ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਤर्कਯੁਕਤ ਸਿਫ਼ਰ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤਰਕਯੁਕਤ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭੋ।
ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਨਾਲ ਬਹੁਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਡੈਸਕਾਰਟੇਸ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਬੇਕਰੀ ਵਿਆਹਾਂ ਅਤੇ ਕੁਇਨਸੀਨੇਰਾ ਜਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸਜਾਵਟੀ, ਬਹੁ-ਪੱਧਰੀ ਕੇਕ ਅਤੇ ਮਹਿਮਾਨਾਂ ਦੀ ਸੇਵਾ ਲਈ ਸ਼ੀਟ ਕੇਕ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਬੇਕਰੀ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਸ਼ੀਟ ਕੇਕ ਦਾ ਆਕਾਰ 351 ਘਣ ਇੰਚ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕੇਕ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਠੋਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਉਹ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਕੇਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਨਾਲੋਂ ਚਾਰ ਇੰਚ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਚੌੜਾਈ ਦਾ ਇੱਕ ਤਿਹਾਈ ਹੋਵੇ। ਕੇਕ ਪੈਨ ਦਾ ਆਕਾਰ ਕੀ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਕੇਕ ਦੇ ਆਕਾਰ ਲਈ ਇੱਕ ਘਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖ ਕੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਘਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖਣ ਅਤੇ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਾਧਨਾਂ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।
ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡਣਾ ਸਿੱਖਿਆ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਪਦ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ x–k ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਾਕੀ ਨੂੰ k 'ਤੇ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ, ਯਾਨੀ, f(k) ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਸਬੂਤ 'ਤੇ ਚੱਲੀਏ।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਡਿਵੀਡੈਂਡ f(x) ਅਤੇ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਬਹੁਪਦ ਡਿਵਾਈਜ਼ਰ d(x) ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਵਿਲੱਖਣ ਬਹੁਪਦ q(x) ਅਤੇ r(x) ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ
ਅਤੇ ਜਾਂ ਤਾਂ r(x)=0 ਜਾਂ r(x) ਦੀ ਡਿਗਰੀ d(x) ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ। ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਡਿਵਾਈਜ਼ਰ, d(x), ਦੀ ਡਿਗਰੀ f(x) ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗੀ। ਜੇਕਰ ਡਿਵਾਈਜ਼ਰ, d(x), x−k ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਰੂਪ ਲੈਂਦਾ ਹੈ
ਕਿਉਂਕਿ ਡਿਵਾਈਜ਼ਰ x−k ਰੇਖੀ ਹੈ, ਬਾਕੀ ਇੱਕ ਸਥਿਰ, r, ਹੋਵੇਗਾ। ਅਤੇ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ x=k ਲਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, f(k) x−k ਦੁਆਰਾ f(x) ਨੂੰ ਵੰਡਣ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਬਾਕੀ ਹੈ।
ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ f(x) ਨੂੰ x−k ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਾਕੀ ਮੁੱਲ f(k) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x=k 'ਤੇ f(x) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ x−k ਨਾਲ ਵੰਡਣ ਲਈ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਬਾਕੀ ਮੁੱਲ f(k) ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f(x)=6 x 4 − x 3 −15 x 2 +2x−7 ਦਾ ਮੁੱਲ x=2 'ਤੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਬਾਕੀ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ x−2 ਨਾਲ ਵੰਡਣ ਲਈ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਬਾਕੀ 25 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, f(2)=25।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ f(2) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f(x)=2 x 5 −3 x 4 −9 x 3 +8 x 2 +2 ਦਾ ਮੁੱਲ x=−3 'ਤੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਇੱਕ ਹੋਰ ਥਿਊਰਮ ਹੈ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ (zeros) ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ k ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਾਕੀ r f(k)=0 ਹੈ ਅਤੇ f(x)=(x−k)q(x)+0 ਜਾਂ f(x)=(x−k)q(x)।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ, ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, x−k, f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ k, f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਤਾਂ x−k, f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ x−k, f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ, ਤਾਂ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਐਲਗੋਰਿਦਮ f(x)=(x−k)q(x)+r ਦਾ ਬਾਕੀ 0 ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ k ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਇਹ ਪ੍ਰੇਰਨਾਵਾਂ ਦੀ ਜੋੜੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜਲਦੀ ਹੀ ਦੇਖਾਂਗੇ, ਸੰਕਲਪੀ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਡਿਗਰੀ n ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ n ਸਿਫ਼ਰ ਰੱਖੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ n ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ
ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, k, f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੇਕਰ (x−k), f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਅਤੇ ਤੀਜੀ-ਡਿਗਰੀ ਬਹੁਪਦ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ (x−k) ਨਾਲ ਵੰਡਣ ਲਈ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ ਬਾਕੀ 0 ਹੈ।
ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ (x−k) ਅਤੇ ਦੋਘਾਤੀ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਦੋਘਾਤੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
Example 2
Using the Factor Theorem to Find the Zeros of a Polynomial Expression
Show that (x+2) (x+2) is a factor of x 3 −6 x 2 −x+30. x 3 −6 x 2 −x+30. Find the remaining factors. Use the factors to determine the zeros of the polynomial.
Solution
We can use synthetic division to show that (x+2) (x+2) is a factor of the polynomial.
The remainder is zero, so (x+2) (x+2) is a factor of the polynomial. We can use the Division Algorithm to write the polynomial as the product of the divisor and the quotient:
We can factor the quadratic factor to write the polynomial as
By the Factor Theorem, the zeros of x 3 −6 x 2 −x+30 x 3 −6 x 2 −x+30 are –2, 3, and 5.
Try It #2
Use the Factor Theorem to find the zeros of f(x)= x 3 +4 x 2 −4x−16 f(x)= x 3 +4 x 2 −4x−16 given that (x−2) (x−2) is a factor of the polynomial.
Using the Rational Zero Theorem to Find Rational Zeros
Another use for the Remainder Theorem is to test whether a rational number is a zero for a given polynomial. But first we need a pool of rational numbers to test. The Rational Zero Theorem helps us to narrow down the number of possible rational zeros using the ratio of the factors of the constant term and factors of the leading coefficient of the polynomial
Consider a quadratic function with two zeros, x= 2 5 x= 2 5 and x= 3 4 . x= 3 4 . By the Factor Theorem, these zeros have factors associated with them. Let us set each factor equal to 0, and then construct the original quadratic function absent its stretching factor.
Notice that two of the factors of the constant term, 6, are the two numerators from the original rational roots: 2 and 3. Similarly, two of the factors from the leading coefficient, 20, are the two denominators from the original rational roots: 5 and 4.
We can infer that the numerators of the rational roots will always be factors of the constant term and the denominators will be factors of the leading coefficient. This is the essence of the Rational Zero Theorem; it is a means to give us a pool of possible rational zeros.
The Rational Zero Theorem
The Rational Zero Theorem states that, if the polynomial f(x)= a n x n + a n−1 x n−1 +...+ a 1 x+ a 0 f(x)= a n x n + a n−1 x n−1 +...+ a 1 x+ a 0 has integer coefficients an≠0an≠0, then every rational zero of f(x) f(x) has the form p q p q where p p is a factor of the constant term a 0 a 0 and q q is a factor of the leading coefficient a n . a n .
When the leading coefficient is 1, the possible rational zeros are the factors of the constant term.
How To
Given a polynomial function f(x), f(x), use the Rational Zero Theorem to find rational zeros.
Determine all factors of the constant term and all factors of the leading coefficient.
Determine all possible values of p q , p q , where p p is a factor of the constant term and q q is a factor of the leading coefficient. Be sure to include both positive and negative candidates.
Determine which possible zeros are actual zeros by evaluating each case of f( p q ). f( p q ).
Example 3
ਸੰਭਾਵੀ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਉਣਾ
f(x)=2 x 4 −5 x 3 + x 2 −4 ਦੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵੀ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਉ।
ਹੱਲ
f(x) ਦੇ ਕੇਵਲ ਸੰਭਾਵੀ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਅੰਤਿਮ ਪਦ, –4, ਦੇ ਗੁਣਕਾਂ ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ, 2, ਦੇ ਗੁਣਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਹਨ।
ਸਥਿਰ ਪਦ –4 ਹੈ; –4 ਦੇ ਗੁਣਕ p=±1,±2,±4 ਹਨ।
ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ 2 ਹੈ; 2 ਦੇ ਗੁਣਕ q=±1,±2 ਹਨ।
ਜੇਕਰ ਚਾਰ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਉਹ –4 ਦੇ ਗੁਣਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨੂੰ 2 ਦੇ ਗੁਣਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ 'ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣਗੇ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ 2/2=1 ਅਤੇ 4/2=2, ਜੋ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਆਪਣੀ ਸੂਚੀ ਨੂੰ ਛੋਟਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣਾ
f(x)=2 x 3 + x 2 −4x+1 ਦੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਮੇਯ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ p/q, f(x) ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਤਾਂ p, 1 ਦਾ ਗੁਣਕ ਹੈ ਅਤੇ q, 2 ਦਾ ਗੁਣਕ ਹੈ।
1 ਦੇ ਗੁਣਕ ±1 ਹਨ ਅਤੇ 2 ਦੇ ਗੁਣਕ ±1 ਅਤੇ ±2 ਹਨ। p/q ਦੇ ਸੰਭਾਵੀ ਮੁੱਲ ±1 ਅਤੇ ±1/2 ਹਨ। ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸੰਭਾਵੀ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੰਭਾਵੀ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੇ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ, f(x) ਵਿੱਚ x ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ।
ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, −1, −1/2, ਅਤੇ 1/2, f(x) ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹਨ। 1, f(x) ਦਾ ਇਕਲੌਤਾ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
f(x)= x 3 −5 x 2 +2x+1 ਦੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣਾ
ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਮੇਯ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸੰਭਾਵੀ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਨੂੰ ਸੰਕੀਰਨ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਕਰ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ f, ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵੀ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਮੀਦਵਾਰ ਨੂੰ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੰਡ ਕੇ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਸੰਭਾਵੀ ਸਿਫ਼ਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਬਾਕੀ 0 ਹੈ, ਤਾਂ ਉਮੀਦਵਾਰ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਬਾਕੀ ਜ਼ੀਰੋ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਮੀਦਵਾਰ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰੋ।
ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਏ ਭਾਗਫਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਦਮ ਦੋ ਦੁਹਰਾਓ। ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਭਾਗਫਲ ਇੱਕ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਨਾ ਹੋ ਜਾਵੇ, ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ।
ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭੋ। ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਸੰਭਵ ਤਰੀਕੇ ਹਨ: ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣਾ ਅਤੇ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣਾ
f(x)=4 x 3 −3x−1 ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭੋ। f(x)=4 x 3 −3x−1।
ਹੱਲ
ਪਰਿਮੇਯ ਸਿਫ਼ਰ ਥਿਊਰਮ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ p q, f(x) ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਤਾਂ p, –1 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ਅਤੇ q, 4 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।
–1 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ±1 ਹਨ ਅਤੇ 4 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ±1, ±2, ਅਤੇ ±4 ਹਨ। p q ਦੇ ਸੰਭਵ ਮੁੱਲ ±1, ±1/2, ±1/4 ਹਨ। ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸੰਭਵ ਪਰਿਮੇਯ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਸੰਭਵ ਸਿਫ਼ਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਨੂੰ 0 ਬਾਕੀ ਨਾ ਮਿਲੇ। ਆਓ 1 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
(x−1) ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ 'ਤੇ 0 ਬਾਕੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ 1 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਦੋ ਘਾਤੀ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ। f(x) ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 1 ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਸਿਫ਼ਰ 2 ਦੀ ਗੁਣਨਤਾ (multiplicity) ਰੱਖੇਗਾ ਕਿਉਂਕਿ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ 1 ਅਤੇ −1/2 ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਗੁਣਨਤਾ 2 ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ, x=−0.5 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉਛਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਿਫ਼ਰ −0.5 ਦੀ ਸਮ ਗੁਣਨਤਾ (2,4,6…) ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। x=1 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਿਫ਼ਰ x=1 ਦੀ ਵਿਸ਼ਮ ਗੁਣਨਤਾ (1,3,5…) ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਬੀਜਗਣਿਤ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਪਰਿਮੇਯ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਥਿਊਰਮ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸੰਕੀਰਨ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਬਾਰੇ ਦੱਸਦੀ ਹੈ। ਬੀਜਗਣਿਤ ਦਾ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸੰਕੀਰਨ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਥਿਊਰਮ ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਨੀਂਹ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ f ਚਾਰ ਘਾਤ ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ f(x)=0। ਬੀਜਗਣਿਤ ਦਾ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸੰਕੀਰਨ ਹੱਲ, ਜਿਸਨੂੰ c1 ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਮੌਜੂਦ ਹੈ। ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ, ਅਸੀਂ f(x) ਨੂੰ x−c1 ਅਤੇ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ x−c1 ਰੇਖੀ ਹੈ, ਬਹੁਪਦੀ ਭਾਗਫਲ ਤਿੰਨ ਘਾਤ ਦਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਭਾਗਫਲ 'ਤੇ ਬੀਜਗਣਿਤ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸੰਕੀਰਨ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਸਨੂੰ c2 ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦੀ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ x−c2 ਅਤੇ ਦੋ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਬਹੁਪਦੀ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਬੀਜਗਣਿਤ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਰੇ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਲੱਭ ਜਾਂਦੇ। ਚਾਰ ਹੋਣਗੇ ਅਤੇ ਹਰੇਕ f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੇਵੇਗਾ।
ਬੀਜਗਣਿਤ ਦਾ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ
ਬੀਜਗਣਿਤ ਦਾ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਜੇਕਰ f(x) n > 0 ਘਾਤ ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ f(x) ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸੰਕੀਰਨ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਦਲੀਲ ਦੇਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ, ਜੇਕਰ f(x) n>0 ਘਾਤ ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ a ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ f(x) ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ n ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਜਿੱਥੇ c1, c2, ..., cn ਸੰਕੀਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੀਏ ਤਾਂ f(x) ਦੇ n ਰੂਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
Q&A
ਕੀ ਹਰ ਬਹੁਪਦੀ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
ਨਹੀਂ। ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸੰਕੀਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਹਨ, ਪਰ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਨਹੀਂ। ਇੱਕ ਸੰਕੀਰਨ ਸੰਖਿਆ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵੀ ਸੰਕੀਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਸੰਕੀਰਨ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣਾ
1. f(x)=3 x 3 +9 x 2 +x+3 ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭੋ। f(x)=3 x 3 +9 x 2 +x+3।
2. ਹੱਲ
3. ਰੈਸ਼ਨਲ ਜ਼ੀਰੋ ਥਿਊਰਮ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ p q p q, f(x) ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਤਾਂ p p, 3 ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ਅਤੇ q q, 3 ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।
4. 3 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ±1 ±1 ਅਤੇ ±3 ਹਨ। ±3। p q p q ਲਈ ਸੰਭਵ ਮੁੱਲ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸੰਭਵ ਰੈਸ਼ਨਲ ਸਿਫ਼ਰ, ±3,±1, ਅਤੇ ± 1 3 ਹਨ। ±3,±1, ਅਤੇ ± 1 3। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਤੱਕ ਹਰੇਕ ਸੰਭਵ ਸਿਫ਼ਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ 0 ਦਾ ਬਾਕੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਆਓ –3 ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
5. (x+3) (x+3) ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇਣ 'ਤੇ 0 ਦਾ ਬਾਕੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ –3 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
6. ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਦੂਜੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
7. f(x) f(x) ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ –3 ਅਤੇ ± i 3 3 ਹਨ। ± i 3 3।
8. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
9. ਫਿਗਰ 2 ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ, x=−3, x=−3 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ x-ਐਕਸਿਸ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸਿਫ਼ਰ x=–3 ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਗੁਣਨਤਾ (1) ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। x=–3। ਦੋ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਨੂੰ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰੋ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ 3ਵੀਂ ਡਿਗਰੀ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦੇਖ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਬੇਅੰਤ ਵਧਣ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਬੇਅੰਤ ਘਟਣ ਦਾ ਅੰਤਮ ਵਿਵਹਾਰ ਜਾਰੀ ਰਹੇਗਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਾਰੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਜਾਂ ਤਾਂ x=−3 x=−3 ਦੀ ਗੁਣਨਤਾ 1 ਹੈ ਅਤੇ ਦੋ ਕੰਪਲੈਕਸ ਹੱਲ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਲੱਭਿਆ ਹੈ, ਜਾਂ x=−3 x=−3 'ਤੇ ਗੁਣਨਤਾ ਤਿੰਨ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਡਾ ਨਤੀਜਾ ਸਹੀ ਹੈ।
10. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
11. f(x)=2 x 3 +5 x 2 −11x+4 ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭੋ। f(x)=2 x 3 +5 x 2 −11x+4।
12. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਨਾਲ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਲੀਨੀਅਰ ਫੈਕਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
13. ਅਲਜਬਰਾ ਦੇ ਫੰਡਾਮੈਂਟਲ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਤੀਜਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਦੱਸਿਆ ਹੈ, ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਡਿਗਰੀ n n ਵਾਲੇ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ n n ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣਗੇ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਤਾਵਾਂ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ n n ਕਾਰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਫੈਕਟਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਲੀਨੀਅਰ ਫੈਕਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਾਰਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੋਵੇਗੀ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਕਾਰਕ (x−c), (x−c) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿੱਥੇ c c ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹੈ।
14. ਮੰਨ ਲਓ f f ਅਸਲ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ a+bi, b≠0, a+bi, b≠0, f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। f(x)। ਫਿਰ, ਫੈਕਟਰ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ, x−(a+bi) x−(a+bi), f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਰਕ ਹੈ। f(x)। f f ਦੇ ਅਸਲ ਗੁਣਾਂਕ ਹੋਣ ਲਈ, x−(a−bi) x−(a−bi) ਵੀ f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਰਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। f(x)। ਇਹ ਸੱਚ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ x−(a−bi), x−(a−bi) ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੋਈ ਵੀ ਕਾਰਕ, ਜਦੋਂ x−(a+bi), x−(a+bi) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਰਹਿ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਸਿਰਫ਼ ਕੰਜੂਗੇਟ ਜੋੜਿਆਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਖਤਮ ਹੋ ਜਾਣਗੇ ਅਤੇ ਅਸਲ ਗੁਣਾਂਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣਗੇ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਅਸਲ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲੇ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦਾ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਸਿਫ਼ਰ a+bi, a+bi ਹੈ, ਤਾਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ a−bi a−bi ਵੀ f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। f(x)। ਇਸਨੂੰ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ ਥਿਊਰਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
15. ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ ਥਿਊਰਮ
16. ਲੀਨੀਅਰ ਫੈਕਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਾਰਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੋਵੇਗੀ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਕਾਰਕ (x−c) (x−c) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿੱਥੇ c c ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹੈ।
17. ਜੇਕਰ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦੇ ਅਸਲ ਗੁਣਾਂਕ ਹਨ ਅਤੇ a+bi, a+bi ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਦਾ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ, a−bi, a−bi, ਵੀ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
18. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
19. ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ (c, f(c)) 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਲੀਨੀਅਰ ਫੈਕਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। f, f,
20. ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੇ ਲੀਨੀਅਰ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
21. ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਲੀਨੀਅਰ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
22. ਲੀਡਿੰਗ ਗੁਣਾਂਕ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ( c,f( c ) ) ( c,f( c ) ) ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ।
23. ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 7
ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਲੱਭਣਾ
ਵਾਸਤਵਿਕ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲਾ ਚੌਥੀ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੇ ਸਿਫ਼ਰ –3, 2, i, i ਹੋਣ, ਜਿਸ ਨਾਲ f(−2)=100 ਹੋਵੇ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ x=i ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਥਿਊਰਮ ਅਨੁਸਾਰ x=–i ਵੀ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ (x+3), (x−2), (x−i), ਅਤੇ (x+i) ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ 4 ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਬਹੁਪਦ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਚਾਰ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ। ਆਓ ਇਨ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
ਸਾਨੂੰ a ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ f(–2)=100 ਯਕੀਨੀ ਬਣ ਸਕੇ। f(x) ਵਿੱਚ x=–2 ਅਤੇ f(2)=100 ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।
ਇਸ ਲਈ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ
ਜਾਂ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਪਾਇਆ ਕਿ i ਅਤੇ −i ਦੋਵੇਂ ਸਿਫ਼ਰ ਸਨ, ਪਰ ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਸੀ। ਜੇਕਰ i ਵਾਸਤਵਿਕ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਤਾਂ −i ਵੀ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ −i, i ਦਾ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਹੈ।
Q&A
ਜੇਕਰ 2+3i ਵਾਸਤਵਿਕ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਕੀ 2−3i ਵੀ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਦਾ ਸੰਯੁਗਮ ਵੀ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਵਾਸਤਵਿਕ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲਾ ਤੀਜੀ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੇ ਸਿਫ਼ਰ 5 ਅਤੇ −2i ਹੋਣ, ਜਿਸ ਨਾਲ f(1)=10 ਹੋਵੇ।
ਡੈਸਕਾਰਟੇਸ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸੰਭਾਵਿਤ ਧਨ ਅਤੇ ਰਿਣ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿੱਧਾ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਘਟਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਡੈਸਕਾਰਟੇਸ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਨਿਯਮ ਸਾਨੂੰ f(x) ਵਿੱਚ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਧਨ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਬੰਧ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਾਵ ਹੈ।
ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ 1 ਧਨ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
f(−x) ਵਿੱਚ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਰਿਣ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸਬੰਧ ਹੈ।
ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, f(−x) ਵਿੱਚ 3 ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਾਵ ਹਨ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ f(x) ਦੇ 3 ਜਾਂ 1 ਰਿਣ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਡੈਸਕਾਰਟੇਸ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਨਿਯਮ
ਡੈਸਕਾਰਟੇਸ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਅਨੁਸਾਰ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ f(x)= a n x n + a n−1 x n−1 +...+ a 1 x+ a 0 ਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੰਨੀਏ:
ਧਨ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਾਂ ਤਾਂ f(x) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਰਿਣ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਾਂ ਤਾਂ f(−x) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਡੈਸਕਾਰਟੇਸ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਡੈਸਕਾਰਟਿਸ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f(x)=− x 4 −3 x 3 +6 x 2 −4x−12 ਲਈ ਸੰਭਾਵਿਤ ਧਨ ਅਤੇ ਰਿਣ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। f(x)=− x 4 −3 x 3 +6 x 2 −4x−12।
ਹੱਲ
ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ।
ਦੋ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ 2 ਜਾਂ 0 ਧਨ ਅਸਲ ਜੜ੍ਹਾਂ ਹਨ। ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਰਿਣ ਅਸਲ ਜੜ੍ਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ f(−x) f(−x) ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਦੁਬਾਰਾ, ਦੋ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ 2 ਜਾਂ 0 ਰਿਣ ਅਸਲ ਜੜ੍ਹਾਂ ਹਨ।
ਚਾਰ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਾਰਣੀ 1 ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਰਣੀ: ਧਨ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋ | ਰਿਣ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋ | ਕੰਪਲੈਕਸ ਜ਼ੀਰੋ | ਕੁੱਲ ਜ਼ੀਰੋ
ਸਾਰਣੀ: 2 | 2 | 0 | 4
ਸਾਰਣੀ: 2 | 0 | 2 | 4
ਸਾਰਣੀ: 0 | 2 | 2 | 4
ਸਾਰਣੀ: 0 | 0 | 4 | 4
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ ਧਨ ਅਤੇ ਰਿਣ ਅਸਲ ਜੜ੍ਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 5 ਦੇਖੋ। ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ 0 ਧਨ ਅਸਲ ਜੜ੍ਹਾਂ ਅਤੇ 2 ਰਿਣ ਅਸਲ ਜੜ੍ਹਾਂ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
f(x)=2 x 4 −10 x 3 +11 x 2 −15x+12 ਲਈ ਧਨ ਅਤੇ ਰਿਣ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਭਾਵਿਤ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਡੈਸਕਾਰਟਿਸ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। f(x)=2 x 4 −10 x 3 +11 x 2 −15x+12। ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਧਨ ਅਤੇ ਰਿਣ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਵਾਸਤਵਿਕ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਾਧਨ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਹਨ। ਆਓ ਇਹਨਾਂ ਸਾਧਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਸ ਬੇਕਰੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰੀਏ ਜੋ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਬੇਕਰੀ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨੀ ਅਤੇ ਕਵਿਨਸੀਨੇਰਾ ਅਤੇ ਵਿਆਹ ਦੇ ਜਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸਜਾਏ, ਬਹੁ-ਪੱਧਰੀ ਕੇਕ, ਅਤੇ ਨਾਲ ਹੀ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਮਹਿਮਾਨਾਂ ਦੀ ਸੇਵਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ੀਟ ਕੇਕ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਬੇਕਰੀ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਸ਼ੀਟ ਕੇਕ ਦਾ ਆਇਤਨ 351 ਘਣ ਇੰਚ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕੇਕ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਠੋਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਉਹ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਕੇਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਕੇਕ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਨਾਲੋਂ ਚਾਰ ਇੰਚ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਕੇਕ ਦੀ ਉਚਾਈ ਚੌੜਾਈ ਦਾ ਇੱਕ-ਤਿਹਾਈ ਹੋਵੇ। ਕੇਕ ਪੈਨ ਦੇ ਮਾਪ ਕੀ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ?
ਹੱਲ
ਕੇਕ ਦੇ ਆਇਤਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ V=lwh ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। V=lwh। ਸਾਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸੀ ਕਿ ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਨਾਲੋਂ ਚਾਰ ਇੰਚ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕੇਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ l=w+4 ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। l=w+4। ਸਾਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸੀ ਕਿ ਕੇਕ ਦੀ ਉਚਾਈ ਚੌੜਾਈ ਦਾ ਇੱਕ-ਤਿਹਾਈ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕੇਕ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ h= 1 3 w ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। h= 1 3 w। ਆਓ ਕੇਕ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਕੇਕ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਏ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਡੈਸਕਾਰਟਿਸ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਨਿਯਮ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਧਨ ਹੱਲ ਹੈ। ਰੈਸ਼ਨਲ ਜ਼ੀਰੋ ਥਿਊਰਮ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੰਭਾਵਿਤ ਰੈਸ਼ਨਲ ਜ਼ੀਰੋ ±1,±3,±9,±13,±27,±39,±81,±117,±351, ±1,±3,±9,±13,±27,±39,±81,±117,±351, ਅਤੇ ±1053 ਹਨ। ±1053। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸੰਭਾਵਿਤ ਜ਼ੀਰੋਆਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਿਰਫ ਧਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਕੇਕ ਲਈ ਮਾਪ ਵਜੋਂ ਸਮਝਦਾਰੀ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਕੋਈ ਵੀ ਰਿਣ ਮੁੱਲ ਪਰਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਆਓ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਸ਼ੀਟ ਕੇਕ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮਝਦਾਰੀ ਵਾਲੇ ਮਾਪਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। x=1 ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। x=1।
Since 1 is not a solution, we will check x=3. x=3.
Since 3 is not a solution either, we will test x=9. x=9.
Synthetic division gives a remainder of 0, so 9 is a solution to the equation. We can use the relationships between the width and the other dimensions to determine the length and height of the sheet cake pan.
The sheet cake pan should have dimensions 13 inches by 9 inches by 3 inches.
Try It #7
A shipping container in the shape of a rectangular solid must have a volume of 84 cubic meters. The client tells the manufacturer that, because of the contents, the length of the container must be one meter longer than the width, and the height must be one meter greater than twice the width. What should the dimensions of the container be?
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with zeros of polynomial functions.
Real Zeros, Factors, and Graphs of Polynomial Functions
Complex Factorization Theorem
Find the Zeros of a Polynomial Function
Find the Zeros of a Polynomial Function 2
Find the Zeros of a Polynomial Function 3
Verbal
Describe a use for the Remainder Theorem.
Explain why the Rational Zero Theorem does not guarantee finding zeros of a polynomial function.
What is the difference between rational and real zeros?
If Descartes’ Rule of Signs reveals a no change of signs or one sign of changes, what specific conclusion can be drawn?
If synthetic division reveals a zero, why should we try that value again as a possible solution?
Algebraic
For the following exercises, use the Remainder Theorem to find the remainder.
( x 4 −9 x 2 +14 )÷( x−2 ) ( x 4 −9 x 2 +14 )÷( x−2 )
( 3 x 3 −2 x 2 +x−4 )÷( x+3 ) ( 3 x 3 −2 x 2 +x−4 )÷( x+3 )
( x 4 +5 x 3 −4x−17 )÷( x+1 ) ( x 4 +5 x 3 −4x−17 )÷( x+1 )
( −3 x 2 +6x+24 )÷( x−4 )
( 5 x 5 −4 x 4 +3 x 3 −2 x 2 +x−1 )÷( x+6 )
( x 4 −1 )÷( x−4 )
( 3 x 3 +4 x 2 −8x+2 )÷( x−3 )
( 4 x 3 +5 x 2 −2x+7 )÷( x+2 )
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਗੁਣਕ ਅਤੇ ਗੁਣਕ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋ ਪਤਾ ਕਰੋ।
f(x)=2 x 3 −9 x 2 +13x−6;x−1
f(x)=2 x 3 + x 2 −5x+2;x+2
f(x)=3 x 3 + x 2 −20x+12;x+3
f(x)=2 x 3 +3 x 2 +x+6;x+2
f(x)=−5 x 3 +16 x 2 −9;x−3
x 3 +3 x 2 +4x+12;x+3
4 x 3 −7x+3;x−1
2 x 3 +5 x 2 −12x−30,2x+5
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅਸਲ ਹੱਲ(ਹੱਲਾਂ) ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਰੈਸ਼ਨਲ ਜ਼ੀਰੋ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
x 3 −3 x 2 −10x+24=0
2 x 3 +7 x 2 −10x−24=0
x 3 +2 x 2 −9x−18=0
x 3 +5 x 2 −16x−80=0
x 3 −3 x 2 −25x+75=0
2 x 3 −3 x 2 −32x−15=0
2 x 3 + x 2 −7x−6=0
2 x 3 −3 x 2 −x+1=0
3 x 3 − x 2 −11x−6=0
2 x 3 −5 x 2 +9x−9=0
2 x 3 −3 x 2 +4x+3=0
x 4 −2 x 3 −7 x 2 +8x+12=0
x 4 +2 x 3 −9 x 2 −2x+8=0
4 x 4 +4 x 3 −25 x 2 −x+6=0
2 x 4 −3 x 3 −15 x 2 +32x−12=0
x 4 +2 x 3 −4 x 2 −10x−5=0
4 x 3 −3x+1=0
8 x 4 +26 x 3 +39 x 2 +26x+6
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਾਰੇ ਜਟਿਲ ਹੱਲ (ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਵਾਸਤਵਿਕ) ਲੱਭੋ।
x 3 + x 2 +x+1=0
x 3 −8 x 2 +25x−26=0
x 3 +13 x 2 +57x+85=0
3 x 3 −4 x 2 +11x+10=0
x 4 +2 x 3 +22 x 2 +50x−75=0
2 x 3 −3 x 2 +32x+17=0
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸੰਭਾਵਿਤ ਧਨ ਅਤੇ ਰਿਣ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਡੇਸਕਾਰਟੇਸ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
f(x)= x 3 −1
f(x)= x 4 − x 2 −1
f(x)= x 3 −2 x 2 −5x+6
f(x)= x 3 −2 x 2 +x−1
f(x)= x 4 +2 x 3 −12 x 2 +14x−5
f(x)=2 x 3 +37 x 2 +200x+300
f(x) = x³ - 2x² - 16x + 32
f(x) = 2x⁴ - 5x³ - 5x² + 5x + 3
f(x) = 2x⁴ - 5x³ - 14x² + 20x + 8
f(x) = 10x⁴ - 21x² + 11
ਅੰਕੀ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ।
f(x) = x⁴ + 3x³ - 4x + 4
f(x) = 2x³ + 3x² - 8x + 5
f(x) = 3x³ + 5x² - 5x + 4
f(x) = 6x⁴ - 10x² + 13x + 1
f(x) = 4x⁵ - 10x⁴ + 8x³ + x² - 8
ਤਕਨਾਲੋਜੀ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਹੱਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਹਨ।
f(x) = 6x³ - 7x² + 1
f(x) = 4x³ - 4x² - 13x - 5
f(x) = 8x³ - 6x² - 23x + 6
f(x) = 12x⁴ + 55x³ + 12x² - 117x + 54
f(x) = 16x⁴ - 24x³ + x² - 15x + 25
ਵਿਸਤਾਰ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਸੰਭਵ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਓ।
ਅਸਲ ਜੜ੍ਹਾਂ: –1, 1, 3 ਅਤੇ (2, f(2)) = (2, 4)
ਅਸਲ ਜੜ੍ਹਾਂ: –1, 1 (ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀ 2 ਅਤੇ 1 ਦੇ ਨਾਲ) ਅਤੇ (2, f(2)) = (2, 4)
ਅਸਲ ਜੜ੍ਹਾਂ: –2, 1/2 (ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀ 2 ਦੇ ਨਾਲ) ਅਤੇ (–3, f(–3)) = (–3, 5)
ਅਸਲ ਜੜ੍ਹਾਂ: –1/2, 0, 1/2 ਅਤੇ (–2, f(–2)) = (–2, 6)
1. ਅਸਲ ਜੜ੍ਹਾਂ: –4, –1, 1, 4 ਅਤੇ (–2, f(–2)) = (–2, 10)
2. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਵਰਤੋਂ
3. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਵਰਣਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਬਕਸੇ ਦੇ ਮਾਪ ਲੱਭੋ।
4. ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਨਾਲੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਹੈ। ਉਚਾਈ ਚੌੜਾਈ ਨਾਲੋਂ 2 ਇੰਚ ਵੱਧ ਹੈ। ਆਇਤਨ 192 ਘਣ ਇੰਚ ਹੈ।
5. ਲੰਬਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ। ਆਇਤਨ 120 ਘਣ ਇੰਚ ਹੈ।
6. ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਨਾਲੋਂ ਇੱਕ ਇੰਚ ਵੱਧ ਹੈ, ਜੋ ਉਚਾਈ ਨਾਲੋਂ ਇੱਕ ਇੰਚ ਵੱਧ ਹੈ। ਆਇਤਨ 86.625 ਘਣ ਇੰਚ ਹੈ।
7. ਲੰਬਾਈ ਉਚਾਈ ਨਾਲੋਂ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਚੌੜਾਈ ਨਾਲੋਂ ਇੱਕ ਇੰਚ ਘੱਟ ਹੈ। ਆਇਤਨ 108 ਘਣ ਇੰਚ ਹੈ।
8. ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਨਾਲੋਂ 3 ਇੰਚ ਵੱਧ ਹੈ। ਚੌੜਾਈ ਉਚਾਈ ਨਾਲੋਂ 2 ਇੰਚ ਵੱਧ ਹੈ। ਆਇਤਨ 120 ਘਣ ਇੰਚ ਹੈ।
9. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਵਰਣਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸਿਲੰਡਰ ਦੇ ਮਾਪ ਲੱਭੋ।
10. ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਉਚਾਈ ਨਾਲੋਂ 3 ਇੰਚ ਵੱਧ ਹੈ। ਆਇਤਨ 16π ਘਣ ਮੀਟਰ ਹੈ।
11. ਉਚਾਈ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਅੱਧੇ ਨਾਲੋਂ ਇੱਕ ਘੱਟ ਹੈ। ਆਇਤਨ 72π ਘਣ ਮੀਟਰ ਹੈ।
12. ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੀਟਰ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ। ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵੱਡਾ ਹੈ ਅਤੇ ਆਇਤਨ 48π ਘਣ ਮੀਟਰ ਹੈ।
13. ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਵਿੱਚ ਦੋ ਮੀਟਰ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ। ਉਚਾਈ ਵੱਡੀ ਹੈ ਅਤੇ ਆਇਤਨ 28.125π ਘਣ ਮੀਟਰ ਹੈ।
14. ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਉਚਾਈ ਨਾਲੋਂ 1/3 ਮੀਟਰ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਆਇਤਨ 98/9 π ਘਣ ਮੀਟਰ ਹੈ।