ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ (ellipses) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋਗੇ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (origin) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓਗੇ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓਗੇ।
ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋਗੇ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਵਾਸ਼ਿੰਗਟਨ, ਡੀ.ਸੀ. ਵਿੱਚ ਨੈਸ਼ਨਲ ਸਟੈਚੂਰੀ ਹਾਲ (ਸਰੋਤ: ਗ੍ਰੇਗ ਪਾਮਰ, ਫਲਿੱਕਰ)
ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਲਪਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਕਮਰੇ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋ ਕੇ ਦੂਜੇ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਵਿਅਕਤੀ ਦੀ ਫੁਸਫੁਸਾਹਟ ਵੀ ਸੁਣ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਵਾਸ਼ਿੰਗਟਨ, ਡੀ.ਸੀ. ਵਿੱਚ ਨੈਸ਼ਨਲ ਸਟੈਚੂਰੀ ਹਾਲ, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਇੱਕ ਕਮਰਾ ਹੈ।1 ਇਹ ਇੱਕ ਅਰਧ-ਗੋਲਾਕਾਰ ਕਮਰਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ 'ਵਿਸਪਰਿੰਗ ਚੈਂਬਰ' (whispering chamber) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦੀ ਸ਼ਕਲ ਕਾਰਨ ਆਵਾਜ਼ ਕੰਧਾਂ ਅਤੇ ਗੁੰਬਦ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਕਮਰੇ ਦੀ ਸ਼ਕਲ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ ਕਿ ਸਟੈਚੂਰੀ ਹਾਲ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਿਅਕਤੀ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋ ਕੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੀ ਫੁਸਫੁਸਾਹਟ ਸੁਣ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ
ਇੱਕ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ, ਜਾਂ ਕੋਨਿਕ, ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸ਼ਕਲ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਲੰਬੇ ਚੱਕਰੀ ਕੋਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਨਾਲ ਕੱਟਣ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਿਸ ਕੋਣ 'ਤੇ ਸਮਤਲ ਕੋਨ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਸ਼ਕਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੁਆਰਾ ਵੀ ਦੱਸਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਅਤੇ ਚਲਿਤ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਸ਼ਕਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਭਾਗ ਅੰਡਾਕਾਰ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੇ ਚਾਰ ਰੂਪਾਂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਇੱਕ ਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y) ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਦੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਫੋਕਸ (ਬਹੁਵਚਨ: ਫੋਕਾਈ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਕਾਰਡਬੋਰਡ ਦਾ ਇੱਕ ਟੁਕੜਾ, ਦੋ ਥੰਬਟੈਕਸ, ਇੱਕ ਪੈਨਸਿਲ ਅਤੇ ਧਾਗਾ ਵਰਤ ਕੇ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਫੋਕਸ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਾਰਡਬੋਰਡ ਵਿੱਚ ਥੰਬਟੈਕਸ ਲਗਾਓ। ਦੋ ਥੰਬਟੈਕਸ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਤੋਂ ਲੰਬਾ ਧਾਗੇ ਦਾ ਇੱਕ ਟੁਕੜਾ ਕੱਟੋ (ਧਾਗੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ)। ਧਾਗੇ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਿਰੇ ਨੂੰ ਕਾਰਡਬੋਰਡ 'ਤੇ ਟੈਕ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਧਾਗੇ ਦੇ ਤਣਾਅ ਵਿੱਚ ਰੱਖੀ ਪੈਨਸਿਲ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵਕਰ ਬਣਾਓ। ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਹਰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ (symmetry) ਦੀਆਂ ਦੋ ਧੁਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਲੰਬੀ ਧੁਰੀ ਨੂੰ ਮੁੱਖ ਧੁਰੀ (major axis) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਛੋਟੀ ਧੁਰੀ ਨੂੰ ਗੌਣ ਧੁਰੀ (minor axis) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੁੱਖ ਧੁਰੀ ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਿਖਰ (vertex) (ਬਹੁਵਚਨ: ਸਿਖਰ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਗੌਣ ਧੁਰੀ ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਹਿ-ਸਿਖਰ (co-vertex) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਦੋਵੇਂ ਮੁੱਖ ਅਤੇ ਗੌਣ ਧੁਰੀਆਂ ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਧੁਰੀਆਂ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਲੰਬ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਫੋਕਾਈ ਹਮੇਸ਼ਾ ਮੁੱਖ ਧੁਰੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਫੋਕਾਈ ਤੋਂ ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ (ਸਥਿਰ ਜੋੜ) ਫੋਕਾਈ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4 ਦੇਖੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਲੰਬਕਾਰੀ ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਭਾਵ, ਧੁਰੀਆਂ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰੀਆਂ 'ਤੇ ਹੋਣਗੀਆਂ ਜਾਂ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੋਣਗੀਆਂ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਦੇ ਹੋਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇਖਾਂਗੇ।
ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਮਾਮਲਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਉਹ ਜੋ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਉਹ ਜੋ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ। ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਜੋ ਸਿੱਖਦੇ ਹਾਂ ਉਸਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਾਂਗੇ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫੋਕਾਈ (−c,0) ਅਤੇ (c,0) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y) ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ (x,y) ਤੋਂ ਫੋਕਾਈ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਜੇਕਰ (a,0) ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਖਰ ਹੈ, ਤਾਂ (−c,0) ਤੋਂ (a,0) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ a−(−c)=a+c ਹੈ। (c,0) ਤੋਂ (a,0) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ a−c ਹੈ। ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਫੋਕਾਈ ਤੋਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ
ਜੇਕਰ (x,y) ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, d1 + d2 ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਲਈ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਿਖਰ (a,0) ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ 2a ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਲਈ d1 + d2 = 2a ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਉਤਪਤੀ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ। ਉਤਪਤੀ ਦਾ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸਾ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 ਹੈ। x 2 a 2 + y 2 b 2 =1। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ a>b, a>b, ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਖਿਤਿਜੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ b>a, b>a, ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਾਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਬਾਰੇ ਦੱਸਦੇ ਹਨ। ਕੁਝ ਪਿਛਲੇ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਰੂਪਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਪਲ ਲਓ: ਰੇਖੀ, ਵਰਗਾਕਾਰ, ਘਣ, ਘਾਤਕ, ਲਘੂਗਣਕ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਗਣਿਤਿਕ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਜੋੜ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਇਸਦਾ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਅਤੇ ਗੌਣ ਧੁਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਸਥਿਤੀਆਂ ਹਨ। ਹੋਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਪਛਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੇ ਚਾਰ ਰੂਪ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਰੂਪਾਂ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਸਥਿਤੀ (ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਜਾਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਨਹੀਂ) ਦੁਆਰਾ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਥਿਤੀ (ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ) ਦੁਆਰਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਭਾਗਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧ ਹੈ, ਇਸਦੇ ਵਰਣਨ ਦੇ ਨਾਲ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਸਾਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਇੱਕ ਮਾਨਸਿਕ ਤਸਵੀਰ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਕੇਂਦਰ (0,0) ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ
ਕੇਂਦਰ (0,0) ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
a>b a>b
ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( ±a,0 ) ( ±a,0 ) ਹਨ
ਗੌਣ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b 2b ਹੈ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 0,±b ) ( 0,±b ) ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( ±c,0 ) ( ±c,0 ) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 । c 2 = a 2 − b 2 । ਚਿੱਤਰ 6a ਦੇਖੋ
ਕੇਂਦਰ (0,0) ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
a>b a>b
ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 0,±a ) ( 0,±a ) ਹਨ
ਗੌਣ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b 2b ਹੈ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( ±b,0 ) ( ±b,0 ) ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 0,±c ) ( 0,±c ) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 । c 2 = a 2 − b 2 । ਚਿੱਤਰ 6b ਦੇਖੋ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨ c 2 = a 2 − b 2 । c 2 = a 2 − b 2 । ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀਆਂ ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 6: (a) ਕੇਂਦਰ (0,0) ਵਾਲਾ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰ (0,0) (b) ਕੇਂਦਰ (0,0) ਵਾਲਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅੰਡਾਕਾਰ (0,0)
ਕਿਵੇਂ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇਸਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਰੂਪ ( ±a,0 ) ( ±a,0 ) ਅਤੇ (±c,0) (±c,0) ਅਨੁਸਾਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰਾ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ x 2 a 2 + y 2 b 2 =1. x 2 a 2 + y 2 b 2 =1. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਰੂਪ ( 0,±a ) ( 0,±a ) ਅਤੇ (0,±c), (0,±c) ਅਨੁਸਾਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰਾ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ x 2 b 2 + y 2 a 2 =1. x 2 b 2 + y 2 a 2 =1. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ c 2 = a 2 − b 2 , c 2 = a 2 − b 2 , ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਨਾਲ ਹੀ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ, b 2 . b 2 . ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ।
ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ a 2 a 2 ਅਤੇ b 2 b 2 ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ
ਉਸ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ ( ±8,0 ) ( ±8,0 ) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ( ±5,0 )? ( ±5,0 ) ਹਨ?
ਹੱਲ
ਨਾਭੀਆਂ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ ਹੋਵੇਗਾ
ਸਿਖਰ ( ±8,0 ), ( ±8,0 ) ਹਨ, ਇਸ ਲਈ a=8 a=8 ਅਤੇ a 2 =64. a 2 =64.
ਨਾਭੀਆਂ ( ±5,0 ), ( ±5,0 ) ਹਨ, ਇਸ ਲਈ c=5 c=5 ਅਤੇ c 2 =25. c 2 =25.
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨ c 2 = a 2 − b 2 . c 2 = a 2 − b 2 . ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। b 2 , b 2 . ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
ਹੁਣ ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ a 2 =64 a 2 =64 ਅਤੇ b 2 =39 b 2 =39 ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x 2 64 + y 2 39 =1. x 2 64 + y 2 39 =1. ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਉਸ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ ( 0,±4 ) ( 0,±4 ) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ( 0,± 15 )? ( 0,± 15 ) ਹਨ?
Q&A
ਕੀ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਨਾਭੀ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਹਾਂ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹਮੇਸ਼ਾ ਰੂਪ ( ±a,0 ) ( ±a,0 ) ਜਾਂ (0,±a). (0,±a). ਦੇ ਹੋਣਗੇ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹਮੇਸ਼ਾ ਰੂਪ ( ±c,0 ) ( ±c,0 ) ਜਾਂ (0,±c). (0,±c). ਦੇ ਹੋਣਗੇ। ਇਸਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ a a ਅਤੇ c c, ਸਮੀਕਰਨ c 2 = a 2 − b 2 , c 2 = a 2 − b 2 . ਦੇ ਨਾਲ, b 2 . b 2 . ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਨਾ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣਾ
ਹੋਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਾਂਗ, ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਅਨੁਵਾਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ h h ਇਕਾਈ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ k k ਇਕਾਈ ਲੰਬਵਤ ਅਨੁਵਾਦ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ( h,k ). ( h,k ). ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹ ਅਨੁਵਾਦ ਪਿਛਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ પરિણામ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x x ਨੂੰ ( x−h ) ( x−h ) ਅਤੇ y y ਨੂੰ ( y−k ). ( y−k ). ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕੇਂਦਰ (h, k) ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ
ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
a>b a>b
ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਹੈ
( h±a,k ) ( h±a,k ) ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ।
ਲਘੂ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b 2b ਹੈ।
( h,k±b ) ( h,k±b ) ਦੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ।
( h±c,k ), ( h±c,k ) ਦੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 . c 2 = a 2 − b 2 . ਚਿੱਤਰ 7a ਦੇਖੋ।
ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਧੁਰੇ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ।
ਜਿੱਥੇ
a>b a>b
ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਹੈ।
( h,k±a ) ( h,k±a ) ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ।
ਲਘੂ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b 2b ਹੈ।
( h±b,k ) ( h±b,k ) ਦੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ।
( h,k±c ), ( h,k±c ) ਦੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 . c 2 = a 2 − b 2 . ਚਿੱਤਰ 7b ਦੇਖੋ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ( h,k ) ( h,k ) ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ c 2 = a 2 − b 2 . c 2 = a 2 − b 2 . ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 7: (a) ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਵਾਲਾ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰ (b) ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਵਾਲਾ ਲੰਬਵਤ ਅੰਡਾਕਾਰ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇਸਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਧੁਰਾ x- ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ( x−h ) 2 a 2 + ( y−k ) 2 b 2 =1. ( x−h ) 2 a 2 + ( y−k ) 2 b 2 =1. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ( x−h ) 2 b 2 + ( y−k ) 2 a 2 =1. ( x−h ) 2 b 2 + ( y−k ) 2 a 2 =1. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਅਤੇ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, 2a, 2a, ਜੋ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਸਿਖਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ, ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ a 2 a 2 ਲੱਭੋ।
ਕਦਮ 2 ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਗਏ h h ਅਤੇ k, k, ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਨਾਭੀਆਂ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ c 2 c 2 ਲੱਭੋ।
ਸਮੀਕਰਨ c 2 = a 2 − b 2 . c 2 = a 2 − b 2 . ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ b 2 b 2 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ h, k, a 2 , h, k, a 2 , ਅਤੇ b 2 b 2 ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
ਡਿੰਬ (ellipse) ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ (vertices) ( −2,−8 ) ਅਤੇ ( −2,2 ) ਹਨ
ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (foci) ( −2,−7 ) ਅਤੇ ( −2,1 ) ਹਨ?
ਹੱਲ
ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (x-coordinates) ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ (major axis) y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਡਿੰਬ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ (center), ( h,k ) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕੇਂਦਰ ਸਿਖਰਾਂ, ( −2,−8 ) ਅਤੇ ( −2,2 ) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੱਧਾ ਹੈ। ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ (midpoint formula) ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ a² ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, 2a, ਸਿਖਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਅਸੀਂ a ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਲੱਭ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਲਈ a²=25।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ c² ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਨਾਭੀਆਂ (h,k±c) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, (h,k−c)=(−2,−7) ਅਤੇ (h,k+c)=(−2,1)। ਅਸੀਂ c ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ k=−3 ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਲਈ c²=16।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ c² = a² − b² ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ b² ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ h, k, a², ਅਤੇ b² ਲਈ ਲੱਭੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਡਿੰਬ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਡਿੰਬ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ ( −3,3 ) ਅਤੇ ( 5,3 ) ਹਨ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ( 1−2√3 ,3 ) ਅਤੇ ( 1+2√3 ,3 ) ਹਨ?
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (origin) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਡਿੰਬਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਡਿੰਬ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਡਿੰਬ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਡਿੰਬਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ (horizontal) ਡਿੰਬਾਂ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ x²/a² + y²/b² = 1, a>b ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ (vertical) ਡਿੰਬਾਂ ਲਈ x²/b² + y²/a² = 1, a>b ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (0,0) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਡਿੰਬ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਡਿੰਬ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ (co-vertices), ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ x²/a² + y²/b² = 1, ਜਿੱਥੇ a>b, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰਾ ਹੈ, ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±a,0) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±b) ਹਨ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±c,0) ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ x²/b² + y²/a² = 1, ਜਿੱਥੇ a>b, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰਾ ਹੈ, ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±a) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±b,0) ਹਨ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±c) ਹਨ।
ਸਮੀਕਰਨ c² = a² − b² ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ c ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮਤਲ (coordinate plane) ਵਿੱਚ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਡਿੰਬ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ (smooth curve) ਖਿੱਚੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਡਿੰਬ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਡਿੰਬ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ, x²/9 + y²/25 = 1, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
1. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ 25>9, 25>9, ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ x 2 b 2 + y 2 a 2 =1, x 2 b 2 + y 2 a 2 =1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ b 2 =9 b 2 =9 ਅਤੇ a 2 =25। a 2 =25। ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ:
2. ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ( 0,0 ) ( 0,0 ) ਹੈ
3. ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 0,±a )=( 0,± 25 )=( 0,±5 ) ( 0,±a )=( 0,± 25 )=( 0,±5 ) ਹਨ
4. ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( ±b,0 )=( ± 9 ,0 )=( ±3,0 ) ( ±b,0 )=( ± 9 ,0 )=( ±3,0 ) ਹਨ
5. ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 0,±c ), ( 0,±c ) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 c 2 = a 2 − b 2 c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
6. ਇਸ ਲਈ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 0,±4 ) ਹਨ। ( 0,±4 )।
7. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇਖੋ।
8. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
9. ਸਮੀਕਰਨ x 2 36 + y 2 4 =1 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। x 2 36 + y 2 4 =1। ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
10. ਉਦਾਹਰਨ 4
11. ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਜੋ ਕਿ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ
12. ਸਮੀਕਰਨ 4 x 2 +25 y 2 =100 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। 4 x 2 +25 y 2 =100। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
13. ਹੱਲ
14. ਪਹਿਲਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
15. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ 25>4, 25>4, ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ x 2 a 2 + y 2 b 2 =1, x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a 2 =25 a 2 =25 ਅਤੇ b 2 =4। b 2 =4। ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ:
16. ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ( 0,0 ) ( 0,0 ) ਹੈ
17. ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( ±a,0 )=( ± 25 ,0 )=( ±5,0 ) ( ±a,0 )=( ± 25 ,0 )=( ±5,0 ) ਹਨ
18. ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 0,±b )=( 0,± 4 )=( 0,±2 ) ( 0,±b )=( 0,± 4 )=( 0,±2 ) ਹਨ
19. ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( ±c,0 ), ( ±c,0 ) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 । c 2 = a 2 − b 2 । c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
20. ਇਸ ਲਈ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( ± 21 ,0 ) ਹਨ। ( ± 21 ,0 )।
21. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ।
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #4
23. ਸਮੀਕਰਨ 49 x 2 +16 y 2 =784 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। 49 x 2 +16 y 2 =784। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
24. ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅਜੇ ਵੀ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ, (h,k), 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਲਈ (x−h)²/a² + (y−k)²/b² = 1, a>b, ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਲਈ (x−h)²/b² + (y−k)²/a² = 1, a>b, ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਦੀਰਘ ਤੇ ਲਘੂ ਧੁਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
(h, k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੇਂਦਰ, ਦੀਰਘ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ (x−h)²/a² + (y−k)²/b² = 1, ਜਿੱਥੇ a>b, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੇਂਦਰ (h,k) ਹੈ, ਦੀਰਘ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ, ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (h±a,k) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (h,k±b) ਹਨ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (h±c,k) ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ (x−h)²/b² + (y−k)²/a² = 1, ਜਿੱਥੇ a>b, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੇਂਦਰ (h,k) ਹੈ, ਦੀਰਘ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ, ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (h,k±a) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (h±b,k) ਹਨ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (h,k±c) ਹਨ।
c² = a² − b² ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਤਲ 'ਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
(h, k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨ, (x+2)²/4 + (y−5)²/9 = 1, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੀਰਘ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ 9>4, ਦੀਰਘ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ (x−h)²/b² + (y−k)²/a² = 1, ਜਿੱਥੇ b²=4 ਅਤੇ a²=9, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ:
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ (h,k)=(−2,5) ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (h,k±a)=(−2,5±√9)=(−2,5±3), ਜਾਂ (−2,2) ਅਤੇ (−2,8) ਹਨ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (h±b,k)=(−2±√4,5)=(−2±2,5), ਜਾਂ (−4,5) ਅਤੇ (0,5) ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (h,k±c) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c² = a² − b²। c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਇਸ ਲਈ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (−2,5−√5) ਅਤੇ (−2,5+√5) ਹਨ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਸਮੀਕਰਨ (x−4)²/36 + (y−2)²/20 = 1 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
(h, k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਪਛਾਣੋ ਕਿ ax² + by² + cx + dy + e = 0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਚੱਲ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਤ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ। ਸਥਿਰ ਪਦ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ।
ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਤਿਆਰੀ ਵਿੱਚ x² ਅਤੇ y² ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਹਰੇਕ ਪਰਿਮਾਪ ਲਈ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਜੋ ਇੱਕ ਅਚੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ, m 1 ( x−h ) 2 + m 2 ( y−k ) 2 = m 3 , ਜਿੱਥੇ m 1 , m 2 , ਅਤੇ m 3 ਅਚੱਲ ਹਨ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਅਚੱਲ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
(h, k) ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ, ਪਹਿਲਾਂ ਇਸਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਕੇ
ਅੰਡਾਕਾਰ 4 x 2 +9 y 2 −40x+36y+100=0 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਸਾਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ।
ਸਮਾਨ ਪਰਿਮਾਪ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਅਚੱਲ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ।
ਵਰਗ ਕੀਤੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਦੋ ਵਾਰ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰੋ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਿਤ ਕਰਨਾ ਨਾ ਭੁੱਲੋ, ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਸਮਾਨ ਅਚੱਲ ਜੋੜ ਕੇ।
ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗਾਂ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਅਚੱਲ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ 9>4, ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ( x−h ) 2 a 2 + ( y−k ) 2 b 2 =1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a 2 =9 ਅਤੇ b 2 =4। ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ:
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ( h,k )=( 5,−2 ) ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( h±a,k )=( 5± 9 ,−2 )=( 5±3,−2 ), ਜਾਂ ( 2,−2 ) ਅਤੇ ( 8,−2 ) ਹਨ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( h,k±b )=( 5,−2± 4 )=( 5,−2±2 ), ਜਾਂ ( 5,−4 ) ਅਤੇ ( 5,0 ) ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( h±c,k ), ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 । c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
ਇਸ ਲਈ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 5− 5 ,−2 ) ਅਤੇ ( 5+ 5 ,−2 ) ਹਨ।
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਹਿਆਂ, ਉਪਗ੍ਰਹਾਂ, ਚੰਦਾਂ ਅਤੇ ਧੂਮਕੇਤੂਆਂ ਦੀਆਂ ਕੱਕੇ, ਅਤੇ ਕਿਸ਼ਤੀਆਂ ਦੇ ਕੀਲ, ਰੱਡਰ, ਅਤੇ ਕੁਝ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਦੇ ਖੰਭਾਂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਲਿਥੋਟ੍ਰਿਪਟਰ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਡਾਕਟਰੀ ਉਪਕਰਣ ਅਲਿਪਟੀਕਲ ਰਿਫਲੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਧੁਨੀ ਤਰੰਗਾਂ ਪੈਦਾ ਕਰਕੇ ਗੁਰਦੇ ਦੀਆਂ ਪੱਥਰੀਆਂ ਨੂੰ ਤੋੜਨ ਲਈ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਇਮਾਰਤਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸਪਰਿੰਗ ਚੈਂਬਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਗੁੰਬਦਾਂ ਨਾਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਡਿਜ਼ਾਇਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਬੋਲਣ ਵਾਲਾ ਵਿਅਕਤੀ ਦੂਜੇ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਵਿਅਕਤੀ ਦੁਆਰਾ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਸੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਧੁਨੀ ਗੁਣਾਂ ਕਾਰਨ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਧੁਨੀ ਤਰੰਗ ਇੱਕ ਵਿਸਪਰਿੰਗ ਚੈਂਬਰ ਦੇ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਧੁਨੀ ਤਰੰਗ ਅੰਡਾਕਾਰ ਗੁੰਬਦ ਤੋਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਹੋ ਕੇ ਦੂਜੇ ਫੋਕਸ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਜਾਵੇਗੀ। ਚਿੱਤਰ 12 ਦੇਖੋ। ਸ਼ਿਕਾਗੋ ਵਿੱਚ ਸਾਇੰਸ ਐਂਡ ਇੰਡਸਟਰੀ ਮਿਊਜ਼ੀਅਮ ਵਿੱਚ ਵਿਸਪਰ ਚੈਂਬਰ ਵਿੱਚ, ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਦੋ ਲੋਕ—ਲਗਭਗ 43 ਫੁੱਟ ਦੂਰ—ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੀਆਂ ਫੁਸਫੁਸਾਹਟਾਂ ਸੁਣ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਇਹ ਚੈਂਬਰ ਅਚਾਨਕ ਥਾਵਾਂ 'ਤੇ ਰੱਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹਿਊਸਟਨ ਵਿੱਚ ਬੁਸ਼ ਇੰਟਰਨੈਸ਼ਨਲ ਏਅਰਪੋਰਟ ਅਤੇ ਨਿਊਯਾਰਕ ਸਿਟੀ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰੈਂਡ ਸੈਂਟਰਲ ਟਰਮੀਨਲ ਦੇ ਅੰਦਰ, ਉਹ ਯਾਤਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਹੈਰਾਨ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਤੀਕਿਰਿਆਵਾਂ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 12: ਧੁਨੀ ਤਰੰਗਾਂ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਕਮਰੇ, ਜਿਸਨੂੰ ਵਿਸਪਰਿੰਗ ਚੈਂਬਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਵਿੱਚ ਫੋਕਸਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
1. ਮਿਸਾਲ 7
2. ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਵਾਲੇ ਕਮਰੇ ਦੇ ਕੇਂਦਰਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
3. ਕਲਾ ਗੈਲਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਵੱਡਾ ਕਮਰਾ ਇੱਕ ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਵਾਲਾ ਕਮਰਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਮਾਪ 46 ਫੁੱਟ ਚੌੜਾ ਅਤੇ 96 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 13 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
4. ਕਮਰੇ ਦੀ ਰੂਪਰੇਖਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਕੀ ਹੈ? ਸੰਕੇਤ: ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਮੰਨੋ, ਅਤੇ ਕਮਰੇ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਮੰਨੋ।
5. ਜੇਕਰ ਇਸ ਕਮਰੇ ਦੇ ਕੇਂਦਰਾਂ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਦੋ ਸੈਲਾਨੀ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਸੁਣ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਦੋ ਸੈਲਾਨੀ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਹਨ? ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
6. ਹੱਲ
7. ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਮੰਨ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ ਰੂਪ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $a>b$। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, $2a$, ਛੋਟੇ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, $2b$, ਤੋਂ ਲੰਬੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਕਮਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, 96, ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਮਰੇ ਦੀ ਚੌੜਾਈ, 46, ਛੋਟੇ ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। $a$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ $2a=96$, ਇਸ ਲਈ $a=48$, ਅਤੇ $a^2=2304$ ਹੈ। $b$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ $2b=46$, ਇਸ ਲਈ $b=23$, ਅਤੇ $b^2=529$ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ $x^2/2304 + y^2/529 = 1$ ਹੈ।
8. ਸੈਨੇਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਕੇਂਦਰਾਂ, $(\pm c, 0)$, ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਲੱਭਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $c^2 = a^2 - b^2$। $c$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ: $c^2 = a^2 - b^2$ $c^2 = 2304 - 529$ (a) ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਦਲੋ। $c = \pm \sqrt{2304 - 529}$ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗਮੂਲ ਲਓ। $c = \pm \sqrt{1775}$ ਘਟਾਓ। $c \approx \pm 42$ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ। ਸੈਨੇਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ $2(42) = 84$ ਫੁੱਟ ਹੈ।
9. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
10. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਵਾਲਾ ਕਮਰਾ 480 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਅਤੇ 320 ਫੁੱਟ ਚੌੜਾ ਹੈ।
11. ⓐ ਕਮਰੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਕੀ ਹੈ? ਸੰਕੇਤ: ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਮੰਨੋ, ਅਤੇ ਕਮਰੇ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਮੰਨੋ। ⓑ ਜੇਕਰ ਦੋ ਵਿਅਕਤੀ ਇਸ ਕਮਰੇ ਦੇ ਕੇਂਦਰਾਂ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਸੁਣ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਵਿਅਕਤੀ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਹਨ? ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
12. ਮੀਡੀਆ
13. ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
14. ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ: ਅੰਡਾਕਾਰ
15. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ
16. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ
17. ਸ਼ਬਦਕ
18. ਕੇਂਦਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
19. ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਕਿੱਥੇ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ?
20. ਜਦੋਂ ਮੁੱਖ ਅਤੇ ਛੋਟਾ ਧੁਰਾ ਇੱਕੋ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਹੋਣ ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕਿਹੜਾ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
21. ਪਿਛਲੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲੇ ਲਈ, ਉਸ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰਾਂ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸੱਚ ਹੋਵੇਗਾ?
22. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਕੇਂਦਰ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
23. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ
24. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
4 x 2 + y = 4
4 x 2 +9 y 2 =36
4 x 2 − y 2 =4
4 x 2 +9 y 2 =1
4 x 2 −8x+9 y 2 −72y+112=0
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ, ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਅਤੇ ਲਘੂਰ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
x 2 4 + y 2 49 =1
x 2 100 + y 2 64 =1
x 2 +9 y 2 =1
4 x 2 +16 y 2 =1
( x−2 ) 2 49 + ( y−4 ) 2 25 =1
( x−2 ) 2 81 + ( y+1 ) 2 16 =1
( x+5 ) 2 4 + ( y−7 ) 2 9 =1
( x−7 ) 2 49 + ( y−7 ) 2 49 =1
4 x 2 −8x+9 y 2 −72y+112=0
9 x 2 −54x+9 y 2 −54y+81=0
4 x 2 −24x+36 y 2 −360y+864=0
4 x 2 +24x+16 y 2 −128y+228=0
4 x 2 +40x+25 y 2 −100y+100=0
x 2 +2x+100 y 2 −1000y+2401=0
4 x 2 +24x+25 y 2 +200y+336=0
9 x 2 +72x+16 y 2 +16y+4=0
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਲਈ ਨਾਭੀਆਂ ਲੱਭੋ।
( x+3 ) 2 25 + ( y+1 ) 2 36 =1
( x+1 ) 2 100 + ( y−2 ) 2 4 =1
x² + y² = 1
x² + 4y² + 4x + 8y = 1
10 x 2 + y 2 +200x=0
1. ਚਿੱਤਰ-ਮਈ
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਅੰਡਕਾਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ, ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ।
x² 25 + y² 36 = 1
x² 16 + y² 9 = 1
4 x 2 +9 y 2 =1
81 x 2 +49 y 2 =1
( x−2 ) 2 64 + ( y−4 ) 2 16 =1
( x+3 ) 2 9 + ( y−3 ) 2 9 =1
x² + (y+1)² = 5
4 x^2 − 8x + 16 y^2 − 32y − 44 = 0
x^2 − 8x + 25 y^2 − 100y + 91 = 0
x^2 + 8x + 4y^2 - 40y + 112 = 0
64 x 2 +128x+9 y 2 −72y−368=0
16 x^2 + 64x + 4 y^2 - 8y + 4 = 0
੧੦੦ x² + ੧੦੦੦x + y² − ੧੦y + ੨੪੨੫ = ੦
4x^2 + 16x + 4y^2 + 16y + 16 = 0
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਾਰੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
1. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ, x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਮਿਤੀ, ਫੋਕਸ (4,0) 'ਤੇ, (4,0), ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ (0,3). (0,3).
ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਮਿਤੀ, ਨਾਭੀਆਂ (0,−2), (0,−2), ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ (5,0).
ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਮਿਤੀ, ਫੋਕਸ (3,0), (3,0) 'ਤੇ, ਅਤੇ ਦੀਰਘ ਧੁਰਾ ਲਘੂ ਧੁਰੇ ਨਾਲੋਂ ਦੁੱਗਣਾ ਲੰਬਾ ਹੈ।
ਕੇਂਦਰ ( 4,2 ) ( 4,2 ) ; ਸਿਖਰ ( 9,2 ) ( 9,2 ) ; ਇੱਕ ਨਾਭੀ: ( 4+2 6 ,2 ) ( 4+2 6 ,2 ) .
ਕੇਂਦਰ ( 3,5 ) ( 3,5 ) ; ਸਿਖਰ ( 3,11 ) ( 3,11 ) ; ਇੱਕ ਨਾਭੀ: ( 3,5+4 2 ) ( 3,5+4 2 )
ਕੇਂਦਰ ( −3,4 ) ( −3,4 ) ; ਸਿਖਰ ( 1,4 ) ( 1,4 ) ; ਇੱਕ ਨਾਭੀ: ( −3+2 3 ,4 ) ( −3+2 3 ,4 )
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਇਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਵਿਸਥਾਰ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਫਾਰਮੂਲਾ Area=a⋅b⋅π ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। Area=a⋅b⋅π।
( x−3 ) 2 9 + ( y−3 ) 2 16 =1
( x+6 ) 2 16 + ( y−6 ) 2 36 =1
( x+1 ) 2 4 + ( y−2 ) 2 5 =1
4 x 2 −8x+9 y 2 −72y+112=0
9 x 2 −54x+9 y 2 −54y+81=0
ਵਾਸਤਵਿਕ-ਜਗਤ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
ਉਸ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ 8 ਯੂਨਿਟ ਚੌੜੇ ਅਤੇ 4 ਯੂਨਿਟ ਉੱਚੇ ਬਕਸੇ ਵਿੱਚ ਬਿਲਕੁਲ ਫਿੱਟ ਹੋ ਜਾਵੇ।
ਉਸ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਆਪਣੀ ਉਚਾਈ ਨਾਲੋਂ ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਚੌੜੇ ਬਕਸੇ ਵਿੱਚ ਬਿਲਕੁਲ ਫਿੱਟ ਹੋ ਜਾਵੇ। ਉਚਾਈ, h, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਮਹਿਰਾਬ (arch) ਦਾ ਆਕਾਰ ਅਰਧ-ਅੰਡਾਕਾਰ (semi-ellipse) ਹੈ (ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਉੱਪਰਲਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ)। ਮਹਿਰਾਬ ਦੀ ਉਚਾਈ 8 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਪਸਾਰ 20 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 4 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਮਹਿਰਾਬ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ 0.01 ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਮਹਿਰਾਬ (arch) ਦਾ ਆਕਾਰ ਅਰਧ-ਅੰਡਾਕਾਰ (semi-ellipse) ਹੈ। ਮਹਿਰਾਬ ਦੀ ਉਚਾਈ 12 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਪਸਾਰ 40 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ 6 ਫੁੱਟ ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕੇਂਦਰ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰੋ। ਸੌਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਪੁਲ ਅਰਧ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਮਹਿਰਾਬ (semi-elliptical arch) ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਬਣਾਇਆ ਜਾਣਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਪਸਾਰ 120 ਫੁੱਟ ਹੋਣਾ ਹੈ। ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 40 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਮਹਿਰਾਬ ਦੀ ਉਚਾਈ 8 ਫੁੱਟ ਹੋਣੀ ਹੈ। ਮਹਿਰਾਬ ਦੀ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਗੁਪਤ ਗੈਲਰੀ (whispering gallery) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਾਭੀ (focus) 'ਤੇ ਖੜ੍ਹਾ ਵਿਅਕਤੀ ਦੂਜੀ ਨਾਭੀ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਵਿਅਕਤੀ ਨਾਲ ਗੁਪਤ ਗੱਲ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸਨੂੰ ਸੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਛੱਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਧੁਨੀ ਤਰੰਗਾਂ ਦੂਜੇ ਵਿਅਕਤੀ ਵੱਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਗੁਪਤ ਗੈਲਰੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 120 ਫੁੱਟ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 30 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਤਾਂ ਗੈਲਰੀ ਦੇ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਛੱਤ ਦੀ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਗੁਪਤ ਗੈਲਰੀ (whispering gallery) ਵਿੱਚ ਨੇੜਲੀ ਕੰਧ ਤੋਂ 8 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਉਹ ਵਿਅਕਤੀ ਇੱਕ ਨਾਭੀ (focus) 'ਤੇ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਨਾਭੀ 80 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੈਲਰੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਉਚਾਈ ਕੀ ਹੈ?