Learning Objectives
In this section, you will:
Use interval notation
Use properties of inequalities.
Solve inequalities in one variable algebraically.
Solve absolute value inequalities.
It is not easy to make the honor roll at most top universities. Suppose students were required to carry a course load of at least 12 credit hours and maintain a grade point average of 3.5 or above. How could these honor roll requirements be expressed mathematically? In this section, we will explore various ways to express different sets of numbers, inequalities, and absolute value inequalities.
Using Interval Notation
Indicating the solution to an inequality such as x≥4 x≥4 can be achieved in several ways.
We can use a number line as shown in Figure 2. The blue ray begins at x=4 x=4 and, as indicated by the arrowhead, continues to infinity, which illustrates that the solution set includes all real numbers greater than or equal to 4.
We can use set-builder notation: { x|x≥4 }, { x|x≥4 }, which translates to “all real numbers x such that x is greater than or equal to 4.” Notice that braces are used to indicate a set.
The third method is interval notation, in which solution sets are indicated with parentheses or brackets. The solutions to x≥4 x≥4 are represented as [ 4,∞ ). [ 4,∞ ). This is perhaps the most useful method, as it applies to concepts studied later in this course and to other higher-level math courses.
The main concept to remember is that parentheses represent solutions greater or less than the number, and brackets represent solutions that are greater than or equal to or less than or equal to the number. Use parentheses to represent infinity or negative infinity, since positive and negative infinity are not numbers in the usual sense of the word and, therefore, cannot be “equaled.” A few examples of an interval, or a set of numbers in which a solution falls, are [ −2,6 ), [ −2,6 ), or all numbers between −2 −2 and 6, 6, including −2, −2, but not including 6; 6; ( −1,0 ), ( −1,0 ), all real numbers between, but not including −1 −1 and 0; 0; and ( −∞,1 ], ( −∞,1 ], all real numbers less than and including 1. 1. Table 1 outlines the possibilities.
row: Set Indicated | Set-Builder Notation | Interval Notation
row: All real numbers between a and b, but not including a or b | { x|a<x<b } { x|a<x<b } | ( a,b ) ( a,b )
row: All real numbers greater than a, but not including a | { x|x>a } { x|x>a } | ( a,∞ ) ( a,∞ )
row: All real numbers less than b, but not including b | { x|x<b } { x|x<b } | ( −∞,b ) ( −∞,b )
row: All real numbers greater than a, including a | { x|x≥a } { x|x≥a } | [ a,∞ ) [ a,∞ )
row: All real numbers less than b, including b | { x|x≤b } { x|x≤b } | ( −∞,b ] ( −∞,b ]
row: All real numbers between a and b, including a | { x|a≤x<b } { x|a≤x<b } | [ a,b ) [ a,b )
row: All real numbers between a and b, including b | { x|a<x≤b } { x|a<x≤b } | ( a,b ] ( a,b ]
row: All real numbers between a and b, including a and b | { x|a≤x≤b } { x|a≤x≤b } | [ a,b ] [ a,b ]
row: All real numbers less than a or greater than b | { x|x<aorx>b } { x|x<aorx>b } | ( −∞,a )∪( b,∞ ) ( −∞,a )∪( b,∞ )
row: All real numbers | { x|xis all real numbers } { x|xis all real numbers } | ( −∞,∞ ) ( −∞,∞ )
1. ਮਿਸਾਲ 1
2. 'a' ਤੋਂ ਵੱਡੀਆਂ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
3. -2 ਤੋਂ ਵੱਡੀਆਂ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। -2। -2।
4. ਹੱਲ
5. -2 'ਤੇ ਇੱਕ ਬ੍ਰੈਕਟ ਅਤੇ ਅਨੰਤ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਪੈਰੇਨਥੀਸਿਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: [ -2,∞ )। [ -2,∞ )। ਬ੍ਰੈਕਟ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ -2 -2 ਨੂੰ -2 ਤੋਂ ਵੱਡੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
7. -3 ਅਤੇ 5 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅਤੇ ਸ਼ਾਮਲ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। 5।
8. ਮਿਸਾਲ 2
9. 'a' ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਜਾਂ 'b' ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
10. -1 ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਜਾਂ 1 ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਅੰਤਰਾਲ ਲਿਖੋ। 1।
11. ਹੱਲ
12. ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਮਿਸਾਲ ਲਈ ਦੋ ਅੰਤਰਾਲ ਲਿਖਣੇ ਪੈਣਗੇ। ਪਹਿਲੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ 1 ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਅੰਤਰਾਲ -∞ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ -1 'ਤੇ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ( -∞,-1 ] ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ( -∞,-1 ]।
13. ਦੂਜੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ 1 ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ [ 1,∞ ) ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। [ 1,∞ )। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸਮੂਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਯੂਨੀਅਨ ਚਿੰਨ੍ਹ, ∪, ਪਾ ਕੇ ਇਸਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ∪, ਦੋ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
14. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #2
15. -2 ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ 3 ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਓ।
16. ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
17. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨਾਲ ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਬਿਲਕੁਲ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਹੀਂ। ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਜੋੜ ਗੁਣ ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਅਪਵਾਦ ਇਹ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਜਾਂ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ; ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਅਸਮਾਨਤਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਉਲਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
18. ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣ
19. ਇਹ ਗੁਣ a≤b, a≤b, a>b, a>b, ਅਤੇ a≥b 'ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। a≥b।
20. ਮਿਸਾਲ 3
21. ਜੋੜ ਗੁਣ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ
22. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਲਈ ਜੋੜ ਗੁਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਓ:
23. ⓐ x−15<4 x−15<4
24. ⓑ 6≥x−1 6≥x−1
x+7>9 x+7>9
ਹੱਲ
ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਲਈ ਜੋੜ ਦਾ ਗੁਣ ਇਹ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਅਸਮਾਨਤਾ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਨਾਲ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦੀ।
ⓐ x−15<4 x−15+15<4+15 ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 15 ਜੋੜੋ। x<19 x−15<4 x−15+15<4+15 ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 15 ਜੋੜੋ। x<19
ⓑ 6≥x−1 6+1≥x−1+1 ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 1 ਜੋੜੋ। 7≥x 6≥x−1 6+1≥x−1+1 ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 1 ਜੋੜੋ। 7≥x
ⓒ x+7>9 x+7−7>9−7 ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 7 ਘਟਾਓ। x>2 x+7>9 x+7−7>9−7 ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 7 ਘਟਾਓ। x>2
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਹੱਲ ਕਰੋ: 3x−2<1। 3x−2<1।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਗੁਣਾ ਦੇ ਗੁਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ
ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਲਈ ਗੁਣਾ ਦੇ ਗੁਣ ਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਦਰਸਾਓ:
ⓐ 3x<6 3x<6
ⓑ −2x−1≥5 −2x−1≥5
ⓒ 5−x>10 5−x>10
ਹੱਲ
ⓐ 3x<6 1 3 (3x)<(6) 1 3 x<2 3x<6 1 3 (3x)<(6) 1 3 x<2
ⓑ −2x−1≥5 −2x≥6 ( − 1 2 )(−2x)≥(6)( − 1 2 ) − 1 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। x≤−3 ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਉਲਟਾਓ। −2x−1≥5 −2x≥6 ( − 1 2 )(−2x)≥(6)( − 1 2 ) − 1 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। x≤−3 ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਉਲਟਾਓ।
ⓒ 5−x>10 −x>5 (−1)(−x)>(5)(−1) −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। x<−5 ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਉਲਟਾਓ। 5−x>10 −x>5 (−1)(−x)>(5)(−1) −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। x<−5 ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਉਲਟਾਓ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਹੱਲ ਕਰੋ: 4x+7≥2x−3। 4x+7≥2x−3।
ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਿੱਚ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਅਲਜਬਰਾਈਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅਸਮਾਨਤਾ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ; ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਅਲਜਬਰਾਈਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
13−7x≥10x−4 ਦਾ ਅਸਮਾਨਤਾ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਆਖਰੀ ਕਦਮ ਤੱਕ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਾਂਗ ਹੀ ਹੈ।
ਹੱਲ ਸਮੂਹ ਅੰਤਰਾਲ ( −∞,1 ] ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਾਂ 1 ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ: −x+4< 1 2 x+1।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਭਿੰਨਾਂ ਵਾਲੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ: − 3 4 x≥− 5 8 + 2 3 x।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਹੱਲ ਸਮੂਹ ਅੰਤਰਾਲ ( −∞, 15 34 ] ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ: − 5 6 x≤ 3 4 + 8 3 x।
ਸੰਯੁਕਤ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਅਸਮਾਨਤਾ ਇੱਕ ਬਿਆਨ ਵਿੱਚ ਦੋ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੀ ਹੈ। 4<x≤6 ਵਰਗਾ ਇੱਕ ਬਿਆਨ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ 4<x ਅਤੇ x≤6। ਸੰਯੁਕਤ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਦੋ ਤਰੀਕੇ ਹਨ: ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਦੋ ਵੱਖਰੀਆਂ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵੱਖ ਕਰਨਾ ਜਾਂ ਸੰਯੁਕਤ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਅਖੰਡ ਰੱਖਣਾ ਅਤੇ ਤਿੰਨਾਂ ਹਿੱਸਿਆਂ 'ਤੇ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰਨਾ। ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਵਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਸੰਯੁਕਤ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸੰਯੁਕਤ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: 3≤2x+2<6।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾ ਤਰੀਕਾ ਦੋ ਵੱਖਰੀਆਂ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਲਿਖਣਾ ਹੈ: 3≤2x+2 ਅਤੇ 2x+2<6। ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਅਸਮਾਨਤਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮੱਸਿਆ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਈ ਸੀ।
ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਨੂੰ [ 1 2 ,2 ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਦੂਜਾ ਤਰੀਕਾ ਸੰਯੁਕਤ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਅਖੰਡ ਰੱਖਣਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਹਿੱਸਿਆਂ 'ਤੇ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਸਾਨੂੰ ਇੱਕੋ ਹੱਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ: [ 1 2 ,2 ). [ 1 2 ,2 ).
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਸੰਯੁਕਤ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: 4<2x−8≤10. 4<2x−8≤10.
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਤਿੰਨਾਂ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨਾਲ ਸੰਯੁਕਤ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਤਿੰਨਾਂ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨਾਲ ਸੰਯੁਕਤ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: 3+x>7x−2>5x−10. 3+x>7x−2>5x−10.
ਹੱਲ
ਆਓ ਪਹਿਲੀ ਵਿਧੀ ਅਜ਼ਮਾਈਏ। ਦੋ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਲਿਖੋ:
ਹੱਲ ਸੈੱਟ −4<x< 5 6 −4<x< 5 6 ਹੈ ਜਾਂ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ( −4, 5 6 ). ( −4, 5 6 ). ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ ਪਹਿਲਾਂ ਆਉਂਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
ਸੰਯੁਕਤ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: 3y<4−5y<5+3y. 3y<4−5y<5+3y.
ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਸੇ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ, ( −x,0 ) ( −x,0 ) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ x ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ x ਇਕਾਈ ਦੂਰ ਹੈ। ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਵਜੋਂ ਵਿਚਾਰੋ। ਦਿਸ਼ਾ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ, ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ, ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਅਸਮਾਨਤਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਰੂਪ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ A, ਅਤੇ ਕਈ ਵਾਰ B, ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ x 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਸਾਰੇ x x-ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਲੱਭਣਾ ਜੋ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇਹ ਸੈੱਟ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਜਾਂ ਦੋ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦਾ ਸੰਯੋਜਨ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਵੇਗੀ।
ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਦੋ ਮੁੱਖ ਤਰੀਕੇ ਹਨ: ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਅਤੇ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ। ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਪਹੁੰਚ ਦਾ ਫਾਇਦਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਪੜ੍ਹ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਪਹੁੰਚ ਦਾ ਫਾਇਦਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਹੱਲ ਸਹੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਹੀ ਹੱਲ ਕਈ ਵਾਰ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਪੜ੍ਹਨੇ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਨਿਵੇਸ਼ 'ਤੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵੀ ਰਿਟਰਨ ਜਾਨਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ $600 ਦੇ $200 ਦੇ ਅੰਦਰ ਕੁਝ ਪੈਸਾ ਕਮਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ x-ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਲਈ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x x ਅਤੇ 600 ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ 200 ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ x x ਅਤੇ 600 ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ | x−600 |, | x−600 | ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ, | x−600 |≤200 | x−600 |≤200 ਜਾਂ
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਾਡੇ ਰਿਟਰਨ $400 ਅਤੇ $800 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੋਣਗੇ।
ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਬਿਲਕੁਲ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ
ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ X, ਅਤੇ k>0, k>0 ਲਈ, ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਅਸਮਾਨਤਾ ਇਸ ਰੂਪ ਦੀ ਇੱਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਹੈ
ਇਹ ਕਥਨ | X |≤k | X |≤k ਅਤੇ | X |≥k. | X |≥k 'ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਪ੍ਰਭਾਸ਼ਿਤ ਦੂਰੀ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
5 ਦੇ ਅੰਕ ਤੋਂ 4 ਦੇ ਫਾਸਲੇ ਅੰਦਰ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲ x x ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x x ਅਤੇ 5 ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ 4 ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ। ਜਿਹੜੀ ਸ਼ਰਤ ਪੂਰੀ ਕਰਨੀ ਹੈ, ਉਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ, ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
x x ਤੋਂ 5 ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਚਿੰਨ੍ਹ, | x−5 |, | x−5 | ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। x x ਦੇ ਉਹ ਮੁੱਲ ਲਿਖੋ ਜੋ ਸ਼ਰਤ ਨੂੰ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਅਸਮਾਨਤਾ ਵਜੋਂ ਪੂਰਾ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਮੇਸ਼ਾ ਦੋ ਹੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਜੇਕਰ ਹੱਲ ਸਮੂਹ x≤9 x≤9 ਅਤੇ x≥1, x≥1 ਹੈ, ਤਾਂ ਹੱਲ ਸਮੂਹ 1 ਅਤੇ 9 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਸਾਰੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ | x−5 |≤4 | x−5 |≤4 ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ [ 1,9 ] [ 1,9 ] ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
2 ਦੇ ਅੰਕ ਤੋਂ 3 ਦੇ ਫਾਸਲੇ ਅੰਦਰ ਸਾਰੇ x-ਮੁੱਲ ਦੱਸੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
| x−1 |≤3 |x−1|≤3 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਪਹੁੰਚ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨ y=− 1 2 | 4x−5 |+3, y=− 1 2 |4x−5|+3 ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਉਹ x-ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ y-ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਕਿ y<0, y<0 ਕਦੋਂ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ − 1 2 | 4x−5 |+3<0, − 1 2 |4x−5|+3<0 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਸਮਾਨਤਾ | 4x−5 |=6, |4x−5|=6 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ y-ਮੁੱਲ ਕਿੱਥੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਕਿੱਥੇ ਹਨ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਬਿਲਕੁਲ ਕਿਹੋ ਜਿਹਾ ਦਿਖਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਪਤਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ x=− 1 4 x=− 1 4 ਅਤੇ x= 11 4 , x= 11 4 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10
−2| k−4 |≤−6, −2| k−4 |≤−6 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਰੇਖੀ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਅਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
1. ਅੰਤਰਾਲ ਸੰਕੇਤ
2. ਰੇਖੀ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ
3. ਇੱਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ
4. ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨ
5. ਸੰਯੁਕਤ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ
6. ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ
7. ਸ਼ਬਦਿਕ
8. ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਦੱਸੋ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਕਦਮ ਤੋਂ ਦੂਜੇ ਕਦਮ ਤੱਕ ਕੀ ਹੋਇਆ:
9. ਕਦਮ 1 −2x>6 ਕਦਮ 2 x<−3
10. ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ:
11. x+2<x+3 2<3
12. ਦੱਸੋ ਕਿ ਸਾਡਾ ਹੱਲ ਸਮੂਹ ਕੀ ਹੈ।
13. ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਸੰਕੇਤ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ?
14. ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ:
15. x+2>x+3 2>3
16. ਦੱਸੋ ਕਿ ਸਾਡਾ ਹੱਲ ਸਮੂਹ ਕੀ ਹੈ।
17. ਦੱਸੋ ਕਿ y=| x−3 | ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ ਹੈ।
18. ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
19. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਆਪਣੇ ਅੰਤਿਮ ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਸੰਕੇਤ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
20. 4x−7≤9
21. 3x+2≥7x−1
22. −2x+3>x−5
23. 4(x+3)≥2x−1
24. − 1 2 x≤− 5 4 + 2 5 x
−5(x−1)+3>3x−4−4x
−3(2x+1)>−2(x+4)
x+3 8 − x+5 5 ≥ 3 10
x−1 3 + x+2 5 ≤ 3 5
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਵਾਲੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਆਪਣਾ ਅੰਤਿਮ ਉੱਤਰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
| x+9 |≥−6
| 2x+3 |<7
|3x−1|>11
| 2x+1 |+1≤6
| x−2 |+4≥10
| −2x+7 |≤13
|x−7|<−4
|x−20|>−1
| x−3 4 |<2
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਅੰਦਰ ਜਾਂ ਉਸ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਸਾਰੇ x-ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
7 ਨੰਬਰ ਤੋਂ 5 ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਦੂਰੀ
9 ਨੰਬਰ ਤੋਂ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਦੂਰੀ
4 ਨੰਬਰ ਤੋਂ 10 ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਦੂਰੀ
1 ਨੰਬਰ ਤੋਂ 11 ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਦੂਰੀ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮਿਸ਼ਰਤ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਆਪਣਾ ਜਵਾਬ ਅਸਮਾਨਤਾ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਆਪਣਾ ਜਵਾਬ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਿਖੋ।
−4<3x+2≤18
3x+1>2x−5>x−7
3y<5−2y<7+y
2x−5<−11or 5x+1≥6
x+7<x+2 x+7<x+2
Graphical
For the following exercises, graph the function. Observe the points of intersection and shade the x-axis representing the solution set to the inequality. Show your graph and write your final answer in interval notation.
|x−1|>2 |x−1|>2
| x+3 |≥5 | x+3 |≥5
| x+7 |≤4 | x+7 |≤4
| x−2 |<7 | x−2 |<7
| x−2 |<0 | x−2 |<0
For the following exercises, graph both straight lines (left-hand side being y1 and right-hand side being y2) on the same axes. Find the point of intersection and solve the inequality by observing where it is true comparing the y-values of the lines.
x+3<3x−4 x+3<3x−4
x−2>2x+1 x−2>2x+1
x+1>x+4 x+1>x+4
1 2 x+1> 1 2 x−5 1 2 x+1> 1 2 x−5
4x+1< 1 2 x+3 4x+1< 1 2 x+3
Numeric
For the following exercises, write the set in interval notation.
{ x| −1<x<3 } { x| −1<x<3 }
{ x| x≥7 } { x| x≥7 }
{ x| x<4 } { x| x<4 }
{ x| xis all real numbers } { x| xis all real numbers }
For the following exercises, write the interval in set-builder notation.
( −∞,6 ) ( −∞,6 )
( 4,∞ ) ( 4,∞ )
[−3,5) [−3,5)
1. [−4,1]∪[9,∞) [−4,1]∪[9,∞)
2. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
3. ਤਕਨਾਲੋਜੀ
4. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਆਪਣੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਵਿੱਚ Y1 ਗ੍ਰਾਫ ਵਜੋਂ ਅਸਮਾਨਤਾ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਕਰੋ। y2 = ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾਖਲ ਕਰੋ। ਕਿਸੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦਾਖਲ ਕਰਨਾ MATH ਮੀਨੂ, Num, 1:abs( ਵਿੱਚ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ, ਯਾਦ ਰੱਖੋ (2nd CALC 5:intersection, 1st curve, enter, 2nd curve, enter, guess, enter)। ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਇੱਕ ਸਕੈਚ ਕਾਪੀ ਕਰੋ ਅਤੇ ਅਸਮਾਨਤਾ ਦੇ ਹੱਲ ਸਮੂਹ ਲਈ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਸ਼ੇਡ ਕਰੋ। ਅੰਤਿਮ ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
5. | x+2 |−5<2 | x+2 |−5<2
6. −1 2 | x+2 |<4 −1 2 | x+2 |<4
7. | 4x+1 |−3>2 | 4x+1 |−3>2
8. | x−4 |<3 | x−4 |<3
9. | x+2 |≥5 | x+2 |≥5
10. ਵਿਸਤਾਰ
11. | 3x+1 |=| 2x+3 | ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ | 3x+1 |=| 2x+3 |
12. x 2 −x>12 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ x 2 −x>12
13. x−5 x+7 ≤0, x−5 x+7 ≤0, x≠−7 x≠−7
14. p=− x 2 +130x−3000 p=− x 2 +130x−3000 ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਕਾਰੋਬਾਰ ਲਈ ਇੱਕ ਮੁਨਾਫਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ। x-ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਲੱਭੋ ਜੋ ਇਸ ਮੁਨਾਫੇ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਰੱਖੇਗਾ।
15. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
16. ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਗੈਸ ਲਈ ਆਇਤਨ V=20T, V=20T ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ V ਨੂੰ cc ਵਿੱਚ ਅਤੇ T ਨੂੰ ºC ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਤਾਪਮਾਨ 80ºC ਅਤੇ 120ºC ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਇਤਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਲੱਭੋ।
17. ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸੈਲੂਲਰ ਪੈਕੇਜ ਦੀ ਕੀਮਤ $20/ਮਹੀਨਾ ਹੈ। 60 ਮਿੰਟ ਕਾਲਿੰਗ ਲਈ, ਉਸ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ $.30/ਮਿੰਟ ਦਾ ਵਾਧੂ ਚਾਰਜ। ਲਾਗਤ ਫਾਰਮੂਲਾ C=20+.30(x−60) ਹੋਵੇਗਾ। C=20+.30(x−60)। ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਆਪਣੇ ਬਿੱਲ ਨੂੰ $50 ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ ਰੱਖਣਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਕਿੰਨੇ ਮਿੰਟ ਕਾਲਿੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?