ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ Q(x)Q(x) ਦੇ ਕੇਵਲ ਅਣ-ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕ ਹਨ।
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ Q(x)Q(x) ਦੇ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕ ਹਨ।
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ Q(x)Q(x) ਦਾ ਇੱਕ ਅਣ-ਦੁਹਰਾਇਆ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਹੈ।
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ Q(x)Q(x) ਦਾ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਇਆ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਹੈ।
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ, ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ, ਅਤੇ ਗੈਰ-ਰੇਖੀ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ—ਤर्कਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਵਿਭਾਜਨ।
ਭਿੰਨਾਂ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ; ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਲ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਉਹ ਹੋਰ ਵੀ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਵਿਧੀਆਂ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨਗੀਆਂ।
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਦਾ ਵਿਭਾਜਨ ਜਿੱਥੇ Q(x) ਦੇ ਕੇਵਲ ਅਣ-ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕ ਹਨ
ਤर्कਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣ ਸੰਬੰਧੀ ਅਲਜਬਰਾ ਯਾਦ ਕਰੋ। ਇਹ ਕਾਰਜ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਲੱਭਣ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ, ਸਰਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕੀਏ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ, ਜੋ ਕਿ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸਿੰਗਲ ਸਰਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤੱਕ ਵਾਪਸੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ:
ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਹਰ, (x+2)(x−3) ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। (x+2)(x−3)।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਲਿਖਾਂਗੇ ਅਤੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਾਵਾਂਗੇ।
ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਦੋ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਾਂਗੇ (ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰਾਂਗੇ)।
ਅਸੀਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕਾਂ ਅਤੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿੱਥੇ ਅੰਸ਼ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਹਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲੀ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਚੀਜ਼ ਹਰ ਨੂੰ ਗੁਣਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਸਰਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰੇ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਹ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ ਅਸਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂ ਘਟਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਦਾ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕ ਹਰ ਵਜੋਂ ਸੀ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, x 2 −x−6 x 2 −x−6 ਦੇ ਗੁਣਕ ( x−3 )( x+2 ), ( x−3 )( x+2 ) ਹਨ, ਜੋ ਵਿਭਾਜਿਤ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਰ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸਰਲ ਰੂਪ ਨੂੰ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਾਂਗੇ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਅੰਸ਼ ਲਈ ਇੱਕ ਚੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਲਈ ਉਪਲਬਧ ਕਈ ਵਿਧੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਅੰਸ਼ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ।
P(x) Q(x) :Q(x) P(x) Q(x) :Q(x) ਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਵਿੱਚ ਅਣ-ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕ ਹਨ
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਜਦੋਂ Q(x) Q(x) ਦੇ ਅਣ-ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ P(x) P(x) ਦੀ ਡਿਗਰੀ Q(x) Q(x) ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਉਹ ਹੈ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਹਰ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰੇ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕਾਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰੋ।
ਅਸਲ ਅੰਸ਼ਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਚੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ A,B, A,B, ਜਾਂ C, C, ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਹਰੇਕ ਚੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਗੁਣਕ ਉੱਤੇ ਰੱਖੋ। ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਅੰਸ਼ ਲਈ A n A n ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ P(x) Q(x) = A 1 ( a 1 x+ b 1 ) + A 2 ( a 2 x+ b 2 ) +⋯+ A n ( a n x+ b n ) P(x) Q(x) = A 1 ( a 1 x+ b 1 ) + A 2 ( a 2 x+ b 2 ) +⋯+ A n ( a n x+ b n )
ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ ਤਾਂ ਜੋ ਅੰਸ਼ਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਸਟਮ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ।
1. ਮਿਸਾਲ 1
2. ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਤਰਕਪੂਰਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਿਘਟਨ
3. ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਨਾਲ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤਰਕਪੂਰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵਿਘਟਨ ਕਰੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਅਸੀਂ ਹਰ (denominator) ਦੇ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਅੰਸ਼ (numerator) ਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਕ ਨਾਮ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ A, B, ਜਾਂ C, ਦੇਵਾਂਗੇ।
6. ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ:
7. ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
8. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ।
9. ਸੰਬੰਧਿਤ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।
10. ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ B ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
11. ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ B=1 ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।
12. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ ਹੈ
13. A ਜਾਂ B ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ, ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਅਤੇ x ਦਾ ਅਜਿਹਾ ਮੁੱਲ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨਾ ਜੋ A- ਜਾਂ B-ਪਦ ਨੂੰ 0 ਬਣਾ ਦੇਵੇ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ x=1 ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ A-ਪਦ 0 ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ B ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
14. ਅੱਗੇ, ਜਾਂ ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ B=1 ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ A ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਜਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x=−2 ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਕੇ B-ਪਦ ਨੂੰ 0 ਬਣਾਓ।
15. ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ A ਅਤੇ B ਲਈ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਵਿਘਟਨ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
16. ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਤਰੀਕਾ ਪਾਠ ਪੁਸਤਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਨਹੀਂ ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਬਦਲ ਵਜੋਂ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਕੁਝ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨਾਂ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਹੈਵਿਸਾਈਡ ਵਿਧੀ (Heaviside method) ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਨਾਮ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਨਿਕਸ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਦੇ ਮੋਢੀ ਚਾਰਲਸ ਹੈਵਿਸਾਈਡ (Charles Heaviside) ਦੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
17. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
18. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ ਲੱਭੋ।
19. P(x) / Q(x) ਦਾ ਵਿਘਟਨ ਜਦੋਂ Q(x) ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ ਹੋਣ
20. ਕੁਝ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਜੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਘਟਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਵਧਦੀਆਂ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਕੇ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਕਾਰਕਾਂ ਦਾ ਖਾਤਾ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ।
21. P(x) / Q(x) ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ: ਜਦੋਂ Q(x) ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ ਹੋਣ
22. P(x) / Q(x) ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ, ਜਦੋਂ Q(x) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ n ਵਾਰ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ P(x) ਦੀ ਡਿਗਰੀ Q(x) ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ, ਇਹ ਹੈ
23. ਹਰ ਦੀਆਂ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਨੂੰ ਵਧਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
24. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਾਲੇ ਤਰਕੀਬੀ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ।
ਅੰਸ਼ਾਂ ਲਈ A,B, ਜਾਂ C ਵਰਗੇ ਚਲ ਵਰਤੋ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਦੀਆਂ ਵਧਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ।
ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਫੈਲਾਓ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ।
ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨਾਲ ਵੱਖ ਕਰਨਾ
ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਾਲੇ ਦਿੱਤੇ ਤਰਕੀਬੀ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਹਰ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ x ( x−2 ) 2 ਹਨ। ( x−2 ) ਦੇ ਦੁਹਰਾਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਈ, ਵਿਭਾਜਨ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਹਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣਗੇ: x, ( x−2 ), ਅਤੇ ( x−2 ) 2 । ਇਸ ਲਈ,
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ, ਅਸੀਂ ਫੈਲਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇਵੇਗਾ:
A ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਸਮੀਕਰਨ (1) ਵਿੱਚ A=1 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਫਿਰ, C ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ (2) ਵਿੱਚ A ਅਤੇ B ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਇਸ ਲਈ,
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਲੱਭੋ।
P( x ) Q( x ) ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨਾ, ਜਿੱਥੇ Q(x) ਕੋਲ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਦੁਹਰਾਈ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਸਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਾਂ A, B, ਜਾਂ C ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜੋ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇਖਾਂਗੇ ਜਿੱਥੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਵਿਅੰਜਨ ਹੈ ਜੋ ਅੱਗੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਬਣਦਾ। ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ Ax+B, Bx+C, ਆਦਿ ਵਰਗੇ ਰੇਖੀ ਅੰਸ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
P( x ) Q( x ) ਦਾ ਵਿਭਾਜਨ: Q(x) ਕੋਲ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਦੁਹਰਾਈ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ
P( x ) Q( x ) ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਜਿੱਥੇ Q(x) ਕੋਲ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਦੁਹਰਾਈ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ਅਤੇ P( x ) ਦੀ ਡਿਗਰੀ Q( x ) ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਵਿਭਾਜਨ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਤਰਕੀਬੀ ਵਿਅੰਜਨ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੋਣ। ਹਰੇਕ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਾ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਸਥਿਰ ਅੰਸ਼ ਹੋਵੇਗਾ: A, B, C, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ।
How To
Given a rational expression where the factors of the denominator are distinct, irreducible quadratic factors, decompose it.
Use variables such as A,B, A,B, or C C for the constant numerators over linear factors, and linear expressions such as A 1 x+ B 1 , A 2 x+ B 2 , A 1 x+ B 1 , A 2 x+ B 2 , etc., for the numerators of each quadratic factor in the denominator. P(x) Q(x) = A ax+b + A 1 x+ B 1 ( a 1 x 2 + b 1 x+ c 1 ) + A 2 x+ B 2 ( a 2 x 2 + b 2 x+ c 2 ) +⋅⋅⋅+ A n x+ B n ( a n x 2 + b n x+ c n ) P(x) Q(x) = A ax+b + A 1 x+ B 1 ( a 1 x 2 + b 1 x+ c 1 ) + A 2 x+ B 2 ( a 2 x 2 + b 2 x+ c 2 ) +⋅⋅⋅+ A n x+ B n ( a n x 2 + b n x+ c n )
Multiply both sides of the equation by the common denominator to eliminate fractions.
Expand the right side of the equation and collect like terms.
Set coefficients of like terms from the left side of the equation equal to those on the right side to create a system of equations to solve for the numerators.
Example 3
Decomposing P( x ) Q( x ) P( x ) Q( x ) When Q(x) Contains a Nonrepeated Irreducible Quadratic Factor
Find a partial fraction decomposition of the given expression.
Solution
We have one linear factor and one irreducible quadratic factor in the denominator, so one numerator will be a constant and the other numerator will be a linear expression. Thus,
We follow the same steps as in previous problems. First, clear the fractions by multiplying both sides of the equation by the common denominator.
Notice we could easily solve for A A by choosing a value for x x that will make the Bx+C Bx+C term equal 0. Let x=−3 x=−3 and substitute it into the equation.
Now that we know the value of A, A, substitute it back into the equation. Then expand the right side and collect like terms.
Setting the coefficients of terms on the right side equal to the coefficients of terms on the left side gives the system of equations.
Solve for B B using equation (1) and solve for C C using equation (3).
Thus, the partial fraction decomposition of the expression is
Q&A
Could we have just set up a system of equations to solve Example 3?
Yes, we could have solved it by setting up a system of equations without solving for A A first. The expansion on the right would be:
So the system of equations would be:
Try It #3
Find the partial fraction decomposition of the expression with a nonrepeating irreducible quadratic factor.
Decomposing P( x ) Q( x ) P( x ) Q( x ) When Q(x) Has a Repeated Irreducible Quadratic Factor
Now that we can decompose a simplified rational expression with an irreducible quadratic factor, we will learn how to do partial fraction decomposition when the simplified rational expression has repeated irreducible quadratic factors. The decomposition will consist of partial fractions with linear numerators over each irreducible quadratic factor represented in increasing powers.
P(x) Q(x) ਦਾ ਵਿਘਟਨ P(x) Q(x) ਜਦੋਂ Q(x) ਕੋਲ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਈ ਗਈ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਹੋਵੇ
P(x) Q(x) ਦਾ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ, P(x) Q(x), ਜਦੋਂ Q(x) Q(x) ਕੋਲ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਈ ਗਈ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਹੋਵੇ ਅਤੇ P(x) P(x) ਦੀ ਘਾਤ Q(x) Q(x) ਦੀ ਘਾਤ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਵੇ, ਇਹ ਹੈ
ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਵਧਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਈ ਗਈ ਅਟੁੱਟ ਗੁਣਕ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਵਿਘਟਿਤ ਕਰੋ।
ਹਰ ਵਿੱਚ ਵਧਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਗਏ ਹਰੇਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਲਈ ਸਥਿਰ ਅੰਸ਼ਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ A 1 x+ B 1 , A 2 x+ B 2 , ਆਦਿ, ਅਤੇ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕਾਂ ਉੱਤੇ ਸਥਿਰ ਅੰਸ਼ਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ A,B, ਜਾਂ C, ਵਰਤੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ P(x) Q(x) = A ax+b + A 1 x+ B 1 (a x 2 +bx+c) + A 2 x+ B 2 (a x 2 +bx+c) 2 +⋯+ A n + B n (a x 2 +bx+c) n
ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਈ ਗਈ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਵਾਲੇ ਤਰਕਹੀਣ ਫਲਨ ਦਾ ਵਿਘਟਨ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਵਿਘਟਿਤ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਈ ਗਈ ਅਟੁੱਟ ਗੁਣਕ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਹਰ ਦੇ ਗੁਣਕ x, (x 2 +1), x, (x 2 +1), ਅਤੇ (x 2 +1) 2 ਹਨ। (x 2 +1) 2। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਪਦ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅੰਸ਼ ਰੇਖੀ ਰੂਪ Ax+B ਦਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। Ax+B। ਇਸ ਲਈ, ਵਿਘਟਨ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ x (x 2 +1) 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। x (x 2 +1) 2। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰਾਂਗੇ।
ਬਰਾਬਰ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸੰਗਤ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦਾ ਮੇਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਬਦਲਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ A=1 A=1 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਤੀਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ A=1 A=1 ਅਤੇ B=0 B=0 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਚੌਥੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ C=1 C=1 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਬਰਾਬਰ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸਾਰੇ ਅਣਜਾਣਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ A=1, A=1, B=0, B=0, C=1, C=1, D=−1, D=−1, ਅਤੇ E=−2 ਹੈ। E=−2। ਅਸੀਂ ਵਿਘਟਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਈ ਗਈ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ ਲੱਭੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਛੇਦਨ
ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਛੇਦਨ
ਰੇਖੀ ਅਤੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਕਾਰਕਾਂ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਛੇਦਨ
ਮੌਖਿਕ
ਕੀ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਛੇਦਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਕਾਰਨ ਦੱਸੋ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਅਜਿਹੀ ਭਿੰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ।
ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਛੇਦਨ ਵਿਲੱਖਣ ਕਿਉਂ ਹੈ? (ਸੰਕੇਤ: ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਜੋਂ ਸੋਚੋ।)
ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਛੇਦਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸ ਗੱਲ ਦਾ ਯਕੀਨ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਵਿਛੇਦਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਦੱਸੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਦੋਹਰੀ ਜਾਂਚ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਛੇਦਨ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿਧੀ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ 7x+13 3 x 2 +8x+15 = A x+1 + B 3x+5 7x+13 3 x 2 +8x+15 = A x+1 + B 3x+5 ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅੰਤ ਵਿੱਚ 7x+13=A(3x+5)+B(x+1) ਤੱਕ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। 7x+13=A(3x+5)+B(x+1)। ਦੱਸੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਬੁੱਧੀਮਾਨੀ ਨਾਲ ਇੱਕ x x-ਮੁੱਲ ਕਿਵੇਂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹੋ ਜੋ A A ਜਾਂ B B ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਦੇਵੇ ਅਤੇ A A ਅਤੇ B B ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੇ। B।
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਗੈਰ-ਦੁਹਰਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਲਈ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਦਾ ਵਿਛੇਦਨ ਲੱਭੋ।
5x+16 x 2 +10x+24 5x+16 x 2 +10x+24
3x−79 x 2 −5x−24 3x−79 x 2 −5x−24
−x−24 x 2 −2x−24 −x−24 x 2 −2x−24
10x+47 x 2 +7x+10 10x+47 x 2 +7x+10
x 6 x 2 +25x+25 x 6 x 2 +25x+25
32x−11 20 x 2 −13x+2 32x−11 20 x 2 −13x+2
x+1 x 2 +7x+10 x+1 x 2 +7x+10
5x x 2 −9 5x x 2 −9
10x x 2 −25 10x x 2 −25
6x x 2 −4 6x x 2 −4
2x−3 x 2 −6x+5 2x−3 x 2 −6x+5
4x−1 / x^2 −x−6
4x+3 / x^2 +8x+15
3x−1 / x^2 −5x+6
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਲਈ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਵਿਘਟਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
−5x−19 / ( x+4 )^2
x / ( x−2 )^2
7x+14 / ( x+3 )^2
−24x−27 / ( 4x+5 )^2
−24x−27 / ( 6x−7 )^2
5−x / ( x−7 )^2
5x+14 / ( 2 x^2 +12x+18 )
5 x^2 +20x+8 / 2x ( x+1 )^2
4 x^2 +55x+25 / 5x ( 3x+5 )^2
54 x^3 +127 x^2 +80x+16 / 2 x^2 ( 3x+2 )^2
x^3 −5 x^2 +12x+144 / x^2 ( x^2 +12x+36 )
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਟੁੱਟ, ਗੈਰ-ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਕਾਰਕ ਲਈ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਵਿਘਟਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
4 x^2 +6x+11 / ( x+2 )( x^2 +x+3 )
4 x^2 +9x+23 / ( x−1 )( x^2 +6x+11 )
−2 x^2 +10x+4 / ( x−1 )( x^2 +3x+8 )
x^2 +3x+1 / ( x+1 )( x^2 +5x−2 )
4 x^2 +17x−1 / ( x+3 )( x^2 +6x+1 )
4 x^2 / ( x+5 )( x^2 +7x−5 )
4 x^2 +5x+3 / x^3 −1
−5 x^2 +18x−4 / x^3 +8
3 x 2 −7x+33 x 3 +27 3 x 2 −7x+33 x 3 +27
x 2 +2x+40 x 3 −125 x 2 +2x+40 x 3 −125
4 x 2 +4x+12 8 x 3 −27 4 x 2 +4x+12 8 x 3 −27
−50 x 2 +5x−3 125 x 3 −1 −50 x 2 +5x−3 125 x 3 −1
−2 x 3 −30 x 2 +36x+216 x 4 +216x −2 x 3 −30 x 2 +36x+216 x 4 +216x
For the following exercises, find the decomposition of the partial fraction for the irreducible repeating quadratic factor.
3 x 3 +2 x 2 +14x+15 ( x 2 +4 ) 2 3 x 3 +2 x 2 +14x+15 ( x 2 +4 ) 2
x 3 +6 x 2 +5x+9 ( x 2 +1 ) 2 x 3 +6 x 2 +5x+9 ( x 2 +1 ) 2
x 3 − x 2 +x−1 ( x 2 −3 ) 2 x 3 − x 2 +x−1 ( x 2 −3 ) 2
x 2 +5x+5 ( x+2 ) 2 x 2 +5x+5 ( x+2 ) 2
x 3 +2 x 2 +4x ( x 2 +2x+9 ) 2 x 3 +2 x 2 +4x ( x 2 +2x+9 ) 2
x 2 +25 ( x 2 +3x+25 ) 2 x 2 +25 ( x 2 +3x+25 ) 2
2 x 3 +11x2+7x+70 ( 2 x 2 +x+14 ) 2 2 x 3 +11x2+7x+70 ( 2 x 2 +x+14 ) 2
5x+2 x ( x 2 +4 ) 2 5x+2 x ( x 2 +4 ) 2
x 4 + x 3 +8 x 2 +6x+36 x ( x 2 +6 ) 2 x 4 + x 3 +8 x 2 +6x+36 x ( x 2 +6 ) 2
2x−9 ( x 2 −x ) 2 2x−9 ( x 2 −x ) 2
5 x 3 −2x+1 ( x 2 +2x ) 2 5 x 3 −2x+1 ( x 2 +2x ) 2
Extensions
For the following exercises, find the partial fraction expansion.
x 2 +4 ( x+1 ) 3 x 2 +4 ( x+1 ) 3
x 3 −4 x 2 +5x+4 ( x−2 ) 3 x 3 −4 x 2 +5x+4 ( x−2 ) 3
For the following exercises, perform the operation and then find the partial fraction decomposition.
7 x+8 + 5 x−2 − x−1 x 2 −6x−16 7 x+8 + 5 x−2 − x−1 x 2 −6x−16
1 x−4 − 3 x+6 − 2x+7 x 2 +2x−24 1 x−4 − 3 x+6 − 2x+7 x 2 +2x−24
2x^3 - 16x^2 - 1 - 2x^3 + 6x + 8 - x^2 - 5x^2 - 4x