ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
ਅੰਸ਼ਕ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਲਾਅਨ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਘਾਹ ਦੇ ਬੀਜ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕੀਏ। ਲਾਅਨ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਹਰਾ ਭਾਗ ਹੈ।
ਸਮੁੱਚੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਹਨਾਂ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਘਾਹ ਦੇ ਬੀਜ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਨੂੰ ਸਮੁੱਚੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਦੋ ਵਰਗ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $A=s^2=4^2=16$ ਵਰਗ ਇਕਾਈ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ $10x-8$ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 4 ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਖੇਤਰਫਲ $A=lw=4(10x-8)=40x-32$ ਵਰਗ ਇਕਾਈ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਘਟਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $2(16)+40x-32=40x$ ਵਰਗ ਇਕਾਈ ਹੈ।
ਘਾਹ ਦੇ ਬੀਜ ਦੀ ਲੋੜ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $60x^2-40x$ ਵਰਗ ਇਕਾਈ ਘਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ $20x(3x-2)$ ਵਰਗ ਇਕਾਈ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਬਰਾਬਰ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।
ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਰੂਪਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਈ ਤਰੀਕਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਦੋਵਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੰਡਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 4, 16 ਅਤੇ 20 ਦਾ GCF ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ 16 ਅਤੇ 20 ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੰਡਦੀ ਹੈ। ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ GCF ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ: $4x$, $16x$ ਅਤੇ $20x^2$ ਦਾ GCF ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਬਹੁਪਦ ਹੈ ਜੋ $16x$ ਅਤੇ $20x^2$ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੰਡਦਾ ਹੈ।
ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਸਾਡਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ GCF ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ GCF ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਚਲਾਂ ਦੇ GCF ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ।
ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ
ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਬਹੁਪਦ ਹੈ ਜੋ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੰਡਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ, ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ GCF ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਚਲਾਂ ਦੇ GCF ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ GCF ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਜੋੜੋ।
ਇਸ ਪਦ ਵਿੱਚ ਹਰ ਇੱਕ ਪਦ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ (GCF) ਨੂੰ ਕਿਸ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
GCF ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜਫਲ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
6 x 3 y 3 +45 x 2 y 2 +21xy ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ। 6 x 3 y 3 +45 x 2 y 2 +21xy।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਪਦ ਦਾ GCF ਲੱਭੋ। 6, 45, ਅਤੇ 21 ਦਾ GCF 3 ਹੈ। x 3 , x 2 , ਅਤੇ x ਦਾ GCF x ਹੈ। (ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ x n ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦਾ GCF ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਘਾਤ ਵਾਲਾ ਹੋਵੇਗਾ।) ਅਤੇ y 3 , y 2 , ਅਤੇ y ਦਾ GCF y ਹੈ। ਬਹੁਪਦ ਦੇ GCF, 3xy ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਅੱਗੇ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਹਰ ਇੱਕ ਪਦ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ GCF ਨੂੰ ਕਿਸ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 3xy(2 x 2 y 2 )=6 x 3 y 3 , 3xy(15xy)=45 x 2 y 2 , ਅਤੇ 3xy(7)=21xy।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਪਦ ਨੂੰ GCF ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜਫਲ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਸੀ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ (3xy)(2 x 2 y 2 +15xy+7)=6 x 3 y 3 +45 x 2 y 2 +21xy।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
GCF ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਕੇ x( b 2 −a)+6( b 2 −a) ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
ਮੁੱਖ ਗੁਣਕ 1 ਵਾਲੇ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
ਹਾਲਾਂਕਿ ਸਾਨੂੰ ਹਮੇਸ਼ਾ GCF ਦੀ ਭਾਲ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, GCF ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਣਾ ਹੀ ਬਹੁਪਦੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਬਹੁਪਦੀ x 2 +5x+6 ਦਾ GCF 1 ਹੈ, ਪਰ ਇਸਨੂੰ (x+2) ਅਤੇ (x+3) ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
x 2 +bx+c ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਤਿੰਨ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ c ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ b ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਵਾਲੇ ਦੋ ਅੰਕ ਲੱਭ ਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਤਿੰਨ-ਪਦੀ x 2 +10x+16 ਨੂੰ 2 ਅਤੇ 8 ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹਨਾਂ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 16 ਹੈ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ 10 ਹੈ। ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਨੂੰ (x+2) ਅਤੇ (x+8) ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਮੁੱਖ ਗੁਣਕ 1 ਵਾਲੇ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
x 2 +bx+c ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਨੂੰ (x+p)(x+q) ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ pq=c ਅਤੇ p+q=b।
Q&A
ਕੀ ਹਰ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਨਹੀਂ। ਕੁਝ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਇਹਨਾਂ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
x 2 +bx+c ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰੋ।
c ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ।
p ਅਤੇ q ਲੱਭੋ, ਜੋ c ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਹੋਵੇ ਜਿਸਦਾ ਜੋੜਫਲ b ਹੋਵੇ।
(x+p)(x+q)
ਉਦਾਹਰਨ 2
1 ਵਾਲੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
x^2 + 2x - 15 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ 1, b=2, ਅਤੇ c=−15 ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਕ 1 ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ −15 ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਜੋੜ 2 ਹੋਵੇ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਮਨਚਾਹੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਤੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਰਣੀ: −15 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ | ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
1,−15 | −14
−1,15 | 14
3,−5 | −2
−3,5 | 2
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ p ਅਤੇ q ਨੂੰ −3 ਅਤੇ 5 ਵਜੋਂ ਪਛਾਣ ਲਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਨੂੰ (x−3)(x+5) ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ (x−3)(x+5) = x^2 + 2x - 15 ਹੈ।
Q&A
ਕੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ?
ਨਹੀਂ। ਗੁਣਾ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
x^2 − 7x + 6 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
1 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਕਾਂ ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨਾ ਥੋੜ੍ਹਾ ਹੋਰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ x ਪਦ ਨੂੰ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ, ਹਰੇਕ ਭਾਗ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਮੁੱਚੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ GCF ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਕੇ ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਤ੍ਰਿਪਦੀ 2x^2 + 5x + 3 ਨੂੰ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ (2x+3)(x+1) ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ 2x^2 + 2x + 3x + 3 ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਭਾਗ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਕੇ 2x(x+1) + 3(x+1) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ (x+1) ਦੇ GCF ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ।
ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ
ax^2 + bx + c ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ac ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਜੋੜ b ਹੋਵੇ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ x ਪਦ ਨੂੰ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਭਾਗ ਦਾ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਸਮੁੱਚੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ GCF ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ac ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ।
p ਅਤੇ q, ac ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦਾ ਜੋੜ b ਹੋਵੇ।
ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ax^2+px+qx+c ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ax^2+px ਦਾ GCF ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
qx+c ਦਾ GCF ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ GCF ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਫੈਕਟਰਿੰਗ
ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ 5x^2+7x-6 ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ a=5, b=7, ਅਤੇ c=-6 ਨਾਲ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ac=-30 ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ -30 ਅਤੇ ਜੋੜ 7 ਹੋਵੇ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਨੂੰ ਲੋੜੀਂਦਾ ਜੋੜ ਵਾਲਾ ਜੋੜਾ ਨਹੀਂ ਮਿਲ ਜਾਂਦਾ।
ਸਾਰਣੀ: -30 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ | ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
ਸਾਰਣੀ: 1, -30 | -29
ਸਾਰਣੀ: -1, 30 | 29
ਸਾਰਣੀ: 2, -15 | -13
ਸਾਰਣੀ: -2, 15 | 13
ਸਾਰਣੀ: 3, -10 | -7
ਸਾਰਣੀ: -3, 10 | 7
ਇਸ ਲਈ p=-3 ਅਤੇ q=10।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। (5x-3)(x+2)=5x^2+7x-6 ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਫੈਕਟਰ
ⓐ 2x^2+9x+9
ⓑ 6x^2+x-1
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੇ ਵਰਗ ਵਿੱਚ ਦੋਵਾਂ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਦੁਗਣੇ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦੇ ਵਰਗ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਵਰਗ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰੋ।
ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹਨ।
ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ ਮੱਧ ਪਦ 'ab' ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਦੁਗਣਾ ਹੈ। 'ab'।
ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਰੂਪ ਨੂੰ (a+b)² ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। (a+b)²।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
25x² + 20x + 4 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ। 25x² + 20x + 4।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ 25x² ਅਤੇ 4 ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ 25x² = (5x)² ਅਤੇ 4 = 2²। ਫਿਰ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਮੱਧ ਪਦ 5x ਅਤੇ 2 ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਦੁਗਣਾ ਹੈ। ਮੱਧ ਪਦ, ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਦੁਗਣਾ ਹੈ: 2(5x)(2) = 20x। ਇਸ ਲਈ, ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ (5x+2)² ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। (5x+2)²।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
49x² - 14x + 1 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ। 49x² - 14x + 1।
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਇਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਪਰ ਉਲਟ ਨਿਸ਼ਾਨਾਂ ਨਾਲ ਕਿਉਂਕਿ ਜਦੋਂ ਦੋ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਮੱਧ ਪਦ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਪਰ ਉਲਟ ਨਿਸ਼ਾਨਾਂ ਨਾਲ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰੋ।
1. ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹਨ।
2. ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ (a+b)(a−b) ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 5
4. ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
5. 9 x 2 −25 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
6. ਹੱਲ
7. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ 9 x 2 ਅਤੇ 25 ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ 9 x 2 = (3x) 2 ਅਤੇ 25= 5 2 । ਬਹੁਪਦੀ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ (3x+5)(3x−5) ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
8. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
9. 81 y 2 −100 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
Q&A
10. ਕੀ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਲਈ ਕੋਈ ਸੂਤਰ ਹੈ?
11. ਨਹੀਂ। ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ।
12. ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
13. ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਨਵੇਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ: ਘਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ। ਭਾਵੇਂ ਕਿ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਤਿੰਨਪਦੀ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
14. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਘਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਤਿੰਨਪਦੀ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਵੱਖਰੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ।
15. ਅਸੀਂ ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਅੰਤਰ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਵੇਲੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਲਈ SOAP ਸੰਖੇਪ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਰੇਕ ਸ਼ਬਦ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਅੱਖਰ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ: ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ (Same) ਉਲਟ (Opposite) ਹਮੇਸ਼ਾ (Always) ਧਨ (Positive)। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
16. ਪਹਿਲੇ 2 ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ x 3 − 2 3 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਰਗਾ ਹੀ ਹੈ। 2x ਪਦ x 3 − 2 3 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਉਲਟ ਹੈ। ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ, 4, ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਧਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
17. ਘਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ
18. ਅਸੀਂ ਦੋ ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
19. ਅਸੀਂ ਦੋ ਘਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
20. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
21. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
22. ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਘਣ ਹਨ, a 3 + b 3 ਜਾਂ a 3 − b 3 ।
23. ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ, ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ (a+b)( a 2 −ab+ b 2 ) ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਘਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਲਈ, ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ (a−b)( a 2 +ab+ b 2 ) ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 6
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਕਰਨਾ
x³ + 512 ਦਾ ਅੰਸ਼ ਕਰੋ। x³ + 512।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ x³ ਅਤੇ 512 ਘਣ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ 8³ = 512। ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ (x+8)(x² −8x+64) ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। (x+8)(x² −8x+64)।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਜਾਂਚ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਹਿੱਸਾ ਹੋਰ ਅੰਸ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਹਿੱਸਾ ਅੰਸ਼ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਕਰੋ: 216a³ + b³। 216a³ + b³।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਘਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਕਰਨਾ
8x³ −125 ਦਾ ਅੰਸ਼ ਕਰੋ। 8x³ −125।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ 8x³ ਅਤੇ 125 ਘਣ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ 8x³ = (2x)³ ਅਤੇ 125 = 5³। ਘਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ (2x−5)(4x² +10x+25) ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। (2x−5)(4x² +10x+25)।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਹੋਰ ਅੰਸ਼ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੋਵਾਂਗੇ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਘਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਕਰੋ: 1,000x³ −1। 1,000x³ −1।
ਭਿੰਨਾਂ ਜਾਂ ਨੈਗੇਟਿਵ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਕਰਨਾ
ਭਿੰਨਾਂ ਜਾਂ ਨੈਗੇਟਿਵ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ GCF ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਕੇ ਅੰਸ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਵਿਅੰਜਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਲਈ ਆਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਜਾਂ ਘਾਤ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਈ ਗਈ ਉਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਜਾਂ ਘਾਤ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ। ਇਹ ਵਿਅੰਜਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਅੰਸ਼ ਕਰਨ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 2x¹/⁴ +5x³/⁴ ਨੂੰ x¹/⁴ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਕੇ ਅਤੇ x¹/⁴(2+5x¹/²) ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ ਅੰਸ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। x¹/⁴(2+5x¹/²)।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਭਿੰਨਾਂ ਜਾਂ ਨੈਗੇਟਿਵ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਕਰਨਾ
3x(x+2)⁻¹/³ +4(x+2)²/³ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਕਰੋ। 3x(x+2)⁻¹/³ +4(x+2)²/³।
ਹੱਲ
ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਵਾਲੀ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਉਹ (x+2)⁻¹/³ ਹੋਵੇਗਾ। (x+2)⁻¹/³।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #8
2. (5a−1) 3 4 +7a (5a−1) − 1 4 . (5a−1) 3 4 +7a (5a−1) − 1 4 .
3. ਮੀਡੀਆ
4. ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
Identify GCF
5. ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ ਜਦੋਂ a ਬਰਾਬਰ 1 ਹੋਵੇ
6. ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ ਜਦੋਂ a, 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਾ ਹੋਵੇ
7. ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਅੰਤਰ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ
8. ਸ਼ਬਦਿਕ
9. ਜੇਕਰ ਬਹੁਪਦੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਕੀ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਗੁਣਨਖੰਡਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ।
10. ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡਯੋਗ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਦੋ ਵਰਗਾਂ ਦੀ ਸੰਪੂਰਨ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਜਾਂ ਅੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ GCF ਲੱਭੇ ਬਿਨਾਂ ਬਹੁਪਦੀ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹੋ?
11. ਤੁਸੀਂ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਿਵੇਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋ?
12. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ
13. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭੋ।
14. 14x+4xy−18x y 2
15. 49m b 2 −35 m 2 ba+77m a 2
16. 30 x 3 y−45 x 2 y 2 +135x y 3
17. 200 p 3 m 3 −30 p 2 m 3 +40 m 3
18. 36 j 4 k 2 −18 j 3 k 3 +54 j 2 k 4
19. 6 y 4 −2 y 3 +3 y 2 −y
20. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
21. 6 x 2 +5x−4
22. 2 a 2 +9a−18
23. 6 c 2 +41c+63
24. 6 n 2 −19n−11
20 x^2 - 47x + 24
2 p^2 - 5p - 7
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
7 x^2 + 48x - 7
10 h^2 - 9h - 9
2 b^2 - 25b - 247
9 d^2 - 73d + 8
90 v^2 - 181v + 90
12 t^2 + t - 13
2 n^2 - n - 15
16 x^2 - 100
25 y^2 - 196
121 p^2 - 169
4 m^2 - 9
361 d^2 - 81
324 x^2 - 121
144 b^2 - 25 c^2
16 a^2 - 8a + 1
49 n^2 + 168n + 144
121 x^2 - 88x + 16
225 y^2 + 120y + 16
m^2 - 20m + 100
25 p^2 - 120p + 144
36 q^2 + 60q + 25
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
2. x 3 +216
3. 27 y 3 −8
4. 125 a 3 +343
5. b 3 −8 d 3
6. 64 x 3 −125
7. 729 q 3 +1331
8. 125 r 3 +1,728 s 3
9. 4x ( x−1 ) − 2 3 +3 ( x−1 ) 1 3
10. 3c ( 2c+3 ) − 1 4 −5 ( 2c+3 ) 3 4
11. 3t ( 10t+3 ) 1 3 +7 ( 10t+3 ) 4 3
12. 14x ( x+2 ) − 2 5 +5 ( x+2 ) 3 5
13. 9y (3y−13) 1 5 −2 (3y−13) 6 5
14. 5z (2z−9) − 3 2 +11 (2z−9) − 1 2
15. 6d ( 2d+3 ) − 1 6 +5 ( 2d+3 ) 5 6
16. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
17. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ сенаріо 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ:
18. ਸ਼ਾਰਲੋਟ ਨੇ ਸ਼ਹਿਰ ਦੇ ਸੁੰਦਰੀਕਰਨ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਦੀ ਅਗਵਾਈ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਚੇਅਰਪਰਸਨ ਨਿਯੁਕਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਕੰਮ ਸ਼ਹਿਰ ਦੇ ਪਾਰਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਬੁੱਤ ਅਤੇ ਫੁਹਾਰੇ ਲਗਾਉਣਾ ਹੈ। ਪਾਰਕ ਇੱਕ ਆਇਤ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 98 x 2 +105x−27 m2 ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਪਾਰਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਖੇਤਰ ਦੇ ਸੰਪੂਰਨ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ।
19. ਪਾਰਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
20. ਇੱਕ ਬੁੱਤ ਪਾਰਕ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਜਾਣਾ ਹੈ। ਬੁੱਤ ਦੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 4 x 2 +12x+9 m 2 ਹੈ। ਬੁੱਤ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
21. ਪਾਰਕ ਦੇ ਉੱਤਰ-ਪੱਛਮੀ ਕੋਨੇ 'ਤੇ, ਸ਼ਹਿਰ ਇੱਕ ਫੁਹਾਰਾ ਲਗਾਉਣ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਫੁਹਾਰੇ ਦੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 9 x 2 −25 m 2 ਹੈ। ਫੁਹਾਰੇ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
22. ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਕਸਰਤ ਲਈ, ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ сенаріо 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ:
23. ਇੱਕ ਸਕੂਲ ਕੇਂਦਰੀ ਪਲਾਜ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਝੰਡਾ ਲਗਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਪਲਾਜ਼ਾ 100 yd ਦੀ ਭੁਜਾ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਵਰਗ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਝੰਡਾ x 2 −6x+9 yd2 ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਵਰਗ ਪਲਾਟ ਲਵੇਗਾ।
24. ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਕੇ ਝੰਡੇ ਦੇ ਅਧਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਵਿਸਥਾਰ
2. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
3. 16 x 4 −200 x 2 +625
4. 81 y 4 −256
5. 16 z 4 −2,401 a 4
6. 5x ( 3x+2 ) − 2 4 + ( 12x+8 ) 3 2
7. (32 x 3 +48 x 2 −162x−243) −1