Learning Objectives
In this section, you will:
Find the sum and difference of two matrices.
Find scalar multiples of a matrix.
Find the product of two matrices.
Figure 1: (credit: “SD Dirk,” Flickr)
Two club soccer teams, the Wildcats and the Mud Cats, are hoping to obtain new equipment for an upcoming season. Table 1 shows the needs of both teams.
row: Wildcats | Mud Cats
row: Goals | 6 | 10
row: Balls | 30 | 24
row: Jerseys | 14 | 20
A goal costs $300; a ball costs $10; and a jersey costs $30. How can we find the total cost for the equipment needed for each team? In this section, we discover a method in which the data in the soccer equipment table can be displayed and used for calculating other information. Then, we will be able to calculate the cost of the equipment.
Finding the Sum and Difference of Two Matrices
To solve a problem like the one described for the soccer teams, we can use a matrix, which is a rectangular array of numbers. A row in a matrix is a set of numbers that are aligned horizontally. A column in a matrix is a set of numbers that are aligned vertically. Each number is an entry, sometimes called an element, of the matrix. Matrices (plural) are enclosed in [ ] or ( ), and are usually named with capital letters. For example, three matrices named A,B, A,B, and C C are shown below.
Describing Matrices
A matrix is often referred to by its size or dimensions: m×n m×n indicating m m rows and n n columns. Matrix entries are defined first by row and then by column. For example, to locate the entry in matrix A A identified as a ij , a ij , we look for the entry in row i, i, column j. j. In matrix A, A, shown below, the entry in row 2, column 3 is a 23 . a 23 .
A square matrix is a matrix with dimensions n×n, n×n, meaning that it has the same number of rows as columns. The 3×3 3×3 matrix above is an example of a square matrix.
A row matrix is a matrix consisting of one row with dimensions 1×n. 1×n.
A column matrix is a matrix consisting of one column with dimensions m×1. m×1.
A matrix may be used to represent a system of equations. In these cases, the numbers represent the coefficients of the variables in the system. Matrices often make solving systems of equations easier because they are not encumbered with variables. We will investigate this idea further in the next section, but first we will look at basic matrix operations.
Matrices
A matrix is a rectangular array of numbers that is usually named by a capital letter: A,B,C, A,B,C, and so on. Each entry in a matrix is referred to as a ij , a ij , such that i i represents the row and j j represents the column. Matrices are often referred to by their dimensions: m×n m×n indicating m m rows and n n columns.
Example 1
Finding the Dimensions of the Given Matrix and Locating Entries
1. ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਏ: ਏ:
2. ਏ? ਏ? ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਏ ਦੇ ਮਾਪ ਕੀ ਹਨ?
3. ⓑ ਏ 31 ਅਤੇ ਏ 22 ਦੇ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ ਕੀ ਹਨ? ਏ 31 ਏ 31 ਅਤੇ ਏ 22 ? ਏ 22 ? ਏ=[ 2 1 0 2 4 7 3 1 −2 ] ਏ=[ 2 1 0 2 4 7 3 1 −2 ]
4. ਹੱਲ
5. ⓐਮਾਪ 3×3 ਹਨ 3×3 ਕਿਉਂਕਿ ਤਿੰਨ ਕਤਾਰਾਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਕਾਲਮ ਹਨ।
6. ⓑਪ੍ਰਵੇਸ਼ ਏ 31 ਏ 31 ਕਤਾਰ 3, ਕਾਲਮ 1 'ਤੇ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 3 ਹੈ। ਪ੍ਰਵੇਸ਼ ਏ 22 ਏ 22 ਕਤਾਰ 2, ਕਾਲਮ 2 'ਤੇ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 4 ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਪਹਿਲਾਂ ਕਤਾਰ ਆਉਂਦੀ ਹੈ, ਫਿਰ ਕਾਲਮ।
7. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ
8. ਅਸੀਂ ਡਾਟਾ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਨ ਜਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 'ਤੇ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਜਾਂ ਘਟਾ ਕੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜੋੜਦੇ ਜਾਂ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
9. ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪ੍ਰਵੇਸ਼ਾਂ ਦਾ ਮੇਲ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਉ ਕੇਵਲ ਤਾਂ ਹੀ ਸੰਭਵ ਹੈ ਜਦੋਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਮਾਪ ਸਮਾਨ ਹੋਣ। ਅਸੀਂ 3×3 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਦੂਜੀ 3×3 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਅਸੀਂ 2×3 2×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ 3×3 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾ ਨਹੀਂ ਸਕਦੇ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ਾਂ ਦਾ ਦੂਜੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸੰਬੰਧਿਤ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ।
10. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ
11. ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਏ ਏ ਅਤੇ ਬੀ ਬੀ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਮਾਪ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਏ ਏ ਅਤੇ ਬੀ ਬੀ ਦਾ ਜੋੜ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਸੀ ਸੀ ਜਾਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਡੀ ਡੀ ਪੈਦਾ ਕਰੇਗਾ ਜਿਸਦੇ ਮਾਪ ਸਮਾਨ ਹੋਣਗੇ।
12. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜੋੜ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਹੈ।
13. ਇਹ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਵੀ ਹੈ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 2
15. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
16. ਏ ਏ ਅਤੇ ਬੀ, ਬੀ, ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
17. ਹੱਲ
18. ਸੰਬੰਧਿਤ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
19. ਉਦਾਹਰਨ 3
20. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਏ ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਬੀ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ
21. ਏ ਏ ਅਤੇ ਬੀ. ਬੀ. ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
22. ਹੱਲ
23. ਸੰਬੰਧਿਤ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਏ ਦੇ ਕਤਾਰ 1, ਕਾਲਮ 1, ਏ 11 , ਏ 11 , ਦੇ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ ਨੂੰ ਬੀ ਦੇ ਕਤਾਰ 1, ਕਾਲਮ 1, ਬੀ 11 , ਬੀ 11 , ਦੇ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। ਸਾਰੇ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ਾਂ ਦੇ ਜੁੜ ਜਾਣ ਤੱਕ ਇਸ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 4
ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
A A ਅਤੇ B. B. ਦਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਐਂਟਰੀਆਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਦੋ 3 x 3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ A A ਅਤੇ B: B:
ⓐ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ⓑ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ⓐ ਸੰਬੰਧਿਤ ਐਂਟਰੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। A+B=[ 2 −10 −2 14 12 10 4 −2 2 ]+[ 6 10 −2 0 −12 −4 −5 2 −2 ] =[ 2+6 −10+10 −2−2 14+0 12−12 10−4 4−5 −2+2 2−2 ] =[ 8 0 −4 14 0 6 −1 0 0 ] A+B=[ 2 −10 −2 14 12 10 4 −2 2 ]+[ 6 10 −2 0 −12 −4 −5 2 −2 ] =[ 2+6 −10+10 −2−2 14+0 12−12 10−4 4−5 −2+2 2−2 ] =[ 8 0 −4 14 0 6 −1 0 0 ]
ⓑ ਸੰਬੰਧਿਤ ਐਂਟਰੀਆਂ ਨੂੰ ਘਟਾਓ। A−B=[ 2 −10 −2 14 12 10 4 −2 2 ]−[ 6 10 −2 0 −12 −4 −5 2 −2 ] =[ 2−6 −10−10 −2+2 14−0 12+12 10+4 4+5 −2−2 2+2 ] =[ −4 −20 0 14 24 14 9 −4 4 ] A−B=[ 2 −10 −2 14 12 10 4 −2 2 ]−[ 6 10 −2 0 −12 −4 −5 2 −2 ] =[ 2−6 −10−10 −2+2 14−0 12+12 10+4 4+5 −2−2 2+2 ] =[ −4 −20 0 14 24 14 9 −4 4 ]
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A A ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ B. B. ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾਂਕ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਸਾਰੀਆਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਈ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਸਕੇਲਰ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਮਾਤਰਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਮਾਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਦਿਸ਼ਾ ਨਹੀਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮਾਂ, ਤਾਪਮਾਨ, ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਸਕੇਲਰ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਹਨ। ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਐਂਟਰੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾਂਕ ਕੋਈ ਵੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਐਂਟਰੀ ਹੈ ਜੋ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇੱਕ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਨੂੰ ਵਿਚਾਰੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ ਨੂੰ ਵਧੇ ਹੋਏ ਦਾਖਲੇ ਕਾਰਨ ਕੈਂਪਸ ਦੀਆਂ ਦੋ ਲੈਬਾਂ ਵਿੱਚ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਟੇਬਲਾਂ ਅਤੇ ਕੁਰਸੀਆਂ ਦੇ ਆਪਣੇ ਭੰਡਾਰ ਵਿੱਚ ਵਾਧਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਉਹ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਦੋਵਾਂ ਲੈਬਾਂ ਵਿੱਚ 15% ਹੋਰ ਉਪਕਰਨਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਸਕੂਲ ਦਾ ਮੌਜੂਦਾ ਭੰਡਾਰ ਟੇਬਲ 2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਰੋ: ਲੈਬ A | ਲੈਬ B
ਰੋ: ਕੰਪਿਊਟਰ | 15 | 27
ਰੋ: ਕੰਪਿਊਟਰ ਟੇਬਲ | 16 | 34
ਰੋ: ਕੁਰਸੀਆਂ | 16 | 34
ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ 'ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਕੰਪਿਊਟਰ ਉਪਕਰਨਾਂ ਦੀ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ C C ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਐਂਟਰੀਆਂ ਨੂੰ 0.15 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਨੂੰ ਅਗਲੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਨਵੇਂ ਉਪਕਰਨਾਂ ਦੀ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮਾਤਰਾ ਹੈ
ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਨਵੇਂ ਇਨਵੈਂਟਰੀ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਲੈਬ ਏ ਵਿੱਚ 18 ਕੰਪਿਊਟਰ, 19 ਕੰਪਿਊਟਰ ਟੇਬਲ ਅਤੇ 19 ਕੁਰਸੀਆਂ ਹੋਣਗੀਆਂ; ਲੈਬ ਬੀ ਵਿੱਚ 32 ਕੰਪਿਊਟਰ, 40 ਕੰਪਿਊਟਰ ਟੇਬਲ ਅਤੇ 40 ਕੁਰਸੀਆਂ ਹੋਣਗੀਆਂ।
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਸ਼ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਕ cA cA ਹੈ
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਵਿਤਰਨਸ਼ੀਲ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A,B, A,B, ਅਤੇ C C ਲਈ ਸਕੇਲਰ a a ਅਤੇ b, b ਨਾਲ,
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A A ਨੂੰ ਸਕੇਲਰ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
A A ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਸਕੇਲਰ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ B, B ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ, −2B −2B ਲੱਭੋ ਜਿੱਥੇ
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਲੱਭਣਾ
Find the sum 3A+2B. 3A+2B.
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, 3A, 3A ਲੱਭੋ, ਫਿਰ 2B. 2B.
Now, add 3A+2B. 3A+2B.
ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਲੱਭਣਾ
ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਸੰਭਵ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਮਾਪ ਸਮਾਨ ਹੋਣ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਕਾਲਮਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੂਜੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀਆਂ ਸਾਰਣੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ A A ਇੱਕ m×r m×r ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਅਤੇ B B ਇੱਕ r×n r×n ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ AB AB ਇੱਕ m×n m×n ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਗੁਣਨਫਲ AB AB ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ A A ਵਿੱਚ ਕਾਲਮਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ B B ਦੀਆਂ ਸਾਰਣੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅੰਦਰੂਨੀ ਮਾਪ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੇ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖਾਸ ਪੈਟਰਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ A A ਦੇ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ B B ਦੇ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਵਧੇਰੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
AB AB ਦੇ ਸਾਰਣੀ i i ਦੇ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ A A ਦੀ ਸਾਰਣੀ i i ਦੇ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ B B ਦੇ ਕਾਲਮ j j ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A A ਅਤੇ B, B ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ, ਜਿੱਥੇ A A ਦੇ ਮਾਪ 2×3 2×3 ਹਨ ਅਤੇ B B ਦੇ ਮਾਪ 3×3, 3×3 ਹਨ, AB AB ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਇੱਕ 2×3 2×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੋਵੇਗਾ।
ਗੁਣਨਫਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ AB AB ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਜੋੜ ਕਰੋ। AB. AB.
AB AB ਦੇ ਸਾਰਣੀ 1, ਕਾਲਮ 1 ਦੇ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, A A ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਸਾਰਣੀ ਨੂੰ B B ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ, B, B, ਅਤੇ ਜੋੜੋ। [ a 11 a 12 a 13 ][ b 11 b 21 b 31 ]= a 11 ⋅ b 11 + a 12 ⋅ b 21 + a 13 ⋅ b 31 [ a 11 a 12 a 13 ][ b 11 b 21 b 31 ]= a 11 ⋅ b 11 + a 12 ⋅ b 21 + a 13 ⋅ b 31
AB ਦੇ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ, ਦੂਜੀ ਕਾਲਮ ਦਾ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, A ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਨੂੰ B ਦੀ ਦੂਜੀ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਜੋੜੋ। [ a 11 a 12 a 13 ][ b 12 b 22 b 32 ]= a 11 ⋅ b 12 + a 12 ⋅ b 22 + a 13 ⋅ b 32 [ a 11 a 12 a 13 ][ b 12 b 22 b 32 ]= a 11 ⋅ b 12 + a 12 ⋅ b 22 + a 13 ⋅ b 32
AB ਦੇ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ, ਤੀਜੀ ਕਾਲਮ ਦਾ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, A ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਨੂੰ B ਦੀ ਤੀਜੀ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਜੋੜੋ। [ a 11 a 12 a 13 ][ b 13 b 23 b 33 ]= a 11 ⋅ b 13 + a 12 ⋅ b 23 + a 13 ⋅ b 33 [ a 11 a 12 a 13 ][ b 13 b 23 b 33 ]= a 11 ⋅ b 13 + a 12 ⋅ b 23 + a 13 ⋅ b 33
ਅਸੀਂ AB ਦੀ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਵਧਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, A ਦੀ ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ B ਦੀ ਕਾਲਮ 1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ; A ਦੀ ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ B ਦੀ ਕਾਲਮ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ; A ਦੀ ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ B ਦੀ ਕਾਲਮ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਜਦੋਂ ਇਹ ਪੂਰਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੋਵੇਗਾ
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਨ ਦੇ ਗੁਣ
ਮੈਟ੍ਰਿਸਿਸ A, B, ਅਤੇ C ਲਈ, ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
Matrix multiplication is associative: ( AB )C=A( BC ). ( AB )C=A( BC ).
Matrix multiplication is distributive: C(A+B)=CA+CB, (A+B)C=AC+BC. C(A+B)=CA+CB, (A+B)C=AC+BC.
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਨ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ (commutative) ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਸਿਸ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ B ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਮੈਟ੍ਰਿਸਿਸ ਦੇ ਮਾਪਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਦੇ ਮਾਪ 2×2 ਹਨ ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ B ਦੇ ਮਾਪ 2×2 ਹਨ। ਅੰਦਰੂਨੀ ਮਾਪ ਸਮਾਨ ਹਨ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਗੁਣਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਮਾਪ 2×2 ਹੋਣਗੇ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸੀਆਂ ਗਈਆਂ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਸਿਸ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ A ਅਤੇ B:
ⓐ Find AB. AB.
ⓑ Find BA. BA.
ਹੱਲ
ⓐ ਕਿਉਂਕਿ A ਦੇ ਮਾਪ 2×3 ਹਨ ਅਤੇ B ਦੇ ਮਾਪ 3×2 ਹਨ, ਇਹ ਮੈਟ੍ਰਿਸਿਸ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ A ਵਿੱਚ ਕਾਲਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ B ਵਿੱਚ ਕਤਾਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਫਲ A ਦੀ ਕਤਾਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੁਆਰਾ B ਦੀ ਕਾਲਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਇੱਕ 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੋਵੇਗਾ। AB=[ −1 2 3 4 0 5 ] [ 5 −1 −4 0 2 3 ] =[ −1(5)+2(−4)+3(2) −1(−1)+2(0)+3(3) 4(5)+0(−4)+5(2) 4(−1)+0(0)+5(3) ] =[ −7 10 30 11 ] AB=[ −1 2 3 4 0 5 ] [ 5 −1 −4 0 2 3 ] =[ −1(5)+2(−4)+3(2) −1(−1)+2(0)+3(3) 4(5)+0(−4)+5(2) 4(−1)+0(0)+5(3) ] =[ −7 10 30 11 ]
ⓑ B ਦੇ ਮਾਪ 3 × 2 ਹਨ ਅਤੇ A ਦੇ ਮਾਪ 2 × 3 ਹਨ। ਅੰਦਰੂਨੀ ਮਾਪ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ ਇਸ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ 3 × 3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੋਵੇਗਾ। BA=[ 5 −1 −4 0 2 3 ] [ −1 2 3 4 0 5 ] =[ 5(−1)+−1(4) 5(2)+−1(0) 5(3)+−1(5) −4(−1)+0(4) −4(2)+0(0) −4(3)+0(5) 2(−1)+3(4) 2(2)+3(0) 2(3)+3(5) ] =[ −9 10 10 4 −8 −12 10 4 21 ] BA=[ 5 −1 −4 0 2 3 ] [ −1 2 3 4 0 5 ] =[ 5(−1)+−1(4) 5(2)+−1(0) 5(3)+−1(5) −4(−1)+0(4) −4(2)+0(0) −4(3)+0(5) 2(−1)+3(4) 2(2)+3(0) 2(3)+3(5) ] =[ −9 10 10 4 −8 −12 10 4 21 ]
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
Notice that the products AB AB and BA BA are not equal.
ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਨ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ (commutative) ਨਹੀਂ ਹੈ।
Q&A
ਕੀ ਇਹ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ AB ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੋਵੇ ਪਰ BA ਨਾ ਹੋਵੇ?
ਹਾਂ, ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਜਿਸਦਾ ਮਾਪ 3×4 ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ B ਜਿਸਦਾ ਮਾਪ 4×2 ਹੈ, 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। AB ਗੁਣਨ ਲਈ ਅੰਦਰੂਨੀ ਮਾਪ 4 ਹਨ ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਪਰ BA ਗੁਣਨ ਲਈ ਅੰਦਰੂਨੀ ਮਾਪ 2 ਅਤੇ 3 ਹਨ ਇਸ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਅਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਮੈਟ੍ਰਿਸਿਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਆਓ ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸਮੱਸਿਆ ਵੱਲ ਮੁੜੀਏ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਾਰਣੀ 3 ਹੈ, ਜੋ ਦੋ ਫੁੱਟਬਾਲ ਟੀਮਾਂ ਦੀਆਂ ਉਪਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਲੋੜਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਕਤਾਰ: ਵਾਈਲਡਕੈਟਸ | ਮਡ ਕੈਟਸ
ਕਤਾਰ: ਗੋਲ | 6 | 10
ਕਤਾਰ: ਗੇਂਦਾਂ | 30 | 24
ਕਤਾਰ: ਜਰਸੀਆਂ | 14 | 20
ਸਾਨੂੰ ਉਪਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕੀਮਤਾਂ ਵੀ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕਤਾਰ: ਗੋਲ | $300
ਕਤਾਰ: ਗੇਂਦ | $10
ਕਤਾਰ: ਜਰਸੀ | $30
ਅਸੀਂ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਂਗੇ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਉਪਕਰਨਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਦਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਲਾਗਤ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਉਪਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਲਾਗਤਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਵਾਈਲਡਕੈਟਸ ਲਈ ਉਪਕਰਨਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਲਾਗਤ $2,520 ਹੈ, ਅਤੇ ਮਡ ਕੈਟਸ ਲਈ ਉਪਕਰਨਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਲਾਗਤ $3,840 ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਾਰਵਾਈ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹਰੇਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ [ A ], [ B ], [ C ],... ਵਜੋਂ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰੋ।
Enter the operation into the calculator, calling up each matrix variable as needed.
ਜੇਕਰ ਕਾਰਵਾਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਹੱਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪੇਸ਼ ਕਰੇਗਾ; ਜੇਕਰ ਕਾਰਵਾਈ ਅਣਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਗਲਤੀ ਸੰਦੇਸ਼ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
Find AB−C AB−C given
ਹੱਲ
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪੰਨੇ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ [ A ] ਵਜੋਂ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ B ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ [ B ] ਵਜੋਂ, ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ C ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ [ C ] ਵਜੋਂ ਦਰਜ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਹੋਮ ਸਕ੍ਰੀਨ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਸਮੱਸਿਆ ਟਾਈਪ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਲੋੜ ਅਨੁਸਾਰ ਹਰੇਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਕਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਸਾਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਾਰਜਾਂ ਬਾਰੇ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਮਾਪ
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਾਰਜ
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ
ਸ਼ਬਦਿਕ
ਕੀ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਦੱਸੋ ਕਿਉਂ; ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਦੱਸੋ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਅਤੇ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ।
ਕੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕਾਲਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਰੋਅ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਦੱਸੋ ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ।
ਕੀ ਦੋਵੇਂ ਗੁਣਨਫਲ AB ਅਤੇ BA ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਦੱਸੋ ਕਿਵੇਂ; ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਦੱਸੋ ਕਿਉਂ।
ਕੀ ਇੱਕੋ ਆਕਾਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਦੱਸੋ ਕਿਉਂ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਦੱਸੋ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਅਤੇ ਇੱਕੋ ਆਕਾਰ ਦੇ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ।
ਕੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਕਮਿਊਟ ਕਰਦਾ ਹੈ? ਭਾਵ, ਕੀ AB=BA? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿਉਂ। ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਦੱਸੋ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ।
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਪਯੋਗ ਕਰੋ ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਕਰੋ। ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਕੀ ਕਾਰਜ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ।
A+B A+B
C+D C+D
A+C A+C
B−E B−E
C+F C+F
D−B D−B
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਪਯੋਗ ਕਰੋ।
5A
3B
−2B
−4C
1 2 C
100D
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਪਯੋਗ ਕਰੋ।
AB AB
BC BC
CA CA
BD BD
DC DC
CB CB
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਕਰਨ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਪਯੋਗ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਦੱਸੋ ਕਿ ਕਾਰਜ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ।
A+B−C A+B−C
4A+5D 4A+5D
2C+B 2C+B
3D+4E 3D+4E
C−0.5D C−0.5D
100D−10E 100D−10E
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਕਰਨ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਪਯੋਗ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਦੱਸੋ ਕਿ ਕਾਰਜ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। (ਸੰਕੇਤ: A 2 =A⋅A )
AB AB
BA BA
CA CA
BC BC
A 2
1. ਬੀ ਦੋ ਬੀ ਦੋ
2. ਸੀ ਦੋ ਸੀ ਦੋ
3. ਬੀ ਦੋ ਏ ਦੋ ਬੀ ਦੋ ਏ ਦੋ
4. ਏ ਦੋ ਬੀ ਦੋ ਏ ਦੋ ਬੀ ਦੋ
(AB) 2 (AB) 2
(BA) 2 (BA) 2
5. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਕਰਨ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਕਾਰਜ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। (ਸੰਕੇਤ: ਏ ਦੋ = ਏ ⋅ ਏ)
AB AB
BA BA
BD BD
DC DC
6. ਡੀ ਦੋ ਡੀ ਦੋ
7. ਏ ਦੋ ਏ ਦੋ
8. ਡੀ ਤਿੰਨ ਡੀ ਤਿੰਨ
(AB)C (AB)C
A(BC) A(BC)
9. ਤਕਨਾਲੋਜੀ
10. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਕਰਨ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਕਾਰਜ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਆਪਣੇ ਹੱਲ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
AB AB
BA BA
CA CA
BC BC
ABC ABC
11. ਵਿਸਥਾਰ
12. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉੱਤੇ ਕਾਰਜ ਕਰਨ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
13. ਬੀ ਦੋ ਬੀ ਦੋ
14. ਬੀ ਤਿੰਨ ਬੀ ਤਿੰਨ
15. ਬੀ ਚਾਰ ਬੀ ਚਾਰ
16. ਬੀ ਪੰਜ ਬੀ ਪੰਜ
17. ਉਪਰੋਕਤ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਬੀ ਐਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ। ਬੀ 201 ਅਤੇ ਬੀ 202 ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ, ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ।