ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡੋ।
ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ।
ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਇੱਕ ਪੇਸਟਰੀ ਦੀ ਦੁਕਾਨ ਦੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਖਰਚੇ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤਾ $280 ਹਨ ਅਤੇ ਪੇਸਟਰੀਆਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ ਬਾਕਸ $9 ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਖਰਚੇ ਹਨ। ਦੁਕਾਨ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤਾ ਖਰਚੇ, x, ਜੋ ਕਿ ਬਣਾਏ ਗਏ ਬਾਕਸਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ 280+9x ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪੇਸਟਰੀਆਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ ਬਾਕਸ ਲਾਗਤ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤਾ ਖਰਚਿਆਂ ਨੂੰ ਬਣਾਏ ਗਏ ਬਾਕਸਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਾਲ ਵੰਡ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਵਿਅੰਜਨ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਦੂਜੇ ਬਹੁਪਦੀ ਵਿਅੰਜਨ ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦੀ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦੇ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
ਦੋ ਬਹੁਪਦੀ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦੇ ਭਾਗ ਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰਕੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਵਰਗੀਆਂ ਭਿੰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਕਾਰਕ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਆਓ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
ਅਸੀਂ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੇ ਕਾਰਕ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਸਾਂਝੇ ਕਾਰਕ ( x+4 ) ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰਕੇ ਉਸ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੇ ਕਾਰਕ ਬਣਾਓ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਾਂਝੇ ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
x 2 −9 x 2 +4x+3 ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਸਾਂਝੇ ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਵੰਡਣ 'ਤੇ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
Q&A
ਕੀ ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵਿੱਚ x 2 ਵਾਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
1. ਨਹੀਂ। ਇੱਕ ਗੁਣਕ (factor) ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਪਦ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਦ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। x 2 x 2 ਵਾਲਾ ਪਦ ਅੰਸ਼ (numerator) ਜਾਂ ਹਰ (denominator) ਦਾ ਗੁਣਕ ਨਹੀਂ ਹੈ।
2. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
3. x−6 x 2 −36 ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। x−6 x 2 −36 ।
4. ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ (Rational Expressions) ਦਾ ਗੁਣਾ
5. ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਹੋਰ ਭਿੰਨਾਂ (fractions) ਦੇ ਗੁਣਾ ਵਾਂਗ ਹੀ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲ (product) ਦਾ ਅੰਸ਼ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਹਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਵੇਲੇ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅੰਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ (factor) ਕਰਨਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਸਮਰੱਥ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।
6. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
7. ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
8. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
9. ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
10. ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
11. ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
12. ਉਦਾਹਰਨ 2
13. ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ
14. ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਓ:
15. ਹੱਲ
16. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
17. ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਓ:
18. ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਭਾਗ
19. ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਭਾਗ, ਹੋਰ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਭਾਗ ਵਾਂਗ ਹੀ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇਣ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ (reciprocal) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਇਸ ਪਹੁੰਚ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ 1 x ÷ x 2 3 ਨੂੰ 1 x ⋅ 3 x 2 ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ-ਲਿਖਾਂਗੇ। 1 x ⋅ 3 x 2 । ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਭਾਗ ਦੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਦੇ ਵਿਅੰਜਨ ਵਜੋਂ ਮੁੜ-ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
20. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
21. ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰੋ।
22. ਪਹਿਲੇ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਵਜੋਂ ਮੁੜ-ਲਿਖੋ।
23. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
24. ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਭਾਗ
ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡੋ ਅਤੇ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਓ:
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #3
ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡੋ ਅਤੇ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਓ:
ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ
ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ, ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣ ਵਾਂਗ ਹੀ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਆਓ ਭਿੰਨ ਜੋੜਨ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਵੇਖੀਏ।
ਸਾਨੂੰ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖਣਾ ਪਵੇਗਾ ਤਾਂ ਜੋ ਉਹ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਸਾਂਝਾ ਕਰਨ, ਇਸ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਸਕੀਏ। ਸਾਨੂੰ ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਵੇਲੇ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ।
ਵਰਤਣ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਸਾਂਝਾ ਹਰ, ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਹਰ, ਜਾਂ LCD ਹੋਵੇਗਾ। LCD ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਗੁਣਜ ਹੈ ਜੋ ਹਰ ਸਾਂਝਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਦੋ ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ LCD ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਵੱਖਰੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਜੇਕਰ ਗੁਣਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੇ ਗਏ ਹਰ (x+3)(x+4) ਅਤੇ (x+4)(x+5) ਹੁੰਦੇ, ਤਾਂ LCD (x+3)(x+4)(x+5) ਹੁੰਦਾ।
ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ LCD ਲੱਭ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਹਰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ 1 ਦੇ ਉਸ ਰੂਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਹਰ ਨੂੰ LCD ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦੇਵੇਗਾ। ਸਾਨੂੰ (x+3)(x+4) ਹਰ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ x+5 ਨਾਲ ਅਤੇ (x+4)(x+5) ਹਰ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ x+3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ।
ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਗੁਣਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ LCD ਲੱਭੋ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ 1 ਦੇ ਉਸ ਰੂਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਜੋ ਹਰ ਨੂੰ LCD ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ
ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ:
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਲ.ਸ.ਪ. (ਲਘੁਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ) ਲੱਭਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਲ.ਸ.ਪ. xy ਹੋਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ 1 ਦੇ ਉਚਿਤ ਰੂਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਹਰੇਕ ਭਿੰਨ ਲਈ xy ਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਪਦਾਂ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
yyyy ਜਾਂ xxxx ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਮੂਲ ਪਦ ਦੇ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ ਕਿਉਂਕਿ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੋਈ ਵੀ ਅੰਕ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਪਦ ਨੂੰ 1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਮੂਲ ਪਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਪਰਿਮੇਯ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣਾ
ਪਰਿਮੇਯ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਓ:
ਹੱਲ
Q&A
ਕੀ ਸਾਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਲਈ ਲ.ਸ.ਪ. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ?
ਨਹੀਂ। ਕੋਈ ਵੀ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਕੰਮ ਕਰੇਗਾ, ਪਰ ਲ.ਸ.ਪ. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਪਰਿਮੇਯ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਓ: 3 x+5 − 1 x−3 . 3 x+5 − 1 x−3 .
ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਪਦ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਪਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼, ਹਰ, ਜਾਂ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਪਰਿਮੇਯ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਇੱਕਲੇ ਪਰਿਮੇਯ ਪਦਾਂ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਪਦ a 1 b +c a 1 b +c ਨੂੰ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ a 1 a 1 ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਨੂੰ 1+bc b ਨੂੰ ਮਿਲਾ ਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਪਦ ਨੂੰ ਹਰ ਦੇ ਉਲਟੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗੁਣਾ ਸਮੱਸਿਆ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ a 1 ⋅ b 1+bc , a 1 ⋅ b 1+bc ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ab 1+bc . ab 1+bc ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ
ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਪਦ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਜਾਂ ਘਟਾ ਕੇ ਇੱਕਲੇ ਪਰਿਮੇਯ ਪਦ ਵਿੱਚ ਮਿਲਾਓ।
ਹਰ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਜਾਂ ਘਟਾ ਕੇ ਇੱਕਲੇ ਪਰਿਮੇਯ ਪਦ ਵਿੱਚ ਮਿਲਾਓ।
ਅੰਸ਼ ਦੁਆਰਾ ਭਾਗ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਰ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਗੁਣਾ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
Simplify: y+ 1 x x y y+ 1 x x y .
Solution
Begin by combining the expressions in the numerator into one expression.
Now the numerator is a single rational expression and the denominator is a single rational expression.
We can rewrite this as division, and then multiplication.
Try It #5
Simplify: x y − y x y x y − y x y
Q&A
Can a complex rational expression always be simplified?
Yes. We can always rewrite a complex rational expression as a simplified rational expression.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with rational expressions.
Simplify Rational Expressions
Multiply and Divide Rational Expressions
Add and Subtract Rational Expressions
Simplify a Complex Fraction
Verbal
How can you use factoring to simplify rational expressions?
How do you use the LCD to combine two rational expressions?
Tell whether the following statement is true or false and explain why: You only need to find the LCD when adding or subtracting rational expressions.
Algebraic
For the following exercises, simplify the rational expressions.
x 2 −16 x 2 −5x+4 x 2 −16 x 2 −5x+4
y 2 +10y+25 y 2 +11y+30 y 2 +10y+25 y 2 +11y+30
6 a 2 −24a+24 6 a 2 −24 6 a 2 −24a+24 6 a 2 −24
9 b 2 +18b+9 3b+3 9 b 2 +18b+9 3b+3
m−12 m 2 −144 m−12 m 2 −144
2 x 2 +7x−4 4 x 2 +2x−2 2 x 2 +7x−4 4 x 2 +2x−2
6 x 2 +5x−4 3 x 2 +19x+20 6 x 2 +5x−4 3 x 2 +19x+20
a 2 +9a+18 a 2 +3a−18 a 2 +9a+18 a 2 +3a−18
3 c 2 +25c−18 3 c 2 −23c+14 3 c 2 +25c−18 3 c 2 −23c+14
12 n 2 −29n−8 28 n 2 −5n−3 12 n 2 −29n−8 28 n 2 −5n−3
For the following exercises, multiply the rational expressions and express the product in simplest form.
x 2 −x−6 2 x 2 +x−6 ⋅ 2 x 2 +7x−15 x 2 −9 x 2 −x−6 2 x 2 +x−6 ⋅ 2 x 2 +7x−15 x 2 −9
c 2 +2c−24 c 2 +12c+36 ⋅ c 2 −10c+24 c 2 −8c+16 c 2 +2c−24 c 2 +12c+36 ⋅ c 2 −10c+24 c 2 −8c+16
2 d 2 +9d−35 d 2 +10d+21 ⋅ 3 d 2 +2d−21 3 d 2 +14d−49 2 d 2 +9d−35 d 2 +10d+21 ⋅ 3 d 2 +2d−21 3 d 2 +14d−49
10 h 2 −9h−9 2 h 2 −19h+24 ⋅ h 2 −16h+64 5 h 2 −37h−24 10 h 2 −9h−9 2 h 2 −19h+24 ⋅ h 2 −16h+64 5 h 2 −37h−24
6 b 2 +13b+6 4 b 2 −9 ⋅ 6 b 2 +31b−30 18 b 2 −3b−10 6 b 2 +13b+6 4 b 2 −9 ⋅ 6 b 2 +31b−30 18 b 2 −3b−10
2 d 2 +15d+25 4 d 2 −25 ⋅ 2 d 2 −15d+25 25 d 2 −1 2 d 2 +15d+25 4 d 2 −25 ⋅ 2 d 2 −15d+25 25 d 2 −1
6 x 2 −5x−50 15 x 2 −44x−20 ⋅ 20 x 2 −7x−6 2 x 2 +9x+10 6 x 2 −5x−50 15 x 2 −44x−20 ⋅ 20 x 2 −7x−6 2 x 2 +9x+10
t 2 −1 t 2 +4t+3 ⋅ t 2 +2t−15 t 2 −4t+3 t 2 −1 t 2 +4t+3 ⋅ t 2 +2t−15 t 2 −4t+3
2 n 2 −n−15 6 n 2 +13n−5 ⋅ 12 n 2 −13n+3 4 n 2 −15n+9 2 n 2 −n−15 6 n 2 +13n−5 ⋅ 12 n 2 −13n+3 4 n 2 −15n+9
36 x 2 −25 6 x 2 +65x+50 ⋅ 3 x 2 +32x+20 18 x 2 +27x+10 36 x 2 −25 6 x 2 +65x+50 ⋅ 3 x 2 +32x+20 18 x 2 +27x+10
For the following exercises, divide the rational expressions.
3 y 2 −7y−6 2 y 2 −3y−9 ÷ y 2 +y−2 2 y 2 +y−3 3 y 2 −7y−6 2 y 2 −3y−9 ÷ y 2 +y−2 2 y 2 +y−3
6 p 2 +p−12 8 p 2 +18p+9 ÷ 6 p 2 −11p+4 2 p 2 +11p−6 6 p 2 +p−12 8 p 2 +18p+9 ÷ 6 p 2 −11p+4 2 p 2 +11p−6
q 2 −9 q 2 +6q+9 ÷ q 2 −2q−3 q 2 +2q−3 q 2 −9 q 2 +6q+9 ÷ q 2 −2q−3 q 2 +2q−3
18 d 2 +77d−18 27 d 2 −15d+2 ÷ 3 d 2 +29d−44 9 d 2 −15d+4 18 d 2 +77d−18 27 d 2 −15d+2 ÷ 3 d 2 +29d−44 9 d 2 −15d+4
16 x 2 +18x−55 32 x 2 −36x−11 ÷ 2 x 2 +17x+30 4 x 2 +25x+6 16 x 2 +18x−55 32 x 2 −36x−11 ÷ 2 x 2 +17x+30 4 x 2 +25x+6
144 b 2 −25 72 b 2 −6b−10 ÷ 18 b 2 −21b+5 36 b 2 −18b−10 144 b 2 −25 72 b 2 −6b−10 ÷ 18 b 2 −21b+5 36 b 2 −18b−10
16 a 2 −24a+9 4 a 2 +17a−15 ÷ 16 a 2 −9 4 a 2 +11a+6 16 a 2 −24a+9 4 a 2 +17a−15 ÷ 16 a 2 −9 4 a 2 +11a+6
22 y 2 +59y+10 12 y 2 +28y−5 ÷ 11 y 2 +46y+8 24 y 2 −10y+1 22 y 2 +59y+10 12 y 2 +28y−5 ÷ 11 y 2 +46y+8 24 y 2 −10y+1
9 x 2 +3x−20 3 x 2 −7x+4 ÷ 6 x 2 +4x−10 x 2 −2x+1 9 x 2 +3x−20 3 x 2 −7x+4 ÷ 6 x 2 +4x−10 x 2 −2x+1
For the following exercises, add and subtract the rational expressions, and then simplify.
4 x + 10 y 4 x + 10 y
12 2q − 6 3p 12 2q − 6 3p
4 a+1 + 5 a−3 4 a+1 + 5 a−3
c+2 3 − c−4 4 c+2 3 − c−4 4
y+3 y−2 + y−3 y+1 y+3 y−2 + y−3 y+1
x−1 x+1 − 2x+3 2x+1 x−1 x+1 − 2x+3 2x+1
3z z+1 + 2z+5 z−2 3z z+1 + 2z+5 z−2
4p p+1 − p+1 4p 4p p+1 − p+1 4p
x x+1 + y y+1 x x+1 + y y+1
For the following exercises, simplify the rational expression.
6 y − 4 x y 6 y − 4 x y
2 a + 7 b b 2 a + 7 b b
x 4 − p 8 p x 4 − p 8 p
3 a + b 6 2b 3a 3 a + b 6 2b 3a
3 x+1 + 2 x−1 x−1 x+1 3 x+1 + 2 x−1 x−1 x+1
a b − b a a+b ab a b − b a a+b ab
2x 3 + 4x 7 x 2 2x 3 + 4x 7 x 2
2c c+2 + c−1 c+1 2c+1 c+1 2c c+2 + c−1 c+1 2c+1 c+1
x y − y x x y + y x x y − y x x y + y x
Real-World Applications
Brenda is placing tile on her bathroom floor. The area of the floor is 15 x 2 −8x−7 15 x 2 −8x−7 ft2. The area of one tile is x 2 −2x+1 ft 2 . x 2 −2x+1 ft 2 . To find the number of tiles needed, simplify the rational expression: 15 x 2 −8x−7 x 2 −2x+1 . 15 x 2 −8x−7 x 2 −2x+1 .
The area of Lijuan's yard is 25 x 2 −625 25 x 2 −625 ft2. A patch of sod has an area of x 2 −10x+25 x 2 −10x+25 ft2. Divide the two areas and simplify to find how many pieces of sod Lijuan needs to cover her yard.
Elroi wants to mulch his garden. His garden is x 2 +18x+81 x 2 +18x+81 ft2. One bag of mulch covers x 2 −81 x 2 −81 ft2. Divide the expressions and simplify to find how many bags of mulch Elroi needs to mulch his garden.
Extensions
For the following exercises, perform the given operations and simplify.
x 2 +x−6 x 2 −2x−3 ⋅ 2 x 2 −3x−9 x 2 −x−2 ÷ 10 x 2 +27x+18 x 2 +2x+1 x 2 +x−6 x 2 −2x−3 ⋅ 2 x 2 −3x−9 x 2 −x−2 ÷ 10 x 2 +27x+18 x 2 +2x+1
3 y 2 −10y+3 3 y 2 +5y−2 ⋅ 2 y 2 −3y−20 2 y 2 −y−15 y−4 3 y 2 −10y+3 3 y 2 +5y−2 ⋅ 2 y 2 −3y−20 2 y 2 −y−15 y−4
4a+1 2a−3 + 2a−3 2a+3 4 a 2 +9 a 4a+1 2a−3 + 2a−3 2a+3 4 a 2 +9 a
x 2 +7x+12 x 2 +x−6 ÷ 3 x 2 +19x+28 8 x 2 −4x−24 ÷ 2 x 2 +x−3 3 x 2 +4x−7 x 2 +7x+12 x 2 +x−6 ÷ 3 x 2 +19x+28 8 x 2 −4x−24 ÷ 2 x 2 +x−3 3 x 2 +4x−7