ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਤੀਰ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਤर्कਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭੋ।
ਲੰਬਵਤ ਐਸਿੰਪਟੋਟਸ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਖਿਤਿਜੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟਸ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਉਤਪਾਦ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲਾਗਤ, x, x, ਪੈਦਾ ਹੋਈਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ C(x)=15,000x−0.1 x 2 +1000. C(x)=15,000x−0.1 x 2 +1000 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇ ਅਸੀਂ x x ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਲਈ ਔਸਤ ਲਾਗਤ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਲਾਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, x. x. ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਾਂਗੇ।
ਔਸਤ ਲਾਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਜੋ ਕਿ x x ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀ ਵਸਤੂ ਔਸਤ ਲਾਗਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਹੈ
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਹੋਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਮਿਲਦੇ ਹਨ। ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ, ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨੈਗੇਟਿਵ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸ਼ਕਤੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਵੇਗੀ।
ਪਿਛਲੇ ਕੁਝ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਲਈ ਗੈਰ-ਨੈਗੇਟਿਵ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਤੀਰ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਤੋਂ ਬੇਸਿਕ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਸਕੁਏਰਡ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇਖੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਧਿਐਨ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ f(x)= 1 x . f(x)= 1 x . ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰੀਏ ਤਾਂ ਕਈ ਚੀਜ਼ਾਂ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਖੱਬੀ ਸ਼ਾਖਾ 'ਤੇ, ਕਰਵ x-ਐਕਸਿਸ (y=0) ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→–∞. (y=0) ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→–∞.
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ x=0 x=0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸਿਓਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਕਰਵ ਹੇਠਾਂ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਨੇੜੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸਿਓਂ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ, ਕਰਵ ਉੱਪਰ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸੱਜੀ ਸ਼ਾਖਾ 'ਤੇ, ਕਰਵ x-ਐਕਸਿਸ (y=0) ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→∞. (y=0) ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→∞.
ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਤੀਰ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x x ਜਾਂ f(x) f(x) ਇੱਕ ਖਾਸ ਮੁੱਲ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ 1 ਦੇਖੋ।
row: ਪ੍ਰਤੀਕ | ਅਰਥ
row: x→ a − x→ a − | x x a a ਤੋਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸਿਓਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ( x<a x<a ਪਰ a a ਦੇ ਨੇੜੇ)
row: x→ a + x→ a + | x x a a ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸਿਓਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ( x>a x>a ਪਰ a a ਦੇ ਨੇੜੇ)
row: x→∞ x→∞ | x x ਅਨੰਤਤਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ( x x ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਵਧਦਾ ਹੈ)
row: x→−∞ x→−∞ | x x ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਨੰਤਤਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ( x x ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਘਟਦਾ ਹੈ)
row: f(x)→∞ f(x)→∞ | the output approaches infinity (the output increases without bound)
row: f(x)→−∞ f(x)→−∞ | the output approaches negative infinity (the output decreases without bound)
row: f(x)→a f(x)→a | the output approaches a a
Local Behavior of f(x)= 1 x f(x)= 1 x
Let’s begin by looking at the reciprocal function, f(x)= 1 x . f(x)= 1 x . We cannot divide by zero, which means the function is undefined at x=0; x=0; so zero is not in the domain. As the input values approach zero from the left side (becoming very small, negative values), the function values decrease without bound (in other words, they approach negative infinity). We can see this behavior in Table 2.
row: x x | –0.1 | –0.01 | –0.001 | –0.0001
row: f(x)= 1 x f(x)= 1 x | –10 | –100 | –1000 | –10,000
We write in arrow notation
As the input values approach zero from the right side (becoming very small, positive values), the function values increase without bound (approaching infinity). We can see this behavior in Table 3.
row: x x | 0.1 | 0.01 | 0.001 | 0.0001
row: f(x)= 1 x f(x)= 1 x | 10 | 100 | 1000 | 10,000
We write in arrow notation
See Figure 2.
This behavior creates a vertical asymptote, which is a vertical line that the graph approaches but never crosses. In this case, the graph is approaching the vertical line x=0 x=0 as the input becomes close to zero. See Figure 3.
Vertical Asymptote
A vertical asymptote of a graph is a vertical line x=a x=a where the graph tends toward positive or negative infinity as the input approaches a a from either the left or the right. We write
End Behavior of f(x)= 1 x f(x)= 1 x
As the values of x x approach infinity, the function values approach 0. As the values of x x approach negative infinity, the function values approach 0. See Figure 4. Symbolically, using arrow notation
As x→∞,f(x)→0,and as x→−∞,f(x)→0. As x→∞,f(x)→0,and as x→−∞,f(x)→0.
Based on this overall behavior and the graph, we can see that the function approaches 0 but never actually reaches 0; it seems to level off as the inputs become large. This behavior creates a horizontal asymptote, a horizontal line that the graph approaches as the input increases or decreases without bound. In this case, the graph is approaching the horizontal line y=0. y=0. See Figure 5.
Horizontal Asymptote
A horizontal asymptote of a graph is a horizontal line y=b y=b where the graph approaches the line as the inputs increase or decrease without bound. We write
Example 1
Using Arrow Notation
1. ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਤੀਰ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
2. ਹੱਲ
3. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ x=2 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਦਿਖਾ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ x=2 'ਤੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ।
4. ਅਤੇ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਘਟਦੇ ਹਨ, ਗ੍ਰਾਫ 4 ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਸਿੱਧਾ ਹੁੰਦਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ y=4 'ਤੇ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਵਧਦੇ ਹਨ, ਗ੍ਰਾਫ 4 'ਤੇ ਸਿੱਧਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
5. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
6. ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਸਕੁਏਰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਤੀਰ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 2
8. ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
9. ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਜੋ ਦੋ ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਹੋਵੇ।
10. ਹੱਲ
11. ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਅਤੇ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਾਉਣ ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇਗਾ
12. ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ, ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੇ ਕੇ,
13. ਖਿਸਕਾਏ ਹੋਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
14. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ x=−2 'ਤੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ x=−2 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਵੀ ਦਿਖਾ ਰਿਹਾ ਹੈ।
15. ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਵਧਦੇ ਅਤੇ ਘਟਦੇ ਹਨ, ਗ੍ਰਾਫ 3 ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਸਿੱਧਾ ਹੁੰਦਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ y=3 'ਤੇ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
16. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
17. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਅਤੇ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਖਿਸਕ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
18. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
19. ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਸਕੁਏਰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ, ਅਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜੋ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਅਤੇ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।
20. ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
21. ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖਿਸਕਾਇਆ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 3x+7 x+2 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਇਆ। ਇਹ ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਦੋ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਈ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਦਰਾਂ ਅਤੇ ਇਕਾਗਰਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
22. ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ
23. ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਦੋ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ P(x) ਅਤੇ Q(x) ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 3
1. ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇੱਕ ਅਮਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
2. ਪਹਿਲਾਂ ਤੋਂ ਪੈਕ ਕੀਤੇ ਸਪਲਾਈਆਂ ਦੇ ਖਤਮ ਹੋਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇੱਕ ਸ਼ਰਨਾਰਥੀ ਕੈਂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਰਸ ਕੈਂਪ ਹਸਪਤਾਲ ਵਿੱਚ ਮਰੀਜ਼ਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਨਸ ਰਾਹੀਂ ਖੰਡ ਦਾ ਘੋਲ ਤਿਆਰ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਮਿਸ਼ਰਣ ਵਾਲੇ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਵਰਤਮਾਨ ਵਿੱਚ 100 ਗੈਲਨ ਡਿਸਟਿਲਡ ਪਾਣੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ 5 ਪੌਂਡ ਖੰਡ ਮਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਟੂਟੀ ਖੁੱਲ੍ਹੇਗੀ ਜੋ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ 10 ਗੈਲਨ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਡਿਸਟਿਲਡ ਪਾਣੀ ਡੋਲ੍ਹੇਗੀ, ਉਸੇ ਸਮੇਂ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ 1 ਪੌਂਡ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਖੰਡ ਪਾਈ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ। 12 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਖੰਡ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ, ਪੌਂਡ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ ਵਿੱਚ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਕੀ ਇਹ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਖੰਡ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ, ਪੌਂਡ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਹੈ?
3. ਹੱਲ
4. ਮੰਨ ਲਓ t ਟੂਟੀ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਮਿੰਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਪਾਣੀ 10 ਗੈਲਨ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਖੰਡ 1 ਪੌਂਡ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀਆਂ ਸਥਿਰ ਦਰਾਂ ਹਨ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਰੇਖੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਰਹੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਖੰਡ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਵੀ ਬਦਲ ਰਹੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਲਈ ਸੁਤੰਤਰ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
5. ਖੰਡ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ, ਪੌਂਡ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ ਵਿੱਚ, C, ਪੌਂਡ ਖੰਡ ਅਤੇ ਗੈਲਨ ਪਾਣੀ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗਾ।
6. 12 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਖੰਡ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ, ਪੌਂਡ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ ਵਿੱਚ, t=12 'ਤੇ C(t) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
7. ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਖੰਡ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ, ਪੌਂਡ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ ਵਿੱਚ, 17 ਪੌਂਡ ਖੰਡ ਪ੍ਰਤੀ 220 ਗੈਲਨ ਪਾਣੀ ਹੈ।
8. ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ, ਖੰਡ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ, ਪੌਂਡ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ ਵਿੱਚ, ਹੈ:
9. ਕਿਉਂਕਿ 17/220 ≈ 0.08 > 1/20 = 0.05, ਖੰਡ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ, ਪੌਂਡ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ ਵਿੱਚ, 12 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਧੇਰੇ ਹੈ।
10. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
11. ਦੁਪਹਿਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੈਲੀ ਵਿੱਚ 1,200 ਪਹਿਲੇ ਸਾਲ ਦੇ ਅਤੇ 1,500 ਦੂਜੇ ਸਾਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਹਨ। ਦੁਪਹਿਰ 12 ਵਜੇ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਹਰ ਪੰਜ ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ 20 ਪਹਿਲੇ ਸਾਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਰੈਲੀ ਵਿੱਚ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਕਿ 15 ਦੂਜੇ ਸਾਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਰੈਲੀ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਦੁਪਹਿਰ 1 ਵਜੇ ਪਹਿਲੇ ਸਾਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਸਾਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
12. ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭਣਾ
13. ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸਮਤੋਟ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਉਹ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਉਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਪਣੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੇ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਰੱਖ ਸਕਦਾ ਜੋ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਇਨਪੁਟਸ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣਨਗੇ।
14. ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ
15. ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਸਿਵਾਏ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਜੋ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਰਦੇ ਹਨ।
16. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
17. ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਡੋਮੇਨ ਲੱਭੋ।
18. ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
19. ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਰਨ ਵਾਲੇ x-ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
20. ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰ ਹਨ ਸਿਵਾਏ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਜੋ ਕਦਮ 2 ਵਿੱਚ ਮਿਲੇ ਹਨ।
21. ਉਦਾਹਰਨ 4
22. ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭਣਾ
23. f(x) = (x+3)/(x^2 - 9) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭੋ।
24. ਹੱਲ
1. ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਹਰ (denominator) ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
2. ਹਰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x=±3। x=±3। ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਸਿਵਾਏ x=±3। x=±3।
3. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
4. ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ x=±3 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। x=±3।
5. x=3 'ਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾ (vertical asymptote) ਹੈ ਅਤੇ x=−3 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੋਰੀ (hole) ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਮੋਰੀਆਂ ਬਾਰੇ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #4
7. f(x)= 4x 5(x−1)(x−5) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। f(x)= 4x 5(x−1)(x−5) ।
8. ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
9. ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਮਤਾਵਾਂ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਵੀ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਵੀ, ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਈ ਅਸੀਮਤਾਵਾਂ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
10. ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾਵਾਂ
11. ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ (numerator) ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ (factors) ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ, ਹਰ (denominator) ਦੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਾਂਝੇ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾਵਾਂ ਅਜਿਹੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ 'ਤੇ ਵਾਪਰਦੀਆਂ ਹਨ।
12. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
13. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
14. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
15. ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਾਬੰਦੀ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ।
16. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰਕੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਘਟਾਓ।
17. ਇਸ ਸਰਲ ਕੀਤੇ ਸੰਸਕਰਣ ਵਿੱਚ ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ। ਇੱਥੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾਵਾਂ ਵਾਪਰਦੀਆਂ ਹਨ।
18. ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਾਬੰਦੀ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਮਤਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਵਾਪਰਦੀਆਂ। ਇਹ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾਵਾਂ (removable discontinuities), ਜਾਂ “ਮੋਰੀਆਂ” (holes) ਹਨ।
19. ਉਦਾਹਰਨ 5
20. ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
21. k(x)= 5+2 x 2 2−x− x 2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ। k(x)= 5+2 x 2 2−x− x 2 ।
22. ਹੱਲ
23. ਪਹਿਲਾਂ, ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
24. ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾਵਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿੱਥੇ ਅਣਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੋਵੇਗਾ, ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ:
x=–2 ਅਤੇ x=1, ਅੰਸ਼ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਮੁੱਲ ਦੋ ਲੰਬੀਆਂ ਅਸਮਾਂਤ੍ਰਤਾਵਾਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੋ ਲੰਬੀਆਂ ਅਸਮਾਂਤ੍ਰਤਾਵਾਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤਤਤਾਵਾਂ
ਕਦੇ-ਕਦੇ, ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੋਰੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ: ਇੱਕ ਇਕੱਲਾ ਬਿੰਦੂ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਇੱਕ ਖਾਲੀ ਚੱਕਰ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੀ ਮੋਰੀ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤਤਤਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 2 −1 x 2 −2x−3 ਨੂੰ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ x+1, ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦਾ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ। ਇਸ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ, x=−1, ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤਤਤਾ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ x–3, ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ, x=3, ਲੰਬੀ ਅਸਮਾਂਤ੍ਰਤਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇਖੋ। [ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤਤਤਾਵਾਂ ਦਿਖਾਈ ਨਹੀਂ ਦੇ ਸਕਦੀਆਂ, ਜੋ ਚੁਣੇ ਗਏ ਵਿੰਡੋ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।]
ਤर्क ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤਤਤਾਵਾਂ
ਇੱਕ ਤਰਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ x=a 'ਤੇ ਇੱਕ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤਤਤਾ ਵਾਪਰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ a, ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ਜੋ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਾਲ ਸਾਂਝਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਕੋਈ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤਤਤਾ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਸੱਚ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਗੁਣਨਤਾ ਹਰ ਵਿੱਚ ਉਸਦੇ ਬਰਾਬਰ ਜਾਂ ਵੱਧ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇਸ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਗੁਣਨਤਾ ਵੱਧ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਅਜੇ ਵੀ ਇੱਕ ਅਸਮਾਂਤ੍ਰਤਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲਈ ਲੰਬੀਆਂ ਅਸਮਾਂਤ੍ਰਤਾਵਾਂ ਅਤੇ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤਤਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
k(x)= x−2 x 2 −4 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਲੰਬੀਆਂ ਅਸਮਾਂਤ੍ਰਤਾਵਾਂ ਅਤੇ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤਤਤਾਵਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ, x–2। ਇਸ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰ x=2 ਹੈ। ਇਹ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤਤਤਾ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ਜੋ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, x+2। ਇਸ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰ x=−2 ਹੈ। ਲੰਬੀ ਅਸਮਾਂਤ੍ਰਤਾ x=−2 ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 11 ਦੇਖੋ।
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ x=−2 'ਤੇ ਲੰਬੀ ਅਸਮਾਂਤ੍ਰਤਾ ਰੱਖੇਗਾ, ਪਰ x=2 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੋਰੀ ਹੋਵੇਗੀ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
f(x)= x 2 −25 x 3 −6 x 2 +5x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਲੰਬੀਆਂ ਅਸਮਾਂਤ੍ਰਤਾਵਾਂ ਅਤੇ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤਤਤਾਵਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਤर्क ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬੀਆਂ ਅਸਮਾਂਤ੍ਰਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਜਦੋਂ ਕਿ ਲੰਬੀਆਂ ਅਸਮਾਂਤ੍ਰਤਾਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦੋਂ ਆਉਟਪੁੱਟ ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਲੰਬੀਆਂ ਅਸਮਾਂਤ੍ਰਤਾਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁੱਟ ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਅੰਤ ਵਿਵਹਾਰ ਉਸਦੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਏਗਾ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇੱਕ ਤਰਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅੰਤ ਵਿਵਹਾਰ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਦਰਸਾਏਗਾ।
ਲੰਬੀਆਂ ਅਸਮਾਂਤ੍ਰਤਾਵਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਤਿੰਨ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:
ਕੇਸ 1: ਜੇਕਰ ਹਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ > ਅੰਸ਼ ਦੀ ਡਿਗਰੀ, ਤਾਂ y=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਅਸਮਾਂਤ੍ਰਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ, ਅੰਤ ਵਿਵਹਾਰ f(x)≈ 4x x 2 = 4 x ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁੱਟ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਵਧਦੇ ਜਾਂ ਘਟਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)= 4 x ਦੇ ਸਮਾਨ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰੇਗਾ, ਅਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਣਗੇ, ਜਿਸ ਨਾਲ y=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਅਸਮਾਂਤ੍ਰਤਾ ਹੋਵੇਗੀ। ਚਿੱਤਰ 12 ਦੇਖੋ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲੰਬੀ ਅਸਮਾਂਤ੍ਰਤਾ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 12: ਲੰਬੀ ਅਸਮਾਂਤ੍ਰਤਾ y=0 ਜਦੋਂ f(x)= p(x) q(x) ,q(x)≠0 ਜਿੱਥੇ p ਦੀ ਡਿਗਰੀ < q ਦੀ ਡਿਗਰੀ।
ਕੇਸ 2: ਜੇਕਰ ਹਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ < ਅੰਸ਼ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਇੱਕ ਦੁਆਰਾ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਤਿਰਛੀ ਅਸਮਾਂਤ੍ਰਤਾ ਮਿਲਦੀ ਹੈ।
ਇਸ ਹਾਲਤ ਵਿੱਚ, ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ f(x)≈ 3 x 2 x =3x ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਵਧਦੇ ਜਾਂ ਘਟਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=3x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰੇਗਾ। ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਵੱਡੇ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਆਉਟਪੁਟ ਵਧਣਗੇ ਅਤੇ ਸਮਤਲ ਨਹੀਂ ਹੋਣਗੇ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਕੋਈ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, g(x)=3x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਵਿਕਰੇਖਾ ਵਰਗਾ ਦਿਸਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ f, g ਦੇ ਸਮਾਨ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰੇਗਾ, ਇਹ y=3x ਦੇ ਨੇੜੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚੇਗਾ। ਇਹ ਰੇਖਾ ਇੱਕ ਢਲਵੀਂ ਅਸਮਤੋਟ ਹੈ।
ਢਲਵੀਂ ਅਸਮਤੋਟ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, 3 x 2 −2x+1 ਨੂੰ x−1 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ। ਭਾਗਫਲ 3x+1 ਹੈ, ਅਤੇ ਬਾਕੀ 2 ਹੈ। ਢਲਵੀਂ ਅਸਮਤੋਟ g(x)=3x+1 ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 13 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 13: ਢਲਵੀਂ ਅਸਮਤੋਟ ਜਦੋਂ f(x)= p(x) q(x) ,q(x)≠0 ਜਿੱਥੇ p ਦਾ ਡਿਗਰੀ q ਤੋਂ 1 ਵੱਧ ਹੈ।
ਕੇਸ 3: ਜੇਕਰ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਤਾਂ y= a n b n 'ਤੇ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a n ਅਤੇ b n, f(x)= p(x) q(x) ,q(x)≠0 ਲਈ p(x) ਅਤੇ q(x) ਦੇ ਲੀਡਿੰਗ ਕੋਫੀਸ਼ੀਐਂਟ ਹਨ।
ਇਸ ਹਾਲਤ ਵਿੱਚ, ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ f(x)≈ 3 x 2 x 2 =3 ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਵੱਡੇ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=3 ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਰਗਾ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰੇਗਾ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਲਾਈਨ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ x→±∞, f(x)→3, ਜਿਸਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ y=3 'ਤੇ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਬਣਦੀ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 14 ਦੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 14: ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਜਦੋਂ f(x)= p(x) q(x) ,q(x)≠0 ਜਿੱਥੇ p ਦੀ ਡਿਗਰੀ q ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਕਦੇ ਵੀ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟੇਗਾ, ਗ੍ਰਾਫ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਜਾਂ ਢਲਵੀਂ ਅਸਮਤੋਟ ਨੂੰ ਕੱਟ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ ਵੀ। ਨਾਲ ਹੀ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਕਈ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ (ਜਾਂ ਢਲਵੀਂ) ਅਸਮਤੋਟ ਹੋਵੇਗੀ।
ਇਹ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਜੇਕਰ ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਘਟਾਏ ਗਏ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਭਿੰਨ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਨਕਲ ਕਰੇਗਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ
ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨਾਲ
ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਲੀਡਿੰਗ ਕੋਫੀਸ਼ੀਐਂਟ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਮ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੇ ਸਮਾਨ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ।
ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟਾਂ
ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਨੂੰ ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਅਤੇ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੀਆਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ: y=0 'ਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ।
ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਵੱਧ ਹੈ: ਕੋਈ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਨਹੀਂ; ਢਲਵੀਂ ਅਸਮਤੋਟ।
ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ: ਲੀਡਿੰਗ ਕੋਫੀਸ਼ੀਐਂਟਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ 'ਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਤੇ ਢਲਵੀਂ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਸੂਚੀਬੱਧ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ, ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਜਾਂ ਢਲਵੀਂ ਅਸਮਤੋਟ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ⓐ g(x)= 6 x 3 −10x 2 x 3 +5 x 2
ⓑ h(x)= x 2 −4x+1 x+2
ⓒ k(x)= x 2 +4x x 3 −8
ਹੱਲ
ਇਹਨਾਂ ਹੱਲਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ f(x)= p(x) q(x) , q(x)≠0 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ⓐ g(x)= 6 x 3 −10x 2 x 3 +5 x 2 : p ਦੀ ਡਿਗਰੀ = q ਦੀ ਡਿਗਰੀ = 3 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਲੀਡਿੰਗ ਟਰਮਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੈ ਕੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। y= 6 2 ਜਾਂ y=3 'ਤੇ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹੈ।
ⓑ h(x)= x 2 −4x+1 x+2 : h(x)= x 2 −4x+1 x+2 : The degree of p=2 p=2 and degree of q=1. q=1. Since p>q p>q by 1, there is a slant asymptote found at x 2 −4x+1 x+2 . x 2 −4x+1 x+2 . The quotient is x–6 x–6 and the remainder is 13. There is a slant asymptote at y=x–6. y=x–6.
ⓒ k(x)= x 2 +4x x 3 −8 : k(x)= x 2 +4x x 3 −8 : The degree of p=2< p=2< degree of q=3, q=3, so there is a horizontal asymptote y=0. y=0.
Example 8
Identifying Horizontal Asymptotes
In the sugar concentration problem earlier, we created the equation C(t)= 5+t 100+10t . C(t)= 5+t 100+10t .
Find the horizontal asymptote and interpret it in context of the problem.
Solution
Both the numerator and denominator are linear (degree 1). Because the degrees are equal, there will be a horizontal asymptote at the ratio of the leading coefficients. In the numerator, the leading term is t, t, with coefficient 1. In the denominator, the leading term is 10t, 10t, with coefficient 10. The horizontal asymptote will be at the ratio of these values:
This function will have a horizontal asymptote at y= 1 10 . y= 1 10 .
This tells us that as the values of t increase, the values of C C will approach 1 10 . 1 10 . In context, this means that, as more time goes by, the concentration of sugar in the tank will approach one-tenth of a pound of sugar per gallon of water or 1 10 1 10 pounds per gallon.
Example 9
Identifying Horizontal and Vertical Asymptotes
Find the horizontal and vertical asymptotes of the function
Solution
First, note that this function has no common factors, so there are no potential removable discontinuities.
The function will have vertical asymptotes when the denominator is zero, causing the function to be undefined. The denominator will be zero at x=1,–2,and 5, x=1,–2,and 5, indicating vertical asymptotes at these values.
The numerator has degree 2, while the denominator has degree 3. Since the degree of the denominator is greater than the degree of the numerator, the denominator will grow faster than the numerator, causing the outputs to tend towards zero as the inputs get large, and so as x→±∞, f(x)→0. x→±∞, f(x)→0. This function will have a horizontal asymptote at y=0. y=0. See Figure 15.
Try It #6
Find the vertical and horizontal asymptotes of the function:
f(x)= (2x−1)(2x+1) (x−2)(x+3) f(x)= (2x−1)(2x+1) (x−2)(x+3)
Intercepts of Rational Functions
A rational function will have a y-intercept at f(0) f(0) , if the function is defined at zero. A rational function will not have a y-intercept if the function is not defined at zero.
Likewise, a rational function will have x-intercepts at the inputs that cause the output to be zero. Since a fraction is only equal to zero when the numerator is zero, x-intercepts can only occur when the numerator of the rational function is equal to zero.
Example 10
ਇੱਕ ਤਰਕ ਸੰਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਲੱਭਣਾ
f(x)= (x−2)(x+3) (x−1)(x+2)(x−5) . f(x)= (x−2)(x+3) (x−1)(x+2)(x−5) . ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਉਦੋਂ ਹੋਣਗੇ ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗਾ:
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,–0.6), (0,–0.6) ਹੈ, x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (2,0) (2,0) ਅਤੇ (–3,0) ਹਨ। (–3,0)। ਚਿੱਤਰ 16 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਸਕੁਏਰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਕਿ 3 ਯੂਨਿਟ ਸੱਜੇ ਅਤੇ 4 ਯੂਨਿਟ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਤਰਕ ਸੰਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ, x- ਅਤੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਅਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟਸ ਲੱਭੋ।
ਤਰਕ ਸੰਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਤਰਕ ਸੰਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਹਰ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟਸ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲਜ਼ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅੰਸ਼ ਦੇ ਕਾਰਕਾਂ ਦੀਆਂ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਉਹਨਾਂ ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਕਾਰ 'ਤੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਉਹੀ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲਜ਼ ਨਾਲ ਦੇਖਿਆ ਸੀ।
ਹਰ ਦੇ ਕਾਰਕਾਂ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟਸ ਦੋ ਟੂਲਕਿੱਟ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਗੇ। ਜਦੋਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕਾਰਕ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਵਿਸ਼ਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 17 ਦੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕਾਰਕ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਸਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਜਾਂ ਤਾਂ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ 'ਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ 'ਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 18 ਦੇਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)= (x+1) 2 (x−3) (x+3) 2 (x−2) f(x)= (x+1) 2 (x−3) (x+3) 2 (x−2) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 19 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ x=−1 x=−1 'ਤੇ ਜੋ ਅੰਸ਼ ਦੇ (x+1) 2 (x+1) 2 ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ "ਬਾਊਂਸ" ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਾਰਕ ਦੀ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ।
x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ x=3 x=3 'ਤੇ ਜੋ ਅੰਸ਼ ਦੇ (x−3) (x−3) ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ ਤੋਂ ਉਮੀਦ ਅਨੁਸਾਰ ਧੁਰੇ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=−3 x=−3 'ਤੇ ਜੋ ਹਰ ਦੇ (x+3) 2 (x+3) 2 ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਅਸਮਤੋਟ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ 'ਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 1 x 2 . f(x)= 1 x 2 . ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ।
ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=2, x=2, 'ਤੇ ਜੋ ਹਰ ਦੇ (x−2) (x−2) ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਅਸਮਤੋਟ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤਰਕ ਸੰਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 0 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਦਿਓ।
ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰੋ।
ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਕਾਰਕਾਂ ਲਈ ਜੋ ਹਰ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਅੰਸ਼ ਦਾ ਹਰ ਕਾਰਕ ਕਿੱਥੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਲੱਭੇ ਜਾ ਸਕਣ।
ਉਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਦੀਆਂ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਲੱਭੋ।
ਹਰ ਵਿੱਚ ਕਾਰਕਾਂ ਲਈ, ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਜ਼ੀਰੋ ਦੀਆਂ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ। ਉਹਨਾਂ ਕਾਰਕਾਂ ਲਈ ਜੋ ਅੰਸ਼ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟਸ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਅੰਸ਼ (numerator) ਦੇ ਗੁਣਕ (factors) ਹਰ (denominator) ਦੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨਾਲ ਸਾਂਝੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਲਤਾਵਾਂ (removable discontinuities) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੀਆਂ ਡਿਗਰੀਆਂ (degrees) ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਖਿਤਿਜੀ (horizontal) ਜਾਂ ਢਲਾਣ ਵਾਲੀਆਂ (slant) ਅਸੰਤੁਲਤਾਵਾਂ (asymptotes) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਖਾਕਾ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਫਲਨ (Rational Function) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
f(x)= (x+2)(x−3) / (x+1)^2 (x−2) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। f(x)= (x+2)(x−3) / (x+1)^2 (x−2) ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫਲਨ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਗੁਣਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਸਾਡਾ ਇੱਕ ਕਦਮ ਬਚ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (intercepts) ਲੱਭਾਂਗੇ। ਫਲਨ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਕੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫਲਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਕਦੋਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ, ਅਸੀਂ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ x=–2 ਅਤੇ x=3 'ਤੇ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਹਰੇਕ 'ਤੇ, ਵਿਵਹਾਰ ਰੇਖੀ (linear) (ਗੁਣਨਖੰਡਤਾ 1) ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘੇਗਾ।
ਸਾਡੇ ਕੋਲ (0,3) 'ਤੇ ਇੱਕ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਅਤੇ (–2,0) ਅਤੇ (3,0) 'ਤੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਹਨ।
ਉੱਤਰੀ ਅਸੰਤੁਲਤਾਵਾਂ (vertical asymptotes) ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰ ਕਦੋਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x+1=0 ਅਤੇ ਜਦੋਂ x–2=0, ਜਿਸ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ x=–1 ਅਤੇ x=2 'ਤੇ ਉੱਤਰੀ ਅਸੰਤੁਲਤਾਵਾਂ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ।
ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਲਤਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਹਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਅੰਸ਼ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ y=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਹੈ।
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਖਾਕਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਉੱਤਰੀ ਅਸੰਤੁਲਤਾਵਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਈ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫਲਨ ਨੂੰ ਅਸੰਤੁਲਤਾਵਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਰਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 20 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਭਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
x=−1 'ਤੇ ਉੱਤਰੀ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਗੁਣਕ ਦਾ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਿਵਹਾਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਣ ਵਾਲੇ ਇਨਪੁਟਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤਤਾ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤਤਾ ਵੱਲ ਵਧੇਗਾ।
x=2 'ਤੇ ਉੱਤਰੀ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਲਈ, ਗੁਣਕ ਦਾ ਵਰਗ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਵਿਰੋਧੀ ਵਿਵਹਾਰ ਹੋਵੇਗਾ। ਚਿੱਤਰ 21 ਦੇਖੋ। x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਫਿਰ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵੱਲ ਸਥਿਰ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
ਫਲਨ f(x)= (x+2)^2 (x−2)^2 / (x−1)^2 (x−3) ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਅਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਖਾਕਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਬਹੁਪਦਾਂ (polynomials) ਅਤੇ ਤਰਕਹੀਣ ਫਲਨਾਂ (rational functions) ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਤਰਕਹੀਣ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਤਰਕਹੀਣ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਾਲ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਫਲਨ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਗੁਣਕਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਗਏ ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਫਲਨ ਦਾ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉੱਥੇ ਹੋਵੇਗਾ ਜਿੱਥੇ ਅੰਸ਼ ਦਾ ਹਰੇਕ ਗੁਣਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (ਇੱਕ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਪਵਾਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।) ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘੇਗਾ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਗੁਣਕਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਮੂਹ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਫਲਨ ਦਾ ਉੱਤਰੀ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਉੱਥੇ ਹੋਵੇਗੀ ਜਿੱਥੇ ਹਰ ਦਾ ਹਰੇਕ ਗੁਣਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਹਰ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸੰਬੰਧਿਤ ਗੁਣਕਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਪੇਸ਼ ਕਰਕੇ ਉੱਤਰੀ ਅਸੰਤੁਲਤਾਵਾਂ ਪੈਦਾ ਕਰੇਗਾ।
ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਅਤੇ ਅਸੰਤੁਲਤਾਵਾਂ ਤੋਂ ਤਰਕਹੀਣ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣਾ
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਫਲਨ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ x= x 1 , x 2 ,..., x n 'ਤੇ, ਉੱਤਰੀ ਅਸੰਤੁਲਤਾਵਾਂ x= v 1 , v 2 ,…, v m 'ਤੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਕੋਈ x i = ਕੋਈ v j ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਜਿੱਥੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਕ 'ਤੇ ਘਾਤ p i ਜਾਂ q i ਨੂੰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਜਾਂ ਅਸੰਤੁਲਤਾ 'ਤੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਖਿੱਚਣ ਵਾਲਾ ਗੁਣਕ a, x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਫਲਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੁਆਰਾ ਜਾਂ ਜੇਕਰ ਇਹ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹੈ ਤਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਇੱਕ ਤਰਕਸੰਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖੋ।
ਅੰਸ਼ ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ। ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। (ਇਹ "ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ" ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਵੇਲੇ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਗੁਣਕਤਾ ਛੋਟੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ—ਜਿਵੇਂ ਕਿ 1 ਜਾਂ 3—ਪਰ ਵੱਡੀਆਂ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ—ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 5 ਜਾਂ 7—ਲਈ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।)
ਹਰ (denominator) ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ। ਗੁਣਕਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਹਰੇਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸਮਤੋਟ (vertical asymptote) ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਖਿੱਚਣ ਵਾਲੇ ਗੁਣਕ (stretch factor) ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਸਪੱਸ਼ਟ ਬਿੰਦੂ ਵਰਤੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 12
ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਤਰਕਸੰਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖਣਾ
ਚਿੱਤਰ 22 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਤਰਕਸੰਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਗ੍ਰਾਫ਼ x=–2 ਅਤੇ x=3 'ਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਦੋਵਾਂ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕਾਂ (linear factors) ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਦੋ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸਮਤੋਟ ਹਨ। x=–1 'ਤੇ ਇੱਕ, 1/x ਵਰਗਾ ਮੂਲ ਵਿਵਹਾਰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ (positive infinity) ਵੱਲ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ (negative infinity) ਵੱਲ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। x=2 'ਤੇ ਅਸਮਤੋਟ 1/x² ਵਰਗਾ ਵਿਵਹਾਰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਸਮਤੋਟ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 23 ਦੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਸ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਖਿੱਚਣ ਵਾਲੇ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਬਿੰਦੂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,–2) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਹ ਸਾਨੂੰ f(x)= 4(x+2)(x−3) / 3(x+1)(x−2)² ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਤਰਕਸੰਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਤਰਕਸੰਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
ਇੱਕ ਤਰਕਸੰਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ
ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਇੱਕ ਤਰਕਸੰਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟ, ਅਸਮਤੋਟ ਅਤੇ ਹੋਲ (hole) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਮੌਖਿਕ
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ (polynomial function) ਅਤੇ ਇੱਕ ਤਰਕਸੰਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਵਿੱਚ ਕੀ ਬੁਨਿਆਦੀ ਅੰਤਰ ਹੈ?
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਤਰਕਸੰਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀ ਬੁਨਿਆਦੀ ਅੰਤਰ ਹੈ?
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਤਰਕਸੰਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟੀ (removable discontinuity) ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਨਿਯਮ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸੱਚ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਕੀ ਇੱਕ ਤਰਕਸੰਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸਮਤੋਟ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਕਿਵੇਂ?
ਕੀ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਕੋਈ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਕਿਵੇਂ?
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਲੱਭੋ।
f(x)= x−1 x+2
f(x)= x+1 x 2 −1
f(x)= x 2 +4 x 2 −2x−8
f(x)= x 2 +4x−3 x 4 −5 x 2 +4
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼, ਲੰਬਵਤ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ, ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਲੱਭੋ।
f(x)= 4 x−1
f( x )= 2 5x+2
f(x)= x x 2 −9
f(x)= x x 2 +5x−36
f( x )= 3+x x 3 −27
f(x)= 3x−4 x 3 −16x
f(x)= x 2 −1 x 3 +9 x 2 +14x
f(x)= x+5 x 2 −25
f(x)= x−4 x−6
f( x )= 4−2x 3x−1
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫਲਨਾਂ ਦੇ x- ਅਤੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭੋ।
f(x)= x+5 x 2 +4
f(x)= x x 2 −x
f(x)= x 2 +8x+7 x 2 +11x+30
f(x)= x 2 +x+6 x 2 −10x+24
f(x)= 94−2 x 2 3 x 2 −12
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
2. f( x )= x 2x+1
3. f( x )= 2x x−6
4. f( x )= −2x x−6
5. f( x )= x 2 −4x+3 x 2 −4x−5
6. f( x )= 2 x 2 −32 6 x 2 +13x−5
7. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਢਲਵੀਂ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ (slant asymptote) ਲੱਭੋ।
8. f(x)= 24 x 2 +6x 2x+1
9. f(x)= 4 x 2 −10 2x−4
10. f(x)= 81 x 2 −18 3x−2
11. f(x)= 6 x 3 −5x 3 x 2 +4
12. f(x)= x 2 +5x+4 x−1
13. ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
14. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਰਿਵਰਤਨ (transformation) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਲੰਬੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ (vertical and horizontal asymptotes) ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ।
15. ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ (reciprocal function) ਨੂੰ ਦੋ ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
16. ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
17. ਉਲਟ ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ (reciprocal squared function) ਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
18. ਉਲਟ ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ 1 ਇਕਾਈ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
19. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (horizontal intercepts), ਲੰਬੀ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (vertical intercept), ਲੰਬੀ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ (vertical asymptotes), ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਢਲਵੀਂ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ (horizontal or slant asymptote) ਲੱਭੋ। ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
20. p( x )= 2x−3 x+4
21. q( x )= x−5 3x−1
22. s( x )= 4 ( x−2 ) 2
23. r( x )= 5 ( x+1 ) 2
24. f( x )= 3 x 2 −14x−5 3 x 2 +8x−16
g( x )= 2 x 2 +7x−15 3 x 2 −14x+15 g( x )= 2 x 2 +7x−15 3 x 2 −14x+15
a( x )= x 2 +2x−3 x 2 −1 a( x )= x 2 +2x−3 x 2 −1
b( x )= x 2 −x−6 x 2 −4 b( x )= x 2 −x−6 x 2 −4
h( x )= 2 x 2 + x−1 x−4 h( x )= 2 x 2 + x−1 x−4
k( x )= 2 x 2 −3x−20 x−5 k( x )= 2 x 2 −3x−20 x−5
w( x )= ( x−1 )( x+3 )( x−5 ) ( x+2 ) 2 (x−4) w( x )= ( x−1 )( x+3 )( x−5 ) ( x+2 ) 2 (x−4)
z( x )= ( x+2 ) 2 ( x−5 ) ( x−3 )( x+1 )( x+4 ) z( x )= ( x+2 ) 2 ( x−5 ) ( x−3 )( x+1 )( x+4 )
For the following exercises, write an equation for a rational function with the given characteristics.
Vertical asymptotes at x=5 x=5 and x=−5, x=−5, x-intercepts at (2,0) (2,0) and (−1,0), (−1,0), y-intercept at ( 0,4 ) ( 0,4 )
Vertical asymptotes at x=−4 x=−4 and x=−1, x=−1, x-intercepts at ( 1,0 ) ( 1,0 ) and ( 5,0 ), ( 5,0 ), y-intercept at (0,7) (0,7)
Vertical asymptotes at x=−4 x=−4 and x=−5, x=−5, x-intercepts at ( 4,0 ) ( 4,0 ) and ( −6,0 ), ( −6,0 ), Horizontal asymptote at y=7 y=7
Vertical asymptotes at x=−3 x=−3 and x=6, x=6, x-intercepts at ( −2,0 ) ( −2,0 ) and ( 1,0 ), ( 1,0 ), Horizontal asymptote at y=−2 y=−2
Vertical asymptote at x=−1, x=−1, Double zero at x=2, x=2, y-intercept at (0,2) (0,2)
Vertical asymptote at x=3, x=3, Double zero at x=1, x=1, y-intercept at (0,4) (0,4)
For the following exercises, use the graphs to write an equation for the function.
Use 0,-120,-12 as the additional point.
Numeric
For the following exercises, make tables to show the behavior of the function near the vertical asymptote and reflecting the horizontal asymptote
f(x)= 1 x−2 f(x)= 1 x−2
f(x)= x x−3 f(x)= x x−3
f(x)= 2x x+4 f(x)= 2x x+4
f(x)= 2x (x−3) 2 f(x)= 2x (x−3) 2
f(x)= x 2 x 2 +2x+1 f(x)= x 2 x 2 +2x+1
Technology
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f(x)>0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। f(x)>0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
2. f(x) = 2x+1
3. f(x) = 4 / (2x-3)
4. f(x) = 2(x-1)(x+2)
5. f(x) = (x+2) / ((x-1)(x-4))
6. f(x) = (x+3)^2 / ((x-1)^2 (x+1))
7. ਵਿਸਤਾਰ
8. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
9. f(x) = (x^2-4) / (x-2)
10. f(x) = (x^3+1) / (x+1)
11. f(x) = (x^2+x-6) / (x-2)
12. f(x) = (2x^2+5x-3) / (x+3)
13. f(x) = (x^3+x^2) / (x+1)
14. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ
15. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਜੋ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
16. ਸ਼ਰਨਾਰਥੀ ਕੈਂਪ ਹਸਪਤਾਲ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਮਿਸ਼ਰਣ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਵਰਤਮਾਨ ਵਿੱਚ 200 ਗੈਲਨ ਪਾਣੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ 10 ਪੌਂਡ ਚੀਨੀ ਮਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਟੂਟੀ ਖੁੱਲ੍ਹੇਗੀ, ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ 10 ਗੈਲਨ ਪਾਣੀ ਡੋਲ੍ਹੇਗੀ, ਇਸੇ ਸਮੇਂ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ 3 ਪੌਂਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਚੀਨੀ ਡੋਲੀ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ। t ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਚੀਨੀ ਦੀ ਸੰਗਣਤਾ (ਪੌਂਡ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ) ਪਤਾ ਕਰੋ।
17. ਸ਼ਰਨਾਰਥੀ ਕੈਂਪ ਹਸਪਤਾਲ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਮਿਸ਼ਰਣ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਵਰਤਮਾਨ ਵਿੱਚ 300 ਗੈਲਨ ਪਾਣੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ 8 ਪੌਂਡ ਚੀਨੀ ਮਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਟੂਟੀ ਖੁੱਲ੍ਹੇਗੀ, ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ 20 ਗੈਲਨ ਪਾਣੀ ਡੋਲ੍ਹੇਗੀ, ਇਸੇ ਸਮੇਂ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ 2 ਪੌਂਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਚੀਨੀ ਡੋਲੀ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ। t ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਚੀਨੀ ਦੀ ਸੰਗਣਤਾ (ਪੌਂਡ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ) ਪਤਾ ਕਰੋ।
18. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦਾ ਉੱਤਰ ਦਿਓ।
19. ਟੀਕੇ ਲਗਾਉਣ ਦੇ t ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਮਰੀਜ਼ ਦੇ ਖੂਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਵਾਈ ਦੀ ਸੰਗਣਤਾ C(t) = 2t^3 + t^2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। t ਵਧਣ ਨਾਲ ਦਵਾਈ ਦੀ ਸੰਗਣਤਾ ਦਾ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
20. ਟੀਕੇ ਲਗਾਉਣ ਦੇ t ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਮਰੀਜ਼ ਦੇ ਖੂਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਵਾਈ ਦੀ ਸੰਗਣਤਾ C(t) = 100t^2 / (t^2 + 75) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਸੰਗਣਤਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਦੋਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
21. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ ਕਰੋ ਜੋ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰੇਗਾ। ਫਿਰ, ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦਾ ਉੱਤਰ ਦੇਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
22. 108 ਘਣ ਇੰਚ ਦਾ ਆਇਤਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹਾ ਬਾਕਸ ਜਿਸਦਾ ਆਧਾਰ ਵਰਗਾਕਾਰ ਹੈ, ਬਣਾਇਆ ਜਾਣਾ ਹੈ। ਬਾਕਸ ਦੇ ਉਹ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੋਵੇ। x = ਆਧਾਰ ਦੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਮੰਨੋ।
23. 20 ਘਣ ਫੁੱਟ ਦਾ ਆਇਤਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਆਧਾਰ ਵਾਲਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਕਸ ਬਣਾਇਆ ਜਾਣਾ ਹੈ। ਆਧਾਰ ਲਈ ਸਮੱਗਰੀ ਦੀ ਕੀਮਤ 30 ਸੈਂਟ/ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਪਾਸਿਆਂ ਲਈ ਸਮੱਗਰੀ ਦੀ ਕੀਮਤ 10 ਸੈਂਟ/ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਉੱਪਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਲਈ ਸਮੱਗਰੀ ਦੀ ਕੀਮਤ 20 ਸੈਂਟ/ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਉਹ ਮਾਪ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜੋ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਲਾਗਤ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਨਗੇ। x = ਆਧਾਰ ਦੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਮੰਨੋ।
24. 100 ਘਣ ਇੰਚ ਦਾ ਆਇਤਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਿੱਧਾ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸਿਲੰਡਰ ਹੈ। ਉਹ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਨਗੇ। x = ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਮੰਨੋ।
1. ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਚੱਕਰੀ ਸਿਲੰਡਰ ਜਿਸਦਾ ਕੋਈ ਉੱਪਰਲਾ ਹਿੱਸਾ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਉਸਦਾ ਆਇਤਨ 50 ਘਣ ਮੀਟਰ ਹੈ। ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ x = ਅਰਧ-ਵਿਆਸ।
2. ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਚੱਕਰੀ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਆਇਤਨ 40 ਘਣ ਇੰਚ ਹੈ। ਉੱਪਰਲੇ ਅਤੇ ਹੇਠਲੇ ਹਿੱਸੇ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਖਰਚਾ 4 ਸੈਂਟ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਇੰਚ ਹੈ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਸਿਲੰਡਰ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਖਰਚਾ 1 ਸੈਂਟ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਇੰਚ ਹੈ। ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਖਰਚਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ x = ਅਰਧ-ਵਿਆਸ।