ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਵਧਾਇਆ ਮੈਟਰਿਕਸ ਲਿਖੋ।
ਇੱਕ ਵਧਾਏ ਮੈਟਰਿਕਸ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਿਖੋ।
ਇੱਕ ਮੈਟਰਿਕਸ ਉੱਤੇ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜ ਕਰੋ।
ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਜਰਮਨ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਕਾਰਲ ਫ੍ਰੀਡਰਿਕ ਗੌਸ (1777–1855)।
ਕਾਰਲ ਫ੍ਰੀਡਰਿਕ ਗੌਸ 18ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਅਖੀਰ ਅਤੇ 19ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਰਹੇ, ਪਰ ਫਿਰ ਵੀ ਉਹ ਇਤਿਹਾਸ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਮੰਨੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਯੋਗਦਾਨ ਅਲਜਬਰਾ, ਸੰਖਿਆ ਸਿਧਾਂਤ, ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ, ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਜਿਓਮੈਟਰੀ, ਖਗੋਲ-ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਆਪਟਿਕਸ ਵਰਗੇ ਖੇਤਰਾਂ ਤੱਕ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਮੈਟਰਿਕਸ ਸਿਧਾਂਤ ਬਾਰੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਖੋਜਾਂ ਨੇ ਪਿਛਲੇ ਦੋ ਸਦੀਆਂ ਤੋਂ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਦੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ: ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਜ਼ ਵਿੱਚ ਗੌਸੀਅਨ ਖਾਤਮੇ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਤਕਨੀਕ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਦੇਖਾਂਗੇ, ਇਸ ਵਾਰ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਵਧਾਇਆ ਮੈਟਰਿਕਸ ਲਿਖਣਾ
ਇੱਕ ਮੈਟਰਿਕਸ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਉਪਕਰਨ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਮੈਟਰਿਕਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਅਤੇ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਹ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੇ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਗੁਣਾਂਕ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਬਰਾਬਰ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵਧਾਇਆ ਮੈਟਰਿਕਸ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਹੇਠ ਲਿਖੀ 2×2 ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਧਾਏ ਮੈਟਰਿਕਸ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਮੈਟਰਿਕਸ ਵੀ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਨੂੰ ਗੁਣਾਂਕ ਮੈਟਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਤਿੰਨ-ਬਾਈ-ਤਿੰਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਜਿਵੇਂ ਕਿ
ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਾਂਕ ਮੈਟਰਿਕਸ ਹੈ
ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਵਧਾਏ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਮੈਟਰਿਕਸ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਵੇਰੀਏਬਲ ਆਪਣੇ ਖੁਦ ਦੇ ਕਾਲਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇਕਸਾਰ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ: x-ਪਦ ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ, y-ਪਦ ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ, ਅਤੇ z-ਪਦ ਤੀਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ax+by+cz=d ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਵੇ ਤਾਂ ਜੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਇਕਸਾਰ ਹੋ ਜਾਣ। ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਗੁੰਮ ਹੋਇਆ ਵੇਰੀਏਬਲ ਪਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਣਾਂਕ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਇੱਕ ਵਧਾਇਆ ਮੈਟਰਿਕਸ ਲਿਖੋ।
x-ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
y-ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਜੇਕਰ z-ਪਦ ਹਨ, ਤਾਂ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਤੀਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਲਿਖੋ।
1. ਮਿਸਾਲ 1
2. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਈ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟਰਿਕਸ ਲਿਖਣਾ
3. ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਈ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟਰਿਕਸ ਲਿਖੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟਰਿਕਸ ਚਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ, ਅਤੇ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਵਾਧੂ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
6. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
7. ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟਰਿਕਸ ਲਿਖੋ।
8. ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟਰਿਕਸ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਿਖਣਾ
9. ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਵਧਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਕਾਰਜਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦੋਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਚਲਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬੋਝਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਸੁਚਾਰੂ ਅਤੇ ਅਨੁਭਵੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਫਾਰਮੈਟਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੱਗੇ-ਪਿੱਛੇ ਜਾਣਾ ਸਮਝਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਿਖਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
10. ਮਿਸਾਲ 2
11. ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟਰਿਕਸ ਰੂਪ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਿਖਣਾ
12. ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟਰਿਕਸ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲੱਭੋ।
13. ਹੱਲ
14. ਜਦੋਂ ਕਾਲਮ ਚਲਾਂ x, y, ਅਤੇ z ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ,
15. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
16. ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟਰਿਕਸ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਿਖੋ।
17. ਮੈਟਰਿਕਸ ਉੱਤੇ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜ ਕਰਨਾ
18. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟਰਿਕਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਇੱਕ ਮੈਟਰਿਕਸ ਉੱਤੇ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜੋੜ, ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ, ਅਤੇ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ।
19. ਇੱਕ ਮੈਟਰਿਕਸ ਉੱਤੇ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜ ਕਰਨਾ ਉਹ ਵਿਧੀ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੈਟਰਿਕਸ ਨੂੰ ਕਤਾਰ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉੱਪਰ ਖੱਬੇ ਕੋਨੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਸੱਜੇ ਕੋਨੇ ਤੱਕ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਹਰ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
20. ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਮੈਟਰਿਕਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਤਾਰ-ਸਮਾਨ ਹੈ। ਕਤਾਰ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਥੇ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਹਨ।
21. ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ, ਪਹਿਲਾ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਨੰਬਰ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੁੱਖ 1 ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
22. ਕੋਈ ਵੀ ਸਾਰੀ-ਜ਼ੀਰੋ ਕਤਾਰਾਂ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਰੱਖੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
23. ਕੋਈ ਵੀ ਪ੍ਰਮੁੱਖ 1 ਪਿਛਲੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ 1 ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
24. ਕੋਈ ਵੀ ਕਾਲਮ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੁੱਖ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਸਾਰੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਾਂਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਰੋ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਅਤੇ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਿਛਲੀ ਬਦਲੀ ਕਰਨ ਲਈ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਰੋ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਰੋਆਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। (ਨੋਟੇਸ਼ਨ: R i ↔ R j)
ਇੱਕ ਰੋ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। (ਨੋਟੇਸ਼ਨ: c R i)
ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਇੱਕ ਰੋ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਰੋ ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। (ਨੋਟੇਸ਼ਨ: R i +c R j)
ਹਰੇਕ ਰੋ ਕਾਰਵਾਈ ਉਹਨਾਂ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਸਿੱਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਨਾਲ, ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਚਾਲਾਂ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਰੋ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਦੇ ਟੀਚੇ ਨੂੰ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਗੀਆਂ। ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਰੋ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗੌਸੀਅਨ ਵਿਲੋਪਨ, ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਪਹਿਲੀ ਐਂਟਰੀ ਵਜੋਂ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਰੋ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਰੋ 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਾਕੀ ਰੋਆਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ।
ਗੌਸੀਅਨ ਵਿਲੋਪਨ
ਗੌਸੀਅਨ ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਰੋ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਰਣਨੀਤੀ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਟੀਚਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਨੂੰ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਹੇਠਾਂ 1 ਦੇ ਅੰਕ ਨਾਲ ਲਿਖਣਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਸਾਰੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।
ਗੌਸੀਅਨ ਰਣਨੀਤੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਪਹਿਲੀ ਐਂਟਰੀ ਵਜੋਂ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ ਰੋ 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਰੋਆਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਰੋ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਰੋ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ 1 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਰੋਆਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
1 ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਐਂਟਰੀ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਰੋ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਰੋ 2, ਕਾਲਮ 2 ਵਿੱਚ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਰੋ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1 ਦੀ ਐਂਟਰੀ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਕਾਲਮ 2 ਵਿੱਚ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਰੋ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਰੋ 3, ਕਾਲਮ 3 ਵਿੱਚ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਰੋ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਸਾਰੀਆਂ ਰੋਆਂ ਲਈ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਹਰੇਕ ਐਂਟਰੀ ਵਿੱਚ 1 ਨਾ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਸਿਰਫ਼ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾ ਹੋਣ।
ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਰੋ ਸਾਰੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਨਾਲ ਭਰੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਰੱਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਗੌਸੀਅਨ ਵਿਲੋਪਨ ਦੁਆਰਾ 2×2 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਗੌਸੀਅਨ ਵਿਲੋਪਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਜੋਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਰੋ 1, ਕਾਲਮ 1 ਵਿੱਚ 1 ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਰੋ 1 ਅਤੇ ਰੋ 2 ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੁਣ ਰੋ 1, ਕਾਲਮ 1 ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੀ ਐਂਟਰੀ ਵਜੋਂ 1 ਹੈ। ਹੁਣ ਆਓ ਰੋ 2, ਕਾਲਮ 1 ਵਿੱਚ 0 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੀਏ। ਇਹ ਰੋ 1 ਨੂੰ −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਰੋ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਾਡਾ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕਦਮ ਹੈ, ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ 1/5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ।
ਪਿਛਲੀ-ਬਦਲੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ y=1 ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। y=1 ਨੂੰ ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਪਿਛਲੀ-ਬਦਲੀ ਕਰੋ।
ਹੱਲ ਬਿੰਦੂ (3/2, 1) ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਗੌਸੀਅਨ ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਗੌਸੀਅਨ ਖਾਤਮੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ 2x2 ਸਿਸਟਮ ਆਫ਼ ਇਕੁਏਸ਼ਨਜ਼ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਗੌਸੀਅਨ ਖਾਤਮੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਕਤਾਰ 1, ਕਾਲਮ 1 ਵਿੱਚ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ। ਇਹ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਨੂੰ 1/2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਕਤਾਰ 2, ਕਾਲਮ 1 ਵਿੱਚ 0 ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਕਤਾਰ 1 ਨੂੰ -4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 1 ਨੂੰ ਕਤਾਰ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਸਮੀਕਰਨ 0=4 ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਿਸਟਮ ਅਸੰਗਤ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਇੱਕ ਨਿਰਭਰ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਤਾਰ-ਇਚੇਲਨ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 'ਤੇ ਕਤਾਰ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰੋ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਆਖਰੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾਲ ਖਤਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: 0y=0। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਹੈ ਅਤੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਨਿਰਭਰ ਵਜੋਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਆਮ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਓ ਅਤੇ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਹੱਲ (x, 3 - 3/4 x) ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਕਤਾਰ-ਇਚੇਲਨ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ 3x3 ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 'ਤੇ ਕਤਾਰ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰਨਾ
ਕਤਾਰ-ਇਚੇਲਨ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 'ਤੇ ਕਤਾਰ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
1. ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ 1 ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਹੈ। ਅਗਲਾ ਕਦਮ ਕਤਾਰ 1 ਨੂੰ −2 −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਕਤਾਰ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜਨਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ ਨਤੀਜੇ ਨਾਲ ਬਦਲੋ।
2. ਅਗਲਾ, ਕਤਾਰ 3, ਕਾਲਮ 1 ਵਿੱਚ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
3. ਅਗਲਾ, ਕਤਾਰ 3, ਕਾਲਮ 2 ਵਿੱਚ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
4. ਆਖਰੀ ਕਦਮ ਕਤਾਰ 3, ਕਾਲਮ 3 ਵਿੱਚ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਹੈ।
5. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
6. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕਤਾਰ-ਪੌੜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
7. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
8. ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਵਧੀ ਹੋਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਲਿਖਣਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਕਤਾਰ-ਪੌੜੀ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜਾਂ ਅਤੇ ਪਿਛਲੀ ਬਦਲੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ। ਹੁਣ, ਅਸੀਂ 3 ਬਾਈ 3 ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਤਾਰ-ਪੌੜੀ ਰੂਪ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਦਮ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਲੈ ਜਾਵਾਂਗੇ। ਆਮ ਵਿਚਾਰ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਸਾਰਿਆਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਦੂਜੇ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਿਛਲੀ ਬਦਲੀ ਕਰਨੀ ਹੈ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 7
10. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
11. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
12. ਹੱਲ
13. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਵਧੀ ਹੋਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
14. ਅਗਲਾ, ਅਸੀਂ ਕਤਾਰ-ਪੌੜੀ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
15. ਕਤਾਰ 2, ਕਾਲਮ 2 ਵਿੱਚ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ R 2 R 2 ਅਤੇ R 3 . R 3 . ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਹੈ।
16. ਫਿਰ
17. ਆਖਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਬਰਾਬਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
18. ਪਿਛਲੀ ਬਦਲੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਹੱਲ ( 4,−3,1 ) ( 4,−3,1 ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
19. ਉਦਾਹਰਨ 8
20. ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਨਿਰਭਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
21. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
22. ਹੱਲ
23. ਵਧੀ ਹੋਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਲਿਖੋ।
24. ਪਹਿਲਾਂ, ਕਤਾਰ 1, ਕਾਲਮ 1 ਵਿੱਚ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਤਾਰ 1 ਨੂੰ −1 −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ, ਕਤਾਰ-ਪੌੜੀ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜ ਕਰੋ।
1. ਅੰਤਿਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
2. ਅਸੀਂ ਪਛਾਣ 0=0 0=0 ਦੁਆਰਾ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਨਿਰਭਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਆਮ ਹੱਲ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਥਾਨਾਪੰਨ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ z ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
3. ਹੁਣ ਅਸੀਂ z ਦੇ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ y ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਥਾਨਾਪੰਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
4. ਆਮ ਹੱਲ ( x, 2−2x 3 , 1−x 3 ) ਹੈ।
5. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
6. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
Q&A
7. ਕੀ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਕੋਈ ਵੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਗੌਸੀਅਨ ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ?
8. ਹਾਂ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਆਕਾਰ ਦੀ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਗੌਸੀਅਨ ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
9. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
10. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ।
11. ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ [A],[B],[C],... ਵਜੋਂ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰੋ।
12. ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਵਿੱਚ ref() ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਲੋੜ ਅਨੁਸਾਰ ਹਰੇਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਬੁਲਾਓ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 9
14. ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
15. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
16. ਹੱਲ
17. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਈ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਲਿਖੋ।
18. ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪੰਨੇ 'ਤੇ, ਉਪਰੋਕਤ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ [A] ਵਜੋਂ ਦਾਖਲ ਕਰੋ।
19. ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਵਿੱਚ ref() ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ [A] ਨੂੰ ਬੁਲਾਓ।
20. ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
21. ਪਿਛਲੀ ਸਥਾਪਨਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਹੱਲ ( 61 187 ,− 92 187 ,− 24 187 ) ਹੈ।
22. ਉਦਾਹਰਨ 10
23. 2 × 2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਵਿੱਤ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
24. ਕੈਰੋਲਿਨ ਦੋ ਮਿਉਂਸਪਲ ਬਾਂਡਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ $12,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇੱਕ 10.5% ਵਿਆਜ ਅਤੇ ਦੂਜਾ 12% ਵਿਆਜ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਪਿਛਲੇ ਸਾਲ ਦੋ ਨਿਵੇਸ਼ਾਂ 'ਤੇ ਕਮਾਇਆ ਗਿਆ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ $1,335 ਸੀ। ਹਰੇਕ ਦਰ 'ਤੇ ਕਿੰਨਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ?
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ x = 10.5% ਵਿਆਜ 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰਕਮ, ਅਤੇ y = 12% ਵਿਆਜ 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰਕਮ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਜੋਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਪੰਗਤੀ 1 ਨੂੰ −0.105 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ ਪੰਗਤੀ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
ਫਿਰ,
ਇਸ ਲਈ 12,000−5,000=7,000।
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $5,000 12% ਵਿਆਜ 'ਤੇ ਅਤੇ $7,000 10.5% ਵਿਆਜ 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਵਿੱਤ 'ਤੇ 3 × 3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਅਵਾ ਨੇ ਤਿੰਨ ਖਾਤਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ $10,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ, ਇੱਕ 5% ਵਿਆਜ ਦੇ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਦੂਜਾ 8% ਵਿਆਜ ਦੇ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਤੀਜਾ 9% ਵਿਆਜ ਦੇ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਪਿਛਲੇ ਸਾਲ ਤਿੰਨਾਂ ਨਿਵੇਸ਼ਾਂ 'ਤੇ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ $770 ਸੀ। 9% 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰਕਮ 5% 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰਕਮ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਸੀ। ਹਰ ਦਰ 'ਤੇ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ?
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ x 5% ਵਿਆਜ 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰਕਮ ਹੈ, ਮੰਨ ਲਓ y 8% ਵਿਆਜ 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰਕਮ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ z 9% ਵਿਆਜ 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰਕਮ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਜੋਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਰੋ-ਐਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗੌਸੀਅਨ ਖਾਤਮਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਤੀਜੀ ਪੰਗਤੀ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ − 1 3 z=−2,000; ਇਸ ਲਈ z=6,000।
ਦੂਜੀ ਪੰਗਤੀ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ y+ 4 3 z=9,000। z=6,000 ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਪਹਿਲੀ ਪੰਗਤੀ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ x+y+z=10,000। y=1,000 ਅਤੇ z=6,000 ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਜਵਾਬ ਹੈ 5% ਵਿਆਜ 'ਤੇ $3,000, 8% 'ਤੇ $1,000, ਅਤੇ 9% ਵਿਆਜ 'ਤੇ $6,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਜੁੱਤੀ ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਆਪਣੀ ਵਸਤੂ ਸੂਚੀ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਲਈ $1,500,000 ਦਾ ਕਰਜ਼ਾ ਲਿਆ। ਪੈਸੇ ਦਾ ਕੁਝ ਹਿੱਸਾ 7% 'ਤੇ, ਕੁਝ 8% 'ਤੇ, ਅਤੇ ਕੁਝ 10% 'ਤੇ ਉਧਾਰ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। 10% 'ਤੇ ਉਧਾਰ ਲਈ ਗਈ ਰਕਮ 7% 'ਤੇ ਉਧਾਰ ਲਈ ਗਈ ਰਕਮ ਤੋਂ ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਸੀ, ਅਤੇ ਤਿੰਨਾਂ ਕਰਜ਼ਿਆਂ 'ਤੇ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ $130,500 ਸੀ। ਹਰ ਦਰ 'ਤੇ ਉਧਾਰ ਲਈ ਗਈ ਰਕਮ ਲੱਭਣ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਗੌਸੀਅਨ ਖਾਤਮੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸੰਗ੍ਰਹਿਤ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਇੱਕ ਸੰਗ੍ਰਹਿਤ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
Augmented Matrices on the Calculator
Verbal
Can any system of linear equations be written as an augmented matrix? Explain why or why not. Explain how to write that augmented matrix.
Can any matrix be written as a system of linear equations? Explain why or why not. Explain how to write that system of equations.
Is there only one correct method of using row operations on a matrix? Try to explain two different row operations possible to solve the augmented matrix [ 9 3 1 −2 | 0 6 ]. [ 9 3 1 −2 | 0 6 ].
Can a matrix whose entry is 0 on the diagonal be solved? Explain why or why not. What would you do to remedy the situation?
Can a matrix that has 0 entries for an entire row have one solution? Explain why or why not.
Algebraic
For the following exercises, write the augmented matrix for the linear system.
8x−37y=8 2x+12y=3 8x−37y=8 2x+12y=3
16y=4 9x−y=2 16y=4 9x−y=2
3x+2y+10z=3 −6x+2y+5z=13 4x+z=18 3x+2y+10z=3 −6x+2y+5z=13 4x+z=18
x+5y+8z=19 12x+3y=4 3x+4y+9z=−7 x+5y+8z=19 12x+3y=4 3x+4y+9z=−7
6x+12y+16z=4 19x−5y+3z=−9 x+2y=−8 6x+12y+16z=4 19x−5y+3z=−9 x+2y=−8
For the following exercises, write the linear system from the augmented matrix.
[ −2 5 6 −18 | 5 26 ] [ −2 5 6 −18 | 5 26 ]
[ 3 4 10 17 | 10 439 ] [ 3 4 10 17 | 10 439 ]
[ 3 2 0 −1 −9 4 8 5 7 | 3 −1 8 ] [ 3 2 0 −1 −9 4 8 5 7 | 3 −1 8 ]
[ 8 29 1 −1 7 5 0 0 3 | 43 38 10 ] [ 8 29 1 −1 7 5 0 0 3 | 43 38 10 ]
[ 4 5 −2 0 1 58 8 7 −3 | 12 2 −5 ] [ 4 5 −2 0 1 58 8 7 −3 | 12 2 −5 ]
For the following exercises, solve the system by Gaussian elimination.
[ 1 0 0 0 | 3 0 ] [ 1 0 0 0 | 3 0 ]
[ 1 0 1 0 | 1 2 ] [ 1 0 1 0 | 1 2 ]
[ 1 2 4 5 | 3 6 ] [ 1 2 4 5 | 3 6 ]
[ −1 2 4 −5 | −3 6 ] [ −1 2 4 −5 | −3 6 ]
[ −2 0 0 2 | 1 −1 ] [ −2 0 0 2 | 1 −1 ]
2x−3y=−9 5x+4y=58 2x−3y=−9 5x+4y=58
6x+2y=−4 3x+4y=−17 6x+2y=−4 3x+4y=−17
2x+3y=12 4x+y=14 2x+3y=12 4x+y=14
−4x−3y=−2 3x−5y=−13 −4x−3y=−2 3x−5y=−13
−5x+8y=3 10x+6y=5 −5x+8y=3 10x+6y=5
3x+4y=12 −6x−8y=−24 3x+4y=12 −6x−8y=−24
−60x+45y=12 20x−15y=−4 −60x+45y=12 20x−15y=−4
11x+10y=43 15x+20y=65 11x+10y=43 15x+20y=65
2x−y=2 3x+2y=17 2x−y=2 3x+2y=17
−1.06x−2.25y=5.51 −5.03x−1.08y=5.40 −1.06x−2.25y=5.51 −5.03x−1.08y=5.40
3 4 x− 3 5 y=4 1 4 x+ 2 3 y=1 3 4 x− 3 5 y=4 1 4 x+ 2 3 y=1
1 4 x− 2 3 y=−1 1 2 x+ 1 3 y=3 1 4 x− 2 3 y=−1 1 2 x+ 1 3 y=3
[ 1 0 0 0 1 1 0 0 1 | 31 45 87 ] [ 1 0 0 0 1 1 0 0 1 | 31 45 87 ]
[ 1 0 1 1 1 0 0 1 1 | 50 20 −90 ] [ 1 0 1 1 1 0 0 1 1 | 50 20 −90 ]
[ 1 2 3 0 5 6 0 0 8 | 4 7 9 ] [ 1 2 3 0 5 6 0 0 8 | 4 7 9 ]
[ −0.1 0.3 −0.1 −0.4 0.2 0.1 0.6 0.1 0.7 | 0.2 0.8 −0.8 ] [ −0.1 0.3 −0.1 −0.4 0.2 0.1 0.6 0.1 0.7 | 0.2 0.8 −0.8 ]
−2x+3y−2z=3 4x+2y−z=9 4x−8y+2z=−6 −2x+3y−2z=3 4x+2y−z=9 4x−8y+2z=−6
x+y−4z=−4 5x−3y−2z=0 2x+6y+7z=30 x+y−4z=−4 5x−3y−2z=0 2x+6y+7z=30
2x+3y+2z=1 −4x−6y−4z=−2 10x+15y+10z=5 2x+3y+2z=1 −4x−6y−4z=−2 10x+15y+10z=5
x+2y−z=1 −x−2y+2z=−2 3x+6y−3z=5 x+2y−z=1 −x−2y+2z=−2 3x+6y−3z=5
x+2y−z=1 −x−2y+2z=−2 3x+6y−3z=3 x+2y−z=1 −x−2y+2z=−2 3x+6y−3z=3
x+y=2 x+z=1 −y−z=−3 x+y=2 x+z=1 −y−z=−3
x+y+z=100 x+2z=125 −y+2z=25 x+y+z=100 x+2z=125 −y+2z=25
1 4 x− 2 3 z=− 1 2 1 5 x+ 1 3 y= 4 7 1 5 y− 1 3 z= 2 9 1 4 x− 2 3 z=− 1 2 1 5 x+ 1 3 y= 4 7 1 5 y− 1 3 z= 2 9
− 1 2 x+ 1 2 y+ 1 7 z=− 53 14 1 2 x− 1 2 y+ 1 4 z=3 1 4 x+ 1 5 y+ 1 3 z= 23 15 − 1 2 x+ 1 2 y+ 1 7 z=− 53 14 1 2 x− 1 2 y+ 1 4 z=3 1 4 x+ 1 5 y+ 1 3 z= 23 15
− 1 2 x− 1 3 y+ 1 4 z=− 29 6 1 5 x+ 1 6 y− 1 7 z= 431 210 − 1 8 x+ 1 9 y+ 1 10 z=− 49 45 − 1 2 x− 1 3 y+ 1 4 z=− 29 6 1 5 x+ 1 6 y− 1 7 z= 431 210 − 1 8 x+ 1 9 y+ 1 10 z=− 49 45
Extensions
For the following exercises, use Gaussian elimination to solve the system.
x−1 7 + y−2 8 + z−3 4 =0 x+y+z=6 x+2 3 +2y+ z−3 3 =5 x−1 7 + y−2 8 + z−3 4 =0 x+y+z=6 x+2 3 +2y+ z−3 3 =5
x−1 4 − y+1 4 +3z=−1 x+5 2 + y+7 4 −z=4 x+y− z−2 2 =1 x−1 4 − y+1 4 +3z=−1 x+5 2 + y+7 4 −z=4 x+y− z−2 2 =1
x−3 4 − y−1 3 +2z=−1 x+5 2 + y+5 2 + z+5 2 =8 x+y+z=1 x−3 4 − y−1 3 +2z=−1 x+5 2 + y+5 2 + z+5 2 =8 x+y+z=1
x−3 10 + y+3 2 −2z=3 x+5 4 − y−1 8 +z= 3 2 x−1 4 + y+4 2 +3z= 3 2 x−3 10 + y+3 2 −2z=3 x+5 4 − y−1 8 +z= 3 2 x−1 4 + y+4 2 +3z= 3 2
x−3 4 − y−1 3 +2z=−1 x+5 2 + y+5 2 + z+5 2 =7 x+y+z=1 x−3 4 − y−1 3 +2z=−1 x+5 2 + y+5 2 + z+5 2 =7 x+y+z=1
Real-World Applications
For the following exercises, set up the augmented matrix that describes the situation, and solve for the desired solution.
Every day, Angeni's cupcake store sells 5,000 cupcakes in chocolate and vanilla flavors. If the chocolate flavor is 3 times as popular as the vanilla flavor, how many of each cupcake does the store sell per day?
At Bakari's competing cupcake store, $4,520 worth of cupcakes are sold daily. The chocolate cupcakes cost $2.25 and the red velvet cupcakes cost $1.75. If the total number of cupcakes sold per day is 2,200, how many of each flavor are sold each day?
You invested $10,000 into two accounts: one that has simple 3% interest, the other with 2.5% interest. If your total interest payment after one year was $283.50, how much was in each account after the year passed?
You invested $2,300 into account 1, and $2,700 into account 2. If the total amount of interest after one year is $254, and account 2 has 1.5 times the interest rate of account 1, what are the interest rates? Assume simple interest rates.
Bikes’R’Us manufactures bikes, which sell for $250. It costs the manufacturer $180 per bike, plus a startup fee of $3,500. After how many bikes sold will the manufacturer break even?
A major appliance store has agreed to order vacuums from a startup founded by college engineering students. The store would be able to purchase the vacuums for $86 each, with a delivery fee of $9,200, regardless of how many vacuums are sold. If the store needs to start seeing a profit after 230 units are sold, how much should they charge for the vacuums?
The three most popular ice cream flavors are chocolate, strawberry, and vanilla, comprising 83% of the flavors sold at an ice cream shop. If vanilla sells 1% more than twice strawberry, and chocolate sells 11% more than vanilla, how much of the total ice cream consumption are the vanilla, chocolate, and strawberry flavors?
At an ice cream shop, three flavors are increasing in demand. Last year, banana, pumpkin, and rocky road ice cream made up 12% of total ice cream sales. This year, the same three ice creams made up 16.9% of ice cream sales. The rocky road sales doubled, the banana sales increased by 50%, and the pumpkin sales increased by 20%. If the rocky road ice cream had one less percent of sales than the banana ice cream, find out the percentage of ice cream sales each individual ice cream made last year.
A bag of mixed nuts contains cashews, pistachios, and almonds. There are 1,000 total nuts in the bag, and there are 100 less almonds than pistachios. The cashews weigh 3 g, pistachios weigh 4 g, and almonds weigh 5 g. If the bag weighs 3.7 kg, find out how many of each type of nut is in the bag.
ਮਿਸ਼ਰਤ ਬਦਾਮਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਥੈਲੀ ਵਿੱਚ ਕਾਜੂ, ਪਿਸਤਾ ਅਤੇ ਬਦਾਮ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਥੈਲੀ ਵਿੱਚ 900 ਬਦਾਮ ਸਨ। ਬਦਾਮਾਂ ਦਾ 30%, ਕਾਜੂਆਂ ਦਾ 20% ਅਤੇ ਪਿਸਤਿਆਂ ਦਾ 10% ਖਾਧਾ ਗਿਆ, ਅਤੇ ਹੁਣ ਥੈਲੀ ਵਿੱਚ 770 ਬਦਾਮ ਬਚੇ ਹਨ। ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਬਦਾਮਾਂ ਨਾਲੋਂ 100 ਕਾਜੂ ਵੱਧ ਸਨ। ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਥੈਲੀ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਬਦਾਮ ਸਨ।