Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
Recognize the relationship between the solutions of an equation and its graph
Graph a linear equation by plotting points
Graph vertical and horizontal lines
Be Prepared 4.4
Before you get started, take this readiness quiz.
Evaluate 3x+23x+2 when x=−1x=−1. If you missed this problem, review Example 1.57.
Be Prepared 4.5
Solve 3x+2y=123x+2y=12 for yy in general. If you missed this problem, review Example 2.63.
Recognize the Relationship Between the Solutions of an Equation and its Graph
In the previous section, we found several solutions to the equation 3x+2y=63x+2y=6. They are listed in Table 4.10. So, the ordered pairs (0,3)(0,3), (2,0)(2,0), and (1,32)(1,32) are some solutions to the equation 3x+2y=63x+2y=6. We can plot these solutions in the rectangular coordinate system as shown in Figure 4.5.
row: 3x+2y=63x+2y=6
row: xx | yy | (x,y)(x,y)
row: 0 | 3 | (0,3)(0,3)
row: 2 | 0 | (2,0)(2,0)
row: 1 | 3232 | (1,32)(1,32)
Notice how the points line up perfectly? We connect the points with a line to get the graph of the equation 3x+2y=63x+2y=6. See Figure 4.6. Notice the arrows on the ends of each side of the line. These arrows indicate the line continues.
Every point on the line is a solution of the equation. Also, every solution of this equation is a point on this line. Points not on the line are not solutions.
Notice that the point whose coordinates are (−2,6)(−2,6) is on the line shown in Figure 4.7. If you substitute x=−2x=−2 and y=6y=6 into the equation, you find that it is a solution to the equation.
So the point (−2,6)(−2,6) is a solution to the equation 3x+2y=63x+2y=6. (The phrase “the point whose coordinates are (−2,6)(−2,6)” is often shortened to “the point (−2,6)(−2,6).”)
So (4,1)(4,1) is not a solution to the equation 3x+2y=63x+2y=6. Therefore, the point (4,1)(4,1) is not on the line. See Figure 4.6. This is an example of the saying, “A picture is worth a thousand words.” The line shows you all the solutions to the equation. Every point on the line is a solution of the equation. And, every solution of this equation is on this line. This line is called the graph of the equation 3x+2y=63x+2y=6.
Graph of a Linear Equation
The graph of a linear equation Ax+By=CAx+By=C is a line.
1. ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ।
2. ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹਰ ਹੱਲ ਇਸ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 4.10
4. y=2x−3y=2x−3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
5. ਹਰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਲਈ, ਫੈਸਲਾ ਕਰੋ:
6. ⓐ ਕੀ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ? ⓑ ਕੀ ਬਿੰਦੂ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਹੈ?
7. A (0,−3)(0,−3) B (3,3)(3,3) C (2,−3)(2,−3) D (−1,−5)(−1,−5)
8. ਹੱਲ
9. ਇਹ ਜਾਂਚਣ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ, x- ਅਤੇ y- ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
10. ⓐ
11. ⓑ ਬਿੰਦੂਆਂ A (0,3)(0,3), B (3,3)(3,3), C (2,−3)(2,−3), ਅਤੇ D (−1,−5)(−1,−5) ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
12. ਬਿੰਦੂ (0,3)(0,3), (3,3)(3,3), ਅਤੇ (−1,−5)(−1,−5) ਰੇਖਾ y=2x−3y=2x−3 ਉੱਤੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (2,−3)(2,−3) ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਨਹੀਂ ਹੈ।
13. ਜਿਹੜੇ ਬਿੰਦੂ y=2x−3y=2x−3 ਦੇ ਹੱਲ ਹਨ, ਉਹ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਹਨ, ਪਰ ਜਿਹੜਾ ਬਿੰਦੂ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਉਹ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਨਹੀਂ ਹੈ।
14. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 4.19
15. y=3x−1y=3x−1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਹੈ:
16. ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ।
17. ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ।
18. ⓐ (0,−1)(0,−1) ⓑ (2,5)(2,5)
19. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 4.20
20. y=3x−1y=3x−1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਹੈ:
21. ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ
22. ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ
23. ⓐ (3,−1)(3,−1) ⓑ (−1,−4)(−1,−4)
24. ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਤਰੀਕੇ ਵਰਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਜਿਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਅਸੀਂ 3x+2y=6 ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ, ਜਾਂ ਬਿੰਦੂ-ਪਲਾਟਿੰਗ ਵਿਧੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.11
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ y=2x+1 ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.21
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ: y=2x−3।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.22
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ: y=−2x+4।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਵੇਲੇ ਚੁੱਕੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਕਦਮ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਤਿੰਨ ਅਜਿਹੇ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਹੋਣ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 2. ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਪਲਾਟ ਕਰੋ। ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 3. ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਖਿੱਚੋ। ਲਾਈਨ ਨੂੰ ਗਰਿੱਡ ਭਰਨ ਤੱਕ ਵਧਾਓ ਅਤੇ ਲਾਈਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਸਿਰਿਆਂ 'ਤੇ ਤੀਰ ਲਗਾਓ।
ਇਹ ਸੱਚ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਰਫ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਆਦਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਸਿਰਫ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਗਲਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਵੀ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਖਿੱਚ ਸਕਦੇ ਹੋ ਪਰ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਏਗੀ ਨਹੀਂ। ਇਹ ਗਲਤ ਲਾਈਨ ਹੋਵੇਗੀ।
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਗਲਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਆਉਣਗੇ। ਇਹ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੁਝ ਗਲਤ ਹੈ ਅਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.8 ਦੇ ਭਾਗ (a) ਅਤੇ ਭਾਗ (b) ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ।
ਆਓ ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨ ਕਰੀਏ। ਇਸ ਵਾਰ, ਅਸੀਂ ਆਖਰੀ ਦੋ ਕਦਮਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਗਰਿੱਡ 'ਤੇ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.12
ਸਮੀਕਰਨ y=−3x ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਤਿੰਨ ਅਜਿਹੇ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਹੋਣ। ਇੱਥੇ, ਦੁਬਾਰਾ, x ਲਈ ਮੁੱਲ ਚੁਣਨਾ ਆਸਾਨ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋ ਕਿਉਂ?
ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਸਾਰਣੀ 4.11 ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਤਰ: y=−3x
row: xx | yy | (x,y)(x,y)
row: 0 | 0 | (0,0)(0,0)
row: 1 | −3−3 | (1,−3)(1,−3)
row: −2−2 | 6 | (−2,6)(−2,6)
Plot the points, check that they line up, and draw the line.
Try It 4.23
Graph the equation by plotting points: y=−4xy=−4x.
Try It 4.24
Graph the equation by plotting points: y=xy=x.
When an equation includes a fraction as the coefficient of xx, we can still substitute any numbers for xx. But the math is easier if we make ‘good’ choices for the values of xx. This way we will avoid fraction answers, which are hard to graph precisely.
Example 4.13
Graph the equation y=12x+3y=12x+3.
Solution
Find three points that are solutions to the equation. Since this equation has the fraction 1212 as a coefficient of x,x, we will choose values of xx carefully. We will use zero as one choice and multiples of 2 for the other choices. Why are multiples of 2 a good choice for values of xx?
The points are shown in Table 4.12.
row: y=12x+3y=12x+3
row: xx | yy | (x,y)(x,y)
row: 0 | 3 | (0,3)(0,3)
row: 2 | 4 | (2,4)(2,4)
row: 4 | 5 | (4,5)(4,5)
Plot the points, check that they line up, and draw the line.
Try It 4.25
Graph the equation y=13x−1y=13x−1.
Try It 4.26
Graph the equation y=14x+2y=14x+2.
So far, all the equations we graphed had yy given in terms of xx. Now we’ll graph an equation with xx and yy on the same side. Let’s see what happens in the equation 2x+y=32x+y=3. If y=0y=0 what is the value of xx?
This point has a fraction for the x- coordinate and, while we could graph this point, it is hard to be precise graphing fractions. Remember in the example y=12x+3y=12x+3, we carefully chose values for xx so as not to graph fractions at all. If we solve the equation 2x+y=32x+y=3 for yy, it will be easier to find three solutions to the equation.
The solutions for x=0x=0, x=1x=1, and x=−1x=−1 are shown in the Table 4.13. The graph is shown in Figure 4.9.
row: 2x+y=32x+y=3
row: xx | yy | (x,y)(x,y)
row: 0 | 3 | (0,3)(0,3)
row: 1 | 1 | (1,1)(1,1)
row: −1−1 | 5 | (−1,5)(−1,5)
Can you locate the point (32,0)(32,0), which we found by letting y=0y=0, on the line?
Example 4.14
Graph the equation 3x+y=−13x+y=−1.
Solution
row: Find three points that are solutions to the equation. | 3x+y=−13x+y=−1
row: First, solve the equation for yy. | y=−3x−1y=−3x−1
We’ll let xx be 0, 1, and −1−1 to find 3 points. The ordered pairs are shown in Table 4.15. Plot the points, check that they line up, and draw the line. See Figure 4.10.
row: 3x+y=−13x+y=−1
row: xx | yy | (x,y)(x,y)
row: 0 | −1−1 | (0,−1)(0,−1)
row: 1 | −4−4 | (1,−4)(1,−4)
row: −1−1 | 2 | (−1,2)(−1,2)
Try It 4.27
Graph the equation 2x+y=22x+y=2.
Try It 4.28
4x+y=−3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਲੱਗੇਗਾ ਕਿ ਤੁਹਾਡਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਿਤਾਬ ਦੇ ਜਵਾਬਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਨੂੰ ਜਿੱਥੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ, ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ!
ਉਦਾਹਰਨ 4.14 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ x ਅਤੇ y ਦੋਵੇਂ ਇੱਕੋ ਪਾਸੇ ਸਨ। ਅਸੀਂ ਉਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਕਦਮ ਵਿੱਚ y ਲਈ ਹੱਲ ਕੀਤਾ। ਪਰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਏਨਾ ਆਸਾਨ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੀ ਛੱਡ ਦੇਵਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ x=0 ਲੈ ਕੇ ਅਤੇ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲਾ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ y=0 ਲੈ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਦੂਜਾ ਬਿੰਦੂ ਪਲਾਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ x ਜਾਂ y ਲਈ ਕੋਈ ਹੋਰ ਮੁੱਲ ਵਰਤ ਕੇ ਤੀਜਾ ਬਿੰਦੂ ਪਲਾਟ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.15
2x−3y=6 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਸਫਾ: ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਵਜੋਂ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ। | 2x−3y=6
ਸਫਾ: ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, x=0 ਲਓ। | 2(0)−3y=6
y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। | −3y=6 y=−2
ਸਫਾ: ਹੁਣ y=0 ਲਓ। | 2x−3(0)=6
x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। | 2x=6 x=3
ਸਫਾ: ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਤੀਜਾ ਬਿੰਦੂ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਅਸੀਂ x ਜਾਂ y ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ x=6 ਲਵਾਂਗੇ। | 2(6)−3y=6
y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। | 12−3y=6 −3y=−6 y=2
ਅਸੀਂ ਸਾਰਣੀ 4.17 ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ, ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਉਹ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੋ। ਚਿੱਤਰ 4.11 ਦੇਖੋ।
ਸਫਾ: 2x−3y=6
ਸਫਾ: x | y | (x,y)
ਸਫਾ: 0 | −2 | (0,−2)
ਸਫਾ: 3 | 0 | (3,0)
ਸਫਾ: 6 | 2 | (6,2)
ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 4.29
4x+2y=8 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 4.30
2x−4y=8 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ
Can we graph an equation with only one variable? Just xx and no yy, or just yy without an xx? How will we make a table of values to get the points to plot?
Let’s consider the equation x=−3x=−3. This equation has only one variable, xx. The equation says that xx is always equal to −3−3, so its value does not depend on yy. No matter what yy is, the value of xx is always −3−3.
So to make a table of values, write −3−3 in for all the xx values. Then choose any values for yy. Since xx does not depend on yy, you can choose any numbers you like. But to fit the points on our coordinate graph, we’ll use 1, 2, and 3 for the y-coordinates. See Table 4.18.
row: x=−3x=−3
row: xx | yy | (x,y)(x,y)
row: −3−3 | 1 | (−3,1)(−3,1)
row: −3−3 | 2 | (−3,2)(−3,2)
row: −3−3 | 3 | (−3,3)(−3,3)
Plot the points from Table 4.18 and connect them with a straight line. Notice in Figure 4.12 that we have graphed a vertical line.
Vertical Line
A vertical line is the graph of an equation of the form x=ax=a.
The line passes through the x-axis at (a,0)(a,0).
Example 4.16
Graph the equation x=2x=2.
Solution
The equation has only one variable, xx, and xx is always equal to 2. We create Table 4.19 where xx is always 2 and then put in any values for yy. The graph is a vertical line passing through the x-axis at 2. See Figure 4.13.
row: x=2x=2
row: xx | yy | (x,y)(x,y)
row: 2 | 1 | (2,1)(2,1)
row: 2 | 2 | (2,2)(2,2)
row: 2 | 3 | (2,3)(2,3)
Try It 4.31
Graph the equation x=5x=5.
Try It 4.32
x=−2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ y ਹੋਵੇ ਪਰ x ਨਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ? ਆਓ y=4 ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਈਏ। ਇਸ ਵਾਰ y-ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, y, x 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਸਾਰਨੀ 4.20 ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ y ਲਈ 4 ਭਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ x ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਚੁਣੋ। ਅਸੀਂ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲਈ 0, 2, ਅਤੇ 4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਸਤਰ: y=4
ਸਤਰ: x | y | (x,y)
ਸਤਰ: 0 | 4 | (0,4)
ਸਤਰ: 2 | 4 | (2,4)
ਸਤਰ: 4 | 4 | (4,4)
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ 4 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.14 ਦੇਖੋ।
ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ
ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ y=b ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਰੇਖਾ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ (0,b) 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.17
y=−1 ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
y=−1 ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਹੈ, y। y ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਸਾਰਨੀ 4.21 ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ ਦਾ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਇੱਕੋ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ −1 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4.15 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਤਰ: y=−1
ਸਤਰ: x | y | (x,y)
ਸਤਰ: 0 | −1 | (0,−1)
ਸਤਰ: 3 | −1 | (3,−1)
ਸਤਰ: −3 | −1 | (−3,−1)
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 4.33
y=−4 ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 4.34
y=3 ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
The equations for vertical and horizontal lines look very similar to equations like y=4x.y=4x. What is the difference between the equations y=4xy=4x and y=4y=4?
The equation y=4xy=4x has both xx and yy. The value of yy depends on the value of xx. The y-coordinate changes according to the value of xx. The equation y=4y=4 has only one variable. The value of yy is constant. The y-coordinate is always 4. It does not depend on the value of xx. See Table 4.22.
row: y=4xy=4x | y=4y=4
row: xx | yy | (x,y)(x,y) | xx | yy | (x,y)(x,y)
row: 0 | 0 | (0,0)(0,0) | 0 | 4 | (0,4)(0,4)
row: 1 | 4 | (1,4)(1,4) | 1 | 4 | (1,4)(1,4)
row: 2 | 8 | (2,8)(2,8) | 2 | 4 | (2,4)(2,4)
Notice, in Figure 4.16, the equation y=4xy=4x gives a slanted line, while y=4y=4 gives a horizontal line.
Example 4.18
Graph y=−3xy=−3x and y=−3y=−3 in the same rectangular coordinate system.
Solution
Notice that the first equation has the variable xx, while the second does not. See Table 4.23. The two graphs are shown in Figure 4.17.
row: y=−3xy=−3x | y=−3y=−3
row: xx | yy | (x,y)(x,y) | xx | yy | (x,y)(x,y)
row: 0 | 0 | (0,0)(0,0) | 0 | −3−3 | (0,−3)(0,−3)
row: 1 | −3−3 | (1,−3)(1,−3) | 1 | −3−3 | (1,−3)(1,−3)
row: 2 | −6−6 | (2,−6)(2,−6) | 2 | −3−3 | (2,−3)(2,−3)
Try It 4.35
Graph y=−4xy=−4x and y=−4y=−4 in the same rectangular coordinate system.
Try It 4.36
Graph y=3y=3 and y=3xy=3x in the same rectangular coordinate system.
Practice Makes Perfect
Recognize the Relationship Between the Solutions of an Equation and its Graph
In the following exercises, for each ordered pair, decide:
1. ⓐ ਕੀ ਇਹ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ? ⓑ ਕੀ ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹੈ?
2. y = x + 2
3. ⓐ (0,2)
4. ⓑ (1,2)
5. ⓒ (−1,1)
6. ⓓ (−3,−1)
7. y = x − 4
8. ⓐ (0,−4)
9. ⓑ (3,−1)
10. ⓒ (2,2)
11. ⓓ (1,−5)
12. y = 1 2 x − 3
13. ⓐ (0,−3)
14. ⓑ (2,−2)
15. ⓒ (−2,−4)
16. ⓓ (4,1)
17. y = 1 3 x + 2
18. ⓐ (0,2)
19. ⓑ (3,3)
20. ⓒ (−3,2)
21. ⓓ (−6,0)
22. ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
23. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
24. y = 3 x − 1
y = 2x + 3
y = −2x + 2
y = −3x + 1
y = x + 2
y = x − 3
y = −x − 3
y = −x − 2
y = 2x
y = 3x
y = −4x
y = −2x
y = 1/2 x + 2
y = 1/3 x − 1
y = 4/3 x − 5
y = 3/2 x − 3
y = −2/5 x + 1
y = −4/5 x − 1
y = −3/2 x + 2
y = −5/3 x + 4
x + y = 6
x + y = 4
x + y = −3
x + y = −2
x − y = 2
x − y = 1
x − y = −1
x − y = −3
3 x + y = 7
5 x + y = 6
2 x + y = −3
4 x + y = −5
1 3 x + y = 2
1 2 x + y = 3
2 5 x − y = 4
3 4 x − y = 6
2 x + 3 y = 12
4 x + 2 y = 12
3 x − 4 y = 12
2 x − 5 y = 10
x − 6 y = 3
x − 4 y = 2
5 x + 2 y = 4
3 x + 5 y = 5
ਖਿਤਿਜ ਅਤੇ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
x = 4
x = 3
x = −2
x = −5
y = 3
y = 1
y = −5
y = −2
x = 7 3
x = 5 4
y = − 15 4
y = − 5 3
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
y=2x ਅਤੇ y=2
y=5x ਅਤੇ y=5
y=−12x ਅਤੇ y=−12
y=−13x ਅਤੇ y=−13
ਮਿਸ਼ਰਤ ਅਭਿਆਸ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
y = 4 x
y = 2 x
y = − 1 2 x + 3
y = 1 4 x − 2
y = − x
y = x
x − y = 3
x + y = −5
4 x + y = 2
2 x + y = 6
y = −1
y = 5
2 x + 6 y = 12
5 x + 2 y = 10
x = 3
x = −4
ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਗਣਿਤ
ਮੋਟਰ ਹੋਮ ਦਾ ਖ਼ਰਚ। ਰੌਬਿੰਸਨ ਪਰਿਵਾਰ ਨੇ ਛੁੱਟੀਆਂ ਬਿਤਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਹਫ਼ਤੇ ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਮੋਟਰ ਹੋਮ ਕਿਰਾਏ 'ਤੇ ਲਿਆ। ਇਸ ਦਾ ਖ਼ਰਚ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ $594 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ $0.32 ਪ੍ਰਤੀ ਮੀਲ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ y=594+0.32x, xx ਮੀਲ ਚੱਲਣ ਲਈ yy ਖ਼ਰਚ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। 400, 800, ਅਤੇ 1200 ਮੀਲ ਚੱਲਣ ਲਈ ਕਿਰਾਏ ਦਾ ਖ਼ਰਚ ਕੱਢੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਹਫ਼ਤੇ ਦੀ ਕਮਾਈ। ਜਿਸ ਕਲਾ ਗੈਲਰੀ ਵਿੱਚ ਉਹ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਉੱਥੇ ਸਾਲਵਾਡੋਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ $200 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਉਸ ਵੱਲੋਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਵਿਕਰੀ ਦਾ 15% ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ y=200+0.15x, xx ਡਾਲਰ ਦੀ ਕਲਾਕ੍ਰਿਤੀ ਵੇਚਣ ਲਈ ਉਸ ਵੱਲੋਂ ਕਮਾਈ ਗਈ yy ਰਕਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। $900, $1600, ਅਤੇ $2000 ਦੀ ਵਿਕਰੀ ਲਈ ਸਾਲਵਾਡੋਰ ਦੀ ਕਮਾਈ ਦੀ ਰਕਮ ਕੱਢੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਲਿਖਤੀ ਅਭਿਆਸ
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ y=15x−2 ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਉਣ ਵਾਸਤੇ ਤਿੰਨ x-ਮੁੱਲ ਕਿਵੇਂ ਚੁਣੋਗੇ।
ਇੱਕ ਖੜ੍ਹੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪੱਧਰੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਹੈ?
ਸਵੈ-ਪੜਤਾਲ
ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓑ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਸਾਰੇ ਟੀਚਿਆਂ ਲਈ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸੀ ਬਣਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਕਰੋਗੇ?