Learning Objectives
In this section, you will:
Identify the domain of a logarithmic function.
Graph logarithmic functions.
In Graphs of Exponential Functions, we saw how creating a graphical representation of an exponential model gives us another layer of insight for predicting future events. How do logarithmic graphs give us insight into situations? Because every logarithmic function is the inverse function of an exponential function, we can think of every output on a logarithmic graph as the input for the corresponding inverse exponential equation. In other words, logarithms give the cause for an effect.
To illustrate, suppose we invest $2500 $2500 in an account that offers an annual interest rate of 5%, 5%, compounded continuously. We already know that the balance in our account for any year t t can be found with the equation A=2500 e 0.05t . A=2500 e 0.05t .
But what if we wanted to know the year for any balance? We would need to create a corresponding new function by interchanging the input and the output; thus we would need to create a logarithmic model for this situation. By graphing the model, we can see the output (year) for any input (account balance). For instance, what if we wanted to know how many years it would take for our initial investment to double? Figure 1 shows this point on the logarithmic graph.
In this section we will discuss the values for which a logarithmic function is defined, and then turn our attention to graphing the family of logarithmic functions.
Finding the Domain of a Logarithmic Function
Before working with graphs, we will take a look at the domain (the set of input values) for which the logarithmic function is defined.
Recall that the exponential function is defined as y= b x y= b x for any real number x x and constant b>0, b>0, b≠1, b≠1, where
The domain of y y is ( −∞,∞ ). ( −∞,∞ ).
The range of y y is ( 0,∞ ). ( 0,∞ ).
In the last section we learned that the logarithmic function y= log b ( x ) y= log b ( x ) is the inverse of the exponential function y= b x . y= b x . So, as inverse functions:
The domain of y= log b ( x ) y= log b ( x ) is the range of y= b x : y= b x : ( 0,∞ ). ( 0,∞ ).
The range of y= log b ( x ) y= log b ( x ) is the domain of y= b x : y= b x : ( −∞,∞ ). ( −∞,∞ ).
Transformations of the parent function y= log b ( x ) y= log b ( x ) behave similarly to those of other functions. Just as with other parent functions, we can apply the four types of transformations—shifts, stretches, compressions, and reflections.
In Graphs of Exponential Functions we saw that certain transformations can change the range of y= b x . y= b x . Similarly, applying transformations to the parent function y= log b ( x ) y= log b ( x ) can change the domain. When finding the domain of a logarithmic function, therefore, it is important to remember that the domain consists only of positive real numbers. That is, the argument of the logarithmic function must be greater than zero.
For example, consider f(x)= log 4 ( 2x−3 ). f(x)= log 4 ( 2x−3 ). This function is defined for any values of x x such that the argument, in this case 2x−3, 2x−3, is greater than zero. To find the domain, we set up an inequality and solve for x: x:
In interval notation, the domain of f(x)= log 4 ( 2x−3 ) f(x)= log 4 ( 2x−3 ) is ( 1.5,∞ ). ( 1.5,∞ ).
How To
Given a logarithmic function, identify the domain.
Set up an inequality showing the argument greater than zero.
Solve for x. x.
Write the domain in interval notation.
Example 1
Identifying the Domain of a Logarithmic Shift
What is the domain of f(x)= log 2 (x+3)? f(x)= log 2 (x+3)?
Solution
The logarithmic function is defined only when the input is positive, so this function is defined when x+3>0. x+3>0. Solving this inequality,
The domain of f(x)= log 2 (x+3) f(x)= log 2 (x+3) is ( −3,∞ ). ( −3,∞ ).
Try It #1
What is the domain of f(x)= log 5 (x−2)+1? f(x)= log 5 (x−2)+1?
Example 2
Identifying the Domain of a Logarithmic Shift and Reflection
What is the domain of f(x)=log(5−2x)? f(x)=log(5−2x)?
Solution
The logarithmic function is defined only when the input is positive, so this function is defined when 5–2x>0. 5–2x>0. Solving this inequality,
The domain of f(x)=log(5−2x) f(x)=log(5−2x) is ( –∞, 5 2 ). ( –∞, 5 2 ).
Try It #2
What is the domain of f(x)=log(x−5)+2? f(x)=log(x−5)+2?
Graphing Logarithmic Functions
Now that we have a feel for the set of values for which a logarithmic function is defined, we move on to graphing logarithmic functions. The family of logarithmic functions includes the parent function y= log b ( x ) y= log b ( x ) along with all its transformations: shifts, stretches, compressions, and reflections.
We begin with the parent function y= log b ( x ). y= log b ( x ). Because every logarithmic function of this form is the inverse of an exponential function with the form y= b x , y= b x , their graphs will be reflections of each other across the line y=x. y=x. To illustrate this, we can observe the relationship between the input and output values of y= 2 x y= 2 x and its equivalent x= log 2 (y) x= log 2 (y) in Table 1.
row: x x | −3 −3 | −2 −2 | −1 −1 | 0 0 | 1 1 | 2 2 | 3 3
row: 2 x =y 2 x =y | 1 8 1 8 | 1 4 1 4 | 1 2 1 2 | 1 1 | 2 2 | 4 4 | 8 8
row: log 2 ( y )=x log 2 ( y )=x | −3 −3 | −2 −2 | −1 −1 | 0 0 | 1 1 | 2 2 | 3 3
Using the inputs and outputs from Table 1, we can build another table to observe the relationship between points on the graphs of the inverse functions f(x)= 2 x f(x)= 2 x and g(x)= log 2 (x). g(x)= log 2 (x). See Table 2.
f(x)= 2 x | ( −3, 1 8 ) | ( −2, 1 4 ) | ( −1, 1 2 ) | ( 0,1 ) | ( 1,2 ) | ( 2,4 ) | ( 3,8 )
g(x)= log 2 ( x ) | ( 1 8 ,−3 ) | ( 1 4 ,−2 ) | ( 1 2 ,−1 ) | ( 1,0 ) | ( 2,1 ) | ( 4,2 ) | ( 8,3 )
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ x- ਅਤੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਉਲਟੇ ਹੋਏ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 2 f ਅਤੇ g ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ f( x )= 2 x ਅਤੇ g( x )= log 2 ( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ y=x ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹਨ।
ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ:
f(x)= 2 x ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,1) ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ g(x)= log 2 ( x ) ਦਾ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (1,0) ਤੇ ਹੈ।
f(x)= 2 x , ( −∞,∞ ), ਦਾ ਡੋਮੇਨ, g(x)= log 2 ( x ) ਦੇ ਰੇਂਜ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
f(x)= 2 x , ( 0,∞ ), ਦਾ ਰੇਂਜ, g(x)= log 2 ( x ) ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ, f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ:
ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x ਅਤੇ ਸਥਿਰ b>0, b≠1 ਲਈ, ਅਸੀਂ f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਲੰਬੀ ਅਸਮਤੋਟ: x=0
ਡੋਮੇਨ: (0,∞)
ਰੇਂਜ: ( −∞,∞ )
x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ: (1,0) ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂ (b,1)
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ: ਕੋਈ ਨਹੀਂ
ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ b>1
ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ 0<b<1
ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 4 ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ f(x)= log b ( x ) ਵਿੱਚ ਬੇਸ b ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਿਵੇਂ ਬੇਸ ਦਾ ਮੁੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਲੰਬਵਤ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। (ਨੋਟ: ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ln( x ) ਦਾ ਬੇਸ e≈2.718 ਹੈ।)
ਚਿੱਤਰ 4: ਤਿੰਨ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਬੇਸਾਂ ਨਾਲ, ਸਾਰੇ 1 ਤੋਂ ਵੱਡੇ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਲੰਬੀ ਅਸਮਤੋਟ, x=0, ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਬਿੰਦੂ (1,0) ਨੂੰ ਦਰਸਾਓ। (1,0)।
ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂ (b,1) ਨੂੰ ਦਰਸਾਓ। (b,1)।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਸੁਚਾਰੂ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ।
ਪ੍ਰਦੇਸ਼ (0,∞), (0,∞), ਪਰਿਸਰ (−∞,∞), (−∞,∞), ਅਤੇ ਲੰਬੀਅੰਤਰ ਰੇਖਾ x=0 ਦੱਸੋ। x=0।
ਉਦਾਹਰਨ 3
f(x) = logb(x) ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ।
f(x)= log 5 (x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। f(x)= log 5 (x)। ਪ੍ਰਦੇਸ਼, ਪਰਿਸਰ, ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਕਿਉਂਕਿ b=5 b=5 ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫਲਨ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਲੰਬੀਅੰਤਰ ਰੇਖਾ x=0, x=0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਜਾਵੇਗਾ, ਅਤੇ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਹੌਲੀ-ਹੌਲੀ ਵਧੇਗਾ।
x-ਅੰਤਰਖੰਡ (1,0) ਹੈ। (1,0)।
ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂ (5,1) (5,1) ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਸੁਚਾਰੂ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ 5)।
ਪ੍ਰਦੇਸ਼ (0,∞), (0,∞), ਪਰਿਸਰ (−∞,∞), (−∞,∞), ਅਤੇ ਲੰਬੀਅੰਤਰ ਰੇਖਾ x=0 ਹੈ। x=0।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
f(x)= log 1/5 (x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। f(x)= log 1/5 (x)। ਪ੍ਰਦੇਸ਼, ਪਰਿਸਰ, ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ ਦੱਸੋ।
ਲਘੂਗਣਕ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਲਘੂਗਣਕ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਹੋਰ ਮੂਲ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫਲਨ y= logb(x) y= logb(x) ਨੂੰ ਆਕਾਰ ਗੁਆਏ ਬਿਨਾਂ ਖਿੱਚ, ਸੰਕੋਚ, ਅਤੇ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
f(x) = logb(x) ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿਸਕਾਅ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਜਦੋਂ ਮੂਲ ਫਲਨ f(x)=logb(x), f(x)=logb(x) ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ c c ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ c ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ c ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿਸਕਾਅ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। c। ਖਿਤਿਜੀ ਖਿਸਕਾਅ ਨੂੰ ਵੇਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫਲਨ f(x)= logb(x) f(x)= logb(x) ਦੇ ਆਮ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ c>0 c>0 ਦੇ ਨਾਲ ਖੱਬੇ ਖਿਸਕਾਅ, g(x)= logb(x+c), g(x)= logb(x+c), ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਖਿਸਕਾਅ, h(x)= logb(x−c) ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। h(x)= logb(x−c)। ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ 6।
ਮੂਲ ਫਲਨ f(x)= logb(x) f(x)= logb(x) ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿਸਕਾਅ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਰਾਂਕ c, c ਲਈ, ਫਲਨ f(x)= logb(x+c) f(x)= logb(x+c)
ਜੇ c>0 c>0 ਹੈ ਤਾਂ ਮੂਲ ਫਲਨ y= logb(x) y= logb(x) ਨੂੰ c c ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਉਂਦਾ ਹੈ। c>0। c>0।
ਜੇ c<0 c<0 ਹੈ ਤਾਂ ਮੂਲ ਫਲਨ y= logb(x) y= logb(x) ਨੂੰ c c ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਉਂਦਾ ਹੈ। c<0। c<0।
ਦੀ ਉੱਤਰੀ ਅਸੀਮ ਰੇਖਾ x=−c ਹੈ। x=−c।
ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ( −c,∞ ) ਹੈ। ( −c,∞ )।
ਦਾ ਪਰਾਸ ( −∞,∞ ) ਹੈ। ( −∞,∞ )।
ਕਿਵੇਂ
f(x)= log b ( x+c ) ਰੂਪ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫਲਨ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, f(x)= log b ( x+c ), ਅਨੁਵਾਦ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ: ਜੇਕਰ c>0, c>0, ਤਾਂ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ c ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ c<0, c<0, ਤਾਂ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ c ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ।
ਉੱਤਰੀ ਅਸੀਮ ਰੇਖਾ x=−c ਬਣਾਓ। x=−c।
ਮੂਲ ਫਲਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫਲਨਾਂ ਲਈ ਨਵੇਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਲੱਭੋ, x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਵਿੱਚੋਂ c ਘਟਾ ਕੇ।
ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ( −c,∞ ) ਹੈ, ( −c,∞ ), ਪਰਾਸ ( −∞,∞ ) ਹੈ, ( −∞,∞ ), ਅਤੇ ਉੱਤਰੀ ਅਸੀਮ ਰੇਖਾ x=−c ਹੈ। x=−c।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਮੂਲ ਫਲਨ y = logb(x) ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
f(x)= log 3 (x−2) f(x)= log 3 (x−2) ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਮੂਲ ਫਲਨ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਸਕੈਚ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਅਸੀਮ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ। ਪ੍ਰਦੇਸ਼, ਪਰਾਸ, ਅਤੇ ਅਸੀਮ ਰੇਖਾ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਫਲਨ f(x)= log 3 (x−2) ਹੈ, f(x)= log 3 (x−2), ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x+( −2 )=x–2। x+( −2 )=x–2।
ਇਸ ਲਈ c=−2, c=−2, ਇਸ ਲਈ c<0। c<0। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ f(x)= log 3 (x) f(x)= log 3 (x) ਫਲਨ ਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉੱਤਰੀ ਅਸੀਮ ਰੇਖਾ x=−(−2) x=−(−2) ਜਾਂ x=2 ਹੈ। x=2।
ਮੂਲ ਫਲਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ( 1 3 ,−1 ), ( 1 3 ,−1 ), ( 1,0 ), ( 1,0 ), ਅਤੇ ( 3,1 )। ( 3,1 )।
ਨਵੇਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਵਿੱਚ 2 ਜੋੜ ਕੇ ਲੱਭੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ( 7 3 ,−1 ), ( 7 3 ,−1 ), ( 3,0 ), ( 3,0 ), ਅਤੇ ( 5,1 ) ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ। ( 5,1 )।
ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ( 2,∞ ) ਹੈ, ( 2,∞ ), ਪਰਾਸ ( −∞,∞ ) ਹੈ, ( −∞,∞ ), ਅਤੇ ਉੱਤਰੀ ਅਸੀਮ ਰੇਖਾ x=2 ਹੈ। x=2।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
f(x)= log 3 (x+4) f(x)= log 3 (x+4) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਮੂਲ ਫਲਨ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਸਕੈਚ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਅਸੀਮ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ। ਪ੍ਰਦੇਸ਼, ਪਰਾਸ, ਅਤੇ ਅਸੀਮ ਰੇਖਾ ਦੱਸੋ।
f(x) = logb(x) ਦੇ ਉੱਤਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਸਥਿਰ d ਨੂੰ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = log b (x) ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ d ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ d ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = log b (x) ਦੇ ਆਮ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ, g(x) = log b (x) + d, ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ, h(x) = log b (x) − d, ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇਖੋ।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y = log b (x) ਦੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਰ d ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = log b (x) + d
ਜੇ d>0 ਹੈ, ਤਾਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y = log b (x) ਨੂੰ d ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਜੇ d<0 ਹੈ, ਤਾਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y = log b (x) ਨੂੰ d ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ (0,∞) ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਰੇਂਜ (−∞,∞) ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
f(x) = log b (x) + d ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਨੁਵਾਦ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ: ਜੇ d>0 ਹੈ, ਤਾਂ f(x) = log b (x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ d ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ। ਜੇ d<0 ਹੈ, ਤਾਂ f(x) = log b (x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ d ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਬਣਾਓ।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। d ਨੂੰ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਕੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਨਵੇਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਲੱਭੋ।
ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਡੋਮੇਨ (0,∞) ਹੈ, ਰੇਂਜ (−∞,∞) ਹੈ, ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = logb(x) ਦੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
f(x) = log 3 (x) − 2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸਦੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ ਬਣਾਓ। ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = log 3 (x) − 2 ਹੈ, ਅਸੀਂ d=–2 ਦੇਖਾਂਗੇ। ਇਸ ਲਈ d<0 ਹੈ।
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = log 3 (x) ਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਾਂਗੇ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ, (1/3, −1), (1, 0), ਅਤੇ (3, 1) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਨਵੇਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 2 ਘਟਾ ਕੇ ਲੱਭੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
1. ਬਿੰਦੂਆਂ ( 1 3 ,−3 ), ( 1 3 ,−3 ), ( 1,−2 ), ( 1,−2 ), ਅਤੇ ( 3,−1 ) ( 3,−1 ) ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
2. ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ), ( 0,∞ ) ਹੈ, ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ) ਹੈ, ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ। x=0।
3. ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ), ( 0,∞ ) ਹੈ, ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ) ਹੈ, ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ। x=0।
4. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #5
5. f(x)= log 2 (x)+2 f(x)= log 2 (x)+2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸਦੇ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਖਿੱਚੋ। ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ, ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ ਦੱਸੋ।
6. f(x) = logb(x) f(x) = logb(x) ਦੇ ਸਟਰੈਚਾਂ ਅਤੇ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
7. ਜਦੋਂ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ a>0, a>0 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਸਟਰੈਚ ਜਾਂ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਟਰੈਚਾਂ ਅਤੇ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ a>1 a>1 ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਆਮ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਵਰਟੀਕਲ ਸਟਰੈਚ, g(x)=a log b ( x ) g(x)=a log b ( x ) ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ, h(x)= 1 a log b ( x ) ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। h(x)= 1 a log b ( x )। ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇਖੋ।
8. ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) y= log b ( x ) ਦੇ ਵਰਟੀਕਲ ਸਟਰੈਚ ਅਤੇ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ
9. ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਰਾਂਕ a>1, a>1 ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=a log b ( x ) f(x)=a log b ( x )
10. ਜੇਕਰ a>1 ਹੈ, ਤਾਂ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) y= log b ( x ) ਨੂੰ 'a' ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। a>1।
11. ਜੇਕਰ 0<a<1 ਹੈ, ਤਾਂ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) y= log b ( x ) ਨੂੰ 'a' ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। 0<a<1।
12. ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ। x=0।
13. x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ( 1,0 ) ਹੈ। ( 1,0 )।
14. ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ) ਹੈ। ( 0,∞ )।
15. ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ) ਹੈ। ( −∞,∞ )।
16. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
17. f(x)=a log b ( x ), a>0, a>0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੋਗਾਰਿਦਮਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਨੁਵਾਦ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
18. ਵਰਟੀਕਲ ਸਟਰੈਚ ਜਾਂ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ: ਜੇਕਰ |a|>1, |a|>1, ਤਾਂ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ 'a' ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ |a|<1, |a|<1, ਤਾਂ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ 'a' ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
19. ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਬਣਾਓ। x=0।
20. ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। y y ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ 'a' ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਨਵੇਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਲੱਭੋ। a।
21. ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
22. ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ), ( 0,∞ ) ਹੈ, ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ) ਹੈ, ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ। x=0।
23. ਉਦਾਹਰਨ 6
24. ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = logb(x) f(x) = logb(x) ਦੇ ਸਟਰੈਚ ਜਾਂ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
Sketch a graph of f(x)=2 log 4 (x) f(x)=2 log 4 (x) alongside its parent function. Include the key points and asymptote on the graph. State the domain, range, and asymptote.
Solution
Since the function is f(x)=2 log 4 (x), f(x)=2 log 4 (x), we will notice a=2. a=2.
This means we will stretch the function f(x)= log 4 (x) f(x)= log 4 (x) by a factor of 2.
The vertical asymptote is x=0. x=0.
Consider the three key points from the parent function, ( 1 4 ,−1 ), ( 1 4 ,−1 ), ( 1,0 ), ( 1,0 ), and ( 4,1 ). ( 4,1 ).
The new coordinates are found by multiplying the y y coordinates by 2.
Label the points ( 1 4 ,−2 ), ( 1 4 ,−2 ), ( 1,0 ), ( 1,0 ), and ( 4,2 ). ( 4,2 ).
The domain is ( 0,∞ ), ( 0,∞ ), the range is ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), and the vertical asymptote is x=0. x=0. See Figure 11.
The domain is ( 0,∞ ), ( 0,∞ ), the range is ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), and the vertical asymptote is x=0. x=0.
Try It #6
Sketch a graph of f(x)= 1 2 log 4 (x) f(x)= 1 2 log 4 (x) alongside its parent function. Include the key points and asymptote on the graph. State the domain, range, and asymptote.
Example 7
Combining a Shift and a Stretch
Sketch a graph of f(x)=5log(x+2). f(x)=5log(x+2). State the domain, range, and asymptote.
Solution
Remember: what happens inside parentheses happens first. First, we move the graph left 2 units, then stretch the function vertically by a factor of 5, as in Figure 12. The vertical asymptote will be shifted to x=−2. x=−2. The x-intercept will be (−1,0). (−1,0). The domain will be ( −2,∞ ). ( −2,∞ ). Two points will help give the shape of the graph: (−1,0) (−1,0) and (8,5). (8,5). We chose x=8 x=8 as the x-coordinate of one point to graph because when x=8, x=8, x+2=10, x+2=10, the base of the common logarithm.
The domain is ( −2,∞ ), ( −2,∞ ), the range is ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), and the vertical asymptote is x=−2. x=−2.
Try It #7
Sketch a graph of the function f(x)=3log(x−2)+1. f(x)=3log(x−2)+1. State the domain, range, and asymptote.
Graphing Reflections of f(x) = logb(x)
When the parent function f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) is multiplied by −1, −1, the result is a reflection about the x-axis. When the input is multiplied by −1, −1, the result is a reflection about the y-axis. To visualize reflections, we restrict b>1, b>1, and observe the general graph of the parent function f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) alongside the reflection about the x-axis, g(x)= −log b ( x ) g(x)= −log b ( x ) and the reflection about the y-axis, h(x)= log b ( −x ). h(x)= log b ( −x ).
Reflections of the Parent Function y= log b ( x ) y= log b ( x )
The function f(x)= −log b ( x ) f(x)= −log b ( x )
reflects the parent function y= log b ( x ) y= log b ( x ) about the x-axis.
has domain, ( 0,∞ ), ( 0,∞ ), range, ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), and vertical asymptote, x=0, x=0, which are unchanged from the parent function.
The function f(x)= log b ( −x ) f(x)= log b ( −x )
reflects the parent function y= log b ( x ) y= log b ( x ) about the y-axis.
has domain ( −∞,0 ). ( −∞,0 ).
has range, ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), and vertical asymptote, x=0, x=0, which are unchanged from the parent function.
How To
Given a logarithmic function with the parent function f(x)= log b ( x ), f(x)= log b ( x ), graph a translation.
row: If f(x)=− log b (x) If f(x)=− log b (x) | If f(x)= log b (−x) If f(x)= log b (−x)
row: 1. Draw the vertical asymptote, x=0. x=0. | 1. Draw the vertical asymptote, x=0. x=0.
row: 2. Plot the x-intercept, ( 1,0 ). ( 1,0 ). | 2. Plot the x-intercept, ( 1,0 ). ( 1,0 ).
row: 3. Reflect the graph of the parent function f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) about the x-axis. | 3. Reflect the graph of the parent function f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) about the y-axis.
row: 4. Draw a smooth curve through the points. | 4. Draw a smooth curve through the points.
row: 5. State the domain, (0, ∞), the range, (−∞, ∞), and the vertical asymptote x=0 x=0. | 5. State the domain, (−∞, 0) the range, (−∞, ∞) and the vertical asymptote x=0. x=0.
Example 8
Graphing a Reflection of a Logarithmic Function
Sketch a graph of f(x)=log(−x) f(x)=log(−x) alongside its parent function. Include the key points and asymptote on the graph. State the domain, range, and asymptote.
Solution
Before graphing f(x)=log(−x), f(x)=log(−x), identify the behavior and key points for the graph.
Since b=10 b=10 is greater than one, we know that the parent function is increasing. Since the input value is multiplied by −1, −1, f f is a reflection of the parent graph about the y-axis. Thus, f(x)=log(−x) f(x)=log(−x) will be decreasing as x x moves from negative infinity to zero, and the right tail of the graph will approach the vertical asymptote x=0. x=0.
The x-intercept is ( −1,0 ). ( −1,0 ).
We draw and label the asymptote, plot and label the points, and draw a smooth curve through the points.
The domain is ( −∞,0 ), ( −∞,0 ), the range is ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), and the vertical asymptote is x=0. x=0.
Try It #8
f(x)=−log(−x) ਦਾ ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ ਦੱਸੋ।
ਕਿਵੇਂ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ, ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
[Y=] ਦਬਾਓ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਜਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ Y1= ਵਜੋਂ ਅਤੇ, ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ, Y2= ਵਜੋਂ ਦਰਜ ਕਰੋ।
[GRAPH] ਦਬਾ ਕੇ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇਖੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦਾ ਢੁਕਵਾਂ ਦ੍ਰਿਸ਼, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਕੱਟਣ ਬਿੰਦੂ(ਬਿੰਦੂਆਂ) ਸਮੇਤ, ਲੱਭਣ ਲਈ [WINDOW] ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
x ਦਾ ਮੁੱਲ, x, ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕੱਟਣ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। [2ND] ਫਿਰ [CALC] ਦਬਾਓ। "intersect" ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਵਾਰ [ENTER] ਦਬਾਓ। ਕੱਟਣ ਬਿੰਦੂ, ਕੱਟਣ ਬਿੰਦੂ(ਬਿੰਦੂਆਂ) ਲਈ x ਦਾ ਮੁੱਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ
4ln( x )+1=−2ln( x−1 ) 4ln( x )+1=−2ln( x−1 ) ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
[Y=] ਦਬਾਓ ਅਤੇ Y1= ਦੇ ਅੱਗੇ 4ln( x )+1 4ln( x )+1 ਦਰਜ ਕਰੋ। ਫਿਰ Y2= ਦੇ ਅੱਗੇ −2ln( x−1 ) −2ln( x−1 ) ਦਰਜ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਵਿੰਡੋ ਲਈ, x x ਲਈ 0 ਤੋਂ 5 ਅਤੇ y y ਲਈ –10 ਤੋਂ 10 ਤੱਕ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। [GRAPH] ਦਬਾਓ। ਗ੍ਰਾਫ x=1. x=1 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਕਿਤੇ ਕੱਟਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।
ਬਿਹਤਰ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ, [2ND] ਫਿਰ [CALC] ਦਬਾਓ। [5: intersect] ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਵਾਰ [ENTER] ਦਬਾਓ। ਕੱਟਣ ਬਿੰਦੂ ਦਾ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ 1.3385297 ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਵੱਖਰੀ ਵਿੰਡੋ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ ਜਾਂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ ਵੱਖਰਾ ਮੁੱਲ ਵਰਤਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਤੁਹਾਡਾ ਜਵਾਬ ਵੱਖਰਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ?) ਇਸ ਲਈ, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ, x≈1.339. x≈1.339।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
5log( x+2 )=4−log( x ) 5log( x+2 )=4−log( x ) ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਵਾਦਾਂ ਦਾ ਸਾਰ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਲਘੂਗਣਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਹਰੇਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਅਨੁਵਾਦ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਟੇਬਲ 4 ਵਿੱਚ ਸਾਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਿਆ ਜਾ ਸਕੇ।
row: ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) y= log b ( x ) ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰ
row: ਰੂਪਾਂਤਰ | ਰੂਪ
row: ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ c c ਇਕਾਈਆਂ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਉੱਪਰ d d ਇਕਾਈਆਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ | y= log b ( x+c )+d y= log b ( x+c )+d
row: ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰੋ ਜੇ | a |>1 | a |>1 ਤਾਂ ਖਿੱਚੋ ਜੇ | a |<1 | a |<1 ਤਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰੋ | y=a log b ( x ) y=a log b ( x )
row: x-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ | y=− log b ( x ) y=− log b ( x )
row: y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ | y= log b ( −x ) y= log b ( −x )
row: ਸਾਰੇ ਰੂਪਾਂਤਰਾਂ ਲਈ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ | y=a log b (x+c)+d y=a log b (x+c)+d
ਲਘੂਗਣਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰ
y = log b ( x ) ਦੇ ਸਾਰੇ ਰੂਪਾਂਤਰ, y = log b ( x ), ਦਾ ਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ, y = log b ( x ), b>1, y = log b ( x ), b>1, ਹੈ
d ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
c ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਤਿਜ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਜੇਕਰ | a |>0, ਤਾਂ | a | ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। | a |>0.
ਜੇਕਰ 0<| a |<1, ਤਾਂ | a | ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। 0<| a |<1.
ਜਦੋਂ a<0, ਤਾਂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। a<0.
f( x )=log( −x ) ਲਈ, f( x )=log( −x ), ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਲਘੂਰਤਮ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਲੰਬਵਤ ਅਸੀਮਤਤਾ ਲੱਭਣਾ
f(x)=−2 log 3 (x+4)+5? f(x)=−2 log 3 (x+4)+5? ਦੀ ਲੰਬਵਤ ਅਸੀਮਤਤਾ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਲੰਬਵਤ ਅਸੀਮਤਤਾ x=−4 'ਤੇ ਹੈ। x=−4.
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਗੁਣਾਂਕ, ਅਧਾਰ, ਅਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਬਦਲਾਅ ਅਸੀਮਤਤਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਵਕਰ ਦਾ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਬਦਲਾਅ ਲੰਬਵਤ ਅਸੀਮਤਤਾ ਨੂੰ x=−4 'ਤੇ ਬਦਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। x=−4.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10
f(x)=3+ln(x−1)? f(x)=3+ln(x−1)? ਦੀ ਲੰਬਵਤ ਅਸੀਮਤਤਾ ਕੀ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ
ਚਿੱਤਰ 15 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਸਾਂਝੇ ਲਘੂਰਤਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਵ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਲੰਬਵਤ ਅਸੀਮਤਤਾ x=–2 'ਤੇ ਹੈ x=–2 ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਅਜੇ ਤੱਕ ਲੰਬਵਤ ਬਦਲਾਅ ਜਾਂ ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚ ਦਾ ਪਤਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਹੁਣ ਤੱਕ ਪਤਾ ਹੈ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ ਹੋਵੇਗਾ:
ਇਹ ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਬਿੰਦੂਆਂ ( –1,1 ) ( –1,1 ) ਅਤੇ ( 2,–1 ) ( 2,–1 ) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ( –1,1 ) ( –1,1 ) ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨਾ,
ਅੱਗੇ, ( 2,–1 ) ( 2,–1 ) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨਾ,
ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ f(x)=– 2 log(4) log(x+2)+1 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। f(x)=– 2 log(4) log(x+2)+1।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 5 ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਚਿੱਤਰ 15 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਾਲ ਕਰਕੇ ਇਸ ਜਵਾਬ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਤਰ: x x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3
ਸਤਰ: f(x) f(x) | 1 | 0 | −0.58496 | −1 | −1.3219
ਸਤਰ: x x | 4 | 5 | 6 | 7 | 8
ਸਤਰ: f(x) f(x) | −1.5850 | −1.8074 | −2 | −2.1699 | −2.3219
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #11
ਚਿੱਤਰ 16 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿਓ।
Q&A
ਕੀ ਸਿਰਫ਼ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਬਾਰੇ ਦੱਸਣਾ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ?
ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਆਮ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 16 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਗ੍ਰਾਫ x=−3 x=−3 (ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਆਸਪਾਸ) ਦੇ ਨੇੜੇ ਅਤੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ x=−3 x=−3 ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹੈ, ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਹੈ। ਇਹ ਸੱਜੇ ਪਾਸਿਓਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹਨ, {x|x>−3}। {x|x>−3}। ਰੇਂਜ, ਸਾਰੇ ਆਮ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਂਗ, ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਹੇਠਾਂ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਉੱਪਰ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ x→− 3 + ,f(x)→−∞ x→− 3 + ,f(x)→−∞ ਅਤੇ ਜਿਵੇਂ x→∞,f(x)→∞। x→∞,f(x)→∞।
ਮੀਡੀਆ
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
ਘਾਤ ਅੰਕ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ ਮੇਲ ਕਰੋ
ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭੋ
ਮੌਖਿਕ
ਹਰ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਹਰੇਕ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ?
ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦਾ ਟ੍ਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨ (ਜੇ ਕੋਈ ਹੋਵੇ) ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ?
ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦਾ ਟ੍ਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨ (ਜੇ ਕੋਈ ਹੋਵੇ) ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ?
ਆਮ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= log b ( x ) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। f(x)= log b ( x )। x x ਜ਼ੀਰੋ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ?
ਕੀ ਆਮ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ।
ਅਲਜਬਰਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦੱਸੋ।
f(x)= log 3 ( x+4 ) f(x)= log 3 ( x+4 )
h(x)=ln( 1 2 −x ) h(x)=ln( 1 2 −x )
g(x)= log 5 ( 2x+9 )−2 g(x)= log 5 ( 2x+9 )−2
h(x)=ln( 4x+17 )−5 h(x)=ln( 4x+17 )−5
f(x)= log 2 ( 12−3x )−3 f(x)= log 2 ( 12−3x )−3
For the following exercises, state the domain and the vertical asymptote of the function.
f(x)= log b (x−5) f(x)= log b (x−5)
g(x)=ln(3−x) g(x)=ln(3−x)
f(x)=log(3x+1) f(x)=log(3x+1)
f(x)=3log(−x)+2 f(x)=3log(−x)+2
g(x)=−ln(3x+9)−7 g(x)=−ln(3x+9)−7
For the following exercises, state the domain, vertical asymptote, and end behavior of the function.
f(x)=ln( 2−x ) f(x)=ln( 2−x )
f(x)=log( x− 3 7 ) f(x)=log( x− 3 7 )
h(x)=−log( 3x−4 )+3 h(x)=−log( 3x−4 )+3
g(x)=ln( 2x+6 )−5 g(x)=ln( 2x+6 )−5
f(x)= log 3 ( 15−5x )+6 f(x)= log 3 ( 15−5x )+6
For the following exercises, state the domain, range, and x- and y-intercepts, if they exist. If they do not exist, write DNE.
h(x)= log 4 ( x−1 )+1 h(x)= log 4 ( x−1 )+1
f(x)=log( 5x+10 )+3 f(x)=log( 5x+10 )+3
g(x)=ln( −x )−2 g(x)=ln( −x )−2
f(x)= log 2 ( x+2 )−5 f(x)= log 2 ( x+2 )−5
h(x)=3ln( x )−9 h(x)=3ln( x )−9
Graphical
For the following exercises, match each function in Figure 17 with the letter corresponding to its graph.
d(x)=log( x ) d(x)=log( x )
f(x)=ln(x) f(x)=ln(x)
g(x)= log 2 ( x ) g(x)= log 2 ( x )
h(x)= log 5 ( x ) h(x)= log 5 ( x )
j(x)= log 25 ( x ) j(x)= log 25 ( x )
For the following exercises, match each function in Figure 18 with the letter corresponding to its graph.
f(x)= log 1 3 ( x ) f(x)= log 1 3 ( x )
g(x)= log 2 ( x ) g(x)= log 2 ( x )
h(x)= log 3 4 ( x ) h(x)= log 3 4 ( x )
For the following exercises, sketch the graphs of each pair of functions on the same axis.
f(x)=log(x) f(x)=log(x) and g(x)= 10 x g(x)= 10 x
f(x)=log(x) f(x)=log(x) and g(x)= log 1 2 (x) g(x)= log 1 2 (x)
f(x)= log 4 (x) f(x)= log 4 (x) and g(x)=ln(x) g(x)=ln(x)
f(x)= e x f(x)= e x and g(x)=ln(x) g(x)=ln(x)
For the following exercises, match each function in Figure 19 with the letter corresponding to its graph.
f(x)= log 4 ( −x+2 ) f(x)= log 4 ( −x+2 )
g(x)=− log 4 ( x+2 ) g(x)=− log 4 ( x+2 )
h(x)= log 4 ( x+2 ) h(x)= log 4 ( x+2 )
For the following exercises, sketch the graph of the indicated function.
f(x)= log 2 (x+2) f(x)= log 2 (x+2)
f(x)=2log(x) f(x)=2log(x)
f(x)=ln(−x) f(x)=ln(−x)
g(x)=log( 4x+16 )+4 g(x)=log( 4x+16 )+4
g(x)=log( 6−3x )+1 g(x)=log( 6−3x )+1
h(x)=− 1 2 ln( x+1 )−3 h(x)=− 1 2 ln( x+1 )−3
For the following exercises, write a logarithmic equation corresponding to the graph shown.
Use y= log 2 (x) y= log 2 (x) as the parent function.
Use f(x)= log 3 (x) f(x)= log 3 (x) as the parent function.
Use f(x)= log 4 (x) f(x)= log 4 (x) as the parent function.
Use f(x)= log 5 (x) f(x)= log 5 (x) as the parent function.
Technology
For the following exercises, use a graphing calculator to find approximate solutions to each equation.
log( x−1 )+2=ln( x−1 )+2 log( x−1 )+2=ln( x−1 )+2
log( 2x−3 )+2=−log( 2x−3 )+5 log( 2x−3 )+2=−log( 2x−3 )+5
ln( x−2 )=−ln( x+1 ) ln( x−2 )=−ln( x+1 )
2ln( 5x+1 )= 1 2 ln( −5x )+1 2ln( 5x+1 )= 1 2 ln( −5x )+1
1 3 log( 1−x )=log( x+1 )+ 1 3 1 3 log( 1−x )=log( x+1 )+ 1 3
Extensions
Let b b be any positive real number such that b≠1. b≠1. What must log b 1 log b 1 be equal to? Verify the result.
Explore and discuss the graphs of f(x)= log 1 2 ( x ) f(x)= log 1 2 ( x ) and g(x)=− log 2 ( x ). g(x)=− log 2 ( x ). Make a conjecture based on the result.
Prove the conjecture made in the previous exercise.
What is the domain of the function f(x)=ln( x+2 x−4 )? f(x)=ln( x+2 x−4 )? Discuss the result.
Use properties of exponents to find the x-intercepts of the function f(x)=log( x 2 +4x+4 ) f(x)=log( x 2 +4x+4 ) algebraically. Show the steps for solving, and then verify the result by graphing the function.