ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
2 × 2 ਨਿਰਣਾਇਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋਗੇ।
ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
3 × 3 ਨਿਰਣਾਇਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋਗੇ।
ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਨਿਰਣਾਇਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਜਾਣੋ।
ਅਸੀਂ ਦੋ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਈ ਵਿਧੀਆਂ ਦੁਆਰਾ: ਬਦਲਣ, ਜੋੜ, ਗੌਸੀਅਨ ਵਿਲੋਪਨ, ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਵਿਧੀਆਂ ਦੂਜਿਆਂ ਨਾਲੋਂ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨ ਹਨ ਅਤੇ ਕੁਝ ਖਾਸ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਢੁਕਵੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਹੋਰ ਰਣਨੀਤੀਆਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ।
2×2 ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੇ ਨਿਰਣਾਇਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਨਿਰਣਾਇਕ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਉਪਯੋਗੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦੇ ਕਈ ਉਪਯੋਗ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਖੇਤਰਫਲ, ਆਇਤਨ, ਅਤੇ ਹੋਰ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ। ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਣਾਇਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਕੀ ਕੋਈ ਮੈਟਰਿਕਸ ਇਨਵਰਟੀਬਲ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਵਰਗ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੇ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਹੈ। ਸ਼ਾਇਦ ਸਭ ਤੋਂ ਦਿਲਚਸਪ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕ੍ਰਿਪਟੋਗ੍ਰਾਫੀ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਹੈ। ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਸੰਕੇਤ ਜਾਂ ਸੰਦੇਸ਼ ਕਈ ਵਾਰ ਇੱਕ ਮੈਟਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਐਨਕੋਡ ਕੀਤੇ ਭੇਜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਇਨਵਰਟੀਬਲ ਮੈਟਰਿਕਸ ਅਤੇ ਨਿਰਣਾਇਕ ਨਾਲ ਡੀਕ੍ਰਿਪਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੀ ਇਨਵਰਟੀਬਿਲਟੀ ਦੇ ਸੰਕੇਤ ਵਜੋਂ ਨਿਰਣਾਇਕ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੇ ਨਿਰਣਾਇਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਦੱਸੇ ਗਏ ਖਾਸ ਪੈਟਰਨਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
2 × 2 ਮੈਟਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਪਤਾ ਕਰੋ
2×2 2×2 ਮੈਟਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ
ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ। ਨਿਰਣਾਇਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ det( A ) det( A ) ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ ਅਤੇ ਮੈਟਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਬਰੈਕਟਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਧੀਆਂ ਲਾਈਨਾਂ, | A |. | A |. ਨਾਲ ਬਦਲਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
2 × 2 ਮੈਟਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਅੰਤਿਮ ਵਿਧੀ ਪੇਸ਼ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਨਿਰਣਾਇਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਵਜੋਂ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਇਹ ਤਕਨੀਕ 18ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਮੱਧ ਤੱਕ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਨਵੀਨਤਾਕਾਰ, ਸਵਿਸ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਗੈਬਰੀਅਲ ਕ੍ਰੈਮਰ (1704-1752) ਦੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਰੱਖੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿਸਨੇ ਇਸਨੂੰ 1750 ਵਿੱਚ Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਕ੍ਰੈਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਅਣਜਾਣਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਗਿਣਤੀ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੇ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਹਾਰਕ ਅਤੇ ਕੁਸ਼ਲ ਵਿਧੀ ਹੈ, ਬਸ਼ਰਤੇ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਅਣਜਾਣਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੋਵੇ।
ਕ੍ਰੈਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਵਿਲੱਖਣ ਹੱਲ ਦੇਵੇਗਾ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਮੌਜੂਦ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਾਂ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਹ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਨਿਰਣਾਇਕ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਵੇਗਾ। ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅਸੰਗਤ ਜਾਂ ਨਿਰਭਰ ਹੈ, ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿਧੀ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵਿਲੋਪਨ, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ।
ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਆਓ ਅਸੀਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਰੋ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ 'ਤੇ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ। ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਰੋ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਚਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। x. ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ (2) ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (1) ਵਿੱਚ y ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦੇ ਵਿਰੋਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ (1) ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (2) ਵਿੱਚ y ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ y ਚਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇਗਾ।
ਹੁਣ, x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। x.
1. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, y, y ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ x, x ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਾਂਗੇ।
2. y, y ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੇ
3. ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ x, x ਅਤੇ y, y ਦੋਵਾਂ ਲਈ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਗੁਣਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਹੈ।
4. ਅਸੀਂ x, x ਅਤੇ y, y ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਨਵੇਂ ਸੰਕੇਤ ਵੀ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ:
5. D: D: ਗੁਣਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ
6. D x : D x : x, x = D x / D ਦੇ ਹੱਲ ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ
7. D y : D y : y, y = D y / D ਦੇ ਹੱਲ ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ
8. ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਕੁੰਜੀ ਦਿਲਚਸਪੀ ਵਾਲੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਬਦਲਣਾ ਅਤੇ ਨਿਰਣਾਇਕਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ x, x ਅਤੇ y, y ਨੂੰ ਦੋ ਨਿਰਣਾਇਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
9. 2×2 ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ
10. ਕ੍ਰੈਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਹੈ ਜੋ ਨਿਰਣਾਇਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
11. ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
12. ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
13. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ x, x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ x, x ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ y, y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ y, y ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 2
15. 2 × 2 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
16. ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੇਠ ਲਿਖੀ 2×2 2×2 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
17. ਹੱਲ
18. x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। x.
19. y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। y.
20. ਹੱਲ ( 2,−3 ) ਹੈ। ( 2,−3 ).
21. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
22. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ 2 × 2 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
23. 3 × 3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਨਿਰਣਾਇਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
24. 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਨਿਰਣਾਇਕ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਸਿੱਧਾ ਹੈ, ਪਰ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਨਿਰਣਾਇਕ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਕਾਲਮਾਂ ਦੀ ਦੁਹਰਾਓ ਨਾਲ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਵਧਾਉਣਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇੱਕ 3×5 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਤਿੰਨਾਂ ਵਿਕਰਣਾਂ (ਉੱਪਰ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਸੱਜੇ) ਦੇ ਨਾਲ ਐਂਟਰੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ, ਅਤੇ ਤਿੰਨਾਂ ਵਿਕਰਣਾਂ (ਹੇਠਾਂ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਸੱਜੇ) ਦੇ ਨਾਲ ਐਂਟਰੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਜ਼ੂਅਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਨਾਲ ਵਧੇਰੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
Find the determinant of the 3×3 matrix.
Augment A A with the first two columns. det(A)=| a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 | a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | det(A)=| a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 | a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 |
From upper left to lower right: Multiply the entries down the first diagonal. Add the result to the product of entries down the second diagonal. Add this result to the product of the entries down the third diagonal.
From lower left to upper right: Subtract the product of entries up the first diagonal. From this result subtract the product of entries up the second diagonal. From this result, subtract the product of entries up the third diagonal.
The algebra is as follows:
Example 3
Finding the Determinant of a 3 × 3 Matrix
Find the determinant of the 3 × 3 matrix given
Solution
Augment the matrix with the first two columns and then follow the formula. Thus,
Try It #2
Find the determinant of the 3 × 3 matrix.
Q&A
Can we use the same method to find the determinant of a larger matrix?
No, this method only works for 2×2 2×2 and 3×3 3×3 matrices. For larger matrices it is best to use a graphing utility or computer software.
Using Cramer’s Rule to Solve a System of Three Equations in Three Variables
Now that we can find the determinant of a 3 × 3 matrix, we can apply Cramer’s Rule to solve a system of three equations in three variables. Cramer’s Rule is straightforward, following a pattern consistent with Cramer’s Rule for 2 × 2 matrices. As the order of the matrix increases to 3 × 3, however, there are many more calculations required.
When we calculate the determinant to be zero, Cramer’s Rule gives no indication as to whether the system has no solution or an infinite number of solutions. To find out, we have to perform elimination on the system.
Consider a 3 × 3 system of equations.
where
If we are writing the determinant D x , D x , we replace the x x column with the constant column. If we are writing the determinant D y , D y , we replace the y y column with the constant column. If we are writing the determinant D z , D z , we replace the z z column with the constant column. Always check the answer.
Example 4
Solving a 3 × 3 System Using Cramer’s Rule
Find the solution to the given 3 × 3 system using Cramer’s Rule.
Solution
ਕ੍ਰੇਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਫਿਰ,
ਹੱਲ (1,3,−2) ਹੈ। (1,3,−2)।
ਇਸਨੂੰ #3 ਅਜ਼ਮਾਓ
3 × 3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੇਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਅਸੰਗਤ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੇਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਕ੍ਰੇਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਨਿਰਣਾਇਕ D, Dx, ਅਤੇ Dy ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। D, Dx, ਅਤੇ Dy।
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜ਼ੀਰੋ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜਾਂ ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਖਾਤਮੇ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਡਾ ਟੀਚਾ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ (1) ਨੂੰ −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। −2।
ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (2) ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। (2)।
ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 0=−8 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, 0=−8, ਜੋ ਕਿ ਗਲਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1 ਦੇਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਆਸ਼ਰਿਤ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰੇਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਵਾਲੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਨਿਰਣਾਇਕ ਲੱਭੀਏ। ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਕਾਲਮਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
ਫਿਰ,
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨਿਰਣਾਇਕ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਾਂ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਖਾਤਮਾ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ।
ਸਮੀਕਰਨ (1) ਨੂੰ −2 −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (3) ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ: −2x+4y−6z=0 2x−4y+6z=0 0=0 −2x+4y−6z=0 2x−4y+6z=0 0=0
0=0, 0=0 ਦਾ ਜਵਾਬ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ, ਇੱਕ ਕਥਨ ਜੋ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋ ਤਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ ਅਤੇ ਉਹ ਦੋਵੇਂ ਤੀਜੇ ਤਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇਖੋ।
ਨਿਰਣਾਇਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ
ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਦੇ ਕਈ ਗੁਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਥੇ ਕੁਝ ਅਜਿਹੇ ਗੁਣ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ਜੋ ਕਿਸੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਵਿੱਚ ਸਹਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣ
ਜੇਕਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉੱਪਰ ਤਿਕੋਣੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਨ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਦੋ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਦੋ ਕਤਾਰਾਂ ਜਾਂ ਦੋ ਕਾਲਮ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਕਾਲਮ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਉਲਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A⁻¹ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਕ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਦੇ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਉਲਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਅਚੱਲ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਉਸੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ
ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਓ।
ਹੱਲ
ਗੁਣ 1 ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉੱਪਰ ਤਿਕੋਣੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਨ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
A ਨੂੰ ਪਹਿਲੀਆਂ ਦੋ ਕਾਲਮਾਂ ਨਾਲ ਵਧਾਓ।
ਫਿਰ
ਗੁਣ 2 ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਗੁਣ 3 ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਦੋ ਕਤਾਰਾਂ ਜਾਂ ਦੋ ਕਾਲਮ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਗੁਣ 4 ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਗੁਣ 5 ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਉਲਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A⁻¹ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਕ, ਨਿਰਧਾਰਕ A ਦਾ ਉਲਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਗੁਣ 6 ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਕੋਈ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਕਿਸੇ ਅਚੱਲ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਉਸੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਅਤੇ ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ 3 × 3 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਕਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਦੂਜਾ ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਕਾਲਮ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ। ਗੁਣ 3 ਅਨੁਸਾਰ, ਨਿਰਣਾਇਕ ਸਿਫਰ ਹੋਵੇਗਾ, ਇਸ ਲਈ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਾਂ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ। ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਖਾਤਮਾ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ।
ਸਮੀਕਰਨ (3) ਨੂੰ –2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (1) ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। −2x−4y−4x=−8 2x+4y+4z=2 0=−6
ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਬਿਆਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਜੋ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਹੋਵੇ, ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਕਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਮੌਖਿਕ
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਮੁੱਲ ਕਿਉਂ ਪਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ਤੁਹਾਡੇ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੋਈ ਵਿਲੱਖਣ ਹੱਲ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਸਰਲਤਾ ਲਈ, 2×2 ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸ ਗੱਲ ਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦਾ 0 ਨਿਰਣਾਇਕ ਹੋਣਾ ਇੱਕ ਉਲਟਾ ਹੈ।
2×2 ਮੈਟਰਿਕਸ A ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ 3 ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਨੂੰ 6 ਨਾਲ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਨਿਰਣਾਇਕ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਵਾਬ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰੋ।
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਣਾਇਕ ਲੱਭੋ।
| 1 2 3 4 | | 1 2 3 4 |
| −1 2 3 −4 | | −1 2 3 −4 |
| 2 −5 −1 6 | | 2 −5 −1 6 |
| −8 4 −1 5 | | −8 4 −1 5 |
| 1 0 3 −4 | | 1 0 3 −4 |
| 10 20 0 −10 | | 10 20 0 −10 |
| 10 0.2 5 0.1 | | 10 0.2 5 0.1 |
| 6 −3 8 4 | | 6 −3 8 4 |
| −2 −3 3.1 4,000 | | −2 −3 3.1 4,000 |
| −1.1 0.6 7.2 −0.5 | | −1.1 0.6 7.2 −0.5 |
| −1 0 0 0 1 0 0 0 −3 | | −1 0 0 0 1 0 0 0 −3 |
| −1 4 0 0 2 3 0 0 −3 | | −1 4 0 0 2 3 0 0 −3 |
| 1 0 1 0 1 0 1 0 0 | | 1 0 1 0 1 0 1 0 0 |
| 2 −3 1 3 −4 1 −5 6 1 | | 2 −3 1 3 −4 1 −5 6 1 |
| −2 1 4 −4 2 −8 2 −8 −3 | | −2 1 4 −4 2 −8 2 −8 −3 |
| 6 −1 2 −4 −3 5 1 9 −1 | | 6 −1 2 −4 −3 5 1 9 −1 |
| 5 1 −1 2 3 1 3 −6 −3 | | 5 1 −1 2 3 1 3 −6 −3 |
| 1.1 2 −1 −4 0 0 4.1 −0.4 2.5 | | 1.1 2 −1 −4 0 0 4.1 −0.4 2.5 |
| 2 −1.6 3.1 1.1 3 −8 −9.3 0 2 | | 2 −1.6 3.1 1.1 3 −8 −9.3 0 2 |
| − 1 2 1 3 1 4 1 5 − 1 6 1 7 0 0 1 8 | | − 1 2 1 3 1 4 1 5 − 1 6 1 7 0 0 1 8 |
For the following exercises, solve the system of linear equations using Cramer’s Rule.
2x−3y=−1 4x+5y=9 2x−3y=−1 4x+5y=9
5x−4y=2 −4x+7y=6 5x−4y=2 −4x+7y=6
6x−3y=2 −8x+9y=−1 6x−3y=2 −8x+9y=−1
2x+6y=12 5x−2y=13 2x+6y=12 5x−2y=13
4x+3y=23 2x−y=−1 4x+3y=23 2x−y=−1
10x−6y=2 −5x+8y=−1 10x−6y=2 −5x+8y=−1
4x−3y=−3 2x+6y=−4 4x−3y=−3 2x+6y=−4
4x−5y=7 −3x+9y=0 4x−5y=7 −3x+9y=0
4x+10y=180 −3x−5y=−105 4x+10y=180 −3x−5y=−105
8x−2y=−3 −4x+6y=4 8x−2y=−3 −4x+6y=4
For the following exercises, solve the system of linear equations using Cramer’s Rule.
x+2y−4z=−1 7x+3y+5z=26 −2x−6y+7z=−6 x+2y−4z=−1 7x+3y+5z=26 −2x−6y+7z=−6
−5x+2y−4z=−47 4x−3y−z=−94 3x−3y+2z=94 −5x+2y−4z=−47 4x−3y−z=−94 3x−3y+2z=94
4x+5y−z=−7 −2x−9y+2z=8 5y+7z=21 4x+5y−z=−7 −2x−9y+2z=8 5y+7z=21
4x−3y+4z=10 5x−2z=−2 3x+2y−5z=−9 4x−3y+4z=10 5x−2z=−2 3x+2y−5z=−9
4x−2y+3z=6 −6x+y=−2 2x+7y+8z=24 4x−2y+3z=6 −6x+y=−2 2x+7y+8z=24
5x+2y−z=1 −7x−8y+3z=1.5 6x−12y+z=7 5x+2y−z=1 −7x−8y+3z=1.5 6x−12y+z=7
13x−17y+16z=73 −11x+15y+17z=61 46x+10y−30z=−18 13x−17y+16z=73 −11x+15y+17z=61 46x+10y−30z=−18
−4x−3y−8z=−7 2x−9y+5z=0.5 5x−6y−5z=−2 −4x−3y−8z=−7 2x−9y+5z=0.5 5x−6y−5z=−2
4x−6y+8z=10 −2x+3y−4z=−5 x+y+z=1 4x−6y+8z=10 −2x+3y−4z=−5 x+y+z=1
4x−6y+8z=10 −2x+3y−4z=−5 12x+18y−24z=−30 4x−6y+8z=10 −2x+3y−4z=−5 12x+18y−24z=−30
Technology
For the following exercises, use the determinant function on a graphing utility.
| 1 0 8 9 0 2 1 0 1 0 3 0 0 2 4 3 | | 1 0 8 9 0 2 1 0 1 0 3 0 0 2 4 3 |
| 1 0 2 1 0 −9 1 3 3 0 −2 −1 0 1 1 −2 | | 1 0 2 1 0 −9 1 3 3 0 −2 −1 0 1 1 −2 |
| 1 2 1 7 4 0 1 2 100 5 0 0 2 2,000 0 0 0 2 | | 1 2 1 7 4 0 1 2 100 5 0 0 2 2,000 0 0 0 2 |
| 1 0 0 0 2 3 0 0 4 5 6 0 7 8 9 0 | | 1 0 0 0 2 3 0 0 4 5 6 0 7 8 9 0 |
Real-World Applications
For the following exercises, create a system of linear equations to describe the behavior. Then, calculate the determinant. Will there be a unique solution? If so, find the unique solution.
Two numbers add up to 56. One number is 20 less than the other.
Two numbers add up to 104. If you add two times the first number plus two times the second number, your total is 208
Three numbers add up to 106. The first number is 3 less than the second number. The third number is 4 more than the first number.
Three numbers add to 216. The sum of the first two numbers is 112. The third number is 8 less than the first two numbers combined.
For the following exercises, create a system of linear equations to describe the behavior. Then, solve the system for all solutions using Cramer’s Rule.
You invest $10,000 into two accounts, which receive 8% interest and 5% interest. At the end of a year, you had $10,710 in your combined accounts. How much was invested in each account?
You invest $80,000 into two accounts, $22,000 in one account, and $58,000 in the other account. At the end of one year, assuming simple interest, you have earned $2,470 in interest. The second account receives half a percent less than twice the interest on the first account. What are the interest rates for your accounts?
1. 1,200 ਕੁੱਲ ਟਿਕਟਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਬਾਲਗ ਟਿਕਟਾਂ ਅਤੇ ਬੱਚਿਆਂ ਦੀਆਂ ਟਿਕਟਾਂ ਵਿਕੀਆਂ, ਇਹ ਇੱਕ ਥੀਏਟਰ ਨੂੰ ਪਤਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਬੱਚਿਆਂ ਦੀਆਂ ਟਿਕਟਾਂ $5.95, ਬਾਲਗ ਟਿਕਟਾਂ $11.15, ਅਤੇ ਕੁੱਲ ਮਾਲੀਆ $12,756 ਸੀ, ਤਾਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਬੱਚਿਆਂ ਦੀਆਂ ਟਿਕਟਾਂ ਅਤੇ ਬਾਲਗ ਟਿਕਟਾਂ ਵਿਕੀਆਂ?
2. ਇੱਕ ਸੰਗੀਤ ਸਮਾਰੋਹ ਸਥਾਨ $40 ਪ੍ਰਤੀ ਸਿੰਗਲ ਟਿਕਟ ਅਤੇ $65 ਪ੍ਰਤੀ ਜੋੜੇ ਦੀ ਟਿਕਟ ਵੇਚਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੁੱਲ ਮਾਲੀਆ $18,090 ਸੀ ਅਤੇ 321 ਟਿਕਟਾਂ ਵਿਕੀਆਂ, ਤਾਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਸਿੰਗਲ ਟਿਕਟਾਂ ਅਤੇ ਕਿੰਨੀਆਂ ਜੋੜੇ ਦੀਆਂ ਟਿਕਟਾਂ ਵਿਕੀਆਂ?
3. ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੇ ਰਸੋਈਏ ਨੂੰ ਹਰਾ ਰੰਗ ਕਰਨ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਤੁਸੀਂ ਪੀਲੇ ਅਤੇ ਨੀਲੇ ਰੰਗਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾ ਕੇ ਪੇਂਟ ਦਾ ਰੰਗ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਯਾਦ ਨਹੀਂ ਕਿ ਤੁਹਾਡੇ ਮਿਸ਼ਰਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਗੈਲਨ ਹਰੇਕ ਰੰਗ ਦਾ ਸੀ, ਪਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਪਤਾ ਹੈ ਕਿ ਕੁੱਲ 10 ਗੈਲਨ ਸਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੀ ਰਸੀਦ ਰੱਖੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਪਤਾ ਹੈ ਕਿ ਕੁੱਲ ਖਰਚ $29.50 ਸੀ। ਜੇਕਰ ਪੀਲੇ ਰੰਗ ਦੇ ਹਰੇਕ ਗੈਲਨ ਦੀ ਕੀਮਤ $2.59 ਹੈ, ਅਤੇ ਨੀਲੇ ਰੰਗ ਦੇ ਹਰੇਕ ਗੈਲਨ ਦੀ ਕੀਮਤ $3.19 ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਡੇ ਹਰੇ ਮਿਸ਼ਰਣ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਰੰਗ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਗੈਲਨ ਹਨ?
4. ਤੁਸੀਂ ਕਿਸਾਨ ਬਾਜ਼ਾਰ ਵਿੱਚ ਦੋ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸਕਾਰਫ ਵੇਚੇ ਅਤੇ ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਵਧੇਰੇ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਸੀ। ਵੇਚੇ ਗਏ ਸਕਾਰਫਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ 56 ਸੀ, ਪੀਲੇ ਸਕਾਰਫ ਦੀ ਕੀਮਤ $10 ਸੀ, ਅਤੇ ਜਾਮਨੀ ਸਕਾਰਫ ਦੀ ਕੀਮਤ $11 ਸੀ। ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਡਾ ਕੁੱਲ ਮਾਲੀਆ $583 ਸੀ, ਤਾਂ ਕਿੰਨੇ ਪੀਲੇ ਸਕਾਰਫ ਅਤੇ ਕਿੰਨੇ ਜਾਮਨੀ ਸਕਾਰਫ ਵੇਚੇ ਗਏ?
5. ਤੁਹਾਡੇ ਬਾਗ ਵਿੱਚ ਦੋ ਕਿਸਮ ਦੇ ਟਮਾਟਰ ਪੈਦਾ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਹਰਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਲਾਲ। ਲਾਲ ਦਾ ਭਾਰ 10 oz ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰੇ ਦਾ ਭਾਰ 4 oz ਹੈ। ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ 30 ਟਮਾਟਰ ਹਨ, ਅਤੇ ਕੁੱਲ ਭਾਰ 13 lb, 14 oz ਹੈ। ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਹਰ ਕਿਸਮ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਟਮਾਟਰ ਹਨ?
6. ਇੱਕ ਬਾਜ਼ਾਰ ਵਿੱਚ, ਤਿੰਨ ਸਭ ਤੋਂ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਸਬਜ਼ੀਆਂ ਸਬਜ਼ੀਆਂ ਦੀ ਵਿਕਰੀ ਦਾ 53% ਬਣਦੀਆਂ ਹਨ। ਮੱਕੀ ਦੀ ਵਿਕਰੀ ਬਰੌਕਲੀ ਨਾਲੋਂ 4% ਵੱਧ ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਵਿਕਰੀ ਪਿਆਜ਼ ਨਾਲੋਂ 5% ਵੱਧ ਹੈ। ਬਾਜ਼ਾਰ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਸਬਜ਼ੀ ਦਾ ਕਿੰਨਾ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਹਿੱਸਾ ਹੈ?
7. ਉਸੇ ਬਾਜ਼ਾਰ ਵਿੱਚ, ਤਿੰਨ ਸਭ ਤੋਂ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਫਲ ਕੁੱਲ ਫਲਾਂ ਦੀ ਵਿਕਰੀ ਦਾ 37% ਬਣਦੇ ਹਨ। ਸਟ੍ਰਾਬੇਰੀ ਸੰਤਰੇ ਨਾਲੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਵਿਕਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੀਵੀ ਸੰਤਰੇ ਨਾਲੋਂ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਅੰਕ ਵੱਧ ਵਿਕਦੀ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਫਲ ਲਈ, ਕੁੱਲ ਫਲਾਂ ਦੀ ਵਿਕਰੀ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
8. ਇੱਕ ਸੰਗੀਤ ਸਮਾਰੋਹ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਤਿੰਨ ਕਲਾਕਾਰਾਂ ਨੇ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕੀਤਾ। ਪਹਿਲੇ ਨੇ ਪ੍ਰਤੀ ਟਿਕਟ $15 ਲਿਆ, ਦੂਜੇ ਕਲਾਕਾਰ ਨੇ ਪ੍ਰਤੀ ਟਿਕਟ $45 ਲਿਆ, ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਕਲਾਕਾਰ ਨੇ ਪ੍ਰਤੀ ਟਿਕਟ $22 ਲਿਆ। 510 ਟਿਕਟਾਂ ਵਿਕੀਆਂ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਕੁੱਲ $12,700 ਹੋਇਆ। ਜੇਕਰ ਪਹਿਲੇ ਬੈਂਡ ਵਿੱਚ ਦੂਜੇ ਬੈਂਡ ਨਾਲੋਂ 40 ਵੱਧ ਦਰਸ਼ਕ ਸਨ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਬੈਂਡ ਲਈ ਕਿੰਨੀਆਂ ਟਿਕਟਾਂ ਵਿਕੀਆਂ?
9. ਇੱਕ ਮੂਵੀ ਥੀਏਟਰ ਨੇ ਤਿੰਨ ਫਿਲਮਾਂ ਦੀਆਂ ਟਿਕਟਾਂ ਵੇਚੀਆਂ। ਪਹਿਲੀ ਫਿਲਮ ਦੀਆਂ ਟਿਕਟਾਂ $5, ਦੂਜੀ ਫਿਲਮ ਦੀਆਂ ਟਿਕਟਾਂ $11, ਅਤੇ ਤੀਜੀ ਫਿਲਮ ਦੀਆਂ $12 ਸਨ। ਪਹਿਲੀ ਫਿਲਮ ਦੀਆਂ 100 ਟਿਕਟਾਂ ਵਿਕੀਆਂ। ਕੁੱਲ 642 ਟਿਕਟਾਂ ਵਿਕੀਆਂ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਕੁੱਲ ਮਾਲੀਆ $6,774 ਹੋਇਆ। ਹਰੇਕ ਫਿਲਮ ਦੀਆਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਟਿਕਟਾਂ ਵਿਕੀਆਂ?
10. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਇੱਕ ਸਿਹਤ-ਮੁਖੀ ਕੰਪਨੀ ਬਦਾਮ, ਸੁੱਕੀ ਕਰੈਨਬੇਰੀ, ਅਤੇ ਚਾਕਲੇਟ-ਕਵਰਡ ਕਾਜੂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਟ੍ਰੇਲ ਮਿਕਸ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਲਈ ਪੌਸ਼ਟਿਕ ਜਾਣਕਾਰੀ ਟੇਬਲ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹੈ।
11. ਕਤਾਰ: ਚਰਬੀ (g) | ਪ੍ਰੋਟੀਨ (g) | ਕਾਰਬੋਹਾਈਡਰੇਟ (g)
12. ਕਤਾਰ: ਬਦਾਮ (10) | 6 | 2 | 3
13. ਕਤਾਰ: ਕਰੈਨਬੇਰੀ (10) | 0.02 | 0 | 8
14. ਕਤਾਰ: ਕਾਜੂ (10) | 7 | 3.5 | 5.5
15. ਵਿਸ਼ੇਸ਼ "ਲੋ-ਕਾਰਬ" ਟ੍ਰੇਲ ਮਿਕਸ ਲਈ, ਮਿਸ਼ਰਣ ਦੇ 1,000 ਟੁਕੜੇ ਹਨ। ਕਾਰਬੋਹਾਈਡਰੇਟ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ 425 g ਹੈ, ਅਤੇ ਚਰਬੀ ਦੀ ਕੁੱਲ ਮਾਤਰਾ 570.2 g ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਰੈਨਬੇਰੀ ਨਾਲੋਂ 200 ਵੱਧ ਕਾਜੂ ਦੇ ਟੁਕੜੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਟ੍ਰੇਲ ਮਿਕਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਚੀਜ਼ ਦੀ ਕਿੰਨੀ ਮਾਤਰਾ ਹੈ?
16. "ਹਾਇਕਿੰਗ" ਮਿਕਸ ਲਈ, ਮਿਸ਼ਰਣ ਵਿੱਚ 1,000 ਟੁਕੜੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ 390.8 g ਚਰਬੀ ਅਤੇ 165 g ਪ੍ਰੋਟੀਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਬਦਾਮ ਅਤੇ ਕਾਜੂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਟ੍ਰੇਲ ਮਿਕਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਚੀਜ਼ ਦੀ ਕਿੰਨੀ ਮਾਤਰਾ ਹੈ?
17. "ਐਨਰਜੀ-ਬੂਸਟਰ" ਮਿਕਸ ਲਈ, ਮਿਸ਼ਰਣ ਵਿੱਚ 1,000 ਟੁਕੜੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ 145 g ਪ੍ਰੋਟੀਨ ਅਤੇ 625 g ਕਾਰਬੋਹਾਈਡਰੇਟ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਬਦਾਮ ਅਤੇ ਕਾਜੂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਕਰੈਨਬੇਰੀ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਟ੍ਰੇਲ ਮਿਕਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਚੀਜ਼ ਦੀ ਕਿੰਨੀ ਮਾਤਰਾ ਹੈ?