ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਇੱਕ ਇਨਵਰਟੀਬਲ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭੋਗੇ।
ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣ ਲਈ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰੋ।
ਪਾਰਕ ਰੇਂਜਰ ਅਤੇ ਹੋਰ ਟ੍ਰੇਲ ਪ੍ਰਬੰਧਕ ਟ੍ਰੇਲਾਂ ਜਾਂ ਹੋਰ ਲੈਂਡਮਾਰਕਸ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਪੱਥਰ ਦੇ ਢੇਰ, ਸਟੈਕ, ਜਾਂ ਹੋਰ ਵਿਵਸਥਾਵਾਂ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੈਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। (ਰੇਂਜਰ ਅਤੇ ਵਾਤਾਵਰਨ ਵਿਗਿਆਨੀ ਹਾਈਕਰਾਂ ਨੂੰ ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਨਿਰਾਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਜੋ ਉਲਝਣ ਤੋਂ ਬਚਿਆ ਜਾ ਸਕੇ ਅਤੇ ਪੌਦਿਆਂ ਅਤੇ ਜਾਨਵਰਾਂ ਦੇ ਨਿਵਾਸ ਸਥਾਨਾਂ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰੱਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ।) ਬੱਜਰੀ ਦੇ ਢੇਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੈਰਨ ਇੱਕ ਕੋਨ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਉਚਾਈ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਦੁੱਗਣੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਵਾਲੀਅਮ ਐਲੀਮੈਂਟਰੀ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੇ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਵਾਲੀਅਮ V ਨੂੰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ r ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵਾਲੀਅਮ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ: ਇੱਕ ਗਾਹਕ 100 ਘਣ ਫੁੱਟ ਬੱਜਰੀ ਖਰੀਦਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਕੋਨ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਢੇਰ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ ਜਿਸਦੀ ਉਚਾਈ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋਵੇ। ਨਵੇਂ ਕੋਨ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਕੀ ਹੈ? ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ r ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ V ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਹੈ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਅਤੇ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਹਨਾਂ ਰੈਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਜੋ ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣਾ
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਅਤੇ g ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ f ਵਿੱਚ ਹਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੀ (a,b) ਲਈ, ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ, g ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੀ (b,a) ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੀਆਂ ਵਿੱਚ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਅਦਲਾ-ਬਦਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਿਰਫ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰੀਜੋਂਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਪਾਸ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਸਟੇਨੇਬਿਲਟੀ ਕਲੱਬ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਟ੍ਰਾਫ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਾਣੀ ਦੇ ਰਨਆਫ ਕਲੈਕਟਰ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਟ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਆਕਾਰ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋਣਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋਵੇਗਾ, ਅਸੀਂ ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਲਗਾਵਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ x ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਤੇ y ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਮਾਪਿਆ ਜਾਵੇਗਾ, ਜਿਸਦਾ ਮੂਲ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਹੋਵੇਗਾ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਇਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਆਕਾਰ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਨੂੰ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ y(x)=ax^2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗੀ। ਸਾਡੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (6, 18) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ, ਜਿਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਸਟ੍ਰੈਚ ਫੈਕਟਰ a ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਡੇ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਪਾਣੀ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਪਾਣੀ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪਾਣੀ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਚੌੜਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਡੂੰਘਾਈ y ਲਈ, ਚੌੜਾਈ 2x ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਵੇਗੀ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਉਪਰੋਕਤ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਅਤੇ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਦੋ ਇਨਪੁਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕੋ ਆਉਟਪੁੱਟ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ।
ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਸੀਮਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ 'ਤੇ ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਕਾਰਾਤਮਕ x ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਨਾ ਸਮਝਦਾਰੀ ਹੈ। ਇਸ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਇਨਪੁਟ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਇਹ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸਕਾਰਾਤਮਕ x ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੱਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਲੋੜੀਂਦਾ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ x ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਾਸੇ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ, ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਪਾਣੀ ਦੀ ਕੁੱਲ ਚੌੜਾਈ 2x ਹੋਵੇਗੀ। ਟ੍ਰਾਫ 3 ਫੁੱਟ (36 ਇੰਚ) ਲੰਬਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਫਿਰ ਹੋਵੇਗਾ:
ਇਹ ਉਦਾਹਰਨ ਦੋ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨੁਕਤੇ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ:
ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਰਹਿਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਇੱਕ ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੋਵੇਂ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਪਾਵਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ।
ਰੂਟਸ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਰੈਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕੁਝ ਬੁਨਿਆਦੀ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲਸ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਇਨਵਰਟੀਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ f^{-1}(x) ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਚੇਤਾਵਨੀ: f^{-1}(x) ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੇ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਦੇ ਸਮਾਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। "-1" ਦੀ ਇਸ ਵਰਤੋਂ ਨੂੰ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਰਾਖਵਾਂ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੇ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ (f(x))^{-1} = \frac{1}{f(x)} ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ।
1. ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸਬੰਧ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ "ਰੱਦ" ਕਰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ f⁻¹ f⁻¹ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ, ਤਾਂ f f ਫੰਕਸ਼ਨ f⁻¹ f⁻¹ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੋ ਕੁਝ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f f x x ਉੱਤੇ ਕਰਦਾ ਹੈ, f⁻¹ f⁻¹ ਉਸਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ—ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ।
2. ਅਤੇ
3. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਉਲਟ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
4. ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦਾ ਉਲਟ ਹੋਣਾ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ
5. ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ, f f ਅਤੇ g, g, ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ f f ਅਤੇ g g ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x x ਲਈ।
6. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
7. ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸੀਮਤ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੋਵੇ।
8. f(x) f(x) ਨੂੰ y y ਨਾਲ ਬਦਲੋ।
9. x x ਅਤੇ y y ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
10. y y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ f⁻¹(x) f⁻¹(x) ਨਾਮ ਦਿਓ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 1
12. ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ
13. ਦਿਖਾਓ ਕਿ f(x) = 1/(x+1) f(x) = 1/(x+1) ਅਤੇ f⁻¹(x) = 1/(x-1) f⁻¹(x) = 1/(x-1) ਉਲਟ ਹਨ, x≠0,−1 x≠0,−1 ਲਈ।
14. ਹੱਲ
15. ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ f⁻¹(f(x)) = x f⁻¹(f(x)) = x ਅਤੇ f(f⁻¹(x)) = x। f(f⁻¹(x)) = x।
16. ਇਸ ਲਈ, f(x) = 1/(x+1) f(x) = 1/(x+1) ਅਤੇ f⁻¹(x) = 1/(x-1) f⁻¹(x) = 1/(x-1) ਉਲਟ ਹਨ।
17. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
18. ਦਿਖਾਓ ਕਿ f(x) = (x+5)/3 f(x) = (x+5)/3 ਅਤੇ f⁻¹(x) = 3x-5 f⁻¹(x) = 3x-5 ਉਲਟ ਹਨ।
19. ਉਦਾਹਰਨ 2
20. ਇੱਕ ਘਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ
21. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 5x³+1 f(x) = 5x³+1 ਦਾ ਉਲਟ ਪਤਾ ਕਰੋ।
22. ਹੱਲ
23. ਇਹ ਬੁਨਿਆਦੀ ਘਣ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਰੂਪਾਂਤਰਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਾਡੇ ਗਿਆਨ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ। x x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਉਲਟ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ।
24. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
f ਅਤੇ f –1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੂਜੇ ਦਾ y=x ਰੇਖਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ। ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਵੇਲੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਵਿਧੀ ਵਿੱਚ x ਅਤੇ y ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਸੀ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ (a,b) f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਹੈ, ਤਾਂ (b,a) f –1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ (0,1) f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਹੈ, ਤਾਂ (1,0) f –1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ (1,6) f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਹੈ, ਤਾਂ (6,1) f –1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
f(x)= x+4 3 ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕਰਨਾ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਘਣ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਸਮਰੱਥ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਰੀਆਂ ਘਣ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ। ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੋ ਜਾਣ, ਪਰ ਸਿਰਫ਼ ਉਸ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ। ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਫਿਰ ਇੱਕ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋਵੇਗਾ। ਕਿਉਂਕਿ ਵਰਗਾਕਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਸਾਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕਰਨਾ
ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਦਾ ਇਨਵਰਸ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੋ ਜਾਵੇ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਸ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਇਨਵਰਸ ਹੋਵੇਗਾ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕਰੋ ਜੋ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਡੋਮੇਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕਰੋ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੋਵੇ।
f(x) ਨੂੰ y ਨਾਲ ਬਦਲੋ।
x ਅਤੇ y ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਨੂੰ f −1 (x) ਨਾਮ ਦਿਓ।
f −1 (x) ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਸੋਧੋ, ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾ ਕੇ ਕਿ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਡੋਮੇਨ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕਰਨਾ
f: ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ
ⓐ f(x)= (x−4) 2 , x≥4
ⓑ f(x)= (x−4) 2 , x≤4
ਹੱਲ
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= (x−4) 2 ਇੱਕ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ x≥4 ਜਾਂ x≤4 ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਇਹ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5 ਦੇਖੋ।
ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਧਾਰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ y ਨਾਲ f(x) ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ।
ਇਹ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਇਨਵਰਸ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਮੂਲ f(x) ਲਈ x ਅਤੇ y ਦੀਆਂ ਭੂਮਿਕਾਵਾਂ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਦਿੱਤਾ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਦੇਖਿਆ: x ਦੇ ਮੁੱਲ ਜੋ ਮੰਨੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ x ਅਤੇ y ਦੀਆਂ ਭੂਮਿਕਾਵਾਂ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਦਿੱਤਾ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ y ਦੇ ਮੁੱਲ ਮਿਲੇ ਜੋ ਮੰਨੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, x≥4, ਇਸ ਲਈ ਇਨਵਰਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ y≥4 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸਾਡਾ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
1. ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ x≥4, x≥4 ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ ਉਲਟ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵੀ ਉਹੀ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, f(x)≥4, f(x)≥4, ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ + ਕੇਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ: f⁻¹(x)=4+√x f⁻¹(x)=4+√x
2. ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ x≤4, x≤4 ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ ਉਲਟ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵੀ ਉਹੀ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, f(x)≤4, f(x)≤4, ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ – ਕੇਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ: f⁻¹(x)=4−√x f⁻¹(x)=4−√x
3. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
4. ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅਕਸਾਂ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਕੱਠੇ ਗ੍ਰਾਫ y=x ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ। y=x। ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਾ (4, 0) (4, 0) f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਾ (0, 4) (0, 4) f⁻¹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ। f⁻¹। ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੇ ਲਈ, ਜੇਕਰ (a,b) (a,b) f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ, f, ਤਾਂ (b,a) (b,a) f⁻¹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ। f⁻¹। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਦੇਖੋ ਕਿ f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ f⁻¹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ y=x ਲਾਈਨ 'ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। y=x। f ਅਤੇ f⁻¹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਪੁਆਇੰਟ ਹਮੇਸ਼ਾ y=x ਲਾਈਨ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੋਣਗੇ। y=x।
5. ਉਦਾਹਰਨ 4
6. ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ ਜਦੋਂ ਪਾਬੰਦੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੋਵੇ
7. ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ
8. ਹੱਲ
9. ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਿਖਰ (2,–3) (2,–3) 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਸਿਖਰ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ 'ਤੇ ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੋਵੇਗਾ, ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ x≥2 ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਕਰਕੇ। x≥2।
10. ਉਲਟ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਤਮਕ ਦੇ ਸਿਖਰ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ f(x) ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ, y, ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। x।
11. ਹੁਣ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਕੇਸ ਵਰਤਣਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ x≥2 ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, x≥2, ਉਲਟ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਉਹੀ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ + ਕੇਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ।
12. ਜੇਕਰ ਵਰਗਾਤਮਕ ਨੂੰ ਸਿਖਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਸਿਖਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਹੁੰਦਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਸਿਖਰ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਿਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਮਿਲੇ।
13. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
14. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ x≥2 'ਤੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਮਨਮਾਨੇ ਢੰਗ ਨਾਲ ਫੈਸਲਾ ਕੀਤਾ ਹੈ। x≥2। ਅਸੀਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ x≤2 'ਤੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਵਿਕਲਪ ਵੀ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਸੀ, x≤2, ਜਿਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ f⁻¹(x)=2−√x+3 ਹੋਵੇਗਾ। f⁻¹(x)=2−√x+3। ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅਕਸਾਂ 'ਤੇ ਆਪਣੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਦੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ y=x ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ। y=x। ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਾ (2,−3) (2,−3) f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਾ (−3,2) (−3,2) f⁻¹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ। f⁻¹। ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅਕਸਾਂ 'ਤੇ ਦੋਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਦੇਖੋ ਕਿ
15. ਅਤੇ
16. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਦੇਖੋ ਕਿ f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ f⁻¹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ y=x ਲਾਈਨ ਦੇ ਨਾਲ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। y=x।
17. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
18. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x²+1, f(x)=x²+1, ਦਾ ਉਲਟ ਡੋਮੇਨ x≥0 'ਤੇ ਲੱਭੋ। x≥0।
19. ਰੇਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
20. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪਿਛਲੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਰੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਸਨ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ ਰੇਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਨ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਉੱਤਰ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ ਕਿਉਂਕਿ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਸੀਮਿਤ ਹੈ।
21. ਕਿਵੇਂ
22. ਇੱਕ ਰੇਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਲਟ ਲੱਭੋ।
23. ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
24. f(x) ਨੂੰ y ਨਾਲ ਬਦਲੋ, y, ਫਿਰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। x।
1. ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਉਲਟ ਫਲਨ (inverse function) ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ (domain) ਨੂੰ ਮੂਲ ਫਲਨ (original function) ਦੇ ਪਰਿਸਰ (range) ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰੋ।
2. ਮਿਸਾਲ 5
3. ਕਰਣੀ ਫਲਨ (Radical Function) ਦਾ ਉਲਟ ਫਲਨ ਲੱਭਣਾ
4. ਫਲਨ f(x)= x−4 f(x)= x−4 ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਲਟ ਫਲਨ ਲੱਭੋ।
5. ਹੱਲ
6. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਮੂਲ ਫਲਨ ਦਾ ਪਰਿਸਰ f(x)≥0 ਹੈ। f(x)≥0। f(x) ਨੂੰ y ਨਾਲ ਬਦਲੋ, ਫਿਰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
7. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਸ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਮੂਲ ਫਲਨ ਦੇ ਪਰਿਸਰ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
8. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
9. ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦੇਖੋ ਕਿ ਉਲਟ ਫਲਨ, y=x y=x ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਮੂਲ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਮੂਲ ਫਲਨ ਦੇ ਕੇਵਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਨਤੀਜੇ ਹਨ, ਉਲਟ ਫਲਨ ਦੇ ਕੇਵਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਇਨਪੁਟ ਹੋਣਗੇ।
10. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #4
11. ਫਲਨ f(x)= 2x+3 f(x)= 2x+3 ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਲਟ ਫਲਨ ਲੱਭੋ।
12. ਕਰਣੀ ਫਲਨਾਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
13. ਕਰਣੀ ਫਲਨ ਭੌਤਿਕ ਮਾਡਲਾਂ ਵਿੱਚ ਆਮ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਭਾਗ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਸੀ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੁਣ ਭਾਗ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਸਾਧਨ ਹਨ।
14. ਮਿਸਾਲ 6
15. ਘਣ ਫਲਨ (Cubic Function) ਨਾਲ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
16. ਪਾਰਕ ਰੇਂਜਰ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਰੇਤ ਦਾ ਢੇਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜਿਸਦੀ ਉਚਾਈ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (radius) ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
17. ਫਲਨ V= 2 3 π r 3 V= 2 3 π r 3 ਦਾ ਉਲਟ ਫਲਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਆਇਤਨ V V ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ r r ਦਾ ਫਲਨ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਜਿਹੇ 100 ਘਣ ਫੁੱਟ ਦੇ ਰੇਤ ਦੇ ਢੇਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਉਲਟ ਫਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। π=3.14 π=3.14 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
18. ਹੱਲ
19. V ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਲਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। V। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਫਲਨ ਲਈ ਅਰਥਪੂਰਨ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ r>0 ਹੈ r>0 ਕਿਉਂਕਿ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਇਸ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਸਮਝਦਾਰ ਨਹੀਂ ਹੋਣਗੇ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ 0 ਅਰਧ ਵਿਆਸ। ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਫਲਨ ਦਾ ਪਰਿਸਰ (ਇਸ ਲਈ, ਉਲਟ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼) V>0 ਹੈ। V>0। ਪਿਛਲੇ ਢੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ V ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ r ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਫਲਨ ਲੱਭਣ ਵੇਲੇ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦੇ। ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
20. ਇਹ ਉਹ ਨਤੀਜਾ ਹੈ ਜੋ ਭਾਗ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਹੁਣ ਇਸਨੂੰ V=100 V=100 ਅਤੇ π=3.14 π=3.14 ਲਈ ਮੁੱਲਯਾਪਨ ਕਰੋ।
21. ਇਸ ਲਈ, ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲਗਭਗ 3.63 ਫੁੱਟ ਹੈ।
22. ਹੋਰ ਫਲਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਯੁਕਤ (Composed) ਕਰਣੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ
23. ਜਦੋਂ ਕਰਣੀ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਫਲਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਯੁਕਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
24. ਮਿਸਾਲ 7
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
f(x)= (x+2)(x−3) (x−1) ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਵਰਗਮੂਲ ਸਿਰਫ ਉਦੋਂ ਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਰੈਡੀਕਲ ਦੇ ਅਧੀਨ ਮਾਤਰਾ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ (x+2)(x−3) (x−1) ≥0 ਕਦੋਂ ਹੈ। ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਾਈਮਪਟੋਟਸ 'ਤੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਧਨ ਤੋਂ ਰਿਣ ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ)। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ x=–2, 1, ਅਤੇ 3 'ਤੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਗੱਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਰੈਸ਼ਨਲ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਧਨ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਮੁੱਲ ਪਰਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਪਹੁੰਚਾਂ ਬਰਾਬਰ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਦੋ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹਨ, ਦੋਵੇਂ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਦੇ ਨੇੜੇ ਰੇਖੀ ਵਿਵਹਾਰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਾਈਮਪਟੋਟ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੈਕਟਰ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ; ਇਹ ਵਿਵਹਾਰ ਬੇਸਿਕ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਾਈਮਪਟੋਟ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਹੈ। (0,6) 'ਤੇ ਇੱਕ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ।
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਅਤੇ x=−2 'ਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸਾਈਮਪਟੋਟ 'ਤੇ ਵਿਵਹਾਰ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣਗੇ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾ ਸਕੀਏ ਕਿ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f( x ) ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੋਵੇਗਾ। f( x ) ਦਾ ਡੋਮੇਨ −2≤x<1 ਜਾਂ x≥3 ਹੈ, ਜਾਂ ਇੰਟਰਵਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, [−2,1)∪[3,∞)।
ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣਾ
ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣ ਵਾਂਗ, ਕਦੇ-ਕਦੇ ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣਾ ਫਾਇਦੇਮੰਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਜੋ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕੰਸੈਂਟ੍ਰੇਸ਼ਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣਾ
C= 20+0.4n 100+n ਫੰਕਸ਼ਨ 100 mL 20% ਸੋਲਿਊਸ਼ਨ ਵਿੱਚ 40% ਸੋਲਿਊਸ਼ਨ ਦੇ n mL ਜੋੜਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਐਸਿਡ ਸੋਲਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਕੰਸੈਂਟ੍ਰੇਸ਼ਨ C ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭੋ; ਯਾਨੀ, C ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ n ਲਈ ਇੱਕ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਲੱਭੋ। ਫਿਰ ਆਪਣੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰੋ ਕਿ ਅੰਤਿਮ ਮਿਸ਼ਰਣ 35% ਸੋਲਿਊਸ਼ਨ ਹੋਵੇ ਇਸ ਲਈ 40% ਸੋਲਿਊਸ਼ਨ ਕਿੰਨਾ ਜੋੜਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਕੰਸੈਂਟ੍ਰੇਸ਼ਨ ਲਈ ਕਿੰਨੇ mL ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇਨਵਰਸ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ C ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ n ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਹੁਣ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ 35% 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ C=0.35 ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 40% ਸੋਲਿਊਸ਼ਨ ਦੇ 300 mL ਜੋੜੇ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
f(x)= x+3 x−2 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਇਨਵਰਸ ਅਤੇ ਰੈਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਬੇਸਿਕ ਸਕੁਏਅਰ ਰੂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
ਸਕੁਏਅਰ ਰੂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭੋ
ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭੋ
1. ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਦਾ ਉਲਟ ਅਤੇ ਉਲਟ ਫਲਨ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ
2. ਉਲਟ ਫਲਨ
3. ਸ਼ਬਦੀ
4. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨਾਂ ਲਈ ਉਲਟ ਫਲਨ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ।
5. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਕਿਉਂ ਸੀਮਤ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ?
6. ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਕਾਰਨੀ ਫਲਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹੋਵੋ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕਿਹੜੀ ਪਾਬੰਦੀ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ?
7. ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਉਲਟ ਹਮੇਸ਼ਾ ਕਿਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ?
8. ਅੰਕੀ
9. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ।
10. f( x )= ( x−4 ) 2 , [4,∞)
11. f( x )= ( x+2 ) 2 , [−2,∞)
12. f(x)= ( x+1 ) 2 −3, [−1,∞)
13. f(x)=3 x 2 +5,( ∞,0 ]
14. f( x )=12− x 2 , [0,∞)
15. f( x )=9− x 2 , [0,∞)
16. f(x)=2 x 2 +4, [0,∞)
17. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ।
18. f(x)= x 3 +5
19. f( x )=3 x 3 +1
20. f(x)=4− x 3
21. f( x )=4−2 x 3
22. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ।
23. f(x)= 2x+1
24. f(x)= 3−4x
f(x)=9+4x−4
f(x)=6x−8+5
f(x)=9+2x^3
f(x)=3−x^3
f(x)=2x+8
f(x)=3x−4
f(x)=x+3x+7
f(x)=x−2x+7
f(x)=3x+4/5−4x
f(x)=5x+1/2−5x
f(x)=x^2+2x, [−1,∞)
f(x)=x^2+4x+1, [−2,∞)
f(x)=x^2−6x+3, [3,∞)
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
f(x)=x^2+2,x≥0
f(x)=4−x^2,x≥0
f(x)=(x+3)^2,x≥−3
f(x)=(x−4)^2,x≥4
f(x)=x^3+3
f(x)=1−x^3
f(x)=x^2+4x,x≥−2
f(x)=x^2−6x+1,x≥3
f(x)=2x
f(x)= 1 x 2 ,x≥0
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
f(x)= (x+1)(x−1) x
f(x)= (x+2)(x−3) x−1
f(x)= x(x+3) x−4
f(x)= x 2 −x−20 x−2
f(x)= 9− x 2 x+4
ਤਕਨੀਕ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਫਿਰ, ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਉਲਟ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਦਿਓ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।
f(x)= x 3 −x−2,y=1,2,3
f(x)= x 3 +x−2,y=0,1,2
f(x)= x 3 +3x−4,y=0,1,2
f(x)= x 3 +8x−4,y=−1,0,1
f(x)= x 4 +5x+1,y=−1,0,1
ਵਿਸਥਾਰ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, a,b,c ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਉਲਟ ਪਤਾ ਕਰੋ।
f(x)=a x 3 +b
f(x)= x 2 +bx
f(x)= a x 2 -b
f(x)= ax+b 3
f(x)= ax+b x+c
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਅਰਜ਼ੀਆਂ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਵਰਣਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਅਤੇ ਫਿਰ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦਾ ਉੱਤਰ ਦੇਣ ਲਈ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
200 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ ਡਿੱਗਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਦੀ ਉਚਾਈ, h( t ), ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ ਕਿ h(t)=200−4.9 t 2 । t ਨੂੰ ਉਚਾਈ, h, ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ 50 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਦਾ ਸਮਾਂ ਲੱਭੋ।
600 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ ਸੁੱਟੀ ਗਈ ਵਸਤੂ ਦੀ ਉਚਾਈ, h(t), t ਸਕਿੰਟ ਬੀਤਣ ਮਗਰੋਂ, ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ ਕਿ h(t) = 600 - 16t². t ਨੂੰ ਉਚਾਈ h ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਅਤੇ 400 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਦਾ ਸਮਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ, V, ਇਸਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, r, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, V(r) = 4/3 πr³ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। r ਨੂੰ V ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਅਤੇ 200 ਘਣ ਫੁੱਟ ਆਇਤਨ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ, A, ਇਸਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, r, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, A(r) = 4πr² ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। r ਨੂੰ A ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਅਤੇ 1000 ਵਰਗ ਇੰਚ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਕੰਟੇਨਰ ਵਿੱਚ 100 mL ਘੋਲ ਹੈ ਜੋ 25 mL ਐਸਿਡ ਹੈ। ਜੇ 60% ਐਸਿਡ ਵਾਲੇ ਘੋਲ ਦੇ n mL ਜੋੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ C(n) = (25 + 0.6n) / (100 + n) ਜੋੜੇ ਗਏ mL ਦੀ ਸੰਖਿਆ, n, ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਸੰਗ੍ਰਹਿ, C, ਦਿੰਦਾ ਹੈ। n ਨੂੰ C ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਅਤੇ 50% ਐਸਿਡ ਵਾਲਾ ਘੋਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ mL ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਪੈਂਡੂਲਮ ਦਾ ਸਮਾਂ ਅੰਤਰਾਲ T, ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਸਦੀ ਲੰਬਾਈ l, ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ, T(l) = 2πl / √32.2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। l ਨੂੰ T ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਅਤੇ 2 ਸਕਿੰਟ ਦੇ ਸਮਾਂ ਅੰਤਰਾਲ ਵਾਲੇ ਪੈਂਡੂਲਮ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਆਇਤਨ, V, ਅਰਧ ਵਿਆਸ, r, ਅਤੇ ਉਚਾਈ, h, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, V = πr²h ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਉਚਾਈ 6 ਮੀਟਰ ਹੈ, ਤਾਂ V ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਅਤੇ 300 ਘਣ ਮੀਟਰ ਆਇਤਨ ਵਾਲੇ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ, A, ਅਰਧ ਵਿਆਸ, r, ਅਤੇ ਉਚਾਈ, h, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, A = 2πr² + 2πrh ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇ ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਉਚਾਈ 4 ਫੁੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ A ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਅਤੇ 200 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਹੋਣ 'ਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸਿੱਧੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਨ ਦਾ ਆਇਤਨ, V, ਇਸਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, r, ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਉਚਾਈ, h, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, V = (1/3)πr²h ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇ ਕੋਨ ਦੀ ਉਚਾਈ 12 ਫੁੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ V ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ r ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਅਤੇ 50 ਘਣ ਇੰਚ ਆਇਤਨ ਵਾਲੇ ਕੋਨ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ।
30 ਫੁੱਟ ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਕੋਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। V, ਆਇਤਨ, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, r, ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਅਤੇ 1000 ਘਣ ਫੁੱਟ ਆਇਤਨ ਵਾਲੇ ਕੋਨ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ।