ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਅਤੇ ਗਿਰਾਵਟ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਓਗੇ।
ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਢੇ ਹੋਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋਗੇ।
ਲੌਗਿਸਟਿਕ-ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋਗੇ।
ਅੰਕੜਿਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਢੁਕਵਾਂ ਮਾਡਲ ਚੁਣੋਗੇ।
ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਅਧਾਰ 'e' ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋਗੇ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਜਾਰਜੀਆ ਇੰਸਟੀਚਿਊਟ ਆਫ਼ ਟੈਕਨਾਲੋਜੀ ਕੈਂਪਸ ਵਿੱਚ ਨੀਲੀ ਨਿਊਕਲੀਅਰ ਰਿਸਰਚ ਸੈਂਟਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਨਿਊਕਲੀਅਰ ਰਿਸਰਚ ਰਿਐਕਟਰ (ਸਿਹਰਾ: ਜਾਰਜੀਆ ਟੈਕ ਰਿਸਰਚ ਇੰਸਟੀਚਿਊਟ)
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਘਾਤੀ ਅਤੇ ਲਘੂ ਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਬੁਨਿਆਦੀ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਹੋਰ ਡੂੰਘਾਈ ਨਾਲ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਆਈਸੋਟੋਪ ਅਤੇ ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਠੰਢਾ ਹੋਣ ਦਾ ਨਿਯਮ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਅਤੇ ਗਿਰਾਵਟ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣਾ
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਡਲਿੰਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਆਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦੇ ਗੁਣ ਇਹ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਇਹ ਉਸ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਦੀ ਘਟਨਾ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਏਗਾ ਜਿਸਦਾ ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਤੇਜ਼ ਵਾਧੇ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਜਿੱਥੇ A0A0 ਸਮੇਂ ਜ਼ੀਰੋ 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ee ਯੂਲਰ ਦਾ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਅਤੇ kk ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ ਜੋ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ (ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੁਗਣੇ ਸਮੇਂ, ਕਿਸੇ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਦੁਗਣੇ ਹੋਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਸਮੇਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜੰਗਲੀ ਜੀਵਣ ਦੀਆਂ ਆਬਾਦੀਆਂ, ਵਿੱਤੀ ਨਿਵੇਸ਼ਾਂ, ਜੀਵ-ਵਿਗਿਆਨਕ ਨਮੂਨਿਆਂ ਅਤੇ ਕੁਦਰਤੀ ਸਰੋਤਾਂ ਵਰਗੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੁਗਣੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਵਾਧਾ ਦਿਖਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕੁਝ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਲੌਗਿਸਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਦੇਖਾਂਗੇ, ਲੌਗਿਸਟਿਕ ਮਾਡਲ ਕਈ ਵਾਰ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ ਨਾਲੋਂ ਅੰਕੜਿਆਂ 'ਤੇ ਬਿਹਤਰ ਢੁਕਦਾ ਹੈ।
ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਮਾਤਰਾ ਜ਼ੀਰੋ ਵੱਲ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਡਿੱਗ ਰਹੀ ਹੈ, ਬਿਨਾਂ ਕਦੇ ਜ਼ੀਰੋ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚੇ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸ਼ਾਇਦ ਘਾਤੀ ਗਿਰਾਵਟ ਮਾਡਲ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਦੁਬਾਰਾ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ y=A0ekty=A0ekt ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ ਜਿੱਥੇ A0A0 ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਅਤੇ ee ਯੂਲਰ ਦਾ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ। ਹੁਣ kk ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ ਜੋ ਗਿਰਾਵਟ ਦੀ ਦਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅਰਧ-ਜੀਵਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਆਪਣੇ ਮੂਲ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਅੱਧੇ ਤੱਕ ਘਾਤੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਘਟਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਘਾਤੀ ਗਿਰਾਵਟ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਆਈਸੋਟੋਪਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਰਧ-ਜੀਵਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਡਲ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸਾਡੀ ਚੋਣ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਨਿਰੀਖਣ ਅਤੇ ਮਾਪ ਦੁਆਰਾ ਇਕੱਠੇ ਕੀਤੇ ਗਏ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਬਣਾਏ ਜਾ ਸਕਣ ਅਤੇ ਉਮੀਦ ਕਰੀਏ ਕਿ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਸਕੀਏ। ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਅਤੇ ਗਿਰਾਵਟ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਆਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 2 ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਦੋਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਹਿੱਸੇ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਲੱਗਦੇ ਹਨ, ਉਹ ਅਸਲ ਵਿੱਚ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਥੋੜ੍ਹੀ ਦੂਰੀ ਉੱਤੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ। ਸਮੀਕਰਨ y=2e3x.y=2e3x ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3: ਘਾਤੀ ਗਿਰਾਵਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ। ਸਮੀਕਰਨ y=3e−2x.y=3e−2x ਹੈ।
ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਅਤੇ ਗਿਰਾਵਟ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਬਹੁਤ ਵੱਡੀਆਂ ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਛੋਟੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਦੇ ਆਰਡਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦਸ ਦੀ ਘਾਤ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਤਾਰੇ, ਪ੍ਰੋਕਸੀਮਾ ਸੈਂਟੌਰੀ, ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ, ਕਿਲੋਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪੀ ਗਈ, 40,113,497,200,000 ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਹੈ। ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ, ਇਹ 4.01134972×1013.4.01134972×1013 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਣਨ 1013.1013 ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਦੇ ਆਰਡਰ ਵਜੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ, y = A 0 e k t y = A 0 e k t
y=A0ekty=A0ekt ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ:
ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਟੋਟ: y=0y=0
ਡੋਮੇਨ: (–∞, ∞)(–∞, ∞)
ਰੇਂਜ: (0,∞)(0,∞)
x ਇੰਟਰਸੈਪਟ: ਕੋਈ ਨਹੀਂ
y-intercept: (0,A0)(0,A0)
increasing if k>0k>0 (see Figure 4)
decreasing if k<0k<0 (see Figure 4)
Figure 4: An exponential function models exponential growth when k>0k>0 and exponential decay when k<0.k<0.
Example 1
Graphing Exponential Growth
A population of bacteria doubles every hour. If the culture started with 10 bacteria, graph the population as a function of time.
Solution
When an amount grows at a fixed percent per unit time, the growth is exponential. To find A0A0 we use the fact that A0A0 is the amount at time zero, so A0=10.A0=10. To find k,k, use the fact that after one hour (t=1)(t=1) the population doubles from 1010 to 20.20. The formula is derived as follows
so k=ln(2).k=ln(2). Thus the equation we want to graph is y=10 e (ln2)t =10 ( e ln2 ) t =10· 2 t . y=10 e (ln2)t =10 ( e ln2 ) t =10· 2 t . The graph is shown in Figure 5.
Figure 5: The graph of y=10e(ln2)ty=10e(ln2)t
Analysis
The population of bacteria after ten hours is 10,240. We could describe this amount is being of the order of magnitude 104.104. The population of bacteria after twenty hours is 10,485,760 which is of the order of magnitude 107,107, so we could say that the population has increased by three orders of magnitude in ten hours.
Half-Life
We now turn to exponential decay. One of the common terms associated with exponential decay, as stated above, is half-life, the length of time it takes an exponentially decaying quantity to decrease to half its original amount. Every radioactive isotope has a half-life, and the process describing the exponential decay of an isotope is called radioactive decay.
To find the half-life of a function describing exponential decay, solve the following equation:
We find that the half-life depends only on the constant kk and not on the starting quantity A0.A0.
The formula is derived as follows
Since t,t, the time, is positive, kk must, as expected, be negative. This gives us the half-life formula
How To
Given the half-life, find the decay rate.
Write A=Aoekt.A=Aoekt.
Replace AA by 12A012A0 and replace tt by the given half-life.
Solve to find k.k. Express kk as an exact value (do not round).
Note: It is also possible to find the decay rate using k=−ln(2)t.k=−ln(2)t.
2. Example 2
ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਸੜਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣਾ
ਕਾਰਬਨ-14 ਦਾ ਅਰਧ-ਜੀਵਨ 5,730 ਸਾਲ ਹੈ। ਸਮਾਂ, t ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਬਾਕੀ ਕਾਰਬਨ-14 ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਓ।
1. ਨਿਬੇੜਾ
ਇਹ ਸੂਤਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਹ ਨਿਰੰਤਰ ਹਾਸ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਫਲਨ f(t)=A0e(ln(0.5)5730)t ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ t ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ, ln(0.5)5730≈−1.2097×10−4, ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਹਾਸ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
ਪਲੂਟੋਨੀਅਮ-244 ਦਾ ਅਰਧ-ਜੀਵਨ 80,000,000 ਸਾਲ ਹੈ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਬਾਕੀ ਪਲੂਟੋਨੀਅਮ-244 ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦੱਸੇ, ਜਿਸਨੂੰ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਰੇਡੀਓਕਾਰਬਨ ਕਾਲ-ਨਿਰਧਾਰਨ
ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਸੜਨ ਦਾ ਸੂਤਰ ਕਾਰਬਨ-14 ਡੇਟਿੰਗ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪੌਦੇ ਜਾਂ ਜਾਨਵਰ ਦੀ ਮੌਤ ਦੀ ਲਗਭਗ ਮਿਤੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਕਾਰਬਨ-14 ਡੇਟਿੰਗ ਦੀ ਖੋਜ 1949 ਵਿੱਚ ਵਿਲਾਰਡ ਲਿਬੀ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਜਿਸਨੂੰ ਆਪਣੀ ਖੋਜ ਲਈ ਨੋਬਲ ਪੁਰਸਕਾਰ ਮਿਲਿਆ। ਇਹ ਜੈਵਿਕ ਕਲਾਕ੍ਰਿਤੀ ਜਾਂ ਜੀਵਾਸ਼ਮ ਵਿੱਚ ਕਾਰਬਨ ਦੇ ਦੋ ਸਮਸਥਾਨਿਕਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਅਤੇ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੋ ਸਮਸਥਾਨਿਕਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪਿਛਲੇ 60,000 ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਮਰੇ ਪੌਦਿਆਂ ਜਾਂ ਜਾਨਵਰਾਂ ਲਈ ਲਗਭਗ 1% ਗਲਤੀ ਤੱਕ ਸਹੀ ਹੈ।
ਕਾਰਬਨ-14 ਕਾਰਬਨ ਦਾ ਇੱਕ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਆਈਸੋਟੋਪ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਅਰਧ-ਜੀਵਨ 5,730 ਸਾਲ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਹ ਲੈਣ ਵਾਲੀ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਕਾਰਬਨ ਡਾਈਆਕਸਾਈਡ ਦੀਆਂ ਛੋਟੀਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਧਰਤੀ ਉੱਤੇ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਕਾਰਬਨ ਕਾਰਬਨ-12 ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਪਰਮਾਣੂ ਭਾਰ 12 ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਨੇ ਰੁੱਖਾਂ ਦੇ ਵਲਿਆਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਜੈਵਿਕ ਨਮੂਨਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਤਾਰੀਖਾਂ ਪਤਾ ਹਨ, ਪਿਛਲੇ 60,000 ਸਾਲਾਂ ਤੋਂ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਕਾਰਬਨ-14 ਅਤੇ ਕਾਰਬਨ-12 ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਇਆ ਹੈ—ਭਾਵੇਂ ਕਿ ਸਦੀਆਂ ਦੌਰਾਨ ਇਹ ਅਨੁਪਾਤ ਥੋੜ੍ਹਾ ਬਦਲਿਆ ਹੈ।
ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਕੋਈ ਪੌਦਾ ਜਾਂ ਜੀਵ ਜਿਉਂਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਉਸ ਦੇ ਸਰੀਰ ਵਿੱਚ ਕਾਰਬਨ ਦੇ ਦੋ ਸਮਸਥਾਨਿਕਾਂ (isotopes) ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਵਾਯੂਮੰਡਲ ਵਿੱਚਲੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇਹ ਮਰ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸ ਦੇ ਸਰੀਰ ਵਿੱਚਲਾ ਕਾਰਬਨ-14 ਘਟਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਦੀ ਥਾਂ ਕੋਈ ਨਵਾਂ ਕਾਰਬਨ ਨਹੀਂ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ। ਸੜ ਰਹੇ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ ਕਾਰਬਨ-14 ਅਤੇ ਕਾਰਬਨ-12 ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਵਾਯੂਮੰਡਲ ਵਿੱਚਲੇ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਅਨੁਪਾਤ ਨਾਲ ਕਰਕੇ, ਉਸ ਪੌਦੇ ਜਾਂ ਜੀਵ ਦੇ ਮਰਨ ਦੀ ਮਿਤੀ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਕਾਰਬਨ-14 ਦਾ ਅਰਧ-ਜੀਵਨ 5,730 ਸਾਲ ਹੈ, tt ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਬਾਕੀ ਰਹੇ ਕਾਰਬਨ-14 ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਲਈ ਸੂਤਰ ਹੈ
1. ਕਿੱਥੇ
1. ਏਏ ਕਾਰਬਨ-14 ਦੀ ਬਾਕੀ ਮਾਤਰਾ ਹੈ
A0A0 ਉਹ ਕਾਰਬਨ-14 ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਹੈ ਜੋ ਪੌਦੇ ਜਾਂ ਜਾਨਵਰ ਦੇ ਸੜਨ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਵੇਲੇ ਮੌਜੂਦ ਸੀ।
1. ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
1. ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਉਮਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: t:
ਲੋੜ ਅਨੁਸਾਰ, ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਕਾਰਬਨ-14 ਡੇਟਿੰਗ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਇੱਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਦੁਆਰਾ ਵਿਚਾਰੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਵੇਰਵਿਆਂ ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਮੁੱਢਲੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਵਾਯੂਮੰਡਲ ਵਿੱਚ ਕਾਰਬਨ-14 ਅਤੇ ਕਾਰਬਨ-12 ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲਗਭਗ 0.0000000001% ਹੈ। ਜਿਸ ਜੈਵਿਕ ਕਲਾਤਮਕ ਵਸਤੂ ਜਾਂ ਜੀਵਾਸ਼ਮ ਨੂੰ ਮਿਤੀ ਦੇਣੀ ਹੈ, ਉਸ ਵਿੱਚ ਕਾਰਬਨ-14 ਅਤੇ ਕਾਰਬਨ-12 ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ rr ਮੰਨੋ, ਜਿਸਨੂੰ ਤਰਲ ਸਿਨਟੀਲੇਸ਼ਨ ਨਾਮਕ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ A≈A0e−0.000121t ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਉਸ ਵਸਤੂ ਵਿੱਚ ਕਾਰਬਨ-14 ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ, ਜਦੋਂ ਇਹ ਬਣੀ ਸੀ, ਉਸ ਸਮੇਂ ਵਸਤੂ ਵਿੱਚ ਕਾਰਬਨ-14 ਦੀ ਮੁੱਢਲੀ ਮਾਤਰਾ ਨਾਲ r=AA0≈e−0.000121t ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਨਾਲ
ਕਿਵੇਂ
1. ਕਾਰਬਨ-14 ਦੀ ਵਸਤੂ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ ਤੋਂ, ਉਸਦੀ ਉਮਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਕਾਰਬਨ-14 ਦੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਦਸ਼ਮਲਵ, k. k. ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
t = ln(r) - 0.000121 ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ k ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ, t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। t.
1. ਮਿਸਾਲ 3
ਹੱਡੀ ਦੀ ਉਮਰ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਹੱਡੀ ਦਾ ਟੁਕੜਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉਸਦੀ ਅਸਲ ਕਾਰਬਨ-14 ਦਾ 20% ਹਿੱਸਾ ਹੈ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਸਾਲ ਤੱਕ, ਹੱਡੀ ਕਿੰਨੀ ਪੁਰਾਣੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ r ਲਈ 20%=0.20 ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਹੱਡੀ ਦਾ ਟੁਕੜਾ ਲਗਭਗ 13,301 ਸਾਲ ਪੁਰਾਣਾ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਕਾਰਬਨ-14 ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਵਾਲੇ ਯੰਤਰ ਬਹੁਤ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਦੱਸਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਹੋਣ ਲਈ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਨਾਲੋਂ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਫਿਰ ਵੀ, ਕਾਰਬਨ ਡੇਟਿੰਗ ਸਿਰਫ ਲਗਭਗ 1% ਤੱਕ ਸਹੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਉਮਰ 13,301 ਸਾਲ ± 1% ਜਾਂ 13,301 ਸਾਲ ± 133 ਸਾਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਜਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਸੀਜ਼ੀਅਮ-137 ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ ਲਗਭਗ 30 ਸਾਲ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 200 ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਸੀਜ਼ੀਅਮ-137 ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਕੀ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਰਹਿਣ ਲਈ 230 ਸਾਲਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
ਦੋਗੁਣੀ ਸਮਾਂ ਗਣਨਾ
ਘਟ ਰਹੀ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ ਘਟਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਵਧ ਰਹੀ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਦੱਸਿਆ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਦੋਗੁਣੀ ਸਮਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਮੁੱਢਲੀ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧਾ ਸਮੀਕਰਨ A=A₀eᵏᵗ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਦੋਗੁਣੀ ਸਮਾਂ ਮੂਲ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋਣ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ, 2A₀ = A₀eᵏᵗ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ।
ਸੂਤਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਇਸ ਲਈ ਦੋਗੁਣੀ ਸਮਾਂ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣਾ
ਮੂਰ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਅਨੁਸਾਰ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਚਿੱਪ 'ਤੇ ਲਗਾਏ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੇ ਟ੍ਰਾਂਜ਼ਿਸਟਰਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਦੋਗੁਣੀ ਸਮਾਂ ਲਗਭਗ ਦੋ ਸਾਲ ਹੈ। ਇਸ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿਓ।
ਹੱਲ
ਸੂਤਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਫੰਕਸ਼ਨ A₀e^(ln2/2)ᵗ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਹਾਲੀਆ ਅੰਕੜੇ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ਕਿ, 2013 ਤੱਕ, ਮੂਰ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਹੁਣ ਨਹੀਂ ਰਹੀ। ਵਾਧਾ ਲਗਭਗ ਤਿੰਨ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਦੋਗੁਣੀ ਸਮੇਂ ਤੱਕ ਹੌਲੀ ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ। ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਉਸ ਲੰਬੇ ਦੋਗੁਣੀ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਢੇ ਹੋਣ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਕਮੀ ਨੂੰ ਤਾਪਮਾਨ 'ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਗਰਮ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਘੱਟ ਤਾਪਮਾਨ ਵਾਲੀ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੀ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਸਤੂ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘਟੇਗਾ, ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੀ ਹਵਾ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦੇ ਹੋਏ ਸਮਤਲ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ। ਤਾਪਮਾਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ, ਸਮਤਲ ਹੋਣਾ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੀ ਹਵਾ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ (horizontal asymptote) ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੋਵੇਗਾ। ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕਮਰੇ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਇਹ ਆਮ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਕਮੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ (vertical shift) ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹ ਅਨੁਵਾਦ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਢੇ ਹੋਣ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਤਾਪਮਾਨ ਲਈ ਵਿਗਿਆਨਕ ਸੂਤਰ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਨਾਲ ਬਰਾਬਰ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਠੰਢਾ ਹੋਣ ਦਾ ਨਿਯਮ
ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ, T, T, ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੀ ਹਵਾ ਜਿਸਦਾ ਤਾਪਮਾਨ T s T s ਹੈ, ਫਾਰਮੂਲੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰੇਗਾ
ਜਿੱਥੇ
t t ਸਮਾਂ ਹੈ
A A ਵਸਤੂ ਅਤੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤਾਪਮਾਨ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਹੈ
k k ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਵਸਤੂ ਦੇ ਠੰਢਾ ਹੋਣ ਦੀ ਨਿਰੰਤਰ ਦਰ
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਦਿੱਤੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਢਾ ਹੋਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
T s T s ਨੂੰ ਹਰੀਜੱਟਲ ਅਸਮਤੋਟ (ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ) ਦੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
ਪੈਰਾਮੀਟਰ A A ਅਤੇ k. k. ਲੱਭਣ ਲਈ ਨਿਰੰਤਰ ਵਿਕਾਸ ਫਾਰਮੂਲੇ T(t)=A e k t + T s T(t)=A e k t + T s ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਤਾਪਮਾਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਜਾਂ ਸਮਾਂ ਲੱਭਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਢਾ ਹੋਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
ਇੱਕ ਚੀਜ਼ਕੇਕ ਨੂੰ ਓਵਨ ਵਿੱਚੋਂ 165°F, 165°F ਦੇ ਆਦਰਸ਼ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤਾਪਮਾਨ ਨਾਲ ਬਾਹਰ ਕੱਢਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ 35°F 35°F ਫਰਿੱਜ ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 10 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਚੀਜ਼ਕੇਕ 150°F ਤੱਕ ਠੰਢਾ ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ। 150°F। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਖਾਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਚੀਜ਼ਕੇਕ ਦੇ 70°F 70°F ਤੱਕ ਠੰਢਾ ਹੋਣ ਤੱਕ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ?
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਫਰਿੱਜ ਵਿੱਚ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੀ ਹਵਾ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 35 ਡਿਗਰੀ ਹੈ, ਚੀਜ਼ਕੇਕ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 35 ਵੱਲ ਘਾਤੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਘਟੇਗਾ, ਜੋ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੇਗਾ
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤਾਪਮਾਨ 165 ਸੀ, ਇਸ ਲਈ T(0)=165। T(0)=165।
ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਡਾਟਾ ਪੁਆਇੰਟ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, T(10)=150, T(10)=150, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ k. k. ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਚੀਜ਼ਕੇਕ ਦੇ ਠੰਢਾ ਹੋਣ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ: T(t)=130 e –0.0123t +35। T(t)=130 e –0.0123t +35।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਤਾਪਮਾਨ ਦੇ 70 ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਠੰਢਾ ਹੋਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚੀਜ਼ਕੇਕ ਨੂੰ 70°F ਤੱਕ ਠੰਢਾ ਹੋਣ ਲਈ ਲਗਭਗ 107 ਮਿੰਟ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਘੰਟਾ ਅਤੇ 47 ਮਿੰਟ ਲੱਗਣਗੇ। 70°F।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
40 ਡਿਗਰੀ ਫਾਰਨਹੀਟ ਪਾਣੀ ਦਾ ਇੱਕ ਘੜਾ 70 ਡਿਗਰੀ ਕਮਰੇ ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ, ਤਾਪਮਾਨ 45 ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਵੱਧ ਗਿਆ ਹੈ। ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ 60 ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਵਧਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਘਾਤੀ ਵਿਕਾਸ ਸਦਾ ਲਈ ਜਾਰੀ ਨਹੀਂ ਰਹਿ ਸਕਦਾ। ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ, ਭਾਵੇਂ ਉਹ ਥੋੜ੍ਹੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜਿੰਨਾ ਲੰਬਾ ਸਮਾਂ ਉਹ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਉੱਨਾ ਹੀ ਜ਼ਿਆਦਾ ਵਿਗੜਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਅਭਿਲਾਸ਼ੀ ਲੇਖਕ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ ਜੋ ਪਹਿਲੇ ਦਿਨ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਲਿਖਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਮਹੀਨੇ ਲਈ ਹਰ ਰੋਜ਼ ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਲਿਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਲਾਈਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਮਹੀਨੇ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਉਸਨੂੰ 17 ਅਰਬ ਤੋਂ ਵੱਧ ਲਾਈਨਾਂ, ਜਾਂ ਅੱਧਾ ਅਰਬ ਪੰਨੇ ਲਿਖਣੇ ਪੈਣਗੇ। ਇੰਨਾ ਥੋੜ੍ਹਾ ਸਮਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਲਈ ਇੰਨਾ ਕੁਝ ਲਿਖਣਾ ਅਵਿਵਹਾਰਕ ਹੈ, ਜੇ ਅਸੰਭਵ ਨਹੀਂ। ਅਖੀਰ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਮੁੱਲ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਹੌਲੀ ਹੋਣ ਲਈ ਮਜਬੂਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕਾਰਨ ਕਰਕੇ, ਘਾਤੀ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ ਦੀ ਬਜਾਏ ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ ਵਾਲਾ ਮਾਡਲ ਵਰਤਣਾ ਅਕਸਰ ਬਿਹਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਘਾਤੀ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ ਥੋੜ੍ਹੇ ਸਮੇਂ ਲਈ, ਸੀਮਤ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਜੇ ਵੀ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ।
ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ ਪਹਿਲਾਂ ਲਗਭਗ ਘਾਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮਾਡਲ ਦੀ ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ, ਜਿਸਨੂੰ ਕੈਰੀਅੰਗ ਕੈਪੇਸਿਟੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਇਸਦੀ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਘੱਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਅਚਲ a, b, ਅਤੇ c ਲਈ, ਸਮਾਂ t ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੀ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਸਿਰਫ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਵਧਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਇਹ ਆਪਣੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦੀ, ਜਿਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਘਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ
ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
c 1+a ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਹੈ
c ਕੈਰੀਅੰਗ ਕੈਪੇਸਿਟੀ, ਜਾਂ ਸੀਮਤ ਮੁੱਲ ਹੈ
b ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਇੱਕ ਅਚਲ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਲੌਜਿਸਟਿਕ-ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਇੱਕ ਇਨਫਲੂਐਂਜ਼ਾ ਮਹਾਂਮਾਰੀ ਇੱਕ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਫੈਲਦੀ ਹੈ, ਇੱਕ ਦਰ 'ਤੇ ਜੋ ਦੋ ਕਾਰਕਾਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ: ਜਿੰਨੇ ਜ਼ਿਆਦਾ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਫਲੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਓਨੀ ਹੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਇਹ ਫੈਲਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਾਲ ਹੀ ਜਿੰਨੇ ਜ਼ਿਆਦਾ ਅਨਇਨਫੈਕਟਡ ਲੋਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਓਨੀ ਹੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਇਹ ਫੈਲਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੋ ਕਾਰਕ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਸੰਚਾਰੀ ਰੋਗਾਂ ਦੇ ਫੈਲਣ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਅਤੇ, ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਸੰਕਰਮਿਤ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੈ: ਪੂਰੀ ਆਬਾਦੀ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮਾਂ t=0 'ਤੇ 1,000 ਲੋਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਭਾਈਚਾਰੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਫਲੂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਉਸ ਭਾਈਚਾਰੇ ਵਿੱਚ, ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 1,000 ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਫਲੂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਖੋਜਕਰਤਾਵਾਂ ਨੇ ਪਾਇਆ ਹੈ ਕਿ ਫਲੂ ਦੇ ਇਸ ਖਾਸ ਸਟ੍ਰੇਨ ਲਈ, ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ ਅਚਲ b=0.6030 ਹੈ। ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ ਕਿ ਦਸ ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਇਸ ਭਾਈਚਾਰੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਇਹ ਫਲੂ ਹੋਇਆ ਹੋਵੇਗਾ। ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰੋ ਕਿ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਬਾਅਦ ਇਸ ਭਾਈਚਾਰੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਇਹ ਫਲੂ ਹੋਇਆ ਹੋਵੇਗਾ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ
ਕਿਉਂਕਿ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 1,000 ਲੋਕ, ਭਾਈਚਾਰੇ ਦੀ ਪੂਰੀ ਆਬਾਦੀ, ਨੂੰ ਫਲੂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੀਮਤ ਮੁੱਲ c=1000 ਹੈ। a ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮਾਂ t=0 'ਤੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ c/(1+a) =1 ਹੈ, ਜਿਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ ਕਿ a=999। ਇਹ ਮਾਡਲ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਦਸ ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ, ਫਲੂ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ f(t)= 1000/(1+999 e^(-0.6030x)) ≈293.8 ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸਲ ਗਿਣਤੀ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ (ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਨੂੰ ਫਲੂ ਹੋਇਆ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ) ਅਸੀਂ 294 ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ, ਫਲੂ ਦਾ ਸ਼ਿਕਾਰ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਸੀਮਤ ਮੁੱਲ, c=1000 ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਾਇਰਸ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਸੰਕਰਮਿਤ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਨੁਮਾਨ ਨਹੀਂ ਲਗਾ ਸਕਦੇ। ਮਾਡਲ ਸਿਰਫ ਸੰਕਰਮਿਤ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਹੀ ਜਾਂ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਦੇਵੇਗਾ।
ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸ ਮਾਡਲ ਦੇ ਡਾਟਾ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਫਿੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਦੀ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਤਸਵੀਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7: f(t)= 1000/(1+999 e^(-0.6030x)) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵਿੱਚ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਦਿਨ 15 'ਤੇ ਫਲੂ ਦੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਡਾਟਾ ਲਈ ਇੱਕ ਉਚਿਤ ਮਾਡਲ ਚੁਣਨਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਡਲਾਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੇ ਕੋਲ ਮੌਜੂਦ ਕੱਚੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਲਈ ਢੁਕਵਾਂ ਮਾਡਲ ਚੁਣਨਾ ਸਿੱਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਕਈ ਕਾਰਕ ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਡਲ ਦੀ ਚੋਣ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੁਭਵ, ਵਿਗਿਆਨਕ ਕਾਨੂੰਨ, ਅਤੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਹੀ ਪੈਟਰਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਸਾਰੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਇਮਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਕਈ ਵਾਰ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਵਿੱਚ 1960 ਤੋਂ 2013 ਤੱਕ ਖਰੀਦੇ ਗਏ ਘਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਬਾਰੇ ਅੰਕੜੇ ਇਕੱਠੇ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ। ਇਹਨਾਂ ਅੰਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕੈਟਰ ਪਲਾਟ ਵਿੱਚ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 2000 ਤੋਂ 2013 ਤੱਕ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦਾ ਆਕਾਰ ਇੱਕ ਲਘੂਰਘਾਤਕ ਵਕਰ (logarithmic curve) ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ 2000 ਤੋਂ 2010 ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇੱਕ ਲਘੂਰਘਾਤਕ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ 2015 ਦੇ ਸਾਲ ਲਈ ਘਰ ਖਰੀਦਦਾਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਡਲਾਂ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਤਿੰਨ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ (linear functions), ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ (exponential functions), ਅਤੇ ਲਘੂਰਘਾਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨ (logarithmic functions)। ਜੇਕਰ ਅੰਕੜੇ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਪੈਂਦੇ ਹਨ, ਜਾਂ ਲਗਭਗ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨਾਲ ਪੈਂਦੇ ਜਾਪਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਮਾਡਲ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅੰਕੜੇ ਅਰੇਖੀ (non-linear) ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਜਾਂ ਲਘੂਰਘਾਤਕ ਮਾਡਲ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਹੋਰ ਮਾਡਲ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵਰਗਾਕਾਰ ਮਾਡਲ (quadratic models), 'ਤੇ ਵੀ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਮਾਡਲ ਅਤੇ ਲਘੂਰਘਾਤਕ ਮਾਡਲ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਚੋਣ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਅਸੀਂ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਵਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਨੂੰ ਅਵਤਲਤਾ (concavity) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦੋ ਅੰਕੜਾ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਾਰੇ (ਜਾਂ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ) ਅੰਕੜੇ ਉਸ ਰੇਖਾ ਦੇ ਉੱਪਰ ਪੈਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵਕਰ ਅਵਤਲ ਹੇਠਾਂ (concave down) ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਕਟੋਰੀ ਵਾਂਗ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਮੁੜਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਪਾਣੀ ਨਹੀਂ ਰੱਖ ਸਕਦੀ। ਜੇਕਰ ਦੋ ਅੰਕੜਾ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਾਰੇ (ਜਾਂ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ) ਅੰਕੜੇ ਰੇਖਾ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਪੈਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵਕਰ ਅਵਤਲ ਉੱਪਰ (concave up) ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕਟੋਰੀ ਵਾਂਗ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਮੁੜਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਪਾਣੀ ਰੱਖ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਕਰ, ਭਾਵੇਂ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇ ਜਾਂ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇ, ਭਾਵੇਂ ਵਿਕਾਸ ਜਾਂ ਕਮੀ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇ, ਹਮੇਸ਼ਾ ਆਪਣੇ ਖਿਤਿਜੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ (horizontal asymptote) ਤੋਂ ਦੂਰ ਅਵਤਲ ਉੱਪਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਲਘੂਰਘਾਤਕ ਵਕਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਆਪਣੇ ਲੰਬਵਤ ਐਸਿੰਪਟੋਟ (vertical asymptote) ਤੋਂ ਦੂਰ ਅਵਤਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਜੋ ਕਿ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਮਾਮਲਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਕਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਅਵਤਲ ਉੱਪਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਲਘੂਰਘਾਤਕ ਵਕਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਅਵਤਲ ਹੇਠਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਵਕਰ ਅਵਤਲਤਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਅਵਤਲ ਉੱਪਰ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਪਰੇ ਅਵਤਲ ਹੇਠਾਂ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਇਨਫਲੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂ (point of inflection) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਮਾਡਲ ਵਜੋਂ ਵਰਤਣ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਕਿਸਮ ਚੁਣਨ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਦੂਰ ਚੁਣ ਕੇ ਰਾਉਂਡ-ਆਫ ਗਲਤੀ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਡਲ ਦੀ ਚੋਣ
ਕੀ ਇੱਕ ਰੇਖੀ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ, ਲਘੂਰਘਾਤਕ, ਜਾਂ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਮਾਡਲ ਟੇਬਲ 1 ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਫਿੱਟ ਬੈਠਦਾ ਹੈ? ਮਾਡਲ ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਆਪਣੀ ਚੋਣ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: x x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
ਸਤਰ: y y | 0 | 1.386 | 2.197 | 2.773 | 3.219 | 3.584 | 3.892 | 4.159 | 4.394
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਵਾਂਗ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ ਲਈ, ਅੰਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦੇ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਉਹਨਾਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਜਾਂ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ ਰੇਖਾ ਦੇ ਉੱਪਰ ਪੈਂਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਅਵਤਲ ਹੇਠਾਂ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਲਘੂਰਘਾਤਕ ਮਾਡਲ ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ y=aln(bx) ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। y=aln(bx)। ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ, (1,0), (1,0) ਨੂੰ ਪਲੱਗ ਕਰਨ ਨਾਲ 0=alnb ਮਿਲਦਾ ਹੈ। 0=alnb। ਅਸੀਂ a=0 (ਜੇਕਰ ਇਹ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਸਾਰੇ ਆਉਟਪੁੱਟ 0 ਹੁੰਦੇ) ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ln(b)=0। ln(b)=0। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ b=1 ਅਤੇ y=aln(x)। y=aln(x)। ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ a ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਬਿੰਦੂ (9,4.394) (9,4.394) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: a:
ਕਿਉਂਕਿ a= 4.394 ln(9) ≈ 2, a= 4.394 ln(9) ≈ 2, ਅੰਕੜਿਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਢੁਕਵਾਂ ਮਾਡਲ y=2ln(x) ਹੈ। y=2ln(x)।
ਮਾਡਲ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਵਾਂਗ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 9: y=2lnx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ। y=2lnx।
ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਮਾਡਲ ਅੰਕੜਿਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਫਿੱਟ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 9 ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਚਿੱਤਰ 10 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ y=ln(x²) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਕਰੋ। y=ln(x²)
ਚਿੱਤਰ 10: y=ln(x²) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ। y=ln(x²)
ਜਦੋਂ x>0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਲਗਭਗ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਜਾਪਦੇ ਹਨ। x>0। ਇੱਕ ਤੇਜ਼ ਜਾਂਚ ਇਸ ਸਿੱਟੇ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦੀ ਹੈ: x>0 ਲਈ y=ln(x²)=2ln(x)। y=ln(x²)=2ln(x)।
ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ x<0, ਤਾਂ x<0, y=ln(x²) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ "ਵਾਧੂ" ਸ਼ਾਖਾ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਇਸ ਲਈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ, ਜਦੋਂ ਕਿ y=2ln(x) ਦਾ ਡੋਮੇਨ (domain) ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ (ਕਿਉਂਕਿ ਅਜਿਹੇ ਮੁੱਲ ਆਰਗੂਮੈਂਟ ਨੂੰ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਬਣਾ ਦੇਣਗੇ), ਫੰਕਸ਼ਨ y=ln(x²) ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਕੀ ਇੱਕ ਰੇਖੀ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ, ਜਾਂ ਲਘੂਰਘਾਤਕ ਮਾਡਲ ਟੇਬਲ 2 ਵਿੱਚ ਅੰਕੜਿਆਂ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਫਿੱਟ ਬੈਠਦਾ ਹੈ? ਮਾਡਲ ਲੱਭੋ।
ਸਤਰ: x x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
1. ਕਤਾਰ: y y | 3.297 | 5.437 | 8.963 | 14.778 | 24.365 | 40.172 | 66.231 | 109.196 | 180.034
2. ਅਧਾਰ 'ਈ' (e) ਵਿੱਚ ਘਾਤਾਂਕੀ ਮਾਡਲ ਦਾ ਪ੍ਰਗਟਾਵਾ
3. ਹਾਲਾਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਧਾਰ ਦੇ ਘਾਤ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਮਾਡਲਿੰਗ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਦੋ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਅਧਾਰ 10 ਅਤੇ 'ਈ' (e) ਹਨ। ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਅਧਾਰ 'ਈ' (e) ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਤਰਜੀਹ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਧਾਰ ਨੂੰ ਅਧਾਰ 'ਈ' (e) ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
4. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
5. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮਾਡਲ y=a b x ਦੇ ਰੂਪ ਨੂੰ y= A 0 e kx ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
6. y=a b x ਨੂੰ y=a e ln( b x ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
7. ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ y ਨੂੰ y=a e xln( b ) =a e ln( b )x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
8. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ y= A 0 e kx ਵਿੱਚ a= A 0 ਅਤੇ k=ln( b ) ਹੈ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 8
10. ਅਧਾਰ 'ਈ' (e) ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ
11. ਫੰਕਸ਼ਨ y=2.5 (3.1) x ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਦਲੋ ਕਿ ਇਹੋ ਫੰਕਸ਼ਨ y= A 0 e kx ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਵੇ।
12. ਹੱਲ
13. ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
14. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #7
15. ਫੰਕਸ਼ਨ y=3 (0.5) x ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਜਿਸਦਾ ਅਧਾਰ 'ਈ' (e) ਹੋਵੇ।
16. ਮੀਡੀਆ
17. ਘਾਤਾਂਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਮਾਡਲਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
18. ਲਘੂਗਣਕੀ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ – pH
19. ਘਾਤਾਂਕੀ ਮਾਡਲ – ਅੱਧੀ ਉਮਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਮਰ
20. ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਦਾ ਨਿਯਮ
21. ਦੁੱਗਣੀ ਹੋਣ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਘਾਤਾਂਕੀ ਵਾਧਾ
22. ਘਾਤਾਂਕੀ ਵਾਧਾ – ਦੁੱਗਣੀ ਹੋਣ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮਾਤਰਾ ਲੱਭੋ
23. ਸ਼ਬਦਕ
24. ਅੱਧੀ ਉਮਰ ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਘਾਤਾਂਕੀ ਮਾਡਲ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹੋਵੇਗੀ? ਇਹਨਾਂ ਮਾਡਲਾਂ ਵਿੱਚ ਅੱਧੀ ਉਮਰ ਦੀ ਕੀ ਭੂਮਿਕਾ ਹੈ?
ਕਾਰਬਨ ਡੇਟਿੰਗ ਕੀ ਹੈ? ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ? ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਾਰਬਨ ਡੇਟਿੰਗ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਡਬਲਿੰਗ ਟਾਈਮ ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਮਾਡਲ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਵੇਗਾ? ਇਹਨਾਂ ਮਾਡਲਾਂ ਵਿੱਚ ਡਬਲਿੰਗ ਟਾਈਮ ਕੀ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਉਂਦਾ ਹੈ?
ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਢੇ ਹੋਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਤਿੰਨ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦੇ ਨਾਮ ਦੱਸੋ ਜਿੱਥੇ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਢੇ ਹੋਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ।
ਆਰਡਰ ਆਫ਼ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਕੀ ਹੈ? ਆਰਡਰ ਆਫ਼ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਕਿਉਂ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹਨ? ਸਮਝਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ।
ਸੰਖਿਆਤਮਕ
ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ ਡਿਗਰੀ ਫਾਰਨਹੀਟ ਵਿੱਚ $t$ ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਸਮੀਕਰਨ $T(t)=68 e^{-0.0174t} +72$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ, ਇੱਕ ਘੰਟਾ ਅਤੇ ਅੱਧੇ ਬਾਅਦ ਵਸਤੂ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ ਕੀ ਹੈ?
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਗ੍ਰੋਥ ਮਾਡਲ $f(x) = \frac{150}{1+8e^{-2x}}$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
$f(0)$ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
$f(4)$ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਕੈਰੀਇੰਗ ਕੈਪੈਸਿਟੀ ਲੱਭੋ।
ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਟੇਬਲ ਤੋਂ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਰੇਖੀ, ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ, ਜਾਂ ਲਘੂਗਣਕ ਹੈ। ਫਿਰ ਇੱਕ ਮਾਡਲ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ ਜੋ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਸਫ: xx | f(x)
ਸਫ: –2 | 0.694
ਸਫ: –1 | 0.833
ਸਫ: 0 | 1
ਸਫ: 1 | 1.2
ਸਫ: 2 | 1.44
ਸਫ: 3 | 1.728
ਸਫ: 4 | 2.074
ਸਫ: 5 | 2.488
$f(x) = 1.68(0.65)^x$ ਨੂੰ $e$ ਦੇ ਅਧਾਰ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਟੇਬਲ ਤੋਂ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਸਕੇਟਰ ਪਲਾਟਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਟੇਬਲ ਤੋਂ ਡਾਟਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਰੇਖੀ, ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ, ਜਾਂ ਲਘੂਗਣਕ ਹੈ।
row: xx | f(x)f(x)
row: 1 | 2
row: 2 | 4.079
row: 3 | 5.296
row: 4 | 6.159
row: 5 | 6.828
row: 6 | 7.375
row: 7 | 7.838
row: 8 | 8.238
row: 9 | 8.592
row: 10 | 8.908
row: x x | f(x) f(x)
row: 1 | 2.4
row: 2 | 2.88
row: 3 | 3.456
row: 4 | 4.147
row: 5 | 4.977
row: 6 | 5.972
row: 7 | 7.166
row: 8 | 8.6
row: 9 | 10.32
row: 10 | 12.383
row: x x | f(x) f(x)
row: 4 | 9.429
row: 5 | 9.972
row: 6 | 10.415
row: 7 | 10.79
row: 8 | 11.115
row: 9 | 11.401
row: 10 | 11.657
row: 11 | 11.889
row: 12 | 12.101
row: 13 | 12.295
row: xx | f(x)f(x)
row: 1.25 | 5.75
row: 2.25 | 8.75
row: 3.56 | 12.68
row: 4.2 | 14.6
row: 5.65 | 18.95
row: 6.75 | 22.25
row: 7.25 | 23.75
row: 8.6 | 27.8
row: 9.25 | 29.75
row: 10.5 | 33.5
For the following exercises, use a graphing calculator and this scenario: the population of a fish farm in t t years is modeled by the equation P( t )= 1000 1+9 e −0.6t . P( t )= 1000 1+9 e −0.6t .
Graph the function.
What is the initial population of fish?
To the nearest tenth, what is the doubling time for the fish population?
2 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਮੱਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਕਿੰਨੀ ਹੋਵੇਗੀ, ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਵਿੱਚ?
900 ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ, ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਦੇ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ?
ਮੱਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਲਈ ਧਾਰਨ ਸਮਰੱਥਾ ਕੀ ਹੈ? P. P. ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
ਵਿਸਤਾਰ
ਇੱਕ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ 2.045 ਮਿੰਟ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮਾਤਰਾ 132.8 ਗ੍ਰਾਮ ਸੀ, ਤਾਂ ਪਦਾਰਥ 8.3 ਗ੍ਰਾਮ ਤੱਕ ਘਟਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿੰਨੇ ਅੱਧੇ ਜੀਵਨ ਬੀਤ ਜਾਣਗੇ? ਕੁੱਲ ਘਟਣ ਦਾ ਸਮਾਂ ਕਿੰਨਾ ਹੈ?
ਵਧ ਰਹੀ ਆਬਾਦੀ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ P(t)= P 0 e rt ਹੈ ਜਿੱਥੇ P 0 ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ ਹੈ ਅਤੇ r>0। M ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਨਾਲ ਆਬਾਦੀ ਵਧਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਸਮੇਂ t ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਫਾਰਮੂਲਾ ਤਿਆਰ ਕਰੋ।
ਭੁਚਾਲ ਦੇ ਮਾਪ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ M= 2 3 log( S S 0 ) ਯਾਦ ਕਰੋ। ਭੂਚਾਲੀ ਮੋਮੈਂਟ S ਲਈ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਅਲਜਬਰਾਈਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਹਰ ਕਦਮ ਦਿਖਾਓ।
ਲੌਗਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ y= c 1+a e −rx ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਕੀ ਹੈ? ਗਣਨਾ ਲਈ ਕਦਮ ਦਿਖਾਓ। ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਸਾਨੂੰ ਆਬਾਦੀ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ?
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ b x = e xln( b ) ਸਕਾਰਾਤਮਕ b≠1 ਲਈ।
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਇੱਕ ਡਾਕਟਰ ਇੱਕ ਥੈਰੇਪਿਊਟਿਕ ਦਵਾਈ ਦੀ 125 ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਲਿਖਦਾ ਹੈ ਜੋ ਹਰ ਘੰਟੇ ਲਗਭਗ 30% ਘਟਦੀ ਹੈ।
ਦਵਾਈ ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ ਕਿੰਨਾ ਹੈ, ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਦੇ ਘੰਟੇ ਤੱਕ?
t ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਮਰੀਜ਼ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਦਵਾਈ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ 3 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਮਰੀਜ਼ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਦਵਾਈ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਦੇ ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਮਿਲੇ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, f( 10 ) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਦੇ ਸੌਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਇੱਕ ਟਿਊਮਰ ਨੂੰ 0.5 ਗ੍ਰਾਮ ਆਇਓਡੀਨ-125 ਨਾਲ ਟੀਕਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਰੋਜ਼ਾਨਾ 1.15% ਦਾ ਘਟਣ ਦਰ ਹੈ।
ਆਇਓਡੀਨ-125 ਦਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ ਘਟਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ, ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਦੇ ਦਿਨ ਤੱਕ?
t ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਟਿਊਮਰ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਆਇਓਡੀਨ-125 ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ 60 ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਟਿਊਮਰ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਆਇਓਡੀਨ-125 ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਦੇ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਗ੍ਰਾਮ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਵਿਗਿਆਨੀ 250 ਗ੍ਰਾਮ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਪਦਾਰਥ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। 250 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਨਮੂਨਾ 32 ਗ੍ਰਾਮ ਤੱਕ ਘਟ ਗਿਆ ਹੈ। ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਦੇ ਮਿੰਟ ਤੱਕ, ਇਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ ਕੀ ਹੈ?
ਰੇਡੀਅਮ-226 ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ 1590 ਸਾਲ ਹੈ। ਸਾਲਾਨਾ ਘਟਣ ਦਰ ਕੀ ਹੈ? ਦਸ਼ਮਲਵ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਇਰਬੀਅਮ-165 ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ 10.4 ਘੰਟੇ ਹੈ। ਘੰਟੇਵਾਰ ਘਟਣ ਦਰ ਕੀ ਹੈ? ਦਸ਼ਮਲਵ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਪੁਰਾਤੱਤਵ ਖੁਦਾਈ ਤੋਂ ਇੱਕ ਲੱਕੜੀ ਦੀ ਕਲਾਕ੍ਰਿਤੀ ਵਿੱਚ ਜੀਵਤ ਰੁੱਖਾਂ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਕਾਰਬਨ-14 ਦਾ 60 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਦੇ ਸਾਲ ਤੱਕ, ਕਲਾਕ੍ਰਿਤੀ ਲਗਭਗ ਕਿੰਨੇ ਸਾਲ ਪੁਰਾਣੀ ਹੈ? (ਕਾਰਬਨ-14 ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ 5730 ਸਾਲ ਹੈ।)
ਇੱਕ ਖੋਜ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੇ ਇੱਕ ਕਲਚਰ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੋ ਹਰ ਵੀਹ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 1350 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਸੀ। ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। 3 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਆਕਾਰ ਕਿੰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ?
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਇੱਕ ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨੀ ਨੇ 5 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਕਲਚਰ ਵਿੱਚ 360 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਅਤੇ 20 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ 1000 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਦਾ ਰਿਕਾਰਡ ਕੀਤਾ।
ਕਲਚਰ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ ਕਿੰਨੀ ਸੀ, ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ?
ਛੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰਕੇ, ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਾ, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਮਿੰਟ ਤੱਕ?
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: 100° ਫਾਰਨਹੀਟ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤਾਪਮਾਨ ਵਾਲੇ ਗਰਮ ਸੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਘੜਾ 69° F ਕਮਰੇ ਵਿੱਚ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਲਈ ਸਟੋਵ ਤੋਂ ਉਤਾਰਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਪੰਦਰਾਂ ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਸੂਪ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤਾਪਮਾਨ 95° F ਸੀ।
ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਕੂਲਿੰਗ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਮਿੰਟ ਤੱਕ, ਸੂਪ ਨੂੰ 80° F ਤੱਕ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ, 2 ਅਤੇ ਇੱਕ ਅੱਧੇ ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ ਤਾਪਮਾਨ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ?
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਇੱਕ ਟਰਕੀ ਨੂੰ 165°F ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤਾਪਮਾਨ ਨਾਲ ਓਵਨ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਕੱਢਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 75°F ਕਮਰੇ ਵਿੱਚ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੱਧੇ ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ, ਟਰਕੀ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤਾਪਮਾਨ 145°F ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ, 50 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਤਾਪਮਾਨ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ?
ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਮਿੰਟ ਤੱਕ, ਟਰਕੀ ਨੂੰ 110° F ਤੱਕ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਲਘੂਗਣਕ ਸਕੇਲ 'ਤੇ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਨੰਬਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ। ਸਾਰੇ ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕ ਸਕੇਲ 'ਤੇ ਆਵਾਜ਼ਾਂ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਦੇ ਲਗਭਗ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ: ਫੁਸਫੁਸਾਹਟ: 10 −10 W m 2 , ਵੈਕਿਊਮ: 10 −4 W m 2 , ਜੈੱਟ: 10 2 W m 2
ਭੁਚਾਲ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਯਾਦ ਕਰੋ, M= 2 3 log( S S 0 ). ਇੱਕ ਭੁਚਾਲ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ MMS ਸਕੇਲ 'ਤੇ 3.9 ਹੈ। ਜੇਕਰ ਦੂਜੇ ਭੁਚਾਲ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਨਾਲੋਂ 750 ਗੁਣਾ ਜ਼ਿਆਦਾ ਊਰਜਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਦੂਜੇ ਭੁਚਾਲ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਲੱਭੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਸੌਵੇਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਸਮੀਕਰਨ N( t )= 500 1+49 e −0.7t ਕਸਬੇ ਵਿੱਚ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੇ t ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਅਫਵਾਹ ਸੁਣੀ ਹੈ।
ਅਫਵਾਹ ਕਿਸ ਨੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤੀ?
ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ, 3 ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਕਿੰਨੇ ਲੋਕਾਂ ਨੇ ਅਫਵਾਹ ਸੁਣੀ ਹੋਵੇਗੀ?
ਜਿਵੇਂ ਕਿ t ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ, N( t ) ਕਿਹੜਾ ਮੁੱਲ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ? ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ, ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਚੋਣ ਚੁਣੋ।
ਇੱਕ ਡਾਕਟਰ ਇੱਕ ਮਰੀਜ਼ ਨੂੰ 13 ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਡਾਈ ਦਾ ਟੀਕਾ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘਟਦੀ ਹੈ। 12 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਮਰੀਜ਼ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ 4.75 ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਡਾਈ ਬਾਕੀ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਕਿਹੜਾ ਮਾਡਲ ਢੁਕਵਾਂ ਹੈ?
ⓐ f( t )=13 ( 0.0805 ) t
ⓑ f( t )=13 e 0.9195t
ⓒ f(t)=13 e (−0.0839t)
ⓓ f( t )= 4.75 1+13 e −0.83925t