ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਆਧਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਆਸਟ੍ਰੇਲੀਆ ਵਿੱਚ ਜੰਗਲੀ ਖਰਗੋਸ਼। ਆਸਟ੍ਰੇਲੀਆ ਵਿੱਚ ਖਰਗੋਸ਼ਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਇੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧੀ ਕਿ ਇਸ ਘਟਨਾ ਨੂੰ "ਖਰਗੋਸ਼ ਪਲੇਗ" ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਗਿਆ। (ਸਰੋਤ: ਰਿਚਰਡ ਟੇਲਰ, ਫਲਿੱਕਰ)
1859 ਵਿੱਚ, ਥਾਮਸ ਆਸਟਿਨ ਨਾਮ ਦੇ ਇੱਕ ਆਸਟ੍ਰੇਲੀਆਈ ਜ਼ਿਮੀਂਦਾਰ ਨੇ ਸ਼ਿਕਾਰ ਲਈ 24 ਖਰਗੋਸ਼ ਜੰਗਲ ਵਿੱਚ ਛੱਡੇ। ਕਿਉਂਕਿ ਆਸਟ੍ਰੇਲੀਆ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਸ਼ਿਕਾਰੀ ਅਤੇ ਭਰਪੂਰ ਭੋਜਨ ਸੀ, ਖਰਗੋਸ਼ਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਧਮਾਕਾ ਹੋਇਆ। ਦਸ ਸਾਲਾਂ ਤੋਂ ਵੀ ਘੱਟ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ, ਖਰਗੋਸ਼ਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਲੱਖਾਂ ਵਿੱਚ ਸੀ।
ਆਸਟ੍ਰੇਲੀਆ ਵਿੱਚ ਜੰਗਲੀ ਖਰਗੋਸ਼ਾਂ ਵਾਂਗ ਬੇਕਾਬੂ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਵਾਧੇ ਬਾਰੇ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਅਤੇ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀਆਂ ਕਰਨ ਲਈ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ।
ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਆਧਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਪਹਿਲੀ ਤਕਨੀਕ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਆਧਾਰਾਂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ b, S, ਅਤੇ T ਲਈ, ਜਿੱਥੇ b>0, b≠1, b^S = b^T ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੇਕਰ S=T।
ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਆਧਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਘਾਤ ਅੰਕ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਘਾਤ ਅੰਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਆਧਾਰ ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ। ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ 3^(4x-7) = 3^(2x+3) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਆਮ ਆਧਾਰ, 3, ਹੋਵੇ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ S ਅਤੇ T, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ b≠1 ਲਈ,
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
b^S = b^T ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ S ਅਤੇ T ਇੱਕ ਅਣਜਾਣ ਨਾਲ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ, ਅਣਜਾਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ, ਜੇਕਰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਜੋ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਸਮੀਕਰਨ b^S = b^T ਦਾ ਰੂਪ ਹੋਵੇ।
ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਸਮੀਕਰਨ, S=T, ਨੂੰ ਅਣਜਾਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਇੱਕ ਆਮ ਆਧਾਰ ਨਾਲ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
2^(x-1) = 2^(2x-4) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
1. ਹੱਲ
2. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
3. 5 2x = 5 3x+2 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 5 2x = 5 3x+2।
4. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖਣਾ ਤਾਂ ਜੋ ਸਾਰੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਆਧਾਰ ਇੱਕੋ ਹੋਵੇ
5. ਕਈ ਵਾਰ ਘਾਤ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਆਧਾਰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦਿਖਾਈ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ। ਅਜਿਹੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਂਝੇ ਆਧਾਰ ਦੇ ਘਾਤਾਂ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
6. ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ 256 = 4 x−5 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। 256 = 4 x−5। ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 2 ਦੇ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। 2. ਫਿਰ ਅਸੀਂ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੇ ਨਾਲ, ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: x:
7. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
8. ਅਸਮਾਨ ਆਧਾਰ ਵਾਲੇ ਘਾਤ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
9. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਆਧਾਰ ਦੇ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
10. ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ, ਜੇਕਰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਜੋ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ b S = b T ਹੋਵੇ। b S = b T।
11. ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
12. ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ, S=T, S=T, ਨੂੰ ਅਣਜਾਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 2
14. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਆਧਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
15. 8 x+2 = 16 x+1 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 8 x+2 = 16 x+1।
16. ਹੱਲ
17. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #2
18. 5 2x = 25 3x+2 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 5 2x = 25 3x+2।
19. ਉਦਾਹਰਨ 3
20. ਜੜ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਆਧਾਰ ਵਾਲੇ ਭਿੰਨ ਘਾਤਾਂ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
21. 2 5x = 2 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 2 5x = 2।
22. ਹੱਲ
23. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
24. 5 x = 5 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 5 x = 5।
Q&A
1. ਕੀ ਸਾਰੇ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਜੇ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੌਰਾਨ ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਹੱਲ ਮੌਜੂਦ ਹੈ?
2. ਨਹੀਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਘਾਤੀ ਫਲਨ (exponential function) ਦੀ ਰੇਂਜ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਅਭਿਵਿਅਕਤੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜੋ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ (undefined) ਹੋਵੇ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 4
4. ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
5. 3 x+1 =−2 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 3 x+1 =−2।
6. ਹੱਲ
7. ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। x ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੱਚਾ ਬਣਾ ਸਕੇ ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦੀ ਕੋਈ ਵੀ ਘਾਤ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
8. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
9. ਚਿੱਤਰ 2 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦੇ, ਇਸ ਲਈ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਕਦੇ ਵੀ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
10. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #4
11. 2 x =−100 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 2 x =−100।
12. ਲਘੂਗਣਕ (Logarithms) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
13. ਕਈ ਵਾਰ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਂਝੇ ਆਧਾਰ (common base) ਨਾਲ ਦੁਬਾਰਾ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਲਘੂਗਣਕ ਲੈ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਕਿਉਂਕਿ log( a )=log( b ) ਦਾ ਮਤਲਬ a=b ਹੈ, ਅਸੀਂ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ 'ਤੇ ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ ਵਾਲੇ ਲਘੂਗਣਕ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
14. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
15. ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਆਧਾਰ ਨਹੀਂ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਅਣਜਾਣ (unknown) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
16. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ 'ਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਲਾਗੂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦਾ ਆਧਾਰ 10 ਹੈ, ਤਾਂ ਆਮ ਲਘੂਗਣਕ (common logarithm) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਦਾ ਆਧਾਰ 10 ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ (natural logarithm) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
17. ਅਣਜਾਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
18. ਉਦਾਹਰਨ 5
19. ਵੱਖ-ਵੱਖ ਆਧਾਰਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
20. 5 x+2 = 4 x ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 5 x+2 = 4 x।
21. ਹੱਲ
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #5
23. 2 x = 3 x+1 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 2 x = 3 x+1।
Q&A
24. ਕੀ 2 x = 3 x ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਤਰੀਕਾ ਹੈ? 2 x = 3 x?
Yes. The solution is 0. 0.
Equations Containing e
One common type of exponential equations are those with base e. e. This constant occurs again and again in nature, in mathematics, in science, in engineering, and in finance. When we have an equation with a base e e on either side, we can use the natural logarithm to solve it.
How To
Given an equation of the form y=A e kt , y=A e kt , solve for t. t.
Divide both sides of the equation by A. A.
Apply the natural logarithm of both sides of the equation.
Divide both sides of the equation by k. k.
Example 6
Solve an Equation of the Form y = Aekt
Solve 100=20 e 2t . 100=20 e 2t .
Solution
Analysis
Using laws of logs, we can also write this answer in the form t=ln 5 . t=ln 5 . If we want a decimal approximation of the answer, we use a calculator.
Try It #6
Solve 3 e 0.5t =11. 3 e 0.5t =11.
Q&A
Does every equation of the form y=A e kt y=A e kt have a solution?
No. There is a solution when k≠0, k≠0, and when y y and A A are either both 0 or neither 0, and they have the same sign. An example of an equation with this form that has no solution is 2=−3 e t . 2=−3 e t .
Example 7
Solving an Equation That Can Be Simplified to the Form y = Aekt
Solve 4 e 2x +5=12. 4 e 2x +5=12.
Solution
Try It #7
Solve 3+ e 2t =7 e 2t . 3+ e 2t =7 e 2t .
ਬੇਲੋੜੇ ਹੱਲ
ਕਈ ਵਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਵਿਧੀਆਂ ਬੇਲੋੜੇ ਹੱਲ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਅਲਜਬਰਾ ਪੱਖੋਂ ਸਹੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਪਰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਅਜਿਹੀ ਇੱਕ ਸਥਿਤੀ ਉਦੋਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਲਘੂਗਣਕ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਲਘੂਗਣਕ ਦਾ ਤਰਕ ਹਮੇਸ਼ਾ ਧਨਾਤਮਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੋਈ ਨਤੀਜਾ ਨਹੀਂ ਨਿਕਲਦਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਵਰਗਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
e 2x − e x =56 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। e 2x − e x =56।
ਹੱਲ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਿਫ਼ਰ ਦਾ ਵਿਲੱਖਣ ਗੁਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਗੁਣਨਫਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਜ਼ਰੂਰ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ e x =−7 ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਕਦੇ ਵੀ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ। ln(−7) ਦਾ ਹੱਲ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਇਸ ਹੱਲ ਨੂੰ ਬੇਲੋੜੇ ਹੱਲ ਵਜੋਂ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #8
e 2x = e x +2 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। e 2x = e x +2।
Q&A
ਕੀ ਹਰ ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
ਨਹੀਂ। ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ 'ਤੇ ਹੀ ਲਘੂਗਣਕ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਮੇਸ਼ਾ ਬੇਲੋੜੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦੇਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰ ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨ log b ( x )=y ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨ b y =x ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ, ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੇ ਨਾਲ, ਉਹਨਾਂ ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ ਤਰਕ ਇੱਕ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ log 2 ( 2 )+ log 2 ( 3x−5 )=3 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਸਮੀਕਰਨ S ਅਤੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ b ਅਤੇ c ਲਈ, ਜਿੱਥੇ b>0, b≠1,
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
2lnx+3=7 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 2lnx+3=7।
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #9
6+lnx=10 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 6+lnx=10।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਪ੍ਰਾਕ੍ਰਿਤਿਕ ਲਘੂਗਣਕ (Natural Logarithm) ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਤੇ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
2ln(6x)=7 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 2ln(6x)=7।
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10
2ln(x+1)=10 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 2ln(x+1)=10।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
lnx=3 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। lnx=3।
ਹੱਲ
ਚਿੱਤਰ 3 ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ, ਜਿਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਦੋ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੱਟਦੇ ਹਨ, ਉਸ ਦਾ x-ਸੰਯੋਜਕ 20 ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, e 3 ≈20। ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਬਿਹਤਰ ਅਨੁਮਾਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ: e 3 ≈20.0855। e 3 ≈20.0855।
ਚਿੱਤਰ 3: y=lnx ਅਤੇ y=3 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਿੰਦੂ (e 3 ,3), (e 3 ,3) 'ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਲਗਭਗ (20.0855, 3) ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #11
ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨ 2 x =1000 ਨੂੰ 2 ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ x>0, S>0, T>0 ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ b, ਜਿੱਥੇ b≠1, ਲਈ,
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,
ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ x−1=8, ਤਾਂ ਅਸੀਂ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ x=9 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ x=9 ਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: log 2 ( 9−1 )= log 2 ( 8 )=3। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਅਧਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਰਗੂਮੈਂਟ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਰਗੂਮੈਂਟ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਜਦੋਂ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਲਘੂਗਣਕ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਅਰਗੂਮੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਅਤੇ ਅਣਜਾਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ log( 3x−2 )−log( 2 )=log( x+4 ) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਲਘੂਗਣਕ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, log( 3x−2 )−log( 2 )=log( x+4 ) ਵਿੱਚ x=10 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਸਮੀਕਰਨ S ਅਤੇ T ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ b, ਜਿੱਥੇ b≠1, ਲਈ,
ਨੋਟ, ਜਦੋਂ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਜਵਾਬ ਸਹੀ ਹੈ ਜਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਹੱਲ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਜੇਕਰ ਲੋੜ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਤਾਂ ਜੋ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ log b S = log b T ਹੋਵੇ।
ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਰਗੂਮੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਕਰੋ।
ਅਣਜਾਣ ਲਈ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ, S=T, ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 12
ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ln( x 2 )=ln(2x+3) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਦੋ ਹੱਲ ਹਨ: 3 ਜਾਂ −1। ਹੱਲ −1 ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਪਰ ਜਦੋਂ ਇਸਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਇਹ ਜਾਂਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਲਘੂਰਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਰਗੂਮੈਂਟ ਅਜੇ ਵੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #12
ln( x 2 )=ln1 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਲਈ ਗੁਣਾਂ ਅਤੇ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਲਘੂਰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਲਘੂਰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੇ ਹੁਨਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ, ਭਾਵੇਂ ਅਣਜਾਣ ਘਾਤ ਅੰਕ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ ਜਾਂ ਲਘੂਰਕ ਦੇ ਅਰਗੂਮੈਂਟ ਵਿੱਚ।
ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ ਅੱਧੇ ਅਸਥਿਰ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਸੜਨ ਵਿੱਚ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਜਿਸਨੂੰ ਇਸਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ 1 ਕੁਝ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ ਅੱਧੇ ਜੀਵਨ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: ਪਦਾਰਥ | ਵਰਤੋਂ | ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ
ਸਾਰਣੀ: ਗੈਲੀਅਮ-67 | ਨਿਊਕਲੀਅਰ ਮੈਡੀਸਨ | 80 ਘੰਟੇ
ਸਾਰਣੀ: ਕੋਬਾਲਟ-60 | ਨਿਰਮਾਣ | 5.3 ਸਾਲ
ਸਾਰਣੀ: ਟੈਕਨੀਸ਼ੀਅਮ-99m | ਨਿਊਕਲੀਅਰ ਮੈਡੀਸਨ | 6 ਘੰਟੇ
ਸਾਰਣੀ: ਅਮੇਰੀਸ਼ੀਅਮ-241 | ਉਸਾਰੀ | 432 ਸਾਲ
ਸਾਰਣੀ: ਕਾਰਬਨ-14 | ਪੁਰਾਤੱਤਵ ਮਿਤੀ | 5,730 ਸਾਲ
ਸਾਰਣੀ: ਯੂਰੇਨੀਅਮ-235 | ਪਰਮਾਣੂ ਸ਼ਕਤੀ | 703,800,000 ਸਾਲ
ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ ਅੱਧੇ ਜੀਵਨ ਕਿੰਨੇ ਵਿਆਪਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਅੱਧੇ ਜੀਵਨ ਨੂੰ ਜਾਣਨ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਸਮੇਂ ਬਾਅਦ ਬਚੀ ਹੋਈ ਮਾਤਰਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਸੜਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਜਿੱਥੇ
A 0 ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਮਾਤਰਾ ਹੈ
1. ਟੀ ਟੀ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਅਰਧ-ਜੀਵਨ ਹੈ
2. ਟੀ ਟੀ ਉਹ ਸਮਾਂ-ਕਾਲ ਹੈ ਜਿਸ ਦੌਰਾਨ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
3. ਏ(ਟੀ) ਏ(ਟੀ) ਸਮਾਂ ਟੀ ਟੀ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਮੌਜੂਦ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਹੈ
4. ਉਦਾਹਰਨ 13
5. ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਕਸ਼ਯ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
6. ਯੂਰੇਨੀਅਮ-235 ਦੇ 1000-ਗ੍ਰਾਮ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਦਸ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਕਸ਼ਯ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
7. ਹੱਲ
8. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
9. 1000 ਗ੍ਰਾਮ ਦਾ ਦਸ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ 100 ਗ੍ਰਾਮ ਹੈ। ਜੇ 100 ਗ੍ਰਾਮ ਕਸ਼ਯ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਯੂਰੇਨੀਅਮ-235 ਦੀ ਬਾਕੀ ਮਾਤਰਾ 900 ਗ੍ਰਾਮ ਹੈ।
10. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #13
11. ਸਾਡੇ 1000-ਗ੍ਰਾਮ ਯੂਰੇਨੀਅਮ-235 ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਵੀਹ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਕਸ਼ਯ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
12. ਮੀਡੀਆ
13. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
14. ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
15. ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
16. ਸ਼ਬਦਕ
17. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
18. ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਹੱਲ ਕਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ? ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਹੱਲ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
19. ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਦੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ? ਕਦੋਂ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ?
20. ਬੀਜਗਣਿਤ
21. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮਾਨ ਆਧਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
22. 4 −3v−2 = 4 −v
23. 64⋅ 4 3x =16
24. 3 2x+1 ⋅ 3 x =243
2 ⋅ 4 2 − 3n = 2 n + 2
625 ⋅ 5 3x + 3 = 125
36 3b ⋅ 36 2b = 216 2 − b
( 1 64 ) 3n ⋅ 8 = 2 6
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ (logarithms) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
9 x − 10 = 1
2 e 6x = 13
e r + 10 − 10 = −42
2 ⋅ 10 9a = 29
−8 ⋅ 10 p + 7 − 7 = −24
7 e 3n − 5 + 5 = −89
e −3k + 6 = 44
−5 e 9x − 8 − 8 = −62
−6 e 9x + 8 + 2 = −74
2 x + 1 = 5 2x − 1
e 2x − e x − 132 = 0
7 e 8x + 8 − 5 = −95
10 e 8x + 3 + 2 = 8
4 e 3x + 3 − 7 = 53
8 e −5x − 2 − 4 = −90
3 2x + 1 = 7 x − 2
e 2x − e x − 6 = 0
3 e 3 − 3x + 6 = −31
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨ (exponential equation) ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ (logarithm) ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਲੌਗ(1/100) = -2
ਲੌਗ₃₂₄(18) = 1/2
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5 ਲੌਗ₇(n) = 10
-8 ਲੌਗ₉(x) = 16
4 + ਲੌਗ₂(9k) = 2
2 ਲੌਗ(8n + 4) + 6 = 10
10 - 4 ਲਨ(9 - 8x) = 6
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਲਨ(10 - 3x) = ਲਨ(-4x)
ਲੌਗ₁₃(5n - 2) = ਲੌਗ₁₃(8 - 5n)
ਲੌਗ(x + 3) - ਲੌਗ(x) = ਲੌਗ(74)
ਲਨ(-3x) = ਲਨ(x² - 6x)
ਲੌਗ₄(6 - m) = ਲੌਗ₄(3m)
ਲਨ(x - 2) - ਲਨ(x) = ਲਨ(54)
ਲੌਗ₉(2n² - 14n) = ਲੌਗ₉(-45 + n²)
ਲਨ(x² - 10) + ਲਨ(9) = ਲਨ(10)
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, x ਲਈ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਲੌਗ(x + 12) = ਲੌਗ(x) + ਲੌਗ(12)
ਲਨ(x) + ਲਨ(x - 3) = ਲਨ(7x)
ਲੌਗ₂(7x + 6) = 3
ਲਨ(7) + ਲਨ(2 - 4x²) = ਲਨ(14)
ਲੌਗ₈(x + 6) - ਲੌਗ₈(x) = ਲੌਗ₈(58)
ਲਨ(3) - ਲਨ(3 - 3x) = ਲਨ(4)
log 3 ( 3x )− log 3 ( 6 )= log 3 ( 77 ) log 3 ( 3x )− log 3 ( 6 )= log 3 ( 77 )
Graphical
For the following exercises, solve the equation for x, x, if there is a solution. Then graph both sides of the equation, and observe the point of intersection (if it exists) to verify the solution.
log 9 ( x )−5=−4 log 9 ( x )−5=−4
log 3 ( x )+3=2 log 3 ( x )+3=2
ln( 3x )=2 ln( 3x )=2
ln( x−5 )=1 ln( x−5 )=1
log( 4 )+log( −5x )=2 log( 4 )+log( −5x )=2
−7+ log 3 ( 4−x )=−6 −7+ log 3 ( 4−x )=−6
ln( 4x−10 )−6=−5 ln( 4x−10 )−6=−5
log( 4−2x )=log( −4x ) log( 4−2x )=log( −4x )
log 11 ( −2 x 2 −7x )= log 11 ( x−2 ) log 11 ( −2 x 2 −7x )= log 11 ( x−2 )
ln( 2x+9 )=ln( −5x ) ln( 2x+9 )=ln( −5x )
log 9 ( 3−x )= log 9 ( 4x−8 ) log 9 ( 3−x )= log 9 ( 4x−8 )
log( x 2 +13 )=log( 7x+3 ) log( x 2 +13 )=log( 7x+3 )
3 log 2 ( 10 ) −log( x−9 )=log( 44 ) 3 log 2 ( 10 ) −log( x−9 )=log( 44 )
ln( x )−ln( x+3 )=ln( 6 ) ln( x )−ln( x+3 )=ln( 6 )
For the following exercises, solve for the indicated value, and graph the situation showing the solution point.
An account with an initial deposit of $6,500 $6,500 earns 7.25% 7.25% annual interest, compounded continuously. How much will the account be worth after 20 years?
The formula for measuring sound intensity in decibels D D is defined by the equation D=10log( I I 0 ), D=10log( I I 0 ), where I I is the intensity of the sound in watts per square meter and I 0 = 10 −12 I 0 = 10 −12 is the lowest level of sound that the average person can hear. How many decibels are emitted from a jet plane with a sound intensity of 8.3⋅ 10 2 8.3⋅ 10 2 watts per square meter?
The population of a small town is modeled by the equation P=1650 e 0.5t P=1650 e 0.5t where t t is measured in years. In approximately how many years will the town’s population reach 20,000? 20,000?
Technology
For the following exercises, solve each equation by rewriting the exponential expression using the indicated logarithm. Then use a calculator to approximate the variable to 3 decimal places.
1000 ( 1.03 ) t =5000 1000 ( 1.03 ) t =5000 using the common log.
e 5x =17 e 5x =17 using the natural log
3 ( 1.04 ) 3t =8 3 ( 1.04 ) 3t =8 using the common log
3 4x−5 =38 3 4x−5 =38 using the common log
50 e −0.12t =10 50 e −0.12t =10 using the natural log
For the following exercises, use a calculator to solve the equation. Unless indicated otherwise, round all answers to the nearest ten-thousandth.
7 e 3x−5 +7.9=47 7 e 3x−5 +7.9=47
ln( 3 )+ln( 4.4x+6.8 )=2 ln( 3 )+ln( 4.4x+6.8 )=2
log( −0.7x−9 )=1+5log( 5 ) log( −0.7x−9 )=1+5log( 5 )
Atmospheric pressure P P in pounds per square inch is represented by the formula P=14.7 e −0.21x , P=14.7 e −0.21x , where x x is the number of miles above sea level. To the nearest foot, how high is the peak of a mountain with an atmospheric pressure of 8.369 8.369 pounds per square inch? (Hint: there are 5280 feet in a mile)
The magnitude M of an earthquake is represented by the equation M= 2 3 log( E E 0 ) M= 2 3 log( E E 0 ) where E E is the amount of energy released by the earthquake in joules and E 0 = 10 4.4 E 0 = 10 4.4 is the assigned minimal measure released by an earthquake. To the nearest hundredth, what would the magnitude be of an earthquake releasing 1.4⋅ 10 13 1.4⋅ 10 13 joules of energy?
Extensions
Use the definition of a logarithm along with the one-to-one property of logarithms to prove that b log b x =x. b log b x =x.
Recall the formula for continually compounding interest, y=A e kt . y=A e kt . Use the definition of a logarithm along with properties of logarithms to solve the formula for time t t such that t t is equal to a single logarithm.
Recall the compound interest formula A=a ( 1+ r k ) kt . A=a ( 1+ r k ) kt . Use the definition of a logarithm along with properties of logarithms to solve the formula for time t. t.
Newton’s Law of Cooling states that the temperature T T of an object at any time t can be described by the equation T= T s +( T 0 − T s ) e −kt , T= T s +( T 0 − T s ) e −kt , where T s T s is the temperature of the surrounding environment, T 0 T 0 is the initial temperature of the object, and k k is the cooling rate. Use the definition of a logarithm along with properties of logarithms to solve the formula for time t t such that t t is equal to a single logarithm.