 6 w 2 +24w+24 )−( 3w − 2 6w+3 )
( 7 a 3 +6 a 2 −4a−13 )+( −3 a 3 −4 a 2 +6a+17 )
( 11 b 4 −6 b 3 +18 b 2 −4b+8 )−( 3 b 3 +6 b 2 +3b )
( 49 p 2 −25 )+( 16 p 4 −32 p 2 +16 )
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
(4x+2)(6x−4)
( 14 c 2 +4c )( 2 c 2 −3c )
( 6 b 2 −6 )( 4 b 2 −4 )
(3d−5)(2d+9)
(9v−11)(11v−9)
( 4 t 2 +7t )( −3 t 2 +4 )
(8n−4)( n 2 +9 ) (8n−4)( n 2 +9 )
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੋ-ਨਾਮ ਵਾਲੇ ਨੂੰ ਵਿਸਤਾਰੋ।
( 4x+5 ) 2 ( 4x+5 ) 2
(3y−7) 2 (3y−7) 2
(੧੨−੪x) ੨ (੧੨−੪x) ੨
1. ( 4ਪ+9 ) 2 ( 4ਪ+9 ) 2
(2m−3) 2 (2m−3) 2
(3y−6) 2 (3y−6) 2
1. ( 9ਬ+1 ) 2 ( 9ਬ+1 ) 2
1. ਇਹਨਾਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੋਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨ ਕਰੋ।
(4c+1)(4c−1) (4c+1)(4c−1)
(9a−4)(9a+4) (9a−4)(9a+4)
(225n^2 - 36) (225n^2 - 36)
(25b+2)(25b−2) = (25b)² - 2² = 625b² - 4
(4+4m)(4−4m) (4+4m)(4−4m)
(14p+7)(14p−7) (14p+7)(14p−7)
(121q^2 - 100) (121q^2 - 100)
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
( 2 x^2 +2x+1 )(4x−1) ( 2 x^2 +2x+1 )(4x−1)
(4t² + t - 7)(4t² - 1) (4t² + t - 7)(4t² - 1)
(x−1)(x−1)²
(y−2)( y 2 −4y−9 )
(6k−5)( 6 k 2 +5k−1 )
(3p^2 + 2p - 10)(p - 1) (3p^2 + 2p - 10)(p - 1)
(4m−13)( 2 m 2 −7m+9 )
( a+b )( a−b )
(4x−6y)(6x−4y)
(4t−5u) 2
(9m+4n−1)(2m+8)
( 4t−x )( t−x+1 )
( b 2 −1)( a 2 +2ab+ b 2 )
( 4r−d )( 6r+7d )
( x+y )( x 2 −xy+ y 2 )
ਵਿਸ਼ਵ-ਵਿਆਪੀ ਉਪਯੋਗ
ਇੱਕ ਵਿਕਾਸਕਾਰ ਇੱਕ ਘਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਜ਼ਮੀਨ ਦਾ ਪਲਾਟ ਖਰੀਦਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਲਾਟ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: (4x+1)(8x−3) ਜਿੱਥੇ x ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਪਲਾਟ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਖਰੀਦਦਾਰ ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸਿਲੋ ਕਿੰਨਾ ਅਨਾਜ ਰੱਖ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਿਲੋ ਦੇ ਫਰਸ਼ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ( 2x+9 ) 2 ਹੈ। ਸਿਲੋ ਦੀ ਉਚਾਈ 10x+10 ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਸਿਲੋ ਕਿੰਨਾ ਅਨਾਜ ਰੱਖ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਗ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਵਿਸਥਾਰ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕਾਰਜ ਕਰੋ।
(4t−7) 2 (2t+1)−( 4 t 2 +2t+11 )
(3b+6)(3b−6)(9 b 2 −36)
( a 2 +4ac+4 c 2 )( a 2 −4 c 2 )