ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ।
ਉਲਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸੋਰੀਆ ਨੇ ਆਪਣੇ ਜੋਖਮ ਨੂੰ ਵੰਡਣ ਲਈ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਬਾਂਡਾਂ ਵਿੱਚ $10,500 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਈ ਹੈ। ਪਹਿਲੇ ਬਾਂਡ ਦਾ ਸਾਲਾਨਾ 10% ਰਿਟਰਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਬਾਂਡ ਦਾ ਸਾਲਾਨਾ 6% ਰਿਟਰਨ ਹੈ। ਦੋ ਬਾਂਡਾਂ ਤੋਂ 8.5% ਰਿਟਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸੋਰੀਆ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਬਾਂਡ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ? ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਤਰੀਕਾ ਕਿਹੜਾ ਹੈ?
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਵਿੱਤ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਉਪਯੋਗੀ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਾਂਡ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਸਾਧਨ ਹੋਣਗੇ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ $a$ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ $a^{-1}$ ਹੈ, ਅਤੇ $aa^{-1} = a^{-1}a = 1$. ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $2^{-1} = \frac{1}{2}$ ਅਤੇ $(\frac{1}{2})2 = 1$. ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਸੰਕਲਪ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $A$ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ $A^{-1}$ ਦਾ ਗੁਣਫਲ ਪਛਾਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਛਾਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਸਾਰੀਆਂ ਥਾਵਾਂ 'ਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪਛਾਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ $I_n$ ਦੁਆਰਾ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ $n$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਆਯਾਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖੋ।
ਪਛਾਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਲਜਬਰਾ ਵਿੱਚ 1 ਵਾਂਗ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $AI = IA = A$.
ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜਿਸਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਗੁਣ ਰੱਖਦਾ ਹੈ
ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜਿਸਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਉਲਟਾਉਣ ਯੋਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਲਟਾਉਣਯੋਗਤਾ, $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, ਇੱਕ ਲੋੜ ਹੈ। ਸਾਰੇ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਪਰ ਜੇ $A$ ਉਲਟਾਉਣ ਯੋਗ ਹੈ, ਤਾਂ $A^{-1}$ ਵਿਲੱਖਣ ਹੈ। ਅਸੀਂ $2 \times 2$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਤੀਜੇ ਤਰੀਕੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ $2 \times 2$ ਅਤੇ $3 \times 3$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੋਵਾਂ 'ਤੇ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪਛਾਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ
ਪਛਾਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ, $I_n$, ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਸਾਰੀਆਂ ਥਾਵਾਂ 'ਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਜੇ $A$ ਇੱਕ $n \times n$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਅਤੇ $B$ ਇੱਕ $n \times n$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $AB = BA = I_n$, ਤਾਂ $B = A^{-1}$, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $A$ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਕਿ ਪਛਾਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 1 ਵਾਂਗ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $A$ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਦਿਖਾਓ ਕਿ $AI = IA = A$.
ਹੱਲ
ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ $A$ ਅਤੇ ਪਛਾਣ ਦਾ ਗੁਣਫਲ ਪਛਾਣ ਅਤੇ $A$ ਦੇ ਗੁਣਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਹੈ।
$n \times n$ ਆਰਡਰ ਦਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $A$ ਅਤੇ $n \times n$ ਆਰਡਰ ਦਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $B$ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, $AB$ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਜੇ $AB = I$, ਤਾਂ $BA$ ਦਾ ਗੁਣਫਲ ਲੱਭੋ। ਜੇ $BA = I$, ਤਾਂ $B = A^{-1}$ ਅਤੇ $A = B^{-1}$।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਇਹ ਦਰਸਾਉਣਾ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ B ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਹੈ।
ਇਹ ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਹਨ।
ਹੱਲ
AB ਅਤੇ BA ਦਾ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਦੋਵੇਂ ਗੁਣਾਂਕ ਤਤਸਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (identity matrix) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹਨ।
A ਅਤੇ B ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਇਹ ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹਨ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉਲਟ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਪਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਿਆ ਜਾਵੇ? ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਉਲਟ ਦਾ ਗੁਣਫਲ ਤਤਸਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਕੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਵਿਧੀ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅਣਜਾਣ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਵਾਲੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੁਆਰਾ A ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਤਤਸਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਬਰਾਬਰ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਗੁਣਫਲ ਲੱਭੋ।
ਅੱਗੇ, ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਨਵੇਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ, ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਦਾ ਐਂਟਰੀ ਤਤਸਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਐਂਟਰੀ, 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ। ਨਵੇਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ, ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਦਾ ਐਂਟਰੀ ਤਤਸਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਐਂਟਰੀ, ਜੋ ਕਿ 0 ਹੈ, ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
ਰੋ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਜੋੜ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਰੋ: (−2) R1 + R2 → R2। ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ, ਅਤੇ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
a ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਬੈਕ-ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ।
ਨਵੇਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ, ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਦਾ ਐਂਟਰੀ ਤਤਸਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਐਂਟਰੀ, 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ। ਨਵੇਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ, ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਦਾ ਐਂਟਰੀ ਤਤਸਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਐਂਟਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
ਰੋ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਜੋੜ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਰੋ: (−2) R1 + R2 = R2। ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ d ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇਕ ਵਾਰ ਫਿਰ, ਬੈਕ-ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ ਅਤੇ b ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਤਤਸਮ ਨਾਲ ਵਧਾ ਕੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ
ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਲੱਭਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਤਤਸਮ ਨਾਲ ਵਧਾ ਕੇ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਨੂੰ I ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ I, A⁻¹ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ
ਏ ਏ ਨੂੰ ਤਾਦਾਤਮਿਕਤਾ ਨਾਲ ਵਧਾਓ।
ਏ ਏ ਨੂੰ ਤਾਦਾਤਮਿਕਤਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ ਨਾਲ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜ ਕਰੋ।
ਕਤਾਰ 1 ਅਤੇ ਕਤਾਰ 2 ਬਦਲੋ। [ 5 3 2 1 | 0 1 1 0 ] [ 5 3 2 1 | 0 1 1 0 ]
ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ −2 −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। [ 1 1 2 1 | −2 1 1 0 ] [ 1 1 2 1 | −2 1 1 0 ]
ਕਤਾਰ 1 ਨੂੰ −2 −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। [ 1 1 0 −1 | −2 1 5 −2 ] [ 1 1 0 −1 | −2 1 5 −2 ]
ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ ਕਤਾਰ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। [ 1 0 0 −1 | 3 −1 5 −2 ] [ 1 0 0 −1 | 3 −1 5 −2 ]
ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। −1. [ 1 0 0 1 | 3 −1 −5 2 ] [ 1 0 0 1 | 3 −1 −5 2 ]
ਜੋ ਮੈਟਰਿਕਸ ਅਸੀਂ ਲੱਭਿਆ ਹੈ ਉਹ ਏ −1 ਹੈ। ਏ −1।
2×2 ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਣਾ
ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ 2×2 2×2 ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਮੈਟਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਜਾਂ ਤਾਦਾਤਮਿਕਤਾ ਨਾਲ ਵਧਾਉਣ ਦੀ ਬਜਾਏ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇ ਏ ਏ ਇੱਕ 2×2 2×2 ਮੈਟਰਿਕਸ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ
ਏ ਏ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ ad−bc≠0। ad−bc≠0। ਜੇ ad−bc=0, ad−bc=0, ਤਾਂ ਏ ਏ ਦਾ ਕੋਈ ਉਲਟ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਮੈਟਰਿਕਸ ਏ ਦੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਹੱਲ
ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਹੋਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਏ ਏ ਨੂੰ ਤਾਦਾਤਮਿਕਤਾ ਨਾਲ ਵਧਾਓ।
ਏ ਏ ਨੂੰ ਤਾਦਾਤਮਿਕਤਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ ਨਾਲ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜ ਕਰੋ।
ਕਤਾਰ 1 ਨੂੰ −2 −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। [ 1 −2 0 1 | 1 0 −2 1 ] [ 1 −2 0 1 | 1 0 −2 1 ]
ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। [ 1 0 0 1 | −3 2 −2 1 ] [ 1 0 0 1 | −3 2 −2 1 ]
ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਅਸਲ ਹੱਲ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕੀਤੀ ਹੈ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #2
2. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਦੇ ਉਲਟ (inverse) ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇਸਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਵਧਾਓ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 5
4. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਮੌਜੂਦ ਹੈ
5. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
6. ਹੱਲ
7. ਅਸੀਂ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਨਾਲ ਵਧਾਉਣ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
8. ਪੰਕਤੀ 1 ਅਤੇ ਪੰਕਤੀ 2 ਨੂੰ ਬਦਲੋ। [ 1 3 3 2 | 0 1 1 0 ] [ 1 3 3 2 | 0 1 1 0 ]
9. ਪੰਕਤੀ 1 ਨੂੰ −3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਪੰਕਤੀ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। [ 1 2 0 0 | 1 0 −3 1 ] [ 1 2 0 0 | 1 0 −3 1 ]
10. ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੋਂ ਅੱਗੇ ਕੁਝ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਪੰਕਤੀ 2 ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਇਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਕੋਈ ਉਲਟ ਨਹੀਂ ਹੈ।
11. 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਸਿਸ ਦੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ (multiplicative inverse) ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
12. ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਰਗਾ ਕੋਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕੇ। ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਵਧਾਵਾਂਗੇ ਅਤੇ ਉਲਟ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਪੰਕਤੀ ਸੰਚਾਲਨ (row operations) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
13. ਇੱਕ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
14. A ਨੂੰ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਵਧਾਓ
15. ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ A ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਰੱਖ ਕੇ ਵਧਿਆ ਹੋਇਆ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਪ੍ਰਾਇਮਰੀ ਪੰਕਤੀ ਸੰਚਾਲਨ (elementary row operations) ਕਰਕੇ ਜਦੋਂ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਉਲਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਇਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਾਂਗੇ।
16. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
17. ਇੱਕ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਲਟ ਲੱਭੋ
18. ਮੂਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਵਧਾ ਕੇ ਲਿਖੋ।
19. ਪ੍ਰਾਇਮਰੀ ਪੰਕਤੀ ਸੰਚਾਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇ।
20. ਜੋ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਉਹ ਮੂਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ।
21. ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ A A⁻¹ =I ਅਤੇ A⁻¹ A=I।
22. ਉਦਾਹਰਨ 6
23. ਇੱਕ 3 × 3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ
24. ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A, ਇਸਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
A A ਨੂੰ ਤਤਸਮ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਵਧਾਓ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਰੋ ਆਪਰੇਸ਼ਨ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A A ਨੂੰ ਬਦਲ ਨਾ ਦੇਵੇ। ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A A ਦਾ ਵਿਲੋਮ ਹੋਵੇਗਾ।
ਇਸ ਲਈ,
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ B= A −1 , ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਗੁਣਫਲ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਜੇਕਰ A A −1 =I ਅਤੇ A −1 A=I।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਵਿਲੋਮ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਨਵੇਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: X X ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ B B ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿੰਨੇ ਚਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਲੋਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, A A ਨੂੰ ਗੁਣਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ, X X ਨੂੰ ਚਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ B B ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਮੰਨੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ AX=B ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਦੇਖੋ।
ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਤੋਂ, ਗੁਣਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ
ਚਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ
ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ
Then AX=B AX=B looks like
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਹੋਈ ਚਰਚਾ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਵਿਲੋਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ( 2 −1 )2=( 1 2 )2=1। x ਲਈ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ax=b ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ a ਦੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਵਿਲੋਮ (ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਵਿਲੋਮ ਲੱਭਣਾ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਇੱਕ ਲੰਮੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਟੀਚਾ ਉਹੀ ਹੈ—ਚਲ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨਾ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਦੀ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ, ਪਰ 2×2 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਫਿਰ 3×3 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵੱਲ ਵਧਣਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੈ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਗੁਣਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A, ਚਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ X, ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ B ਲਿਖੋ। ਫਿਰ
ਹੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ A ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਨਾਲ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
Q&A
ਜੇਕਰ ਗੁਣਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਵਿਲੋਮ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ?
ਨਹੀਂ, ਜੇਕਰ ਗੁਣਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿਲੋਮਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅਸੰਗਤ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ, ਜਾਂ ਨਿਰਭਰ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 2 × 2 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
1. ਹੱਲ
2. ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੁਣਾਂਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ, ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
3. ਫਿਰ
4. ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ A −1 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। A −1 । 2x2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟਾ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
5. ਇਸ ਲਈ,
6. ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ A −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। A −1 ।
7. ਹੱਲ (−1,1) ਹੈ। (−1,1)।
Q&A
8. ਕੀ ਅਸੀਂ B A −1 ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਲੱਭ ਕੇ X ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? B A −1 ?
9. ਨਹੀਂ, ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ A −1 B ≠ B A −1 । A −1 B ≠ B A −1 । ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕਦਮਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
10. ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਕਦਮ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ A −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ, A −1 , ਪਰ A −1 A −1 ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ A 'ਤੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸੀ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ B 'ਤੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸੀ। ਕਿਉਂਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕ੍ਰਮ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 8
12. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 3x3 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
13. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
14. ਹੱਲ
Write the equation AX=B. AX=B.
15. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਪਛਾਣ ਨਾਲ ਵਧਾ ਕੇ A ਦਾ ਉਲਟਾ ਪਾਵਾਂਗੇ।
16. ਕਤਾਰ 1 ਨੂੰ 1/5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। 1/5।
17. ਕਤਾਰ 1 ਨੂੰ 4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
18. ਕਤਾਰ 1 ਨੂੰ ਕਤਾਰ 3 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
19. ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ -3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
20. ਕਤਾਰ 3 ਨੂੰ 5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
21. ਕਤਾਰ 3 ਨੂੰ 1/5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। 1/5
22. ਕਤਾਰ 3 ਨੂੰ -19/5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। -19/5
23. ਇਸ ਲਈ,
24. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ A −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। A −1 । ਅਸੀਂ A −1 AX = A −1 B ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ: A −1 AX = A −1 B:
ਇਉਂ,
ਹੱਲ ( 1,2,0 ) ਹੈ। ( 1,2,0 )।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਗੁਣਾਂਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟ (inverse) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਿਵੇਂ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇਨਵਰਸ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਗੁਣਾਂਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ [ A ] [ A ] ਅਤੇ [ B ]। [ B ] ਵਜੋਂ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰੋ।
Enter the multiplication into the calculator, calling up each matrix variable as needed.
ਜੇ ਗੁਣਾਂਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇਨਵਰਟੀਬਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਹੱਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪੇਸ਼ ਕਰੇਗਾ; ਜੇ ਗੁਣਾਂਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇਨਵਰਟੀਬਲ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਇੱਕ ਗਲਤੀ ਸੰਦੇਸ਼ ਪੇਸ਼ ਕਰੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇਨਵਰਸ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇਨਵਰਸ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਹੱਲ
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪੰਨੇ 'ਤੇ, ਗੁਣਾਂਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ [ A ], [ A ] ਵਜੋਂ ਦਾਖਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ [ B ]। [ B ] ਵਜੋਂ ਦਾਖਲ ਕਰੋ।
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਹੋਮ ਸਕ੍ਰੀਨ 'ਤੇ, X, X ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਾ ਟਾਈਪ ਕਰੋ, ਲੋੜ ਅਨੁਸਾਰ ਹਰੇਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਬੁਲਾਓ।
ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਇਨਵਰਸ ਨਾਲ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ
ਇਨਵਰਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਮੌਖਿਕ
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਭਾਵ, ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ AB≠BA AB≠BA। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਸਮਝਾ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇਨਵਰਸ ਲਈ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਕਿਉਂ ਹੈ, ਭਾਵ, A −1 A=A A −1 ? A −1 A=A A −1 ?
ਕੀ ਹਰ 2×2 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ। ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਇਨਵਰਸ ਦੇ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ ਲਈ ਕਿਹੜੀ ਸ਼ਰਤ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ।
ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਸਮਝਾ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਕੀ ਸਿਫਰਾਂ ਦੀ ਪੂਰੀ ਕਤਾਰ ਵਾਲੇ 2×2 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਕੀ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਪੂਰੇ ਕਾਲਮ ਵਾਲੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਇਸਦੇ ਕਾਰਨ ਦੱਸੋ।
ਕੀ ਵਿਕਰਨ (diagonal) 'ਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਵਾਲੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ। ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਇਸਦੇ ਕਾਰਨ ਸਿੱਧ ਕਰੋ। ਸਰਲਤਾ ਲਈ, 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਮੰਨੋ।
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ B ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਹੈ।
A=[ 1 0 −1 1 ],B=[ 1 0 1 1 ]
A=[ 1 2 3 4 ],B=[ −2 1 3 2 − 1 2 ]
A=[ 4 5 7 0 ],B=[ 0 1 7 1 5 − 4 35 ]
A=[ −2 1 2 3 −1 ],B=[ −2 −1 −6 −4 ]
A=[ 1 0 1 0 1 −1 0 1 1 ],B= 1 2 [ 2 1 −1 0 1 1 0 −1 1 ]
A=[ 1 2 3 4 0 2 1 6 9 ],B= 1 4 [ 6 0 −2 17 −3 −5 −12 2 4 ]
A=[ 3 8 2 1 1 1 5 6 12 ],B= 1 36 [ −6 84 −6 7 −26 1 −1 −22 5 ]
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਇਨਵਰਸ (multiplicative inverse) ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
[ 3 −2 1 9 ]
[ −2 2 3 1 ]
[ −3 7 9 2 ]
[ −4 −3 −5 8 ]
[ 1 1 2 2 ]
[ 0 1 1 0 ]
[ 0.5 1.5 1 −0.5 ]
[ 1 0 6 −2 1 7 3 0 2 ]
[ 0 1 −3 4 1 0 1 0 5 ]
[ 1 2 −1 −3 4 1 −2 −4 −5 ]
[ 1 9 −3 2 5 6 4 −2 7 ]
[ 1 −2 3 −4 8 −12 1 4 2 ]
[ 1 2 1 2 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 ] [ 1 2 1 2 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 ]
[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ]
For the following exercises, solve the system using the inverse of a 2×2 2×2 matrix.
5x−6y=−61 4x+3y=−2 5x−6y=−61 4x+3y=−2
8x+4y=−100 3x−4y=1 8x+4y=−100 3x−4y=1
3x−2y=6 −x+5y=−2 3x−2y=6 −x+5y=−2
5x−4y=−5 4x+y=2.3 5x−4y=−5 4x+y=2.3
−3x−4y=9 12x+4y=−6 −3x−4y=9 12x+4y=−6
−2x+3y= 3 10 −x+5y= 1 2 −2x+3y= 3 10 −x+5y= 1 2
8 5 x− 4 5 y= 2 5 − 8 5 x+ 1 5 y= 7 10 8 5 x− 4 5 y= 2 5 − 8 5 x+ 1 5 y= 7 10
1 2 x+ 1 5 y=− 1 4 1 2 x− 3 5 y=− 9 4 1 2 x+ 1 5 y=− 1 4 1 2 x− 3 5 y=− 9 4
For the following exercises, solve a system using the inverse of a 3×3 3×3 matrix.
3x−2y+5z=21 5x+4y=37 x−2y−5z=5 3x−2y+5z=21 5x+4y=37 x−2y−5z=5
4x+4y+4z=40 2x−3y+4z=−12 −x+3y+4z=9 4x+4y+4z=40 2x−3y+4z=−12 −x+3y+4z=9
6x−5y−z=31 −x+2y+z=−6 3x+3y+2z=13 6x−5y−z=31 −x+2y+z=−6 3x+3y+2z=13
6x−5y+2z=−4 2x+5y−z=12 2x+5y+z=12 6x−5y+2z=−4 2x+5y−z=12 2x+5y+z=12
4x−2y+3z=−12 2x+2y−9z=33 6y−4z=1 4x−2y+3z=−12 2x+2y−9z=33 6y−4z=1
1 10 x− 1 5 y+4z= −41 2 1 5 x−20y+ 2 5 z=−101 3 10 x+4y− 3 10 z=23 1 10 x− 1 5 y+4z= −41 2 1 5 x−20y+ 2 5 z=−101 3 10 x+4y− 3 10 z=23
1 2 x− 1 5 y+ 1 5 z= 31 100 − 3 4 x− 1 4 y+ 1 2 z= 7 40 − 4 5 x− 1 2 y+ 3 2 z= 1 4 1 2 x− 1 5 y+ 1 5 z= 31 100 − 3 4 x− 1 4 y+ 1 2 z= 7 40 − 4 5 x− 1 2 y+ 3 2 z= 1 4
0.1x+0.2y+0.3z=−1.4 0.1x−0.2y+0.3z=0.6 0.4y+0.9z=−2 0.1x+0.2y+0.3z=−1.4 0.1x−0.2y+0.3z=0.6 0.4y+0.9z=−2
Technology
For the following exercises, use a calculator to solve the system of equations with matrix inverses.
2x−y=−3 −x+2y=2.3 2x−y=−3 −x+2y=2.3
− 1 2 x− 3 2 y=− 43 20 5 2 x+ 11 5 y= 31 4 − 1 2 x− 3 2 y=− 43 20 5 2 x+ 11 5 y= 31 4
੧੨.੩x−੨y−੨.੫z=੨ ੩੬.੯x+੭y−੭.੫z=−੭ ੮y−੫z=−੧੦ ੧੨.੩x−੨y−੨.੫z=੨ ੩੬.੯x+੭y−੭.੫z=−੭ ੮y−੫z=−੧੦
੦.੫x−੩y+੬z=−੦.੮ ੦.੭x−੨y=−੦.੦੬ ੦.੫x+੪y+੫z=੦ ੦.੫x−੩y+੬z=−੦.੮ ੦.੭x−੨y=−੦.੦੬ ੦.੫x+੪y+੫z=੦
1. ਵਿਸਤਾਰ
1. ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
[ ੧੦੧੦੦੧੦੧੦੧੧੦੦੦੧੧ ] [ ੧੦੧੦੦੧੦੧੦੧੧੦੦੦੧੧ ]
[ −1 0 2 5 0 0 0 2 0 2 −1 0 1 −3 0 1 ] [ −1 0 2 5 0 0 0 2 0 2 −1 0 1 −3 0 1 ]
[ ੧ −੨ ੩ ੦ ੦ ੧ ੦ ੨ ੧ ੪ −੨ ੩ −੫ ੦ ੧ ੧ ] [ ੧ −੨ ੩ ੦ ੦ ੧ ੦ ੨ ੧ ੪ −੨ ੩ −੫ ੦ ੧ ੧ ]
[ ੧ ੨ ੦ ੨ ੩ ੦ ੨ ੧ ੦ ੦ ੦ ੦ ੩ ੦ ੧ ੦ ੨ ੦ ੦ ੧ ੦ ੦ ੧ ੨ ੦ ] [ ੧ ੨ ੦ ੨ ੩ ੦ ੨ ੧ ੦ ੦ ੦ ੦ ੩ ੦ ੧ ੦ ੨ ੦ ੦ ੧ ੦ ੦ ੧ ੨ ੦ ]
[ ੧੦੦੦੦੦੦੧੦੦੦੦੦੦੧੦੦੦੦੦੦੧੦੦੦੦੦੦੧੦੧੧੧੧੧੧ ] [ ੧੦੦੦੦੦੦੧੦੦੦੦੦੦੧੦੦੦੦੦੦੧੦੦੦੦੦੦੧੦੧੧੧੧੧੧ ]
1. ਵਾਸਤਵਿਕ-ਜਗਤ-ਉਪਯੋਗ
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ, ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟ (inverse) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
2,400 ਟਿਕਟਾਂ ਇੱਕ ਬਾਸਕਟਬਾਲ ਖੇਡ ਲਈ ਵਿਕੀਆਂ। ਜੇ ਫਲੋਰ 1 ਅਤੇ ਫਲੋਰ 2 ਦੇ ਭਾਅ ਵੱਖਰੇ ਸਨ, ਅਤੇ ਕੁੱਲ ਲਿਆਂਦੀ ਗਈ ਰਕਮ $64,000 ਸੀ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਟਿਕਟ ਦਾ ਭਾਅ ਕਿੰਨਾ ਸੀ?
1. ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ ਕਿ ਫਲੋਰ 2 ਲਈ ਫਲੋਰ 1 ਨਾਲੋਂ 400 ਟਿਕਟਾਂ ਵੱਧ ਵਿਕੀਆਂ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਟਿਕਟ ਦੀ ਕੀਮਤ ਕਿੰਨੀ ਸੀ?
ਦੋ ਵੱਖਰੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਡੱਬਾਬੰਦ ਭੋਜਨ, ਹਰੀਆਂ ਫਲੀਆਂ ਅਤੇ ਕਿਡਨੀ ਫਲੀਆਂ, ਇਕੱਠੀਆਂ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ। ਇਕੱਠੇ ਕੀਤੇ ਡੱਬਿਆਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ 350 ਸੀ ਅਤੇ ਦਾਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਾਰੇ ਭੋਜਨ ਦਾ ਕੁੱਲ ਭਾਰ 348 ਪੌਂਡ, 12 ਔਂਸ ਸੀ। ਜੇ ਹਰੀਆਂ ਫਲੀਆਂ ਵਾਲੇ ਡੱਬੇ ਕਿਡਨੀ ਫਲੀਆਂ ਵਾਲੇ ਡੱਬਿਆਂ ਨਾਲੋਂ 2 ਔਂਸ ਘੱਟ ਭਾਰ ਦੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਡੱਬੇ ਦਾਨ ਕੀਤੇ ਗਏ?
1. ਜਮਾਤ ਵਿੱਚ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੂੰ ਆਪਣਾ ਮਨਪਸੰਦ ਫਲ ਲਿਆਉਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਫਲਾਂ ਦਾ 95% ਕੇਲਾ, ਸੇਬ ਅਤੇ ਸੰਤਰੇ ਸਨ। ਜੇਕਰ ਸੰਤਰੇ ਕੇਲਿਆਂ ਨਾਲੋਂ ਦੁੱਗਣੇ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਸਨ, ਅਤੇ ਸੇਬ ਕੇਲਿਆਂ ਨਾਲੋਂ 5% ਘੱਟ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਸਨ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਫਲ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ ਕੀ ਹੈ?
ਨਰਸਿੰਗ ਕਲੱਬ ਨੇ ਪੈਸੇ ਇਕੱਠੇ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਬੇਕ ਸੇਲ (ਕੇਕ ਆਦਿ ਵੇਚਣ ਦਾ ਸਮਾਗਮ) ਦਾ ਆਯੋਜਨ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਬ੍ਰਾਊਨੀਆਂ ਅਤੇ ਚਾਕਲੇਟ ਚਿੱਪ ਕੁਕੀਜ਼ ਵੇਚੀਆਂ। ਉਹਨਾਂ ਨੇ ਬ੍ਰਾਊਨੀਆਂ ਦੀ ਕੀਮਤ $1 ਅਤੇ ਚਾਕਲੇਟ ਚਿੱਪ ਕੁਕੀਜ਼ ਦੀ ਕੀਮਤ $0.75 ਰੱਖੀ। ਉਹਨਾਂ ਨੇ $700 ਇਕੱਠੇ ਕੀਤੇ ਅਤੇ 850 ਵਸਤੂਆਂ ਵੇਚੀਆਂ। ਕਿੰਨੀਆਂ ਬ੍ਰਾਊਨੀਆਂ ਅਤੇ ਕਿੰਨੀਆਂ ਕੁਕੀਜ਼ ਵੇਚੀਆਂ ਗਈਆਂ?
ਕਪੜਿਆਂ ਦੀ ਦੁਕਾਨ ਨੂੰ ਨਵਾਂ ਸਟਾਕ ਮੰਗਵਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਵਿਕਰੀ ਲਈ ਤਿੰਨ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਟੋਪੀਆਂ ਹਨ: ਤੂੜੀ ਦੀਆਂ ਟੋਪੀਆਂ, ਬੀਨੀਆਂ, ਅਤੇ ਕਾਊਬੁਆਏ ਟੋਪੀਆਂ। ਤੂੜੀ ਦੀ ਟੋਪੀ ਦਾ ਮੁੱਲ $13.99, ਬੀਨੀ ਦਾ $7.99, ਅਤੇ ਕਾਊਬੁਆਏ ਟੋਪੀ ਦਾ $14.49 ਹੈ। ਜੇ ਪਿਛਲੇ ਤਿਮਾਹੀ ਵਿੱਚ 100 ਟੋਪੀਆਂ ਵਿਕੀਆਂ, $1,119 ਦੀ ਵਿਕਰੀ ਹੋਈ, ਅਤੇ ਕਾਊਬੁਆਏ ਟੋਪੀਆਂ ਨਾਲੋਂ 10 ਵੱਧ ਬੀਨੀਆਂ ਵਿਕੀਆਂ, ਤਾਂ ਦੁਕਾਨ ਨੂੰ ਵਿਕੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਟੋਪੀਆਂ ਦੀ ਥਾਂ 'ਤੇ ਹਰੇਕ ਕਿਸਮ ਦੀ ਕਿੰਨੀ-ਕਿੰਨੀ ਮੰਗਵਾਉਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ?
1. ਅੰਨਾ, ਪਰਸੀ ਅਤੇ ਮੋਰਗਨ ਦਾ ਕੁੱਲ ਵਜ਼ਨ 370 ਪੌਂਡ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਮੋਰਗਨ ਦਾ ਵਜ਼ਨ ਪਰਸੀ ਨਾਲੋਂ 20 ਪੌਂਡ ਵੱਧ ਹੈ, ਅਤੇ ਅੰਨਾ ਦਾ ਵਜ਼ਨ ਪਰਸੀ ਦੇ ਵਜ਼ਨ ਦਾ 1.5 ਗੁਣਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀ ਦਾ ਵਜ਼ਨ ਕਿੰਨਾ ਹੈ?
ਤਿੰਨ ਸਹਿ-ਨਿਵਾਸੀਆਂ ਨੇ 12 ਆਈਸ ਕਰੀਮ ਬਾਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਪੈਕ ਸਾਂਝਾ ਕੀਤਾ, ਪਰ ਕਿਸੇ ਨੂੰ ਯਾਦ ਨਹੀਂ ਕਿ ਕਿਸ ਨੇ ਕਿੰਨੀਆਂ ਖਾਧੀਆਂ। ਜੇ ਮਾਈਕਾ ਨੇ ਜੋਅ ਨਾਲੋਂ ਦੁੱਗਣੀਆਂ ਆਈਸ ਕਰੀਮ ਬਾਰਾਂ ਖਾਧੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਲਬਰਟ ਨੇ ਮਾਈਕਾ ਨਾਲੋਂ ਤਿੰਨ ਘੱਟ ਖਾਧੀਆਂ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਸਹਿ-ਨਿਵਾਸੀ ਨੇ ਕਿੰਨੀਆਂ ਆਈਸ ਕਰੀਮ ਬਾਰਾਂ ਖਾਧੀਆਂ?
ਇੱਕ ਕਿਸਾਨ ਨੇ ਮੁਰਗੀਆਂ ਲਈ ਤਾਰ, ਲੱਕੜ ਅਤੇ ਪਲਾਈਵੁੱਡ ਦਾ ਇੱਕ ਘਰ ਬਣਾਇਆ। ਮੁਰਗੀਆਂ ਵਾਲੀ ਤਾਰ ਦੀ ਕੀਮਤ 2 ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਫੁੱਟ, ਲੱਕੜ ਦੀ 10 ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਫੁੱਟ, ਅਤੇ ਪਲਾਈਵੁੱਡ ਦੀ 5 ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਸੀ। ਕਿਸਾਨ ਨੇ ਕੁੱਲ 51 ਡਾਲਰ ਖਰਚ ਕੀਤੇ, ਅਤੇ ਵਰਤੇ ਗਏ ਸਮੱਗਰੀ ਦੀ ਕੁੱਲ ਮਾਤਰਾ 14 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਸੀ। ਉਸਨੇ ਪਲਾਈਵੁੱਡ ਨਾਲੋਂ 3 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਮੁਰਗੀਆਂ ਵਾਲੀ ਤਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ। ਕਿਸਾਨ ਨੇ ਹਰੇਕ ਸਮੱਗਰੀ ਦੀ ਕਿੰਨੀ ਮਾਤਰਾ ਵਰਤੀ?
ਜੇ ਦੇ ਵਿਹੜੇ ਵਿੱਚ ਨਿੰਬੂ, ਸੰਤਰੇ ਅਤੇ ਅਨਾਰ ਦੇ ਦਰੱਖਤ ਹਨ। ਇੱਕ ਸੰਤਰਾ 8 ਔਂਸ, ਇੱਕ ਨਿੰਬੂ 5 ਔਂਸ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਅਨਾਰ 11 ਔਂਸ ਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਨੇ 142 ਫਲ ਚੁਣੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਕੁੱਲ ਵਜ਼ਨ 70 ਪੌਂਡ, 10 ਔਂਸ ਸੀ। ਉਸਨੇ ਅਨਾਰਾਂ ਨਾਲੋਂ 15.5 ਗੁਣਾ ਜ਼ਿਆਦਾ ਸੰਤਰੇ ਚੁਣੇ। ਜੇ ਨੇ ਹਰੇਕ ਫਲ ਕਿੰਨੇ ਚੁਣੇ?