Try It
ⓐ 11 1 11 1
ⓑ 3 1 3 1
ⓒ − 4 1 − 4 1
ⓐ4 (or 4.0), terminating;
ⓑ 0. 615384 ¯ , 0. 615384 ¯ , repeating;
ⓒ–0.85, terminating
ⓐrational and repeating;
ⓑrational and terminating;
ⓒirrational;
ⓓrational and terminating;
ⓔirrational
ⓐpositive, irrational; right
ⓑnegative, rational; left
ⓒpositive, rational; right
ⓓnegative, irrational; left
ⓔpositive, rational; right
row: N | W | I | Q | Q'
row: a. − 35 7 − 35 7 | X | X
row: b. 0 | X | X | X
row: c. 169 169 | X | X | X | X
row: d. 24 24 | X
row: e. 4.763763763... | X
ⓐ10
ⓑ2
ⓒ4.5
ⓓ25
ⓔ26
ⓐ11, commutative property of multiplication, associative property of multiplication, inverse property of multiplication, identity property of multiplication;
ⓑ33, distributive property;
ⓒ26, distributive property;
ⓓ 4 9 , 4 9 , commutative property of addition, associative property of addition, inverse property of addition, identity property of addition;
ⓔ0, distributive property, inverse property of addition
row: Constants | Variables
row: a. 2πr( r+h ) 2πr( r+h ) | 2,π 2,π | r,h r,h
row: b. 2(L + W) | 2 | L, W
row: c. 4 y 3 +y 4 y 3 +y | 4 | y y
ⓐ5;
ⓑ11;
ⓒ9;
ⓓ26
ⓐ4;
ⓑ11;
ⓒ 121 3 π 121 3 π ;
ⓓ1728;
ⓔ3
1,152 cm2
ⓐ −2y−2zor −2( y+z ); −2y−2zor −2( y+z );
ⓑ 2 t −1; 2 t −1;
ⓒ 3pq−4p+q; 3pq−4p+q;
ⓓ 7r−2s+6 7r−2s+6
A=P( 1+rt ) A=P( 1+rt )
ⓐ k 15 k 15
ⓑ ( 2 y ) 5 ( 2 y ) 5
ⓒ t 14 t 14
ⓐ s 7 s 7
ⓑ ( −3 ) 5 ( −3 ) 5
ⓒ ( e f 2 ) 2 ( e f 2 ) 2
ⓐ ( 3y ) 24 ( 3y ) 24
ⓑ t 35 t 35
ⓒ ( −g ) 16 ( −g ) 16
ⓐ 1 1
ⓑ 1 2 1 2
ⓒ 1 1
ⓓ 1 1
ⓐ 1 ( −3t ) 6 1 ( −3t ) 6
ⓑ 1 f 3 1 f 3
ⓒ 2 5 k 3 2 5 k 3
ⓐ t −5 = 1 t 5 t −5 = 1 t 5
ⓑ 1 25 1 25
ⓐ g 10 h 15 g 10 h 15
ⓑ 125 t 3 125 t 3
ⓒ −27 y 15 −27 y 15
ⓓ 1 ਏ 18 ਬੀ 21 1 ਏ 18 ਬੀ 21
ⓔ R 12 S 8 R 12 S 8
ⓐ B 15 C 3 B 15 C 3
ⓑ 625 U 32 625 U 32
ⓒ −1 W 105 −1 W 105
ⓓ Q 24 P 32 Q 24 P 32
ⓔ 1 C 20 D 12 1 C 20 D 12
ⓐ V 6 8 U 3 V 6 8 U 3
ⓑ 1 X 3 1 X 3
ⓒ E 4 F 4 E 4 F 4
ⓓ 27R S 27R S
ⓔ 1 1
ⓕ 16 H 10 49 16 H 10 49
ⓐ $1.52× 10 5 $1.52× 10 5
ⓑ 7.158× 10 9 7.158× 10 9
ⓒ $8.55× 10 13 $8.55× 10 13
ⓓ 3.34× 10 −9 3.34× 10 −9
ⓔ 7.15× 10 −8 7.15× 10 −8
ⓐ 703,000 703,000
ⓑ −816,000,000,000 −816,000,000,000
ⓒ −0.00000000000039 −0.00000000000039
ⓓ 0.000008 0.000008
ⓐ −8.475× 10 6 −8.475× 10 6
ⓑ 8× 10 −8 8× 10 −8
2.976× 10 13
−4.3× 10 6
≈1.24× 10 15
ਕੋਸ਼ਿਕਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ: 3× 10 13 ; ਇੱਕ ਕੋਸ਼ਿਕਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ: 8× 10 −6 ਮੀਟਰ; ਕੁੱਲ ਲੰਬਾਈ: 2.4× 10 8 ਮੀਟਰ ਜਾਂ 240,000,000 ਮੀਟਰ।
15
3
4
17
5| x || y | 2yz . 5| x || y | 2yz . ਕੀ ਤੁਸੀਂ x ਅਤੇ y ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਮਾਪ (absolute value) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇਖੇ? ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ!
10| x |
x 2 3 y 2 . x 2 3 y 2 . ਸਾਨੂੰ y 2 y 2 ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਮਾਪ (absolute value) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਪਦ ਹਮੇਸ਼ਾ ਗੈਰ-ਰਿਣਾਤਮਕ (nonnegative) ਹੋਵੇਗਾ।
b 4 3ab
13 5
0
6 6
14−7 3
−6
6
88 9 3
( 9 ) 5 = 3 5 =243
x (5y) 9 2
28 x 23 15
ਡਿਗਰੀ 6 ਹੈ, ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ − x 6 ਹੈ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ (leading coefficient) −1 ਹੈ।
2 x 3 +7 x 2 −4x−3
−11 x 3 − x 2 +7x−9
3 x 4 −10 x 3 −8 x 2 +21x+14
3 x 2 +16x−35
16 x 2 −8x+1
4 x 2 −49
6 x 2 +21xy−29x−7y+9
( b 2 −a)(x+6)
(x−6)(x−1)
(2x+3)(x+3)
( 3x−1 )( 2x+1 )
(7x−1) 2
(9y+10)(9y−10)
(6a+b)(36 a 2 −6ab+ b 2 )
(10x−1)( 100 x 2 +10x+1 )
(5a−1) − 1 4 (17a−2)
1 x+6
(x+5)(x+6) (x+2)(x+4)
1
2(x−7) (x+5)(x−3)
x 2 − y 2 x y 2
1.1 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ। ਦੋ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਖਤਮ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਅਤੇ ਇਹ ਕਿਸੇ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਉਂਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਦੋ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਅਪਰਿਮੇਯ ਹੈ।
ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ ਦੱਸਦੇ ਹਨ ਕਿ ਕਈ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਜਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਸਮੂਹਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹੀ ਕਿਰਿਆ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ (ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ), ਇਸ ਲਈ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ-ਵਿਵਸਥਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
−6
-2
-9
9
-2
4
0
9
25
-6
17
4
14
-66
-12
-44
-2
-14y-11
-4b+1
43z-3
9y+45
-6b+6
16x^3
9x
1/2(40-10)+5
ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ
g+400−2( 600 )=1200 g+400−2( 600 )=1200
ਜੋੜ ਦਾ ਉਲਟ ਗੁਣ
68.4
ਸੱਚ
ਅਪਰਿਮੇਯ
ਪਰਿਮੇਯ
1.2 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
ਨਹੀਂ, ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਘਾਤਾਂਕ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਆਧਾਰ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਇਸ ਲਈ 2 3 2 3, 2×2×2, 2×2×2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 8 ਹੈ। 3 2 3 2, 3×3, 3×3 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 9 ਹੈ।
ਇਹ ਬਹੁਤ ਛੋਟੀਆਂ ਅਤੇ ਬਹੁਤ ਵੱਡੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਹੈ।
81
243
1/16 1/16
1/11 1/11
1
4/9 4/9
12/40 12/40
1/79 1/79
3.14 × 10⁻⁵ 3.14 × 10⁻⁵
16,000,000,000
a⁴ a⁴
b⁶c⁸ b⁶c⁸
a²b³d⁴ a²b³d⁴
m⁴ m⁴
੧. ੫ ੬ ੫ ੬
੨. ੨੧ ੧੪ ੨੧ ੧੪
੩. ੨੫ ੨੫
੪. ੭੨ ੨ ੭੨ ੨
੫. ੩ ੯ ੩ ੯
੬. ੮੧ ੬ ੮੧ ੬
੭. ੬੬੨੬੦੬੯੫੭ x ੧੦⁻¹੬ ਮੀਟਰ
੮. ੧.੦੯੯੫ x ੧੦¹²
੯. ੩.੩੯੭ x ੧੦⁻¹¹ ਇੰਚ
੧੦. ੧੨,੨੩੦,੫੯੦,੪੬੪ ਮੀਟਰ ੬੬ ਮੀਟਰ ੬੬
੧੧. ੧੪ ੧੨੯੬
੧੨. ੯ ੯
੧੩. ੬ ੬ ੬
੧੪. ੬.੬੨੬੦੬੯੫੭ x ੧੦⁻³⁴ ਜੂਲ-ਸੈਕੰਡ
੧੫. ੧.੩ ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
੧੬. ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਸੂਚਕਾਂਕ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ੨ ਜਾਂ ਵਰਗਮੂਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਕੇਵਲ ਤਾਂ ਹੀ ਰੇਡਿਕੈਂਡ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗਾ ਜੇਕਰ ਸੂਚਕਾਂਕ ੧ ਹੋਵੇ।
੧੭. ਮੁੱਖ ਵਰਗਮੂਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਗੈਰ-ऋਣਾਤਮਕ ਮੂਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
੧੮. ੧੬
੧੯. ੧੦
੨੦. ੧੪
੨੧. ੭ ੨ ੭ ੨
੨੨. ੯ ੫ ੫ ੯ ੫ ੫
੨੩. ੨੫
੨੪. ੨ ੨
੨ ੬ ੨ ੬
੫ ੬ ੫ ੬
੬ ੩੫ ੬ ੩੫
੨ ੧੫ ੨ ੧੫
੬ ੧੦ ੧੯ ੬ ੧੦ ੧੯
− ੧+ ੧੭ ੨ − ੧+ ੧੭ ੨
੭ ੨ ੩ ੭ ੨ ੩
੧੫ ੫ ੧੫ ੫
੨੦ x ੨ ੨੦ x ੨
੭ p ੭ p
੧੭ m ੨ m ੧੭ m ੨ m
੨b a ੨b a
੧੫x ੭ ੧੫x ੭
੫ y ੪ ੨ ੫ y ੪ ੨
੪ ੭d ੭d ੪ ੭d ੭d
੨ ੨ +੨ ੬x ੧−੩x ੨ ੨ +੨ ੬x ੧−੩x
−w ੨w −w ੨w
੩ x − ੩x ੨ ੩ x − ੩x ੨
੫ n ੫ ੫ ੫ n ੫ ੫
੯ m ੧੯m ੯ m ੧੯m
੨ ੩d ੨ ੩d
੩ ੨ x ੨ ੪ ੨ ੩ ੨ x ੨ ੪ ੨
੬z ੨ ੩ ੬z ੨ ੩
੫੦੦ feet
−5 2 −6 7 −5 2 −6 7
mnc a 9 cmn mnc a 9 cmn
2 x+1 2 2 2 x+1 2 2
3 3 3 3
1.4 Section Exercises
The statement is true. In standard form, the polynomial with the highest value exponent is placed first and is the leading term. The degree of a polynomial is the value of the highest exponent, which in standard form is also the exponent of the leading term.
Use the distributive property, multiply, combine like terms, and simplify.
2
8
2
4 x 2 +3x+19 4 x 2 +3x+19
3 w 2 +30w+21 3 w 2 +30w+21
11 b 4 −9 b 3 +12 b 2 −7b+8 11 b 4 −9 b 3 +12 b 2 −7b+8
24 x 2 −4x−8 24 x 2 −4x−8
24 b 4 −48 b 2 +24 24 b 4 −48 b 2 +24
99 v 2 −202v+99 99 v 2 −202v+99
8 n 3 −4 n 2 +72n−36 8 n 3 −4 n 2 +72n−36
9 y 2 −42y+49 9 y 2 −42y+49
16 p 2 +72p+81 16 p 2 +72p+81
9 y 2 −36y+36 9 y 2 −36y+36
16 c 2 −1 16 c 2 −1
225 n 2 −36 225 n 2 −36
−16 m 2 +16 −16 m 2 +16
121 q 2 −100 121 q 2 −100
16 t 4 +4 t 3 −32 t 2 −t+7
y 3 −6 y 2 −y+18
3 p 3 − p 2 −12p+10
a 2 − b 2
16 t 2 −40tu+25 u 2
4 t 2 + x 2 +4t−5tx−x
24 r 2 +22rd−7 d 2
32 x 2 −4x−3 m2
32 t 3 −100 t 2 +40t+38
a 4 +4 a 3 c−16a c 3 −16 c 4
1.5 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਪੂਰੇ ਬਹੁਪਦ ਲਈ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੋਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, 4 x 2 ਅਤੇ −9 y 2 ਦਾ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ ਪੂਰਾ ਬਹੁਪਦ ਅਜੇ ਵੀ ਗੁਣਨਖੰਡਯੋਗ ਹੈ: 4 x 2 −9 y 2 =( 2x+3y )( 2x−3y )।
x x ਪਦ ਨੂੰ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ, ਹਰੇਕ ਭਾਗ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਪੂਰੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ GCF ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
7m
10 m 3
y
( 2a−3 )( a+6 )
( 3n−11 )( 2n+1 )
( p+1 )( 2p−7 )
( 5h+3 )( 2h−3 )
( 9d−1 )( d−8 )
( 12t+13 )( t−1 )
(4x+10)(4x−10)
(11p+13)(11p−13)
(19d+9)(19d−9) (19d+9)(19d−9)
(12b+5c)(12b−5c) (12b+5c)(12b−5c)
( 7n+12 ) 2 ( 7n+12 ) 2
( 15y+4 ) 2 ( 15y+4 ) 2
(5p−12) 2 (5p−12) 2
(x+6)( x 2 −6x+36) (x+6)( x 2 −6x+36)
(5a+7)(25 a 2 −35a+49) (5a+7)(25 a 2 −35a+49)
(4x−5)(16 x 2 +20x+25) (4x−5)(16 x 2 +20x+25)
(5r+12s)(25 r 2 −60rs+144 s 2 ) (5r+12s)(25 r 2 −60rs+144 s 2 )
( 2c+3 ) − 1 4 ( −7c−15 ) ( 2c+3 ) − 1 4 ( −7c−15 )
( x+2 ) − 2 5 ( 19x+10 ) ( x+2 ) − 2 5 ( 19x+10 )
( 2z−9 ) − 3 2 ( 27z−99 ) ( 2z−9 ) − 3 2 ( 27z−99 )
( 14x−3 )( 7x+9 ) ( 14x−3 )( 7x+9 )
( 3x+5 )( 3x−5 ) ( 3x+5 )( 3x−5 )
(2x+5) 2 (2x−5) 2 (2x+5) 2 (2x−5) 2
(4 z 2 +49 a 2 )(2z+7a)(2z−7a) (4 z 2 +49 a 2 )(2z+7a)(2z−7a)
1 ( 4x+9 )( 4x−9 )( 2x+3 ) 1 ( 4x+9 )( 4x−9 )( 2x+3 )
1.6 Section Exercises
You can factor the numerator and denominator to see if any of the terms can cancel one another out.
True. Multiplication and division do not require finding the LCD because the denominators can be combined through those operations, whereas addition and subtraction require like terms.
y+5 y+6 y+5 y+6
3b+3 3b+3
x+4 2x+2 x+4 2x+2
a+3 a−3 a+3 a−3
3n−8 7n−3 3n−8 7n−3
c−6 c+6 c−6 c+6
1 1
d 2 −25 25 d 2 −1 d 2 −25 25 d 2 −1
t+5 t+3 t+5 t+3
6x−5 6x+5 6x−5 6x+5
p+6 4p+3 p+6 4p+3
2d+9 d+11 2d+9 d+11
12b+5 3b−1 12b+5 3b−1
4y−1 y+4 4y−1 y+4
10x+4y xy 10x+4y xy
9a−7 a 2 −2a−3 9a−7 a 2 −2a−3
2 y 2 −y+9 y 2 −y−2 2 y 2 −y+9 y 2 −y−2
5 z 2 +z+5 z 2 −z−2 5 z 2 +z+5 z 2 −z−2
x+2xy+y x+xy+y+1 x+2xy+y x+xy+y+1
2b+7a a b 2 2b+7a a b 2
18+ab 4b 18+ab 4b
a−b a−b
3 c 2 +3c−2 2 c 2 +5c+2 3 c 2 +3c−2 2 c 2 +5c+2
15x+7 x−1 15x+7 x−1
x+9 x−9 x+9 x−9
1 y+2 1 y+2
4 4
Review Exercises
−5 −5
53
y=24 y=24
32m 32m
whole
irrational
16 16
3 a 6 3 a 6
x 3 32 y 3 x 3 32 y 3
a a
1.634× 10 7 1.634× 10 7
14
5 3 5 3
4 2 5 4 2 5
7 2 50 7 2 50
10 3 10 3
−3 −3
3 x 3 +4 x 2 +6 3 x 3 +4 x 2 +6
5 x 2 −x+3 5 x 2 −x+3
k 2 −3k−18 k 2 −3k−18
x 3 + x 2 +x+1 x 3 + x 2 +x+1
3 a 2 +5ab−2 b 2 3 a 2 +5ab−2 b 2
9p 9p
4 a 2 4 a 2
(8a^2 + 30a - 27)
(x^2 + 10x + 25)
(4h^2 - 12hk + 9k^2)
(p^3 + 216)
(64q^3 - 27p^3)
(p+3)^13 (-5p-24)
(x+3)/(x-4)
1/2
(m+2)/(m-3)
(6x+10y)/(xy)
1/6
ਅਭਿਆਸ ਪ੍ਰੀਖਿਆ
ਪਰਿਮੇਯ
x = -2
3,141,500
16
9
2x
21
12
7/2
13q^3 - 4q^2 - 5q
(n-2)^3
(16x^2 - 81)
(3c−11)(9c^2+33c+121)
4ਜ਼−3 2ਜ਼−1 4ਜ਼−3 2ਜ਼−1
3a+2b 3b 3a+2b 3b