ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਲਘੂਰਕ (ਲੌਗਰੀਦਮ) ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਲਘੂਰਕ (ਲੌਗਰੀਦਮ) ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਲਘੂਰਕ (ਲੌਗਰੀਦਮ) ਲਈ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਲਘੂਰਕ (ਲੌਗਰੀਦਮ) ਦੇ ਪਸਾਰ ਕਰੋ।
ਲਘੂਰਕ (ਲੌਗਰੀਦਮ) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਕਰੋ।
ਲਘੂਰਕ (ਲੌਗਰੀਦਮ) ਲਈ ਅਧਾਰ ਬਦਲਣ ਵਾਲੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਲਿਟਮਸ ਪੇਪਰ ਨਾਲ ਹਾਈਡਰੋਕਲੋਰਿਕ ਐਸਿਡ ਦੇ pH ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ। (ਸਿਹਰਾ: ਡੇਵਿਡ ਬੇਰਾਰਡਨ)
ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, pH ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਅਮਲਤਾ ਜਾਂ ਖਾਰੀਤਾ ਦੇ ਮਾਪ ਵਜੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। pH ਪੈਮਾਨਾ 0 ਤੋਂ 14 ਤੱਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 7 ਤੋਂ ਘੱਟ pH ਵਾਲੇ ਪਦਾਰਥਾਂ ਨੂੰ ਅਮਲੀ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ 7 ਤੋਂ ਵੱਧ pH ਵਾਲੇ ਪਦਾਰਥਾਂ ਨੂੰ ਖਾਰੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਸਰੀਰ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਨੂੰ ਐਨਜ਼ਾਈਮਾਂ ਦੇ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ 7.35 ਦੇ ਨੇੜੇ pH ਬਣਾਈ ਰੱਖਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਆਮ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ pH ਪੱਧਰਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਕੇ ਅਮਲੀ ਅਤੇ ਖਾਰੀ ਕੀ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਅਹਿਸਾਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ:
ਬੈਟਰੀ ਐਸਿਡ: 0.8
ਢਿੱਡ ਦਾ ਐਸਿਡ: 2.7
ਸੰਤਰੇ ਦਾ ਰਸ: 3.3
ਸ਼ੁੱਧ ਪਾਣੀ: 7 (25° C 'ਤੇ)
ਮਨੁੱਖੀ ਲਹੂ: 7.35
ਤਾਜ਼ਾ ਨਾਰੀਅਲ: 7.8
ਸੋਡੀਅਮ ਹਾਈਡ੍ਰੋਕਸਾਈਡ (ਲਾਈ): 14
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੋਈ ਘੋਲ ਅਮਲੀ ਹੈ ਜਾਂ ਖਾਰੀ, ਅਸੀਂ ਇਸਦਾ pH ਪਤਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਘੋਲ ਵਿੱਚ ਸਰਗਰਮ ਪਾਜ਼ੇਟਿਵ ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਆਇਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ। pH ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ H+ H+ ਘੋਲ ਵਿੱਚ ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਆਇਨ ਦੀ ਸੰਗਤਾ ਹੈ।
−log( [ H + ] ) −log( [ H + ] ) ਅਤੇ log( 1 [ H + ] ) log( 1 [ H + ] ) ਦੀ ਸਮਾਨਤਾ ਲਘੂਰਕ (ਲੌਗਰੀਦਮ) ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਜਾਂਚਾਂਗੇ।
ਲਘੂਰਕ (ਲੌਗਰੀਦਮ) ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਲਘੂਰਕ (ਲੌਗਰੀਦਮ) ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕ (ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ) ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ "ਰੱਦ" ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਲਘੂਰਕ (ਲੌਗਰੀਦਮ) ਦੇ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ (ਐਕਸਪੋਨੈਂਟਸ) ਵਰਗੇ ਗੁਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਲਘੂਰਕ (ਲੌਗਰੀਦਮ) ਦੇ ਕੁਝ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਗੁਣ ਇੱਥੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਪਹਿਲਾਂ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, log 5 1=0 log 5 1=0 ਕਿਉਂਕਿ 5 0 =1. 5 0 =1. ਅਤੇ log 5 5=1 log 5 5=1 ਕਿਉਂਕਿ 5 1 =5. 5 1 =5.
ਅੱਗੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਉਲਟ ਗੁਣ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, log( 100 ) log( 100 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲਘੂਰਕ (ਲੌਗਰੀਦਮ) ਨੂੰ log 10 ( 10 2 ) log 10 ( 10 2 ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਲਟ ਗੁਣ log b ( b x )=x log b ( b x )=x ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ log 10 ( 10 2 )=2. log 10 ( 10 2 )=2 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
e ln(7) ਨੂੰ ਪਰਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲਘੂਰਤਕ ਨੂੰ e log e 7 ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਲਟ ਗੁਣ b log b x = x ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ e log e 7 = 7 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ-ਇੱਕ (one-to-one) ਗੁਣ ਹੈ।
ਅਸੀਂ x ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ log 3 (3x) = log 3 (2x+5) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਆਧਾਰ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਅਰਗੂਮੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਪਰ ਸਮੀਕਰਨ log 3 (3x) + log 3 (2x+5) = 2 ਬਾਰੇ ਕੀ? ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਸਾਡੀ ਮਦਦ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: x^a x^b = x^(a+b)। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਲਘੂਰਤਕਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਗੁਣ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਲਘੂਰਤਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਲਘੂਰਤਕ ਲਘੂਰਤਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਲਘੂਰਤਕ ਘਾਤਾਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਆਧਾਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਉਲਟ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x ਅਤੇ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ M, N, ਅਤੇ b, ਜਿੱਥੇ b ≠ 1, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ
ਮੰਨ ਲਓ m = log b M ਅਤੇ n = log b N। ਘਾਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ b^m = M ਅਤੇ b^n = N ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ ਕਿ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਲਘੂਰਤਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੇ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਉਪਯੋਗ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਕਾਰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਲਘੂਰਤਕ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, log b (wxyz) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਲਘੂਰਤਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਲਘੂਰਤਕ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਕਾਰਕਾਂ ਦੇ ਲਘੂਰਤਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਲਘੂਰਤਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ
ਲਘੂਰਤਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਇਸਨੂੰ ਲਘੂਰਤਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਲਘੂਰਤਕ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਲਘੂਰਤਕ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ, ਲਘੂਰਤਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਲਘੂਰਤਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਰਗੂਮੈਂਟ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਾਰਕ ਬਣਾਓ, ਹਰੇਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਹਰੇਕ ਕਾਰਕ ਦੇ ਲਘੂਰਤਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਕਰਕੇ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਲਘੂਰਤਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
log 3 (30x(3x+4)) ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਅਰਗੂਮੈਂਟ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਾਰਕ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, 30 ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਕਾਰਕ ਦੇ ਲਘੂਰਤਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਕਰਕੇ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
log b (8k) ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਲਘੂਰਤਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਭਾਗਫਲ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਲਘੂਰਤਕਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਨਿਯਮ ਹੈ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਘਟਾ ਕੇ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: x^a / x^b = x^(a-b)। ਲਘੂਰਤਕਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਲਘੂਰਤਕ ਲਘੂਰਤਕਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਉਲਟ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
Given any real number x x and positive real numbers M, M, N, N, and b, b, where b≠1, b≠1, we will show
Let m= log b M m= log b M and n= log b N. n= log b N. In exponential form, these equations are b m =M b m =M and b n =N. b n =N. It follows that
For example, to expand log( 2 x 2 +6x 3x+9 ), log( 2 x 2 +6x 3x+9 ), we must first express the quotient in lowest terms. Factoring and canceling we get,
Next we apply the quotient rule by subtracting the logarithm of the denominator from the logarithm of the numerator. Then we apply the product rule.
The Quotient Rule for Logarithms
The quotient rule for logarithms can be used to simplify a logarithm or a quotient by rewriting it as the difference of individual logarithms.
How To
Given the logarithm of a quotient, use the quotient rule of logarithms to write an equivalent difference of logarithms.
Express the argument in lowest terms by factoring the numerator and denominator and canceling common terms.
Write the equivalent expression by subtracting the logarithm of the denominator from the logarithm of the numerator.
Check to see that each term is fully expanded. If not, apply the product rule for logarithms to expand completely.
Example 2
Using the Quotient Rule for Logarithms
Expand log 2 ( 15x(x−1) (3x+4)(2−x) ). log 2 ( 15x(x−1) (3x+4)(2−x) ).
Solution
First we note that the quotient is factored and in lowest terms, so we apply the quotient rule.
Notice that the resulting terms are logarithms of products. To expand completely, we apply the product rule, noting that the prime factors of the factor 15 are 3 and 5.
Analysis
There are exceptions to consider in this and later examples. First, because denominators must never be zero, this expression is not defined for x=− 4 3 x=− 4 3 and x=2. x=2. Also, since the argument of a logarithm must be positive, we note as we observe the expanded logarithm, that x>0, x>0, x>1, x>1, x>− 4 3 , x>− 4 3 , and x<2. x<2. Combining these conditions is beyond the scope of this section, and we will not consider them here or in subsequent exercises.
Try It #2
Expand log 3 ( 7 x 2 +21x 7x( x−1 )( x−2 ) ). log 3 ( 7 x 2 +21x 7x( x−1 )( x−2 ) ).
Using the Power Rule for Logarithms
We’ve explored the product rule and the quotient rule, but how can we take the logarithm of a power, such as x 2 ? x 2 ? One method is as follows:
Notice that we used the product rule for logarithms to find a solution for the example above. By doing so, we have derived the power rule for logarithms, which says that the log of a power is equal to the exponent times the log of the base. Keep in mind that, although the input to a logarithm may not be written as a power, we may be able to change it to a power. For example,
ਲਘੂਰਕ ਦਾ ਘਾਤ ਨਿਯਮ
ਲਘੂਰਕ ਦਾ ਘਾਤ ਨਿਯਮ, ਘਾਤ ਦੇ ਲਘੂਰਕ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕ ਗੁਣਾ ਅਧਾਰ ਦੇ ਲਘੂਰਕ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਘਾਤ ਦੇ ਲਘੂਰਕ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਲਘੂਰਕ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਲਘੂਰਕ ਦੇ ਸਮਾਨ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਲਿਖੋ।
ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਤਰਕ ਨੂੰ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਅਧਾਰ ਦੇ ਲਘੂਰਕ ਗੁਣਾ ਘਾਤ ਅੰਕ ਲਿਖ ਕੇ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਘਾਤਾਂ ਨਾਲ ਲਘੂਰਕ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ
ਲਘੂਰਕ 2 x 5 ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ। ਲਘੂਰਕ 2 x 5 ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਤਰਕ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕ, 5, ਅਤੇ ਅਧਾਰ, x, x ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਅਧਾਰ ਦੇ ਲਘੂਰਕ ਗੁਣਾ ਘਾਤ ਅੰਕ ਲਿਖ ਕੇ ਮੁੜ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਲਘੂਰਕ x 2 ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ। ਲਘੂਰਕ x 2 ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਣਾ
ਲਘੂਰਕ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਘੂਰਕ 3 ( 25 ) ਲਘੂਰਕ 3 ( 25 ) ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਤਰਕ ਨੂੰ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਲਘੂਰਕ 3 ( 25 ) = ਲਘੂਰਕ 3 ( 5 2 ) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਲਘੂਰਕ 3 ( 25 ) = ਲਘੂਰਕ 3 ( 5 2 )।
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕ, 2, ਅਤੇ ਅਧਾਰ, 5, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਅਧਾਰ ਦੇ ਲਘੂਰਕ ਗੁਣਾ ਘਾਤ ਅੰਕ ਲਿਖ ਕੇ ਮੁੜ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਲਘੂਰਕ( 1 x 2 ) ਲਘੂਰਕ( 1 x 2 ) ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਉਲਟੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵਰਤਣਾ
ਲਘੂਰਕ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 4ਲਘੂਰਕ(x) 4ਲਘੂਰਕ(x) ਨੂੰ 1 ਦੇ ਅਗਲੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਇੱਕਲੇ ਲਘੂਰਕ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਘਾਤ ਦਾ ਲਘੂਗਣਕ, ਉਸਦੇ ਅਧਾਰ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਘਾਤ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਸਿੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ, ਕਿਸੇ ਘਾਤ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। 4ln(x) ਦੇ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਕ 4 ਨੂੰ ਘਾਤ ਅਤੇ x ਨੂੰ ਅਧਾਰ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਘਾਤ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ: 4ln(x)=ln( x 4 )।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
2 log 3 4 ਨੂੰ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਲਘੂਗਣਕ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ, ਜਿਸਦਾ ਮੋਹਰੀ ਗੁਣਕ 1 ਹੋਵੇ।
ਲਘੂਗਣਕੀ ਪ੍ਰਗਟਾਵਾ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ
ਇਕੱਠੇ, ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ, ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ, ਅਤੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਅਕਸਰ "ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ" ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ:
ਅਸੀਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਭਿੰਨ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਪ੍ਰਗਟਾਵਾ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਕਲਪਿਕ ਸਬੂਤ ਇੱਥੇ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਉਲਟਾ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
ਅਸੀਂ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਵੀ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਭਿਆਸ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲਘੂਗਣਕੀ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਮਾਨਸਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅੰਤਿਮ ਉੱਤਰ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿਰਫ ਗੁਣਨਫਲ, ਭਾਗਫਲ, ਘਾਤਾਂ, ਅਤੇ ਜੜ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਹੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ—ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਤਰਕ ਦੇ ਅੰਦਰ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਨਾਲ ਕਦੇ ਨਹੀਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਗੁਣਨਫਲ, ਭਾਗਫਲ, ਅਤੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ
ln( x 4 y 7 ) ਨੂੰ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਪ੍ਰਗਟਾਵਾ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਫਿਰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇਖ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਪਦ 'ਤੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
log( x 2 y 3 z 4 ) ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
log( x ) ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ln( x 2 3 ) ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
Q&A
Can we expand ln( x 2 + y 2 )? ln( x 2 + y 2 )?
No. There is no way to expand the logarithm of a sum or difference inside the argument of the logarithm.
Example 8
Expanding Complex Logarithmic Expressions
Expand log 6 ( 64 x 3 ( 4x+1 ) ( 2x−1 ) ). log 6 ( 64 x 3 ( 4x+1 ) ( 2x−1 ) ).
Solution
We can expand by applying the Product and Quotient Rules.
Try It #8
Expand ln( (x−1) (2x+1) 2 ( x 2 −9) ). ln( (x−1) (2x+1) 2 ( x 2 −9) ).
Condensing Logarithmic Expressions
We can use the rules of logarithms we just learned to condense sums, differences, and products with the same base as a single logarithm. It is important to remember that the logarithms must have the same base to be combined. We will learn later how to change the base of any logarithm before condensing.
How To
Given a sum, difference, or product of logarithms with the same base, write an equivalent expression as a single logarithm.
Apply the power property first. Identify terms that are products of factors and a logarithm, and rewrite each as the logarithm of a power.
Next apply the product property. Rewrite sums of logarithms as the logarithm of a product.
Apply the quotient property last. Rewrite differences of logarithms as the logarithm of a quotient.
Example 9
Using the Product and Quotient Rules to Combine Logarithms
Write log 3 ( 5 )+ log 3 ( 8 )− log 3 ( 2 ) log 3 ( 5 )+ log 3 ( 8 )− log 3 ( 2 ) as a single logarithm.
Solution
Using the product and quotient rules
This reduces our original expression to
Then, using the quotient rule
Try It #9
ਲਘੂਤਕ3−ਲਘੂਤਕ4+ਲਘੂਤਕ5−ਲਘੂਤਕ6 ਦਾ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ। ਲਘੂਤਕ3−ਲਘੂਤਕ4+ਲਘੂਤਕ5−ਲਘੂਤਕ6।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਜਟਿਲ ਲਘੂਤਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ
ਲਘੂਤਕ 2 ( x 2 )+ 1 2 ਲਘੂਤਕ 2 ( x−1 )−3 ਲਘੂਤਕ 2 ( ( x+3 ) 2 ) ਦਾ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ। ਲਘੂਤਕ 2 ( x 2 )+ 1 2 ਲਘੂਤਕ 2 ( x−1 )−3 ਲਘੂਤਕ 2 ( ( x+3 ) 2 )।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਘਾਟ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10
ਲਘੂਤਕ( 5 )+0.5ਲਘੂਤਕ( x )−ਲਘੂਤਕ( 7x−1 )+3ਲਘੂਤਕ( x−1 ) ਨੂੰ ਇੱਕਲੇ ਲਘੂਤਕ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। ਲਘੂਤਕ( 5 )+0.5ਲਘੂਤਕ( x )−ਲਘੂਤਕ( 7x−1 )+3ਲਘੂਤਕ( x−1 )।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਇੱਕਲੇ ਲਘੂਤਕ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਣਾ
2ਲਘੂਤਕx−4ਲਘੂਤਕ(x+5)+ 1 x ਲਘੂਤਕ( 3x+5 ) ਨੂੰ ਇੱਕਲੇ ਲਘੂਤਕ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। 2ਲਘੂਤਕx−4ਲਘੂਤਕ(x+5)+ 1 x ਲਘੂਤਕ( 3x+5 )।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਮੁੜ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਜੋੜ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਘਾਟ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #11
4( 3ਲਘੂਤਕ( x )+ਲਘੂਤਕ( x+5 )−ਲਘੂਤਕ( 2x+3 ) ) ਦਾ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ। 4( 3ਲਘੂਤਕ( x )+ਲਘੂਤਕ( x+5 )−ਲਘੂਤਕ( 2x+3 ) )।
ਉਦਾਹਰਨ 12
ਲਘੂਤਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦਾ ਲਾਗੂਕਰਨ
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ, ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, pH=−ਲਘੂਤਕ[ H + ]। pH=−ਲਘੂਤਕ[ H + ]। ਜੇਕਰ ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਆਇਨਾਂ ਦੀ ਇਕਾਗਰਤਾ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ pH 'ਤੇ ਕੀ ਪ੍ਰਭਾਵ ਪੈਂਦਾ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ C C ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਆਇਨਾਂ ਦੀ ਮੂਲ ਇਕਾਗਰਤਾ ਹੈ, ਅਤੇ P P ਤਰਲ ਦਾ ਮੂਲ pH ਹੈ। ਫਿਰ P=–ਲਘੂਤਕ(C)। P=–ਲਘੂਤਕ(C)। ਜੇਕਰ ਇਕਾਗਰਤਾ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਵੀਂ ਇਕਾਗਰਤਾ 2C ਹੈ। 2C। ਫਿਰ ਨਵੇਂ ਤਰਲ ਦਾ pH ਹੈ
ਲਘੂਰਕ (logarithm) ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਕਿਉਂਕਿ P=–log(C), P=–log(C), ਇਸ ਲਈ ਨਵਾਂ pH ਹੈ
ਜਦੋਂ ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਆਇਨਾਂ ਦੀ ਸੰਗਣਤਾ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ pH ਲਗਭਗ 0.301 ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #12
pH ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਧਨ ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਆਇਨਾਂ ਦੀ ਸੰਗਣਤਾ ਅੱਧੀ ਘਟਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ?
ਲਘੂਰਕਾਂ (logarithms) ਲਈ ਅਧਾਰ-ਬਦਲੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਸਿਰਫ਼ ਆਮ (common) ਅਤੇ ਕੁਦਰਤੀ (natural) ਲਘੂਰਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਨ। 10 ਜਾਂ e ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਅਧਾਰ ਵਾਲੇ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅਧਾਰ-ਬਦਲੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਘੂਰਕ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਅਧਾਰ ਦੇ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ (quotient) ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ; ਜਦੋਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਆਮ ਜਾਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਧਾਰ-ਬਦਲੀ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲਘੂਰਕਾਂ ਲਈ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ (one-to-one property) ਅਤੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ (power rule) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕੋਈ ਵੀ ਧਨ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ M, b, ਅਤੇ n ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ n≠1 ਅਤੇ b≠1, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ
ਮੰਨ ਲਓ y= log b M। ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਅਧਾਰ b ਨਾਲ ਘਾਤਾਂਕ (exponentiating) ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਘਾਤ ਰੂਪ (exponential form) ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ, ਅਰਥਾਤ b y =M। ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ ਕਿ
ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ log 5 36 ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਮ ਜਾਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਆਮ ਲਘੂਰਕ (common log) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਅਧਾਰ-ਬਦਲੀ ਸੂਤਰ
ਅਧਾਰ-ਬਦਲੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਧਾਰ ਵਾਲੇ ਲਘੂਰਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਕੋਈ ਵੀ ਧਨ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ M, b, ਅਤੇ n ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ n≠1 ਅਤੇ b≠1,
ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਧਾਰ-ਬਦਲੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਧਾਰ ਵਾਲੇ ਲਘੂਰਕ ਨੂੰ ਆਮ ਜਾਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਅਤੇ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
log b M ਰੂਪ ਵਾਲਾ ਲਘੂਰਕ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨ ਅਧਾਰ n, ਜਿੱਥੇ n≠1, ਦੇ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਅਧਾਰ-ਬਦਲੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਨਵਾਂ ਅਧਾਰ n ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ, ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਆਮ ਲਘੂਰਕ, log(x), ਦਾ ਅਧਾਰ 10 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕ, ln(x), ਦਾ ਅਧਾਰ e ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਧਾਰ-ਬਦਲੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਘੂਰਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਧਾਰ n ਅਤੇ ਸੰਖਿਆ M ਵਾਲਾ ਲਘੂਰਕ ਹੋਵੇਗਾ। ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਹਰ (denominator) ਅਧਾਰ n ਅਤੇ ਸੰਖਿਆ b ਵਾਲਾ ਲਘੂਰਕ ਹੋਵੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 13
ਲਘੂਰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ
log 5 3 ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਲਾਗ 5 3 ਲਾਗ 5 3 ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਾਗਾਰਿਦਮ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਾਂਗੇ, ਨਵਾਂ ਅਧਾਰ, n=e ਹੈ। n=e ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਬਦਲਾਅ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਗ ਨੂੰ ਇੱਕ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਅੰਸ਼ 3 ਅਰਗੂਮੈਂਟ ਵਾਲਾ ਕੁਦਰਤੀ ਲਾਗ ਹੋਵੇਗਾ। ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਹਰ 5 ਅਰਗੂਮੈਂਟ ਵਾਲਾ ਕੁਦਰਤੀ ਲਾਗ ਹੋਵੇਗਾ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #13
ਲਾਗ 0.5 8 ਲਾਗ 0.5 8 ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਾਗਾਰਿਦਮ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
Q&A
ਕੀ ਅਸੀਂ ਆਮ ਲਾਗਾਰਿਦਮ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਾਗਾਰਿਦਮ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਲਾਗ9 ਲਾਗ9 ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਲਾਗ 10 9। ਲਾਗ 10 9। ਇਸ ਲਈ, ਲਾਗ9 = ln9 ln10। ਲਾਗ9 = ln9 ln10।
ਉਦਾਹਰਨ 14
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਨਾਲ ਬਦਲਾਅ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਨਾਲ ਬਦਲਾਅ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਗ 2 (10) ਲਾਗ 2 (10) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਬਦਲਾਅ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਅਸੀਂ ਲਾਗ ਅਧਾਰ 2 ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਅਧਾਰ ਦੇ ਲਾਗਾਰਿਦਮ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਾਗ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਾਗਾਰਿਦਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਲਾਗ ਅਧਾਰ e ਹੈ। e।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #14
ਬਦਲਾਅ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਗ 5 (100) ਲਾਗ 5 (100) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਲਾਗਾਰਿਦਮ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਲਾਗਾਰਿਦਮ ਦੇ ਗੁਣ
ਲਾਗਾਰਿਦਮਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ
ਕੁਦਰਤੀ ਲਾਗਾਰਿਦਮਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਸ਼ਬਦਕ
ਲਾਗਾਰਿਦਮਾਂ ਲਈ ਪਾਵਰ ਨਿਯਮ ਲਾਗ ਬੀ ( x n )? ਲਾਗ ਬੀ ( x n )? ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਲਾਗਾਰਿਦਮਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ?
ਬਦਲਾਅ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕੀ ਕਰਦਾ ਹੈ? ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਇਹ ਕਿਉਂ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ?
ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਲਾਗਾਰਿਦਮ ਦਾ ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਲਾਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਜਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਲਾਗ ਬੀ ( 7x⋅2y ) ਲਾਗ ਬੀ ( 7x⋅2y )
ln( 3ab⋅5c ) ln( 3ab⋅5c )
log b ( 13 17 ) log b ( 13 17 )
log 4 ( x z w ) log 4 ( x z w )
ln( 1 4 k ) ln( 1 4 k )
log 2 ( y x ) log 2 ( y x )
For the following exercises, condense to a single logarithm if possible.
ln( 7 )+ln( x )+ln( y ) ln( 7 )+ln( x )+ln( y )
log 3 (2)+ log 3 (a)+ log 3 (11)+ log 3 (b) log 3 (2)+ log 3 (a)+ log 3 (11)+ log 3 (b)
log b (28)− log b (7) log b (28)− log b (7)
ln( a )−ln( d )−ln( c ) ln( a )−ln( d )−ln( c )
− log b ( 1 7 ) − log b ( 1 7 )
1 3 ln( 8 ) 1 3 ln( 8 )
For the following exercises, use the properties of logarithms to expand each logarithm as much as possible. Rewrite each expression as a sum, difference, or product of logs.
log( x 15 y 13 z 19 ) log( x 15 y 13 z 19 )
ln( a −2 b −4 c 5 ) ln( a −2 b −4 c 5 )
log( x 3 y −4 ) log( x 3 y −4 )
ln( y y 1−y ) ln( y y 1−y )
log( x 2 y 3 x 2 y 5 3 ) log( x 2 y 3 x 2 y 5 3 )
For the following exercises, condense each expression to a single logarithm using the properties of logarithms.
log( 2 x 4 )+log( 3 x 5 ) log( 2 x 4 )+log( 3 x 5 )
ln(6 x 9 )−ln(3 x 2 ) ln(6 x 9 )−ln(3 x 2 )
2log(x)+3log(x+1) 2log(x)+3log(x+1)
log(x)− 1 2 log(y)+3log(z) log(x)− 1 2 log(y)+3log(z)
4 log 7 ( c )+ log 7 ( a ) 3 + log 7 ( b ) 3 4 log 7 ( c )+ log 7 ( a ) 3 + log 7 ( b ) 3
1. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅਧਾਰ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
2. ਲਘੂਗਣਕ 7 (15) ਨੂੰ ਅਧਾਰ e ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
3. ਲਘੂਗਣਕ 14 (55.875) ਨੂੰ ਅਧਾਰ 10 ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
4. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਲਘੂਗਣਕ 5 (6) = a ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ 5 (11) = b ਹੈ। ਬਦਲਾਅ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ a ਅਤੇ b ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਕਦਮ ਦਿਖਾਓ।
5. ਲਘੂਗਣਕ 11 (5)
6. ਲਘੂਗਣਕ 6 (55)
7. ਲਘੂਗਣਕ 11 (6/11)
8. ਸੰਖਿਆਤਮਕ
9. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
10. ਲਘੂਗਣਕ 3 (1/9) - 3 ਲਘੂਗਣਕ 3 (3)
11. 6 ਲਘੂਗਣਕ 8 (2) + ਲਘੂਗਣਕ 8 (64) / 3 ਲਘੂਗਣਕ 8 (4)
12. 2 ਲਘੂਗਣਕ 9 (3) - 4 ਲਘੂਗਣਕ 9 (3) + ਲਘੂਗਣਕ 9 (1/729)
13. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਦਲਾਅ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਦਾ ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
14. ਲਘੂਗਣਕ 3 (22)
15. ਲਘੂਗਣਕ 8 (65)
16. ਲਘੂਗਣਕ 6 (5.38)
17. ਲਘੂਗਣਕ 4 (15/2)
18. ਲਘੂਗਣਕ 1/2 (4.7)
19. ਵਿਸਥਾਰ
20. ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਾਰੇ x ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਲਘੂਗਣਕ 12 (2x+6) + ਲਘੂਗਣਕ 12 (x+2) = 2। ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਕਦਮ ਦਿਖਾਓ।
21. ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਾਰੇ x ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਲਘੂਗਣਕ 6 (x+2) - ਲਘੂਗਣਕ 6 (x-3) = 1। ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਕਦਮ ਦਿਖਾਓ।
22. ਕੀ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੀ ਘਾਤ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ b^x = m ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ? ਜੇ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਕਾਰਨ ਦੱਸੋ। ਜੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਉਤਪਤੀ ਦਿਖਾਓ।
23. ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਲਘੂਗਣਕ b (n) = 1 / ਲਘੂਗਣਕ n (b) ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ b > 1 ਅਤੇ n > 1 ਲਈ।
24. ਕੀ ਲਘੂਗਣਕ 81 (2401) = ਲਘੂਗਣਕ 3 (7)? ਦਾਅਵੇ ਨੂੰ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਕਰੋ।